4 Distribució dels estadístics mostralsocw.upc.edu/sites/ocw.upc.edu/files/materials/...Concepte...

4 Distribució dels estadístics mostrals

4.1. Distribució de la mitjana mostral 4.2. La distribució t-Student 4.3. Intèrval de confiança 1-α per la µ 4.4. La llei de Chi-Quadrat 4.5. Distribució de la variança mostral 4.6. Intèrval de confiança 1-α per la σ2

En acabar aquest tema seràs capaç de:

1. Deduir la distribució de la mitjana mostral i de la variança mostral i saber identificar les seves implicacions.

2. Calcular probabilitats sobre la mitjana o la variança mostral. 3. Estimar puntualment i per interval de confiança la mitjana i la

variança de la població a partir de les dades d'una mostra. 4. Enumerar les característiques de les distribucions t-student,

Chi-quadrat i F-Snedecor. 5. Demostrar com es distribueix la diferència de dos mitjanes o el

quocient de dues variances.

Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m a s )

Distribució d’estadístics mostrals en m.a.sna

Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m.a.s.)

stria

l de

Bar

celo

n

Població Mostra

Engi

nyer

ia In

dus

stic

a de

l’ET

S d’

E

m.a.s.: Tot element de la població té la mateixa probabilitat de serescollit per formar part de la mostra

fess

ors

d’es

tadí

s

Y1, Y2, ..., Yn són INDEPENDENTS

© P

rof

Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 2

Distribució de mitjanes i variances

� �yf

na

Població

y

Mostres aleatòries�

stria

l de

Bar

celo

n y�

1n1211 Y...,,Y,Y

2n2221 Y...,,Y,Y

21S22S

1Y�

2Y�

Engi

nyer

ia In

dus 2n2221 ,,, 22

stic

a de

l’ET

S d’

E

KnK2K1 Y...,,Y,Y

?

2KS

?

KY�

fess

ors

d’es

tadí

s

0 ?�?� 22 SS

?

?�?�

?

© P

rof


� 22 SS?�?� yy

_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

121

Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

M t 1 M t 2 M di t l

na

Muestra 1 Muestra 2 Medias muestrales183,7 171,9 170,9178,5 188,5 172,8160,0 168,3 169,5171,9 176,4 168,8176,6 173,0 171,1160 0 171 0 171 1

stria

l de

Bar

celo

n 160,0 171,0 171,1174,3 161,8 172,5160,0 169,2 170,4170,1 169,0 170,5170,1 177,6 170,7160,3 165,5 172,4165 5 171 7 169 6

Engi

nyer

ia In

dus 165,5 171,7 169,6

172,3 181,9 ... 169,7176,5 173,7 166,7175,5 185,5 170,6173,8 169,1 169,8181,1 184,0 171,2166,7 163,0 169,4

stic

a de

l’ET

S d’

E , , ,166,3 153,8 170,4174,0 186,5 168,7173,4 167,9 170,7171,6 176,0 173,6174,0 171,0 168,2173,2 177,5 171,5

fess

ors

d’es

tadí

s

162,2 165,7 170,7

Mitjana = 170,9 Mitjana = 172,8

© P

rof


Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

na

Les mitjanes de mostres de 25 individus

stria

l de

Bar

celo

nEn

giny

eria

Indu

s

160 170 180

Els 25 valors d’una de les mostres

stic

a de

l’ET

S d’

E Els 25 valors d una de les mostres

Hi ha més dispersió en els valors individuals que en

fess

ors

d’es

tadí

s Hi ha més dispersió en els valors individuals que en les mitjanes mostrals

© P

rof



122

lrodero

Texto escrito a máquina

4.1 Distribució de la mitjana mostral

Exemple introductori: distribució de l’alçada de personesna

Distribució de l’alçada mitjana de mostres de tamany 25

stria

l de

Bar

celo

n

25

Y25 ~ N(170; 1,6)

Engi

nyer

ia In

dus 20

15

Distribució d’alçades individuals

Y ~ N(170; 8)

stic

a de

l’ET

S d’

E

10

5

fess

ors

d’es

tadí

s

2.01.91.81.71.61.51.4

0

Altura

© P

rof


Si i (Y Y Y Y ) d

Distribució de la mitjana mostral

� ��;�N~Y

na

Sigui (Y1, Y2, Y3, ..., Yn) una m.a.s. de

Com que sóc una c.l. de v.a. que segueixen una normal també� �i Y++Y+Y1=Y=Y �

� ��;�N ~ Y

stria

l de

Bar

celo

n segueixen una normal, també sóc normal

� �n21i Y+...+Y+Y

n =

n = Y �

Engi

nyer

ia In

dus

Esperança matematica de Y

�� )...(n1)Y(E

n cops

stic

a de

l’ET

S d’

E n

Variança de Y n cops

fess

ors

d’es

tadí

s

nn)...(

n1)Y(V Y

2222

2

�

��

© P

rof



123

Distribució de mitjanes i variances

� �yf

na

Poblacióm.a.s. (tamany n)

Fins i tot si

� �yf

�

stria

l de

Bar

celo

n Fins i tot si les dades

originals no 11n1211 YY...,,Y,Y �

YYYY �

�

Engi

nyer

ia In

dus segueixen

una normal, les mitjanes

22n2221 YY...,,Y,Y �

stic

a de

l’ET

S d’

E

sí (a partir d’un cert

valor de n),

KKnK2K1 YY...,,Y,Y ��

��

n�;�N ~ Y

fess

ors

d’es

tadí

s valor de n), pel teorema

central del límit

n

�

© P

rof


límit�


124

Activitat: Cas Mercamona (1ª part)

Mercamona produeix sacs de terra per a gats amb un pes que es distribueix segons una llei N(10kg; 0.25kg) on els sacs passen un estricte control de qualitat. El control consisteix en prendre una mostra de 4 sacs a l’atzar de cada lot produït i pesar-los. Es produeix un lot cada hora, així es van recollint mostres de 4 sacs cada hora.

Quina és la probabilitat de que el pes promig dels quatre sacs estigui per sobre de 10.38 kg.?

I la probabilitat de que més d’una mitjana del pes dels quatre sacs de 5 mostres consecutives estigui per sota de 9.755 Kg o per sobre de 10.245 Kg?


125

Distribució de la mitjana mostral

�

na

és el millor estimador puntual de Y �

El barret indica que

��

��

n�;�N ~ Y

Y=�̂

stria

l de

Bar

celo

n és un estimador

Per què?

Y=�

Engi

nyer

ia In

dus Per què?

1. És no esbiaixat. � � � = YE

stic

a de

l’ET

S d’

E

2. És consistent � � 0 = n

�lim = YVlim2

nn ��

fess

ors

d’es

tadí

s©

Pro

f


La distribució t-Student

Jo em vaig

na

Jo em vaig inventar la distribució t-Student

� � � �

�Y�

1;0N ~�

�-Y = Z �;�N~Y

�

�

stria

l de

Bar

celo

n

William Gosset (1876 – 1937)

� �1;0N ~ n

��-Y = Z

n��;N~Y ��

�

��

Engi

nyer

ia In

dus

Si es desconeguda i s’estima mitjançant una mostra de tamany n:

� �2

stic

a de

l’ET

S d’

E � �1-ny-y =

llibertat de grausquadrats de suma = s

2i�

fess

ors

d’es

tadí

s

Quina és la distribució de i de ? s

� -Y =t

ns

� -Y =t

© P

rof


n


126

lrodero


4.2 La distribució t-Student

La distribució t-Studentna

S’estima mitjançant s, calculada en una

d t

� �yf

stria

l de

Bar

celo

n m.a.s. de tamany n�

s� -Y=t 1

1

�Y

y

Engi

nyer

ia In

dus

s�-Y=t 2

2

� �tf

stic

a de

l’ET

S d’

E

s� -Y=t K

K

Y t

fess

ors

d’es

tadí

s

Les Yi i s són independentss

�-Y=t it

© P

rof


Tenim una mostra de 5 elements: 3 4 5 6 7

Per què els graus de llibertat es diuen graus de llibertat?

na

Tenim una mostra de 5 elements: 3, 4, 5, 6, 7

Sempre s’acompleix: 0=y-yn

1ii

stria

l de

Bar

celo

n

0=5)-(7+5)-(6+5)-(5+5)-(4+5)-(30=y-yn

1=i

Engi

nyer

ia In

dus 0=5)-(7+5)-(6+5)-(5+5)-(4+5)-(30=y-y

1=ii

Es pot “tapar” qualsevol dels números

stic

a de

l’ET

S d’

E Es pot tapar qualsevol dels números amb el cercle vermell (però només un), i

recuperar-lo. Els altres 4 es poden “moure” lliurement.

fess

ors

d’es

tadí

s Els altres 4 es poden moure lliurement. Per això tenim 4 graus de llibertat.

© P

rof



127

La distribució t-Student

�Y

na

1-n

1-n

Student-t~s� -Y=t

Student-t~s

�-Y=t

stria

l de

Bar

celo

n

Com més g.l., més s’assembla

a la normal

ns

Engi

nyer

ia In

dus a la normal

estandaritzada

stic

a de

l’ET

S d’

E

t-Student amb � graus de llibertat

121

1 ��

��

�

�� Normal f(t) �

0=E(t)

fess

ors

d’es

tadí

s

21

2t1

1

2

21f(t) ��

��

��

��

�

��

��

��

�

2 >2-

= Var(t)

0 E(t)

��

© P

rof


Distribució de Y quan és desconeguda

Y

na

t-Student amb �graus de llibertat (� = n-1)

~

ns

� -Y =t

stria

l de

Bar

celo

n

Quan no coneixem i l’estimem a

n

Engi

nyer

ia In

dus Quan no coneixem i l estimem a

partir d’una mostra (tenim s, per tant), la normal estandaritzada es converteix en un t-Student

stic

a de

l’ET

S d’

E

També hi ha taules amb

converteix en un t Student

fess

ors

d’es

tadí

s taules amb àrees de cua per

la t-Student

© P

rof



128

Interval de confiança (IC) 1 – � per la �

1 - �Distribució de

na

Prenem valors de la distribució de les mitjanes. Sumem i restem

Distribució de les mitjanes

mostrals

n

��;N~Y ��

��

�

stria

l de

Bar

celo

n

��/ 2 ��/ 2aquest segment a cada punt. Una proporció 1-� d’intervals

n�z�/2

��

Engi

nyer

ia In

dus Una proporció 1-� d intervals

contenen el veritable valor de ��

�/2y

stic

a de

l’ET

S d’

E

�/2y és el valor de que deixa una àrea de cua a la dreta de �/2

Y

fess

ors

d’es

tadí

s a la dreta de �/2

n�z = � -Y

n�

� -Y =z �/2�/2�/2

�/2

© P

rof


n


�z=�-Y� -Y=z �/2 Distribució de les mitjanes

na

�-1 =�z + �Y�z - �Prob

nz=�-Y

n�=z

�/2�/2

�/2�/2�/2

��

��

les mitjanes mostrals

n

��;N~Y ��

��

�

stria

l de

Bar

celo

n

��

�-1 =n

�z + Y-� -n

�z -Y-Prob

nn

�/2�/2

�/2�/2

�

��

��

��

�1y � �y

Engi

nyer

ia In

dus

�-1 =n

�z - Y � n

�z +YProb �/2�/2 ��

�� 2

-1 �2�y

stic

a de

l’ET

S d’

E IC 1-� per μ

quan coneixem ��

�� z+ Y;�z - Y �/2�/2

fess

ors

d’es

tadí

s

quan és desconeguda, i l’estimem amb s��

��

��

nst + Y;

nst - Y

n;

n

�/2 1;-n�/2 1;-n

�/2�/2

© P

rof


�� nn


129

lrodero


4.3 Interval de confiança per la mitjana poblacional


Q è i l é fi i ll d l’IC d l 95%

na

Què passa si vols més confiança, i en lloc de l’IC del 95% trobes l’IC del 97%, o del 99%?

stria

l de

Bar

celo

n

Quanta més confiança, més ample és l’intèrval, i menys ens informa d’on és el veritable valor de �

Engi

nyer

ia In

dus

IC 95%

Y

stic

a de

l’ET

S d’

E

IC 97%

IC 99%

fess

ors

d’es

tadí

s IC 99%

© P

rof


Exemple

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de

na

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de paper: 2,06 2,03 2,01 2,12 1,94 1,76 2,08 2,01

!

"

0 0120,11 = s2,00 = y

2

stria

l de

Bar

celo

n

> Quin és el millor estimador puntual de μ? � = y = 2,00ˆ

# 0,012=s2

Engi

nyer

ia In

dus

> Entre quins valors es troba μ amb una confiança del 95%?

IC del 95% per a μ: 1 – � = 0,95 � = � 0,05 � � /2 = 0,025

stic

a de

l’ET

S d’

E

taules

2,365=t= t 0,025 1;-80,025 1;-8

st+ Y;st - Y �/21;n�/21;n ��

��

fess

ors

d’es

tadí

s

$ %2,09 ; 1,918

0,112,365 + 2,00;8

0,112,365 - 2,00

n;

n �/21;-n�/2 1;-n

��

��

��

© P

rof



130

� �f y � �f y

La llei de Chi-quadrat

� �f y

2�&

na

N (0;1)�

�

y N (0;1)�

�

yN (0;1)�

�

y

stria

l de

Bar

celo

n

12

11

YY

�

22

21

YY

�

2

1

YY

�

�

�

� 21iY

� 22iY

Engi

nyer

ia In

dus

i1Y �

i2Y�

iY�

�

� �2iY

stic

a de

l’ET

S d’

E

� �0;1N ~Yi

��

22 Y� �2f �&

fess

ors

d’es

tadí

s

i independents ��&1=i

2i

2 Y=� ��&

0 2�&

© P

rof


La llei de Chi-quadrat 2�&

� �2f

na

� �2f �&

2��20��

stria

l de

Bar

celo

n 20��

Engi

nyer

ia In

dus

2�&

stic

a de

l’ET

S d’

E

� ��& 2;N2

La forma de la densitat de �2 depèn de �

Quan � � � aleshores

fess

ors

d’es

tadí

s � ��&� 2;N

� � � � �� 2 = �V� = = �E 22

Quan � � aleshores

© P

rof



131

lrodero


4.4 La llei de Chi-quadrat

Taules de la llei de Chi-quadrat na

�� 2f �&

stria

l de

Bar

celo

n

2�&

Engi

nyer

ia In

dus

stic

a de

l’ET

S d’

E

Valors que deixen l’àrea de cua indicada en

fess

ors

d’es

tadí

s de cua indicada en funció dels graus de llibertat.

© P

rof


Aproximacions de la llei de Chi-quadrat 2�&

na

Per � 200 � taules

stria

l de

Bar

celo

n

Per 30 � < 200 � � � ��

��

��

��

2; lnN ~ �ln 2

Engi

nyer

ia In

dus

Per � > 200 � � �� 2;N ~ �2

stic

a de

l’ET

S d’

E

A b d d “ ’ t ”

fess

ors

d’es

tadí

s Amb dades que “s’apreten” cap a l’esquerra, transformar-les amb el logaritme sovint les converteix en normals. És una altra possibilitat.

© P

rof



132

Distribució de la variança mostral s2na � � 2

21s1n �' � ��;N

stria

l de

Bar

celo

n � � 2

� � 2

22s1n

�'

� ��;N

Engi

nyer

ia In

dus

� �2ks1

stic

a de

l’ET

S d’

E � � 2ks1n

�'

� �2

n

1i

2i2

�yy

s1)(n �� '

� �2s1n

fess

ors

d’es

tadí

s 21n2

1i2 �~

��1)(n '

��' � � 2�1-n

Si tinguessim � �

2

n

1i

2i

�~�y�

�

'

© P

rof


n2 �~� Tranparència 20

Per què la distribució de la variança mostral és la que és?

Per què ? S b2

2

~s)1n( &� � ��

n2

n 2i z� -y

na

Per què ? Sabem que

on z~ N(0;1), segueix una

1n2 ~)1n( '&

' ��1=i1=i

2 z�

2n&

stria

l de

Bar

celo

n � � � � � �

� � � �� 2��

��

��

��

��

��1

� - y + y -y�1

�� - y + y -y

�� -y

nnn2

n

1=i

2i2

n

1=i2

2i

n

1=i2

2i

Engi

nyer

ia In

dus � � � ��

� � � � � � � �2

2

2

2

��

��

��

��

��

��

��

��

�-yy-y�-yy-y1

�-y�-yy-yy -y�1

nn

i

n2

i

1=i1=ii

1=i

2i2

stic

a de

l’ET

S d’

E � � � � � � � �

� � � � 22

2

��

��

�

��

�

��

��

��

��

��

�

��

�-y+1)s-(n�-y�-yy -y

� -y

�yyy�yy y�

2ni

2

n

1=i

2in 2

i

1=i1=ii

1=ii2

0

fess

ors

d’es

tadí

s � ��

��

��

��

�

��

n�

�y+�

)(=�

�y�

�yn��

�y2

1=i

i2

1=i

1=i2

i

21)s-(n2

� -x��

��

2& 2&2&

© P

rof


2� n� ��

�� n& 1n'& 1&


133

lrodero


4.5 Distribució de la variança mostral

Activitat: Cas Mercamona (2ª part)

Reprenem el cas de Mercamona. (Repassa la 1ª Part)

Mercamona decideix també monitoritzar la variança del pes de les mostres que es prenen de cada lot. Recordeu que el pes d’un sac segueix una N(10kg; 0.25kg.).

Quina és la probabilitat de que la variança d’una mostra de 4 sacs estigui per sobre de 0.1948?


134

Distribució de la variança mostral s2na

s2 és el millor estimador puntual de 2

21n2

2

~s)1n( '&

'22 s = �̂

stria

l de

Bar

celo

n

Per què?

1. És no esbiaixat.

Engi

nyer

ia In

dus

� � � � � � 22

21-n

22

21-n2 � = 1-n

1-n�=E

1-n� = �

1-nE = sE &�

�

��

� &

2 É i t t

stic

a de

l’ET

S d’

E 2. És consistent

( ) ( ) ( )1n

2� = 1)(n

� 1-n2=1)(n

� = �1n V= V

4

2

42

1n-2

42

21n-2 �V

�s

fess

ors

d’es

tadí

s 1-n1)-(n1)-(n1-n

� � � � 0 = sVlim1-n

2�=sV 2

n

42

��

© P

rof


1n

Interval de confiança (IC) 1 – � per la (

2

na

21n2

2

~s)1n( '&

'2

1n'&

stria

l de

Bar

celo

n

��/ 2

��/ 2 � -1 =Prob 2

2�1;-n

21-n

2

2�-1;1-n ��

�

��

�&�&�&

Engi

nyer

ia In

dus 2

2�-1;1-n

& 2

2�1;-n

&� � � -1 =

�s1-nProb

22

2

2�1;-n2

22

2�-1;1-n

�

�� &&

��

��

�&��&

stic

a de

l’ET

S d’

E

IC 1-� per 2

��

�� 22 ss

� -1 =1)s-(n�

11)s-(n

Prob 22�1;-n

222�-1;1-n

�

��

�

��

�

� &��

&

fess

ors

d’es

tadí

s

��

��

�&& 2

2�-1;1-n

2

2�1;-n

s1)-(n;s1)-(n� -1 =1)s-(n�1)s-(nProb 2

2�1;-n

22

2

2�-1;1-n

2

��

�

��

�

�

&��

&

© P

rof


22 ��


135

lrodero


4.6 Interval de confiança per la variança poblacional

Exemple

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de

na

Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de paper: 2,06 2,03 2,01 2,12 1,94 1,76 2,08 2,01

!

"0,11 = s2,00 = y

stria

l de

Bar

celo

n

> Quin és el millor estimador puntual de (?

> Entre quins valors es troba ( amb una confiança del

# 0,012 = s2

0,012 = s = �̂ 22

Engi

nyer

ia In

dus > Entre quins valors es troba amb una confiança del

95%?

IC del 95% per a ( 1 – � = 0,95 � ��= 0,05 � �)(�= 0,02516 01=2&

stic

a de

l’ET

S d’

E

tauless1)-(8;s1)-(8s1)-(n;s1)-(n 2

0,975 1;-8

2

20,025 1;-8

2

2

2�-1;1-n

2

2

2�1;-n

2

��

��

�&&

��

�

�

��

�

�

&&

16,01=0,025 1;-8&

1 69=2&

fess

ors

d’es

tadí

s

taules$ %0,0497 ; 0,00521,69

0,0121)-(8;16,010,0121)-(8

2;

2;

��

��

�� 1,69=0,9751;-8&

© P

rof


En resum...

Estimació puntual de μ Y=�̂

na �coneguda

Estimació puntual de μ Y=�

��

�� z+Y;�z-Y

stria

l de

Bar

celo

n

IC 1-� per μ�coneguda

�desconeguda��

��

��

nst + Y;

nst - Y

nz+Y;

nzY

�/2 1;-n�/2 1;-n

�/2�/2

Engi

nyer

ia In

dus

Estimació puntual de �2

�� nn

22 s=�̂

stic

a de

l’ET

S d’

E p s=�

fess

ors

d’es

tadí

s

IC 1-� per 2�

;� 2

2�

- 1;1n-

2

2

2�

1;n-

2 s1)-(n

s1)-(n

© P

rof



136

Paràmetres i estadístics, població i mostra

Jo conec el model de la població Per tant

na

Jo conec el model de la població. Per tant, sé quant valen els paràmetres μ i �2. No

necessito fer estimacions (ni estimacions puntuals, ni calcular IC).

Sí que puc fer me preguntes sobre la

stria

l de

Bar

celo

n Sí que puc fer-me preguntes sobre la distribució de la mitjana mostral i la distribució de la variança mostral.

Engi

nyer

ia In

dus

Només puc recollir mostres de dades

stic

a de

l’ET

S d’

E pi intentar estimar la μ i la �2 ,o bé ambuna estimació puntual o bé calculantun IC. Com que no conec els valors

reals de μ i de �2 no puc fer-me

fess

ors

d’es

tadí

s

preguntes sobre la distribució de la mitjana mostral i la distribució de la

variança mostral.

© P

rof



137

Activitat: Un nou transport públic, el Bicicleting

El Bicicleting és un nou transport públic urbà, saludable i que respecta el medi ambient. S’han triat a l’atzar 15 bicicletes i se’ls ha mesurat el radi de la roda del darrera: 28.2, 30.5, 29.1, 32, 28.7, 29.3, 31.6, 31.4, 30.2, 29.4, 28.9, 31.7, 30.9, 29.1, 28.8.

Calcula un interval de confiança del 95% per la mitjana del radi de les rodes.


138

Llibres per estudiar

Llegeix el capítol 4 del llibre: “Métodos

na

Llegeix el capítol 4 del llibre: Métodos estadísticos. Control y mejora de la calidad”, titulat Algunos modelos probabilísticos

Vols saber més de tot el que hem vist en aquest tema?

stria

l de

Bar

celo

nEn

giny

eria

Indu

sst

ica

de l’

ETS

d’E

fess

ors

d’es

tadí

s

Referència: “Métodos Estadísticos. Control y Mejora de la Calidad”. Prat Tort Martorell Grima Pozueta Sole Edicions UPC 2004

© P

rof


Prat, Tort-Martorell, Grima, Pozueta, Sole. Edicions UPC, 2004

Llibres per estudiar

Algunes preguntes freqüents d’aquest tema…

na

g p g q q

• Sabem que les característiques d’una mostra (proporció, mitjana...) varien d’una mostra a

lt è ll l

stria

l de

Bar

celo

n una altra. per què llavors creure en els resultats d’una mostra, sabent que si prenguéssim una altra aquests resultats serien dif t ?

Engi

nyer

ia In

dus diferents?

• Què vol dir l’expressió de que “un interval de confiança del 95% és 27,5 % ± 3,6 %"?

é

stic

a de

l’ET

S d’

E

Les respostes, en el llibre “55 Respuestas a

• …i unes quantes més!

fess

ors

d’es

tadí

s

Referència: “55 Respuestas a Dudas Típicas de Estadística”.

Dudas Típicas de Estadística”

© P

rof


Behar, Grima. Díaz de Santos, 2004.


139

4 Distribució dels estadístics mostralsocw.upc.edu/sites/ocw.upc.edu/files/materials/...Concepte...

Documents

Transcript of 4 Distribució dels estadístics mostralsocw.upc.edu/sites/ocw.upc.edu/files/materials/...Concepte...