COLLECTION MATHÉMATIQUE

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

AUTOUR

DU

LA DROITE D'EULER

Jean-Louis AYME 1

2.

PARALLÈLES

À

LA DROITE D'EULER

A

B C

A'

B'

C'

A"

E

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour de la droite d'Euler d'un triangle

et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation se poursuit…

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 04/01/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Les figures 2 sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou renvoie à un article de l'auteur.

Abstract. The author presents a collection of problems around the Euler's line of to a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

synthetically.

Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or refers to an article of the author.

2 Le triangle de départ ABC est acutangle sauf pour des cas de lisibilité des figures…

Sommaire

1. La parallèle de Catalan 3 2. La parallèle de Gray 7 3. La parallèle (IX500) 8 4. La parallèle de Hung 9 5. La parallèle d'Ayme 11 6. La parallèle d'Ayme 13 7. La parallèle de Boutin 14 8. Les parallèles d'Hatzipolakis 16 9. La parallèle de Hung 18 10. La parallèle d'Ayme 20 11. La Ks'-parallèle 21 12. La Fe-parallèle 23

3

3

1. LA PARALLÈLE DE CATALAN 3

Eugène Catalan (1883)

VISION

Figure :

A

B C

A'

B'

C'

A"

E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, A'B'C' le triangle symétrique de ABC et A" le point d'intersection de (BC') et (CB'). Donné : (A'A") est parallèle à E.

VISUALISATION

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC

3 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire, Journal de Mathématiques III (1883) 61-62

4

4

et H l'orthocentre de ABC. • Scolie : E = (OH). • D'après Eugène Catalan 4, (A"A) passe par O. • Scolies : (1) (BA), (CA) sont resp. les B, C-bissectrices extérieures du triangle A"BC (2) (A"A) est la A"-bissectrice intérieure de A"CB.

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

V U

1

J K

S

T

• Notons U, V les pieds des perpendiculaires abaissées de A" resp. (CA), (BA), J, K les milieux resp. de [A"B], [A"C], 1 le cercle de diamètre [AA''] ; il passe par U et V ; S le pied de la A-hauteur de ABC et T le second point d'intersection de (AS) avec 1. • D'après Arthur Lascases 5, U, V, J et K sont alignés. • D'après Thalès de Milet "La droite des milieux" appliqué à A"BC, (BC) // (UV) ; par construction, (UV) // (A"T) ; par transitivité de la relation //, (BC) // (A"T).

4 Catalan E., Quelques théorèmes de géométrie élémentaire, Journal de Mathématiques III (1883) 61-62 5 Lascases Arth., Question 477, Nouvelles Annales 18 (1859) 171

Ayme J.-L., An unlikely concurrence, G.G.G. vol. 4, p. 1-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

5

5

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

V U

1

J K

S

T

• D'après Lazare Carnot "Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté" 6, S est l'orthocentre du triangle AVU; en conséquences, (1) (US) est la U-hauteur de AUV (2) (US) // (CH).

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

V U

1

J K

S

T

W

0

• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC et W le second point d'intersection de (AA'') avec 0. • D'après Thalès "La droite des milieux" appliqué au triangle AA'W, (SO) // (A'W).

6 Carnot, n° 142, De la corrélation des figures géométriques (1801) 101

6

6

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

V U

1

J K

S

T

W

0

• Nous avons : (CH) // (US) et (WC) // A"U). • D'après Thalès de Milet 7 appliqué aux triangles A-perspectif CHW et USA", (HW) // (SA") .

A

B C

A'

B'

C'

O

A"

H E

V U

1

J K

S

T

W

0

• D'après Pappus "Le petit théorème" 8 appliqué à l'hexagone sectoriel A'A"SOHWA' de frontière (AA') et (AA''), (A'A") // (OH). • Conclusion : (A'A") est parallèle à E.

7 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Pappus d'Alexandrie, Collections υναγωγ´η, Livre VII

Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

7

7

2. LA PARALLÈLE DE GRAY 9

Steve Gray (2001)

VISION

Figure :

A

B C

I

Gra E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, I le centre de ABC et Gra le point de Gray de ABC. Donné : (IGra) est parallèle à E. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 10

Note historique : c'est en cherchant autre ''chose'' que Steve Gray 11 a découvert en 2001un résultat

d'Émile Lemoine i.e. le point Gra répertorié sous X(79), et une parallèle à la droite d'Euler d'un triangle i.e. le droite (IGra). Darij Grinberg 12 a fait connaître ce résultat en 2003 au groupe Hyacinthos par un message dans lequel il propose de donner le nom de Gray à X(79). Signalons que la droite de Gray a été prouvée par le biais des coordonnées trilinéaires par Antreas Hatzipolakis 13.

9 Parallel to euler line, AoPS du 30/09/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715407_parallel_to_euler_line https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line 10 Ayme J.-L., La droite de Gray, G.G.G. vol. 2 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20droite%20de%20Gray.pdf 11 Gray S., New? triangle theorem, Math Forum du19/09/2001 12 Grinberg D., Gray point X(79) and X(80) Message Hyacinthos # 6491 du 05/02/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6491 13 Hatzipolakis A., Messages Hyacinthos # 7908 du 15-09-03 ;

https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7908

8

8

3. LA PARALLÈLE I-X 500 14

VISION

Figure :

A

B C

I

O

H

E

A'

B'

C' H'

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, Gra le point de Gray de ABC, A'B'C' le triangle incentral de ABC et H' l'orthocentre de A'B'C'. Donné : (IH') est parallèle à E. . Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 15

14 The Euler line, AoPS du 22/10/2007 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h171583 A parallel to the Euler's line, 19/03/2008 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line parallel to Euler line!, AoPS du 02/08/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=491764 Parallel to euler line, AoPS du 30/09/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1715407_parallel_to_euler_line

https://artofproblemsolving.com/community/c1332h992525_a_parallel_to_the_euler_line 15 Ayme J.-L., La point de Gray et l'alignement Gra-I-X(500), G.G.G. vol. 2 ;

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le%20point%20de%20Gray.pdf

9

9

4. LA PARALLÈLE DE HUNG 16

Tran Quang Hung

VISION

Figure :

A

B C

R

P

Q A*

B*

C*

E

O*I*

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, PQR le triangle orthique de ABC, A*, B*, C* les orthocentres resp. des triangles AQR, BRP, CPQ

et O*, I* les centres resp. des cercles circonscrit, inscrit au triangle A*B*C*. Donné : (O*I*) est parallèle à E.

VISUALISATION

A

B C

R

P

H

Q

O

A*

B*

C*

E

O*I*

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC et H l'orthocentre de ABC.

16 OI line is parallel to Euler line, AoPS du 06/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1301983_oi_line_is_parallel_to_euler_line

10

10

• Scolie : E = (OH). • Le quadrilatère RB*PH étant un parallélogramme, (RB*) // (DH) et RB* = DH ; le quadrilatère DHQC* étant un parallélogramme, (DH) // (QC*) et DH = QC* ; par transitivité de // et de =, (RB*) // (QC*) et RB* = QC*. • Le quadrilatère RQC*B* étant un parallélogramme, (B*C*) // (QR) et B*C* = QR.

A

B C

R

P

H

Q

O

A*

B*

C*

E

O*I*

N

• Mutatis mutandis, nous montrerions que * (C*A*) // (RP) et C*A* = RP * (A*B*) // (PQ) et A*B* = PQ. • Notons N le milieu de [OH]. • Scolie : N est le centre du cercle d'Euler de ABC

ou encore le centre du cercle circonscrit à PQR.

• D'après Philippe Naudé 17, H est le centre du cercle inscrit à PQR. • Les triangles A*B*C* et PQR étant homothétiques et égaux, (O*I*) // (NH) et O*I* = NH. • Conclusion : (O*I*) est parallèle à E.

17 Naudé P., Miscellana Besolinensia 5 (1737) 17

11

11

5. LA PARALLÈLE D'AYME

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C

O

A'

A"

H

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre du 0,

H l'orthocentre de ABC. A' l'antipôle de A relativement à 0

et A'' le symétrique de A par rapport à (OH). Donné : (A'A'') est parallèle à (OH).

VISUALISATION

A

B C

O

A'

A"

H

0

• Scolies : (1) (OH) est la droite d'Euler de ABC (2) A'' est sur 0.

12

12

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (A'A'')⊥ (A''A) ; par hypothèse, (A''A) ⊥ (OH) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (A'A'') // (OH). • Conclusion : (A'A'') est parallèle à (OH).

13

13

6. LA PARALLÈLE D'AYME

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C

O

A'

A"

H

0

Ha

1a

Traits : ABC un triangle 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, A' le symétrique de A par rapport à O, H l'orthocentre de ABC Ha le symétrique de H par rapport à (BC), 1a le cercle passant par Ha, H, O et A'' le second point d'intersection de 1a et 0. Donné : (A'A'') est parallèle à (OH). 18 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur 19.

18 Ayme J.-L., A parallel to the Euler line, Message Hyacinthos # 20564 du 22/12/2011 ;

http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/ Ayme J.-L., A parallel to the Euler's line, AoPS du 12/10/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=557976

19 Ayme J.-L., Une parallèle à la droite d'Euler, G.G.G. vol. 25 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

14

14

7. LA PARALLÈLE DE BOUTIN 20

Auguste Boutin

VISION

Figure

A

B C

S

F

O

G

Traits : ABC un triangle, G le point médian de ABC, O le centre du cercle circonscrit à ABC, S le premier point de Hesse 21 de ABC et F le premier point de Fermat 22 de ABC. Donné : (FS) est parallèle à (OG). Scolies : (1) (OG) est la droite d'Euler de ABC (2) une seconde parallèle

A

B C

S

F

O

G

F'

S'

• Notons S' le second point de Hesse de ABC et F' le second point de Fermat de ABC. 20 Boutin A., Journal de Mathématiques de G. de Longchamps (1889) Euler lines with Fermat point, AoPS du 01/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1299569_euler_lines_with_fermat_point 21 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 8-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 22 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 12-14, 19-22 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

15

15

• Conclusion : (F'S') est parallèle à (OG). Commentaire : les preuves synthétiques de ces résultats peuvent être vues sur le site de l'auteur 23.

23 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 29-32 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

16

16

8. LES PARALLÈLES D'HATZIPOLAKIS 24

Antreas Hatzipolakis

VISION

Figure :

A

B C

H O

A'

A'*

1a

Traits : ABC un triangle, O, H le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre de ABC, 1 le cercle circonscrit au triangle HBC, A' le second point d'intersection de (AH) avec 1 et A'* l'isogonal de A' relativement à ABC. Donné : (A'A'*) est parallèle à (OH). Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 25 Scolie : à partir de O

24 Hatzipolakis A., Reflections, Message Hyacinthos # 10528 du 24/09/2004 ;

https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/10528 25 Ayme J.L., La droite de Euler généralisée, G.G.G. vol. 23 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

17

17

A

B C

H

O

A'

1

A'*

Note historique : en septembre 2004, Antreas Hatzipolakis proposait la conjecture particulière

précédente en considérant le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre d'un triangle, puis le point médian et le point de Lemoine d'un triangle, puis le centre du triangle. Le même jour, Paul Yiu 26 s'apercevant que chaque point du couple envisagé était le l'isogonal de l'autre, étendait le résultat d'Hatzipolakis aux couples de points isogonaux d'un triangle.

26 Yiu P., Reflections, Message Hyacinthos # 10534 du 24/09/2004 ;

https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/10534

18

18

9. LA PARALLÈLE DE HUNG 27

Tran Quang Hung

VISION

Figure :

A

B C

H

O

iH

C'

A'

B'

iH*

Traits : ABC un triangle, O, H le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre d eABC, iH l'isotomique de H relativement à ABC A'B'C' le triangle iH-pédal de ABC et iH* l'isogonal de iH relativement à A'B'C'. Donné : (iH*iH) est parallèle à (OH).

VISUALISATION 28

27 Line is parallel to Euler line, AoPS du 25/01/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/q1h1580550p9750864 Parallel to the Euler’s line, AoPS du 26/01/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1773954_parallel_to_the_eulers_line 28 Telv Cohl, property 2, Telv Cohl’s Geometry Blog ; https://artofproblemsolving.com/community/c284651h1273660

19

19

A

B C

H O

iH

C'

A'

B'

iH*

Y

X

Z

J

• Notons XYZ le triangle iH*-pédal de A'B'C' et J le centre du cercle circonscrit à XYZ. • D'après J.J.A. Mathieu 29, J est le milieu de [iHiH*]. • Par culture géométrique, relativement à A'B'C', iH étant l'isogonal de iH*, le triangle iH*-pédal XYZ est homothétique au triangle iH-antipédal i.e. ABC.

A

B C

H O

iH

C'

A'

B'

iH*

Y

X

Z

J iH**

• Notons iH** l'isogonal de iH relativement à ABC. • D'après 7. Problème ?, iH** est sur (OH). • Scolies : (1) (AiH**) // (XiH*) (2) (BiH**) // (YiH*) (3) (CiH**) // (ZiH*). • Conclusion : XYZ étant homothétique à ABC, J et iH* ayant pour homologues resp. O et iH**, (iH*iH) est parallèle à (OH).

29 Ayme J.-L., Pedal cevian line, G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ; http://jl.ayme.pagesperso_orange.fr/

20

20

10. LA PARALLÈLE D'AYME

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C

O

X

Ks

A'

P

0 N

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, Ks le point de Kosnitza de ABC, X l'inverse de Ks relativement à 0, A' le symétrique de X par rapport à (BC) N le centre du cercle d'Euler.

P le second point d'intersection de (AA') avec 0, Donné : (PX) est parallèle à (ON). 30 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 31

30 Ayme J.-L., A new parallel to the Euler line, AoPS du 05/04/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1222785_a_new_parallel_to_the_euler_line Ayme J.-L., Une nouvelle parallèle à la droite d’Euler, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1248179

31 Ayme J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p. 76-77 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

21

21

11. LA Ks'-PARALLÈLE

VISION

Figure :

A

B C

I

A'

B'

C'Ks' E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, I le centre de ABC, A'B'C' le triangle de contact de ABC

et Ks' le point de Kosnitza de A'B'C'. Donné : (IKs') est parallèle à E. 32 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 33 Scolie : l'orthocentre du triangle I-cévien

32 Nice property of Kosnita Point, AoPS du 18/06/2011 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h412741p2317616 http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h412741p3632970

33 Ayme J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p. 62-63 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

22

22

A

B C

I C'

B'

A'

H'

E

• Notons H' l'orthocentre de A'B'C'. • Conclusion : (IH') est parallèle à E. 34

34 The Euler line, AoPS du 22/10/2007 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h171583

parallel to Euler line !, AoPS du 02/08/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h491764p2761508 Ayme J.-L., Le point de Cézar Kosnitza, G.G.G. vol. 26, p. 64-65 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

23

23

12. LA Fe- PARALLÈLE

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C

O I

0

X

H

Fe

E

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, E la droite d'Euler de ABC, I le centre de ABC, X l'inverse de I et Fe le point de Feuerbach de ABC. Donné : (FeX) est parallèle à E. 35 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur 36.

35 Ayme J.-L., Parallel to the Euler's line, Mathlinks du 13/04/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=47. 36 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6, p. 11-12 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/