Múltiplos y submúltiplos de π

• Hemos deducido que la circunferencia tiene 2π radianes. En ocasiones hay necesidad de considerar ángulos de varias vueltas. Por ejemplo.

Si una rueda de bicicleta gira 6 vueltas,

6 Vueltas

• Un volante ha girado un ángulo de 750 radianes.

750 Radianes

• Es muy frecuente que un ángulo se exprese en términos de π, cuando se mide en unidades cíclicas, por ejemplo: π/2, 3π, π/6.

• Para calcular el valor en grados de un ángulo expresado de esta manera, basta con sustituir πpor su equivalente en grados (180). Por ejemplo:

• Recíprocamente, el valor en unidades cíclicas(en términos de π) de un ángulo expresado en grados se encuentra multiplicando la medida en grados por π/180. Por ejemplo:

Expresa el numero de radianes comprendidos en los siguientes ángulos, así como la medida en grados.

2π = __________ = __________- π = __________ = __________5 π = __________ = __________- π/6 = __________ = __________π/12 = __________ = __________6 π = __________ = __________

Encuentra el valor en grados de los siguientes ángulos.

Expresa los siguientes ángulos en términos de π.

10° =-150° =20° =36° =71° =

Radianes π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

Grados

• La longitud de una circunferencia tiene como formula:

C = 2 π r• Un arco de circunferencia tiene 2 medidas:

Angular: (en grados o radianes)Longitudinal: (en unidades de longitud)

• Para calcular la longitud de un arco de una circunferencia usamos la formula:

Longitud = (r) (ángulo) “Si el ángulo esta en unidades cíclicas”

Arco

• ¿Cuál es la longitud de arco de un circulo de 3.5 radianes, si el radio de la circunferencia mide 6 cm?

longitud = (6) (3.5) = 21 cm

• En ese mismo circulo ¿Cuál es la longitud de un arco de 75°?

longitud = (6) (π) (75) = 7.854 cm180

Porque??

Porque??

• Una rueda de la fortuna tiene un radio de 5m. ¿Qué distancia recorre una canastilla en cada vuelta completa? ¿y en media vuelta? ¿y en un radian?

5m.

360°

2π

6.2832

• Expresa la longitud de los siguientes arcos:

• Calcula la longitud (convierte primero ° a Radianes)

8m 5cm

7cm

134°

7m

90°

• Un Burro ha caminado alrededor de una noria durante una distancia de 500m. Si el radio del circulo es de 6m, ¿Cuántas vueltas habrá dado?

Tarea:

• Expresa la longitud de los siguientes arcos:

• Calcula la longitud (convierte primero ° a Radianes)

6m 15m

48m

232° 123km

320°

1cm

12cm

300°

• Resuelve el siguiente problema:

Un volante gira 12cm en torno a un eje en un circulo de 4.5cm de radio.

¿Cuál es la amplitud del ángulo descrito?