Capítulo 7Transformações de Tensão e Deformação

O Círculo de Mohr

Grupo 9:André P. Santos RA:070166Edward O. Schaden RA:060316Pedro G. Rubira RA:073592Túlio J. Silva RA:072544

Transformação do Estado Plano de Tensão

Para fins de análise das forças e tensões de cisalhamento adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes

(σz=τxz=τzy=0), assim o plano de tensão Q fica definido a partir de σx, σy, τxy.

Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ângulo θ, definindo o plano de tensão Q a partir de σx', σy', τx'y'.

Transformação do Estado Plano de Tensão

Através da analise do sistema rotacionado pod-se obster as tenões msotradas na figura abaixo.

Transformação do Estado Dedução das equações de σx', σy', τx'y'

A partir dos valoros das forças em cada eixo podem-se deduzir as equações para os coeficientes que caracterizam o plano de tensão.

Resolvendo a primeira equação para σx' e a segunda para τx'y.

Transformação do Estado Dedução das equações de σx', σy', τx'y'

Através de utilização de relaçoes trigonométricas podemos reescrever as equações como:

Substituíndo-se θ por θ + 90º na primeira equação obtêm-se a equação para σy':

Somando as equações para σx' e σy' termo a termo obtêm-se a equação:

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Com intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos a seguinte

expressão:

Definindo as variáveis :

Podemos representar essa equação por meio de circunferência

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Ponto A: Tensão Normal MáximaPonto B: Tensão Normal Mínima

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Para os pontos de Tensão Máxima Temos:

Assim obtemos o seguinte parâmetro

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

A equação define 2 valores 2θp defasados 180 graus portanto θp graus defasados

TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Círculo de Mohr para estado plano tensão

σx, σy e Txy X(σx, -Txy) Y(σy, +Txy)

Ponto C é a intersecção da reta XY com o eixo σ.

A e B: pontos onde o círculo intercepta o eixo σ.

Método gráfico simples para resolver exercícios de estado plano tensão

Mesmo círculo pode ser obtido para componentes σx', σy' e Txy'

Mesmo esquema para pontos X' e Y'.

Novamente, mesmo sentido de rotação para o círculo e para os planos de tensão

Tensão de cisalhamento máxima para θ = 45°

Se T (tensão de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horário

O ponto X ou Y correspondente a essa fase está acima do eixo σ.

e vice versa.

Convenção para σ tensões normais:

Tração → positiva

Compressão → negativa

Exemplo: Construção do Círculo de Mohr

A tensão normal que atua no eixo x é positiva e a tensão de cisalhamento tende a girar o elemento no sentido anti-horário.

Figura 1: Corpo em estudo

(a) Construção do círculo de Mohr

O ponto X será representado à direita do eixovertical e abaixo do eixo horizontal. De formaanáloga, o ponto Y que representa a face opostadeverá ser representado a 180° de X.Traçando a linha XY, obtemos o centro C do círculode Mohr; sua abscissa é

σmédio = (σx + σy) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa

Como os lados do triângulo CFX são:

CF = 50 – 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa

O raio do círculo é R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50 MPa Figura 2: Diagrama

do círculo

(b) Planos principais e tensões principais

As tensões principais são:

σmáx = OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPaσmín = OB = OC – BC = 20 – 50 = -30 MPa

Como o ângulo ACX representa 2θp, escrevemos:

tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30

2θp = 53,1° (ângulo no circulo) Θp = 26,6° (ângulo do objeto)

Figura 2:Diagramado círculo

(c) Tensão de cisalhamento máxima

Com mais uma rotação de 90° no sentido anti-horário faz CA coincidircom CD na Figura 4, uma rotação adicional de 45° no sentido anti-horário faráo eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo à tensão de cisalhamentomáxima na Figura 3.

Nota-se na Figura 4 que Tmáx = R = 50 MPa e que a tensão normalcorrespondente é σ' = σméd = 20 MPa. Como o ponto D está localizado acimado eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas facesperpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenhama tendência de rodar o elemento no sentido horário.

Figura 3 Figura 4

FIM