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Vortrag

CASK 2007

Die Nullstellen der Zeta – Funktion und die Verteilung der Primzahlen

- unter Verwendung von mathcad© 12 –

Prof. Dr. Peter Grobstich

1. Die Ermittlung aller Primzahlen bis N 2. Der Zusammenhang der Primzahlen 3. Die reelle Zeta – Funktion nach EULER 4. Die komplexe Zeta – Funktion nach RIEMANN 5. Die Nullstellen der Funktionen ζ(s) und Ξ(t) 6. Die Verteilung der Primzahlen 7. Eine Anwendung der Primzahlen 8. Projekte, Literatur und Programme

2

1. Die Ermittlung aller Primzahlen bis N

Wir beginnen mit einer Primzahl-Tabelle, wie sie in jeder Zahlentafel zu finden ist.

Die Ermittlung der Primzahlen kann mit einfachen Probedivisionen erfolgen. So findet man zum Beispiel alle Primzahlen bis N = 100. Für die weiteren Untersuchungen stehen nicht die einzelnen Primzahlen im Vordergrund, sondern die Anzahl der Primzahlen in einem Bereich. Es ergeben sich 25 Primzahlen bis N =100 und 168 bis N =1000. Mit einem kleinen Programm kann man die Aufgabe einem Computer übertragen:

Test Tab A, B,( ) L länge Tab( )←

k 1←

r 1←

r mod j Tabi,( )←

break r 0if

i 1 L..∈for

TabNeuk j←

k k 1+←

r 0≠if

j A B..∈for

TabNeu

:=Urliste der Primzahlen bis n = 10:

T1 2 3 5 7( )T:=

T3

112345678910111213

2357

111317192329313741

= T3

113141516171819202122232425

41434753596167717379838997

=

3

Man erhält eine große Primzahl- Tabelle bis N = 105, hier im Auszug dargestellt.

T7

126272829303132333435363738394041

101103107109113127131137139149151157163167173179

= T7

11215121612171218121912201221122212231224122512261227122812291230

985198579859987198839887990199079923992999319941994999679973

10007

= T7

19577957895799580958195829583958495859586958795889589959095919592

99823998299983399839998599987199877998819990199907999239992999961999719998999991

=

Aus dieser Tabelle können zwei markante Ergebnisse abgelesen werden. Die Anzahl der Primzahlen bis N = 104 ist 1229 und bis N = 105 beträgt sie 9592. Diese beiden Ergebnisse werden später zur Kontrolle benutzt.

2. Der Zusammenhang der Primzahlen Die Auswertung der bisherigen Ergebnisse erfolgt nun in einer kleinen Tabelle, die durch weitere Angaben ergänzt wurde, π (N) bezeichnet die Anzahl der Primzahlen bis N. Unter Beachtung der Logarithmen- Gesetze mit N := 10 . N � ln (10 . N) = ln (N) + ln (10) = ln (N) + 2.30 ergibt sich die grundsätzliche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen: (C. F. GAUSS / 1792)

NN == ππ ((NN)) NN // ππ ((NN)) llnn ((NN)) 110022 2255 44,,00 44,,66 110033 116688 66,,00 66,,99 110044 11 222299 88,,11 99,,22 110055 99 559922 1100,,44 1111,,55 110066 7788 449988 1122,,77 1133,,88 110077 666644 557799 1155,,00 1166,,11

dx)x(ln

1)N(Li)N()N(ln

N)N(N

2∫=≈π≈π

4

Der Zusammenhang zwischen den Primzahlen {p} und den ganzen Zahlen {n} wird über die Primfaktor-Zerlegung durch die Formel von EULER (1737) beschrieben: Auf der linken Seite dieser Formel stellt jede Klammer die Summenformel einer geometri- schen Reihe mit dem Faktor

sp1q = dar.

Die Multiplikation zweier solcher Reihen ergibt alle möglichen Kombinationen der Prim-zahlpotenzen. Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung einer ganzen Zahl in Primfaktoren ergeben sich alle Zahlen n, die nur aus diesen beiden Primfaktoren aufgebaut sind. Durch Hinzunahme weiterer Primzahlen ergeben sich schrittweise alle natürlichen Zahlen und damit die Formel auf der rechten Seite. 3. Die reelle Zeta – Funktion nach EULER Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert für s- Werte, die größer als 1 sind. Die entscheidende Idee von Euler war, diese Reihe zur Definition einer neuen Funktion zu verwenden. So entstand die berühmte Zeta-Funktion:

1sn1)s(

1ns >=∑

∞

=

ζ

Zunächst konnte man nur Näherungswerte dieser Funktion berechnen. Ein Durchbruch im

Verständnis war Eulers Entdeckung einer Formel für ζ(2) mit 6

)2(2π=ζ .

Da es auch für 0 < s < 1 Grenzwerte in dieser Form gibt

kann man die Zeta – Funktion im positiven Bereich mit einer Gliedzahl N so definieren:

Das Programm Mathcad ist in der Lage, daraus eine Kurve für diese Funktion zu erstellen. Neben dem Wert ζ(2) und der Asymptote ist die Polstelle typisch für den Verlauf. Die folgende Zeichnung zeigt den Bereich für x = 0.1 … 5.

ZETA s N,( )

1

N

n

1

ns∑=

1 s<if

1

N

n

1

ns∑=

N1 s−

1 s−− 0.1 s< 1<if

:=

∞n 1

n

k

1

k∑=

2 n⋅−

lim→

Zeta12

→

( ) ∑∏ =−−−

ns

p

1s

n1p1

5

Im weiteren Verlauf soll nun die Zeta-Funktion für den negativen Bereich erklärt werden. Dazu verwendet man die EULER – MacLaurin – Formel. In ihrem Aufbau erinnert sie einerseits an die Taylor-Reihen, wobei die Koeffizienten aus den Bernoulli-Zahlen gebildet werden. Andererseits hat sie Ähnlichkeit mit der Interpolationsformel von Newton.1

.....)!k2(

B.....)2x()1x(x!4

Bx!2

B21

1x1)x( k242 ⋅+++⋅+⋅+⋅++−

=ζ ⋅ für x > -2.k,

mit

In dieser Darstellung treten zum ersten Mal Nullstellen auf. Diese Nullstellen heißen „triviale Nullstellen“ und liegen genau bei den negativen geraden Zahlen.

1 Die Herleitung bei Knopp: „Theorie und Anwendungen der unendlichen Reihen“.

Bereich: x 0.1 0.2, 5..:=

0 1 2 3 4 5

4

2

2

4

7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0.01

0.005

0.005

0.01

0.015−

ζ x( )

07− x

triviale Nullstellen

.....;0B;421B;0B;

301B;0B;

61B 765432 ===−===

6)2(

2π=ζ

Polstelle

6

4. Die komplexe Zeta – Funktion nach RIEMANN Jetzt werden wir die Zeta-Funktion durch Übergang in den komplexen Bereich noch einmal entscheidend erweitern. Diese Erweiterungen stammen im wesentlichen von Riemann. Als Reihenentwicklung legt man für die rechentechnische Behandlung am besten eine Veränderung der Euler-Maclaurin-Formel zugrunde, die von Edwards stammt:

für Re(s) > -2 Damit kann das Programm eine 3-D – Darstellung der Funktion | ζ(s) | in der oberen komplexen Halbebene erzeugen:

Man erkennt zunächst die Eigenschaften vom reellen Bereich wieder. Die Polstelle und das asymptotische Verhalten treten deutlich hervor. Das Ziel ist jedoch, weitere Nullstellen im komplexen Bereich zu finden. Eine gute Vorstellung vom Verhalten der Funktion kann man durch Schnittebenen gewinnen. Im obigen Bild ist die wichtige Ebene für Re(s) = ½ eingezeichnet worden. An dieser Stelle seien an einer einfachen komplexen Funktion elementare Eigenschaften dargestellt, wichtig sind die Nullstellen und Polstellen.

Die Funktion lautet 8z2

i2z)z(g2

+⋅++= , ihre Nullstellen und die Polstelle werden berechnet.

ζ s N,( )

1

N 1−

n

1

ns∑=

12

1

Ns⋅+

1s 1−

1

Ns 1−⋅+

s

12 Ns 1+⋅+:=

7

In der komplexen Ebene wird ein elliptischer Bereich ausgewählt, der diese Stellen enthält. Die 3-D – Darstellung im ausgewählten Bereich zeigt dieses Bild.

g z( )z2 2+ i+

2z 8+:=

zn1 0.34 1.5 i⋅−:=Nullstellen bei z2 2+ i+ 0

auflösen z,

gleit 2,.34 1.5 i⋅−

.34− 1.5 i⋅+

→zn2 0.34− 1.5 i⋅+:=

Polstelle bei: zp 4−:=

Ellipse als Bereich in der komplexen Ebene, Lage der Polstelle und der Nullstellen :

6 4 2 0 2 4 6 8

4

2

2

4

EllipseNullstelleNullstellePolstelle

8

Wir kehren zur Zeta-Funktion zurück. Die ausgewählte Schnittebene bestimmt eine Kurve. Die Kurve für s = ½ + t.i entlang dieser Schnittebene könnte neue, nichttriviale Nullstellen aufweisen. Diese Kurve wird im folgenden Bild gezeigt, sie hat tatsächlich Nullstellen.

Die Nullstellen treten für etwa t = 14, 21, 25 und 31 auf. Jetzt ergeben sich mehrere Fragen:

- wie kann man erkennen, dass sich dort tatsächlich Nullstellen befinden ? - wie kann man sie genau lokalisieren ? - kann man die Nullstellen berechnen ? - wie viele Nullstellen gibt es im Bereich 0 < t < T ? - kann man mit einem Programm eine Tabelle der Nullstellen erzeugen ?

Eine genaue getrennte Untersuchung des Realteils und des Imaginärteils der Zeta-Funktion zeigt zum Beispiel für s = ½ + t . i folgendes Bild:

Es treten bei Realteil und Imaginärteil gemeinsame Nullstellen auf ! Eine Untersuchung für andere s-Werte mit Re(s) ≠ ½ zeigt entweder keine gemein- samen oder keine Nullstellen des Realteils. Diese Beobachtung führt auf die berühmte RIEMANNsche Vermutung:

„ Alle nichttrivialen Nullstellen der ζ – Funktion liegen auf der Geraden Re (s) = ½ “

8 10 12 14 16 18 20 22

0.5

Realteil Zeta-Fkt für Re (s) = 1/2

0.7

0.4−

U t( )

238 t

8 10 12 14 16 18 20 22

1

Imaginärteil Zeta-Fkt. für Re (s) = 1/2

0.7

1−

V t( )

238 t

9

5. Die Nullstellen der Funktionen ζ(s) und Ξ(t) Zur Untersuchung der nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden Re(s) = ½ hat Riemann die vervollständigte Zeta-Funktion vorgeschlagen: Die zugehörige Kurve zeigt im Bereich 0 < t < 50 folgenden Verlauf:

In diesem Bereich hat die Kurve 10 Nullstellen! Wir steigern nun die Genauigkeit der Darstellung in diesem Bereich und erweitern den Bereich bis zu T = 100.

.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

its)s()1s(s)t(212

s

2s ⋅+=ζ⋅−⋅⋅π⋅Γ=ξ −

20 21 22 23 24 25 26

20

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

40

20

20

40

10

Eine weitere Darstellung für die vervollständigte Zeta-Funktion geht ebenfalls auf Riemann zurück und ist durch eine Integralformel gegeben: 2) Diese Form ist für die Berechnung von Funktionswerten ebenfalls gut geeignet. Wir verwenden sie, um Nullstellen der ζ - Funktion zu berechnen. Eine Nullstelle einer (stetigen) Funktion ist durch einen Vorzeichen-Wechsel zu erkennen. So ergibt sich zum Beispiel:

Eine elegante Methode zur Ermittlung von Nullstellen stellt die Mathcad-Anweisung „wurzel“ dar. Es wird die Gleichung Ξ (t) = 0 nach dem Newton – Verfahren mit dem vorgegebenen Startwert gelöst. Damit hat man bisher für 4 Nullstellen Näherungswerte. Um eine systematische Ermittlung der Nullstellen durchzuführen, verwenden wir ein kleines Mathcad-Programm, das einen gegebenen Bereich T mit einer Schrittweite h testet. Dabei ist eine Voraussetzung, dass man die Anzahl der Nullstellen in diesem Bereich kennt. Eine Näherungsformel, die von Riemann ohne Beweis angegeben wurde lautet:

3) Im folgenden wird das Programm angeschrieben. Es verwendet einen Bereich [a, b], in der Regel [0 … T], und durchläuft ihn mit der Schrittweite h. Bei einem Vorzeichenwechsel der Funktion werden die aktuellen Werte in eine Liste geschrieben. Das Programm gibt dann die Lage der Nullstellen in geordneter Reihenfolge aus. In einem ersten kleinen Beispiel werden die erwarteten 21 Nullstellen im Bereich 0 < t < 80 berechnet. Eine große Tabelle mit insgesamt 210 Nullstellen bildet das Kernstück der Berechnungen.

2 Die Funktion θ(x) bezeichnet die Jacobi-Theta – Funktion. 3 Man kann die Anzahl der Nullstellen durch ein Integral über die logarithmische Ableitung der Funktion Ξ (t) entlang einer geschlossenen Kurve berechnen. Die Auswertung dieses komplizierten Integrals gelingt mit Mathcad. Es ergeben sich so z. B. 5 ζ - Nullstellen im Bereich 18 < t < 38.

Genauigkeit:

Ξ t( )12

t214

+

1

200

xθ x( ) x

3−4⋅ cos

t2

ln x( )⋅

⋅

⌠⌡

d⋅−:= TOL 10 4−:=

Nullstelle finden: Ξ 14.1( ) 4.91 10 5−×= Ξ 15( ) 7.05− 10 4−×=

Mathcad - Anweisung "wurzel" zur Ermittlung von Nullstellen

t 14:= wurzel Ξ t( ) t,( ) 14.135= t 21:= wurzel Ξ t( ) t,( ) 21.022=

t 25:= wurzel Ξ t( ) t,( ) 25.009= t 30:= wurzel Ξ t( ) t,( ) 30.597=

( ) ( ) dxxlntcosx)x(t21)t(

1

43

221

41 ∫

∞−

⋅⋅⋅⋅θ⋅+−=Ξ

112Tln

2T)T(N +

−π⋅

⋅π⋅

≈

11

Nullstellen im

Das ζ - Programm Bereich 0 < t < 80

Tabelle der ersten 210 ζ - Nullstellen

ζ

1123456789101112131415161718192021222324252627282930

14.1321.0225.0130.4232.9337.5840.9143.3248.0049.7752.9756.4459.3460.8365.1167.0769.5472.0675.7077.1479.3382.9184.7387.4288.8092.4994.6595.8798.83

101.31

= ζ

1313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960

103.72105.44107.16111.02111.87114.32116.22118.79121.37122.94124.25127.51129.57131.08133.49134.75138.11139.73141.12143.11146.00147.42150.05150.92153.02156.11157.59158.84161.18163.03

= ζ

1616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990

165.53167.18169.09169.91173.41174.75176.44178.37179.91182.20184.87185.59187.22189.41192.02193.07195.26196.87198.01201.26202.49204.18205.39207.90209.57211.69213.34214.54216.16219.06

= ζ

1919293949596979899

100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

220.71221.42224.00224.98227.42229.33231.24231.98233.69236.52237.76239.55241.04242.82244.07247.13248.10249.57251.01253.06255.30256.38258.60259.87260.80263.57265.55266.61267.92269.97

= ζ

1121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150

271.49273.45275.58276.45278.25279.23282.46283.20284.83286.66287.91289.57291.84293.56294.96295.57297.97299.84301.65302.69304.86305.72307.21310.11311.16312.42313.98315.47317.73318.85

= ζ

1151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180

321.16322.14323.46324.86327.44329.03329.95331.47333.64334.21336.84338.34339.86341.04342.05344.66346.34347.27349.31350.41351.88353.48356.01357.14357.94359.74361.29363.33364.73366.21

= ζ

1181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210

367.99368.96370.04373.06373.86375.82376.33378.43379.87381.48383.44384.96385.86387.22388.84391.45392.23393.42395.58396.37397.91399.98401.83402.86404.23405.13407.57408.94410.51411.97

=

ζNull a b, h,( ) t a←

k 1←

z ξ3 t( )←

t1 t h+←

z1 ξ3 t1( )←

Lk 1, t←

Lk 2, t1←

k k 1+←

z z1⋅ 0<if

t t1←

t b<while

L

:= .

ζ1

1 2123456789101112131415161718192021

14.13 14.1421.02 21.0325.01 25.0230.42 30.4332.93 32.9437.58 37.5940.91 40.9243.32 43.3348.00 48.0149.77 49.7852.97 52.9856.44 56.4559.34 59.3560.83 60.8465.11 65.1267.07 67.0869.54 69.5572.06 72.0775.70 75.7177.14 77.1579.33 79.34

=

12

6.1. Die Nullstellen der ζ- Funktion und die Verteilung der Primzahlen Der folgende Formelapparat ist die Grundlage zur Berechnung der Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegeben Größe x. Diese Formeln stammen von RIEMANN aus seiner berühmten Arbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“.4 Man beginnt mit der Berechnung einer möglichst großen Anzahl von Nullstellen der Zeta-Funktion. Die Imaginärteile t dieser Nullstellen gehen in die Dichtefunktion D(x) ein. Sie spielen die Rolle von Korrekturtermen bei der bekannten Dichtefunktion nach Gauß. Das Integral über die Dichte ergibt die Anzahl aller Primzahl-Potenzen kleiner x. Die letzte Formel schließlich berechnet daraus die gesuchte Anzahl der Primzahlen. Anzahl der Nullstellen Dichtefunktion für Primzahlen Anzahl Primzahlpotenzen Anzahl der Primzahlen bis x Es folgen konkrete Berechnungen: Die Ergebnisse geben die tatsächliche Verteilung der Primzahlen fast exakt wieder!!

4 Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.

112Tln

2T)T(N +

−π⋅

⋅π⋅

≈

))xln(t(cos)x(lnx

12)x(ln

1)x(Dt

⋅⋅⋅

⋅−= ∑

∫=x

2

dx)x(D)x(A

...)x(A)x(A)x(A)x(A)x(A)x(A)x(ANZ 765371

61

51

31

21 ±⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−=

Ermittlung von 235 ζ - Nullstellen für die Dichtefunktion:

T 450:= N T( )T

2 π⋅ln

T2 π⋅

1−

⋅ 1+:= N T( ) 235=

tT 228 229 230 231 232 233 234 2351 438.61 439.91 441.68 442.9 444.31 446.86 447.45 449.15

=

D x( )1

ln x( )2

1

x ln x( )⋅⋅

1

235

i

cos ti ln x( )⋅( )∑=

⋅−:= A x( )2

xxD x( )

⌠⌡

d:=

ANZ x( ) A x( )12

A 2 x( )⋅−13

A 3 x( )⋅−15

A 5 x( )⋅−16

A 6 x( )⋅+17

A 7 x( )⋅−:=

ANZ 10( ) 4= ANZ 100( ) 25= ANZ 1000( ) 168= ANZ 105( ) 9591=

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6.2 Die Tschebyscheff – Funktion ψ(x) Der Zusammenhang zwischen den kompletten Nullstellen ρ der ζ - Funktion und einzelnen Primzahlen wird über die Funktion ψ(x) beschrieben. Sie ist die Summe der Logarithmen aller Primzahlen bis zur Stelle x. Eine explizite Funktionsgleichung lautet: Die verkürzte Gleichung ist: Die grafische Darstellung des Kurvenverlaufs im Bereich bis x = 30: Der Verlauf zeigt eine Sprungfunktion. Die Sprünge treten bei den Primzahlen auf und bei Zahlen, die vollständige Potenzen von Primzahlen sind, z.B. bei x = 13,17,19, aber auch bei x = 8 = 23 , 25 = 52 , 27 = 33 usw. Der Verlauf zeigt auch ein Schwingungsverhalten wie bei einer Fourier - Entwicklung. Hier zum Vergleich eine bekannte Entwicklung:

∑ρ

ρ

ρ−

−π⋅−=−

ψ xln)2(lnx)x( 2x1

1

∑ρ

ρ

ρ−=ψ xx)x(0

Primzahlen

13 17 19

Primzahlen

13 17 19

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7. Eine Anwendung der Primzahlen - Das RSA - Verfahren Die Bedeutung der Primzahlen in der Praxis besteht heute darin, dass mit ihrer Hilfe eine sichere Übermittlung von Texten möglich ist. Dazu ist es notwendig, dass man einen Text, bevor man ihn versendet, zuerst mit dem Schlüssel d „verschlüsseln“ muss. Der Empfänger muss ihn dann wieder mit einem passenden Schlüssel e „entschlüsseln“. Bei dem RSA-Verfahren5 werden die Schlüssel d und e verschieden gewählt, sie sind so genannte „modulo - Inverse“. Das Verschlüsseln und das Entschlüsseln erfolgt über ein Potenzieren modulo N . Das Verfahren besteht aus folgenden Schritten:

� Vorgabe zweier (großer) Primzahlen p und q - geheim - � Bilden des Moduls durch p . q = N - öffentlich - � Schlüssel d und e berechnen mit:

d . e ≡ 1 mod [ (p – 1) . (q – 1) ] (*)

� Text „ x “ mit e (öffentlich) „verschlüsseln“ und absenden x e mod N = y

� Text „ y “ empfangen und mit d (geheim) „entschlüsseln“ y d mod N = x

Es folgt ein Beispiel. Hier wird das Computerprogramm „ARIBAS“ verwendet, um ein realistisches Beispiel zu demonstrieren. Dargestellt werden nur die Ergebnisse.6

� Auswahl der geheimen Primzahlen p und q von geeigneter Größe, hier ca. 40 Stellen � Modul: N = p . q � N = 3_29653_32750_91650_69129_99864_00426_53894_73091_

_65682_01891_25345_33258_20924_20721_74124_98960_65667

� Verschlüsselter Text (dezimal): � Y = 68473_96951_27948_92240_77176_08359_01595_18867_66419_

14023_37982_76087_17223_04518_39969_32878_54247.

� Entschlüsselter Text (hexadezimal): � X = 4D61_7468_656D_6174_696B_202D_2053_7072_6163_

6865_2064_6573_2049_6E67_656E_6965_7572_73.

� Entschlüsselter ASCII - Text: � „Mathematik – Sprache des Ingenieurs“

Die Sicherheit des Verfahrens beruht darauf, dass es sehr schwer ist, eine große Zahl N in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Aus der Kenntnis von p und q könnte man dann über die Gleichung (*) zum öffentlichen Schlüssel e den passenden geheimen Schlüssel d berechnen! 5 Das Verfahren ist benannt nach den Entwicklern Rivest, Shamir und Adleman 6 Das komplette Beispiel findet man in Grobstich / Strey: „Mathematik für Bauingenieure“, Kap 1.1.3

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8. Projekte, Literatur und Programme Wichtige große internationale Projekte, die mit massivem Computereinsatz Probleme aus diesem mathematischen Gebiet bearbeiten, sind:

� „zetagrid“: ζ – Nullstellen werden berechnet zur Überprüfung der Riemann – Vermutung. 1013 Nullstellen wurden ermittelt, alle mit dem Re = ½ (Stand 2005).

� „prothsearch”:

Proth – Primzahlen der Bauart p = k . bn + 1 werden gesucht, p = 17 . 2 1 990 299 + 1 ist ein Beispiel aus dem Jahre 2006.

� „GIMPS“: Mersenne – Primzahlen der Bauart p = 2n – 1 werden gesucht,

p = 2 32 582 657 – 1 ist die größte bekannte Primzahl, Stand 2006. Es folgt eine kurze Literatur – Liste mit Büchern und Artikeln, die Themen aus diesem Bereich behandeln:

� RIEMANN: „Über die Anzahl der Primzahlen …..“, Monatsberichte der Berliner Akademie 1859

� KNOPP: „Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen“,

Springer - Verlag 1996 / 1. Auflage 1921

� EDWARDS: „Riemann’s Zeta Function”, 1974 / 2001

� RIBENBOIM: „Die Welt der Primzahlen“, Springer - Verlag 2006

� du SAUTOY: „Musik der Primzahlen“, Deutscher Taschenbuch Verlag 2006

� BOMBIERI: „Problems of the Millennium: The RIEMANN Hypothesis“,

Institute for Advanced Study, Princeton NJ 08540

� FREITAG / BUSAM : „Funktionentheorie“, Springer - Verlag 2006

� Grobstich / Strey: „Mathematik für Bauingenieure“, Teubner - Verlag 2004 Diese Computer - Programme wurden für die Berechnungen benutzt:

� Das Computer-Algebra – Programm mathcad ©12, Mathsoft USA / Canada

� Das Zahlentheorie – Programm ARIBAS © NT, O. Forster / Uni München

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Mit Porträts der Mathematiker, die wesentliche Grundlagen zu diesem Thema geschaffen haben, wird der Vortrag nun beschlossen.

Quelle: Wikipedia

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Peter Grobstich

Leonhard Euler 1707 - 1783

Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855

Bernhard Riemann 1826 - 1866