Unidad Didáctica 7

Trazados Geométricos

1.- ¿Qué es la Geometría?

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idiomagriego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama dela matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras enel plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, (queincluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos,poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretosrelativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía,náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños.

2.- Tipos de Geometríaa tierra, y el universo, está llena de objetos naturales y artificiales

con diferentes formas geométricas. Formas circulares, rectangulares, prismáticas, etc.

se distinguen dos tipos de geometría, según las figuras que se estudien:

a) geometría plana, que estudia las propiedades y medidas de las figurasplanas, bidimensionales, ósea, las que se dibujan en un plano de dosdimensiones, en una hoja.

b) geometría espacial, estudia las propiedades y medidas de las figurastridimensionales, las que tienen longitud, anchura y altura, y se encuentranen el espacio en que vivimos.

2.- Tipos de Geometría

Ejemplos de Geometría plana o euclidiana.

2.- Tipos de GeometríaEjemplos de geometría espacial

3.- Elementos Geométricos

la geometría se puede utilizar y desarrollar gracias a sus treselementos básicos (como si fueran los materiales de la obra): punto, línea yplano.

a) el punto. En geometría es uno de los entesfundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptosprimarios.

El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud,área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describeuna posición en el espacio.

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antiguaconcepción griega de la geometría, desarrollada en Alejandría porEuclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto muycuriosa: «lo que no tiene ninguna parte».

3.- Elementos Geométricos – El Punto

En geometría el punto se define como la intersección dedos rectas o de una recta y un plano, y se representa con unaletra mayúscula: a, b, c...

3.- Elementos Geométricos – La Líneab) La línea. es una sucesión de infinitos puntos unos detrás

de otros. Pueden formar líneas rectas o líneas curvas. Se dibujan con trazo fino y se representan con letras minúsculas: r, s, t...

En geometría, la línea también puede considerarse como ladistancia más corta entre dos puntos puestos en un plano.

3.- Elementos Geométricos – El Plano

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dosdimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptosfundamentales de la geometría junto con el punto y la línea.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objetogeométrico que no posee volumen, es decir, es bidimensional, y que posee ungeométrico que no posee volumen, es decir, es bidimensional, y que posee unnúmero infinito de rectas y puntos. Los planos se representan con letras delalfabeto griego.

Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural (planos) se estáhablando de aquel material que es elaborado como una representacióngráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos sonespecialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirvenpara representar en una superficie plana objetos que son regularmentetridimensionales.

3.- Elementos Geométricos – El PlanoUn plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

1. Tres puntos no alineados.2. Una recta y un punto exterior a ella.3. Dos rectas paralelas.4. dos rectas que se cortan.

3.- Elementos Geométricos – El Plano

3.- Elementos Geométricos – El Plano

Planos de una casa.

4.- Instrumentos de Dibujo

Podemos realizar dos tipos de dibujos, los dibujos a mano alzada y los dibujos técnicos o geométricos.

Los dibujos a mano alzada son los que se hacen sin instrumentos dedibujo, de forma rápida y se utilizan para expresar ideas sin muchosdetalles. Se llaman croquis o bocetos a mano alzada.detalles. Se llaman croquis o bocetos a mano alzada.

Por el contrario los dibujos técnicos se realizan a escala yproporcionado a las medidas de la realidad. Son mucho más detallados ynecesitan del uso de instrumentos de dibujo: compás, regla, escuadra,cartabón, plantillas, estilógrafos, etc.

4.- Instrumentos de Dibujo

dibujo a mano alzada dibujo técnico

4.- Instrumentos de Dibujo El Compas

El compás es una herramienta de dibujo que se utiliza para realizar circunferencias, arcos de circunferencias, tomar medidas y trasladarlas. Tiene los brazos articulados y se pueden utilizar accesorios, tales como la alargadera y el adaptador de portaminas o estilógrafos.

Hay muchos tipos decompases y de diferentescalidades, pero todos sirvenpara lo mismo, realizarcircunferencias y trasladarmedidas.

4.- Instrumentos de Dibujo El Compas

Cómo hay que coger el compás.

4.- Instrumentos de Dibujo La Regla Graduada

Para trazar líneas rectas y medir distancias se utiliza la reglagraduada o milimetrada.

Hay muchos tipos de reglas milimetradas. pueden ser de madera,plástico, metal. Pueden medir 20 cm, 30 cm, hasta 100 cm. Pueden llevarhasta seis escalas en la misma regla.hasta seis escalas en la misma regla.

Es muy importante la limpieza y tener en condiciones los cantos dela regla para que al realizar las líneas salgan rectas y uniformes. Los cantosno deben estar mellados.

4.- Instrumentos de Dibujo Escuadra y Cartabón

Son dos reglas de forma triangular. La escuadra tiene dos ángulos de45º y uno de 90º. El cartabón tiene un ángulo de 30º, otro de 60º y untercero de 90º.

Combinando la escuadra y el cartabón se pueden realizar líneasparalelas, perpendiculares y oblicuas, además de trazar cualquier ángulomúltiplo de 15º.múltiplo de 15º.

4.- Instrumentos de Dibujo Escuadra y Cartabón

Trazado de líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

5.- Rectas en el PlanoCuando varias rectas están relacionadas en el plano según la posición que ocupan, se pueden definir como:

Rectas paralelas. Las que no llegan nunca a cortarse, o se cortan en el infinito.

Rectas oblicuas. Aquellas que se cortan formando un ángulodistinto de 90º.

Rectas perpendiculares. Aquellas que se cortan formando un ángulo de 90º.

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Paralelas

Con Escuadra y Cartabón:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Paralelas

De otra Forma:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Perpendiculares

Con Escuadra y Cartabón:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Perpendiculares

Con Regla y Compas:

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos

La recta se define como una línea infinita que no cambia dedirección. No tiene principio ni fin. Por eso en los dibujos trabajamos consemirrectas y segmentos, trocitos de rectas que no salgan del papel.

Semirrecta: es un trozo de recta limitada por uno de sus extremospor un punto e ilimitada por el otro extremo.

Segmento: es un trozo de recta limitada en sus dos extremos pordos puntos.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Transporte de medidas

Para transportar la medida – distancia – de un segmento AB a una recta rúnicamente tomaremos la medida con un compás y la trasladaremos a larecta.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Operaciones con Segmentos

Suma de segmentos: Para sumar dos segmentos A y B, se miden susdistancias y se transportan con un compás a una recta r. El final de un segmentose une al principio del otro y el nuevo segmento suma sería el A+B.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Operaciones con Segmentos

Resta de segmentos: Dados dos segmentos A y B, la diferencia A-Bse realiza trasladando la medida de la distancia del segmento B al inicio delsegmento A. Lo que “resta” es la diferencia, el segmento A-B.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos División de Segmentos

División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmentoAB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Serealiza de la siguiente manera.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos División de Segmentos en Partes

IgualesDivisión de un segmento en varias partes iguales:

dado un segmento AB, si lo queremos dividir en varias partes iguales setraza una recta r arbitraria desde el punto A del segmento y se divide entantas partes (ej.: 6 partes). Se van trazando rectas paralelas desde lospuntos de la recta r hacia el segmento AB hasta dividirlo del todo.puntos de la recta r hacia el segmento AB hasta dividirlo del todo.

7.- Ángulos

Se llama ángulo a la zona del plano comprendida entre dos líneas que secortan en un punto.

Los lados del ángulo - las dos semirrectas que se cortan en el vértice O –son las rectas que lo forman.

Los ángulos se miden en grados.

7.- Ángulos Según sus MedidasSegún la medida del ángulo, se pueden clasificar en cuatro tipos:

A) Ángulo recto, el que mide 90 grados.B) Ángulo agudo, mide menos de 90 grados.C) Ángulo obtuso, mide más de 90 grados.D) Ángulo llano, mide 180 grados, un lado es la

prolongación del otro.

7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos

Cuando comparamos dos ángulos entre sí en relación a lo que mide cadauno, pueden ser:

A) Si los dos ángulos miden lo mismo se denominan iguales.

B) Si entre los dos suman un ángulo de 90º se llama complementarios, unocomplementa al otro.complementa al otro.

C) Si entre los dos suman 180º se les llama suplementarios.

7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos

Si comparamos los ángulos según sus lados, pueden ser:

A) Adyacentes. Cuando tienen un lado en común y los otros dos en línearecta.

B) Consecutivos. Tienen el vértice y un lado común.

C) Opuestos por el vértice. Tienen el vértice común, siendo los lados decada ángulo prolongación del otro ángulo.

7.- Ángulos – Bisectriz

Se denomina bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a eseángulo en dos ángulos iguales.

7.- Ángulos – Bisectriz

Como se hace la bisectriz de un ángulo

8.- CircunferenciasSe denomina circunferencia a una línea curva y cerrada, formada

por una sucesión de infinitos puntos que equidistan de otro punto fijo, llamado centro.

Los elementos principales de una circunferencia son:

1. Arco: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.2. Radio: segmento o distancia comprendida entre el centro de la circunferencia

y cualquiera de sus puntos.y cualquiera de sus puntos.3. Diámetro: segmento o distancia de la línea que pasa entre dos puntos de la

circunferencia y por el centro de la misma. Divide la circunferencia en dospartes iguales y su distancia es el doble que el radio.

4. Centro: punto del que distan a la misma distancia todos los puntos de lacircunferencia. Es el punto donde se pincha con el compás para dibujar lacircunferencia.

5. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquierade la circunferencia. La cuerda divide lacircunferencia en dos arcos. La cuerda mas grandees el diámetro.

8.- Circunferencias

8.- Circunferencia - Circulo

El círculo es una superficie limitada por la circunferencia. Su superficiese mide en unidades de superficie (ej,: 55 cm2).

Circunferencia Círculo Esfera(1 dimensión) (2 dimensiones) (3 dimensiones)(1 dimensión) (2 dimensiones) (3 dimensiones)

8.- Trazado Circunferencia Trazado de una circunferencia a partir de tres puntos no alineados.

8.- Posiciones Relativas de Rectas y Circunferencias

Una recta puede tener diferentes posiciones en relación a lacircunferencia.

1. Recta tangente. Cuando la recta sólo tiene un punto en común, decontacto, con la circunferencia, y es perpendicular al radio que pasa por elpunto de contacto.punto de contacto.

2. Recta secante. La recta corta a la circunferencia en dos puntoscualesquiera.

3. Recta exterior. No corta a la circunferencia en ninguna parte. Pasa delargo.

8.- Posiciones Relativas de Rectas y Circunferencias

8.- Posiciones Relativas de Dos Circunferencias

También dos circunferencias pueden tener posiciones relativas la una respecto de la otra.

1. Circunferencias exteriores. No tienen ningún punto en común, de contacto o corte.

2. Circunferencias tangentes exteriores. Tienen un punto en común y las 2. Circunferencias tangentes exteriores. Tienen un punto en común y las dos circunferencias están una fuera de la otra.

3. Circunferencias tangentes interiores. Tienen un punto en común pero una circunferencia está dentro de la otra.

4. Circunferencias secantes. Se cortan en dos puntos.5. Circunferencias concéntricas. Tienen el mismo

centro.6. Circunferencias interiores. Están situadas una dentro de la otra, pero

no tienen el mismo centro. No son concéntricas

8.- Posiciones Relativas de Dos Circunferencias