18η Διάλεξη - Γενική λύση μη-ομογενούς
25
Γραmmική ΄Αλγεβρα Επίλυση m × n συστήmατος Πανεπιστήmιο Θεσσαλίας 25 Νοεmβρίου 2013
-
Upload
manolis-vavalis -
Category
Documents
-
view
4.543 -
download
1
description
υπολογισμός όλων των λύσεων
Transcript of 18η Διάλεξη - Γενική λύση μη-ομογενούς
Γραμμική Αλγεβρα
Επίλυση m × n συστήματος
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
25 Νοεμβρίου 2013
Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = bτότε Aw = b και Av = bσυνεπώς A(w − v) = 0.
Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = b
τότε Aw = b και Av = bσυνεπώς A(w − v) = 0.
Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = bτότε Aw = b και Av = b
συνεπώς A(w − v) = 0.
Παρατήρηση
Θεώρημα
Δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις ενός
μη-ομογενούς συστήματος διαφέρουν κατά μία λύση του
αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.
Απόδειξη.
΄Εστω w και v δύο λύσεις του Ax = bτότε Aw = b και Av = bσυνεπώς A(w − v) = 0.
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b
⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1b
Ax = LUx =
1 0 02 1 0−1 2 1
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2b3
1 3 3 2
0 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2 − 2b1
b3 − 2b2 + b1
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b
⇒ Ux = L−1b
Ax = LUx =
1 0 02 1 0−1 2 1
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2b3
1 3 3 2
0 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2 − 2b1
b3 − 2b2 + b1
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1b
Ax = LUx =
1 0 02 1 0−1 2 1
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2b3
1 3 3 2
0 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2 − 2b1
b3 − 2b2 + b1
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1b
Ax = LUx =
1 0 02 1 0−1 2 1
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2b3
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2 − 2b1
b3 − 2b2 + b1
΄Υπαρξη Λύσης Ax = b
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ Ux = L−1b
Ax = LUx =
1 0 02 1 0−1 2 1
1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2b3
1 3 3 2
0 0 3 10 0 0 0
uvwy
=
b1b2 − 2b1
b3 − 2b2 + b1
Ορισμοί
xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγενoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που
δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.
Ορισμοί
xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγενoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που
δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.
Ορισμοί
xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγενoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που
δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.
Ορισμοί
xγενικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγενoυς : όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που
δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.
Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax = b
1 Απαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2 Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη)
3 Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0
και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγενoυς)
4 xγενικη = xειδικη + xoµoγενoυς
Παράδειγμα
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→
1 0 00 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x1x2x3x4x5
=
000
⇒
s1 =
−31000
, s2 =
−20−410
, s3 =
10301
Παράδειγμα
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x1x2x3x4x5
=
000
⇒
s1 =
−31000
, s2 =
−20−410
, s3 =
10301
Παράδειγμα
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x1x2x3x4x5
=
000
⇒
s1 =
−31000
, s2 =
−20−410
, s3 =
10301
Παράδειγμα
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x1x2x3x4x5
=
000
⇒
s1 =
−31000
,
s2 =
−20−410
, s3 =
10301
Παράδειγμα
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x1x2x3x4x5
=
000
⇒
s1 =
−31000
, s2 =
−20−410
, s3 =
10301
Παράδειγμα (συνέχεια)
Ax =
527
⇒ LUx =
527
⇒ Ly =
527
,Ux = y
1 0 00 1 01 1 1
y1y2y3
=
527
⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0⇒ y =
520
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x10x300
=
520
⇒ x1 = 5, x3 = 2⇒ xειδικη =
50200
Παράδειγμα (συνέχεια)
Ax =
527
⇒ LUx =
527
⇒ Ly =
527
,Ux = y
1 0 00 1 01 1 1
y1y2y3
=
527
⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0⇒ y =
520
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x10x300
=
520
⇒ x1 = 5, x3 = 2⇒ xειδικη =
50200
Παράδειγμα (συνέχεια)
Ax =
527
⇒ LUx =
527
⇒ Ly =
527
,Ux = y
1 0 00 1 01 1 1
y1y2y3
=
527
⇒ y1 = 5, y2 = 2, y3 = 0⇒ y =
520
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
x10x300
=
520
⇒ x1 = 5, x3 = 2⇒ xειδικη =
50200
Παράδειγμα (συνέχεια)
xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς
=
50200
+c1
−31000
+c2
−20−410
+c3
10301
.
Παράδειγμα (συνέχεια)
xγενικη = xειδικη+xoµoγενoυς =
50200
+c1
−31000
+c2
−20−410
+c3
10301
.
