Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova 1: 25/09/2017

Versão: A

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Considere um �uido cuja densidade varia com a pres-são como ρ = Cp, onde C é uma constante conhe-cida, sujeito a uma aceleração da gravidade uniforme~g = −gz. Supondo conhecida a pressão p0 no fundodo recipiente (z = 0), a pressão em um ponto arbitrá-rio do �uido pode ser escrita como

(a) p0 − Cgz.(b) p0 + Cgz.

(c) p0 exp(Cgz).

(d) p0 exp(−Cgz).(e) p0ln(Cgz).

2. [QUESTÃO ANULADA] Uma parede composta detrês camadas (de mesma espessura) de materiais A,B e C separa dois reservatórios térmicos com tempe-raturas T1 e T4. No regime estacionário, o per�l detemperatura na parede pode ser representado pela �-gura

Sabendo que Q2, Q3 e Q4 representam as quantidadesde calor que passam através das interfaces indicadasna �gura, KA, KB e KC são as condutividades tér-micas dos materiais e T2 e T3 as temperaturas nasinterfaces 2 e 3, podemos escrever que:

(a) Q2 > Q3 > Q4, KA > KB > KC , T2 < T3 < T4

(b) Q2 > Q3 > Q4 ,KA > KB > KC , T2 > T3 > T4

(c) Q2 = Q3 = Q4 , KA > KB > KC , T2 < T3 <T4

(d) Q2 = Q3 = Q4 , KA < KB < KC , T2 < T3 <T4

(e) Q2 < Q3 < Q4, KA < KB < KC , T2 < T3 < T4

(f) Q2 < Q3 < Q4 , KA = KB = KC ,T1 < T2 <T3

3. Um pesquisador quer estudar o comportamento ter-modinâmico de sólidos através de uma simulação decomputador. Ele modela um sólido como uma redecristalina de N átomos idênticos ligados aos seus vi-zinhos por molas ideais. Para testar se sua simulaçãoestá bem feita, ele calcula a energia interna do seusólido. Qual o valor que ele espera encontrar?

(a) Eint = (1/2)NkBT .

(b) Eint = NkBT .

(c) Eint = (3/2)NkBT .

(d) Eint = (5/2)NkBT .

(e) Eint = 2NkBT .

(f) Eint = 3NkBT .

4. Um cilindro conectado a um pistão contém um gásideal em equilíbrio térmico com temparatura T, vo-lume V e pressão P. Este cilindro está imerso em umreservatório térmico com a mesma temperatura T e opistão acoplado pode ser movido lentamente ou brus-camente, causando uma variação de volume δV , quepode ser positiva ou negativa. A parede do cilindropode ser de material condutor ou isolante térmico, oque vai determinar a natureza do processo termodi-nâmico sofrido pelo gás. Para os cinco processos ter-modinâmicos descritos de acordo com a variação dovolume, movimento do pistão e material das paredesdo cilindro:

i. δV > 0, lento, condutor

ii. δV > 0, lento, isolante

iii. δV > 0, rápido,isolante

iv. δV > 0, rápido, condutor

v. δV < 0, rápido, condutor

assinale a alternativa correta:

(a) O processo I equivale a uma expansão livre adi-abática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(b) O processo II equivale a uma expansão adia-bática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(c) O processo III equivale a uma expansão isotér-mica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(d) O processo IV equivale a uma expansão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S = 0

(e) O processo V equivale a uma compressão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p > 0, ∆S = 0

(f) O processo III equivale a uma expansão adia-bática: ∆T > 0, ∆p < 0, ∆S > 0

5. A �gura mostra uma instalação hidráulica com caixad'água e o cano ao qual deve ser conectada uma du-cha. O valor da pressão da água na ducha é dadopor:

(a) p = p0 + ρaguagh1,

(b) p = p0 + ρaguagh2,

(c) p = p0 + ρaguagh3,

(d) p = p0 + ρaguagh4,

(e) p = p0 + ρaguagh5,

6. Um �uido incompressível com densidade ρ escoa poruma tubulação horizontal e sai para o ar livre (a pres-são atmosférica patm), com velocidade v1, após passarpor um estragulamento, no qual o diâmetro da tubu-lação diminui de d2 para d1.

A pressão manométrica p2− patm na tubulação, antesdo estrangulamento, é dada por:

(a)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)2].

(b)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)2].

(c)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)4].

(d)ρv2

1

2

[(d1

d2

)4

− 1

].

(e)ρv2

1

2

[(d1

d2

)2

− 1

].

(f)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)4].

7. Um feixe de moléculas idênticas de massa m e velo-cidade ~v está direcionado para uma parede, em umângulo θ com a normal à parede. O feixe possui nmoléculas por unidade de volume e atinge a paredesobre uma área dA, como mostrado na �gura.

Qual é a pressão que o feixe exerce sobre a pa-rede?

(a) 2mn(v cos θ)2.

(b) mn(v cos θ)2.

(c) 2mn(v cos θ)2dA.

(d) 2mnv cos θ.

(e) mnv cos θ.

8. Uma barra homogênea com coe�ciente de dilataçãolinear α, mantida entre dois suportes rígidos com co-e�ciente de dilatação desprezível, é submetida a umavariação de temperatura ∆T e, como resultado, separte na sua metade, como mostrado na �gura.

Considerando que a variação de temperatura épequena quando comparada à temperatura inicial(∆T/T � 1), a altura x atingida pelo centro da barrapode ser escrita como

(a) L0

√2α∆T

(b)L0

2α∆T

(c) L0α∆T

(d) L0

√α∆T

(e)L0

2

√2α∆T

(f)L0

2

√α∆T

9. Escreva o rendimento K de um refrigerador de Car-not, em função da e�ciência η de uma máquina deCarnot operando entre as mesmas temperaturas queesse refrigerador.

(a) 1− 1/η.

(b) 1/η.

(c) −1/η.

(d) −1 + 1/η.

(e) 1 + 1/η.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Considere o ciclo diesel reversível, formado por uma isóbara, uma isócora e duas adiabáticas, realizado por um molde gás ideal, como representado no diagrama P-V abaixo:

a) Calcule o trabalho total no ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da capacidade térmicamolar a volume constante do gás.

b) Calcule o rendimento do ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da razão entre ascapacidades térmicas molares à pressão e volume contantes.

c) Represente o ciclo no diagrama S-T, indicando claramente qual o comportamento em cada etapa.

Gabarito para Versão A

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (d)

2.

3. (f)

4. (c)

5. (c)

6. (f)

7. (a)

8. (e)

9. (d)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:Analisando o diagrama P-V do Ciclo Diesel, podemos dividir o ciclo em 4 etapas:

i) Curva (1-2): compressão adiabática

ii) Curva (2-3): expansão isobárica

iii) Curva(3-4): expansão adiabática

iv) Curva (4-1): isócora

a) [1,0 ponto] Calcule o trabalho total no ciclo.

Opção 1:Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica:

∆U = QT −W

e considerando que ∆U = 0 no ciclo, podemos escrever:

W = QT = Q2,3 −Q4,1

onde Q2,3 é o calor absorvido pelo sistema e Q4,1 é o calor cedido pelo sistema dados por:

Q2,3 = CP (T3 − T2)

Q4,1 = −CV (T1 − T4)

Logo, podemos escrever:

W = CV [γ(T3 − T2) + (T1 − T4)]

Opção 2:

O trabalho total no ciclo diesel pode ser calculado através da soma do trabalho realizado em cada uma dasetapas do processo:

Wciclo = W1,2 +W2,3 +W3,4 +W4,1

onde:

W1,2 =∫ 2

1PdV =

∫ 2

1KV −γdV =

[K V 1−γ

1−γ

]2

1

W1,2 =[PV γ V 1−γ

1−γ

]2

1=[PV1−γ

]2

1= nR

1−γ [T2 − T1]

onde usamos PV γ = K, sendo K uma constante e PVT

= nR.De maneira análoga, podemos escrever:

W3,4 = nR1−γ [T4 − T3]

Na isóbara, temos a seguinte relação entre temperatura e volume: V2T2

= V3T3. Logo, podemos escrever:

W2,3 = PdV = P2(V3 − V2)

W2,3 = P2V2T2

(T3 − T2)

W2,3 = nR(T3 − T2)

Na isócora, como não há variação de volume, o trabalho é nulo:

W4,1 = 0

Somando todos os termos:

Wciclo = nR1−γ [T2 − T1] + nR(T3 − T2) + nR

1−γ [T4 − T3]

Wciclo = nR1−γ [(T4 − T1) + γ(T2 − T3)]

onde:

CP = CV +R

γ ≡ CPCV

R

1− γ=

[CP − CVCV − CP

]CV = −CV

b) [0,7 ponto] Calcule o rendimento do ciclo diesel em termos das temperaturas e da razão entre as capacidadestérmicas molares à pressão e volume contantes.O rendimento do ciclo é dado por:

η = Wciclo

Q2,3

Usando Wciclo = Q2,3 −Q4,1 obtido na letra (a), obtemos

η = 1− Q4,1

Q2,3

η = 1− 1γ

(T4−T1)(T3−T2)

c) [2,0 ponto] Represente o ciclo diesel no diagrama S-T.Durante a compressão e expansão adiabática:

∆S1,2 = S2 − S1 = Q1,2/T = 0

∆S3,4 = S4 − S3 = Q3,4/T = 0

Durante a expansão isobárica, temos:

∆S2,3 = S3 − S2 =∫ 3

2dQT

=∫ 3

2dU+PdV

T

∆S2,3 = nCV∫ 3

2dTT

+ nR∫ 3

2dVV

∆S2,3 = nCV ln(T3T2

)+ nR ln

(V3V2

)∆S2,3 = nCP ln

(T3T2

)

onde usamos o fato de P2 = P3 e consequentemente V3V2

= T3T2.

Na curva isocórica, dV = 0:

∆S4,1 = S1 − S4 =∫ 1

4dQT

∆S4,1 = nCV ln(T1T4

)O diagrama entropia e temperatura do ciclo diesel é dado na �gura abaixo:

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova 1: 25/09/2017

Versão: B

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Um �uido incompressível com densidade ρ escoa poruma tubulação horizontal e sai para o ar livre (a pres-são atmosférica patm), com velocidade v1, após passarpor um estragulamento, no qual o diâmetro da tubu-lação diminui de d2 para d1.

A pressão manométrica p2− patm na tubulação, antesdo estrangulamento, é dada por:

(a)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)2].

(b)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)2].

(c)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)4].

(d)ρv2

1

2

[(d1

d2

)4

− 1

].

(e)ρv2

1

2

[(d1

d2

)2

− 1

].

(f)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)4].

2. Considere um �uido cuja densidade varia com a pres-são como ρ = Cp, onde C é uma constante conhe-cida, sujeito a uma aceleração da gravidade uniforme~g = −gz. Supondo conhecida a pressão p0 no fundodo recipiente (z = 0), a pressão em um ponto arbitrá-rio do �uido pode ser escrita como

(a) p0 − Cgz.(b) p0 + Cgz.

(c) p0 exp(Cgz).

(d) p0 exp(−Cgz).(e) p0ln(Cgz).

3. [QUESTÃO ANULADA] Uma parede composta detrês camadas (de mesma espessura) de materiais A,B e C separa dois reservatórios térmicos com tempe-raturas T1 e T4. No regime estacionário, o per�l detemperatura na parede pode ser representado pela �-gura

Sabendo que Q2, Q3 e Q4 representam as quantidadesde calor que passam através das interfaces indicadasna �gura, KA, KB e KC são as condutividades tér-micas dos materiais e T2 e T3 as temperaturas nasinterfaces 2 e 3, podemos escrever que:

(a) Q2 > Q3 > Q4, KA > KB > KC , T2 < T3 < T4

(b) Q2 > Q3 > Q4 ,KA > KB > KC , T2 > T3 > T4

(c) Q2 = Q3 = Q4 , KA > KB > KC , T2 < T3 <T4

(d) Q2 = Q3 = Q4 , KA < KB < KC , T2 < T3 <T4

(e) Q2 < Q3 < Q4, KA < KB < KC , T2 < T3 < T4

(f) Q2 < Q3 < Q4 , KA = KB = KC ,T1 < T2 <T3

4. Um pesquisador quer estudar o comportamento ter-modinâmico de sólidos através de uma simulação decomputador. Ele modela um sólido como uma redecristalina de N átomos idênticos ligados aos seus vi-zinhos por molas ideais. Para testar se sua simulaçãoestá bem feita, ele calcula a energia interna do seusólido. Qual o valor que ele espera encontrar?

(a) Eint = (1/2)NkBT .

(b) Eint = NkBT .

(c) Eint = (3/2)NkBT .

(d) Eint = (5/2)NkBT .

(e) Eint = 2NkBT .

(f) Eint = 3NkBT .

5. A �gura mostra uma instalação hidráulica com caixad'água e o cano ao qual deve ser conectada uma du-cha. O valor da pressão da água na ducha é dadopor:

(a) p = p0 + ρaguagh1,

(b) p = p0 + ρaguagh2,

(c) p = p0 + ρaguagh3,

(d) p = p0 + ρaguagh4,

(e) p = p0 + ρaguagh5,

6. Um cilindro conectado a um pistão contém um gásideal em equilíbrio térmico com temparatura T, vo-lume V e pressão P. Este cilindro está imerso em umreservatório térmico com a mesma temperatura T e opistão acoplado pode ser movido lentamente ou brus-camente, causando uma variação de volume δV , quepode ser positiva ou negativa. A parede do cilindropode ser de material condutor ou isolante térmico, oque vai determinar a natureza do processo termodi-nâmico sofrido pelo gás. Para os cinco processos ter-modinâmicos descritos de acordo com a variação dovolume, movimento do pistão e material das paredesdo cilindro:

i. δV > 0, lento, condutor

ii. δV > 0, lento, isolante

iii. δV > 0, rápido,isolante

iv. δV > 0, rápido, condutor

v. δV < 0, rápido, condutor

assinale a alternativa correta:

(a) O processo I equivale a uma expansão livre adi-abática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(b) O processo II equivale a uma expansão adia-bática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(c) O processo III equivale a uma expansão isotér-mica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(d) O processo IV equivale a uma expansão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S = 0

(e) O processo V equivale a uma compressão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p > 0, ∆S = 0

(f) O processo III equivale a uma expansão adia-bática: ∆T > 0, ∆p < 0, ∆S > 0

7. Escreva o rendimento K de um refrigerador de Car-not, em função da e�ciência η de uma máquina deCarnot operando entre as mesmas temperaturas queesse refrigerador.

(a) 1− 1/η.

(b) 1/η.

(c) −1/η.

(d) −1 + 1/η.

(e) 1 + 1/η.

8. Um feixe de moléculas idênticas de massa m e velo-cidade ~v está direcionado para uma parede, em umângulo θ com a normal à parede. O feixe possui nmoléculas por unidade de volume e atinge a paredesobre uma área dA, como mostrado na �gura.

Qual é a pressão que o feixe exerce sobre a pa-rede?

(a) 2mn(v cos θ)2.

(b) mn(v cos θ)2.

(c) 2mn(v cos θ)2dA.

(d) 2mnv cos θ.

(e) mnv cos θ.

9. Uma barra homogênea com coe�ciente de dilataçãolinear α, mantida entre dois suportes rígidos com co-e�ciente de dilatação desprezível, é submetida a umavariação de temperatura ∆T e, como resultado, separte na sua metade, como mostrado na �gura.

Considerando que a variação de temperatura épequena quando comparada à temperatura inicial(∆T/T � 1), a altura x atingida pelo centro da barrapode ser escrita como

(a) L0

√2α∆T

(b)L0

2α∆T

(c) L0α∆T

(d) L0

√α∆T

(e)L0

2

√2α∆T

(f)L0

2

√α∆T

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Considere o ciclo diesel reversível, formado por uma isóbara, uma isócora e duas adiabáticas, realizado por um molde gás ideal, como representado no diagrama P-V abaixo:

a) Calcule o trabalho total no ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da capacidade térmicamolar a volume constante do gás.

b) Calcule o rendimento do ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da razão entre ascapacidades térmicas molares à pressão e volume contantes.

c) Represente o ciclo no diagrama S-T, indicando claramente qual o comportamento em cada etapa.

Gabarito para Versão B

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (f)

2. (d)

3.

4. (f)

5. (c)

6. (c)

7. (d)

8. (a)

9. (e)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:Analisando o diagrama P-V do Ciclo Diesel, podemos dividir o ciclo em 4 etapas:

i) Curva (1-2): compressão adiabática

ii) Curva (2-3): expansão isobárica

iii) Curva(3-4): expansão adiabática

iv) Curva (4-1): isócora

a) [1,0 ponto] Calcule o trabalho total no ciclo.

Opção 1:Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica:

∆U = QT −W

e considerando que ∆U = 0 no ciclo, podemos escrever:

W = QT = Q2,3 −Q4,1

onde Q2,3 é o calor absorvido pelo sistema e Q4,1 é o calor cedido pelo sistema dados por:

Q2,3 = CP (T3 − T2)

Q4,1 = −CV (T1 − T4)

Logo, podemos escrever:

W = CV [γ(T3 − T2) + (T1 − T4)]

Opção 2:

O trabalho total no ciclo diesel pode ser calculado através da soma do trabalho realizado em cada uma dasetapas do processo:

Wciclo = W1,2 +W2,3 +W3,4 +W4,1

onde:

W1,2 =∫ 2

1PdV =

∫ 2

1KV −γdV =

[K V 1−γ

1−γ

]2

1

W1,2 =[PV γ V 1−γ

1−γ

]2

1=[PV1−γ

]2

1= nR

1−γ [T2 − T1]

onde usamos PV γ = K, sendo K uma constante e PVT

= nR.De maneira análoga, podemos escrever:

W3,4 = nR1−γ [T4 − T3]

Na isóbara, temos a seguinte relação entre temperatura e volume: V2T2

= V3T3. Logo, podemos escrever:

W2,3 = PdV = P2(V3 − V2)

W2,3 = P2V2T2

(T3 − T2)

W2,3 = nR(T3 − T2)

Na isócora, como não há variação de volume, o trabalho é nulo:

W4,1 = 0

Somando todos os termos:

Wciclo = nR1−γ [T2 − T1] + nR(T3 − T2) + nR

1−γ [T4 − T3]

Wciclo = nR1−γ [(T4 − T1) + γ(T2 − T3)]

onde:

CP = CV +R

γ ≡ CPCV

R

1− γ=

[CP − CVCV − CP

]CV = −CV

b) [0,7 ponto] Calcule o rendimento do ciclo diesel em termos das temperaturas e da razão entre as capacidadestérmicas molares à pressão e volume contantes.O rendimento do ciclo é dado por:

η = Wciclo

Q2,3

Usando Wciclo = Q2,3 −Q4,1 obtido na letra (a), obtemos

η = 1− Q4,1

Q2,3

η = 1− 1γ

(T4−T1)(T3−T2)

c) [2,0 ponto] Represente o ciclo diesel no diagrama S-T.Durante a compressão e expansão adiabática:

∆S1,2 = S2 − S1 = Q1,2/T = 0

∆S3,4 = S4 − S3 = Q3,4/T = 0

Durante a expansão isobárica, temos:

∆S2,3 = S3 − S2 =∫ 3

2dQT

=∫ 3

2dU+PdV

T

∆S2,3 = nCV∫ 3

2dTT

+ nR∫ 3

2dVV

∆S2,3 = nCV ln(T3T2

)+ nR ln

(V3V2

)∆S2,3 = nCP ln

(T3T2

)

onde usamos o fato de P2 = P3 e consequentemente V3V2

= T3T2.

Na curva isocórica, dV = 0:

∆S4,1 = S1 − S4 =∫ 1

4dQT

∆S4,1 = nCV ln(T1T4

)O diagrama entropia e temperatura do ciclo diesel é dado na �gura abaixo:

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova 1: 25/09/2017

Versão: C

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Um pesquisador quer estudar o comportamento ter-modinâmico de sólidos através de uma simulação decomputador. Ele modela um sólido como uma redecristalina de N átomos idênticos ligados aos seus vi-zinhos por molas ideais. Para testar se sua simulaçãoestá bem feita, ele calcula a energia interna do seusólido. Qual o valor que ele espera encontrar?

(a) Eint = (1/2)NkBT .

(b) Eint = NkBT .

(c) Eint = (3/2)NkBT .

(d) Eint = (5/2)NkBT .

(e) Eint = 2NkBT .

(f) Eint = 3NkBT .

2. Considere um �uido cuja densidade varia com a pres-são como ρ = Cp, onde C é uma constante conhe-cida, sujeito a uma aceleração da gravidade uniforme~g = −gz. Supondo conhecida a pressão p0 no fundodo recipiente (z = 0), a pressão em um ponto arbitrá-rio do �uido pode ser escrita como

(a) p0 − Cgz.(b) p0 + Cgz.

(c) p0 exp(Cgz).

(d) p0 exp(−Cgz).(e) p0ln(Cgz).

3. Uma barra homogênea com coe�ciente de dilataçãolinear α, mantida entre dois suportes rígidos com co-e�ciente de dilatação desprezível, é submetida a umavariação de temperatura ∆T e, como resultado, separte na sua metade, como mostrado na �gura.

Considerando que a variação de temperatura épequena quando comparada à temperatura inicial(∆T/T � 1), a altura x atingida pelo centro da barrapode ser escrita como

(a) L0

√2α∆T

(b)L0

2α∆T

(c) L0α∆T

(d) L0

√α∆T

(e)L0

2

√2α∆T

(f)L0

2

√α∆T

4. Escreva o rendimento K de um refrigerador de Car-not, em função da e�ciência η de uma máquina deCarnot operando entre as mesmas temperaturas queesse refrigerador.

(a) 1− 1/η.

(b) 1/η.

(c) −1/η.

(d) −1 + 1/η.

(e) 1 + 1/η.

5. Um �uido incompressível com densidade ρ escoa poruma tubulação horizontal e sai para o ar livre (a pres-são atmosférica patm), com velocidade v1, após passarpor um estragulamento, no qual o diâmetro da tubu-lação diminui de d2 para d1.

A pressão manométrica p2− patm na tubulação, antesdo estrangulamento, é dada por:

(a)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)2].

(b)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)2].

(c)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)4].

(d)ρv2

1

2

[(d1

d2

)4

− 1

].

(e)ρv2

1

2

[(d1

d2

)2

− 1

].

(f)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)4].

6. [QUESTÃO ANULADA] Uma parede composta detrês camadas (de mesma espessura) de materiais A,B e C separa dois reservatórios térmicos com tempe-raturas T1 e T4. No regime estacionário, o per�l detemperatura na parede pode ser representado pela �-gura

Sabendo que Q2, Q3 e Q4 representam as quantidadesde calor que passam através das interfaces indicadasna �gura, KA, KB e KC são as condutividades tér-micas dos materiais e T2 e T3 as temperaturas nasinterfaces 2 e 3, podemos escrever que:

(a) Q2 > Q3 > Q4, KA > KB > KC , T2 < T3 < T4

(b) Q2 > Q3 > Q4 ,KA > KB > KC , T2 > T3 > T4

(c) Q2 = Q3 = Q4 , KA > KB > KC , T2 < T3 <T4

(d) Q2 = Q3 = Q4 , KA < KB < KC , T2 < T3 <T4

(e) Q2 < Q3 < Q4, KA < KB < KC , T2 < T3 < T4

(f) Q2 < Q3 < Q4 , KA = KB = KC ,T1 < T2 <T3

7. A �gura mostra uma instalação hidráulica com caixad'água e o cano ao qual deve ser conectada uma du-cha. O valor da pressão da água na ducha é dadopor:

(a) p = p0 + ρaguagh1,

(b) p = p0 + ρaguagh2,

(c) p = p0 + ρaguagh3,

(d) p = p0 + ρaguagh4,

(e) p = p0 + ρaguagh5,

8. Um feixe de moléculas idênticas de massa m e velo-cidade ~v está direcionado para uma parede, em umângulo θ com a normal à parede. O feixe possui nmoléculas por unidade de volume e atinge a paredesobre uma área dA, como mostrado na �gura.

Qual é a pressão que o feixe exerce sobre a pa-rede?

(a) 2mn(v cos θ)2.

(b) mn(v cos θ)2.

(c) 2mn(v cos θ)2dA.

(d) 2mnv cos θ.

(e) mnv cos θ.

9. Um cilindro conectado a um pistão contém um gásideal em equilíbrio térmico com temparatura T, vo-lume V e pressão P. Este cilindro está imerso em umreservatório térmico com a mesma temperatura T e opistão acoplado pode ser movido lentamente ou brus-camente, causando uma variação de volume δV , quepode ser positiva ou negativa. A parede do cilindropode ser de material condutor ou isolante térmico, oque vai determinar a natureza do processo termodi-nâmico sofrido pelo gás. Para os cinco processos ter-modinâmicos descritos de acordo com a variação dovolume, movimento do pistão e material das paredesdo cilindro:

i. δV > 0, lento, condutor

ii. δV > 0, lento, isolante

iii. δV > 0, rápido,isolante

iv. δV > 0, rápido, condutor

v. δV < 0, rápido, condutor

assinale a alternativa correta:

(a) O processo I equivale a uma expansão livre adi-abática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(b) O processo II equivale a uma expansão adia-bática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(c) O processo III equivale a uma expansão isotér-mica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(d) O processo IV equivale a uma expansão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S = 0

(e) O processo V equivale a uma compressão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p > 0, ∆S = 0

(f) O processo III equivale a uma expansão adia-bática: ∆T > 0, ∆p < 0, ∆S > 0

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Considere o ciclo diesel reversível, formado por uma isóbara, uma isócora e duas adiabáticas, realizado por um molde gás ideal, como representado no diagrama P-V abaixo:

a) Calcule o trabalho total no ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da capacidade térmicamolar a volume constante do gás.

b) Calcule o rendimento do ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da razão entre ascapacidades térmicas molares à pressão e volume contantes.

c) Represente o ciclo no diagrama S-T, indicando claramente qual o comportamento em cada etapa.

Gabarito para Versão C

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (f)

2. (d)

3. (e)

4. (d)

5. (f)

6.

7. (c)

8. (a)

9. (c)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:Analisando o diagrama P-V do Ciclo Diesel, podemos dividir o ciclo em 4 etapas:

i) Curva (1-2): compressão adiabática

ii) Curva (2-3): expansão isobárica

iii) Curva(3-4): expansão adiabática

iv) Curva (4-1): isócora

a) [1,0 ponto] Calcule o trabalho total no ciclo.

Opção 1:Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica:

∆U = QT −W

e considerando que ∆U = 0 no ciclo, podemos escrever:

W = QT = Q2,3 −Q4,1

onde Q2,3 é o calor absorvido pelo sistema e Q4,1 é o calor cedido pelo sistema dados por:

Q2,3 = CP (T3 − T2)

Q4,1 = −CV (T1 − T4)

Logo, podemos escrever:

W = CV [γ(T3 − T2) + (T1 − T4)]

Opção 2:

O trabalho total no ciclo diesel pode ser calculado através da soma do trabalho realizado em cada uma dasetapas do processo:

Wciclo = W1,2 +W2,3 +W3,4 +W4,1

onde:

W1,2 =∫ 2

1PdV =

∫ 2

1KV −γdV =

[K V 1−γ

1−γ

]2

1

W1,2 =[PV γ V 1−γ

1−γ

]2

1=[PV1−γ

]2

1= nR

1−γ [T2 − T1]

onde usamos PV γ = K, sendo K uma constante e PVT

= nR.De maneira análoga, podemos escrever:

W3,4 = nR1−γ [T4 − T3]

Na isóbara, temos a seguinte relação entre temperatura e volume: V2T2

= V3T3. Logo, podemos escrever:

W2,3 = PdV = P2(V3 − V2)

W2,3 = P2V2T2

(T3 − T2)

W2,3 = nR(T3 − T2)

Na isócora, como não há variação de volume, o trabalho é nulo:

W4,1 = 0

Somando todos os termos:

Wciclo = nR1−γ [T2 − T1] + nR(T3 − T2) + nR

1−γ [T4 − T3]

Wciclo = nR1−γ [(T4 − T1) + γ(T2 − T3)]

onde:

CP = CV +R

γ ≡ CPCV

R

1− γ=

[CP − CVCV − CP

]CV = −CV

b) [0,7 ponto] Calcule o rendimento do ciclo diesel em termos das temperaturas e da razão entre as capacidadestérmicas molares à pressão e volume contantes.O rendimento do ciclo é dado por:

η = Wciclo

Q2,3

Usando Wciclo = Q2,3 −Q4,1 obtido na letra (a), obtemos

η = 1− Q4,1

Q2,3

η = 1− 1γ

(T4−T1)(T3−T2)

c) [2,0 ponto] Represente o ciclo diesel no diagrama S-T.Durante a compressão e expansão adiabática:

∆S1,2 = S2 − S1 = Q1,2/T = 0

∆S3,4 = S4 − S3 = Q3,4/T = 0

Durante a expansão isobárica, temos:

∆S2,3 = S3 − S2 =∫ 3

2dQT

=∫ 3

2dU+PdV

T

∆S2,3 = nCV∫ 3

2dTT

+ nR∫ 3

2dVV

∆S2,3 = nCV ln(T3T2

)+ nR ln

(V3V2

)∆S2,3 = nCP ln

(T3T2

)

onde usamos o fato de P2 = P3 e consequentemente V3V2

= T3T2.

Na curva isocórica, dV = 0:

∆S4,1 = S1 − S4 =∫ 1

4dQT

∆S4,1 = nCV ln(T1T4

)O diagrama entropia e temperatura do ciclo diesel é dado na �gura abaixo:

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova 1: 25/09/2017

Versão: D

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Um feixe de moléculas idênticas de massa m e velo-cidade ~v está direcionado para uma parede, em umângulo θ com a normal à parede. O feixe possui nmoléculas por unidade de volume e atinge a paredesobre uma área dA, como mostrado na �gura.

Qual é a pressão que o feixe exerce sobre a pa-rede?

(a) 2mn(v cos θ)2.

(b) mn(v cos θ)2.

(c) 2mn(v cos θ)2dA.

(d) 2mnv cos θ.

(e) mnv cos θ.

2. Um �uido incompressível com densidade ρ escoa poruma tubulação horizontal e sai para o ar livre (a pres-são atmosférica patm), com velocidade v1, após passarpor um estragulamento, no qual o diâmetro da tubu-lação diminui de d2 para d1.

A pressão manométrica p2− patm na tubulação, antesdo estrangulamento, é dada por:

(a)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)2].

(b)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)2].

(c)ρv2

1

2

[1−

(d2

d1

)4].

(d)ρv2

1

2

[(d1

d2

)4

− 1

].

(e)ρv2

1

2

[(d1

d2

)2

− 1

].

(f)ρv2

1

2

[1−

(d1

d2

)4].

3. Escreva o rendimento K de um refrigerador de Car-not, em função da e�ciência η de uma máquina deCarnot operando entre as mesmas temperaturas queesse refrigerador.

(a) 1− 1/η.

(b) 1/η.

(c) −1/η.

(d) −1 + 1/η.

(e) 1 + 1/η.

4. Um pesquisador quer estudar o comportamento ter-modinâmico de sólidos através de uma simulação decomputador. Ele modela um sólido como uma redecristalina de N átomos idênticos ligados aos seus vi-zinhos por molas ideais. Para testar se sua simulaçãoestá bem feita, ele calcula a energia interna do seusólido. Qual o valor que ele espera encontrar?

(a) Eint = (1/2)NkBT .

(b) Eint = NkBT .

(c) Eint = (3/2)NkBT .

(d) Eint = (5/2)NkBT .

(e) Eint = 2NkBT .

(f) Eint = 3NkBT .

5. [QUESTÃO ANULADA] Uma parede composta detrês camadas (de mesma espessura) de materiais A,B e C separa dois reservatórios térmicos com tempe-raturas T1 e T4. No regime estacionário, o per�l detemperatura na parede pode ser representado pela �-gura

Sabendo que Q2, Q3 e Q4 representam as quantidadesde calor que passam através das interfaces indicadasna �gura, KA, KB e KC são as condutividades tér-micas dos materiais e T2 e T3 as temperaturas nasinterfaces 2 e 3, podemos escrever que:

(a) Q2 > Q3 > Q4, KA > KB > KC , T2 < T3 < T4

(b) Q2 > Q3 > Q4 ,KA > KB > KC , T2 > T3 > T4

(c) Q2 = Q3 = Q4 , KA > KB > KC , T2 < T3 <T4

(d) Q2 = Q3 = Q4 , KA < KB < KC , T2 < T3 <T4

(e) Q2 < Q3 < Q4, KA < KB < KC , T2 < T3 < T4

(f) Q2 < Q3 < Q4 , KA = KB = KC ,T1 < T2 <T3

6. A �gura mostra uma instalação hidráulica com caixad'água e o cano ao qual deve ser conectada uma du-cha. O valor da pressão da água na ducha é dadopor:

(a) p = p0 + ρaguagh1,

(b) p = p0 + ρaguagh2,

(c) p = p0 + ρaguagh3,

(d) p = p0 + ρaguagh4,

(e) p = p0 + ρaguagh5,

7. Considere um �uido cuja densidade varia com a pres-são como ρ = Cp, onde C é uma constante conhe-cida, sujeito a uma aceleração da gravidade uniforme~g = −gz. Supondo conhecida a pressão p0 no fundodo recipiente (z = 0), a pressão em um ponto arbitrá-rio do �uido pode ser escrita como

(a) p0 − Cgz.(b) p0 + Cgz.

(c) p0 exp(Cgz).

(d) p0 exp(−Cgz).(e) p0ln(Cgz).

8. Um cilindro conectado a um pistão contém um gásideal em equilíbrio térmico com temparatura T, vo-lume V e pressão P. Este cilindro está imerso em umreservatório térmico com a mesma temperatura T e opistão acoplado pode ser movido lentamente ou brus-camente, causando uma variação de volume δV , quepode ser positiva ou negativa. A parede do cilindropode ser de material condutor ou isolante térmico, oque vai determinar a natureza do processo termodi-nâmico sofrido pelo gás. Para os cinco processos ter-modinâmicos descritos de acordo com a variação dovolume, movimento do pistão e material das paredesdo cilindro:

i. δV > 0, lento, condutor

ii. δV > 0, lento, isolante

iii. δV > 0, rápido,isolante

iv. δV > 0, rápido, condutor

v. δV < 0, rápido, condutor

assinale a alternativa correta:

(a) O processo I equivale a uma expansão livre adi-abática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(b) O processo II equivale a uma expansão adia-bática: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(c) O processo III equivale a uma expansão isotér-mica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S > 0

(d) O processo IV equivale a uma expansão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p < 0, ∆S = 0

(e) O processo V equivale a uma compressão livreisotérmica: ∆T = 0, ∆p > 0, ∆S = 0

(f) O processo III equivale a uma expansão adia-bática: ∆T > 0, ∆p < 0, ∆S > 0

9. Uma barra homogênea com coe�ciente de dilataçãolinear α, mantida entre dois suportes rígidos com co-e�ciente de dilatação desprezível, é submetida a umavariação de temperatura ∆T e, como resultado, separte na sua metade, como mostrado na �gura.

Considerando que a variação de temperatura épequena quando comparada à temperatura inicial(∆T/T � 1), a altura x atingida pelo centro da barrapode ser escrita como

(a) L0

√2α∆T

(b)L0

2α∆T

(c) L0α∆T

(d) L0

√α∆T

(e)L0

2

√2α∆T

(f)L0

2

√α∆T

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Considere o ciclo diesel reversível, formado por uma isóbara, uma isócora e duas adiabáticas, realizado por um molde gás ideal, como representado no diagrama P-V abaixo:

a) Calcule o trabalho total no ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da capacidade térmicamolar a volume constante do gás.

b) Calcule o rendimento do ciclo, em termos das temperaturas nos estados 1, 2, 3 e 4 e da razão entre ascapacidades térmicas molares à pressão e volume contantes.

c) Represente o ciclo no diagrama S-T, indicando claramente qual o comportamento em cada etapa.

Gabarito para Versão D

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (a)

2. (f)

3. (d)

4. (f)

5.

6. (c)

7. (d)

8. (c)

9. (e)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:Analisando o diagrama P-V do Ciclo Diesel, podemos dividir o ciclo em 4 etapas:

i) Curva (1-2): compressão adiabática

ii) Curva (2-3): expansão isobárica

iii) Curva(3-4): expansão adiabática

iv) Curva (4-1): isócora

a) [1,0 ponto] Calcule o trabalho total no ciclo.

Opção 1:Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica:

∆U = QT −W

e considerando que ∆U = 0 no ciclo, podemos escrever:

W = QT = Q2,3 −Q4,1

onde Q2,3 é o calor absorvido pelo sistema e Q4,1 é o calor cedido pelo sistema dados por:

Q2,3 = CP (T3 − T2)

Q4,1 = −CV (T1 − T4)

Logo, podemos escrever:

W = CV [γ(T3 − T2) + (T1 − T4)]

Opção 2:

O trabalho total no ciclo diesel pode ser calculado através da soma do trabalho realizado em cada uma dasetapas do processo:

Wciclo = W1,2 +W2,3 +W3,4 +W4,1

onde:

W1,2 =∫ 2

1PdV =

∫ 2

1KV −γdV =

[K V 1−γ

1−γ

]2

1

W1,2 =[PV γ V 1−γ

1−γ

]2

1=[PV1−γ

]2

1= nR

1−γ [T2 − T1]

onde usamos PV γ = K, sendo K uma constante e PVT

= nR.De maneira análoga, podemos escrever:

W3,4 = nR1−γ [T4 − T3]

Na isóbara, temos a seguinte relação entre temperatura e volume: V2T2

= V3T3. Logo, podemos escrever:

W2,3 = PdV = P2(V3 − V2)

W2,3 = P2V2T2

(T3 − T2)

W2,3 = nR(T3 − T2)

Na isócora, como não há variação de volume, o trabalho é nulo:

W4,1 = 0

Somando todos os termos:

Wciclo = nR1−γ [T2 − T1] + nR(T3 − T2) + nR

1−γ [T4 − T3]

Wciclo = nR1−γ [(T4 − T1) + γ(T2 − T3)]

onde:

CP = CV +R

γ ≡ CPCV

R

1− γ=

[CP − CVCV − CP

]CV = −CV

b) [0,7 ponto] Calcule o rendimento do ciclo diesel em termos das temperaturas e da razão entre as capacidadestérmicas molares à pressão e volume contantes.O rendimento do ciclo é dado por:

η = Wciclo

Q2,3

Usando Wciclo = Q2,3 −Q4,1 obtido na letra (a), obtemos

η = 1− Q4,1

Q2,3

η = 1− 1γ

(T4−T1)(T3−T2)

c) [2,0 ponto] Represente o ciclo diesel no diagrama S-T.Durante a compressão e expansão adiabática:

∆S1,2 = S2 − S1 = Q1,2/T = 0

∆S3,4 = S4 − S3 = Q3,4/T = 0

Durante a expansão isobárica, temos:

∆S2,3 = S3 − S2 =∫ 3

2dQT

=∫ 3

2dU+PdV

T

∆S2,3 = nCV∫ 3

2dTT

+ nR∫ 3

2dVV

∆S2,3 = nCV ln(T3T2

)+ nR ln

(V3V2

)∆S2,3 = nCP ln

(T3T2

)

onde usamos o fato de P2 = P3 e consequentemente V3V2

= T3T2.

Na curva isocórica, dV = 0:

∆S4,1 = S1 − S4 =∫ 1

4dQT

∆S4,1 = nCV ln(T1T4

)O diagrama entropia e temperatura do ciclo diesel é dado na �gura abaixo:

�