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Velocidad Crítica -- Página 1 de 17

República Argentina

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

67.12 -- MECANISMOS “B”

VELOCIDAD CRÍTICA de ÁRBOLES

(TEÓRIA)

3ra. Edición

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

[email protected]

JUNIO 2.003

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VIBRACIÓN NATURAL LIBRE

Sea un cuerpo de peso W suspendido de una suspensión elástica como por ejemplo un resorte (elemento elástico ‘por excelencia’), tal como indica la Figura 01 anterior y de masa propia a considerar nula (despreciable frente a la del peso W).

Los resultados que así se obtengan, resultan ser de gran aplicación en numerosas configuraciones de pesos suspendidos y/o apoyados de/en estructuras elásticas, como lo son todas, por menos que se quiera.

Sin peso W , se indica la posición del extremo libre de la suspensión elástica cuando la misma no se encuentra cargada con el peso W.

Cargada la suspensión elástica dentro de su límite elástico y de manera estática, con el peso W y siendo k = Constante elástica (o de rigidez) de la suspensión, la misma se deformará la magnitud st , valiendo:

W = k * st

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Separando el cuerpo W, siempre unido a la suspensión, de su posición de equilibrio ( st ), la magnitud X 0 , el mismo oscilará indefinidamente si el amortiguamiento del sistema resulta nulo (rozamiento con el gas que rodea al sistema y ‘rozamiento intercristalino’ en la suspensión, nulos) entre X 0 (amplitud del movimiento) y -- X 0 , siendo O (posición de equilibrio en estado de reposo) el origen de la coordenada X.

Para una posición instantánea cualquiera X, la ecuación de equilibrio establece:

d2 XFx = M * ax W -- ( W + k * X ) = M * ------

dt2

con M = Masa del peso Wax = Aceleración (instantánea) que presenta el movimiento de Wt = Tiempo

k * X = Componente elástica de recuperación de la suspensión.

W + k * X = Fuerza con que actúa la suspensión sobre el peso W

Operando se obtiene la ecuación diferencial del movimiento:

d2 X k------ + --- * X = 0dt2 M

kHaciendo n^2 = --- se obtiene:

M

d2 X------ + n^2 * X = 0dt2

Esta última expresión corresponde a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, obtenido el mismo como la proyección de un punto animado de movimiento circular uniforme, sobre cualquiera de los diámetros de la circunferencia (trayectoria) respectiva, siendo n la velocidad angular, de valor constante, del radio vector correspondiente, tal cual muestra la Figura 02 en la siguiente página.

Rotando el vector X 0 con velocidad angular n constante, su proyección X sobre

el eje X, suponiendo 0 (ángulo inicial) nulo y siendo t la variable tiempo, resulta:

X = X0 * cos () = X0 * cos (n * t)

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X------ = -- X0 * n * sen (n * t)t

2 X------ = -- X0 * n^2 * cos (n * t)t2

siendo: X = X0 * cos () resulta:

2 X------ + n^2 * X = 0t2

Volviendo al esquema del peso W y de la suspensión (Figura 01), n resulta ser la pulsación natural de vibración del sistema, propia de la masa (W / g) del cuerpo que vibra (se desprecia la de la suspensión elástica) y de la constante elástica de su suspensión.

kn^2 = ---

M

La frecuencia natural de vibración y con g = aceleración gravitatoria, resulta en:

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n 1 k (1 / 2)fn = ---------- = ---------- * ---

2 * Nºpi 2 * Nºpi M

W 1 g (1 / 2)siendo k = ---- resulta fn = ---------- * ----

st 2 * Nºpi st

El período Tn natural de vibración, resulta en:

1 st (1 / 2)Tn = ---- Tn = 2 * Nºpi * ----

fn g

cm 300Con g = 980 -------- fn (v.p.m) -----------------------

seg^2 st (cm)^(1 / 2)

Así entonces la pulsación, la frecuencia y el periodo natural de vibración dependen sólo de la masa del cuerpo que vibra y de la constante elástica de su sustentación y no de las condiciones iniciales del movimiento.

VIGA CON CARGA W CENTRADA

Sea la viga isostáticamente sustentada de la siguiente Figura 03, cargada en su centro con la carga W y con Je (momento areolar ecuatorial de segundo orden de la sección transversal) constante sobre toda su longitud:

W * L^3Siendo: W = k * st ;;;;;; st = ---------------

48 * E * Je

1 48 * g * E * Je (1 / 2)resulta: fn = ---------- * -------------------

2 * Nºpi W * L^3

De esta última expresión surge:

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a) Cuando L (longitud) aumenta de valor, también lo hace st y f n ( n ) disminuye: Las vigas largas poseen frecuencias (pulsaciones) naturales de vibración más bajas que las vigas cortas.

b) Cuando J e aumenta de valor (si se trata de secciones circulares, aumenta el diámetro de las mismas) st disminuye y f n ( n ) aumenta: Las vigas de mayor J e (si son circulares, de mayor diámetro) tienen frecuencias (pulsaciones) naturales de vibración más altas que las vigas de menor J e (sí son circulares, de menor diámetro)

De lo arriba escrito se deduce que el aumento de la rigidez (disminución de la flexibilidad) de las vigas aumenta la frecuencia (pulsación) natural de vibración. Lo expuesto tiene validez también atendiendo a otras clases de esfuerzos, esto es la torsión y los esfuerzos normales de tracción - compresión.

VELOCIDAD LATERAL CRÍTICA DE ÁRBOLES

Sea el árbol ROTANTE (suspensión elástica) de la siguiente Figura 04 con un volante (polea, rueda dentada, rotor) de masa M y que presenta, el volante, una cierta excentricidad e entre su centro G de masas y el eje de rotación del sistema, dado por la línea recta que une los cojinetes sobre el cual el sistema rota, sometido asimismo a la acción de una cierta carga exterior Q como lo puede ser un tiro de correas.

Como consecuencia de la excentricidad e, cuando el sistema es colocado en rotación y siendo x la deflexión (deformación por flexión) que experimenta el árbol, el mismo responde a la solicitación resultante con una fuerza centrípeta Fc de valor M * ^2 * (x + e) .

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Siendo que la fuerza Q también flexiona el árbol y considerando que la misma, conforme sea el instante observado, puede coincidir o no en dirección con la fuerza Fc y en el caso de direcciones coincidentes, ambas pueden ser del mismo sentido o no; respecto a Fc (la misma rotatoria) y haciendo -- Q fQ + Q (fQ variable en el tiempo (respecto a Fc) de manera seno / cosenoidal) resulta:

k * x = M * ^2 * (x + e) + fQ

en donde k * x representa la fuerza elástica de recuperación que opone el árbol a través de su constante elástica k a la flexión. Operando:

k * x -- M * ^2 * x = M * ^2 * e + fQ

k fQx * --- -- ^2 = ^2 * e + ----

M M

kcomo: --- = n^2 y dividiendo por n ^2 :

M

e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / ( M * n^2 ))x = -----------------------------------------------------------

1 -- ( ^2 / n^2 )

kcomo: M * n^2 = M * ---- = k

M

e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / k )x = --------------------------------------------

1 -- ( ^2 / n^2 )

Estando representada la ecuación anterior en la Figura 05 en la siguiente página:

A) Sí = 0 ;;;; x = ( fQ / k )

B) Sí n ;;;; x

e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / k )C) Siendo: x = --------------------------------------------

1 -- ( ^2 / n^2 )

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e + (( fQ * n^2 ) / ( k * ^2 )resulta: x = ----------------------------------------------

( 1 / ( ^2 / n^2 )) -- 1

^2 1Sí ; ------ ; ---------------- 0

n^2 ^2 / n^2

fQ * n^2 e + 0--------------- 0 ; x ---------- = -- e( k * ^2 ) 0 -- 1

Resumiendo: A) Sí = 0 ; x = ( fQ / k )

B) Sí n ; x

C) Sí ; x -- e

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A = n = (k / M)^(1 / 2) se la llama velocidad angular lateral crítica del sistema , pues produce el colapso del mismo (exclusivamente sustentación lineal elástica no amortiguada) al hacer tender x (deflexión) a .

En estas circunstancias ( = n ) el árbol se comporta como un sistema elástico en resonancia, por coincidir la frecuencia de excitación exterior (Fc) con su frecuencia natural de vibración lateral.

Obsérvese que el fenómeno aun subsiste con e = 0 y / o Q = 0

Cuando ; x -- e . Esta situación indica que el centro de masa del volante se alinea con el eje de rotación, que dicho volante rota alrededor de su centro de masa y que consecuente desaparece toda vibración. El árbol gira alrededor del eje de rotación como un arco de flecha alrededor de su cuerda, como muestra la siguiente Figura 06.

El análisis desarrollado supone la no existencia de amortiguamientos, los cuales, de existir, morigeran (aplanan) los picos.

Las conclusiones revelan que el sistema constituido por el árbol y las masas a el acopladas, tiene una velocidad crítica lateral independiente de las excentricidades de las masas y solo dependen de:

A) Las condiciones de sustentación del árbolB) La posición y el valor de las masas a el acopladas.C) Las dimensiones y naturaleza (material) del árbol.

APLICACIONES

Es posible concebir gran número de configuración de rotores que pueden incluir varias masas, varios soportes y secciones variables del árbol, cuyo comportamiento es cualitativamente similar al estudiado.

La diferencia consiste en que en configuraciones mas complicadas existen varias velocidades críticas, tantas como grados de libertad posee el sistema.

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A) Árbol de sección uniforme con una sola masa.

Ejemplo 1: Apoyos con rodamientos a rótula. Volante (disco) centralRef.: Figura 07 siguiente

W * L^3 48 * E * Je * g ( 1 / 2 )st = ------------------- ; n = -------------------

48 * E * Je W * L^3

Ejemplo 2: Apoyos con cojinetes (cojinetes de deslizamiento).Volante (disco) central. Ref.: Figura 09 (Anexo Figuras)

W * L^3 192 * E * Je * g ( 1 / 2 )st = ------------------- ; n = --------------------

192 * E * Je W * L^3

Relacionando los ejemplos 1 y 2 anteriores, resulta:

n ejemplo 2 192 ( 1 / 2 )----------------- = ------ = 2n ejemplo 1 48

La diferencia radica en que en el ejemplo 2, el sistema es más rígido por cuanto en los extremos, no es posible la libre rotación ‘longitudinal’ de las secciones transversales del árbol entre sí, como sucede en el ejemplo 1 (ver figuras).

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Ejemplo 3: Apoyos con rodamientos a rótula. Volante (disco) no centralRef.: Figura 09 siguiente

W * a^2 * b^2 3 * E * Je * L * g ( 1 / 2 )st = ------------------- ; n = ----------------------

3 * E * Je * L W * a^2 * b^2

ÁRBOL DE SECCIÓN UNIFORME CON VARIAS MASAS.Ref.: Figura 10 siguiente

Suponiendo que la proyección sobre un plano longitudinal (plano XZ) del movimiento de las masas sigue la ley del movimiento armónico simple, y considerando solamente dicha proyección, los desplazamientos instantáneos x i en función de sus amplitudes (desplazamientos máximos) Xi, resultan:

xi = Xi * cos ( * t)

Las velocidades instantáneas resultan en:

xi

Vi = ----- = -- Xi * * sen ( * t)t

Siendo: Vimx = Xi * Vi = Vimx * sen ( * t)

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V i = Vi mx se verifica en el centro de la oscilación y en los extremos de esta, resulta nula (V i = 0 ).

Aplicando el principio de la conservación de la energía (sin que la energía exista, recuérdese que se está considerando la proyección de un movimiento circular de velocidad angular sobre un plano longitudinal), se tiene (tratándose de un sistema conservativo inclusive de por sí) que la suma de las ‘energías potencial y cinética’ se mantiene constante: Ec + U = constante.

En los extremos de la oscilación, la energía cinética es nula y la potencial, máxima (por ser máxima la deformación proyectada) y por el contrario, en el centro de la oscilación, la energía cinética es máxima y la potencial, nula.

No pudiéndose sobrepasar el límite elástico (falla del sistema) y valiendo la ley de proporcionalidad entre cargas y deformaciones en dicho período, resulta:

n Fci * Xi 1 n

Umx = ------------ ; Ecmx = --- Mi * Vimx^2i = 1 2 2 i = 1

n Fci * Xi 1 nigualando: ------------ = --- Mi * Vimx^2

i = 1 2 2 i = 1

n n Fci * Xi = ^2 Mi * Xi^2

i = 1 i = 1

haciendo = n (velocidad angular crítica lateral) Xi = Xin (deformación crítica) y operando se obtiene:

( Fci * Xin )n^2 = ---------------------

( Mi * Xin^2 )

Dicha expresión resulta no resoluble por el desconocimiento de las variables Fci y Xin, sin embargo y como es condición no sobrepasar el límite elástico, Fci es a Xin como lo es el peso Wi de la masa correspondiente, a la deformación estática existente donde dicho peso existe y provocada por la acción estática de los pesos de todos los volantes, luego:

Fci Wi Fci Xink = ----- = -------- ---- = ------ = Cte

Xin sti Wi sti

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( Fci * Xin ) ( Wi * Cte * sti * Cte )luego: n^2 = --------------------- = ---------------------------------------

( Mi * Xin^2 ) ( Mi * sti^2 * Cte^2 )

( Wi * sti ) ( Wi * sti )n^2 = ----------------------- = g * ------------------------

( Mi * sti^2 ) ( Wi * sti^2 )

La expresión anterior es llamada Expresión o Fórmula de Rayleigh - Ritz y permite calcular la frecuencia natural de vibración lateral para un árbol con n volantes, conociendo los pesos de los mismos y las deflexiones estáticas que dichos pesos (actuando en conjunto) producen.

En el caso de una única masa, se tiene y con resultado idéntico a lo ya tratado:

W * st gn^2 = g * ----------------- = -----

W * st^2 st

Siendo ni la velocidad angular crítica lateral que provocaría cada volante si el mismo actuara independientemente, la velocidad angular crítica lateral que provocaría el conjunto de los n volantes, conforme a Dunkerley, resulta ser:

1 n 1------ = -------n^2 i = 1 ni^2

La velocidad angular crítica lateral que se calcula con las expresiones de Rayleigh - Ritz y de Dunkerley es la fundamental o más baja del sistema; en general, el árbol presentará distintos modos de vibrar, tantos como masas existan, como se muestra en las Figuras 11, 12 y 13 siguiente página:

VELOCIDADES de OPERACIÓN en la REGIÓN SUPERCRÍTICA

Para equipos industriales, tales como compresores centrífugos, que operan por encima de la primer crítica, las normas establecen condiciones mínimas que deben reunir, para evitar efectos no deseables en la operación de los mismos. Por ejemplo (ver Figura 14 subsiguiente página), el Instituto Americano del Petróleo (norma A.P.I. 617, 4ta. edición, compresores centrífugos para servicios generales en refinerías) establece:

c1factor de amplificación permitido: Af = ------------- 5

2 -- 1

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Valores del factor de amplificación superiores a 8 constituyen un riesgo potencial. Un sistema bien amortiguado, posee curvas de respuesta redondeadas y no en picos con lo cual se logran operaciones adecuadas.

VELOCIDADES CRÍTICAS LATERALES Y TORSIONALES

Sea un tren rotativo, como el representado en la Figura 15 siguiente página, constituido por una máquina motora (rotativa) (turbina, motor eléctrico,) identificada con Mm, accionando la misma y en tandem, un par de compresores, sopladores, bombas centrífugas, (también rotativas) identificadas con Mc.

Resultan así, 3 (tres) árboles vinculados entre sí y de a dos por un acoplamiento en cada vinculación.Si se golpeara con una maza y lateralmente, uno de dichos árboles, ese árbol y por ser el mismo un elemento elástico, vibrará a su frecuencia natural de vibración lateral, mientras que los restantes y si los acoplamientos resultan ser flexibles, mantendrán escasa o ninguna respuesta a consecuencia de que las excitaciones laterales que se produzcan, propias o provocadas, quedan aisladas por los acoplamientos, se reitera, si es que los mismos son flexibles. En cambio, si los acoplamientos resultan ser rígidos, dichas vibraciones laterales serán transmitidas, por transmitir los mismos, las deformaciones por flexión que se verifican entre los árboles que conectan. Resulta así que atendiendo a este concepto, resultan más convenientes los acoplamientos flexibles que los rígidos.

Surge entonces que las frecuencias naturales de vibración laterales deben ser analizadas en cada uno de los árboles del tren o en conjunto, conforme sea / n él / los tipo/s de acoplamiento/s que sé utilice/n (debe pensarse en que los acoplamientos pueden resultar ser o de baja o alta flexibilidad (alta o baja rigidez, respectivamente)); teniendo entonces el tren tantas frecuencias naturales de vibración laterales (iguales o distintas) como árboles tenga el mismo, si los acoplamientos son “absolutamente” flexibles (imposible tal vez) o una única si todos los acoplamientos son “absolutamente” rígidos (imposible tal vez, nuevamente).

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Podría darse (al menos matemáticamente), que en el caso dibujado, uno de los acoplamientos sea flexible y el otro rígido o ambos de distinta rigidez / flexibilidad. El proyecto y / o verificación de cada máquina en particular, exige el análisis, en cuanto al tema se refiera, de su propio árbol, tomado este como una única entidad.

Sin embargo, si uno de los árboles es sometido a torsión, los demás responderán, a causa de que los acoplamientos, cualquiera su tipo, si transmiten torsión. En este caso, corresponde entonces estudiar el fenómeno de la frecuencia natural de vibración torsional de la cadena en su totalidad, como así también en cada una de las máquinas componentes, consideradas las mismas, una a una, como un ente particular.

Si ahora, de algún modo, se golpeara reiteradamente al árbol (tomado el mismo desconectado o acoplado de manera absolutamente flexible a los demás) con la misma frecuencia que la natural del mismo, la amplitud de su vibración crecerá hasta un valor alto y constante, determinado por la energía del golpe, el tamaño y geometría del árbol y la vinculación (elasticidad y amortiguamiento) del mismo.

Corresponde preguntarse si existe alguna forma más efectiva de excitar el árbol a un régimen rápido y uniforme, la respuesta es: rotándolo.

Un desbalanceo y / o desalineación de cualquier árbol, sin importar cuan cuidadosamente haya sido construido y montado, como así también de las masas a el acopladas, sirve muy bien para producir una excitación si se considera la proyección de la rotación del mismo sobre uno de los planos que contiene a su eje de rotación, por cada revolución que se verifica.

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Resulta así, que cuando se llega con la velocidad de rotación a la frecuencia natural de vibración lateral propia del árbol, nos encontramos con serios problemas. Cuando mayor sea el desbalanceo inherente o la velocidad de rotación, mayor será la excitación y así también mayor será la amplitud de las vibraciones observadas en los vínculos.

Una máquina muy bien balanceada, normalmente no produce altos niveles de vibraciones, siendo difícil a veces, en el banco de pruebas, determinar su frecuencia natural de vibración lateral. Sin embargo; agregando un contrapeso en un acoplamiento colocado ad - hoc, resulta muy fácil localizarla.

Una máquina rotativa que se diseña para operar a velocidades inferiores a la primera (hay varias) frecuencia natural de vibración lateral, se la denomina subcrítica o de árbol rígido y aquella que opera por encima de dicha frecuencia y por debajo de la que le sigue en valor (segunda), es llamada supercrítica o de árbol flexible. Aquellas máquinas que con su velocidad de funcionamiento, superan su segunda frecuencia natural de vibración, son consideradas de diseño pobre.