Γραμμική Αλγεβρα

Ορίζουσες

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

14 Ιανουαρίου 2014

Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|

Ορισμός

Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R

τέτοια ώστε

1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα

2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο

3 |I | = 1

Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|

Ορισμός

Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε

1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα

2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο

3 |I | = 1

Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|

Ορισμός

Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε

1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα

2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο

3 |I | = 1

Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|

Ορισμός

Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε

1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα

2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο

3 |I | = 1

Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή

Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και

κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων

γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός

συνδυσμός των |B| και |C |.

∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣+ t

∣∣∣∣ a′ b′

c d

∣∣∣∣

Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή

Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και

κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων

γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός

συνδυσμός των |B| και |C |.∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣+ t

∣∣∣∣ a′ b′

c d

∣∣∣∣

Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b

∣∣∣∣

Συμπεράσματα

Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο

Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο

κάθε γραμμή της ξεχωριστά’

Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b

∣∣∣∣Συμπεράσματα

Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο

Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο

κάθε γραμμή της ξεχωριστά’

Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b

∣∣∣∣Συμπεράσματα

Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο

Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο

κάθε γραμμή της ξεχωριστά’

Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)

Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια

άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο

των στοιχείων της διαγωνίου

A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0

Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)

Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια

άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο

των στοιχείων της διαγωνίου

A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0

Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)

Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια

άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο

των στοιχείων της διαγωνίου

A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0

Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)

Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια

άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο

των στοιχείων της διαγωνίου

A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0

Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)

Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν

Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια

άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη

Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο

των στοιχείων της διαγωνίου

A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0

Πορίσματα, Υπολογισμός Ορίζουσας

|A| = ±|U||A| = ±(γινόμενο των οδηγών)

Για να υπολογίσω την ορίζουσα ενός πίνακα αρκεί να κάνω

απαλοιφή και να πολλαπλασιάσω τους οδηγούς που θα βρω.

Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)

Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το

γινόμενο των οριζουσών τους

Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το

αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την

ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες

ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.

Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)

Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το

γινόμενο των οριζουσών τους

Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το

αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την

ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες

ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.

Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)

Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το

γινόμενο των οριζουσών τους

Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το

αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την

ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες

ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.

Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)

Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το

γινόμενο των οριζουσών τους

Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το

αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την

ορίζουσα του εν λόγω πίνακα

Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες

ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.

Συμπαράγοντες

Ο αριθμός

Cij = (−1)(i+j) detAij

λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο

(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.

Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

.

.

....

. . .

.

Συμπαράγοντες

Ο αριθμός

Cij = (−1)(i+j) detAij

λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο

(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.

Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

.

.

....

. . .

.

Συμπαράγοντες

Ο αριθμός

Cij = (−1)(i+j) detAij

λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο

(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.

Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

.

.

....

. . .

.

Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας

Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε

|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n

Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων

οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.

Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας

Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε

|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n

Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων

οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.

Παράδειγμα

A =

2 3 −40 −4 21 −1 5

=⇒ C22 = +det

[2 −41 5

]C23 = − det

[2 31 −1

]

C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5

detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

Παράδειγμα

A =

2 3 −40 −4 21 −1 5

=⇒ C22 = +det

[2 −41 5

]

C23 = − det

[2 31 −1

]

C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5

detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

Παράδειγμα

A =

2 3 −40 −4 21 −1 5

=⇒ C22 = +det

[2 −41 5

]C23 = − det

[2 31 −1

]

C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5

detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

Παράδειγμα

A =

2 3 −40 −4 21 −1 5

=⇒ C22 = +det

[2 −41 5

]C23 = − det

[2 31 −1

]

C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5

detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

Παράδειγμα

A =

2 3 −40 −4 21 −1 5

=⇒ C22 = +det

[2 −41 5

]C23 = − det

[2 31 −1

]

C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5

detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46

Υπολογισμός του A−1

Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α

ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|

A−1 =Asymp

|A|

Υπολογισμός του A−1

Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α

ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|

A−1 =Asymp

|A|