αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

58
2014 - 2015 Τελευταία ενημέρωση: 5 / 12 / 2014 Όλα τα θέματα της τράπεζας με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Παπαδόπουλος Παναγιώτης

Transcript of αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

Page 1: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

2014 - 2015

Τελευταία ενημέρωση: 5 / 12 / 2014

Όλα τα θέματα της τράπεζας με τις λύσεις τους

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Παπαδόπουλος Παναγιώτης

Page 2: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[2]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16950

ΛΥΣΗ

α)

322

1

yx

yx

β)

Το σύστημα είναι αδύνατο διότι οι ευθείες που παριστάνουν στο επίπεδο τις εξισώσεις του

συστήματος, είναι παράλληλες.

Page 3: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[3]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16954

ΛΥΣΗ

α) 4x+y= 5

β)

Το σύστημα είναι αδύνατο διότι οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά τις εξισώσεις του συστή-

ματος είναι παράλληλες.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16957

ΛΥΣΗ

α) Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη. Με βάση τα δεδομένα του

προβλήματος έχουμε:

27 yx

Page 4: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[4]

Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ηλικίες των δύο παιδιών διότι έχουμε μία εξίσωση με δύο

αγνώστους.

β)

5

27

yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις έχουμε:

16322 xx

Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

11271627 yyyx

Συνεπώς ο Μάρκος είναι 16 χρονών και ο Βασίλης 11.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16960

ΛΥΣΗ

α) (ε): y =

λ1x+ β1 και (η): y

=

λ2x+ β2

Η ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία (0, 2) και (2, 0) επομένως:

1

2

22

2

220

2

20

02

1

1

1

1

1

1

11

11

λ

β

λ

β

λ

β

βλ

βλ

Άρα (ε): y= x+2

Η ευθεία (η) διέρχεται από το σημείο (4, 0) και σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 450

επομένως:

Page 5: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[5]

4

1

140

1

40

45

2

2

2

2

22

02

β

λ

β

λ

βλ

εφλ

Άρα (η): y=x4

β)

1

3

43

3

4

62

4

24

4

2

y

x

y

x

xy

x

xy

xx

xy

xy

Άρα το σημείο τομής των δύο ευθειών είναι: Α(3, 1)

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17647

ΛΥΣΗ

α) Για (x, y) =

(2, 3) έχουμε:

γβα 32 (1)

Συνεπώς θα μπορούμε να επιλέξουμε οποιουσδήποτε αριθμούς που να ικανοποιούν τη σχέση (1),

π.χ. α=1, β=1, γ= 1

β) Αρκεί D=0 και Dx≠0.

αβαββα

D 202021

0

(2)

βγγββγ

Dx 4028028

0

Συνεπώς μπορούμε να επιλέξουμε: α=1, β=2 και γ=1≠42

Page 6: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[6]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17650

ΛΥΣΗ

α)

xyyx

yx

42

3822

β)

42

19

824

19

824

19

42

3822

yx

xy

yx

xy

xyyxxy

yx

xyyx

yx

5

14

5

519

5

19

153

19

4192

19

x

y

x

y

x

xy

x

xy

xx

xy

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 5cm και 14 cm.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17651

ΛΥΣΗ

α) Αν x είναι το πλήθος των δίκυκλων και y των τετράτροχων οχημάτων, τότε:

270042

830

yx

yx

Page 7: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[7]

β)

8301350

830

13502830

830

13502

830

270042

830

y

yx

yy

yx

yx

yx

yx

yx

520

310

520

520830

y

x

y

x

Άρα τα δίκυκλα είναι 310 και τα τετράτροχα οχήματα 520.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17659

ΛΥΣΗ

α)

10

1

01

1

0

1

11

1

1

1 22

2

2

2

22

xήx

xy

xx

xy

xx

xy

xx

xy

yx

xy

Αν x=0 τότε y=1

Αν x=1 τότε y=2

β) Η παραβολή y=x2+1 και η ευθεία xy=1 έχουν δύο κοινά σημεία, το Α(0, 1) και το Β(1, 2)

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17717

ΛΥΣΗ

Page 8: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[8]

α)

3741614

25

yx

yx

β)

3741640014

25

374251614

25

3741614

25

xx

xy

xx

xy

yx

yx

13

12

13

25

262

25

4003742

25

x

y

x

xy

x

xy

x

xy

Άρα 13 είναι οι σειρές του κάτω διαζώματος και 12 οι σειρές του κάτω διαζώματος.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17703

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι οι ευθείες παράλληλες, θα πρέπει το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών (ε1) και

(ε2) να είναι αδύνατο.

61

12

yxλ

yx

Θα πρέπει να ισχύει:

3012011

120

λλ

λD

Για λ=3 το σύστημα γίνεται:

62

12

yx

yx (το οποίο είναι προφανώς αδύνατο, διότι τα πρώτα

μέλη των εξισώσεων είναι ίσα, ενώ τα δεύτερα μέλη είναι διαφορετικά)

β)

Page 9: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[9]

γ) Για να ταυτίζονται οι ευθείες, θα πρέπει το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών (ε1) και (ε2) να

έχει άπειρες λύσεις.

Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει και πάλι να ισχύει D=0 άρα (όπως αποδείχθηκε στο α΄ ερώ-

τημα) λ=3. Όμως για λ=3 το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε δεν υπάρχει τιμή του λ ώστε οι ευ-

θείες να ταυτίζονται.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17734

ΛΥΣΗ

α)

95

26

3412

26

3262

26

32

62

x

xy

xx

xy

xx

xy

yx

yx

5

9

5

12

5

9

5

926

x

y

x

y

Άρα Μ(5

9,5

12)

β) 7

2-α-27α255αααα 12275

5

12

5

93

Page 10: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[10]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_18637

ΛΥΣΗ

α) Για x=1 και y= 4 έχουμε:

γ4βαγβα 41

Συνεπώς για β=1, γ=1 προκύπτει α = 4+1 = 5

β) Αν α=1, β= 2 και γ=8 το σύστημα γίνεται:

82

92

yx

yx το οποίο προφανώς είναι αδύνατο

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_18638

ΛΥΣΗ

Page 11: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[11]

α) Για x=1 και y=5 έχουμε:

γβα 5

Η παραπάνω σχέση επαληθεύεται από τις τιμές: α=1, β=1 και γ=4. Άρα αν α=1, β=1 και γ=4, το

σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) Αν α=2, β=1 και γ=3, τότε το σύστημα γίνεται:

32

32

yx

yx το οποίο έχει άπειρες λύσεις.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17709

ΛΥΣΗ

α)

932

52

yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 4y= 4 y= 1

Επομένως η πρώτη εξίσωση γίνεται: 2x1=5 2x=6 x=3

Page 12: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[12]

Συνεπώς το σημείο τομής των ε1, ε2 είναι Α(3, 1)

723

1024

723

52

yx

yx

yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: x= 3 x=3

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γίνεται: 6+y=5 y=1

Συνεπώς το σημείο τομής των ε1, ε3 είναι το Α(3, 1)

β) Οι ευθείες ε1, ε2, ε3 προφανώς διέρχονται από το σημείο Α(3, 1). Άρα το κοινό σημείο των ε2, ε3

είναι το Α(3, 1).

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17683

ΛΥΣΗ

α) Για λ= 3 το σύστημα γίνεται:

644

644

644

322

6134

3213

yx

yx

yx

yx

yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε: 0x+0y=0, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Παίρνουμε την πρώτη εξίσωση κι έχουμε:

2

32322322

x

yxyyx

Συνεπώς το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y)=

2

32x,x , xIR.

Για x=1, μία λύση του συστήματος θα είναι: (x, y)=

2

51,

β) Για λ= 3 το σύστημα γίνεται:

624

324

624

324

6134

3213

yx

yx

yx

yx

yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε: 0x+0y= 9, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Page 13: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[13]

γ) Για λ= 0 το σύστημα γίνεται:

6812

23

6234

23

64

32

6104

3210

yy

yx

yy

yx

yx

yx

yx

yx

2

1

2

223

2

23

189

23

y

x

y

x

y

yx

y

yx

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (x, y) = (1, 2)

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_20328

ΛΥΣΗ

α)

1λλyλx

2yxλ

1-λλλλλλ

λD 21

1-λλλλλ

Dx

121

12

121

2 22

λλλλλλλλλ

λDy

β) Αν λ≠0 και λ≠1 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:

λλλ

λ

D

Dx x 1

1

1

και

11

1

λλ

λλ

D

Dy

y

Άρα (x, y)= (λ

1, 1)

Page 14: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[14]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17834

ΛΥΣΗ

α) Έστω x η ηλικία της μητέρας, y του πατέρα και ω του παιδιού. Έχουμε:

115ωyx

ω

y

ωx

3

11

3

β)

53ω

ωy

ωx

53ωωω

ωy

ωx

115ωωω

ωy

ωx

115ωyx

ω

y

ωx

423

3

11

3

43119

3

11

3

3

113

3

11

3

3

11

3

y

x

y

x

1

55

45

1

153

11

153

Άρα ο πατέρας είναι 55 χρονών, η μητέρα 45 και το παιδί 15.

Page 15: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[15]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17835

ΛΥΣΗ

α)

352

2

yxλ

3yλx

λλλλλλλ

λD

33945225

52

21 22

λλλλλ

Dx

33396315231553

23

λλλλλ

Dy

333963323332

31

Αν D≠0 λ≠3 και λ≠3 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, άρα οι ευθείες έχουν μοναδικό

κοινό σημείο

Αν D=0 λ=3 ή λ=3 τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Πιο συγκεκριμέ-

να:

για λ=3 το σύστημα γίνεται:

35

35

yx

yx οπότε έχει άπειρες λύσεις και οι ευθείες ταυτίζονται

για λ=3 το σύστημα γίνεται:

5

35

3

355

3

yx

yx

yx

yx οπότε είναι αδύνατο, άρα οι

ευθείες δεν τέμνονται

β)

λλλ

λ

D

Dx x

3

3

33

33 και

λλλ

λ

D

Dy

y

3

3

33

33

Άρα Α=

λ,

λ 3

3

3

3

γ) 033339336333

32

3

332

λλλλ

λλyx .

Page 16: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[16]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17839

ΛΥΣΗ

α)

31

331

yαx

yxα

2243131111

31 22

αααααα

α

αD

236393391313

33

αααα

αDx

236333331331

31

αααα

αDy

Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε θα πρέπει να ισχύει:

220220 ακαιαααD

Τότε η λύση του συστήματος είναι:

x0=

2

3

22

23

ααα

α

D

Dx και

2

3

22

230

ααα

α

D

Dy

y

Άρα αν είναι (x0, y0) η μοναδική λύση του συστήματος, αποδείχθηκε πως x0 = y0.

β) 220220 αήαααD

Αν α=2 τότε το σύστημα γίνεται:

33

33

yx

yx

Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε 0=0, άρα το σύστημα είναι αόριστο.

yxyx 3333

Επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y) = (33y, y) με yIR

Αν α= 2 τότε το σύστημα γίνεται:

3

1

3

333

yx

yx

yx

yx

Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε 0= 4, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Page 17: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[17]

γ) Για α=3, το σύστημα έχει μοναδική λύση, άρα οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α

5

3

5

3,

Για α=2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, άρα οι ευθείες ταυτίζονται.

Για α= 2 το σύστημα είναι αδύνατο, άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17850

ΛΥΣΗ

α) Έστω x η ηλικία του κάθε κοριτσιού (που είναι δίδυμα) και y του αγοριού.

24

142

yx

yx

β)

024142

214

24214

214

24214

214

24

14222 xx

xy

xx

xy

xx

xy

yx

yx

)(xx

xy1

0127

214

2

14849 Δ

3

4

2

1721

,x

Άρα:

4

6

3

8

43

2141

x

x

y

xήx

xy)(

Επειδή 2x<y (με βάση την πληροφορία (3) που έδωσε ο Κώστας), καταλήγουμε ότι x=3 και y=8

Επομένως τα κορίτσια είναι 3 ετών και το αγόρι 8.

Page 18: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[18]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20336

ΛΥΣΗ

α)

2λ6yx

λyx 142

01641261

42

D

Συνεπώς για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ, το σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) λ-722λ-148λλλλλ

λDx

4662416

62

41

133314221

12

λλλλ

λ

λDy

8

7

16

72 λλ

D

Dx x

, 16

13

λ

D

Dy

y

Άρα (x, y) = ( 8

7 λ,

16

13 λ)

γ)

1913721916

1316

8

716191616 λλ

λλyx

2314191933214 λλλλ

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20337

ΛΥΣΗ

Page 19: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[19]

α) Έστω x το μήκος και y το πλάτος του ορθογωνίου.

xyyx

yx

223

2422

β)

xyyx

xy

xyyxxy

yx

xyyx

yx

632

12

2632

12

223

2422

21263362

12

1261232

12

xxxx

xy

xxxx

xy

03017

12

2 xx

xy

1691202893014172 Δ

2

15

2

131721

,x

Αν x=15 τότε y=1215=3<0 (απορρίπτεται διότι το y εκφράζει το πλάτος του ορθογωνίου)

Αν x=2 τότε y=122=10

Επομένως οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 2 cm και 10 cm.

Page 20: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[20]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 – ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16962

ΛΥΣΗ

α) f(5)=2 και f(4)=9

Εφόσον η f είναι γνησίως μονότονη κι επιπλέον ισχύει ότι )(f)(f 4545 , η f είναι γνησίως

φθίνουσα.

β) 003535535235

xxx)(f)x(f)x(ff

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17688

ΛΥΣΗ

α) 012 x για κάθε xIR, οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Αf = IR .

012101211

21

22201

2

2

xxxxxx

x)x(f

x

(ισχύει)

β) 1010211211

21

222

2

xxxxxxx

x)x(f

Άρα για x=1, η f παρουσιάζει μέγιστο το f(1)=1

γ) Για κάθε xIR έχουμε:

xIR

Page 21: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[21]

)x(fx

x

)x(

x)x(f

1

2

1

222

Επομένως η f είναι περιττή.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17732

ΛΥΣΗ

α) f(2) =

3 και f(4)

=

5

Εφόσον η f είναι γνησίως μονότονη και )(f)(f 4242 , συμπεραίνουμε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα.

β) 02 )(f

00000202

)(f)(f)(f)(ff

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_19914

ΛΥΣΗ

α) 5550 22 )x(fxx

00555 22 xxx)x(f

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0, το f(0)= 5.

β) Για κάθε xΙR έχουμε:

xΙR

)x(fx)x()x(f 55 22

Άρα η f είναι άρτια.

Page 22: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[22]

γ) Η Cf προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της Cg κατά 5 μονάδες κάτω.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_18632

ΛΥΣΗ

α) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, 2] και γνησίως αύξουσα στο [2, +).

Η f παρουσιάζει ελάχιστο το f(2) = 3

β) Η Cg προέκυψε από τη μετατόπιση της Cf κατά 4 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες κάτω. Συνεπώς:

g(x) = f(x4) 4.

Page 23: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[23]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_18634

ΛΥΣΗ

α) 1321962118122191222222 xxxxxxx)x(f

β)

Η Cf προέκυψε από μετατόπιση της Cg κατά 3 μονάδες δεξιά και 1 μονάδα πάνω

Page 24: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[24]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17698

ΛΥΣΗ

α) f(x1) < f(x3) < f(x2)

β) H f δεν είναι γνησίως μονότονη στο IR, διότι η γραφική παράστασή της τέμνει τον οριζόντιο

άξονα σε 4 διαφορετικά σημεία.

Επιπλέον, αν η f ήταν γνησίως αύξουσα θα έπρεπε να ισχύει: x1<x2<x3 f(x1) < f(x2) < f(x3) ενώ

αν ήταν γνησίως φθίνουσα θα έπρεπε να ισχύει: x1<x2<x3 f(x3) < f(x2) < f(x1). Όμως από τα α ́

ερώτημα, γνωρίζουμε ότι f(x1) < f(x3) < f(x2), άρα η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

γ) Η f στο x2 δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, διότι υπάρχουν τιμές της συνάρτησης που είναι

μεγαλύτερες του f(x2)

(Παρόλα αυτά στο x2 η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο)

Page 25: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[25]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16965

ΛΥΣΗ

α) 1214454222 xxxxx)x(f

β) Η Cf προκύπτει από μετατόπιση της y=x2 κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και 1 μονάδα πάνω.

Page 26: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[26]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_20329

ΛΥΣΗ

α) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 2] και γνησίως αύξουσα στο [2, +).

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=2, το f(2)=0

β) Η Cg προκύπτει από μετατόπιση της Cg κατά 5 μονάδες προς τα δεξιά και 2 μονάδες κάτω.

2322522525 xxx)x(f)x(g

Page 27: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[27]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17833

ΛΥΣΗ

α) Πρέπει: 808 xx και 808 xx

Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι: Αf = [8, 8]

β) Για κάθε x[8, 8] ισχύει:

x[8, 8]

)x(fxxxx)x()x()x(f 888888

Συνεπώς η f είναι περιττή.

γ) Η σωστή γραφική παράσταση είναι η (iii), διότι είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων

(περιττή συνάρτηση) και διαρκώς «κατεβαίνει» (γνησίως φθίνουσα συνάρτηση).

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι f(8) = 16 = 4 και η μέγιστη τιμή της f(8)

= 16 = 4.

δ) Για την g έχουμε:

3883 xx)x(f)x(g με Αg = [8, 8]

38833 xx)x(f)x(f)x(g

Άρα g(x)≠g(x) και g(x)≠g(x) οπότε η g δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή

Για την h έχουμε:

xxxx)x(f)x(h 11538383 με Ah = [11, 5]

Επομένως δεν ισχύει ότι για κάθε xAh και xAh (11Ah ενώ 11Ah).

Page 28: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[28]

Άρα η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17842

ΛΥΣΗ

Page 29: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[29]

α)

02168

322

024

322

02

4

162

04

160

2

2

2

2

2

2

dcc

dc

dc

dc

dc

dc

)(f

)(f

6

42

6

32236

6

322

0488

322

032168

322 222

c

d

c

d

c

dc

c

dc

c

dc

6

2

c

d

Άρα f(x)= 262

1 2x

β) i. Σημεία τομής με τον xx :́

48

0

2626

0

46

0

0262

1

0

22xήx

y

xήx

y

x

y

x

y

Τα σημεία τομής της Cf με τον xx ́είναι: Β(4, 0) και Γ(8, 0)

Σημεία τομής με τον yy΄:

16

0

22

6

0

262

1

02

2y

x)(

y

x

xy

x

Τo σημείo τομής της Cf με τον yy ́είναι: Α(0, 16)

ii.

H γραφική παράσταση της f προήλθε με μετακίνηση της g κατά 6 μονάδες δεξιά και 2

μονάδες κάτω.

iii. H f παρουσιάζει ελάχιστο για x=6, το f(6)=2

H f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 6] και γνησίως αύξουσα στο [6, +)

Page 30: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[30]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20332

ΛΥΣΗ

α) 21212212122222 xxxxxxx)x(f

H γραφική παράσταση της f προκύπτει αν η γραφική παράσταση της φ μετατοπιστεί κατά 1

μονάδα προς τα δεξιά και 2 μονάδες προς τα πάνω.

Page 31: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[31]

β) i. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 1] και γνησίως φθίνουσα στο [1, +)

ii. H f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=1, το f(1)=2

iii. Γεωμετρικά: Η εξίσωση f(x)=κ, με κ<2, έχει δύο λύσεις, διότι η ευθεία y=κ και η γραφική

παράσταση της f, έχουν 2 κοινά σημεία για κ<2.

Αλγεβρικά: 01201212 κxxκxxκxxκ)x(f 222

κ)-4(24κ-844κ-41)-κ(Δ 44

Αν κ<2, τότε Δ>0 οπότε η εξίσωση f(x)=κ έχει 2 λύσεις.

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20334

ΛΥΣΗ

α) 220 -γ)(f

1β2α02βα)(f 2402 (1)

1βα02βα)(f 22402 (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε: 2

1αα 24

Από τη σχέση (1) έχουμε: 01 β1β1β2

12

Page 32: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[32]

β)

2

082

2

424

2

222

2

22

2222

xy

xx

xy

xx

xy

xx

xy

xy

36324 Δ

4

2

2

6221

,x

Για x=2: y=2+2=0

Για x=4: y=(4)+2=6

Άρα τα σημεία τομής είναι: Α(2, 0) και Δ(4, 6)

γ) Έστω 2

5

2

5

2

22 xx4,5f(x)x)(φ

Τα σημεία τομής των Cφ και της Cg θα είναι:

2

01

2

012

2

425

2

22

5

2

2

5 22222

xy

x

xy

xx

xy

xx

xy

xx

xy

xy

3

1

y

x

Άρα υπάρχει ένα μοναδικό κοινό σημείο, το (1, 3)

Page 33: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[33]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 – ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_16968

ΛΥΣΗ

α) Για x=4

π έχουμε:

033333443

συνπ

πσυν

Επομένως η τιμή x=4

π είναι λύση της εξίσωσης.

β)

-1y

πκπx

-1y

πκπ4x

-1y

υνπσ4xσυν

-1y

-14xσυν

-1y

4xσυνy42

2

Άρα οι ζητούμενες τετμημένες είναι 42

πκπx με κΖ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17652

ΛΥΣΗ

α) 121121 222συνωημωσυνωημωωσυνωημσυνωημω

0002 συνωήημωσυνωημω

Page 34: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[34]

β) Ζκ,πκπωήκπωημημωημω 2200

Ζκπ

κπωπ

συνσυνωσυνω 2

22

0

Άρα συνοψίζοντας όλες τις δυνατές τιμές της γωνίας ω, έχουμε: 2

κπω , κΖ.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17663

ΛΥΣΗ

α) 5

4xσυνή)

2

πxτιόδιπτεταιίαπορρ(

2

1-xσυν4xσυν1xσυν 0052

β)

25

1611

25

161

5

41

2

xημxημxημxσυνxημ 22222

5

3

25

9 20

ημxxημ

πx

2

4

3

5

45

3

υνxσ

μxηxεφ

σφx=3

4

ημx

xσυν

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17681

ΛΥΣΗ

Page 35: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[35]

α) 3211221222211 1xημ1xημxημxημ

Άρα 31 )x(f οπότε η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η ελάχιστη τιμή το 1.

β) 2

223π

ημxημ1xημ2xημ31xημ)x(f

Ζκ,π

κπxπ

πκπxήπ

κπx 2

22

22

2

4

3

4

1

4

11

4

1

222

22

22020 κκ

ππκπ

ππ

πκππx

0

κΖκ

. Άρα x=2

π

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17692

ΛΥΣΗ

α) 0συνxxσυνxπσυνxπ

ημ

2

β)

2002

πσυνxσυνxσυνxσυνxσυν-xσυνx

2

πμ-ηxσυν

Ζκ,π

κπxπ

κπxήπ

κπx 22

22

2

2

3

2

1

2

3

222

22

2020 κ

πκπ

πππκπ

ππ

πκππx

Επομένως, εφόσον γνωρίζουμε ότι κΖ, προκύπτει: κ=0 ή κ=1

Άρα: x=2

π ή x=

2

Page 36: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[36]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17693

ΛΥΣΗ

α) 60

10

6

πσυν

πσυν

60

15

4

πσυν

πσυν ,

60

18

10

3

10

3

10

7

10

7

10

17 πσυν

πσυν

ππσυν

πσυν

ππσυν

πσυν

6410

17

60

10

60

15

60

18

260

18

60

15

60

100

πσυν

πσυν

πσυν

πσυν

πσυν

πσυν

ππππ :xσυν

β) ππ

xπππ

πxxππ

xxπ 2212222

3

22

3

2

3112

πημxπ

ημxπ

ημπ

ημπ

π 2

:xσυν

2222222

11

022

1 1

2x

πημx

πημ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17704

Page 37: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[37]

ΛΥΣΗ

α) ππ

T 2

2

Μέγιστη τιμή: |3|=3

Ελάχιστη τιμή: |3|

=

3

β)

x 0 4

π

2

π

4

3π π

2x 0 2

π π

2

3π 2π

συν2x 1 0 1 0 1

f(x)=3συν2x 3 0 3 0 3

Page 38: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[38]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17699

ΛΥΣΗ

α)

25

16

25

911

25

91

5

31 2222

2

22 φσυνφσυνφσυνφσυνφσυνφημ

5

4

25

1620

συνφσυνφ

πφ

β) 5

3 ημφ)φπ(ημημθ

5

4 συνφ)φπ(συνσυνθ

5

3 ημφ)φπ(ημημω

5

4 συνφ)φπ(συνσυνω

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17725

ΛΥΣΗ

α) xημ2xημxημxπ

συνxπημ)x(f 33332

3

Page 39: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[39]

β) T=3

Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση στο διάστημα [0, 3

2π]

x 0 6

π

3

π

2

π

3

f(x) 0 2 0 -2 0

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17736

ΛΥΣΗ

α)

xσυνxσυν

xσυνxσυν

xσυν

xσυν

xσυν

xημΑ

1

1

11

1

1

1

22

β) Ζκ,π

κπxπ

συνxσυνxσυνxσυνxσυν

xημ

3

22

3

2

2

1

2

11

2

1

1

2

αν 3

22

πκπx :

3

2

3

1

3

42

3

2

3

222

3

22

3

22020 κ

πκπ

πππκπ

ππ

πκππx

Page 40: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[40]

άρα κ=0 (διότι κΖ), οπότε x=3

2π.

αν 3

22

πκπx :

3

4

3

1

3

82

3

2

3

222

3

22

3

22020 κ

πκπ

πππκπ

ππ

πκππx

άρα κ=1 (διότι κΖ) οπότε x=3

4

3

22

πππ .

Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης στο διάστημα (0, 2π) είναι: x=3

2π ή x=

3

4π .

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17741

ΛΥΣΗ

α)

συνx-1συνx1

συνx-1xημ

συνx-1συνx1

συνx1xημ

συνx1

xημ

συνx-1

xημ

xημxημ

xημ

xσυν-1

συνxxημxημσυνxxημxημ

συνx-1συνx1

συνx-1xημσυνx1xημ2

222

β)

3

43

42

3

4 πημxημ

2

3xημ32xημ

xημσυνx1

xημ

συνx-1

xημ

Ζκ2π

κπxήπ

κπxπ

πκπxήπ

κπx 3

23

23

23

2

Page 41: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[41]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17656

ΛΥΣΗ

α) Μέγιστη τιμή: 2

1

2

1

Ελάχιστη τιμή: 2

1

2

1

Περίοδος: ππ

ω

πT

2

22

β)

x 0 4

π

2

π

4

3π π

f(x) 2

1 0

2

1 0

2

1

γ) Η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1, εφόσον αποδείξαμε στο α ́ερώτημα ότι

2

1

2

1 )x(f

Page 42: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[42]

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17739

ΛΥΣΗ

α) 2

11211 xημxημxημxημxπημxπημ

β) 6

26

26

ππκπxή

πκπx

πμηxημ

2

1xημ

Ζκ,π

κπxήπ

κπx 6

52

62

αν 6

κπx :

12

5

6

1

6

52

6

2

62

6262

22 κ

πκπ

πππκπ

πππ

πκπ

ππx

π

άρα δεν υπάρχει κΖ

αν 6

52

πκπx :

12

1

6

1

62

6

2

6

52

6

5

26

52

22

κ

πκπ

πππκπ

πππ

πκπ

ππx

π

άρα κ=0 (διότι κΖ)

Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα (0, 2

π) είναι: x=

6

5π.

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_17664

ΛΥΣΗ

α) 14545180135 0000 εφεφεφθωεφ

Page 43: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[43]

β)

1

11

1εφθωεφεφθωεφ

εφθωεφ

εφθωεφ

εφθωεφ

εφθωεφθωεφ

εφθωεφεφθωεφ 1

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_19911

ΛΥΣΗ

α) συνxxημσυνx3

πημ

3

πσυνxημ

πxημ

2

3

2

1

3

β) Ζκ,π

κπxκππ

xημ0xημσυνx

330

32

1

2

3

13

4

3

1

3

4

333300

κκπ

κπππ

πκππ

ππ

κππxΖκ

Επομένως: x= 3

2

3

πππ

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_19912

ΛΥΣΗ

α) 02-ημωωημημω)ωημ2--(102-ημωωσυν 2 52102552 2

03-ημωωημ 52 2

β) 03-ημωωημ 52 2

4924254 αγβΔ 2

Page 44: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[44]

)πτεταιίαπορρ(

ημω

134

12

2

1

4

2

4

75

Άρα ημω=2

1

ΘΕΜΑ 2ο

Κωδικός:

2_19913

ΛΥΣΗ

α) ημ2x1xυνσημx2xσυνxημσυνxxημ)x(f 2 22

β) ππ

T 2

2

Μέγιστη τιμή: |1|+1=2

Ελάχιστη τιμή: |1|+1=0

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17837

ΛΥΣΗ

Page 45: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[45]

α) 2

1

4

224

2 ββ

ββπ

πT

42313131 αήααήαα

β) i. Για α=2 και β=2

1 έχουμε:

2

xπημ)x(f 3

2

ππκπ

2

xπή

2

πκπ

2

2

πημ

2

xπημ

2

xπημ

2

xπημ)x(f 221333

Ζκ,κxπκπxπ 144

ii.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 0 3 0 -3 0 3 0 -3 0

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17838

Page 46: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[46]

ΛΥΣΗ

α) 021281250212825 2 συνωωσυνσυνωωσυν

016281002128510 22 συνωωσυνσυνωωσυν

08145 2 συνωωσυν

361601964 αγβΔ 2

5

4

10

8

2

10

614

)πτεταιίαπορρ(

συνω

Άρα 5

4συνω

β) i. 25

71

25

321

25

1621

5

42122

2

2

ωσυνωσυν

5

3

25

9

25

1611

25

161

222222

ημωωημωημωημωσυνωημ

πωπ

25

24

5

4

5

3222

συνωημωωημ

ii.

25

172518

25

25

7

25

2425118

12113

22252218

122213 22

ωσυνωημωσφωεφ

ωσυνωημΠ

251718

25

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17840

ΛΥΣΗ

Page 47: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[47]

α)

λyλx

yx 12

21

21

λ

λD

λλλλλ

Dx 221

11

11

λ

λD y

Αν 2020 λλD τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση

22

λ

λ

λ

λ

D

Dx x και

2

1

2

1

λ

λ

λ

λ

D

Dy

y

Δηλ. (x, y) =

2

1

2 λ

λ,

λ

λ

Αν 2020 λλD τότε το σύστημα γίνεται:

22

12

-yx

yx

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε: 0= 1 άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Για λ= 1:

πθσυνθσυνθ

1

21

1 (1)

πθήθημθημθ

00

21

11 (2)

Επειδή οι σχέσεις (1) και (2) πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, συμπεραίνουμε ότι θ=π.

γ) Για λ= 1:

3

1

21

1

συνωσυνω και

3

2

21

11

ημωημω

Τότε όμως θα είχαμε: 19

5

9

1

9

4

3

1

3

222

22

ωσυνωημ

Συνεπώς δεν υπάρχει γωνία ώστε να ισχύει 3

1συνω και

3

2ημω .

Page 48: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[48]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17841

ΛΥΣΗ

α) Μέγιστο ύψος : hmax=|6|+8=14 m

2166146814

πημ

30

tπημ

30

tπημ

30

tπημ

30

tπημ)t(h

Ζκ,κtπ

πκπ30

tπή

πκπ

30

1560

22

22

21060

165

4

11656015180156001800 κήκήκκκκt

Άρα το κάθισμα φτάνει στο μέγιστο ύψος τις χρονικές στιγμές t1 =15 sec, t2 =75 sec, t3 =135 sec

Page 49: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[49]

Ελάχιστο ύψος : hmin=|6|+8=2 m

2

31662682

πημ

30

tπημ

30

tπημ

30

tπημ

30

tπημ)t(h

Ζκ,κtπ

κπ30

tπππκπ

30

tπή

πκπ

30

4560

2

32

2

32

2

32

21060

135

4

31356045180456001800 κήκήκκκκt

Άρα το κάθισμα φτάνει στο ελάχιστο ύψος όταν t4 =45 sec, t5 =105 sec, t6 =165 sec.

β) 62

24

2

1hhρ minmax m

γ) 6060

30

2

π

π

π

πT sec

Συνεπώς οι δύο φίλες σε διάστημα 180 sec έχουν κάνει 3 γύρους.

δ)

t 0 15 30 45 60 75 90

h(t) 8 14 8 2 8 14 8

Page 50: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[50]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17843

ΛΥΣΗ

α) i. fmax= 5 και fmin = 1

ii. T = 4π

β) Από τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, συμπεραίνουμε πως ρ>0, άρα:

2k

2k

52ρ

4k

5kρ

-kρ

5kρ

21

2

12

14

24 ω

ωπ

ω

ππT

γ) 22

3 x

ημ)x(f

Η Cf διέρχεται από το σημείο Α(x0, 2

7), οπότε:

622

1

22

3

23

2

72

23

2

7 00000

πημ

xημ

xημ

xημ

xημ)x(f

Ζκ,π

κπxήπ

κπxπ

πκπx

ήπ

κπx

3

54

34

62

262

200

00

Αν 3

40

πκπx τότε:

3

174

3

14

34

35

3455

πκπ

ππ6πκπ

ππ6π

πκππ6πxπ 0

12

17

12

14 κ (δεν υπάρχει κΖ)

Page 51: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[51]

Αν 3

540

πκπx τότε:

3

134

3

10

3

54

3

55

3

5455

πκπ

ππ6πκπ

ππ6π

πκππ6πxπ 0

112

13

12

10 κκ (κΖ)

Άρα: 3

17

3

540

πππx

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17844

ΛΥΣΗ

α)

022

1

121

1

11

1

1

1

2222222 xx

xy

xxx

xy

xx

xy

yx

yx

1

0

0

1

10

1

012

1

x

x

y

xήx

xy

xx

xy

Άρα (x, y) =

(0, 1) ή (x, y)

=

(1, 0)

β)

1

1

22 ωημωσυν

ημωσυνω

Σύμφωνα με τα όσα βρήκαμε στο α ́ερώτημα, προκύπτει:

Αν συνω=0 και ημω= 1 τότε ω=

2

Αν συνω=1 και ημω= 0 τότε ω=π

Page 52: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[52]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17846

ΛΥΣΗ

α) xσυν)x(f και xσυν)x(g 2

x 0 4

π

2

π

4

3π π

4

2

4

7π 2π

f(x) 1 2

2 0

2

2 1

2

2 0

2

2 1

g(x) 1 0 1 0 1 0 1 0 1

β) Διαπιστώνουμε από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g ότι έχουν 4 κοινά σημεία

στο διάστημα [0, 2π], επομένως η εξίσωση συν2x=συνx έχει 4 λύσεις στο διάστημα [0, 2π].

Page 53: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[53]

γ) 3

32π2κ

xήπ2κxπ2κxήπ2κxxπ2κ2xσυνxxσυν , κΖ

Αν x=2κπ

101022020 κήκκπκππx , άρα x=0 ή x=2π

Αν x=3

π2κ

32103023

020 κήκήκήκκππ2κ

πx ,

άρα x=0 ή x=3

2π ή x=

3

4π ή x= π2

Τα σημεία τομής συνεπώς των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στο παραπάνω

σχήμα είναι: Α(0, 1), Β(3

2π, 2

1), Γ(

3

4π, 2

1), Δ(2π, 1)

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17852

ΛΥΣΗ

α) 36

226

26

2 πω

πωπω

ω

π

ω

πT

β) Μέγιστη τιμή: 100β|α| (1)

Ελάχιστη τιμή: 20 β|α| (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε: 2β=120 β=60

402060200 αα)(h

Άρα 603

40

t

πσυν)t(h

Page 54: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[54]

γ)

60

2

14060

34060

354060

3

144014

πσυν

ππσυν

πσυν)(h

806020 cm.

δ)

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_17855

ΛΥΣΗ

α) 88

4

2

π

π

π

πT ώρες

Page 55: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[55]

β) 1326132

21213

41213

4

5125

πημ

πημ)(f cm

131301213212134

8128 πημ

πημ)(f cm

γ) Η ελάχιστη απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι: 12+13=1 cm

2

11212113121π

ημ4

tπημ

4

tπημ

4

tπημ

4

tπημ)t(f

ππκπtπήπκπtππ

πκπ4

tπή

πκπ

4

tπ24828

22

22

Ζκ,κtήκt 6828

Αν 28 κt τότε:

14

5

4

11082828080

κκκκtΖκ

, άρα t=6

Αν 68 κt τότε:

04

1

4

3286868080

κκκκtΖκ

, άρα t=6

Συνεπώς η ελάχιστη απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι 1 cm κι επιτυγχάνεται τη

χρονική στιγμή t=6.

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20331

ΛΥΣΗ

α) Μέγιστη τιμή: |8| +

4

=

8

+

4

=

12

Ελάχιστη τιμή: |8|

+

4

=

8

+

4

=

4

Page 56: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[56]

β) 3

πσυν

12

tπσυν

12

tπσυν

12

tπσυν

12

tπσυν)t(f

2

1480480

Ζκ,κtήκt3

πκπ

12

tπή

3

πκπ

12

tπ 42442422

Αν 424 κt τότε:

066

1444400 κ

5κ20κ224κ224t

Άρα t=4 ώρες

Αν 424 κt τότε:

166

1444400 κ

7κ28κ224κ224t

Άρα t=20 ώρες

γ)

δ) Η θερμοκρασία είναι πάνω από 00C για t(4, 20)

Page 57: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[57]

ΘΕΜΑ 4ο

Κωδικός:

4_20338

ΛΥΣΗ

α) Η μέγιστη τιμή της f είναι to 4 και η ελάχιστη 8.

β) ππ

ω

πT

2

22

γ)

8

4

82

40

βα

βα

)π(f

)(f

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε:

2α = 4 α = 2

Αντικαθιστώντας στην 1η εξίσωση έχουμε: 2+β=4 β=6

Άρα f(x) = 2+6συν2x

δ) 3

22

2262621π

συνxσυν1

xσυν3xσυν1xσυν)x(f

6

πκπx

3

πκπ2x 2 , κΖ

Page 58: αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (παπαδόπουλος) 5 12 2014

[58]

Αν 6

πκπx :

6

11

6

1

6

11

662

62

6020 κ

πκπ

πππκπ

ππ

πκππx

10

κήκΖκ

Συνεπώς x=6

π ή x=

6

Αν 6

πκπx :

6

13

6

1

6

13

662

62

6020 κ

πκπ

πππκπ

ππ

πκππx

21

κήκΖκ

Συνεπώς x=6

5π ή x=

6

11π

Άρα : x=6

π ή x=

6

5π ή x=

6

7π ή x=

6

11π

Συνεπώς τα κοινά σημεία είναι: Α(6

π, 1), Β(

6

5π, 1), Γ(

6

7π, 1), Δ(

6

11π, 1)