τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος...

61
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ

description

τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

Transcript of τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος...

Page 1: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο ΘΕΜΑ

Page 2: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 2

Έλυσαν οι

Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου,

Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης

Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης,

Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος

Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος,

lafkasd, Περικλής Παντούλας, Κώστας Μαλλιάκας, Γιώργος

Λέκκας, Θεοδωρής Καραμεσάλης, Χρήστος Κανάβης

Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος

Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου

Τεύχος 3ο

Page 3: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 4603

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB , AB , και τυχαίο σημείο M της πλευράς B .

Από το σημείο M φέρουμε ευθεία κάθετη στην πλευρά που τέμνει τις ευθείες AB

και A στα σημεία E και αντίστοιχα. Αν A και AH τα ύψη των τριγώνων

AB και A E αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) 0AH=90 (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

γ) (Μονάδες 9)

Λύση:

β και α) Το τετράπλευρο AHM

είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις

ορθές γωνίες.

Λόγω της παραλληλίας είναι

1 2ˆB A , A κι αφού ˆB

έχουμε ότι η AH είναι διχοτόμος

της A E . Αυτό έχει σαν

συνέπεια το τρίγωνο A E να

είναι ισοσκελές αφού το AH

είναι ταυτόχρονα και ύψος .

Έτσι 0AH=90 αφού οι πλευρές της είναι διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών

γωνιών .

γ) Το είναι και διάμεσος του , οπότε EH H .

A E

M ME 2A

AH

Page 4: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

Τότε:

2(M H) 2MH 2A .

ΘΕΜΑ 4606

Δίνεται κύκλος κέντρου και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του και .

Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και οι οποίες τέμνονται στο

σημείο . Φέρουμε επίσης και τα ύψη και του τριγώνου τα οποία

τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

β) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

γ) Τα σημεία είναι συνευθειακά.

Λύση:

α) Είναι ως

εφαπτόμενα τμήματα, δηλαδή

το τρίγωνο AB είναι

ισοσκελές.

Τα ορθ. τρίγωνα και

είναι ίσα αφού έχουν την

πλευρά κοινή και

ως προσκείμενες

στη βάση του ισοσκελούς

τριγώνου .

Άρα και

, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.

β) Είναι και έτσι / / 1

Ομοίως είναι / / 2 ως κάθετες στην .

M ME M M E 2M H HE 2M 2 H

, ,

Page 5: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

Επίσης είναι 3 ως ακτίνες του κύκλου.

Από τις τρείς παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι

ρόμβος.

γ) Είναι από το ισοσκελές τρίγωνο AB , από το ισοσκελές

τρίγωνο και . Άρα τα σημεία , , ισαπέχουν από τα άκρα του

τμήματος δηλαδή ανήκουν στη μεσοκάθετο του, δηλαδή στην ίδια ευθεία.

ΘΕΜΑ 4611

Δίνεται τρίγωνο AB και στην προέκταση της B (προς το B ) θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε B AB ενώ στην προέκταση της B(προς το ) θεωρούμε

σημείο E τέτοιο ώστε . Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών B και

τέμνουν τις A και A στα σημεία K και αντίστοιχα, και η Kτέμνει τις AB

και A στα σημεία M και N αντίστοιχα να αποδείξετε ότι:

α) Τα σημεία K και είναι μέσα των A και A αντίστοιχα. (Μονάδες 8)

β) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή . (Μονάδες 9 )

γ) AB A B

K2

. (Μονάδες 8 )

Λύση:

α) Επειδή τα τρίγωνα ,AB A E είναι ισοσκελή οι διχοτόμοι των

γωνιών ˆAB ,A E αντίστοιχα, θα είναι και διάμεσοι.

E A

AN

,BK

Page 6: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

β) Η K ενώνει τα μέσα των πλευρών ,A AE του τριγώνου A E , άρα ||K E .

Οπότε θα είναι 1ˆK και 1

ˆ E (ως εντός εκτός και επί τα αυτά)

Αλλά από τα ισοσκελή τρίγωνα ,AB A E , έχουμε: 1ˆA και 2A E .

Άρα: 1 1A K και 2 1ˆA , δηλαδή τα τρίγωνα και AN είναι ισοσκελή.

γ) Η K ως παράλληλη στη E θα διέρχεται από τα μέσα των πλευρών ,AB A

του τριγώνου AB . Άρα τα σημεία , είναι τα μέσα των ,AB A αντίστοιχα,

οπότε θα είναι: 2 2

και

2 2

.

Επομένως: K KM MN N AB A B

K2

.

ΘΕΜΑ 4616

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB και M το μέσο της πλευράς . Φέρνουμε

κάθετη στην στο σημείο της M , η οποία τέμνει την ευθεία A στο σημείο P

και την B στο .

Να αποδείξετε ότι:

α) P .

β) Το τρίγωνο AP είναι ισοσκελές.

γ) A A .

Λύση:

α) Τα τρίγωνα MP και M είναι ίσα γιατί

η M M αφού το M είναι το μέσο της

και P M ως εντός εναλλάξ και

PM M ως κατακορυφήν. Άρα P

και PM M

β) Η είναι ύψος και διάμεσος του

τριγώνου PA άρα το τρίγωνο AP είναι

ισοσκελές.

γ) Αφού το τρίγωνο AP είναι ισοσκελές

τότε A AP όμως AP A P A .

Page 7: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

Δηλαδή το ζητούμενο.

ΘΕΜΑ 4619

Δίνεται τρίγωνο AB και το

μέσο της διαμέσου . Στην

προέκταση της θεωρούμε

σημείο τέτοιο ώστε .

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο.

β) Το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο.

γ) Το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου .

Λύση:

α) Το σημείο είναι μέσο των και . Άρα το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.

β) Από το παρ/μο ισχύει / / / / αφού .

Έτσι το είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Έστω το σημείο είναι το κέντρο του , τότε το είναι μέσο της .

Στο τρίγωνο οι είναι διάμεσοι που τέμνονται στο , οπότε το είναι

βαρύκεντρο του τριγώνου .

Σημείωση: Η εκφώνηση δεν αναφέρει ποιο σημείο είναι το , ευτυχώς υπήρχε το

σχήμα.

,

Page 8: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

ΘΕΜΑ 4622

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB και το ύψος του . Στην προέκταση της B

(προς το B ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε B

B2

. Αν η ευθεία E τέμνει την

A στο Z και Z || B :

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο B E είναι ισοσκελές και το τρίγωνο A Z είναι

ισόπλευρο. (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου EZ . (Μονάδες 5)

γ) Να αποδείξετε ότι 2AE Z . (Μονάδες 5)

δ) Να αποδείξετε ότι 3 4AB B . (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Το ύψος E είναι και διάμεσος κι επειδή το τρίγωνο AB

είναι ισόπλευρο θα είναι: B

BE B2

, οπότε το τρίγωνο B E είναι ισοσκελές.

E

Page 9: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

Επειδή , το τρίγωνο A Z θα είναι ισογώνιο με το AB , δηλαδή και το

A Z είναι ισόπλευρο.

β) 0ˆE Z 120 (παραπληρωματική της γωνίας 0ˆA Z 60 )

ˆZE B E (ως εντός εναλλάξ). Αλλά ˆAB 2B E (ως εξωτερική γωνία στο

τρίγωνο BE). Οπότε 0ZE 30 και κατά συνέπεια 0EZ 30 .

γ) EZ ZE E Z . Οπότε: AE A E AE 2 Z .

δ) 3 4AB B .

ΘΕΜΑ 4626

Σε μια ευθεία ( ) θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία , ,A B έτσι ώστε AB 2 και

στο ίδιο ημιεπίπεδο θεωρούμε ισόπλευρα τρίγωνα ABκαι . Αν H είναι το

μέσο του A και η ευθεία E τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο Z να αποδείξετε

ότι:

α) Το τετράπλευρο BH E είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

γ) Το τετράπλευρο HE A είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Έστω 2AB x τότε και 2A B x και B BE E AH H x

Το τρίγωνο AB είναι ισόπλευρο άρα 60oA B και

180 180 60 60 60o o o o oBE AB EB , άρα

Z || B

AE 3 3B E EB AE AE AB

2 2 4

Page 10: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

/ /H BE αφού σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ ίσες. Οπότε το είναι

ορθογώνιο.

Το είναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο AB άρα και ύψος όποτε το H BE

είναι ορθογώνιο.

β) 90 90 60 30o o o oEZ BE και .

Άρα το τρίγωνο ZE είναι ισοσκελές.

γ) Το τρίγωνο BZ είναι ισοσκελές και Bείναι ύψος άρα και διάμεσος. Άρα το

ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα είναι παράλληλο στην

Aδηλαδή το είναι τραπέζιο και επειδή είναι και ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 4630

Δίνεται παραλληλόγραμμο και K το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Φέρνουμε την A κάθετη στη B και στην προέκταση της A (προς το ).

Θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο A είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)

β) Το τρίγωνο AE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9)

γ) Το τετράπλευρο B E είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)

ˆˆ 90 90 60 30o o o oZ A

A Z

HA E x

AB

AH HE

Page 11: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

Λύση:

α) Το τρίγωνο Aείναι ισοσκελές αφού η είναι μεσοκάθετος της A .

β) Επειδή το διχοτομεί τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου και, λόγω του

προηγούμενου ερωτήματος, θα είναι K KA KE . Στο τρίγωνο λοιπόν, η

διάμεσος είναι το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί, άρα θα είναι ορθογώνιο.

γ) Φέρνουμε τις ,E BE . ||E B (είναι κάθετες στην ίδια ευθεία A .

Η δεν μπορεί να είναι παράλληλη στη B , αφού ||A B , άρα το τετράπλευρο

είναι τραπέζιο.

Επειδή το Bείναι σημείο της μεσοκαθέτου του Aθα είναι , οπότε

BE. Δηλαδή οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι ίσες που σημαίνει ότι το B E

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

ΘΕΜΑ 4635

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABμε τη γωνία Aορθή και . Φέρουμε το ύψος

του Aκαι σημείο στην προέκταση της ABτέτοιο ώστε B .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες 9)

AE

B E

AB BE

2

Page 12: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 12

β) Να αποδείξετε ότι:

i. 2

. (Μονάδες 8)

ii. . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Το τρίγωνο ABείναι ορθογώνιο και αφού άρα 0ˆ 60B και 0ˆ 30 . Η

γωνία EB είναι εξωτερική στο

τρίγωνο ABτης B̂ οπότε είναι 0EB 120 . Το τρίγωνο είναι

ισοσκελές ( ) οπότε

.

β) i) Είναι αφού

τρίγωνο ορθογώνιο και .

ii) Είναι και

, (αφού ).

ˆ ˆ2·B

B

0ˆE B 30E

B2

0BA 30

3

2 2

32 2

2 2

0ˆ 30

Page 13: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 4640

Δίνεται τρίγωνο με γωνίες και οξείες και και τα μέσα των

πλευρών του και αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των και και

εκτός του τριγώνου

θεωρούμε σημεία και

αντίστοιχα, τέτοια ώστε

και .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. Το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο.

(Μονάδες 5)

ii. Τα τρίγωνα και

είναι ίσα. (Μονάδες 10)

β) Αν τα σημεία είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία .

(Μονάδες 10)

Λύση:

α) i.) Γνωρίζουμε ότι είναι μέσα των πλευρών και αντίστοιχα άρα:

. Ομοίως , συνεπώς δείξαμε ότι το τετράπλευρο

έχει τις απέναντι πλευρές ίσες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

ii.) Στο παραλληλόγραμμο οι γωνίες είναι ίσες καθώς είναι

εντός εκτός και επί τα αυτά διαδοχικά με την σειρά που δίνονται.

Άρα : (1).

AB B̂ ̂ ,

AB, B AB B

AB

ABZ

2

BEH

2

B

, , A 90o

,M AB A

BM BE

2

ABME B

2

MEB

MEB A M, BE,ME

Z M Z A A M H M M H

Page 14: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

Γνωρίζουμε ότι: (2).

(3).

Από τις παραπάνω σχέσεις (1), (2), (3) συμπεραίνουμε ότι ισχύει το κριτήριο

ισότητας τριγώνων εκείνο των δύο πλευρών και περιεχόμενων αυτών γωνιών, άρα

είναι ίσα.

β) Αν τα σημεία είναι συνευθειακά τότε το ευθύγραμμο τμήμα που

ενώνει τα μέσα των πλευρών είναι παράλληλο προς την πλευρά , άρα η γωνία

είναι εντός εναλλάξ της γωνίας και ορθή αφού το ευθύγραμμο τμήμα

ανήκει στην μεσοκάθετο.

ΘΕΜΑ 4643

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( . Φέρουμε τη διάμεσό του την οποία

προεκτείνουμε προς το κατά τμήμα

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στη , η οποία

τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας στο . Να

αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.

(Μονάδες )

β) . (Μονάδες )

γ) . (Μονάδες )

ABZ B ME

2

BEH BE M

2

Z, ,E E

A

BA Z

Z

AB 090 )A A

.M AM

K B

B E

AB

8

0 BKEB 90

2 8

E B 9

Page 15: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

Λύση:

α) Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου διχοτομούνται, οπότε είναι

παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει μία γωνία ορθή, θα είναι ορθογώνιο.

β) Είναι . Στο ορθογώνιο τρίγωνο : .

γ) .

Άρα: .

ΘΕΜΑ 4645

Στο παρακάτω τετράπλευρο ισχύουν: , , και .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)

γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι και τα μέσα των διαγωνίων και

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Τα τρίγωνα και

είναι ίσα μεταξύ τους καθώς

έχουν τρείς πλευρές ίσες. Τις

, και την

πλευρά κοινή.

AB

B

2 0KEB 90 0 B

KEB 902

0 0 0 BBE 90 EBA 90 BE 90

2

EB BE E B

AB A A B AB

AOB O

AB

3AB K, B A

AB K

A B

A B A B

Page 16: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

Συνεπώς έχουμε: , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Τα τρίγωνα και είναι ίσα μεταξύ τους καθώς έχουν τρείς πλευρές ίσες.

Τις , και την πλευρά κοινή.

Συνεπώς έχουμε: , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

β) Οι γωνίες και είναι ίσες ως κατακορυφήν , τα τρίγωνα και

στα οποία περιέχονται είναι ισοσκελή, άρα οι γωνίες των βάσεων τους είναι ίσες.

Συνεπώς το οποίο σημαίνει ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες που

σχηματίζονται είναι ίσες άρα και το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Όμοια οι , δεν είναι παράλληλες γιατί αν ήσαν παράλληλες τότε το

τετράπλευρο θα ήταν παραλληλόγραμμο . Άρα θα είχαμε , ΑΤΟΠΟ

γιατί από την υπόθεση έχουμε .

γ) Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των

διαγωνίων του είναι παράλληλη με τις βάσεις του και ότι

. Άρα το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα και διαπιστώνουμε ότι

είναι ίσα καθώς , και ως εντός εναλλάξ, είναι

ισοσκελή άρα οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου είναι ίσες συνεπώς το

παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

ΘΕΜΑ 4646

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ) και με τα μέσα των

πλευρών και αντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της τέμνει την

στο σημείο .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 6)

O

A B AB

A B A B AB

ΑOB

AOB O AOB O

AB/ /

AB AB=

AB<

K,

AB 3AB ABK AB

2 2

AB K

AOB KO

AB K

AB 0A 90

030 ,

B AB B A

E

B B

Page 17: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

ii) . (Μονάδες 6)

iii) Η είναι μεσοκάθετος της διαμέσου . (Μονάδες 7)

β) Αν η είναι το ύψος του τριγώνου που τέμνει τη στο , να

αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά. (Μονάδες )

Λύση:

α) i) . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή η είναι μεσοκάθετος

της . Άρα:

ii) Επειδή το είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας θα ισαπέχει από τις

πλευρές της, οπότε: . Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

. Οπότε: .

iii) (διότι η είναι απέναντι από γωνία στο ορθογώνιο τρίγωνο

και άρα ). Άρα στο ισοσκελές τρίγωνο , η που

διχοτομεί τη γωνία θα είναι μεσοκάθετος της .

EAE

2

B A

A AB B H

, N 6

0B 60 EB

B 0ˆE B EB EBA 30

E B B

AE EM EM

0 Eˆ 30 EM2

EAE

2

AB BM A 30

2

A

B A

Page 18: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

β) Έστω ότι η τέμνει την στο . Τα είναι ύψη του τριγώνου

, άρα είναι το ορθόκεντρο. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι το τρίτο

ύψος του τριγώνου.

Πράγματι, (ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου) κι επειδή

.

ΘΕΜΑ 4648

Από εξωτερικό σημείο ενός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα

και τη διακεντρική ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα αντίστοιχα. Η

εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις προεκτάσεις των στα

αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

i) .

ii) .

iii) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση:

i) Συγκρίνουμε αρχικά τα τρίγωνα και .

A K ,A BK

A H

||MN A

0A 90 MN AB

P ,PA PB

PO ,

,PA PB ,E Z

AP BP

EA ZB

ABZE

AOP OP

Page 19: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

Αυτά είναι ορθογώνια και επιπλέον έχουν

ως εφαπτόμενα τμήματα και κοινή άρα είναι

ίσα. Επομένως .

Θα συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα και .

Αυτά έχουν ,την κοινή και όπως

δείξαμε στην προηγούμενη σύγκριση

επομένως από Π-Γ-Π είναι ίσα κι έτσι .

ii) Γνωρίζουμε ότι .Επίσης η που

περνά και από τα είναι κάθετη στην επειδή

η τελευταία είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο

και η ταυτίζεται με την ακτίνα στο τμήμα

αυτό.

Όμως η είναι και διχοτόμος της γωνίας όπως δείξαμε παραπάνω άρα το

τρίγωνο είναι ισοσκελές κι έτσι .Αφαιρώντας κατά μέλη με την

προκύπτει .

iii) Οι δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο .

Ακόμη τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή όπως έχουμε δείξει, με κοινή

γωνία κορυφής άρα και οι άλλες δύο γωνίες τους θα είναι ίσες.

Επομένως για παράδειγμα κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός-εκτός και

επί τα αυτά, οι ευθείες θα είναι παράλληλες.

Ακόμη όπως δείξαμε στο ii) ισχύει άρα το τετράπλευρο είναι

όντως ισοσκελές τραπέζιο.

PA PB

OP

APO BPO

AP BP

PA PB P

AP BP

AP B

PA PB P

,O EZ

P O

P EPZ

EPZ EP ZP

PA PB EA ZB

,EA ZB P

ABP EPZ

ABP EZP

,AB EZ

EA ZB ABZE

Page 20: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 20

ΘΕΜΑ 4649

Δίνεται τρίγωνο με και η διχοτόμος της γωνίας . Αν

όπου σημείο της και το μέσον της , να αποδείξετε ότι :

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές . (Μονάδες 7)

β) και . (Μονάδες 10)

γ) όπου η γωνία του τριγώνου . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές , αφού η είναι διχοτόμος και ύψος του

τριγώνου .

β) Στο τρίγωνο τα είναι τα μέσα δυο πλευρών , οπότε

.

Ακόμα : , αφού από το (α) ισχύει .

γ) , ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ,

τεμνομένων υπό της !!

AB AB A BE B AZ BE

Z B M A

ABZ

M/ /B B AB

M2

BE M

2 B AB

ABZ BΔ

AZ ,M

M/ /Z M/ /B

Z B BZ B ABM

2 2 2

AB BZ

2B

E M B2

M/ /B

BE

Page 21: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 21

Σχόλιο : Η άσκηση είναι από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας (αποδεικτική 5 σελ

111 )

ΘΕΜΑ 4650

Δίνεται τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας και η διχοτόμος της

εξωτερικής γωνίας . Αν οι προβολές της κορυφής στις

αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι:

i) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο,

ii) H ευθεία είναι παράλληλη προς τη και διέρχεται από το μέσο της

,

iii) Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο του οποίου η διάμεσος ισούται με

όπου .

Λύση:

i) Οι γωνίες και είναι

εφεξής και

παραπληρωματικές άρα οι

διχοτόμοι τους σχηματίζουν

ορθή γωνία. Ακόμη

επειδή οι

είναι προβολές του

σημείου πάνω στις ημιευθείες. Τελικά το τετράπλευρο έχει τρεις ορθές

γωνίες άρα είναι ορθογώνιο.

AB Bx B

By

B

, E A ,Bx By

A BE

E B M

A

KM B3

4

a

a B

B

B

90

,E

A A BE

Page 22: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 22

ii) Ισχύουν ως διαγώνιοι ορθογωνίου. Ξέρουμε πως αυτές διχοτομούνται

άρα και άρα κι έτσι το τρίγωνο είναι

ισοσκελές. Επομένως .

Άρα κι επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ των ευθειών

άρα .

Επιπλέον η περνά από το μέσο της αφού τα δύο αυτά τμήματα είναι

διαγώνιοι παραλληλογράμμου..

Η είναι παράλληλη μίας πλευράς λοιπόν που περνά από το μέσο της άλλης

άρα θα περνά από το μέσο και της τρίτης πλευράς το οποίο είναι το σημείο .

iii) Έχουμε δείξει ότι κι επιπλέον οι δεν είναι παράλληλες αφού

τέμνονται στο .

Άρα το είναι τραπέζιο. Η διάμεσός του είναι ίση με . Όμως η

συνδέει μέσα πλευρών άρα θα είναι ίση με .Τελικά η διάμεσος του

τραπεζίου ισούται με όπως θέλαμε.

ΘΕΜΑ 4651

Σε παραλληλόγραμμο δίνονται σημεία στις πλευρές

ώστε και . Να αποδείξετε ότι:

i) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο,

ii) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο,

iii) Τα τμήματα διέρχονται από το ίδιο σημείο.

E AB

2

EEK

2

ABBK EK BK BKE

z2

,B E E B

E AB

E

M

E B , BK M

A

2

B KM

KM2

B

3 322 4 4

BB

B a

AB , , ,E Z H

, , ,AB B A AE H BZ

AE H

EZH

, , ,A B EH Z

Page 23: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 23

Λύση:

i) Από το παραλληλόγραμμο παίρνουμε αφού τα σημεία

βρίσκονται πάνω στα τμήματα . Ακόμη επομένως

κι έτσι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

ii) Αφού και με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει .

Ομοίως .

Τα τρίγωνα και έχουν και .

Ακόμη οι γωνίες τους και είναι ίσες ως απέναντι γωνίες

παραλληλογράμμου.

Επομένως τα δύο τρίγωνα

αυτά είναι ίσα από Π-Γ-Π.

Ομοίως είναι ίσα τα τρίγωνα

και . Από τις δύο

αυτές ισότητες λαμβάνουμε

και .

Άρα οι απέναντι πλευρές του

τετραπλεύρου είναι ίσες έτσι αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

iii) Από τα τρία παραλληλόγραμμα που υπάρχουν στο σχήμα λαμβάνουμε:

Η περνά από το μέσο της και μάλιστα το σημείο τομής αυτών των δύο

είναι και μέσο της ,

Η περνά από το μέσο της και μάλιστα το σημείο τομής των δύο αυτών

είναι και μέσο της .

Η περνά από το μέσο της άρα και από το μέσο της .

Άρα όλες περνούν από το ίδιο σημείο που είναι το μέσο της .

AB AB AE H

,E H ,AB AE H

/ / AE H AB

A B BZ A Z

EB H

AE

EZH

B A

B

EH A

EH

Z EH A

A

Page 24: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 24

Υ.Γ. Αν βρεθούν λάθη ας μου το επισημάνει κάποιος.

Υ.Γ.2 Μπορεί και να υπάρχει συντομότερος τρόπος για το ii).

ΘΕΜΑ 4652

Δίνεται παραλληλόγραμμο και σημεία της διαγωνίου του , τέτοια

ώστε να ισχύει .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε

και το είναι ρόμβος.

γ) Ποια πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου

ώστε το να είναι ορθογώνιο.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση:

α) Αν Ο είναι το κέντρο του τότε .

.

Άρα οι διαγώνιοι

του

διχοτομούνται,

οπότε είναι

παραλληλόγραμμο.

β) Αν το είναι

ρόμβος τότε

AB K, B

BK K

AK

AB

AK

AB AK

AB OB O 1

1 , .

OK OB BK OK O OK Oo

AK

AB

A B A K

Page 25: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 25

άρα το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοι του τέμνονται

κάθετα.

γ) Για να είναι το ορθογώνιο πρέπει να έχει ίσες διαγώνιους, δηλαδή

πρέπει: .

ΘΕΜΑ 4653

Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων

. Φέρνουμε την κάθετη στη διαγώνιο . Εάν είναι το συμμετρικό

του ως προς τη διαγώνιο , τότε να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές . (Μονάδες 7)

β) . (Μονάδες 9)

γ) Το είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Επειδή , και το είναι μέσον της , η είναι μεσοκάθετη της

κι αφού το είναι σημείο της

μεσοκαθέτου , έχουμε άρα το

είναι ισοσκελές.

β) Στο τρίγωνο τα είναι

μέσα δυο πλευρών (το είναι το

κέντρο του παραλληλογράμμου ) ,

οπότε .

γ) Από το (β) έχουμε

άρα το είναι τραπέζιο.

AK

AK

BK A A B 3A

3

AB O

A ,B AE B Z

A B

A Z

Z 2OE

B Z

BE AZ E AZ BE AΖ

Z A

Z E,O

O

ZEO Z 2EO

2

EO/ /Z B / /Z B Z

Page 26: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 26

Αρκεί να δείξουμε ακόμα ότι οι ευθείες και δεν είναι παράλληλες. Έστω

ότι είναι παράλληλες τότε λόγω του ότι είναι και θα έχουμε ότι η γραμμή

θα είναι ευθεία. Άτοπο αφού από το α) ερώτημα το είναι τρίγωνο.

Επιπλέον , αφού το είναι ισοσκελές . Άρα είναι ισοσκελές

τραπέζιο .

Σχόλιο :

Το ερώτημα (γ) πρέπει να διατυπωθεί ως εξής : Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο

με κορυφές είναι ισοσκελές τραπέζιο , διότι ανάλογα με την κατασκευή

του σχήματος , αλλάζει η διάταξη των γραμμάτων .

ΘΕΜΑ 4655

Δίνεται παραλληλόγραμμο . Στην

προέκταση της παίρνουμε τμήμα

και στην προέκταση της

παίρνουμε τμήμα .

Να αποδειχθεί ότι:

α) i) Τα τετράπλευρα και είναι

παραλληλόγραμμα.

ii) Τα σημεία είναι συνευθειακά.

β) Αν τα μέσα των αντίστοιχα τότε να αποδειχθεί ότι και

.

Λύση:

/ /

AB BZ ABZ

B,Z, ,

AB

AB

BE AB A

Z A

B E B Z

, , E

,K ,BE Z K B

2K B

Page 27: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 27

α) i) Ισχύει από το παραλληλόγραμμο .Ακόμη κι

επειδή το βρίσκεται στην ευθεία θα είναι .Άρα κι έτσι το

τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Ισχύει από το που είναι παραλληλόγραμμο. Ακόμη

κι επειδή το βρίσκεται στην ευθεία θα είναι .Τελικά άρα

το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

ii) Ισχύουν από τα παραλληλόγραμμα που βρήκαμε παραπάνω και

.Από το δεν μπορούμε να φέρουμε δύο διαφορετικές ευθείες

παράλληλες προς την άρα οι ημιευθείες και ανήκουν στην ίδια

ευθεία. Έτσι τα σημεία είναι συνευθειακά.

β) Ισχύει όπως είδαμε και οι ευθείες και δεν είναι παράλληλες

αφού τέμνονται στο . Άρα το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Η είναι

διάμεσός του. Έτσι ισούται . Όμως . Επομένως

, όπως θέλαμε.

ΘΕΜΑ 4731

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και το ύψος του . Φέρνουμε

και θεωρούμε το μέσο του .Από το φέρνουμε παράλληλη στη

η οποία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

i) ,

ii) ,

iii) Η ευθεία είναι κάθετη στη .

BE AB AB AB

E AB BE BE

B E

Z A B AB A B

Z A Z B Z B

B Z

E B

/ / Z B

B E Z

, ,E Z

/ /B EZ Z BE

A B ZE K

2

EZ B 2EZ Z E B

2 3·

2 2 2

EZ B B BK B

AB AB A AM

M A H M H

B ,AM A ,K Z

4

BHZ

MZ B

AH B

Page 28: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 28

Λύση:

i) Ισχύει κι επειδή το είναι το μέσο της , το είναι το μέσο του

και .

Όμως το είναι, ως ύψος ισοσκελούς που βαίνει στη βάση, και διάμεσος κι

έτσι .

ii) Βλέπουμε πως η περνά από τα μέσα των και οπότε .

iii) Από υπόθεση ενώ αφού και θα είναι .

Επομένως το είναι το ορθόκεντρο του κι έτσι .

Όμως από το ερώτημα ii) ισχύει άρα .

ΘΕΜΑ 4735

Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος της γωνίας για την οποία ισχύει

. Η είναι διχοτόμος της γωνίας και η είναι παράλληλη στην

. Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τμήματα είναι παράλληλα. (Μονάδες 9)

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

γ) Τα τμήματα διχοτομούνται. (Μονάδες 8)

Λύση:

α)

HZ M H M Z

2

MHZ

AM

2 4

BM HZ

MZ B MZ B

M A ZK B AM B ZK AM

H AMZ AH MZ

MZ B AH B

AB A A

A E A B Z

AB

, E A

EA

,A EZ

Aˆ ˆ ˆE A E B ,EA AZ A

Page 29: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 29

(ως εξωτερική στο τρίγωνο .

Άρα: (επειδή οι εντός εκτός και επί τα

αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες).

β) και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

γ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε τα τμήματα

διχοτομούνται.

ΘΕΜΑ 4737

Δίδεται τρίγωνο με γωνία . Φέρνουμε τα ύψη που

τέμνονται στο . Φέρνουμε διχοτόμο της γωνίας και κάθετο στο

ύψος . Να αποδείξετε ότι :

α) Για το τμήμα ισχύει . (Μονάδες 9)

β) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 8)

γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)

ˆ ˆA B A A )A

ˆ ˆ2 2 E B=A E / /A

ˆEA E A EA E EA

AE Z ,A EZ

AB 0B 60 A E

H KZ EHA H

A

ZE ZH 2EZ

ZH

HKB

Page 30: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 30

Λύση:

Επειδή οι είναι κάθετες στην θα είναι μεταξύ τους παράλληλες και

άρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο

το άθροισμα των οξειών του είναι

, συνεπώς . Όμως γιατί έχουν

κάθετες πλευρές και άρα και .

Επειδή όμως το ορθογώνιο τρίγωνο

έχει την οξεία του γωνία η άλλη

οξεία του γωνία θα είναι και συνεπώς

κάθε μια από τις ίσες , λόγω διχοτόμου,

γωνίες θα είναι από , δηλαδή :

.

Στο τρίγωνο η γωνία είναι εξωτερική

του και άρα . Μετά απ

αυτά αβίαστα προκύπτουν:

α) (η κάθετη πλευρά ορθογωνίου

τριγώνου με απέναντι γωνία .

β) τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα

γιατί έχουν από 2 γωνίες ίσες με .

γ) Το τραπέζιο είναι ισοσκελές γιατί οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες,

από κάθε μία.

ΘΕΜΑ 4741

Δίνεται τρίγωνο με . Στην προέκταση της προς το παίρνουμε

σημείο ώστε . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο ώστε .

H B A

0ˆ B 60

AB 090

01 30 1 2

02 30

EAH

01 30

060

1 2 030

01 2 30

ZAH ̂0 0 0

1 2ˆ 30 30 60

ZH 2EZ 030 )

ZBK Z H

060

HKB BK060

AB AB A AB B

E AE A A A AB

Page 31: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31

Αν τα τμήματα και τέμνονται στο και προέκταση της τέμνει την

στο . Να αποδειχθεί ότι:

i) ,

ii ,

iii) Η είναι διχοτόμος της ,

iv) Η είναι μεσοκάθετος της .

Λύση:

i) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και .Έχουν και (από

υπόθεση).Ακόμη έχουν κοινή τη γωνία όποτε από Π-Γ-Π είναι ίσα.

ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και

.Έχουν κοινή την και

από την ισότητα των

τριγώνων του ερωτήματος i).Ακόμη

.Επομένως από Π-Π-Π τα τρίγωνα

είναι ίσα κι έτσι

.Επομένως το τρίγωνο είναι

ισοσκελές κι έτσι .

iii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και .Έχουν κοινή την ενώ είναι

από υπόθεση. Ακόμη .Όμως και οπότε

.Τελικά από Π-Π-Π τα δύο τρίγωνα είναι ίσα κι έτσι

ή ισοδύναμα η είναι διχοτόμος της γωνίας .

iv) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η είναι διχοτόμος της γωνίας της

κορυφής άρα είναι και ύψος και διάμεσος και μεσοκάθετος της βάσης.

E B K AK

E M

B E

BK K

AK A

AM E

AE AB AE A A AB

A

B

B E B

B E

) )

i i

BE AE AB A AB A A

B B E

BK

K BK

AEK AK AK

AE A EK E K E B K BK

EK B BK K

EAK AK AK A

AE AM

Page 32: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 32

ΘΕΜΑ 4753

Δίνεται κύκλος με κέντρο O και ακτίνα . Έστω σημείο A εξωτερικό του κύκλου

και τα εφαπτόμενα τμήματα AB και A ώστε να ισχύει BA 60 . Έστω ότι η

εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τις AB και Aστα E και H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ABOείναι εγγράψιμο με OA 2OB .

β) Το τρίγωνο AEH είναι ισόπλευρο.

γ) 2ZB AZ .

δ) Το τετράπλευρο EHB είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση:

α) Είναι ABO A O 90 90 180 οπότε το ABO είναι εγγράψιμο.

Η διακεντρική ευθεία OA

είναι και διχοτόμος της

BA , οπότε OAB 30 .

Το ορθογώνιο τρίγωνο

OAB έχει μια οξεία γωνία

30 οπότε:

OAOB OA 2OB

2 .

β) Είναι AB A ως

εφαπτόμενα τμήματα και

BA 60 .

Page 33: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 33

Άρα το τρίγωνο AEH είναι ισόπλευρο ως ισοσκελές με μια γωνία 60 .

γ) Είναι O Z ως ακτίνα στο σημείο επαφής.

ZB Z 1 ως εφαπτόμενα τμήματα.

Το ορθογώνιο τρίγωνο A Z έχει OAB 30 έτσι:

1AZ AZZ ZB 2ZB AZ

2 2 .

δ) Επειδή η OAείναι OA B . Όμως και OA EZ , άρα B 2/ /EZ .

Το τρίγωνο AEZ είναι ισοσκελές αφού το τμήμα A είναι διχοτόμος και ύψος,

έτσι: AB A

AE AZ A E A 3B BZ E BZ

.

Από τις σχέσεις 2 , 3 συμπεραίνουμε ότι το EHBείναι ισοσκελές τραπέζιο

αφού τα BZ, E τέμνονται στο A .

ΘΕΜΑ 4756

Δίνεται κύκλος και μια διάμετρός του. Θεωρούμε τις χορδές .

Έστω και τα μέσα των χορδών και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) Οι χορδές και είναι παράλληλες.

β) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

γ) Η είναι διάμετρος του κύκλου.

δ) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Λύση:

α) Είναι ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα και

(αφού οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες).

O, A A B

K B

AB

AB

B

O K

AB A B A

Page 34: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 34

Έτσι αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες από την τέμνουσα

τους .

β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: κοινή πλευρά,

από την υπόθεση και ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλια.

Οπότε και .

Έτσι το είναι ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο αφού και

.

γ) Αφού το είναι ορθογώνιο τότε

και αφού είναι εγγεγραμμένη θα

βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η είναι

διάμετρος του κύκλου.

δ) Τα τμήματα είναι αποστήματα των

χορδών και αντίστοιχα επειδή τα ,

είναι μέσα των χορδών. Έτσι και

δηλαδή το είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.

ΘΕΜΑ 4757

Στις πλευρές και γωνίας θεωρούμε σημεία και ώστε .

Οι κάθετες στις και στα σημεία και αντίστοιχα, τέμνονται στο .

Αν οι ημιευθείες και χωρίζουν τη γωνία σε τρεις ίσες γωνίες και

τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

β) Το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας .

γ) Οι γωνίες και είναι ίσες.

AB/ /

A

AB A A A B

AB A 90

AB

AB

AB/ /

A 90

AB

B 90

B

OK,O

B K

OK

O O K

Ax΄ Ax x΄ x B AB A

Ax΄ Ax B

Ay Az x΄ x

B E Z

EAZ

x΄ x

B A

Page 35: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 35

Λύση:

α) Έστω

Τα ορθογώνια τρίγωνα

και είναι ίσα

επειδή έχουν:

από την υπόθεση και

,

άρα και δηλαδή

το τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

β) Τα ορθογώνια

τρίγωνα και

είναι ίσα αφού έχουν:

(κάθετες) και κοινή πλευρά (υποτείνουσα)

Έτσι , οπότε το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας $x'Ax επειδή ισαπέχει

από τις πλευρές της.

γ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο επειδή οπότε .

Παρατήρηση:

Νομίζω η άσκηση έχει πρόβλημα κατασκευής (τριχοτόμηση γωνίας). Μπορούσαν

να δώσουν "Δίνονται τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες ...

xAy yAz zAx

ABE A Z

AB A

xAy zAx

AE AZ

EAZ

A B A

AB A A

B

AB ˆB 90 B A

Page 36: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 36

ΘΕΜΑ 4762

Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας

παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του

και απέχει από αυτή απόσταση ίση με . Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη

μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή χτυπώντας στους

τοίχους του μπιλιάρδου διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι

κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης

(π.χ. η γωνία ) και κάθε μία από αυτές 45ο .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Η διαδρομή της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες 9)

ii) Το σημείο ισαπέχει από τις κορυφές του μπιλιάρδου. (Μονάδες 8)

β) Αν η είναι διπλάσια από την απόσταση του από τον τοίχο , να

υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες 8)

Λύση:

α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο είναι

Εξάλλου είναι , οπότε θα είναι και (άθροισμα γωνιών

τριγώνου). Επειδή όμως , τα τρίγωνα θα είναι ίσα. Άρα

.

Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με ,

προκύπτει άμεσα ότι το είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες

(από την ). Άρα είναι τετράγωνο.

EZH

A

H H

A B A

, , E H ZH

ABE

AB

A ,

A A

A

A 0EZA ZEA BEA ZA 90

0ˆEBA Z A 45 1 2A A

AE AZ , AEB AZ

AB A (1)

045

AB

(1)

Page 37: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 37

α. ii) Οι πλευρές του μπιλιάρδου έχουν την

ίδια μεσοκάθετο, άρα το ανήκει και στη

μεσοκάθετο του , οπότε .

β) Έστω η ορθή προβολή του πάνω στην .

Από την υπόθεση έχουμε . Αλλά το

τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Οπότε

και κατά συνέπεια .

Παρατήρηση

Το στοιχείο ότι το σημείο απέχει από τη απόσταση ίση με δεν

χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο,

είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του

σχήματος.

Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν

αποδεικτικό ερώτημα.

Μια άποψη ( υπάρχουν και άλλες το ίδιο

περίπου «επώδυνες» για τους μαθητές λόγω

βοηθητικών γραμμών )

α) Πριν χτυπήσουμε την μπάλα φέρνουμε την απόσταση του από τη

και τη μεσοκάθετο του η οποία τέμνει την σε σημείο και τη σε

σημείο .

Έστω δε , το σημείο τομής των . Στο τετράπλευρο που προέκυψε

οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα , είναι ίσες (αφού το τετράπλευρο είναι

ορθογώνιο και έτσι ). Τώρα στο ορθογώνιο η είναι

μεσοκάθετος στο , άρα η μεσοπαράλληλος των , δηλαδή είναι

,EZ H

A

AE AZ

M A

AZAM

2

A

0AEZ AZE 30 0EAZ 120

A H H

A A H

A E B HZ

O A ,B AB

B H

B H A B H A

H E Z,H

Page 38: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 38

μεσοκάθετος και στο . Δηλαδή στο τετράπλευρο οι διαγώνιοι

διχοτομούνται και είναι ίσες και κάθετοι.

Το τετράπλευρο λοιπόν είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο άρα και

τετράγωνο. Τώρα στο τετράγωνο οι διαγώνιοι του θα χωρίζουν τις ορθές

γωνίες του σε δύο ίσες γωνίες και κάθε μια ίση με .

Τότε όμως προφανές οι πλευρές του θα σχηματίζουν με τις γωνίες

από . Συνεπώς αν χτυπήσουμε την μπάλα, αυτή με την προϋπόθεση ότι η γωνία

προσπτώσεως ισούται με τη γωνία ανακλάσεως και ίση με θα ακολουθήση

την πορεία

β) Έστω το σημείο τομής των . Αφού η είναι μεσοκάθετος στο

θα είναι μεσοκάθετος και στο και άρα, το θα ισαπέχει από τα .

γ) Αφού , στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία και αφού το

είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και . Προφανώς δε .

ΘΕΜΑ 4765

Σε τρίγωνο ABοι διχοτόμοι των γωνιών ˆB, τέμνονται στο. Η εξωτερική

διχοτόμος της Bτέμνει την προέκταση της στο E. Δίνεται ότι 0ABE 70 2 EB .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου AB . (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο A BE είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

Λύση:

B AB

AB

AB045

E , H,HZ

045045

A B A

M A ,EZ A H

EZ A E,Z

AZ 2AM 30

AEZ 30

120

Page 39: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 39

α) Από το τρίγωνο BEH και από τα δεδομένα έχουμε ότι 0 01B 70 ,E 35 , οπότε

01

ˆ 75H .

Επειδή ZB BE (διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών , έχουμε ότι:

0 0 02

ˆ 90 70 20 , B οπότε και 0 03

ˆ 20 B 40 B .

Τώρα από το τρίγωνο EB , έχουμε ότι :

0 0 0 0 02 1

ˆ ˆ180 35 110 35 2 70 .

Τέλος από το AB , έχουμε ότι : 0 0 0 0A 180 70 40 70 .

β) Επειδή 0 0 0A B BE 70 110 180 A/ /BE .

Ακόμα : Το B E είναι ισοσκελές , αφού 0

2ˆ E 35 , οπότε B BE .

Άρα , αν το τετράπλευρο ήταν παραλληλόγραμμο , θα ήταν τελικά ρόμβος .

Τότε όμως θα είχαμε BA E , άτοπο , αφού 01H 75 .

Άρα το τετράπλευρο έχει ένα μόνο ζεύγος πλευρές παράλληλες και επομένως είναι

τραπέζιο .

γ) Απαντήθηκε στο (β).

ΘΕΜΑ 4767

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με . Στην πλευρά θεωρούμε τα σημεία

ώστε . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των

πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 13)

AB ˆ 90 oA B

, ,K M BK KM M E

AB A

E K

Page 40: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 40

β) Η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με . (Μονάδες 12)

Λύση:

α) To ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και

, άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο

απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

β) Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα πρέπει να αποδείξουμε ότι το

είναι παραλληλόγραμμο ή εννοείται άραγε; Τέλος πάντων.

Το ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και

. Προφανώς η δεν είναι παράλληλη στην , άρα το είναι

τραπέζιο. Έστω η διάμεσος του τραπεζίου, τότε:

.

* αφού διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου

τριγώνου άρα .

ΘΕΜΑ 4769

Έστω ισοσκελές τραπέζιο με και .

Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας , η οποία τέμνει το στο και η κάθετη από

το προς το το τέμνει στο .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του .

β) Να αποδείξετε ότι:

K AM3

8B

E AB E B

2

BE K E K

K EM

K AB K AM

2

AMK A K EM

3 322 2 4 8

A

AB2

BAM

AB AB/ / ˆB 2 AB B A2

B K

K B M

AB

Page 41: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 41

i. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

ii. Το σημείο είναι το μέσο του .

Λύση:

α) Είναι και ως εντός και επί τα αυτά

Έτσι και .

Οπότε και αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές και οι γωνίες

των βάσεων του είναι ίσες.

β) i. Η είναι η διχοτόμος της έτσι .

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού έχει , άρα

(από την

υπόθεση).

Αφού ισχύει το είναι

μέσο του , έτσι:

οπότε το

είναι ρόμβος διότι έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες.

ii) Αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το είναι ύψος άρα θα είναι και

διάμεσος, οπότε το σημείο είναι μέσον του .

ABK

M B

ˆB 2 ˆB 180

ˆ ˆ ˆ2 180 60 ˆB 2 B 120

A B 120 ˆˆ 60

BK BB

KB 602

BK ˆKB 60

BK K B2

K2

K

BK K A AB2

ABK

BK

Page 42: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 42

ΘΕΜΑ 4771

Έστω τετράγωνο και το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε το τμήμα

(προς την πλευρά του )κατά τμήμα . Φέρουμε τα τμήματα και

και θεωρούμε τα μέσα τους και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

β) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση:

α) Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε:

.

Άρα το είναι παραλληλόγραμμο αφού .

β) Το είναι παραλληλόγραμμο

επειδή ως μισά των ίσων

και παραλλήλων τμημάτων

έτσι οπότε

το είναι παραλληλόγραμμο.

γ)

ως διάμεσος στην υποτείνουσα

του ορθ. τριγώνου .

Το τετράπλευρο έχει και οπότε είναι

ισοσκελές τραπέζιο.

AB M A

A AA

AN2

M

BN K

MNB

A K

AMK

MN MA AN MN MN2 2

MNB MN/ / B

MN K

MK / / N

M , NB

MN A

K / / MN K / / A

A K

BN MBN MA A A MK

2 2

BN

BAN

AMK K / /MN K / /AM MK A

Page 43: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 43

(Η τέμνει τη άρα τέμνει και την παράλληλη της , δηλαδή οι ευθείες

και τέμνονται).

ΘΕΜΑ 4774

Έστω κύκλος με κέντρο και δύο κάθετες ακτίνες του και . Έστω το

μέσον του τόξου . Από το φέρω κάθετες στις ακτίνες και που τις

τέμνουν στα και αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των και τέμνουν τον

κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) . (Μονάδες 4)

α) Το είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7)

β) Τα σημεία και είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδες 7)

γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Αφού , απόστημα της χορδής . Άρα μέσο του τόξου .

Άρα . Όμοια, δεδομένου ότι μέσο .

Τότε όμως ως χορδές ίσων τόξων ( ).

β) Από υπόθεση , και . Τότε το τετράπλευρο

έχει ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.

γ) Από το β), έχω . Άρα το τόξο είναι ημικύκλιο, επομένως

διάμετρος δηλ. αντιδιαμετρικά.

δ) Αφού τα τόξα , τότε και .

Αφού , άρα η τέμνει .

A BN M

A MK

2

3

90

,

/ /

3 33 4 180

2 2

Page 44: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 44

Συνεπώς το είναι ισοσκελές τραπέζιο.

ΘΕΜΑ 4781

Δίνεται τρίγωνο AB , με AK διχοτόμο της γωνίας A . Στην προέκταση της AK

θεωρούμε σημείο ώστε AK K . Η παράλληλη από το προς την AB τέμνει

τις Aκαι Bστα E και Zαντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές.

β) Η EK είναι μεσοκάθετος της A .

γ) Τα τρίγωνα AKB και K Z είναι ίσα.

δ) Το τετράπλευρο AZ B είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση:

α) Είναι A

E A BA2

ως εντός

εναλλάξ των παραλλήλων E και AB

που τέμνονται από την A .

Όμως και A

EA2

οπότε E A EA

δηλαδή το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές

αφού έχει δύο ίσες γωνίες.

β) Η EK είναι διάμεσος στη βάση A

του ισοσκελούς τριγώνου AE οπότε

είναι μεσοκάθετος της.

γ) Τα τρίγωνα AKB και K Z είναι ίσα από αφού έχουν:

AK K από την υπόθεση

Page 45: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 45

AE A BA

2 και AKB KZ ως κατακορυφήν.

δ) Από την παραπάνω ισότητα συμπεραίνουμε ότι BK KZ .

Όμως είναι και AK K .

Άρα το AZ B είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.

ΘΕΜΑ 4783

Δίνεται τρίγωνο AB . Στην προέκταση του ύψους του AK, θεωρούμε σημείο Δ

ώστε AK K . Έστω ,M,N τα μέσα των πλευρών AB,A και B αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)

β) Το τετράπλευρο ΒΛΚΝ είναι ρόμβος . (Μονάδες 9)

γ) M N . (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Γνωρίζουμε ότι

AK K και B A , άρα

το σημείο B ανήκει στην

μεσοκαθέτου του

ευθυγράμμου τμήματος

A , συνεπώς ισαπέχει

από τα άκρα του

ευθυγράμμου τμήματος

και το σχηματιζόμενο

τρίγωνο AB είναι

ισοσκελές.

Page 46: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 46

β) Τα σημεία ,K ενώνουν τα μέσα των πλευρών AB,Aάρα: B

K BN2

.

Τα σημεία N,K ενώνουν τα μέσα των πλευρών B,A άρα: BA

NK B2

.

Γνωρίζουμε από το προηγούμενο ερώτημα ότι BA B

BA B B BN2 2

.

Άρα το τετράπλευρο B KN έχει τέσσερις πλευρές ίσες άρα πρόκειται για ρόμβο.

γ) Τα σημεία , N ενώνουν τα μέσα των πλευρών AB,Bάρα: N/ /A .

Τα σημεία ,M ενώνουν τα μέσα των πλευρών AB,Aάρα: M/ /B .

Γνωρίζουμε ότι A B , άρα λαμβάνοντας τα παραπάνω έχουμε: N M .

ΘΕΜΑ 4786

Δίνεται τρίγωνο AB . Οι μεσοκάθετοι 1 2, των πλευρών , AB A αντίστοιχα

τέμνονται στο μέσο M της B .

α)Να αποδειχθεί ότι:

i)Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με 90 A .

ii)Το τετράπλευρο A KM είναι παραλληλόγραμμο

(σημεία ,K δεν αναφέρονται πουθενά στην εκφώνηση-στο σχήμα ωστόσο που

δίνεται φαίνονται σαν τα σημεία τομής των 1 2, με τις , AB A αντίστοιχα).

iii) 4

B όπου το σημείο τομής των , AM K .

β) Αν I σημείο της B τέτοιο ώστε 4

BBI να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο

K IB είναι παραλληλόγραμμο.

Page 47: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 47

Λύση:

α) i) Η AM είναι διάμεσος. Βλέπουμε ότι AM BM αφού το M ανήκει στη

διάμεσο της AB .Επομένως η διάμεσος είναι ίση με το μισό της πλευράς στην

οποία βαίνει. Έτσι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την B άρα

90 A .

ii) Αφού η 1 είναι μεσοκάθετος της AB θα είναι κάθετη σ' αυτήν. Αφού το

τρίγωνο είναι ορθογώνιο A AB άρα MK A .Ομοίως M AB επομένως οι

απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου AKM είναι ίσες ανά δύο κι έτσι αυτό είναι

παραλληλόγραμμο.

iii) Οι διαγώνιοι του

παραλληλογράμμου

διχοτομούνται άρα 2

K

.Όμως τα τρίγωνα ABM , A M

είναι ισοσκελή αφού η κορυφή

τους M ανήκει στη μεσοκάθετο

της απέναντι πλευράς τους. Η

κάθε μεσοκάθετος διχοτομεί το

αντίστοιχο τμήμα της άρα ,K

είναι τα μέσα των , AB A .Έτσι

2

BK και τελικά 2

2 4

BB

.

β)Είδαμε παραπάνω ότι K B κι αφού το I ανήκει στην B και το στην K

θα είναι K BI .Ακόμη 4

BK BI άρα το K IB έχει δύο απέναντι

πλευρές παράλληλες και ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο.

Page 48: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 48

ΘΕΜΑ 4788

Δίνεται τραπέζιο AB με AB/ / , 4AB και B 2AB . Θεωρούμε σημείο Z

της , ώστε Z AB .

Αν η γωνία είναι 60 και BE το ύψος του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο AB E είναι παραλληλόγραμμο.

β) Το τρίγωνο ZAE είναι ισόπλευρο.

γ) Τα τρίγωνα AZ και AE είναι ίσα.

Λύση:

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο BE είναι ˆ 60 οπότε BE 30 , έτσι

BE E AB

2

. Όμως E/ /AB έτσι το AB E είναι παραλληλόγραμμο.

β) Από το AB E είναι

AE B 2AB .

Είναι ZE Z E

ZE 4AB AB AB ZE 2AB .

ˆAEZ 60 ως εντός εκτός και

επί τα αυτά.

Έτσι το τρίγωνο ZAE είναι

ισοσκελές αφού AE ZE και επειδή AEZ 60 θα είναι ισόπλευρο.

γ) Τα τρίγωνα AZ και AE είναι ίσα από αφού έχουν:

Z E AB , AZ AE από το ισόπλευρο τρίγωνο ZAE και

Page 49: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 49

ZA AE 120 ως παραπληρωματικές των γωνιών Z,E του ισοπλεύρου

τριγώνου.

ΘΕΜΑ 4790

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο AB με AB/ / και A B AB . Φέρουμε

τμήματα AE και BZ κάθετα στις διαγώνιες B και A αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) Τα σημεία Z και E είναι μέσα των διαγωνίων A και B αντίστοιχα.

β) AE BZ .

γ) Το τετράπλευρο AEZB είναι ισοσκελές τραπέζιο.

δ) Η B είναι διχοτόμος της γωνίας .

Λύση:

α) Τα τρίγωνα AB και AB είναι ισοσκελή αφού A B AB και τα τμήματα

BZ και AE είναι ύψη στις βάσεις τους, άρα θα είναι και διάμεσοι των τριγώνων,

οπότε τα Z και E είναι μέσα των διαγωνίων A και B αντίστοιχα.

β) Τα ορθογώνια

τρίγωνα AE και

BZ είναι ίσα

επειδή έχουν:

A B από την

υπόθεση και

E Z ως μισά

των ίσων

διαγωνίων A και

B ( AB

ισοσκελές τραπέζιο)

Page 50: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 50

γ) EZ/ /AB αφού το EZ ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίουAB .

AE BZ από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων

Οι BZ , AE δεν είναι παράλληλες ως κάθετες στις τεμνόμενες A και B

Άρα το AEZB είναι ισοσκελές τραπέζιο.

δ) Αν H είναι το σημείο τομής της AE με τη τότε στο τρίγωνο AH είναι Z

μέσο της A και ZE/ /AB/ / H , δηλαδή το E είναι μέσο της AH.

Στο τρίγωνο A H το E είναι ύψος και διάμεσος, οπότε αυτό είναι ισοσκελές,

έτσι το E ή η B είναι διχοτόμος της γωνίας .

ΘΕΜΑ 4791

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB τέτοιο ώστε αν φέρουμε την κάθετη στην A

στο κέντρο του O , αυτή τέμνει την A σε σημείο E τέτοιο ώστε E A . Να

αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7 )

β) Το τετράπλευρο B E είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9 )

γ) Το τρίγωνο BO είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9 )

Λύση:

α) Η είναι μεσοκάθετος της A , άρα το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές.

β) B A E , οπότε || B E , δηλαδή το τετράπλευρο B E είναι

παραλληλόγραμμο.

Page 51: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 51

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο η O είναι

διάμεσος, άρα O A E . Αλλά O OB ,

οπότε BO B .

ΘΕΜΑ 4792

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB . Στην προέκταση της B (προς το ) θεωρούμε

τμήμα B . Αν , ,M K είναι τα μέσα των πλευρών , , B AB A αντίστοιχα,

τότε:

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου BA (Μονάδες 7 )

β) Να αποδείξετε ότι:

i) Το τετράπλευρο K M είναι ισοσκελές τραπέζιο με μεγάλη βάση

διπλάσια από τη μικρή. (Μονάδες 8 )

ii) Το τρίγωνο KM είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) Οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 60 η καθεμία. Η γωνία 060 είναι

εξωτερική στο ισοσκελές τρίγωνο A , οπότε θα είναι 0ˆA A 30 .

Έχουμε λοιπόν, 0 0 090 , 60 , 30 A B .

β. i) || K M (ενώνει τα μέσα των πλευρών , AB A του τριγώνου AB ).

Page 52: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 52

AKM

2

((ενώνει τα μέσα των πλευρών , AB B του τριγώνου AB ).

Η είναι κάθετη στην A , ως διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου A , κι

επειδή 0 Aˆ 302 2

.

Άρα KM , οπότε το τετράπλευρο K M είναι ισοσκελές τραπέζιο (δεν

μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, γιατί όπως θα δείξουμε είναι 2 K M ).

Πράγματι: B 2B

K B 2M2 2

.

ii) 01K 60 (εντός εκτός και επί τα αυτά με τη γωνία B )

AAM

2

(απέναντι από γωνία 030 σε ορθογώνιο τρίγωνο).

AM

2

(διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου).

Άρα το τρίγωνο AM είναι ισόπλευρο, οπότε 01M 60 .

Αφού 1 1M K , το τετράπλευρο AKM είναι εγγράψιμο κι επειδή 0A 90 ,

θα είναι και 0KM 90 .

Page 53: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 53

Σημείωση: Το σημείο N που δινόταν στο σχήμα δεν χρησιμοποιήθηκε.

ΘΕΜΑ 4793

Δίνεται τετράπλευρο AB και ο περιγεγραμμένος του κύκλος ( , )O ώστε η

διαγώνιος του B να είναι διάμετρος του κύκλου. Η γωνία B̂ είναι διπλάσια της

γωνίας ̂ και οι πλευρές και B είναι ίσες. Φέρουμε κάθετη στη B στο O , η

οποία τέμνει τις πλευρές A και στα E και Z αντίστοιχα.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου AB . (Μον 6)

β) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα AB και B . (Μον 6)

γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AB O είναι ρόμβος. (Μον 7)

γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευροείναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μον 4)

Λύση:

α) Αφού ηB είναι διάμετρος τότε , AB B είναι

ημικύκλια. Άρα ˆ ˆ90 oA (1)

ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα

προηγούμενα ημικύκλια.

Αλλά ˆ ˆ ˆˆ 360 oA B (2) και από υπόθεση

ˆ ˆ2 B (3) .

(1),(3)ˆ ˆ(2) 3 180 60 (4) o o . Έτσι λόγω

ˆ(3), 120 (5) oB .

β) Όμως οι χορδές AB B από υπόθεση. Άρα

Page 54: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 54

2 AB B . Τότε 1 2ˆ ˆ ως εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα.

Αλλά 1 2ˆ ˆ̂ . Λόγω (4), 30 o .

Τα τρίγωνα AB και B είναι ορθογώνια ˆ ˆ90 oA , AB B , 1 2ˆ ˆ . Από

κριτήριο είναι ίσα.

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ,AB AO είναι διάμεσος (υπόθεση: B διάμετρος) και

2ˆ 30 o . Άρα

2

BAB AO OB .Όμοια στο τρίγωνο B , O B OB .

Άρα το τετράπλευρο AB O είναι ρόμβος, αφού έχει τις πλευρές του ίσες.

δ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αφού οι απέναντι γωνίες του,

ˆ ˆ 90 90 180 o o oA EOB , παραπληρωματικές ( EZ B από υπόθεση).

ΘΕΜΑ 4795

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB . Με βάση την κατασκευάζουμε ισοσκελές

τρίγωνο A B με γωνία 0ˆ 120 . Θεωρούμε τα μέσα Z και H των πλευρών A και

A αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι η είναι μεσοκάθετος του . (Μονάδες 8)

β) Αν ητέμνει την στο , να αποδείξετε ότι η γωνία ˆZ M είναι ορθή.

(Μονάδες 9 )

γ) Αν η είναι κάθετη στην από το σημείο Z , να αποδείξετε ότι A

ZK4

.

(Μονάδες 8 )

Λύση:

α) Επειδή το τρίγωνο A B είναι ισοσκελές, το AB είναι ισόπλευρο και έχουν

κοινή βάση την , η είναι μεσοκάθετος του .

Page 55: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 55

β) Από το ισοσκελές A B έχουμε:

0ˆA B 1200BA AB 30

. Άρα 0B 90 .

Είναι ακόμα || Z B (ενώνει τα μέσα Z και

των πλευρών A και )

|| H B (ενώνει τα μέσα και H των

πλευρών και A ).

Άρα 0ˆZ H 90 (έχει πλευρές παράλληλες με τη

γωνία 0B 90 ).

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο, είναι

0 AZZAK 30 ZK

2

AZK

4

.

ΘΕΜΑ 4796

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο AB ( ||AB ) και O το σημείο τομής των διαγωνίων

του. Η A είναι κάθετη στην A και η B είναι κάθετη στη B . Θεωρούμε τα

μέσα , , των , , B A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) ME MZ . (Μονάδες 6 )

β) Η είναι κάθετη στην A . (Μονάδες 6 )

γ) Τα τρίγωνα M E και MZ είναι ίσα. (Μονάδες 7 )

δ) Η είναι μεσοκάθετος του . (Μονάδες 6 )

Λύση:

α) Επειδή , , είναι μέσα των , , B A αντίστοιχα, θα είναι B

ME2

και

Page 56: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 56

AMZ

2

.Αλλά λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου AB , είναι B A . Οπότε:

ME MZ .

β) || MZ A κι επειδή A A MZ A

γ) Ομοίως είναι ME B .

Τα ορθογώνια τρίγωνα M E και MZ , έχουν ME MZ και M M , οπότε είναι

ίσα.

δ) Η είναι μεσοκάθετος του .

Αλλά, ||EZ (ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου). Άρα η είναι

κάθετη στην . Επειδή όμως το τρίγωνο είναι ισοσκελές θα είναι

μεσοκάθετος.

Σημείωση

Το σχήμα που έχουν δώσει είναι απαράδεκτο. Δείχνει (οξείες ή αμβλείες) γωνίες

που υποτίθεται ότι είναι ορθές.

Page 57: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 57

ΘΕΜΑ 4797

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ

αντίστοιχα. Στην προέκταση του ΜΔ (προς το Δ) θεωρούμε τμήμα ΔΖ=ΔΜ.

Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ είναι ίσα.

β) Το τετράπλευρο ΖΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο

γ) Τα τμήματα ΖΕ και ΑΔ τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται

δ) Η ΒΖ είναι κάθετη στη ΖΑ.

Λύση:

α) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ έχουν:

A B (Δ μέσο ΑΒ), M Z (υπόθεση), Z A B M ((κατακορυφήν)

επομένως είναι ίσα (Π-Γ-Π).

β) Από την ισότητα των τριγώνων ΑΖΔ και ΒΜΔ έχουμε: BM ZA και 0ZA BM 60 . Οι γωνίες ZAE,A B είναι

παραπληρωματικές και εντός και επί τα αυτά

των ευθειών ZA και M που τέμνονται από

την A .

Άρα: ZA / /M 1 .

Επίσης είναι BM M και επομένως

ZA M 2 .

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το

ZA M είναι παραλληλόγραμμο.

Page 58: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 58

γ) Αφού το ZA M είναι παραλληλόγραμμο θα είναι : Z / /AE και Z AE (μισά

των ίσων τμημάτων ZM,A).

Άρα το ZAE είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει δύο συνεχόμενες πλευρές

ίσες ZA AE το ZAE θα είναι ρόμβος , οπότε οι διαγώνιοί του ZE,A θα

τέμνονται κάθετα και θα διχοτομούνται.

δ) Στο τρίγωνο ZAB η διάμεσος AB

Z2

επομένως 0BZA 90 .

ΘΕΜΑ 4798

Δίνεται τρίγωνο με AB A . Φέρνουμε τμήμα B κάθετο στην AB και με B A

και τμήμα E κάθετο στην A με E AB .

Θεωρούμε τα μέσα Z,των A ,AE , αντίστοιχα καθώς και τη διχοτόμο A της

γωνίας AE .

α) Να αποδείξετε ότι A AE . (Μονάδες 9)

β) ΑνKτυχαίο σημείο της διχοτόμου A , να αποδείξετε ότι το Κ ισαπέχει από τα

μέσα Zκαι . (Μονάδες 9)

γ) Αν το Κ είναι σημείο της διχοτόμου A τέτοιο ώστε KZ AZ , να αποδείξετε ότι

το τετράπλευρο AZK είναι ρόμβος. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB ,A E έχουν δύο ζεύγη πλευρών ίσες μία προς μία ,

οπότε είναι ίσα . Έπεται ότι A AE .

β) Τα τρίγωνα AZK,A K είναι ίσα αφού έχουν την AΚ κοινή , AZ A

Page 59: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 59

ως μισά ίσων τμημάτων , ZAH AH ,

έπεται ότι ZK K .

γ) Αφού AZ ZK , το Z ανήκει στη

μεσοκάθετο ZH του AK .

Από την ισότητα των τριγώνων AZK,A K ,

έπεται ότι A K , οπότε το ανήκει

στη μεσοκάθετο ZH.

Άρα το τετράπλευρο AZKέχει όλες τις

πλευρές ίσες και επομένως είναι ρόμβος .

ΘΕΜΑ 4799

Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο με . Φέρνουμε τμήμα

κάθετο στην και τμήμα κάθετο στην με . Θεωρούμε τα μέσα

και τα μέσα των και αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι:

i. Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 7)

ii. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

iii. Η είναι μεσοκάθετος του . (Μονάδες 7)

β) Ένας μαθητής συγκρίνοντας τα τρίγωνα και έγραψε τα εξής:

« 1. από υπόθεση

2. πλευρές ισοσκελούς τριγώνου

3. = ως κατακορυφήν

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα έχοντας δύο πλευρές ίσες μια προς μια και την

περιεχόμενη γωνία ίση».

Ο καθηγητής είπε ότι αυτή η λύση περιέχει λάθος μπορείς να το εντοπίσεις;

(Μονάδες 5)

Λύση:

, ,

Page 60: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 60

α) Πρώτα-πρώτα ως προσκείμενες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου

.

i) Τα ορθογώνια (από την υπόθεση) τρίγωνα έχουν:

(υπόθεση) και (υπόθεση) δηλαδή κάθετες πλευρές ίσες , άρα είναι ίσα.

ii) Αφού τώρα θα έχουν

και όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους

ίσα, δηλαδή και

, και .

Τα τρίγωνα και έχουν:

(υπόθεση) , ως

κατακορυφήν άρα και λόγω της

σύμφωνα με το κριτήριο ( )

είναι ίσα με άμεση συνέπεια:

, δηλαδή

το ισοσκελές με κορυφή το .

iii) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το και το είναι μέσο

της βάσης του , η είναι μεσοκάθετος στο .

Εξ άλλου αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα και θα έχουν

(υπόθεση ) και ( προκύπτει αν αφαιρέσουμε τις κατά μέλη)

και (προκύπτει αν προσθέσουμε τις κατά μέλη). Τα

τρίγωνα λοιπόν και θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο

( ) και συνεπώς θα έχουν . Αλλά λόγω της ,

συνεπώς τα ανήκουν στη μοναδική μεσοκάθετο του .

1 2ˆ ˆ (*)

AB

AB A E AB A

A AE

AB A E

ˆ E (1)

B E (2) 1 2 (3)

AZ EAH

(1)

AZ AH (4) Z EH (5)

AZH A

A M

B

M MB

H BZ (2) (5)

ˆH M ZBM (*) (3)

MH MZ (4) AH AZ

A,M ZH

Page 61: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 3ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 61

Τέλος για το β) το λάθος εντοπίζεται στην έκφραση : « 3. ως

κατακορυφήν» αφού σε τέτοια περίπτωση οι ημιευθείες , θα ήταν

αντικείμενες και η γωνία δηλαδή

άτοπο αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

AB EA

AE,AB

0 0BAE 180 BA AE 180

0 0 0BA 90 180 BA 0 9 AB