2° Teorema In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicato per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.

Trigonometria

r

x

y

P = (x,y)

θ

x

y

sinr cosr θθ == yx

1°Teorema In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure per il seno dell’angolo opposto.

tg cossinx θ

θθ xyy =⇒=

cotg sincosy θ

θθ yxx =⇒=

sin cosry

rx

== θθ

Funzioni trigonometriche Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, cotan, …) sono funzioni periodiche, cioè che dopo un determinato periodo si ripetono identiche a loro stesse; per le funzioni seno e coseno il periodio è pari a 2π (360°), per la tangente e la cotangente il periodo è pari a π

x

Periodo

sinx cosx

==yy

y

Periodo

tan x =y

x

y

-π/2 π/2

0

π

1

x xcos

sin

x

tan

x -1≤ sinx ≤1

-1 ≤ cosx ≤ 1 -∞<tanx<∞

cotanx

Identità trigonometriche

c b

θ a

sin c cos c θθ == ba

( ) ( )

( )

θθθ

θθ

θ

θθ

θθθ

θ

θθθ

θθθ

θθ

cos1cos1

2tan

tan1tan22tan

cos121

2cos

2sin2cos1cos1

21

2sin

sincos2cos

cossin22sin

1cossin

2

2

22

22

22

+

−=

−=

+=

=−⇒−=

−=

=

=+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

θθ

θ

φθφθφθ

φθφθφθ

φθφθφθ

φθφθφθ

φθφθφθ

2tan1tan22tan

21sin

21sin2coscos

21cos

21cos2coscos

21cos

21sin2sinsin

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ±=±

=±

±=±

∓

∓

Formule di Prostaferesi

Grandezze Scalari e Grandezze Vettoriali

Grandezza completamente definita da un VALORE NUMERICO (positivo o

negativo) espresso nell’unità di misura appropriata

Massa, temperatura, distanza, intervallo temporale, energia,

lavoro, potenza …

Aritmetica ordinaria somma, sottrazione,

moltiplicazione, divisione,…

Spostamento, velocità, accelerazione, forza, momento

angolare, momento di una forza …

Grandezza completamente definita da un valore numerico positivo,detto

MODULO, espresso nell’unità appropriata, da una DIREZIONE e

da un VERSO

Vettori

Algebra vettoriale somma e sottrazione di vettori,

proiezioni, prodotto scalare, prodotto vettoriale, …

Scalari

Ø  Si indica:

Vettori

Ø  Un vettore si rappresenta graficamente attraverso una freccia

A

B

La lunghezza del corpo della freccia indica il modulo

La retta su cui giace la freccia indica la direzione

a!

a

§  Con una lettera in grassetto : a

a!

§ Con una lettera e una freccia :

AB§ Con gli estremi e una freccia :

La punta della freccia indica il verso

Notazione: Vettore entrante nel foglio Vettore uscente ⊗

Caso particolare di vettore: Versore: vettore adimensionale di lunghezza unitaria introdotto per specificare una data direzione orientata: Es:

a=1

a

kji ˆ,ˆ,ˆ Sono i VERSORI della TERNA CARTESIANA x,y,z

Somma di Vettori(1)

• Non possono essere sommati vettori associati a grandezze diverse • Non possono essere sommati vettori associati alla stessa grandezza ma espressi con unità di misura diverse ( bisogna prima effettuare una conversione ad un’unità di misura comune)

)()( mmBcmA!!

+

( )cmA!

( )mmB!

( )cmA!

( )cmB!

)()( cmBcmA!!

+Conversione di unità di misura (moltiplicando il modulo di per ) B

! 1cm10mm

Regola del parallelogramma

=+ BA!!A

!B!

!B

A!

B!

BAR!!!

+=

Somma di Vettori (metodo geometrico)(2)

A!

B!

C!

BA!!

+

CBAR!!!!

++=

( ) CBAR!!!!

++=

A!

B!

C!

CB!!

+

( )CBAR!!!!

++=

ABBAR!!!!!

+=+=

Proprietà Commutativa della

somma BAR!!!

+=

B!

A!

ABR!!!

+=

A!

( )( ) ( )CABCBA

CBACBAR!!!!!!

!!!!!!!

++=++=

++=++=

Proprietà associativa della

somma

Vettore opposto e Differenza di Vettori

A!

B!

BAR!!!

+=A!

B!

BAR!!!

+=

A!

( )BABA!!!!

−+=−

A!

−A!

( ) 0=−+ AA!!

Possiamo vedere la sottrazione come la somma di un vettore con l’opposto dell’altro

Ma quale è quel vettore che sommato ad mi dà zero? A!

I vettori e hanno stesso modulo e direzione, ma verso opposto A!

A!

−

BAR!!!

−=A!

B!

A!

B!

−

B!

B!

−

0=+= BAR!!!

B!

Si definisce opposto del vettore quel vettore che sommato ad dà come risultato 0 A!

A!

B!

BAR!!!

−=

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

A!

Ø  direzione uguale a quella di ; A!

Ø verso opposto a quello di se s<0; A!Ø  verso uguale a quello di se s>0; A!

s= 2

A!2−s= -2

s = A!

Ø se s=0 si ottiene il vettore nullo;

A!Ø modulo uguale al prodotto tra il

modulo di e il valore assoluto di s.

Il prodotto s di un vettore per un numero s (scalare) è un vettore avente: A!

A!

A!

2A!2

A!

Vettori (nello spazio tridimensionale) q  Un vettore è rappresentato graficamente da un segmento, la cui lunghezza o “modulo”, una volta fissata l’unità di misura, definisce l’intensità del vettore stesso

A!1A

!

2A!

3A!

=A!

Vettore libero

321 ,, AAA!!!

Vettori equipollenti: Due vettori si dicono uguali se hanno stesso modulo e puntano nella stessa direzione e verso

Ø Il modulo del vettore è pari alla lunghezza del segmento OP Ø La direzione del vettore nello spazio è definita dai due angoli θ e φ che il vettore forma con all’asse z e con il piano xy (della terna cartesiana scelta) rispettivamente

B!

B!

321 AAAA!!!!

===

x

z

y O

φ

θ

Vettore definito univocamente dal punto di applicazione ( ,P)

B!

B!

B!

P

sono i versori,della terna cartesiana. In particolare:

kji ˆ,ˆ,ˆ •  è diretto lungo l’asse positivo delle x i•  è diretto lungo l’asse positivo delle y j•  è diretto lungo l’asse positivo delle z k

Componenti di Vettori e Versori(1) q  Il metodo geometrico per la somma di vettori diventa complicato da attuare quando si ha bisogno di descrivere i vettori nello spazio tridimensionale q  Conviene utilizzare un metodo più analitico che fa uso delle proiezioni di un vettore lungo gli assi di un sistema cartesiano ( sistema di coordinate ortogonali … sperando che questa sia una puntualizzazione ovvia) q Se con la somma troviamo un vettore che rappresenta la combinazione di uno o più vettori, analogamente si può anche scomporre un vettore nella somma di altri due o più vettori ( Decomposizione)

x

z

y O

φ

θ

Ay

A!

P

Az

Ax

I Valori numerici Ax, Ay, Az sono le proiezioni di sui rispettivi assi x, y, z

A!

ijk

Possiamo quindi riscrivere il vettore intermini dei tre versori e delle sue proizioni

A!

kji ˆ,ˆ,ˆ

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

!

sono a loro volta 3 vettori la cui somma dà il vettore

kAjAiA zyxˆ,ˆ,ˆ

A!

q  Modulo: !A = A = Ax

2 + Ay2

Vettori e componenti

y

xO

P

θ

Un vettore, una volta scelti gli assi cartesiani, può essere individuato anche tramite le sue componenti lungo tali assi:

!A = Axi + Ay j =

!Ax +

!Ay

Ay

Ax

ji

A!

q  Angolo θ :

x

y

AA

=θtan

Ax

Ay

Teorema di Pitagora A

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

θ

θ

sin

cos

AA

AA

y

x

θθ

cossin

=⇒x

y

AA

θtan=

iAA xxˆ=

!

jAA yyˆ=

!

θ

NB: le proiezioni di un vettore possono essere anche negative

I vettori componenti: hanno per modulo il valore assoluto delle componenti e direzione del versore associato all’asse di proiezione Il verso può essere lo stesso od opposto del versore associato.

Somma per componenti Abbiamo visto che un vettore può essere espresso mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani

y

xO

Ay

Ax

A!

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+=

+=

jBiBB

jAiAA

yx

yx

ˆˆ

ˆˆ

!

!

B!

Bx

By R!

Ry

Rx

Domanda: Come si fa a sommare ad un vettore di componenti Ax e Ay un vettore di componenti Bx e By? A

!B!

θ

( ) ( )2222yyxx BABARRR yx +++=+=

Modulo

jRiRR yxˆˆ+=

!

Dati i due vettori e , sia il vettore risultante dalla somma di essi. BAR!!!

+=A!

B!

Risposta: Si sommano le componenti lungo x e lungo y separatamente

!R =

!A +!B = A

xi + A

yj( )+ B

xi +B

yj( )

Rx Ry

xxx BAR +=

yyy BAR +=

Angolo tanθ =

Ry

Rx

=Ay +By

Ax +Bx

= Ax+B

x( ) i+ Ay+B

y( ) j

Moltiplicazione di vettori I vettori sono quantità più complicate degli scalari ‼  la somma di due scalari è una semplice operazione algebrica ( es: 2 s +3 s = 5 s senza ambiguità)

‼  la somma di due vettori non è la semplice somma delle intensità dei due vettori, ma un’operazione che tiene conto anche della direzione e del verso che i due vettori hanno l’uno rispetto all’altro Lo stesso discorso vale per la moltiplicazione tra vettori… tanto che, se per gli scalari esiste un’unica operazione di moltiplicazione, per i vettori ne esistono 2. 1)  Prodotto scalare 2) Prodotto vettoriale

!A ⋅!B = Scalare

!A×!B =Vettore

“A scalar B” “A vector B”

Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(1)

A!

B!

Altro modo di vedere il prodotto scalare:

Il prodotto scalare di due vettori qualsiasi e è una grandezza scalare uguale al prodotto del modulo di moltiplicato per la proiezione di su

A!

B!

A!

B!

A!

A!

B!

θ

A!

B!

B cosθ

θ θcosABBA ≡⋅

!!Prodotto scalare tra e A

!B!

θcosABBA ≡⋅!!

( ) θθθπθπθπ cos0cossin2sincos2cos2cos01

=+=+=− !"#!"#

( ) θθπ cos2cos =−

2π-θ ( ) θθπ cos2cos BABABA =−≡⋅

!!

B!

Il prodotto scalare di due vettori e , si scrive è una grandezza scalare uguale al prodotto dei moduli dei due vettori con il coseno dell’angolo (θ) formato tra di essi (l’angolo minore dei due)

BA!!⋅A

!B!

θ

2π-θ

R

R Rcosθ x

y

B

Proiezione di su A!

B!

AA ≡!

Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(2)

Proprietà del prodotto scalare e casi particolari:

Ø  Il prodotto scalare PUÒ avvenire tra vettori con unità di misura diverse e le unità di misura del risultato del prodotto sono semplicemente il prodotto delle unità di misura (ne vedremo diversi esempi)

Ø Proprietà distributiva della moltiplicazione:

ABBA!!!!⋅=⋅Ø Proprietà Commutativa

( ) CABACBA!!!!!!!⋅+⋅=+⋅

Ø Se il loro prodotto scalare è pari ad AB: BA!!

//

Ø Se il loro prodotto scalare è nullo: BA!!

⊥

!A ⋅!B = ABcos0°

=1! BA=

!A ⋅!B = ABcos90°

=0"#$

Ø Se il loro prodotto scalare è nullo: 0== BA!!

000 =⋅=⋅!!!!

BA

Ø Se consideriamo i tre versori ortogonali kji ˆ,ˆ,ˆ

kkjjii ˆˆˆˆˆˆ ⋅=⋅=⋅

kjkiji ˆˆˆˆˆˆ ⋅=⋅=⋅

1=0=

= 0

Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(3) Definito un sistema di coordinate cartesiane di riferimento, il prodotto scalare si può anche scrivere nella forma:

zzyyxx BABABABA ++≡⋅!!

(dimostrazione alla lavagna)

Le due equazioni che descrivono il prodotto scalare: sono del tutto equivalenti La scelta di una o dell’altra per determinare il prodotto scalare dipende da come vengono definiti i vettori

Ed in particolare: 2222 AAAAAAAAAAAA zyxzzyyxx =++=++≡⋅!!

θcosABBA ≡⋅!!

zzyyxx BABABABA ++≡⋅!!

Moltiplicazione di vettori-Prodotto vettoriale(2)

BAC!!!

×=

A!

B!

α

( )απα −≠ 2sinsin

( ) απααπαπ sin2cossincos2sin2sin10

−=−=− !"#!"#

Ø  La direzione di è PERPENDICOLARE al piano definito dai due vettori C!

αsinABCC =≡!Modulo

NB:

απ −2

Il prodotto vettoriale di due vettori e , si scrive ed è un vettore che:

BA!!

×A!

B!

Ø  Il verso è quello dato dalla regola della mano destra.

θ

2π-θ

R

R

Rsinθ

x

y

Rsin(2π-θ)

Ø  ha modulo pari al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicati per il seno dell’angolo (α) minore compreso tra essi.

!a×!b = ab

!a×!b = 0

!a× !a = 0

Se i due vettori sono ORTOGONALI (θ=90° => sin θ=1)

Se i due vettori sono PARALLELI (θ=0° => sin θ=0)

Moltiplicazione di vettori-Prodotto vettoriale(2)

!a×!b( ) = −

!b × !a( )

!a ⋅ !a×!b( ) =!b ⋅ !a×

!b( ) = 0

Calcolo differenziale

Definiamo una funzione f(x) che mette in relazione le variabili indipendente x con la variabile (dipendente) y: dove a,b,c,d sono valori costanti fissati. y può essere definita per ogni valore di x. Es: x=1 => y(1)=a+b+c+d ; x=2 => y(2)=8a+4b+2c+d; …

dcxbxaxxyxf +++== 23)()(

x

y(x)

yΔ

xΔ

La derivata di y(x) rispetto ad x è definita come il limite al tendere di Δx a 0 delle corde tracciate fra due punti sulla curva y:

xy

dxdyy

x Δ

Δ==

→Δ 0lim'

Corda

xxyxxy

x Δ

−Δ+=

→Δ

)()(lim0

x x+Δx

y+Δ

y

y

Derivata di y(x) rispetto ad x

y(x)

NB:La derivata di y(x) risulta essere la pendenza della tangente alla curva y(x) nel punto x (lo vedremo meglio tra poco applicato alla velocità)

xxx −Δ+ )(

x

y(x)

y

x

Tangente alla curva nel punto

(x,y(x))

Derivate definite

La derivata di una costante è identicamente nulla cost 0 == adxda

1−= nn

nxdxdx ( ) cost 1 == − anax

dxaxd n

n

xdxxd cossin=

xdxxd sincos

−=

cost cossin== aaxa

dxaxd

cost sincos=−= aaxa

dxaxd

xdxxd

2cos1tan

=axa

dxaxd

2costan

=

34

4xdxdx

=

xdxaxd 1ln

=axax

aedxde

=

Proprietà delle derivate Derivata di una somma(differenza) di funzioni:

( ) ( )[ ]dxdg

dxdfxgxf

dxd

±=±

Prodotto di funzioni:

( ) ( )[ ]dxdfg

dxdgfxgxf

dxd

+=

Rapporto di funzioni:

( ) ( )[ ] 2gdxdgf

dxdfg

xgxfdxd −

=

Funzione di funzione:

( )( )dfdg

dxdfxfg

dxd

=

xxxxdxd 2cos68)2sin34( 2 +=+

xxxx

xxxxxxdxd

sin33cos3

33cos3sin3]3cos[32

233

−

=⋅+⋅−=

4

62

6

23

3

3cos3sin3

3cos3sin3

33cos3sin33cos

xxxx

xxxxx

xxxxx

xx

dxd

+−

=+

−

=⋅−⋅−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

( )

xxxxxdxd

yygxxy

dxxdyyg

dxd

cossin2sincos2)(cos)( ,cos)(

)(

2

2

−=−⋅=

==

!"#!"#

Calcolo integrale

L’integrazione è da considerare la funzione inversa della derivata L’integrale I della funzione f(x) tra i limiti a e b si scrive: ed è pari all’area compresa tra la curva f(x) e l’asse delle x nell’intervallo di valori a≤ x≤b

)()()()( aIbIxIdxxf b

a

bx

ax

−==∫=

=

x

f(x)

a

f(x)

b

NB: Se il limite superiore dell’integrale è una variabile w si ha :

)()()(

llora )()(

wfdxxfdwdwI

dwd

adxxfwIwx

ax

wx

ax

==

=

∫

∫=

=

=

=

e quindi in generale: L’integrale indefinito I(x) di f(x) è la funzione la cui derivata è f(x) Es:

( ) dcxxbxadxcbxax +++=++∫ 232

23

( ) cbadcbadcbadcxxbxadxcbxax ++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++=++∫ 2300

203

112

1323

23231

0

231

0

2

Calcolo Integrale(2)

L’integrale è detto primitiva di f(x), cioè è quella funzione che quando derivata dà la funzione f(x)

∫= dxxfxI )()(

NB: l’integrale è definito sempre a meno di una costante, cioè esistono infinite primitive di una stessa funzione, tutte quelle che differiscono tra di loro per una costante, in quanto la derivata di una costante è comunque nulla.

Proprietà degli integrali:

cxdx +=∫

( ) cxfdxdxxdf

+=∫ )(

( ) costa dove )( == ∫∫ dxxfadxxaf

[ ] ∫∫∫ +=+ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(

dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()( '' ∫∫ −=

L’integrale di una funzione moltiplicata per una costante è uguale alla costante per l’integrale della funzione

L’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni

Integrazione per parti: date due funzioni di x f e g l’integrale della derivata di f moltiplicata per g è uguale al prodotto delle due funzioni meno l’integrale della derivata di g moltiplicata per f.