1

Zadatak 221 (Ivan, strukovna škola) Duljine dviju stranica trokuta su a i b, a kut meñu njima iznosi γ = 60°. Kolika je duljina treće

stranice trokuta?

2 2 2 2. .A c a b a b B c a b a b= + − ⋅ = + + ⋅

2 2 2 2. 2 . 2C c a b a b D c a b a b= + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅

Rješenje 221 Ponovimo!

10c s 60 .o

2=

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

Uporabom kosinusovog poučka dobije se duljina stranice c.

2 2 22 cos 12 2 2 0 2 2 2

2 cos 60 20 260

c a b a bc a b a b c a b a b

γ

γ

= + − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

=

12

2 2 2 2 2 2

2c a b a b c a b a b⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⇒

/2 2 2 2 2

.c a b a b c a b a b⇒ = + − ⋅ ⇒ = + − ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 221 Duljine dviju stranica trokuta su a i b, a kut meñu njima iznosi γ = 120°. Kolika je duljina

treće stranice trokuta?

2 2 2 2. .A c a b a b B c a b a b= + − ⋅ = + + ⋅

2 2 2 2. 2 . 2C c a b a b D c a b a b= + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅

Rezultat: B.

Zadatak 222 (Ante, strukovna škola)

Duljine stranica trokuta iznose 12.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu

sličnog trokuta iznosi 20 cm. Koliki je omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta?

. 0.311 . 0.391 . 0.621 . 0.645A B C D

Rješenje 222 Ponovimo!

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

2

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina pripadnih stranica, tj. ako je

,

1 1 1

a b ck

a b c= = =

tada je

.2

1

Pk

P=

Duljine stranica prvog trokuta su:

12.5 , 10 , 8.5 .a cm b cm c cm= = =

Duljina najduže stranice njemu sličnog trokuta je

20 .1

a cm=

Tada je koeficijent k sličnosti jednak

1

ak

a=

pa omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta iznosi:

22 2

12.5 210.625 0.391.

201 1

metoda

supstitucij1 1

1

e1

Pk

P P a P cm P P

a P a P cm P Pk

a

=

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

Odgovor je pod B.

Vježba 222 Duljine stranica trokuta iznose 25 cm, 10 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu

sličnog trokuta iznosi 40 cm. Koliki je omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta?

. 0.311 . 0.391 . 0.621 . 0.645A B C D

Rezultat: B.

Zadatak 223 (Elena, gimnazija)

Jednakokračnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 12 cm i krakom duljine 18 cm upisana

je kružnica. Na tu kružnicu položena je tangenta paralelno osnovici trokuta. Kolika je duljina odsječka

te tangente koji je omeñen njezinim sjecištima s kracima trokuta?

Rješenje 223 Ponovimo!

3

2 2 2, 0 ,, ., 0a b a b a a b c a b c a b⋅ = ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≥

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Zbroj kutova u trokutu je 180°.

.0

180α β γ+ + =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

090 0, .

09γ α β= + =

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Na osnovi odnosa meñu duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan, 2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi. Opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice

a i duljina kraka b iznosi:

2 .O a b= + ⋅

4

Poluopseg je:

2.

2 2

O a bs s

+ ⋅= ⇒ =

Formule za ploštinu trokuta glase

( ) ( ) ( ) , ,P s s a s b s c P r s= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅

gdje je r polumjer upisane kružnice trokutu, a s poluopseg trokuta

2.

a b cs

+ +=

Za jednakokračan trokut te formule glase:

( ) ( ) ( ) ,2

2, .

a bP s s a s b s b P r s s

+ ⋅= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ =

Polumjer upisane kružnice jednakokračnom trokutu iznosi:

( ) ( ) ( ).

s s a s b s br

s

⋅ − ⋅ − ⋅ −=

r

rr

rr

r

DE T

S

N

DE T

S

N

DE T

S

NA B BA A B

C C C

r

r r

r

DE T

S

N

DE T

S

N A BBA

C C

Sa slika vidi se:

112 , 18 , 6 , 2

2AB AC BC NB AB NT r= = = = ⋅ = = ⋅

2TC NC NT NC r= − = − ⋅

Izračunamo polumjer r upisane kružnice trokutu ABC.

12 , 1812 2 18 12 36 48

2422 2 2

2

a b

s s s sa bs

= =+ ⋅ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+ ⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 24 12 24 18 24 18

24

s s a s b s br

sr

⋅ − ⋅ − ⋅ −⇒ ⇒

⋅ −= ⇒

⋅ − ⋅ −=

5

2 224 12 6 6 2 12 12 6 6 2 12 6 12 6 2

24 24 24 24r r r r

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

7272 2 23 2.

24 24r r r

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

Uočimo pravokutan trokut NBC i pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu visine │NC│ trokuta

ABC. 2 2 2 2 2 22 2

18 6 324 36 288NC BC NB NC NC NC= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

2 2288 288 2 144 2 12/ 12 2.NC NC NC NC NC⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Sada je

2 12 2 2 3 2 12 2 6 2 6 2.TC NC r TC TC TC= − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅

Budući da su jednakokračni trokuti ∆ABC i ∆EDC slični (imaju iste unutarnje kutove), vrijedi razmjer:

( ) ( ): : 12 : 12 2 : 6 2AB ED NC TC ED= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

1/

1212 2 12 6 2 12 2 12 6 2 6.

2ED ED ED⇒ ⇒⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 223 Jednakokračnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 24 cm i krakom duljine 36 cm upisana

je kružnica. Na tu kružnicu položena je tangenta paralelno osnovici trokuta. Kolika je duljina odsječka te tangente koji je omeñen njezinim sjecištima s kracima trokuta?

Rezultat: 12.

Zadatak 224 (M – K – N, gimnazija) Opseg pravokutnog trokuta jednak je 40 cm. Njegova je površina 120 cm

2. Duljina hipotenuze

trokuta iznosi:

. 14 . 15 . 16 . 18A cm B cm C cm D cm

Rješenje 224 Ponovimo!

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .a b a a b b a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Ploština pravokutnog trokuta duljina kateta a i b izračunava se po formuli:

2.

a bP

⋅=

Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

Opseg trokuta duljina stranica a, b i c izračunava se po formuli:

.O a b c= + +

Iz uvjeta zadatka slijedi:

40 4040 40 40

120 240 240120 12 22

/02

a b c a b cO a b c a b c

a b a bP a b a b

+ + = + + == + + = + = −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ == = ⋅

6

( ) ( )2kvadriramo prvu /

jedna

2

džb

240 40

240 240u

a b c a b c

a b a b

+ = − + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ = ⋅ =

2 2 22 1600 80

240

Pitagorin poučak

2 2 2a a b b c c

a b ca b

+ ⋅ ⋅ + =

+

− ⋅ +⇒ ⇒

=⇒

⋅ =

2 1600 80 2 1600 80

240

2 2 2 2

4

2

2 0

a b c a b c

a

c

a

a b

b

c c

b

+ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅⇒ ⇒ ⇒

⋅

+

=

+ +

= ⋅

2 1600 80 2 1600 80 800 40

240 240

/ : 2 metoda

kompara2 cije40

a b c a b c a b c

a b a b a b

⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ = ⋅ = ⋅ =

( )800 40 240 40 240 800 40 56 / : 400 40 560 14.c c c c c⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⇒−⋅ = − =

Duljina hipotenuze trokuta iznosi c = 14 cm.

Odgovor je pod A.

Vježba 224 Opseg pravokutnog trokuta jednak je 24 cm. Njegova je površina 24 cm2. Duljina hipotenuze

trokuta iznosi:

. 10 . 9 . 11 . 12A cm B cm C cm D cm

Rezultat: A.

Zadatak 225 (Fran, gimnazija)

U trokut zadane osnovice i visine upisan je pravokutnik. Izračunaj mu ploštinu ako je jedna

stranica dva puta veća od druge. Koliko je mogućih rješenja?

A B

C

(In ∆ABC (AB = 8 cm, its altitude 4 cm) a rectangle is inscribed. Evaluate its area knowing

one of its sides is twice the length of the other. How many answers are there to this problem?)

Rješenje 225 Ponovimo!

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

7

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici. Svi elementi sličnih trokuta (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisane kružnice)

proporcionalni su odgovarajućim elementima trokuta, uz isti koeficijent sličnosti.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Ploština pravokutnika

Ploština pravokutnika je jednaka produktu njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Prvi slučaj

v

x2x

K

HD E

F

A B

C

G

Sa slike vidi se:

8 , 4 , 2 , , 4AB HC v DE GF x EF HK x KC HC HK x= = = = = ⋅ = = = − = −

Uočimo da su trokuti ∆ABC i ∆GFC slični (imaju jednake kutove) pa vrijedi razmjer:

( ) ( ): : 8 : 4 2 : 4 8 4 4 2AB HC GF KC x x x x= ⇒ = − ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

( )32 8 8 8 8 32 16 3 /2 16 32 2.: 16x x x x x x x⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =−

Stranice pravokutnika iznose:

22 2 4

2 .2 2

xDE DE cm

DE xEF EF cm

EF x

== ⋅ =

= ⋅ ⇒ ⇒= =

=

Ploština pravokutnika ima vrijednost:

8

24 2 8 .P DE EF cm cm cm= ⋅ = ⋅ =

Drugi slučaj

v

x

2x

K

HD E

F

A B

C

G

Sa slike vidi se:

8 , 4 , , 2 , 4 2AB HC v DE GF x EF HK x KC HC HK x= = = = = = = ⋅ = − = − ⋅

Uočimo da su trokuti ∆ABC i ∆GFC slični (imaju jednake kutove) pa vrijedi razmjer:

( ) ( ): : 8 : 4 : 4 2 8 4 2 4AB HC GF KC x x x x= ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒

( )32 16 4 16 4 32 20 32 20 32 1./ .0 6: 2x x x x x x x⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ ⇒−− ⋅ = − =

Stranice pravokutnika iznose:

1.61.6 1.6

.2 1.6 3.2

2

xDE DE cm

DE xEF EF cm

EF x

== =

= ⇒ ⇒= ⋅ =

= ⋅

Ploština pravokutnika ima vrijednost:

21.6 3.2 5.12 .P DE EF cm cm cm= ⋅ = ⋅ =

Vježba 225 U trokut zadane osnovice i visine upisan je pravokutnik. Izračunaj mu ploštinu ako je jedna

stranica dva puta veća od druge. Koliko je mogućih rješenja?

A B

C

(In ∆ABC (AB = 0.8 dm, its altitude 40 mm) a rectangle is inscribed. Evaluate its area knowing one of

its sides is twice the length of the other. How many answers are there to this problem?)

Rezultat: 8 cm2, 5.12 cm

2.

Zadatak 226 (Ante, srednja škola) U jednakokračnom trokutu osnovica je za 2 cm, a krak za 1 cm dulji od visine na osnovicu.

Odredite ploštinu trokuta.

Rješenje 226 Ponovimo!

( )2 2

.2

2,

n na a

a b a a b bnb b

= + = + ⋅ ⋅ +

9

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meñu

duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan, 2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta.

Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta.

Pitagorin poučak:

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = = Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b?

, , .a n b a b n a b n− = = + − =

b = v + 1v

v + 2

2

v

a = v + 2

b = v + 1b

N

N

A B BA

C C

Sa slika vidi se:

1 22 , 1 , ,

2 2

vAB a v BC AC b v CN v NB AB

+= = + = = = + = = ⋅ =

Uočimo pravokutan trokut NBC i pomoću Pitagorina poučka izračunamo visinu v.

( ) ( )( )

22222 2 2 2 22 2

1 122 2

vvBC CN NB v v v v

++= + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒

( )( )

2 2 22 4 4 4 42 2 2 2

1 2 1 22 2

14 4 4

v v v v vv v v v v v v v

+ + ⋅ + + ⋅ +⇒ + = + ⇒ + ⋅ + = + ⇒ + ⋅ + = + ⇒

( )2 2

4 4 4 4 22 1 2 1 4 2 1 4 4

4/

44

v v v vv v v v v

+ ⋅ + + ⋅ +⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + = + ⋅ +⋅ ⇒

2 2 2 24 48 4 4 4 8 4 8 4 4 8v v v v v v v v v v v v⇒ ⋅ + = + ⋅ + ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ + ⋅ =+ ⋅+ ⇒

10

( )0 nema smi02 2

4 8 0 4 0 4 0 4.4 0

s a

4

lv vv v v v v v v v

v v

= =⇒ + ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒ =

− = =

Visina trokuta ABC je v = 4 cm, a duljina osnovice

2 4 2 6 .a v a cm cm a cm= + ⇒ = + ⇒ =

Ploština trokuta ABC iznosi:

6 4 212 .

2 2

a v cm cmP P P cm

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

Vježba 226 U jednakokračnom trokutu osnovica je za 0.2 dm, a krak za 10 mm dulji od visine na

osnovicu. Odredite ploštinu trokuta.

Rezultat: 12 cm2.

Zadatak 227 (Marija, srednja škola)

Izračunaj duljinu stranice i veličine kutova pravokutnog trokuta ako je a = 16 cm i c = 65 cm.

Rješenje 227

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meñu

duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Za pravokutan trokut vrijedi:

090 .α β+ =

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

2 2 2 2 2 2 2 2 2, , .c a b a c b b c a= + = − = −

Duljinu stranice b izračunamo pomoću Pitagorina poučka.

( ) ( )/2 22 2 2 2 2 2 2 2

65 16b c a b c a b c a b cm cm= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 24 225 256 3969 63 .b cm cm b cm b cm⇒ = − ⇒ = ⇒ =

ββββ

αααα

c

b

a

11

Računamo veličine kutova α i β.

1.inačica

161 1 0sin sinsin 14 15 '65

00 0 0 9090 90 90

aa

ccα αα α

β αα β β α β α

− −= == =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= −+ = = − = −

0

0 0 014 15' 14 15 ' 14 15 '

.0 0 0 0

90 14 15 ' 14 15 ' 7589 60 ' 45 '

α α α

β β β

= = =⇒ ⇒ ⇒

= − = − =

2.inačica

161 1 0cos coscos 75 45'65

00 0 0 9090 90 90

aa

ccβ ββ β

α βα β α β α β

− −= == =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= −+ = = − = −

0

0 0 075 45 ' 75 45 ' 75 45 '

.0 0 0 0

90 75 45 ' 75 45 ' 1489 60 ' 15 '

β β β

α α α

= = =⇒ ⇒ ⇒

= − = − =

3.inačica

161 1sin sinsin 0

14 15 '65.

0161 1 75 45 'cos cos cos65

aa

cc

a a

c c

α ααα

ββ β β

− −= ==

=⇒ ⇒ ⇒

− − == = =

Napomena: Uporabili smo stranice koje su zadane. Ako uzmemo u obzir treću stranicu b koju smo

naknadno izračunali, onda ima još mogućnosti.

Vježba 227 Izračunaj duljinu stranice i veličine kutova pravokutnog trokuta ako je a = 32 cm i c = 130 cm.

Rezultat: b = 126 cm, α = 14° 15', β = 75° 45'.

Zadatak 228 (Tin, srednja škola)

Odredite kutove pravokutnog trokuta za koji vrijedi formula ( )2

8 ,a b P+ = ⋅ gdje su a i b

katete, a P ploština trokuta.

Rješenje 228

Ponovimo!

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .x y x x y y x y x x y y+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meñu

duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan, 3) jednakostraničan.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Za pravokutan trokut vrijedi:

12

090 .α β+ =

Ploština pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta a i b računa se po formuli:

2.

a bP

⋅=

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot

jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi.

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

Ako se uzme u obzir pretpostavka da je

( )2

8a b P+ = ⋅

dobije se:

( )( ) ( )

metoda8

supstitucije

28

2

2

28

2

2

a b Pa b a b

a b a ba b

P

+ = ⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒⋅

=

( )2 2 2 2 2

4 2 4 2 4 0a b a b a a b b a b a a b b a b⇒ + = ⋅ ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⇒

( ) ( )2 22 2

2 0 0 /0 0 .a a b b a b a b a b a b⇒ − ⋅ ⋅ + = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

Budući da su katete jednake, pravokutan trokut je jednakokračan pa su mu šiljasti kutovi takoñer

jednaki i iznose:

0090

45 .α β

α βα β

+ =⇒ = =

=

Vježba 228

Odredite kutove pravokutnog trokuta za koji vrijedi formula 2

2 8 ,c a b P+ ⋅ ⋅ = ⋅ gdje su a i b

katete, c hipotenuta, a P ploština trokuta.

Rezultat: Dokaz analogan uz primjenu Pitagorina poučka.

Zadatak 229 (Mira, srednja škola)

Pravac na kojem su točke A i B zatvara s ravninom kut mjere 32° 12'. Duljina dužine AB je

12 cm. Kolika je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tu ravninu?

. 6.39 . 7.56 . 9.06 . 10.15A cm B cm C cm D cm

Rješenje 229

Ponovimo!

Ako su pravci p i q usporedni, onda je

α = β.

q

p

αααα = ββββ

ββββ

αααα

Ortogonalno projiciranje je projiciranje kod kojeg je pravac s koji odreñuje smjer projiciranja okomit

13

na ravninu projekcija π.

s

ππππ

B

A' B'

A

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

αααα

αααααααα

N

B'A'

A

B

A

B

Sa slike vidi se:

' 'NB A B=

Uočimo sa slike pravokutan trokut NBA i pomoću funkcije kosinus izračunamo duljinu │NB│, a to je

duljina ortogonalne projekcije dužine .AB

cos cos s/ coNB NB

NB ABAB AB

ABα α α= ⇒ = ⋅⋅= ⇒ ⇒

012 cos 32 12 ' 10.15 ' ' 10.15 .NB cm NB cm A B cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod D.

Vježba 229

Pravac na kojem su točke A i B zatvara s ravninom kut mjere 32° 12'. Duljina dužine AB je

24 cm. Kolika je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tu ravninu?

. 20.31 . 18.56 . 19.06 . 21.15A cm B cm C cm D cm

Rezultat: A.

Zadatak 230 (Darko, srednja škola) U trokutu ABC duljine stranica su a = 20 cm i b = 30 cm, a duljina težišnice iz vrha A je

ta = 25 cm. Kolika je duljina stranice c tog trokuta?

Rješenje 230

Ponovimo!

, , .1

,

n na a n b a b a c a d b c

n anb c c b d b db

⋅ ⋅ − ⋅= = ⋅ = − =

⋅

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

14

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos co, , s2 2 2

.b c a a c b a b c

b c a c a bα β γ

+ − + − + −= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice i dijeli trokut na dva dijela

jednake površine. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki, težištu trokuta. Težište dijeli svaku

težišnicu u omjeru 2 : 1 gledano od vrha.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

c

γγγγ

a

b

tata

b

a

NN

A B

C C

BA

Sa slika vidi se:

1, , , , ,

2 2

aAB c BC a CA b NC BC AN t BCAa γ= = = = ⋅ = = = ∠

Uočimo trokut ANC i pomoću kosinusovog poučka odredimo cos γ.

2 22 2 2 22 2 22 4cos cos co

22

s2

22

a ab t b ta aNC CA AN

a aNC CAb b

γ γ γ

+ − + − + − = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 2

4cos .

ab ta

a bγ

+ −⇒ =

⋅

Sada računamo duljinu stranice c trokuta ABC. Pomoću kosinusovog poučka dobije se:

2 2 2 2 2 22 cos 2 cosAB BC CA BC CA c a b a bγ γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

22

22 2

2 2 2 42

2

4cos

ab ta

c a b a ba b

ab ta

a bγ

+ −

⇒ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⋅

+ −

=⋅

22 2

22 2 2 2 2 2 2 242 2

4

ab ta a

c a b c a b b ta ba b

a

+ −

⇒ = + − ⋅ ⋅⋅

⋅ ⇒ = + − ⋅ + − ⇒

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 24

24

2 2a a

c a b b t c a b b ta a⇒ = + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒ = + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2

a ac a b b t c a b b ta a⇒ = + − − ⋅ + ⋅ ⇒ = − + − ⋅ + ⋅ ⇒

2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 21 2 2 2

a a a a ac b t c b t c b ta a a

⋅ −⇒ = − − + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⇒

15

/

2 22 2 2 2 2

2 22 2

a ac b t c b ta a⇒ = − + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⇒

( )( ) ( )

220 2 2

30 2 25 23.45 .2

cmc cm cm c cm⇒ = − + ⋅ ⇒ =

Vježba 230 U trokutu ABC duljine stranica su a = 40 cm i b = 60 cm, a duljina težišnice iz vrha A je

ta = 50 cm. Kolika je duljina stranice c tog trokuta?

Rezultat: 46.90 cm.

Zadatak 231 (DM, gimnazija)

Ako za stranice trokuta ABC vrijedi a < b < c, onda je .3

a b ca

+ +< Dokažite.

Rješenje 231

Ponovimo!

,0

.a b a b a b

a c b dc d c c c

< <⇒ + < + ⇒ <

< >

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Iz uvjeta zadatka

a b c< <

dobije se:

zbrojimo/ : 3

nejednakosti3 3 .

3

a aa b c

a b a a b c a a b c a

a c

=+ +

< ⇒ ⇒ ⋅ < + + ⇒ ⋅ < + + ⇒ <

<

Vježba 231

Ako za stranice trokuta ABC vrijedi a < b < c, onda je .3

a b cc

+ +> Dokažite.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 232 (Kolačić ☺☺☺☺, srednja škola) Krošnja drveta visoka 4 m baca sjenu dugu 10 m. Ako je sjena cijelog drveta 15 m, onda je

visina stabla

. 15 . 2 . 300 . 2.5 . 0.4A dm B m C m D m E km

Rješenje 232

Ponovimo!

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Sličnost trokuta

16

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

4

x - visina stabla

15

10

BA P

D

C

Sa slike vidi se:

10 , 15 , 15 10 5 , , 4AB AP BP AP AB PC x CD= = = − = − = = =

4PD PC CD x= + = +

BBA P PA

D

C

D

C

1.inačica

Uočimo pravokutne trokute �APD i �BPC. Budući da su slični (imaju sukladne kutove), vrijedi

razmjer:

17

( ) ( ) ( ): : 15 : 5 4 : 15 / :4 15 4 55 5AP BP PD PC x x x x x x= ⇒ = + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒

3 4 3 4 2 4 2 4 2./ : 2x x x x x x x⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Visina stabla je 2 m. Odgovor je pod B.

2.inačica

Uočimo pravokutne trokute �APD i �BPC. Budući da su slični (imaju sukladne kutove), vrijedi

razmjer:

: : 10 : 5 4 : 10 20 / :2 .010 210AB BP CD PC x x x x= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Visina stabla je 2 m. Odgovor je pod B.

3.inačica

Uočimo pravokutne trokute �APD i �BPC. Budući da su slični (imaju sukladne kutove), vrijedi

razmjer:

( ) ( ) ( ): : 15 : 10 4 : 4 60 10 4 60 10 4 /: 10AP AB PD CD x x x= ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒

6 4 4 6 6 4 2.x x x x⇒ = + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

Visina stabla je 2 m. Odgovor je pod B.

Vježba 232 Krošnja drveta visoka 8 m baca sjenu dugu 20 m. Ako je sjena cijelog drveta 30 m, onda je

visina stabla

. 40 . 0.4 . 30 . 5 . 0.2A dm B m C m D m E km

Rezultat: A.

Zadatak 233 (Kolačić, gimnazija)

Omjer duljina katete i hipotenuze pravokutnog trokuta je 4 : 5. Izračunajte površinu trokuta

ako je njegov opseg 36 cm.

Rješenje 233

Ponovimo!

( ) , , .

n na a a a cn n n

a b a b cnb b bb

⋅⋅ = ⋅ = ⋅ =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

2 2 2.c a b= +

18

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Ako su a i b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta ABC, onda je formula za:

• opseg

O a b c= + +

• površinu

2.

a bP

⋅=

Iz omjera duljine katete (a ili b) i hipotenuze c dobije se:

5: 4 : 5 4 /5 : 44 5 .

4a c c a c a c a= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu katete b kao funkciju duljine katete a.

/

2 2 22

5 25 252 2 2 2 2 2 2 25 4 16 6

161

4

a b c

a b a a b a a b a

c a

+ =

⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒= ⋅

⋅

22 2 2 2 2 2 216 16 16 16 925 25 16a b a b a b aa⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− ⋅ ⇒ ⇒

9 9 92 2 2 2 2 2 216 9 /: 1

16 16 166 /b a b a b a ab⇒ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

3.

4b a⇒ = ⋅

Računamo duljinu katete a.

3 5, 3 5 3 5

36 36 4 3 5 1444 44 4 4 4

3

/ 4

6

b a c aa a a a a a a a a

a b c

= ⋅ = ⋅⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+

⋅ ⇒

+ =

12 144 12 144 12./ : 12a a a⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo duljinu katete b.

33 36

12 9.44 4

12

b ab b b

a

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

=

Površina trokuta iznosi:

12 , 912 9 9 2

6 9 54 .2 2

2

12a b

P P P P cma bP

= =⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅=

Vježba 233 Omjer duljina katete i hipotenuze pravokutnog trokuta je 8 : 10. Izračunajte površinu trokuta ako je njegov opseg 36 cm.

Rezultat: 54 cm2.

Zadatak 234 (Ivan, gimnazija)

Zadan je trokut ABC čiji kutovi zadovoljavaju relaciju

.α β γ− =

Dokažite da je α pravi kut.

19

Rješenje 234 Ponovimo!

.a b

a c b dc d

=⇒ + = +

=

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180°.

.0

180α β γ+ + =

Vrste kutova:

• šiljasti kut – 0º do 90º

• pravi kut – 90º

• tupi kut – 90º do 180º

• ispruženi kut – 180º

• izbočeni kut – 180º do 360º

• puni kut – 360º

Iz sustava jednadžbi dobije se:

zbrojimo

jed

00 180180

0 na0 džbe

α β γα β γ

α β γ α β γ

+ + =+ + =⇒ ⇒ ⇒

− = − − =

0 0 0 0180 0 180 0α β γ β γ α βα β γ α γ⇒ + + + − − = + ⇒ =− −+ ++ + ⇒

0 0 02 180 2 1 / :80 9 .2 0α α α⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Kut α je pravi kut.

Vježba 234

Zadan je trokut ABC čiji kutovi zadovoljavaju relaciju

.2

γα β− =

Dokažite da je α šiljasti kut.

Rezultat: Dokaz analogan: 0

90 .4

γα = −

Zadatak 235 (Pat, srednja škola)

Potrebno je izračunati visinu drveta. Odreñene su dvije točke i izmjerena njihova udaljenost

10 m. Teodolitom su izmjereni kutovi (35º 25' i 46º 26') pod kojim se iz svake od točaka vidi vrh

drveta.

Rješenje 235

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

20

ββββββββαααα αααα

x x1010

h h

A C

V V

CAB B

Sa slika vidi se:

010 , , 10 , 35 25'AB BC x AC AB BC x CAV α= = = + = + ∠ = =

046 26 ' ,CBV VC hβ∠ = = =

Uočimo pravokutan trokut ACV. Tada je:

10 10.10 10

10/

VC h h h htg tg tg x x

AC x x tg tg

x

tgα α α

α αα

+⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −

+ +

Uočimo pravokutan trokut BCV. Tada je:

/ .VC h h h

tg tg tg xBC x x t

x

t ggβ β β

ββ= ⇒ = ⇒ ⋅= ⇒ =

Iz sustava jednadžbi izračunamo visinu drveta h.

metoda

komparacije

10

10 10

hx

tg h h h h

h tg tg tg tgx

tg

α

α β α β

β

= −

⇒ ⇒ − = ⇒ − = ⇒

=

1 1 1 1 1010 10

1/

1 1 1 1h h h

tg tg tg tg

tg tgtg tg

α β α β

αα ββ

⋅⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⇒

−

=

−

1021.97.

1 1

0 035 25 ' 46 26 '

h h

tg tg

⇒ = ⇒ =

−

Visina drveta je 21.97 m.

Vježba 235

Potrebno je izračunati visinu drveta. Odreñene su dvije točke i izmjerena njihova udaljenost

20 m. Teodolitom su izmjereni kutovi (35º 25' i 46º 26') pod kojim se iz svake od točaka vidi vrh

drveta.

Rezultat: 43.95 m.

21

Zadatak 236 (Matija, srednja škola)

Sa prozora visokog 20 m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutom od 12º, a sa zemlje (točno

ispod prozora) pod kutom od 58º. Koliko je visoka zgrada?

Rješenje 236

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

d d

20

αααα

ββββ

d

x

2020 20

x

d

ββββ

ααααCC

A B BA

D

V

D

V

Sa slika vidi se:

20 , , , 20DA CB DC AB d VC x VB h VC CB x= = = = = = = + = +

0 012 , 58CDV BAVα β∠ = = ∠ = =

Uočimo pravokutan trokut DCV. Tada je:

/ .VC x x x

tg tg tg dDC d d t

d

t ggα α α

αα= ⇒ = ⇒ ⋅= ⇒ =

Uočimo pravokutan trokut ABV. Tada je:

20 20 20./

VB x x xtg tg tg

dd

AB d d tt gg ββ β β

β

+ + += ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

Iz sustava jednadžbi izračunamo veličinu x.

( )metoda

komparacije

2020

20

xd

tg x xx tg tg x

x tg tgd

tg

αβ α

α β

β

=+

⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒+

=

( )20 20 20x tg x tg tg x tg x tg tg x tg tg tgβ α α β α α β α α⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

22

( )0

20 20 1220

08

/0

5 12

1 tg tgx tg tg tg x

tx

tgg t g tgg tg t

αβ α α

β αβ α

⋅ ⋅⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ = =

− −⋅

−⇒ ⇒

3.06.x⇒ =

Visina zgrade iznosi:

3.06 20 23.06 .20

VB VC CBh h m

h x

= +⇒ = + ⇒ =

= +

Vježba 236

Sa prozora visokog 40 m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutom od 12º, a sa zemlje (točno

ispod prozora) pod kutom od 58º. Koliko je visoka zgrada?

Rezultat: 46.13 m.

Zadatak 237 (Anñelka, Katarina, Marijana, TUPŠ)

Duljine stranica trokuta su 13 cm, 14 cm i 15 cm. Kolika je najkraća visina trokuta?

Rješenje 237

Ponovimo!

1 2, 0, , , .

n m n ma a a a a a b a b a a a

+= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≥

.n p nm p m

a a⋅ ⋅

=

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Visina je okomica spuštena iz vrha trokuta na suprotnu stranicu. Najkraća visina spuštena je na

najdulju stranicu trokuta. Najdulja visina spuštena je na najkraću stranicu trokuta. Ako su a, b, c

duljine stranica trokuta, a va, vb, vc duljine visina, tada vrijedi:

.a b c v v va cb< < ⇒ > >

Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

Heronova formula

Površina trokuta čije su stranice a, b i c računa se po formuli

( ) ( ) ( ) , ,2

a b cP s s a s b s c s

+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

gdje je s poluopseg trokuta

Budući da su zadane stranice trokuta, njegovu površinu izračunamo pomoću Heronove formule.

( ) ( ) ( ), .2

a b cs P s s a s b s c

+ += = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

vc

c

b a

Stranica c je najdulja stranica trokuta pa je visina vc najkraća. Tada je:

23

2.

2 2

2/

c v c v Pc cP P vccc

⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ =

Računamo visinu vc.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 13

1

2

2

22

4

15

Pvc s s a s b s cc

vccP s s a s b s c

a b csa b c c

s

a

b

⋅=

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −=

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒ ⇒ ⇒+

=

=

=+

=+ +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

13 14 15 42

2 2

s s a s b s c s s a s b s cv vc c

c c

s s

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −= =

⇒ ⇒ ⇒+ +

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 21 21 13 21 14 21 15

1521

s s a s b s cvc vcc

s

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −=

⇒ ⇒ = ⇒

=

3 2 2 42 21 8 7 6 2 3 7 2 7 2 3 2 3 7 2

15 15 15v v vc c c

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 2 4 22 3 7 2 2 3 7 2 2 3 7 4 2 7 4

15 15 5 51

3

1v v v vc c c c

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 7 4 5611.2 .

5 5v v v cmc c c

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 237

Duljine stranica trokuta su 26 cm, 28 cm i 30 cm. Kolika je najkraća visina trokuta?

Rezultat: 22.4 cm.

Zadatak 238 (Anñelka, Katarina, Marijana, TUPŠ)

Ako su duljine stranica trokuta 9 cm, 12 cm i 15 cm, kolika je površina trokuta čiji su vrhovi

polovišta duljina stranica trokuta?

Rješenje 238

Ponovimo!

1 2, 0, , , .

n m n ma a a a a a b a b a a a

+= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≥

, .b a bn p nm p m

a a ac c

⋅⋅ ⋅= ⋅ =

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Heronova formula

Površina trokuta čije su stranice a, b i c računa se po formuli

( ) ( ) ( ) , ,2

a b cP s s a s b s c s

+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

gdje je s poluopseg trokuta

Kažemo da su dva trokuta �ABC i �A1B1C1 slična ako se podudaraju u svim trima kutovima:

24

1

1

.

1

1 1 1ABC A B C

α α

β β

γ γ

=

= ⇒ ∆ ∆

=

∼

Omjer duljina stranica sličnih trokuta �ABC i �A1B1C1

1 1 1

a b ck

a b c= = =

zove se koeficijent sličnosti.

Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica.

2 2 22

1 1 1 1 1 1 1

, , , .P P a P b P c

kP P a P b P c

= = = =

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

, 1 1 1,1 1

.,1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

pri čemu vrijedi:

1 1 1, , .a b c

k k ka b c

= = =

Srednjice trokuta

Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice.

Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici

duljine te stranice.

pn

mc b

a

‌ ‌ , 2‌ ‌ ‌ ‌ , 2, 2 , , .a m c pb n b n ca m p= ⋅ = ⋅= ⋅

ab

c

a1b1

c1

c

b a

25

1.inačica

Stranice trokuta čiji su vrhovi polovišta duljina stranica zadanog trokuta srednjice su stranica zadanog

trokuta i iznose:

1 19

1 12 2 4.51

1 112 6 .

1 1 12 27.51 1 1

151 1

9

12

15

2 2

a a aa

b b b b

cc c c

a

b

c

= ⋅ = ⋅=

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

=

=

= ⋅ =

=

⋅

=

Računamo površinu P1 trokuta čije su stranice a1, b1 i c1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4.51

61

7.5

1 1 1 1 1 1 1 1

4.5 6 7.51 1 1

212

P s s a s b s c P s s a s b s c

a b c

a

b

css

=

=

=

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⇒ ⇒ ⇒+ + + +

==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1

189

2

P s s a s b s cP s s a s b s c

ss

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⇒ ⇒ ⇒

==

( ) ( ) ( ) 29 9 4.5 9 6 9 7.5 9 4.5 3 1.5 3 3 1.5 3 1.5

1 1 1P P P⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

4 2 4 2 2 23 1.5 3 1.5 3 1.5 9 1.5 13.5 .

1 1 1 1 1P P P P P cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

2.inačica

Izračunamo površinu P zadanog trokuta čije su stranice a, b i c.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9

12

15

9 12 15

2 2

P s s a s b s c Pa s s a s b s c

a bs

bc

cs

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⇒ ⇒ ⇒+ + + += =

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )36

182

P s s a s b s cP s s a s b s c

ss

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⇒ ⇒ ⇒==

( ) ( ) ( ) 218 18 9 18 12 18 15 18 9 6 3 2 3 3 3 2 3 3P P P⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 6 2 6 3 22 3 2 3 2 3 2 27 54 .P P P P P cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Budući da je trokut sa stranicama a1, b1 i c1 sličan trokutu sa stranicama a, b i c, koeficijent sličnosti k iznosi:

111 111 222

1 1 11 .1 12 2 2

1 1 111 1

1/

1/

2 2

1

2/

aka aa a

a

bb b b b k

b

cc c c

b

ccc

k

a= == ⋅= ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = =

= ⋅ =

⋅

=⋅⋅

⋅

=

26

Tada za površine P1 i P sličnih trokuta vrijedi:

21 1 1 121 1 1 1

12 4 4 4/

P P P Pk P P

P P PP

P= ⇒ = ⇒ = = ⇒⋅⇒ = ⇒ ⋅

1 2 254 13.5 .

1 14P cm P cm⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 238

Ako su duljine stranica trokuta 18 cm, 24 cm i 30 cm, kolika je površina trokuta čiji su vrhovi

polovišta duljina stranica trokuta?

Rezultat: 22.4 cm.

Zadatak 239 (Željko, gimnazija)

Ako za stranice pravokutnog trokuta vrijedi a + c = 4 · b, koliki su kutovi trokuta?

Rješenje 239

Ponovimo!

( )2 2 2 0

2 1 60 .',a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + =

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Za pravokutan trokut vrijedi:

090 .α β+ =

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

2 2 2 2 2 2 2 2 2, , .c a b a c b b c a= + = − = −

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze.

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

sin ββββ = b

c

αααα + ββββ = 90°°°°ββββ

αααα

c

b

a

Napišimo sustav jednadžbi.

( )metoda

supst

4 4

itucije

2 2 24

2 2 2 2 2 2

a c b a b cb c b c

a b c a b c

+ = ⋅ = ⋅ −⇒ ⇒ ⇒ ⋅ − + = ⇒

+ = + =

27

2 2 2 2 2 2 2 216 8 16 8 16 8 0

2 2b b c c b c b b cc b b b c bc⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + + = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ ++ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⇒

( )nema s02

17 8 0 1mis

7 8 0 17 8 017 8 0

labb b c b b c b c

b c

=⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒

⋅ − ⋅ =

1/ sin

1

8 817 8 17 8 si

17 177n

b

c c

bb c b c

cββ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⇒⋅ ⇒

⋅⇒ =

81 0sin 28 4 '.

17β β

−⇒ = ⇒ =

Računamo kut α.

090 0 0 0 0 0 0 0

28 4 ' 90 90 28 4 ' 89 60 ' 28 4 ' 61 56 '.0

28 4 '

α βα α α α

β

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

=

Vježba 239

Ako za stranice pravokutnog trokuta vrijedi b = 2 · (c – a), koliki su kutovi trokuta?

Rezultat: Analogno radimo. α = 36° 52', β = 53° 8'.

Zadatak 240 (Miran, srednja škola)

Kakav je trokut za čije šiljaste kutove vrijedi jednakost 2 2

sin sin 1?α β+ =

Rješenje 240

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Za pravokutan trokut vrijedi:

090 .α β+ =

( ) ( )0 02 2cos sin 1 sin cos 90 co, , s sin 9 .0x x x x x x+ = = − = −

Transformiramo zadanu jednakost.

2 2 2 2 2 2sin sin 1 sin 1 sin sin cos .α β α β α β+ = ⇒ = − ⇒ =

Budući da su kutovi α i β po pretpostavci šiljasti kutovi, vrijedi:

sin 0.

cos 0

α

β

>

>

Tada je:

( )02 2 2 2s /in cos sin cos sin cos sin sin 90α β α β α β α β= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒

0 090 90 .α β α β⇒ = − ⇒ + =

Trokut je pravokutan.

Vježba 240

Kakav je trokut za čije šiljaste kutove vrijedi jednakost 2 2

cos cos 1?α β+ =

Rezultat: Trokut je pravokutan.