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CE II – Unidade 7
Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais
(Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran) 7.1 – Impedância Série
Para o circuito série indicado na figura ao lado, tem-se:
( ) ( ) jXRXXjRRRZ +=−+++=•
21321 = Z /ϕ onde
11 wLX = e 1
2
1
wCX = ;
•
••
=
Z
VI ;
•
+= IXjRV )( 111 ; •
−= IXjRV )( 222 ; •
= IRV 33 ;
.cosZ
Rfp == ϕ
Considerando-se as quedas de tensões que a corrente I& = I / 0° provoca nos componentes resistivos, indutivo e capacitivo do circuito série acima, tem-se os diagramas fasoriais:
Diagrama polar funicular
Diagrama vetorial polar
7.1.1 – Fator de Qualidade ( SQ ) em circuito Série
O fator de qualidade em circuito série é definido como: ciclopor dissipada Energia
armazenada energia Máxima2π=SQ . Para
circuitos série, RLC, submetidos a sinais alternados senoidais tem-se que:
• A máxima energia armazenada no indutor é dada por: 22
2
1eficazmáximoL ILILW == ;
• A máxima energia armazenada no capacitor é dada por: 22
2
1eficazCmáximoCC VCVCW == ;
• A potência média no resistor é dada por: PIRIR eficazmáximo ==22
2
1 watts;
• A energia dissipada no resistor num ciclo é dada por: TIRTPW eficazR2
== , onde T é período do
sinal alternado senoidal;
• A freqüência angular do sinal alternado senoidal é dado por: T
fwπ
π2
2 == rd/s;
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Aplicando a definição de SQ para o par RL e considerando as relações acima tem-se que:
ciclopor dissipada Energia
armazenada energia Máxima2π=SQ =
R
X
R
Lw
R
L
TTIR
ILL
eficaz
eficaz====
ππ
22
2
2
.
Similarmente para o par RC, tem-se que:
ciclopor dissipada Energia
armazenada energia Máxima2π=SQ =
( )R
X
R
X
XIR
IX
T
C
TIR
VCCC
Ceficaz
eficazC
eficaz
eficazC====
2
2
2
2
212
2π
π .
7.1.2 – O Decibel (dB) como medida da relação entre as Potências de Saída e Entrada
O decibel foi inventado para medir a perda de potência nos circuitos em cascata em transmissões de
sinais telefônicos. Sua magnitude é definida pela equação: E
S
Entrada
Saída
P
P
P
P1010 log10log10dB == , onde SP e EP
são as potências reais de saída e de entrada em watts, respectivamente. Com SP = EP , o nível decibel,
conforme obtido pela equação anterior, é 0 dB. Com SP < EP , a relação de potência é menor que a unidade,
de forma que o valor decibel é negativo e representa uma perda com relação a potência de entrada. Entretanto, com SP > EP , a relação de potência é maior que a unidade, de forma que o valor decibel é
positivo e representa um ganho com relação a potência de entrada.
Exemplo1: ES PP ⋅=2
1⇒ 50% de perda⇒ 01,3
2
1log102
1
log10 1010 −==
=
E
S
P
PdB .
Exemplo2: dB = -10⇒E
S
P
P10log1010=− ⇒
E
S
P
P10log1=− ⇒ ES
E
S
E
S PPP
P
P
P1,01,010 1 =⇒=⇒= − ⇒10%.
7.2 – Ressonância Série
A condição geral para que um circuito série RLC seja ressonante é que a tensão V& aplicada no circuito e a corrente I& produzida estejam em fase, ou melhor, a impedância equivalente do circuito )( CL XXjRZ −+=& deve ser puramente resistiva.
Dessa forma, se )( CL XXjRZ −+=& = Z / 0° , então, 0=− CL XX ⇒ C
LXX CL ⋅=⋅⇒=ω
ω1
.
Concluímos, também, que os parâmetros do circuito que podem provocar a condição de ressonância ( 0=− CL XX ) são: L, C ou f. Para o circuito série acima ressonante, teremos sempre que:
O fator de potência do circuito é unitário já que fp = cos 0° =1;
A corrente I é máxima já que ( )22CL XXR
V
Z
VI
−+== e Z é mínima;
A tensão no resistor é igual a tensão da fonte já que VR
VRIRVR === ;
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7.2.1 – Ressonância Série – Variação da Indutância L
O comportamento das impedâncias, da corrente e das tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, quando variamos sua indutância de zero a infinito estão mostrados nas figuras abaixo.
Nas curvas acima nota-se que:
• O ponto ressonante (rL ) é definido pela relação Cw
LC
LXX rrCLr 2
11=⇒
⋅=⋅⇒=ω
ω ;
• No ponto ressonante (rL ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima;
• máxRV e VC máx ocorrem no ponto ressonante;
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (rr LC VV = );
• VL máx ocorre após o ponto ressonante. Note que IXV LL ⋅= onde XL é crescente. O valor de L (máxL )
que produz a tensão máxima no indutor pode ser determinada fazendo-se
( )0
22
=
−+=L
CL
L
L
L
dX
XXR
VXd
dX
dV ⇒
C
CLmáx X
XRX
22 += ;
Nas curvas acima, com a indutância L variando de 0 a ∞, observamos que:
• A impedância Z parte de um valor inicial 220 CXRZ += , passa por um mínimo RZ r = e
tende para ∞;
• A corrente I parte de um valor inicial 220 / CXRVI += , passa por um máximo RVI r /= e
tende para 0;
• A tensão no resistor RV parte de um valor inicial += 22/0 CR XRVRV , passa por um máximo
VVrR = (tensão da fonte) e tende para 0;
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial += 22/0 CCC XRVXV , passa por um máximo
VQVR
XV S
CCr
== e tende para 0. R
X
R
XQ rLC
S == é o fator de qualidade do circuito série;
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• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial 00=LV , passa pelo ponto ressonante V
R
XV r
r
L
L = =
rCS VVQ = , passa por um máximo VQV SLmáxr
21+= e tende para V.
Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo.
Lugar Geométrico da Impedância •
Z
Lugar Geométrico da Corrente •
I
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: • A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e
indutiva, acima da ressonância; • O lugar geométrico da corrente caminha sobre um semi-círculo no sentido horário.
Exemplo numérico: Ressonância Série – Variação da Indutância (L)
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado, sabendo-se que a tensão aplicada ao mesmo é alternada senoidal na referência e com valor eficaz de 120 volts, freqüência de 50 Hz, e os parâmetros do circuito com os valores, R = 5 Ω, L = variável, e C = 310 µF.
R (Ω) L C (F) f (hz) π V (volts) w (rd/s)
5 variável 0,00031 50 3,14159 120 314,159
Ressonância (Ponto r)
Lr = 1/(w2 C) Lr (mH) = 32,68 I r (A) = 24 /0° w (rd/s) = 314,16 Vr (V) = 120 /0° XLr (Ω) = 10,27 VLr (V) = 246,43 /90° XC (Ω) = 10,27 VCr (V) = 246,43 /-90° Xr (Ω) = 0,00 Q= 2,05
Zr (Ω) = 5,00
Tensão máxima no Indutor (Ponto m)
XLm = (R2 + XC2) / XC XLm (Ω) = 12,70 Lm (mH) 40,43
R (Ω) Xm (Ω) Zm (Ω) θZm (°) Im (A) θIm (°) VLm (V) θVLm (°) 5,00 2,43 5,56 25,96 21,58 -25,96 274,10 64,04
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quando variamos sua indutância de zero a infinito, foram apresentados no início desta seção.
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7.2.2 – Ressonância Série – Variação da Capacitância C O comportamento das impedâncias, da corrente e das
tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, quando variamos sua capacitância de zero a infinito estão mostrados nas figuras abaixo.
Nas curvas acima nota-se que:
• O ponto ressonante (rC ) é definido pela relação Lw
CL
CXX rrLCr 2
11=⇒
⋅=⋅⇒=ω
ω ;
• No ponto ressonante (rC ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima;
• máxRV e VL máx ocorrem no ponto ressonante;
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (rr LC VV = );
• VC máx ocorre antes do ponto ressonante. Note que IXV CC ⋅= onde XC é decrescente. O valor de C
( máxC ) que produz a tensão máxima no capacitor pode ser determinada fazendo-se
( )0
22
=
−+=C
CL
C
C
C
dX
XXR
VXd
dX
dV ⇒
L
LCmáx X
XRX
22 +=
Nas curvas acima, com a indutância C variando de 0 a ∞, observamos que: • A impedância Z parte de um valor inicial ∞=0Z , passa por um mínimo RZ r = e
tende para 22LXR + ;
• A corrente I parte de um valor inicial 00 =I , passa por um máximo RVI r /= e
tende para 22/ LXRV + ;
• A tensão no resistor RV parte de um valor inicial nulo, passa por um máximo VVrR = (tensão da
fonte) e tende para + 22/ LXRVR ;
• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial nulo, passa por um máximo VQVR
XV S
LLr
== e
tende para + 22/ LL XRVX . R
X
R
XQ rCL
S == é o fator de qualidade do circuito série;
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial VVC =0, passa por um máximo
VQV SCmáxr
21+= , passa pelo ponto ressonante VR
XV r
r
C
C = = rLS VVQ = e tende para 0.
Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo.
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Lugar Geométrico da Impedância •
Z
Lugar Geométrico da Corrente •
I
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: • A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e
indutiva, acima da ressonância; • O lugar geométrico da corrente caminha sobre um semi-círculo no sentido horário.
Exemplo numérico: Ressonância Série – Variação da Capacitância (C)
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: V=10 volts, f = 2,6 KHz, R = 1,2 Ω, C = variável, e L = 0,08 mH.
R (Ω) L (mH) C f (hz) π V (volts) W (rd/s) 1,2 0,08 variável 2.600 3,14159 10 16.336
Ressonância (Ponto r) Cr = 1/(w2 L) Cr(µF)= 46,8386 I r (A) = 8,333 /0°
w(rd/s)= 16.336 Vr (V) = 10 /0° XL (Ω)= 1,307 VLr (V) = 10,89 /90° XCr (Ω)= 1,307 VCr (V)= 10,89 /-90° Xr (Ω) = 0 Q= 1,09 Zr (Ω) = 1,2
Tensão máxima no Capacitor (Ponto m)
XCm=(R2 +XL2)/XL XCm (Ω)= 2,409 Cm(µF)= 25,413
R (Ω) Xm (Ω) Zm (Ω) θZm (°) Im (A) θIm (°) VCm (V) θVCm (°) 1,20 -1,102 1,629 -42,56 6,138 42,56 14,79 -47,44
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quando variamos sua capacitância, foram apresentados no início desta seção.
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7.2.3 – Ressonância Série – Variação da Freqüência f
O comportamento das impedâncias, da corrente e das tensões para o circuito RLC série indicado na figura ao lado, quando variamos sua freqüência de zero a infinito estão mostrados nas figuras abaixo. Para melhor ilustrar seus comportamentos usamos, aqui, um circuito com baixo fator de qualidade ( sQ = 0,93).
Nas curvas acima nota-se que:
• O ponto ressonante (rw ) é definido pela relação CL
wC
LXX rr
rCL rr
11=⇒
⋅=⋅⇒=ω
ω ;
• No ponto ressonante (rw ) a impedância rZ é mínima a corrente rI é máxima (a corrente tem a mesma
forma de onda de RV );
• máxRV e I máx ocorrem no ponto ressonante;
• No ponto ressonante as tensões no capacitor e no indutor são iguais (rr LC VV = );
• VL máx ocorre após o ponto ressonante. Note que IXV LL ⋅= onde XL é crescente. O valor de w ( 4w ) que produz a tensão máxima no indutor pode ser determinada fazendo-se
( )0
22
=
−+=dw
XXR
VXd
dw
dV CL
L
L ⇒ 2
2
4
R
C
LX C −= ;
• VC máx ocorre antes do ponto ressonante. Note que IXV CC ⋅= onde XC é decrescente. O valor de w
( 3w ) que produz a tensão máxima no capacitor pode ser determinada fazendo-se
( )0
22
=
−+=dw
XXR
VXd
dw
dV CL
C
C ⇒ 2
2
3
R
C
LX L −= ;
Nas curvas acima, com a freqüência angular w variando de 0 a ∞, observamos que: • A impedância Z parte de um valor inicial 0Z = ∞, passa por um mínimo RZ r = e
tende para ∞; • A corrente I parte de um valor inicial 0I = 0, passa por um máximo RVI r /= e
tende para 0; • A tensão no resistor RV parte de um valor inicial
0RV = 0, passa por um máximo VVrR = (tensão da
fonte) e tende para 0;
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• A tensão no indutor LV parte de um valor inicial 00=LV , passa pelo ponto ressonante V
R
XV r
r
L
L = =
rCS VVQ = , passa por um máximo máxrLV após o ponto ressonante e tende para V;
• A tensão no capacitor CV parte de um valor inicial VVC =0, passa por um máximo
máxrCV antes do
ponto ressonante, passa pelo ponto ressonante VR
XV r
r
C
C = = rLS VVQ = e tende para 0;
• As reatâncias no ponto ressonante são dadas por: rr CrL X
C
L
LC
LL
LCLX =====
21ω ;
• O fator de qualidade é dado por: C
L
RLC
L
RR
L
LCR
L
R
XQ rL
Sr 111 2
=====ω
.
Os Lugares geométricos da impedância e da corrente são mostrados nas figuras abaixo.
Lugar Geométrico da Impedância •
Z
Lugar Geométrico da Corrente •
I
Analisando os lugares geométricos acima nota-se que: • A impedância Z& do circuito é capacitiva abaixo da ressonância e, puramente resistiva na ressonância e
indutiva, acima da ressonância; • O lugar geométrico da corrente caminha sobre um círculo no sentido horário.
7.2.3.1 – O circuito série RLC como Seletor
Observando-se o comportamento da corrente produzida, indicado na figura ao lado, num circuito RLC série quando variamos sua freqüência de zero a infinito nota-se que este circuito permite mais facilmente a passagem de sinais com freqüências próximas a freqüência ressonante. Dessa forma, ele tem características seletivas. A faixa de freqüência que passa mais facilmente ( 12 www −=∆ ) é designa- da faixa de freqüência ou largura de faixa. Os circuitos com estas características correspondem aqueles com médio/alto fator de qualidade, em especial a figura acima corresponde a um circuito com sQ = 4 (médio).
Em geral, os pontos 1w e 2w são definidos como sendo aqueles onde as correntes no circuito ( 1I e
2I ) sejam 2 vezes menor que a corrente máxima (neste caso a corrente ressonante RVI r /= ). Por isso mesmo esses pontos são também conhecidos como pontos de meia potência já que a potência real consumidas em R para as correntes 1I e 2I é a metade da potência consumida por rI . Note que:
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• 222
222
22
121rrr PI
RI
RIRIRPP ==
==== .
Tendo em mente o que foi apresentado no início desta seção e na seção anterior temos algumas expressões e relações interessantes a serem apresentadas e discutidas. Tem-se:
a) Expressão para o cálculo de 1w correspondente à corrente 1I
Considerando o circuito RLC série com f variável e como 2/1 rII =
então 221 RZZ r == já que na ressonância RZ r = . Como o ponto 1 está abaixo da ressonância e, neste caso, o circuito tem característica predominantemente capacitiva teremos, assim, a impedância 1Z& conforme indicada na figura ao lado. Tem-se que:
LC
LCCRRCRCLCRL
CRXXX LC 2
401
1 22
112
111
1 11
++−=⇒=−+⇒=−⇒=−= ωωωω
ω.
b) Expressão para o cálculo de 2w correspondente à corrente 2I Similarmente ao item anterior, como o ponto 2 está acima da ressonância e, neste caso, o circuito tem característica predominantemente indutiva teremos, assim, a impedância 2Z& conforme indicada na figura ao lado.
Tem-se que: ⇒=−⇒=−= RC
LRXXX CL2
22
122 ω
ω
LC
LCCRRCRCLC
2
401
22
222
2
+++=⇒=−−⇒ ωωω .
c) Largura de Faixa - 12 www −=∆
Observe que 12 www −=∆ = LC
LCCRRC
2
422 +++-
LC
LCCRRC
2
422 ++− =
L
R.
d) Largura de Faixa função do fator de qualidade (SQ ) do circuito RLC série
w∆ = L
R =
S
r
Sr
Lr
rr
r
r
Q
w
Qw
X
Rw
Lw
Rw
Lw
Rw
r
====1
. A largura de faixa é inversamente proporcional
ao fator de qualidade do circuito. Dessa forma, circuitos com altos fatores de qualidade tem larguras de faixa estreitas e, conseqüentemente, são altamente seletivos. Similarmente, circuitos com baixos fatores de qualidade tem larguras de faixa largas e, conseqüentemente, são poucos seletivos.
e) A Freqüência angular ressonante ( rw ) é igual à média geométrica de 1w e 2w
Observe que 21 ww = LC
LCCRRC
2
422 ++−*
LC
LCCRRC
2
422 +++=
LC
1 ⇒
LCww
121 = =
LC
1 = rw .
f) Cálculos aproximados de 1w e 2w Observa-se claramente na curva WI × , mostrada no início desta seção, que a corrente não é simétrica em
relação ao ponto ressonante (rw ). Nota-se que ao variar w de 0 a 25 krd/s a corrente cresceu de 0 a 0,6 A, seu valor ressonante. Por outro lado ao variar w de 25 krd/s a 50 krd/s a corrente decresceu de 0,6 a 0,1 A,
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mantendo-se ainda com um valor significativo (16,7 % de seu valor máximo). Embora 1w e 2w não sejam
simétricos em relação arw é usual, em operações práticas, aproximá-los como se fossem, ou melhor:
• L
Rww rr 221 −=∆−≅ ωω ;
• L
Rww rr 222 +=∆+≅ ωω .
7.2.3.2 –Exemplos numéricos
a) Exemplo 1 – Circuito com baixo fator de qualidade ( sQ = 0,93)
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: V=2 volts, f = variável, R = 2.500 Ω, C = 0,12 µF e L = 650 mH.
R (Ω) L (mH) C (µF) f (hz) π V (volts) 2.500 650 0,12 variável 3,14159265 2
Ressonância (Ponto r)
Wr=1/(LC)0,5 I r (µA) = 800 /0° Wr (rd/s) = 3.580,57 Vr (V) = 2 /0° XLr (Ω) = 2.327,37 VLr (V) = 1,86 /90° XCr (Ω) = 2.327,37 VCr (V) = 1,86 /-90° Xr (Ω) = 0,00 Q=XLr / R 0,93
Zr (Ω) = 2.500,00 Q=(L/C)0,5/R 0,93
Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3)
XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 1.513,825 W3 (rd/s) = 2.328,96
XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (µA) θI3 (°) 3.578,132 -2.064,307 3.242,123 -39,55 617 39,55
VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 1,54 39,55 0,93 129,55 2,21 -50,45
Tensão máxima no Indutor (Ponto 4)
XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 1.513,825 W4 (rd/s) = 5.504,82
XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (µA) θI4 (°) 3.578,132 2.064,307 3.242,123 39,55 617 -39,55
VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 1,54 -39,55 2,21 50,45 0,93 -129,55
Relações Interessantes
W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5
3.175,86 1.924,24 1.251,61 3.580,57
Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1)
W1=[(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 2.141,25 XL1 (Ω)= 1.391,811
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XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (µA) θI1 (°) 3.891,811 -2.500,000 3.535,534 -45,000 566 45,000
VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 1,414 45,000 0,787 135,000 2,202 -45,000
W1 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1] W1 (rd/s) = 2.141,25
Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2)
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 5.987,40 XL2 (Ω)= 3.891,811
XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (µA) θI2 (°) 1.391,811 2.500,000 3.535,534 45,000 566 -45,000
VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 1,414 -45,000 2,202 45,000 0,787 -135,000
W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 5.987,40
Relações Interessantes
W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5
3.846,15 3.846,15 3.846,15 2.406,83 1.439,33 3.580,57
Observação: Os gráficos das impedâncias, da corrente e das tensões para este circuito RLC série, quando variamos sua freqüência, foram apresentados no início da seção 7.2.3.
b) Exemplo 2 – Circuito com médio fator de qualidade ( sQ = 4)
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: V=6 volts, f = variável, R = 100 Ω, C = 0,1 µF e L = 16 mH.
R (Ω) L (mH) C (µF) f (hz) π V (volts) 100 16 0,1 variável 3,14159265 6
Ressonância (Ponto r)
Wr=1/(LC)0,5 I r (mA) = 60 /0° Wr (rd/s) = 25.000,00 Vr (V) = 6 /0° XLr (Ω) = 400,00 VLr (V) = 24,00 /90° XCr (Ω) = 400,00 VCr (V) = 24,00 /-90° Xr (Ω) = 0,00 Q=XLr / R 4,00
Zr (Ω) = 100,00 Q=(L/C)0,5/R 4,00
Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3)
XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 393,700 W3 (rd/s) = 24.606,27
XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (mA) θI3 (°) 406,400 -12,700 100,813 -7,238 59,5 7,238
VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 5,95 7,238 24,43 97,238 24,19 -82,762
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Tensão máxima no Indutor (Ponto 4)
XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 393,700 W4 (rd/s) = 25.400,03
XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (A) θI4 (°) 406,400 12,700 100,803 7,238 59,5 -7,238
VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 5,95 -7,238 24,19 82,762 23,43 -97,238
Relações Interessantes
W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5
793,75 400,03 393,73 25.000,00
Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1)
W1=[(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 22.069,56 XL1 (Ω)= 353,113
XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (mA) θI1 (°) 453,113 -100,000 141,421 -45,000 42,43 45,000
VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 4,243 45,000 14,981 135,000 19,224 -45,000
W1 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1] W1 (rd/s) = 22.069,56
Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2)
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 28.319,56 XL2 (Ω)= 453,113
XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (A) θI2 (°) 353,113 100,000 141,421 45,000 42,43 -45,000
VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 4,243 -45,000 19,224 45,000 14,981 -135,000
W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 28.319,56
Relações Interessantes
W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5
6.250,00 6.250,00 6.250,00 3.319,56 2.930,44 25.000,00
Veja os comportamentos da corrente e das tensões no resistor, indutor e capacitor para este circuito RLC série, quando variamos sua freqüência, nos gráficos abaixo.
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c) Exemplo 3 – Circuito com alto fator de qualidade ( sQ = 31,43)
Resolva o circuito série RLC indicado na figura ao lado onde: V=6 volts, f = variável, R = 9 Ω, C = 0,1 µF e L = 8 mH.
R (Ω) L (mH) C (µF) f (hz) π V (volts) 9 8 0,1 variável 3,14159265 6
Ressonância (Ponto r)
Wr=1/(LC)0,5 I r (mA) = 666,7 /0° Wr (rd/s) = 35.355,34 Vr (V) = 6 /0° XLr (Ω) = 282,84 VLr (V) = 188,56 /90° XCr (Ω) = 282,84 VCr (V) = 188,56 /-90° Xr (Ω) = 0 Q=XLr / R 31,43
Zr (Ω) = 9 Q=(L/C)0,5/R 31,43
Tensão máxima no Capacitor (Ponto 3)
XL3 = (L/C - R2/2)0,5 XL3 (Ω) = 282,771 W3 (rd/s) = 35.346,39
XC3 (Ω) X3 (Ω) Z3 (Ω) θZ3 (°) I3 (mA) θI3 (°) 282,914 -0,143 9,001 -0,912 666,6 0,912
VR3 (V) θVR3 (°) VL3 (V) θVL3 (°) VC3 (V) θVC3 (°) 6,00 0,912 188,49 90,91 188,59 -89,09
Tensão máxima no Indutor (Ponto 4)
XC4 = (L/C - R2/2)0,5 XC4 (Ω) = 282,771 W4 (rd/s) = 35.364,29
XL4 (Ω) X4 (Ω) Z4 (Ω) θZ4 (°) I4 (mA) θI4 (°) 282,914 0,143 9,001 0,912 666,6 -0,912
VR4 (V) θVR4 (°) VL4 (V) θVL4 (°) VC4 (V) θVC4 (°) 6,00 -0,912 188,59 89,09 188,49 -90,91
Relações Interessantes
W4 - W3 W4 - Wr Wr - W3 (W3 * W4)0,5
17,903 8,953 8,950 35.355,34
Ponto de meia potência abaixo da ressonância (Ponto 1)
W1 = [(R2C2+4LC)0,5-RC]/(2LC) W1 (rd/s) = 34.797,31 XL1 (Ω)= 278,379
XC1 (Ω) X1 (Ω) Z1 (Ω) θZ1 (°) I1 (mA) θI1 (°) 287,379 -9,000 12,728 -45,000 471 45,000
VR1 (V) θVR1 (°) VL1 (V) θVL1 (°) VC1 (V) θVC1 (°) 4,243 45,000 131,229 135,000 135,472 -45,000
W1=(Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5-1] W1 (rd/s) = 34.797,31
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Ponto de meia potência acima da ressonância (Ponto 2)
W2=[(R2C2+4LC)0,5 + RC]/(2LC) W2 (rd/s) = 35.922,31 XL2 (Ω)= 287,379
XC2 (Ω) X2 (Ω) Z2 (Ω) θZ2 (°) I2 (mA) θI2 (°) 278,379 9,000 12,728 45,000 471 -45,000
VR2 (V) θVR2 (°) VL2 (V) θVL2 (°) VC2 (V) θVC2 (°) 4,243 -45,000 135,472 45,000 131,229 -135,000
W2 = (Wr/2Q)*[(1+4Q2)0,5 + 1] W2 (rd/s) = 35.922,31
Relações Interessantes
W2 - W1 R / L Wr / Q W2 - Wr Wr - W1 (W1 * W2)0,5
1125,00 1125,00 1125,00 566,97 558,03 35.355,34
Veja os comportamentos das reatâncias, impedância, corrente e das tensões no resistor, indutor e capacitor para este circuito RLC série, quando variamos sua freqüência, nos gráficos abaixo. Observe que as curvas das tensões no indutor e no capacitor são, praticamente, coincidentes no entorno do ponto ressonante e, dessa forma, suas tensões máximas e ressonantes são muito próximas.
d) Exemplo 4 – Circuitos Seletores com Correntes e Freqüências ressonantes iguais
Aplicando-se a mesma tensão V, alternada senoidal, em dois circuitos série RLC, com freqüência variável, obteve-se a curva 1, para o circuito 1 com os parâmetros R L eC1 1 1, e a curva 2, para o circuito 2 com os parâmetros R L eC2 2 2, . Nota-se que os dois circuitos tem o mesmo ponto ressonante (rw ) e, também, o mesmo valor da corrente ressonante. Em função dessas igualdades e das larguras de faixas indi-
cadas pode-se concluir:
• Como R
VI r = e 2121 RRII rr =⇒= ;
• Como LC
wr
1= e 2211
2211
1121
CLCLCLCL
rr =⇒=⇒=ωω ;
• Como ω
ω
∆= r
SQ , 21 rr ωω = e
2121 SS QQ <⇒∆>∆ ωω ;
• Como L
Rw=∆ , 21 RR = e 2121 LL <⇒∆>∆ ωω ;
• Como 2211 CLCL = e 21 LL < ⇒ 21 CC > .
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7.3 – Diagrama Circular do Circuito Série RL - Variação da Resistência R
Nas seções anteriores analisamos circuitos série onde a resistência (R) tinha valor constante. Veremos, agora, o comportamento da corrente quando o elemento R é variável, conforme indicado na figura acima. Circuitos deste tipo podem representar uma carga variável como, por exemplo, um motor de indução. Para mostrar que o lugar geométrico da corrente mostrado corresponde ao circuito RL, com R variável, tem-se que:
• Para R = 0, a corrente (I) é puramente indutiva ⇒ atrasa de 90° da tensão V, é máxima e igual a
XV / . Assim, o segmento de reta XVOC /= ;
• No triângulo retângulo OAC: cos α = θseno
X
VI
OC
I== ⇒ θθ senoZseno
I
VX == já que
seno θ = cos α.(ângulos complementares); • Note que para qualquer ponto do semi-círculo OAC a equação XsenoZ =θ é verdadeira, equação esta
que relaciona a impedância e a reatância de um circuito RL. Conclui-se, então, que o lugar geométrico da corrente I& do circuito RL acima é o vetor com origem no ponto O e a extremidade um ponto A genérico sobre o semi-círculo OAC.
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7.4 – Ramos Paralelos Para o circuito genérico com três ramos paralelos, tem-se que:
1
1 •
••
=
Z
VI ;
2
2 •
••
=
Z
VI ;
3
3 •
••
=
Z
VI ; 321
••••
++= IIII ⇒
=
++=
•••
••
321
111
ZZZVI
•
••••••• =⋅=
++=
Z
VYVYYYV 321 .
Cuidado:Observe que a admitância 1Y& equivalente à impedância série 1Z&
indicado na figura (a) ao lado é 221
1
11
1
!
1
1
11
L
L
L jXR
jXR
jXRZY
+
−=
+==
•
•
e
não 1
11'
11
LjXRY +=•
que seria a admitância equivalente do circuito paralelo indicado na figura (b).
7.4.1 – O ramo Paralelo equivalente a uma impedância Série
Considerando que o circuito paralelo indicado na figura (b) ao lado seja o equivalente do circuito série (a) e recordando que seus fatores de qualidades são:
P
P
P
PP X
R
RV
XV
P
QQ ===
2
2
,
S
S
S
SS R
X
IR
IX
P
QQ ===
2
2
, tem-se que:
PS YY••
= ⇒ PPS
S
S
S
SS
SS
SS X
j
RZ
Xj
Z
R
XR
jXR
jXR−=−=
+
−=
+
112222
S
SP R
ZR
2
=⇒ e S
SP X
ZX
2
= onde:
2SS ZR é a condutância da impedância série SZ& e
2SS ZX é a susceptância da impedância série SZ& .
Observe que:
( )2222
1 SSS
SS
S
SP QR
R
XR
R
ZR +=
+==
( )2222
11 SSS
SS
S
SP QX
X
XR
X
ZX +=
+==
7.4.2 – A impedância Série equivalente ao ramo Paralelo
Considerando que o circuito série indicado na figura (b) ao
lado seja o equivalente do circuito paralelo (a) e fazendo PS ZZ••
= tem-se que:
)()(
)(
PPPP
PPPP
PP
PPPSSS jXRjXR
jXRjXR
jXR
jXRZjXRZ
−+
−⋅=
+
⋅==+= && ⇒
22
22
PP
PPPPSS
XR
XjRXRjXR
+
+⋅=+ . Igualando-se as partes reais e imaginárias tem-se que:
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1
1222
2
+=⇒
+
⋅=
P
PS
PP
PPS
QRR
XR
XRR e
12
2
22
2
+=⇒
+
⋅=
P
PPS
PP
PPS
Q
QXX
XR
XRX .
7.4.3 – Exemplos numéricos - O Paralelo equivalente do Série e vice-versa
Conversão do circuito Série para o equivalente Paralelo
RS (Ω) LS (mH) f (hz) w (rd/s) XS (Ω) ZS (Ω) QS 10,00 5,00 6.000 37.699,11 188,50 188,76 18,850
QS = XS / RS
RP = ZS2 / RS RP (Ω) XP (Ω) QP LP (mH)
XP = ZS2 / XS 3.563,06 189,03 18,850 5,014
QP = RP / XP
RP = RS (1 + QS2) RP (Ω) XP (Ω)
XP = XS (1 + 1/QS2) 3.563,06 189,03
Conversão do circuito Paralelo para o equivalente Série
RP (Ω) LP (mH) f (hz) w (rd/s) XP (Ω) ZP (Ω) QP 3.563,06 5,014 6.000 37.699,11 189,03 3.568,07 18,850
QP = RP / XP
RS = RP (XP2 / ZP
2) RS (Ω) XS (Ω) QS LS (mH)
XS = XP (RP2 / ZP
2) 10,00 188,50 18,850 5,000
QS = XS / RS
RS = RP / (1 + QP2) RS (Ω) XS (Ω)
XS = XP (QP2/ (1 + QP
2)) 10,00 188,50
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7.5 – Ressonância em ramos paralelos Para o circuito paralelo de dois ramos, indicado na figura ao lado,
e considerando a condição geral de ressonância de que a tensão aplicada V& e a corrente produzida I& estejam em fase tem-se que:
a) °=+
=•
0|eq
CL
CLeq Z
ZZ
ZZZ &
&&
&&
;
b) °=+=+=••
•••
0|11
eq
CL
CLeq YZZ
YYY & . Desenvolvendo esta relação e fazendo a parte imaginária igual a
zero obtém-se a condição geral de ressonância para o circuito acima, ou melhor:
2222
11110|
CC
CC
LL
LL
CCLLCL
eqXR
jXR
XR
jXR
jXRjXRZZY
++
++−=
−+
+=+=°
••& ⇒ a condição geral:
2222CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+. Analisando esta equação em termos da variação de um dos parâmetros: LR ,
L, CR , C e f, observa-se que dependendo dos valores dos demais parâmetros é possível obter a
igualdade indicada e, dessa forma, determinar o valor específico do parâmetro variável que provocará ressonância no circuito paralelo acima.
7.5.1 – Ressonância Paralela – Variação da Indutância (L)
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a indutância variando de zero a infinito obtém-se os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b), (c) ou (d), função dos parâmetros do circuito, LR , CR , C e f.
Para as figuras (b), (c) e (d) acima podemos salientar que: • O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável L ; • Os pontos ressonantes não propiciam nem correntes mínimas e nem máximas e, sim, pontos com fator
de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos dois pontos ressonantes (3) e (6); na figura (c), um ponto ressonante (3) e na figura (d), nenhum;
• A corrente mínima é definida pela normal à semi-cícunferência (menor distância de um ponto externo à uma semi-circunferência);
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
alinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + ;
• Observe que se )( CC senoI θ < Raio tem-se dois pontos ressonante; se for igual, tem-se um ponto
ressonante e se for maior, não temos ponto ressonante;
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• Ponto mais indutivo ou menos capacitivo é o ponto de tangência a circunferência a partir do ponto O; • A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras
(b), (c) e (d):
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c Figura d
Pontos ressonantes 3 e 6 3 nenhum Ponto de corrente máxima 7 4 5 Ponto de corrente mínima 2 2 2 Ponto de meia potência 5 3 3 Ponto mais indutivo ou menos capacitivo 4 3 4 Ponto mais capacitivo 1 1 1
• Expressão literal de LX e de L que provocam ressonância. À partir da equação
2222CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+tem-se que:
222C
C
LL
L
Z
X
XR
X=
+ ⇒ 0222 =+− CLLCLC XRXZXX ⇒
C
LCCCL X
RXZZX
2
4 2242 −±= ou −±= 2242 4
2 LCCC RXZZC
L ;
• Observe que a condição de ressonância é que o 04 224 ≥−=∆ LCC RXZ ⇒ LCC RXZ 22 ≥ , expressão
equivalente aquela (Raio ≥ )( CC senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que:
Raio ≥ )( CC senoI θ ⇒ 2
Diâmetro≥ )( CC senoI θ ⇒C
C
CL Z
X
Z
V
R
V≥
2⇒ LCC RXZ 22 ≥ .
Exemplo numérico - Ressonância Paralela Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na figura à direita, onde: &V =150 / 0° volts, f = 1,2 kHz, IF = 4 A, θ = 55° e R = 5C = 5 A.
Qual é o elemento variável? • FI& adiantado de V& ⇒ FI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo não varia, CR e C fixos;
• VI& atrasado de V& ⇒ VI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo é variável, LR ou L varia;
• LI& máximo é 17I& em fase com V&, circuito puramente resistivo ⇒ L = 0, ∴ L é variável.
V (volts) f (Hz) IC θC (°) R (raio) 150 1.200 4 55 5,00
Parâmetros do circuito
ZC (Ω) θZC (°) RC (Ω) XC (Ω) C (µF) RL (Ω) 37,500 -55,000 21,509 30,718 4,3176 15,000
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Pontos ressonantes: P3 e P6. A corrente I está em fase com a tensão.
XL = (ZC2 ± RAIZ(ZC
4 - 4 XC2 RL
2)) / (2 XC) XL3 (Ω) XL6 (Ω) 40,179 5,600
L = C × (ZC2 ± RAIZ(ZC
4 - 4 XC2 RL
2)) / 2 L3 (mH) L6 (mH) 5,329 0,743
IP3 = IO3: Ponto ressonante de maior indutância
ZLr3 = RL + j XLr3 ILr3 = V/ZLr3
ZLr3 (Ω) θZr3 (°) ILr3 (A) θLr3 (°) 42,89 69,528 3,4975 -69,528
IP3 = IF + ILr3 Real (IP3) Imag (IP3) IP3 (A) θIP3 (°) 3,5176 0,000 3,5176 0,000 IP3 = gr3 × V onde gr3 = RL / ZL
2 + RC / ZC2 para Lr sendo a maior L ressonante.
gr (mohs) IP3 (A) θIP3 (°) 0,02345 3,5176 0,000
IP6 = IO6: Ponto ressonante de menor indutância
ZLr6 = RL + j XLr6 ILr6 = V/ZLr6
ZLr6 (Ω) θZr6 (°) ILr6 (A) θLr6 (°) 16,01 20,472 9,3684 -20,472
IP6 = IF+I Lr6 Real (IP6) Imag (IP6) IP6 (A) θIP6 (°) 11,071 0,000 11,071 0,000 Corrente mínima (Imin) é o vetor IO2. Menor distância de um ponto a um círculo.
IOC = IF + R /0° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIOC (°) 7,2943 3,2766 7,9964 24,19
Imin = IOC /α - R /α Imin (A) θImin (°) Real (Imin) Imag (Imin) 2,9964 24,190 2,7333 1,2278
ILmin = Imin - IF Real (ILmin) Imag (ILmin) ILmin (A) θILmin (°) 0,43903 -2,0488 2,0953 −77,905 ZLmin = V / ILmin ZLmin (Ω) θZLmin (°) RLmin (Ω) XLmin (Ω) 71,59 77,905 15,00 70,00
Corrente máxima: I7 = IO7. Raio do semi-círculo mais alinhado com IOC.
Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) I7 = IF + 2R /0 12,294 3,2766 12,723 14,923 Corrente mais indutiva: I4 = IO4. Ponto de tangência do ponto O ao semi-círculo.
I4 = Raiz(IOC2 - R2) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°)
θI4 = θIoc-arc sin(R/OC) 6,0413 -1,5638 6,2404 -14,513
IL4 = I4 - IF Real (IL4) Imag (IL4) IL4 (A) θIL4 (°) 3,7470 -4,8405 6,1213 −52,256 ZL4 = V / IL4 ZL4 (Ω) θZL4 (°) RL4 (Ω) XL4 (Ω) 24,50 52,256 15,00 19,38
Corrente do ramo variável onde XL = RL : I5 = IO5. Ponto de meia potência.
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I5 = IF + (R - jR) Real (I5) Imag (I5) I5 (A) θI5 (°) 7,2943 -1,7234 7,4951 -13,293
IL5 = (R - jR) Real (IC5) Imag (IL5) IL5 (A) θIL5 (°) 5,0000 -5,0000 7,0711 −45,000 ZL5 = V / IL5 ZL5 (Ω) θZL5 (°) RL5 (Ω) XL5 (Ω) 21,21 45,000 15,00 15,00
Observe que para os pontos ressonantes (3P e 6P ) poder-se-ia calcular, facilmente, as correntes
ressonantes (3I e 6I ) através de cálculos fasoriais de correntes, sem a necessidade de determinar os valores
numéricos dos parâmetros do circuito (RL , L, RC e C). Observe que:
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -(180 - β)° = 3OI /0° ; • 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - β = 6OI /0°
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / 0° = OCI / α e β = arc seno (FI seno θ / R).
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: • Corrente máxima: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 0° = 17II F
&& + = FI& + 2R / 0° ; • Corrente mínima: 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / (α - 180)° = ( RIOC − ) / α ;
• Corrente de 21 potência: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - 90° ;
• Corrente mais capacitiva: FO III &&& == 11 ;
• Corrente mais indutiva: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / - (180 - α - δ)° onde γ é o ângulo C do triângulo retângulo OC4, ou melhor, γ = arc cos
OCI
R.
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 22/57
7.5.2 – Ressonância Paralela – Variação da Capacitância (C) Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a capacitância variando de zero a infinito obtém-se
os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b), (c) ou (d), função dos parâmetros do circuito, LR , CR , L e f.
Para as figuras (b), (c) e (d) acima podemos salientar que: • O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável C; • Os pontos ressonantes não propiciam nem correntes mínimas e nem máximas e, sim, pontos com fator
de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos dois pontos ressonantes (3) e (6); na figura (c), um ponto ressonante (3) e na figura (d), nenhum;
• A corrente mínima é definida pela normal à semi-cícunferência (menor distância de um ponto externo à uma semi-circunferência);
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
alinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + ;
• Observe que se )( LL senoI θ < Raio tem-se dois pontos ressonante; se for igual, tem-se um ponto ressonante e se for maior, não temos ponto ressonante;
• Ponto mais capacitivo ou menos indutivo é o ponto de tangência a circunferência a partir do ponto O; • A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras
(b), (c) e (d):
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c Figura d
Pontos ressonantes 3 e 6 3 Não tem Ponto de corrente máxima 7 4 5 Ponto de corrente mínima 2 2 2 Ponto de meia potência 5 3 3 Ponto mais capacitivo ou menos indutivo 4 3 4 Ponto mais indutivo 1 1 1
• Expressão literal de CX e de C que provocam ressonância. À partir da equação
2222CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+tem-se que:
222CC
C
L
L
XR
X
Z
X
+= ⇒ 0222 =+− LCCLCL XRXZXX ⇒
L
CLLLC X
RXZZX
2
4 2242 −±= ou C
L
Z Z R Xr
L L C L
=± −
2
42 4 2 2;
• Observe que a condição de ressonância é que o 04 224 ≥−=∆ CLL RXZ ⇒ CLL RXZ 22> expressão
equivalente aquela (Raio ≥ )( LL senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que:
Raio ≥ )( LL senoI θ ⇒ 2
Diâmetro≥ )( LL senoI θ ⇒L
L
LC Z
X
Z
V
R
V≥
2⇒ CLL RXZ 22
> .
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 23/57
Exemplo numérico - Ressonância Paralela
Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na figura à direita, onde: &V =120 / 0° volts, f = 3 kHz, IF = 1,4 A, θ = 40° e 5C = 3,25 A.
Qual é o elemento variável? • FI& atrasado de V& ⇒ FI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo não varia, LR e L fixos;
• VI& adiantado de V& ⇒ VI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo é variável, CR ou C varia;
• CI& máximo é 17I& em fase com V&, circuito puramente resistivo ⇒ C = ∞, ∴ C é variável.
V (volts) f (Hz) IL θL (°) R (raio) 120 3.000 1,4 -40 3,25
Parâmetros do circuito
ZL (Ω) θZL (°) RL (Ω) XL (Ω) L (mH) RC (Ω) 85,714 40,000 65,661 55,096 2,923 18,462
Pontos ressonantes: P3 e P6. A corrente I está em fase com a tensão.
XC = (ZL2 ± RAIZ(ZL
4 - 4 XL2 RC
2)) / (2 XL) XC3 (Ω) XC6 (Ω) 130,741 2,607
C = 2 L / (ZL2 ± RAIZ(ZL
4 - 4 XL2 RC
2)) C3 (µF) C6 (µF) 0,40578 20,3505
IP6 = IO6: Ponto ressonante de maior capacitância
ZCr6 = RC - j XCr6 ICr6 = V/ZCr6
ZCr6 (Ω) θZr6 (°) ICr6 (A) θC6 (°) 18,64 -8,037 6,4362 8,037
IP6 = IF + ICr6 Real (IP6) Imag (IP6) IP6 (A) θIP6 (°) 7,4454 0,000 7,4454 0,000 IP6 = gr6 × V onde gr6 = RL / ZL
2 + RC / ZC2 para Cr sendo a maior C ressonante.
gr6 (mohs) IP3 (A) θIP3 (°) 0,062045 7,4454 0,000
IP3 = IO3: Ponto ressonante de menor capacitância
ZCr3 = RC - j XCr3 ICr3 = V/ZCr3
ZCr3 (Ω) θZr3 (°) ICr3 (A) θCr3 (°)
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 24/57
132,04 -81,963 0,90883 81,963
IP3 = IF+I Cr3 Real (IP3) Imag (IP3) IP3 (A) θIP3 (°) 1,1995 0,000 1,1995 0,000 Corrente mínima (Imin) é o vetor IO2. Menor distância de um ponto a um círculo.
IOC = IF + R /0 Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIOC (°) 4,3225 -0,8999 4,4151 -11,761
Imin = IOC /-α - R /-α° Imin (A) θImin (°) Real (Imin) Imag (Imin) 1,1651 -11,761 1,1407 -0,23748
ICmin = Imin - IF Real (ICmin) Imag (ICmin) ICmin (A) θICmin (°) 0,068224 0,66242 0,66592 84,120 ZCmin = V / ICmin ZCmin (Ω) θZCmin (°) RCmin (Ω) XCmin (Ω) 180,20 -84,120 18,46 -179,25
Corrente máxima: I7 = IO7. Raio do semi-círculo mais alinhado com IOC. Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) I7 = IF + 2R /0 7,5725 -0,8999 7,6257 -6,777 Corrente mais capacitiva: I4
I4 = Raiz(IOC2 - R2) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°)
θI4 = θIoc-arc sin(R/OC) 2,4287 1,7414 2,9885 35,640
IC4 = I4 - IF Real (IC4) Imag (IC4) IC4 (A) θIC4 (°) 1,3563 2,6413 2,9691 62,820 ZC4 = V / IC4 ZC4 (Ω) θZC4 (°) RC4 (Ω) XC4 (Ω) 40,42 -62,820 18,46 -35,95
Corrente do ramo variável onde XC = RC : I5 = IO5. Ponto de meia potência.
I5 = IF + (R + jR) Real (I5) Imag (I5) I5 (A) θI5 (°) 4,3225 2,3501 4,9200 28,533
IC5 = (R + jR) Real (IC5) Imag (IC5) IC5 (A) θIC5 (°) 3,250 3,250 4,5962 45,000 ZC5 = V / IC5 ZC5 (Ω) θZC5 (°) RC5 (Ω) XC5 (Ω) 26,11 -45,000 18,46 -18,46
Observe que para os pontos ressonantes (3P e 6P ) poder-se-ia calcular, facilmente, as correntes
ressonantes (3I e 6I ) através de cálculos fasoriais de correntes, sem a necessidade de determinar os valores
numéricos dos parâmetros do circuito (RL , L, RC e C). Observe que:
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / (180 - β)° = 3OI /0° ; • 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / β = 6OI /0°
onde CFOC III 1&&& += = FI& + R / 0° = OCI / -α e β = arc seno (FI seno θ / R).
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 25/57
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: • Corrente máxima: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 0° = 17II F
&& + = FI& + 2R / 0° ; • Corrente mínima: 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& - R / -α = ( RIOC − ) / -α;
• Corrente de 21 potência: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / + 90° ;
• Corrente mais indutiva: FO III &&& == 11 ;
• Corrente mais capacitiva: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / + (180 - α - δ)° onde γ é o ângulo C do triângulo retângulo OC4, ou melhor, γ = arc cos
OCI
R.
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 26/57
7.5.3 – Ressonância Paralela – Variação do Resistor LR
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a resistência LR variando de zero a infinito obtém-
se os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b) ou (c), função dos parâmetros do circuito,
CR , L, C e f.
Para as figuras (b) e (c) acima podemos salientar que: • O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável LR ;
• O ponto ressonante não propicia nem corrente mínima e nem máxima e, sim, ponto com fator de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos um ponto ressonante (2) e na figura (c), nenhum;
• A corrente mínima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
desalinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 11 = CPOC II && + . Nota-se que este ponto corresponde a um dos extremos do
parâmetro variável e, também, depende da posição do ponto C em relação ao vetor tensão V;
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
alinha com o vetor OC ; • Observe que se )( CC senoI θ ≤ Diâmetro tem-se um ponto ressonante e se for maior, não temos ponto
ressonante; • A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras (b)
e (c):
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c
Ponto ressonante 2 Não tem Ponto de corrente máxima 4 2 Ponto de corrente mínima 1 5 Ponto de meia potência 3 3 Ponto mais indutivo ou menos capacitivo 6 4 Ponto mais capacitivo 1 1
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 27/57
• Expressão literal de LR que provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+tem-se
que: 222
C
C
LL
L
Z
X
XR
X=
+ ⇒ 0222
=−= CLLCLC XXXZRX ⇒
C
CLLCL X
XXXZR
r
22−
= ou R w L C R w LL
CL r C= − +2 2 2 2 ;
• Observe que a condição de ressonância é que o C
CLLC
X
XXXZ 22 −=∆ ≥0 ⇒ CLC XXZ >2 expressão
equivalente aquela (Diâmetro ≥ )( CC senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que:
Diâmetro ≥ )( CC senoI θ ⇒ C
C
CL Z
X
Z
V
X
V≥ ⇒
C
LXXZ CLC =>
2 .
Exemplo numérico - Ressonância Paralela
Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na figura à direita, onde: &V =160 / 0° volts, f = 1,4 kHz, IF = 3,5 A, θ = 15° e 3C = R= 2,1 A.
Qual é o elemento variável? • FI& adiantado de V& ⇒ FI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo não varia, CR e C fixos;
• VI& atrasado de V& ⇒ VI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo é variável, LR ou L varia;
• LI& máximo é 16I& atrasada 90° de V&, circuito puramente indutivo ⇒ LR = 0, ∴ LR é variável.
V (volts) f (Hz) IC θC (°) R (raio) w (rd/s) 160 1.400 3,5 +15 2,1 8.796,46
Parâmetros do circuito
ZC (Ω) θZC (°) RC (Ω) XC (Ω) C (µF) XL (Ω) 45,714 -15,000 44,157 11,832 9,608 38,095 L (mH) = 4,331
Ponto ressonante: P2. A corrente I está em fase com a tensão.
RLr = RAIZ((ZC2 XL - XC XL
2) / XC) RLr (Ω)
RLr = RAIZ(ZC2 w2 L C - XL
2) 72,646
RLr = RAIZ(RC2 w2 L C + L/C - w2 L2)
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 28/57
IF Real (IF) Imag (IF) IF (A) θIF (°) 3,381 0,9059 3,500 15,000
ILr = V / ZLr ZLr (Ω) θZLr (°) ILr (A) θILr (°) 82,028 27,672 1,951 -27,672
I r = IF + ILr Real (Ir) Imag (Ir) Ir (A) θIr (°) 5,108 0,000 5,108 0,000
I r = gr × V onde gr = RLr / ZLr + RC / ZC2 para RLr que produz ressonância.
gr (mohs) Ir (A) θIr (°) 0,03193 5,108 0,000
Corrente máxima (Imax=I4 = IO4). Raio do semi-círculo alinhado com o vetor IOC.
IOC = IF + R /-90° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIoc (°) 3,381 -1,194 3,585 -19,454 Imax = IOC + R /θIoc Real (Imax) Imag (Imax) Imax (A) θmax (°) 5,361 -1,894 5,685 -19,454
ILm = Imax - IF Real (ILm) Imag (ILm) ILm (A) θIlm (°) 1,980 -2,799 3,429 -54,727
ZLm = V / ILm ZLm (Ω) θZLm (°) RLm (Ω) XLm (Ω) 46,662 54,727 26,946 38,095
Corrente mais indutiva: I6 Real (I6) Imag (I6) I6 (A) θI6 (°) I6 = IF + 2R / -90° 3,381 -3,294 4,720 -44,257
Corrente do ramo variável onde RL = XL (I43 = IO3). Ponto de meia potência.
I3 = IF + (R - jR) Real (I3) Imag (I3) I3 (A) θI3 (°) 5,481 -1,194 5,609 -12,291
IL3 = (R - jR) Real (IL3) Imag (IL3) IL3 (A) θIL3 (°) 2,100 -2,100 2,970 -45,000
ZL3 = V / IL3 ZL3 (Ω) θZL3 (°) RL3 (Ω) XL3 (Ω) 53,875 38,095 38,095 38,095
Observe que para o ponto ressonante (2P ) poder-se-ia calcular, facilmente, a corrente ressonante ( 2I ) através de cálculo fasorial de correntes, sem a necessidade de determinar os valores numéricos dos parâmetros do circuito (RL , L, RC e C). Observe que:
• 222 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / β° = 2OI / 0° onde CFOC III 1
&&& += = FI& + R / -90° = OCI / -α e β = arc seno
−R
senoIR F θ.
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: • Corrente máxima: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -α = ( OCI + R) / -α ;
• Corrente mínima: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / +90°; • Corrente de 2
1 potência: 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R /0° = 13II F&& + = FI& + (R - jR);
• Corrente mais capacitiva: FO III &&& == 11 ;
• Corrente mais indutiva: 666 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -90° = 16II F&& + = FI& + 2R / -90°.
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 29/57
7.5.4 – Ressonância Paralela – Variação do Resistor CR
Para o circuito indicado na figura (a), abaixo, com a resistência CR variando de zero a infinito
obtém-se os lugares geométricos da corrente I& mostradas nas figuras (b) ou (c), função dos parâmetros do circuito LR , L, C e f.
Para as figuras (b) e (c) acima podemos salientar que: • O lugar geométrico da corrente LC III &&& += é vetor que tem como origem o ponto O e como
extremidade, um ponto genérico sobre a semi-circunferência, dependente do parâmetro variável CR ;
• O ponto ressonante não propicia nem corrente mínima e nem máxima e, sim, ponto com fator de potência unitário, ou melhor, corrente produzida e tensão aplicada em fase. Na figura (b) temos um ponto ressonante (5) e na figura (c), nenhum;
• A corrente mínima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
desalinha com o vetor OC . Observe que para qualquer ponto P pertencente a semi-circunferência tem-se que: CPCOOP IIII &&&& ++= 66 = CPOC II && + . Nota-se que este ponto corresponde a um dos extremos do
parâmetro variável e, também, depende da posição do ponto C em relação ao vetor tensão V;
• A corrente máxima é definida como sendo o vetor RaioOC + tal que o ângulo do vetor Raio mais se
alinha com o vetor OC ; • Observe que se )( LL senoI θ ≤ Diâmetro tem-se um ponto ressonante e se for maior, não temos ponto
ressonante; • A tabela seguinte sintetiza os pontos característicos para os lugares geométricos indicados nas figuras (b)
e (c):
Pontos característicos da corrente LC III &&& += Figura b Figura c
Ponto ressonante 5 Não tem Ponto de corrente máxima 3 4 Ponto de corrente mínima 6 1 Ponto de meia potência 4 3 Ponto mais capacitivo ou menos indutivo 1 2 Ponto mais indutivo 6 5
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 30/57
• Expressão literal de CR que provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+tem-se
que: 222
CC
C
L
L
XR
X
Z
X
+= ⇒ 0222
=−= LCCLCL XXXZRX ⇒
L
LCCLC X
XXXZR
r
22−
= ou RR
w L C w C
L
CCL
r= − +
2
2 2 2
1;
• Observe que a condição de ressonância é que o L
LCCL
X
XXXZ 22 −=∆ ≥0 ⇒ CLL XXZ >2 expressão
equivalente aquela (Diâmetro ≥ )( LL senoI θ ) encontrada na solução gráfica já que:
Diâmetro ≥ )( LL senoI θ ⇒ L
L
LC Z
X
Z
V
X
V≥ ⇒
C
LXXZ CLL =>
2 .
Exemplo numérico - Ressonância Paralela
Resolva o circuito paralelo indicado abaixo, sabendo-se que ao variarmos um de seus parâmetros, de zero à ∞, obteve-se o lugar geométrico das correntes indicado na figura à direita, onde: &V =140 / 0° volts, f = 2,5 kHz, IF = 5 A, θ = 70° e 4C = R = 6 A.
Qual é o elemento variável? • FI& atrasado de V& ⇒ FI& = LI& ∴ a corrente do ramo indutivo não varia, LR e L fixos;
• VI& adiantado de V& ⇒ VI& = CI& ∴ a corrente do ramo capacitivo é variável, CR ou C varia;
• CI& máximo é 17I& adiantada 90° de V&, circuito puramente capacitivo ⇒ CR = 0, ∴ CR é variável.
V (volts) f (Hz) IL θL (°) R (raio) w (rd/s) 140 2.500 5 -70,00 6 15.707,96 Parâmetros do circuito
ZL (Ω) θZL (°) RL (Ω) XL (Ω) L (mH) XC (Ω) 28,000 70,000 9,577 26,311 1,675 11,667 C (µF) = 5,457
Ponto ressonante: P3. A corrente I está em fase com a tensão. RCr = RAIZ((ZL
2 XC - XL XC2) / XL) RCr (Ω)
RCr = RAIZ(ZL2 / (w2 L C) - XC
2) 14,544 RCr = RAIZ(RL
2 / (w2 L C) + L/C - 1 / w2 C2) IF Real (IF) Imag (IF) IF (A) θIF (°) 1,710 -4,699 5,000 -70,000
ICr = V / ZCr ZCr (Ω) θZcr (°) ICr (A) θICr (°)
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 31/57
18,645 -38,736 7,509 38,736
I r = IF + ICr Real (Ir) Imag (Ir) Ir (A) θIr (°) 7,567 0,000 7,567 0,000
I r = gr × V onde gr = RL / ZL2 + RCr / ZCr
2 para RCr que produz ressonância.
gr (mohs) Ir (A) θIr (°) 0,054052 7,567 0,000
Corrente máxima (Imax=I5 = IO5). Raio do semi-círculo alinhado com o vetor IOC.
IOC=I F+R/90° Real (IOC) Imag (IOC) IOC (A) θIoc (°) 1,710 1,3015 2,149 37,274 Imax=I OC+R/θIoc Real (Imax) Imag (Imax) Imax (A) θmax (°) 6,485 4,935 8,149 37,274
ICm = Imax - IF Real (ICm) Imag (ICm) ICm (A) θIcm (°) 4,775 9,634 10,752 63,637
ZCm = V / ICm ZCm (Ω) θZCm (°) RCm (Ω) XCm (Ω) 13,021 5,782 5,782 11,667
Corrente mais capacitiva: I7 Real (I7) Imag (I7) I7 (A) θI7 (°) I7=IF+2R/+90° 1,710 7,302 7,499 76,818
Corrente do ramo variável onde XC = RC (I4 = IO4). Ponto de meia potência.
I4=IF+(R+jR) Real (I4) Imag (I4) I4 (A) θI4 (°) 7,710 1,302 7,819 9,582
IC4= (R+ jR) Real (IC4) Imag (IC4) IC4 (A) θIC4 (°) 6,000 6,000 8,485 45,000
ZC4 = V / IC4 ZC4 (Ω) θZC4 (°) RC4 (Ω) XC4 (Ω) 16,499 11,667 11,667 11,667
Observe que para o ponto ressonante (3P ) poder-se-ia calcular, facilmente, a corrente ressonante ( 3I )
através do cálculo fasorial de correntes, sem a necessidade de determinar os valores numéricos dos parâmetros do circuito (RL , L, RC e C). Observe que:
• 333 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / -β° = 3OI / 0° onde CFOC III 1
&&& += = FI& + R / +90° = OCI / α e β = arc seno
−R
senoIR F θ.
De maneira similar, para os demais pontos característicos tem-se: • Corrente máxima: 555 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / +α = ( OCI + R) / +α ;
• Corrente mínima: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / -90°; • Corrente de 2
1 potência: 444 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R /0° = 14II F&& + = FI& + (R + jR);
• Corrente mais capacitiva: 777 COCO IIII &&&& +== = OCI& + R / 90° = 17II F&& + = FI& + 2R / 90°.;
• Corrente mais indutiva: FO III &&& == 11 = 1COC II && + = OCI& + R / -90° .
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Circuitos Elétricos 2 32/57
7.5.5 – Ressonância Paralela – Variação da Freqüência f Para o circuito indicado na figura ao lado, com a freqüência f
variando de zero a infinito, o lugar geométrico da corrente I& é totalmente dependente dos parâmetros do circuito LR , CR , L e C e,
também das relações de suas grandezas como veremos mais adiante nesta seção. Por hora, vamos salientar que ao variarmos a freqüência seria equivalente ao variarmos, ao mesmo tempo, a indutância e a capacitância. Assim o lugar geométrico do ramo indutivo ( LI& ) é uma
semi-circunferência abaixo do eixo x com diâmetro igual a LRV / e
canto esquerdo na origem. Similarmente, o lugar geométrico do ramo capacitivo (CI& ) é uma semi-
circunferência acima do eixo x com diâmetro igual a CRV / e canto esquerdo na origem. Concluindo, o lugar
geométrico da corrente LC III &&& += é a figura resultante da soma das correntes correspondentes dos ramos
indutivo e capacitivo para cada ponto ao variarmos a freqüência f. Diante da impossibilidade de obtermos uma figura geométrica simples que representa o lugar
geométrico da corrente I& , vamos proceder inicialmente a análise matemática da expressão literal de w que
provoca ressonância. À partir da equação 2222
CC
C
LL
L
XR
X
XR
X
+=
+tem-se que:
1)/(1
)/(122222222 +
=+
=+ CwR
wC
wCR
wC
LwR
wL
CCL
⇒ 1222222 +
=+ CwR
C
LwR
L
CL
⇒
LCRCLLCRw LC −=−22222 )( ⇒
2
12
211
/
/1
∆∆=∆=
−−=
LCLCCLR
CLR
LCw
C
Lr , onde
CLReCLR CL // 22
21 −=∆−=∆ . Observando a expressão encontrada acima para rw tem-se que:
• A condição para existência de ponto ressonante é que ∆>0 ou melhor: 0000 2121 <∆<∆>∆>∆ eoue , numerador ( 1∆ ) e denominador ( 2∆ ), ambos
positivos ou ambos negativos; • Não teremos ponto ressonante se:
0000 2121 >∆<∆<∆>∆ eoue , numerador ( 1∆ ) e denominador ( 2∆ ), de sinais contrários, um positivo e o outro negativo;
• Observando as condições de ressonância e de não ressonância acima podemos afirmar que
Teremos ponto ressonante se ambas as resistências
forem maiores que CL / (figura a) ou se ambas
forem menores que CL / (figura b); Não teremos ponto ressonante se as resistências forem
uma delas maior e a outra menor que CL / e vice-versa (figuras c e d); Existindo ressonância e se ocorrer predominância das
resistências sobre as reatâncias (LR e CR maiores que
CL / , figura a), então, a corrente I& passará por um máximo no ponto ressonante ou próximo dele. Vere- mos, posteriormente, que neste caso os fatores de qualidade dos dois ramos são baixas, menores que 1;
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Circuitos Elétricos 2 33/57
Existindo ressonância e se ocorrer predominância das reatâncias sobre as resistências (LR e CR
menores que CL / , figura b), então, a corrente I& passará por um mínimo no ponto ressonante ou próximo dele. Veremos, posteriormente, que neste caso os fatores de qualidade dos dois ramos são médio ou alto, maiores que 1;
• Se LR = CR a expressão para rw torna-se LC
wr
1= e, neste caso, o lugar geométrico da corrente é
uma circunferência com o centro ( CC xy , ) sobre o eixo x ( 0=cy )e deslocada da origem de uma
distância maior ou igual ao seu raio ( raioxc ≥ ), função de seus parâmetros;
• Se LR = CR = CL / a expressão para rw torna-se 0
01
LCwr = , indeterminado. Prova-se
matematicamente que neste caso o circuito é ressonante para qualquer freqüência e CL
r R
V
R
VI == ,
correntes máximas do ramo indutivo e do ramo capacitivo. Observe que para um circuito paralelo de dois ramos (RL e RC), freqüência variável, com a tensão V& na referência, para uma freqüência genérica
f, tem-se que:
LLL
L Z
V
Z
VI θ−∠==
&
&& ; C
CC
C Z
V
Z
VI θ∠==
&
&& ;
L
LL Z
R=θcos
L
LL Z
Xseno =θ ;
C
CC Z
R=θcos ;
C
CC Z
Xseno =θ ⇒
CL III &&& += =
++
−+− )()(cos)()(cos CC
CC
LL
LL
senoZ
Vj
Z
Vseno
Z
Vj
Z
V θθθθ ⇒
=I&
+−+
+C
C
CL
L
LC
L
CL
L
L Z
X
Z
V
Z
X
Z
Vj
Z
R
Z
V
Z
R
Z
V=
−+
+
444 8444 7648476b
CL
CLLC
a
CL
LCL
ZZ
ZXZXjV
ZZ
ZZVR
22
22
22
22
Considerando a hipótese de que LR = CR = CL / ⇒ 2LR = 2
CR = CL XXwCwLCL == ,
substituindo 2LR e 2
CR em (a) e (b) da equação da corrente )(I& acima, simplificando, obtém-se:
( )( ) ( )( ) ( )( )2
2
22
22
2222
2222
22
22 2
LCCL
LC
CLCLLC
LLCC
CCLL
LLCC
CL
LC
XXXX
XX
XXXXXX
XXXX
XRXR
XRXR
ZZ
ZZa
+
+=
++
++=
++
+++=
+= ⇒
22
111
CLCL RRXXa === e, também,
22
22
22
2222
22
22 )()()()(
CL
CCLLLCLC
CL
CCLLLC
CL
CLLC
ZZ
XXXXXXXX
ZZ
XRXXRX
ZZ
ZXZXb
+−+=
+−+=
−= ⇒
00)()(
2222==
+−+=
CLCL
CLCLLCLC
ZZZZ
XXXXXXXXb ; Dessa forma, tem-se para a corrente )(I& :
222
01
CLL
LZZ
jVR
VRI +=& = 0jR
V
L
+ , circuito ressonante para qualquer freqüência e igual a LR
V.
• Uma característica comum aos lugares geométricos da corrente I& , com f variável, é que caminharemos, sempre, no sentido horário, similarmente as variações de L e de C.
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a) Exemplo numérico 1
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, de zero à ∞, onde: &V =100 / 0° volts, RL = 5 Ω, L = (20/377) H, RC = 1 Ω e C = (1/7.540) F.
V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 100 5 53,0504 1,000 132,626
∆ = (RL2 - L/C) / (RC
2 - L/C) = 0,93985 Ω2 =CL
20,0 Ω
∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω)
wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 365,486 19,389 20,630
Observe que LR e CR são menores que CL e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o ponto de
ressonância temos que L
LrL R
XQ = = 3,878 e
C
CrC R
XQ = = 20,63 ambos maiores que 1, ou seja, com
predominância das reatâncias sobre as resistências e, assim, a corrente deverá passar por um mínimo no entorno da ressonância.
Veja os cálculos das correntes para alguns valores de w.
w (rd/s) ZL (Ω) θL (°) ZC (Ω) θC (°) ΙL (A) ΙC (A) Ι (A) θI (°)
0 5,00 0° ∞ -90° 20,00 0 20,00 0° 50 5,66 27,95° 150,80 -89,62° 17,67 0,66 17,37 -26,01° 190 11,25 63,62° 39,70 -88,56° 8,888 2,519 6,763 -53,60° 350 19,23 74,93° 21,57 -87,34° 5,20 4,64 1,62 -13,96°
365,49 20,02 75,54° 20,65 -87,23° 4,99 4,84 1,48 0,00° 400 21,80 76,74° 18,88 -86,96° 4,59 5,30 1,57 31,78° 565 30,39 80,53° 13,38 -85,72° 3,29 7,47 4,35 75,34°
7.500 397,91 89,28° 1,418 -45,15° 0,251 70,52 70,35 45,01° ∞ ∞ +90° 1,00 0° 0 100,00 100,00 0°
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Veja as curvas das impedâncias, correntes, bem como, o lugar geométrico da corrente I& .
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b) Exemplo numérico 2
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, de zero à ∞, onde: &V =1,414 / 0° volts, RL = 18 KΩ, L = 500 mH, RC = 12 KΩ e C = 0,012 µF.
V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 1,414 18.000 500 12.000 0,012
∆ = (RL2 - L/C) / (RC
2 - L/C) = 2,75896 Ω2 =CL
6.454,97 Ω
∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω)
wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 21.443,6 10.721,8 3.886,2
Observe que LR e CR são, ambos, maiores que CL e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o
ponto de ressonância temos que L
LrL R
XQ = = 0,596 e
C
CrC R
XQ = = 0,324 ambos menores que 1, ou seja, com
predominância das resistências sobre as reatâncias e, assim, a corrente deverá passar por um máximo no entorno da ressonância.
Veja os cálculos das correntes para alguns valores de w.
w (rd/s) ZL (Ω) θL (°) ZC (Ω) θC (°) ΙL (µA) ΙC (µA) Ι (µA) θI (°)
0 18.000 ° ∞ -90° 78,56 0 78,56 0° 4.000 18.110,8 6,34° 24.042,2 -60,06° 78,08 58,81 115,03 21,60° 11.000 18.821,5 16,99° 14.191,3 -32,27° 75,13 99,64 159,20 11,32°
21.443,6 20.951,3 30,78° 12.613,6 -17,94° 67,49 112,10 164,63 0° 54.000 32.450,0 56,31° 12.098,8 -7,33° 43,58 116,87 141,71 -8,67° 100.000 53.141,3 70,20° 12.028,8 -3,97° 26,61 117,55 127,41 -7,62°
∞ ∞ +90° 12.000 0° 0 117,83 117,83 0°
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Veja as curvas das impedâncias, correntes, bem como, o lugar geométrico da corrente I& .
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c) Exemplo numérico 3
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, de zero à ∞, onde: &V =1,414 / 0° volts, RL = 12 KΩ, L = 500 mH, RC = 18 KΩ e C = 0,012 µF.
V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 1,414 12.000 500 18.000 0,012
∆ = (RL2 - L/C) / (RC
2 - L/C) = 0,36246 Ω2 =CL
6.454,97 Ω
∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω)
wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 7.772,3 3.886,2 10.721,8
Observe que LR e CR são, ambos, maiores que CL e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o
ponto de ressonância temos que L
LrL R
XQ = = 0,324 e
C
CrC R
XQ = = 0,596 ambos menores que 1, ou seja, com
predominância das resistências sobre as reatâncias e, assim, a corrente deverá passar por um máximo no entorno da ressonância.
Ressonância Paralela RL e RCf variável
-60,0-40,0-20,0
0,020,040,0
0,0 50,0 100,0 150,0 200,0
Lugar geométrico da corrente (microA)
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d) Exemplo numérico 4
Resolva o circuito paralelo indicado à direita, variando a freqüência, de zero à ∞, onde: &V =100 / 0° volts, RL = 1 Ω, L = (20/377) H, RC = 5 Ω e C = (1/7.540) µF.
V (volts) RL (Ω) L (mH) RC (Ω) C (µF) 100 1 53,0504 5 132,626
∆ = (RL2 - L/C) / (RC
2 - L/C) = 1,0640 Ω2 =CL
20,00 Ω
∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω)
wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 388,88 20,630 19,389
Observe que LR e CR são menores que CL e, portanto, teremos ponto ressonante. Para o ponto de
ressonância temos que L
LrL R
XQ = = 20,63 e
C
CrC R
XQ = = 3,878 ambos maiores que 1, ou seja, com
predominância das reatâncias sobre as resistências e, assim, a corrente deverá passar por um mínimo no entorno da ressonância.
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Circuitos Elétricos 2 40/57
e) Exemplos numéricos diversos
Objetivando analisar o comportamento do lugar geométrico da corrente I& , de um circuito paralelo de dois ramos RL e RC com freqüência variável, onde: &V =100 / 0° volts, L = (20/377) H, C = (1/7.540) F, RL e RC como parâmetros, analise atentamente as figuras seguintes e os valores dos parâmetros correspondentes. Observe que temos curvas com ressonância, pontos de máximos, pontos de mínimos, curva ressonante para qualquer freqüência e, também, curvas onde não é possível obter ponto de ressonância.
Sabe-se que CL =20 Ω, LC/1 =377 rd/s, CLR
CLR
C
L
/
/2
2
−−=∆ , ∆=
LCwr
1,
L
LL R
XQ r= e
C
CC R
XQ r= .
RL=5 Ω; RC=10 Ω; ∆=1,25 2Ω ; rw =421,5 rd/s;
rLX =22,4 Ω; rCX =17,9 Ω; LQ =4,5 e CQ =1,8
RL=10 Ω; RC=5 Ω; ∆=0,8 2Ω ; rw =337,2 rd/s;
rLX =17,9 Ω; rCX =22,4 Ω; LQ =1,8 e CQ =4,5
RL=40 Ω; RC=80 Ω; ∆=0,2 2Ω ; rw =168,6 rd/s;
rLX =8,94 Ω; rCX =44,7 Ω; LQ =0,22 e CQ =0,56
RL=80 Ω; RC=40 Ω; ∆=5 2Ω ; rw =843,0 rd/s;
rLX =44,7 Ω; rCX =8,94 Ω; LQ =0,56 e CQ =0,22
RL=10 Ω; RC=10 Ω; ∆=1 2Ω ; rw =377 rd/s;
rLX =20 Ω; rCX =20 Ω; LQ =2 e CQ =2
RL=40 Ω; RC=40 Ω; ∆=1 2Ω ; rw =377 rd/s;
rLX =20 Ω; rCX =20 Ω; LQ =0,5 e CQ =0,5
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Circuitos Elétricos 2 41/57
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); rLX =20 Ω;
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); rLX =20 Ω;
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); rLX =20 Ω;
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1
RL=20 Ω; RC=20 Ω; ∆=0/0 2Ω ; rw =377 rd/s (qual-
quer w); rLX =20 Ω;
rCX =20 Ω; LQ =1 e CQ =1
RL=10 Ω; RC=40 Ω; ∆=-0,25 2Ω ; rw = não tem ponto ressonante
RL=10 Ω; RC=40 Ω; ∆=-0,25 2Ω ; rw = não tem ponto ressonante
RL=40 Ω; RC=10 Ω; ∆=-4 2Ω ; rw = não tem ponto ressonante
RL=40 Ω; RC=10 Ω; ∆=-4 2Ω ; rw = não tem ponto ressonante
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Circuitos Elétricos 2 42/57
7.6 – Circuito supressor ou eliminador de faixa
Um circuito com uma bobina real de alto fator de qualidade (rLL XR << ) em paralelo com um
capacitor ideal ( 0=CR ). Para freqüências próximas da ressonância a impedância do circuito é muito grande
e a freqüência ressonante pode ser aproximada por LC
wr
1≅ . Considerando a condição geral de
ressonância e, também, que rLL XR << obtém-se:
a) O valor de w que provoca ressonância (rw )
−+=+−=−++=+=°
•• 222
111110|
L
L
CL
L
CL
LL
CLLCL
eqZ
X
Xj
Z
R
X
j
Z
jXR
jXjXRZZY& ⇒
2222222
21
11LrLrLLCLL
L
rL
C
RL
C
LCwR
C
LLw
C
LXRXXZ
Z
X
X rrrr
rr
−=⇒−=⇒=+⇒=⇒= ,
Ou LC
wXXXXX
X
XZ
X
X rCLLCL
L
CL
L
Crr
rrr
r
rr
r
r
1111122
≅⇒≅⇒≅⇒≅⇒= .
b) O valor da impedância Z& no ponto ressonante (rZ )
No item anterior mostrou-se que a condutância (g) no ponto ressonante é 2
rL
L
Z
Rg = ⇒
L
Lr R
ZZ r
2
= ⇒
rr
rr
LLLL
L
L
Lr XQX
R
X
R
XZ ==≅
2
ou C
L
RLC
L
RR
Lw
R
XZ
LLL
r
L
Lr
r11 2222
=≅== .
Resolva o circuito paralelo indicado à direita (bobina real com alto fator de qualidade em paralelo com um capacitor ideal), variando a freqüência, de zero à ∞, onde: &V =5 / 0° volts, LR = 10 Ω, L = 5 mH, e C =10 nF.
V (volts) LR (Ω) L (mH) C (nF) 5 10 5 10
∆ = 21 LR
L
C− = 0,9998 (caso particular RL // RC) =C
L 707,11 Ω
∆ > 0 ⇒ Um ponto ressonante wr (rd/s) XLr (Ω) XCr (Ω)
wr = Raiz (∆) / Raiz (L C) 141.407,21 707,04 707,18
Observe que para o ponto de ressonância temos: LLrL RXQ = = 70,7 >> 1, ou seja, com forte
predominância das reatâncias sobre a resistência e que. Ω=≅ kXQZrLLr 99,49 .
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7.7 – Circuito Multiressonante - Sintonização Série-Paralela
Circuito que recebe dois sinais alternados senoidais 1V& e 2V& , com freqüências 1f e 2f , onde se
deseja impedir que um desses sinais atinja a carga CR (este sinal deverá ser amortizado ao máximo pelo
trecho ac do circuito) e, o outro sinal, deverá alcançar a carga CR com a amplitude máxima possível (este
sinal deverá ser amortizado ao mínimo pelo trecho ac do circuito). A estratégia para isto é a seguinte:
a) Ajusta o capacitor 1C de modo que o ramo paralelo bc se torne ressonante para a freqüência que se deseja bloquear;
b) Com o capacitor 1C já determinado no item anterior (a), ajuste o trecho série ac de modo que este ramo
se torne ressonante para a freqüência que se deseja passar (atingir a carga CR ). O elemento reativo X
será um indutor puro ou um capacitor puro dependendo das relações de grandeza das freqüências 1f e
2f . Obtemos, aqui, a impedância do trecho ac para a freqüência de passagem; c) Determine a reatância do elemento reativo X para a freqüência de bloqueio e componha este valor com a
resistência obtida no item (a) determinando, assim, a impedância do trecho ac para a freqüência de bloqueio.
Resolva o circuito indicado ao lado de modo que o trecho abc bloqueie o sinal de freqüência f 2 = 5 kHz e permita a passagem do sinal de freqüência f 1 = 15 kHz. Sabe-se que R1 = 6 Ω, L1 = 8 mH e que X é um componente reativo puro (capacitor ou indutor).
R1 (Ω) f1 (hz) f2 (hz) L1 (H) w1 (rd/s) w2 (rd/s) 6 15.000 5.000 0,008 94.247,8 31.415,9
a) Ramo bc ressonante para f2 (ressonância paralela).
1CX (Ω) 1LX (Ω) Z1
2 (Ω) g = R1/Z12
C1=L1/Z12 C1 (F) = 126,58E-9 251,47 251,33 63,20E+3 9,493E-5
b) Ramo abc ressonante para f1 (ressonância série).
Zbc=1/Ybc=R+jX onde Ybc=g+j(bC-bL)
Z12=R1
2+XL12 g=R1/Z1
2 bC=w1*C1 bL=XL1/Z12 b = bC-bL
XL1 (Ω) Z12 (Ω) XC1 (Ω) g (mhos) bC (mhos) bL (mhos) b (mhos)
753,98 568,53E+3 83,824 1,055E-5 1,193E-2 1,326E-3 1,0604E-2
Ybc2=g2+b2 R=g/Ybc
2 X=-b/Ybc2 Xab = -X
Ybc2 R (Ω) X (Ω) Xab (Ω) Lab (H) Zbc (Ω) θZbc (°)
1,124E-4 0,0939 -94,307 94,307 1,001E-3 94,307 -89,943
c) Impedância do trecho abc para f1
Zacf1=R do ítem (b)= 0,0939 Ohms
d) Impedância do trecho ac para f2
Zacf2 = R + jX, omde R = 1/g para g calculado no ítem (a), e X = w2 * Lab
R (Ω) X (Ω) Zacf2 (Ω) θZac (°) 10.533,58 31,436 10.533,62 0,171
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Circuitos Elétricos 2 44/57
Veja o comportamento do circuito multiressonante anterior quando submetido a uma fonte de tensão CA, com 30 volts eficazes, freqüência variável e CR = 4 Ω. Observando-se a tabela e o gráfico seguintes
notam-se que: Para f = 5 khz (w=31.415,93 rd/s) a impedância Zac = 10.533,63 Ω passou por um máximo e,
conseqüentemente, a corrente Ιad = 2,85 mA passou por um mínimo; Para f = 15 khz (w=94.247,78 rd/s) a impedância Zac = 0,09 Ω passou por um mínimo e,
conseqüentemente, a corrente Ιad = 7.328,04 mA passou por um máximo.
w (rd/s) Zac (Ω) Ιad (mA) Rac (Ω) Xac (Ω) Rad (Ω) Zad (Ω) 2.000 19,04 1.451,73 6,05 18,06 10,05 20,66 10.000 99,24 301,16 7,43 98,96 11,43 99,62 20.000 289,01 103,71 16,94 288,51 20,94 289,27 30.000 2.652,36 11,31 716,49 2.553,75 720,49 2.653,44
31.415,93 10.533,63 2,85 10.533,58 31,34 10.537,58 10.537,63 40.000 475,42 63,08 15,56 -475,16 19,56 475,56 50.000 211,09 142,06 2,56 -211,07 6,56 211,17 60.000 121,39 246,94 0,86 -121,39 4,86 121,49 70.000 71,30 419,99 0,38 -71,30 4,38 71,43 80.000 36,72 811,76 0,20 -36,72 4,20 36,96 90.000 9,91 2.795,85 0,12 -9,91 4,12 10,73
94.247,78 0,09 7.328,04 0,09 0,00 4,09 4,09 100.000 12,41 2.297,66 0,07 12,41 4,07 13,06 110.000 31,87 933,89 0,05 31,87 4,05 32,12 120.000 49,39 605,35 0,03 49,39 4,03 49,56 130.000 65,54 456,87 0,02 65,54 4,02 65,66 140.000 80,66 371,45 0,02 80,66 4,02 80,76 150.000 95,01 315,48 0,01 95,01 4,01 95,09 160.000 108,74 275,69 0,01 108,74 4,01 108,82 170.000 121,99 245,79 0,01 121,99 4,01 122,06 180.000 134,84 222,38 0,01 134,84 4,01 134,90
Resistências, reatâncias, impedâncias e corrente para vários valores de w.
Circuito Multiressonante
-5.000,00
0,00
5.000,00
10.000,00
15.000,00
0 50.000 100.000
150.000
200.000
w (rd/s)
Impe
dânc
ia (
ohm
s) e
C
orre
nte
(mA
)
Zac (ohms)
Iad (mA)
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7.8 – Similaridades de um Circuito Série e Paralelo ideal Observe as similaridades existentes entre um circuito série RLC, alimentado por uma fonte de tensão
alternada senoidal de freqüência variável, e um circuito paralelo RLC, alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal de freqüência variável, apresentadas na tabela abaixo.
Característica Circuito Série Circuito Paralelo
Circuito
Impedância e Adimitância
( )SS CLS XXjRZ −+=&
−+=S
SS wCwLjRZ
1&
( )LC bbjgY −+=&
−+=
PP wL
wCjgY1
&
Corrente e Tensão 2
2 1
−+
==
SSS wC
wLR
V
Z
VI
2
2 1
−+
==
PP wL
wCg
I
Y
IV
Parâmetros equivalentes
PS
PS
S
LC
CL
gR
≡
≡
≡
SP
SP
S
CL
LC
Rg
≡
≡
≡
Resposta a freqüência
Fator de qualidade
S
S
SS
rSS C
L
RR
XQ
1==
P
P
rP
PP L
C
gX
RQ
1==
Para complementação de circuito ressonante em paralelo veja a referência [1, capítulo 20, p. 614-625].
7.9 – Circuitos Seletores de Freqüência Qualquer circuito contendo elementos reativos (L, C), uma vez que ele fornece respostas diferentes
de (V, I, P), para cada freqüência. O termo circuito seletor de freqüência, geralmente é utilizado para definir apenas circuitos especialmente designados para separar freqüências diferentes.
Filtro de Onda Elétrica, filtro: Circuito elétrico que tem a propriedade de discriminar freqüências. No caso de discriminação ampla, utiliza-se apenas um elemento reativo L ou C. Têm-se, a seguir, exemplos de circuitos seletores de freqüências (filtros): a) Filtro Passa-alta
Circuito RC, quando se desejada uma característica de resposta em freqüências nas quais as altas freqüências sejam aceitas e as baixas freqüências sejam rejeitadas. Veja a curva de resposta em freqüência do circuito abaixo onde R = 2 kΩ, C = 0,0795 µF e V = 10 volts.
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b) Filtro Passa-baixa
Circuito RL, quando se desejada uma característica de resposta em freqüências nas quais as altas freqüências sejam rejeitadas e as baixas freqüências sejam aceitas. Veja a curva de resposta em freqüência do circuito abaixo onde R = 5 kΩ, L = 400 mH e V = 10 volts.
c) Filtro Passa-faixa (passa-banda) e filtro elimina-faixa (banda de atenuação)
O circuito ressonante série admite uma corrente máxima na freqüência de ressonância, ao contrário do circuito paralelo, que admite apenas uma corrente mínima de circulação na freqüência de ressonância. Por uma combinação dos dois, é possível aprimorar-se a passagem ou rejeição de uma freqüência particular. A largura de faixa depende, é claro, do valor do fator de qualidade Q.
Dois circuitos possuindo a combinação série paralela para a passagem ou rejeição de uma faixa de freqüências são mostrados na figura seguinte, onde circuitos ressonantes ideais são usados para simplificar a análise qualitativa. Uma tensão V é aplicada ao circuito de filtro e é considerado que esta tensão consiste da superposição de tensões de várias freqüências.
Na figura (a), ambas as combinações, série e paralelo, estão ajustados para a mesma freqüência. O circuito ressonante série se comporta como um curto para a freqüência ressonante, mas como uma alta impedância para outras freqüências. Da mesma forma, o circuito ressonante paralelo se comporta como um circuito aberto para a freqüência de ressonância e como um circuito de baixa impedância para outras freqüências. O filtro age como um filtro passa-faixa (passa-banda), onde apenas os sinais da freqüência de ressonante e seu entorno são aceitos, alcançando o resistor de carga RL. Uma análise qualitativa similar mostra que o circuito filtro da figura (b) é um filtro elimina-faixa (banda de atenuação) porque se comporta de maneira oposta, rejeitando as freqüências ressonantes e seu entorno.
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Para complementação de filtros veja a referência [1, capítulo 23, p. 693-703].
7.10 – Gráficos de Bode É uma técnica de representação gráfica que permite uma comparação direta da resposta de um
circuito a diferentes freqüências de filtros, amplificadores e sistemas em uma escala de decibéis que pode representar economia considerável de tempo e esforço. Por exemplo, para o filtro passa-alta, abaixo, veja o gráfico de bode correspondente.
Para maiores detalhes da construção e interpretação de gráficos de Bode para diversos filtros veja a referência [1, capítulo 23, p. 703-722].
BIBLIOGRAFIA
1. KERCHNER, C. Circuitos de Corrente Alternada, Globo, Porto Alegre, 1962.
2. BOYLESTAD, R.L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão
técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpressão,
fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition.
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Problemas - Capítulo 5 - Corcoran
V-17. Calcular a corrente através das impedâncias da Fig. V-56. Determinar as quedas de tensão através de ab, bc e cd. Desenhar um diagrama vetorial indicando a corrente e a queda de tensão através de cada resistência ou reatância. Calcular o fator de potência de todo o circuito.
V-18. Determinar todos os valores possíveis da reatância pura que, quando colocada em série com o circuito da Fig. V-56 tornará o fator de potência total igual a 0,6. Determinar a potência dissipada no circuito para esta condição.
V-19. Um determinado motor de indução monofásico de 110 volts, 60 ciclos, 1 HP, tem rendimento de 60 por cento e fator de potência de 0,6 atrasado em plena carga. Este motor deve ser usado temporariamente numa linha de 220 volts, 60 ciclos. Um resistor (não indutivo), de adequada capacidade de corrente e de apropriada resistência, deve ser colocado em série com o motor.
a) Que valor de resistência é necessário, se o motor deve ter 110 volts através de seus terminais em plena carga nominal?
b) Desenhar um diagrama vetorial completo (motorV , externoIR , I e linhaV ) com motorV na referência.
V-20. Dois motores monofásicos são conectados em paralelo a uma fonte de suprimento de 110 volts, 60 ciclos. O motor 1 é do tipo de indução que consome uma corrente em atraso, e o motor 2 é do tipo de capacitor que consome uma corrente em avanço. Determinar a potência total, a corrente resultante na linha, e o fator de potência resultante dos dois motores operando em paralelo, dados:
Motor HP de saída Rcndimento por unidade Fator de Potência por unidade
1 31 0,60 0,70 (atrasado)
2 21 0,75 0,95 (adiantado)
V-21. Um circuito em série, no qual são aplicados 100 volts, consiste em uma resistência de 10 ohms, um capacitor de 5 ohms, uma resistência R em que a perda é de 50 watts, e uma reatância X tomando 100 vars indutivos. Calcular os valores de R e X, para satisfazer as condições estabelecidas e as correntes correspondentes para cada uma das combinações.
V-22. Uma torradeira opera em 115 volts, 60 ciclos, 10 ampères e absorve 1.150 watts em seus terminais. Uma bobina de choque deve ser enrolada como uma relação de LX para R de 5, tal que, se colocada em série com a torradeira numa linha de 230 volts, 60 ciclos, a torradeira tenha 115 volts através de seus terminais. Pede-se:
a) Qual é a impedância da bobina de choque necessária? Estabelecer Z em forma polar e em forma retangular complexa;
b) Desenhar o diagrama vetorial completo com V torradeira como referência; c) Qual é o fator de potência da torradeira e bobina de choque associados em série?
V-23. Determinar a indutância ou capacitância que deve ser inserta no circuito da Fig. V-56 para colocar todo o circuito em ressonância na freqüência de 60 ciclos.
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V-24. Pede-se: a) Se for de 100 volts a tensão aplicada num circuito em série contendo 5 ohms de resistência, 100 ohms
de reatância indutiva em 60 ciclos e uma capacitância variável, determinar a queda máxima através da capacitância e o valor da capacitância para esta condição.
b) Repetir o cálculo se, ao invés da resistência de 5 ohms, for usada uma resistência de 100 ohms. Comparar os resultados nos dois casos.
V-25. Um circuito em série dissipa 800 watts e requer, também, 1000 volt-ampères quando a tensão aplicada é de 100 volts. Determinar a resistência em série equivalente e as reatâncias possíveis deste circuito.
V-26. A gama de freqüências da faixa de passagem, como previamente definida neste capítulo para um circuito RLC, é de 100 ciclos quando é usada uma bobina tendo um Q de 50. Toda a resistência do circuito é suposta na bobina. Pede-se:
a) Determinar os limites superior e inferior de freqüências da faixa de passagem; b) Se uma bobina com um Q de 200 for usada na mesma freqüência ressonante que em (a), qual será a
gama de freqüências da faixa de passagem?
V-27. É dado um circuito série RLC mostrado na Fig. V-57. Pede-se: a) Determinar a freqüência ressonante do circuito em série; b) Determinar o Q do circuito em série na freqüência ressonante; c) Em que velocidades angulares ocorrem os pontos de meia
potência? d) Supondo que L é variado para se obter ressonância, em que valor de L seria LV máximo? Supor a
freqüência neste caso como constante em 159 kc.
V-28. É dado o circuito mostrado na Fig. V-58. a) Quais são os valores de LX que produzirão ressonância? b) Determinar o módulo da impedância máxima conseguível com
este circuito. Supor que a freqüência é mantida constante. c) Se LR é alterado para 30 ohms (CR permanecendo o mesmo) e L
e C são feitos 9 mH e 10 µF, respectivamente, qual é a impedância do circuito em 100 ciclos por segundo e 10 000 ciclos por segundo?
d) Em que freqüência estará o circuito, como designado na parte (c), em ressonância?
V -29. Nos exercícios seguintes, supõe-se que uma bobina tendo L henrys de indutância e R ohms de
resistência em série seja colocada em ressonância em série com um capacitor, C, tal que LCwr 1= .
a) Demonstrar que SrS RLwQ /= é )(
)(
bobinadapotênciadefator
bobinadareativofatorQS = .
b) Demonstrar que 1
1)(
2 +=
SQbobinadapotênciadefator .
c) Demonstrar que 2IR
QwQ
S
rS = onde Q é a energia reativa armazenada em L e C em qualquer instante e
2IRS a potência média dissipada no circuito. Nota: ( ) ( )2/2/ 22CvCiLQ += = constante.
V-30. Uma impedância 1Z =8-j5 está em paralelo com uma impedância 2Z =3 +j7 . Determinar a impedância resultante da associação. Qual é a fator de potência total?
V-31. Se 100 volts forem aplicados nas impedâncias em paralelo do problema V-30, determinar 1I , 2I e a corrente resultante. Desenhar a diagrama vetorial do circuito, indicando cada uma das correntes, e a queda de tensão através de cada parâmetro.
V-32. Uma carga de impedância, consistindo de 12 ohms de resistência e de 16 ohms de reatância indutiva, é conectada a uma fonte de 60 ciclos, 100 volts. Determinar a capacitância de um capacitor que
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Circuitos Elétricos 2 50/57
deva ser posto em paralelo com esta carga para levar o fator de potência a 1. Supor resistência desprezível para o capacitor.
V-33. Resolver o problema V-32, se for desejado um fator de potência final de 0,8, ao invés de 1. Obter soluções para fatores de potência adiantado e atrasado.
V-34. Determinar a valor da resistência pura que seria necessária em paralela com a carga de impedância do problema V-32, para levar o fator de potência resultante a 0,8.
V-35. Um ramo com capacitor, tendo uma relação de X para R de 5, é colocado em paralelo com uma impedância consistindo em 4 ohms de resistência e 3 ohms de reatância indutiva. O fator de potência do circuito resultante é de 0,8 adiantado. Determinar o valor do capacitor em µF se a freqüência for de 60 ciclos.
V-36. Uma carga monofásica, em 200 volts, consome 5 kw com fator de potência de 0,6 atrasado. Determinar a valor em kVA do capacitar que deve ser conectado em paralelo com este motor para levar a fator de potência resultante a 1.
V-37. Resolver a problema V-36, se for desejado levar a fator de potência a 0,9 atrasado, ao invés de a 1.
V-38. A carga do problema V-36 é operada em paralelo com um motor síncrono que consome 8 kw com fator de potência de 0,5 adiantado. Quais são a corrente resultante fornecida pela linha e a fator de potência da associação?
V-39. Durante o período de um ano, um estabelecimento industrial consome uma carga média de 2000 kw continuamente com fator de potência atrasado de 0,80. Pede-se:
a) Qual é a despesa fixa anual relativamente à capacidade em kVA necessária para servir este estabelecimento, se 1 kVA de capacidade instalada (caldeira, gerador, linha de transmissão e transformadores) custa US$ 200? A despesa fixa (consistindo em juras, taxas e depreciação) pode ser tomada como 8 por cento, do investimento;
b) Repetir a parte (a), supondo que o fator de potência d estabelecimento seja unitário.
V-40. Qual o valor da resistência que deverá ser colocada em paralelo com um capacitar de 50 µF para dar um fator de potência resultante de 0,6 num sistema de 60 ciclos? (Desprezar a resistência do capacitor.)
V-41. Determinar a freqüência ressonante num circuito em série de 100 µH de indutância e uma capacitância de 400 µµF.
V-42. Determinar C para produzir ressonância na Fig. V-59. Qual a potência dissipada em CR , em ressonância?
V-43. Determinar o valor de C, na Fig. V-59, que produzirá impedância máxima para o circuito em conjunto.
V-44. Qual o valor mínimo de CR , na Fig. V-59, que impedirá a
possibilidade de obtenção de ressonância pela variação de C?
V-45. Um capacitor fixo é colocado em paralelo com uma resistência fixa e uma indutância variável de resistência desprezível, como mostrado na Fig. V-60. Demonstrar que a expressão geral de
LX que produzirá ressonância com fator de potência unitário. é:
22
42R
XXX CC
L −±= .
Sugestão: Para f.p. unitário, CL bb = .
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Circuitos Elétricos 2 51/57
V-46. Refere-se à Fig. V -60. Pede-se: a) Desenhar, em escala, um diagrama vetorial de V, CI e RLI para LX =0;
b) No diagrama vetorial acima, desenhar os lugares geométricos de RLI e I para LX variável de 0 a ∞;
c) Determinar gráfica ou analiticamente os valores de LX que produzirão ressonância com fator de potência unitária.
d) Determinar gráfica ou analiticamente o valor mínimo de I, e determinar o valor de LX que produzirá este valor mínimo de I.
V-47. Uma capacitância de 2 µF é conectada em paralelo com uma resistência de 20 ohms. Traçar o diagrama, em função da freqüência, dos módulos das admitância e impedância da associação paralela para as freqüências de 0, 10.000, 100.000 e 1.000.000 ciclos.
V.48. Pede-se: a) Se L=0,05 H, C=200 µF, e CL RR = =1,0 ohm, determinar a
freqüência ressonante dos ramos paralelos mostrados na Fig. V -61;
b) Se LR =20 ohms, L=0,05 H, C=100 µF, determinar o valor
de CR que produzirá ressonância em paralelo nos dois
ramos paralelos numa freqüência de 45 ciclos; c) Se C=100 µF, LR =20 ohms, e CR =20 ohms, determinar o
valor de L que colocará os ramos em ressonância em paralelo independente da freqüência.
V-49. Pede-se: a) Transformar o circuito mostrado na Fig. V-62 no mostrado na Fig. V-63, empregando valores
numéricos para g, Lb e Cb supondo que a freqüência angular operante é de 7105× radianos por
segundo. (Os resultados serão considerados satisfatórios com a aproximação de até 1 por cento.); b) Se os terminais 11' da Fig. V-62 forem energizados com uma corrente de 2 mA (em 7105×=w
radianos por segundo), que tensão será desenvolvida através destes terminais? c) Qual é o PQ do circuito?
V-50. Determinar a resistência componente de Z, na Fig. V-62, em função de L, R, C e w, supondo que R é constante.
V-51. Pede-se: a) Determinar a freqüência angular em que ZR , do problema V-50, tem seu valor máximo, empregando
valores literais de L, C e R; b) Qual é o valor numérico da freqüência angular para (a)?
c) Comparar o resultado acima com o valor aproximado de LC1 .
V-52. Qual é o valor numérico máximo da resistência componente de Z, na Fig. V-62, à medida que w é variado de zero a infinito? (Um resultado será considerado satisfatório com uma aproximação de até 1 por cento.)
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V-53. A resistência em série da bobina de 20 µH mostrada na Fig. V-62 é de R = 100 ohms. Qual é o Q da
bobina em w = LC1,0 e em w = LC1 ?
V-54. Uma bobina tendo L henrys de indutância e SR ohms de resistência em série é colocada em
ressonância com um capacitor em paralelo, C, cuja resistência em série não é apreciável numa freqüência
angular de rw que é praticamente igual a LC1 ( )222 LwR rS << . Pede-se:
Mostrar que g
CwQ r
P = é praticamente igual a gV
QwQ r
P 2= onde V é a tensão eficaz através dos ramos
paralelos, Q é a energia reativa armazenada em L e C em qualquer instante, e gV 2 é a potência média
dissipada no circuito. Nota: Em função de valores instantâneos e fazendo vvC = , tensão instantânea
aplicada, teconsvCiL
Q L tan22
22
=+= .
V-55. Será suposto aqui que o capacitor mostrado na Fig. V -62 têm uma resistência em série de 10 ohms. Pede-se:
a) Qual é a resistência equivalente em paralelo do capacitor em LCwr 1≅ ?
b) Qual é a resistência equivalente em paralelo dos dois ramos em LCwr 1≅ ?
V-56. É dada a disposição de circuito mostrada na Fig. V -64a. onde o gerador de tensão tem uma resistência interna de 20 kΩ como indicado. Pede-se:
a) Transformar o circuito no mostrado na Fig. V-64 b; b) Qual é o PQ dos ramos paralelos, face ao gerador de corrente na Fig. V-64b em 7105×=w radianos
por segundo; c) Comparar o resultado obtido em (b) com o Q próprio da bobina em 7105×=w radianos por segundo. A
bobina tem uma resistência de 50 ohms como indicado.
V-57. Pede-se: a) Se a tensão do gerador na Fig. V-64a for de 200 volts em 7105×=w radianos por segundo, qual será o
módulo da corrente do gerador de corrente equivalente empregado na Fig. V-64b? b) Que tensão é desenvolvida através dos ramos paralelos, pelo gerador de corrente em
7105×=w radianos por segundo?
V-58. Determinar a admitância Y (localizada à direita dos terminais l1’) na Fig.V-65, e expressar o resultado em função de uma resistência PR em paralelo com um capacitar C, em que PR e C estejam
expressos numericamente em ohms e µF, respectivamente. ( 11 1,0 EI = ).
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
Circuitos Elétricos 2 53/57
Os geradores de corrente etI e 1I têm as polaridades indicadas, e a freqüência angular de funcionamento é
de 610 radianos por segundo. Nota: Geradores de corrente são sempre considerados como tendo impedância interna infinita ou admitância interna nula.
V-59. Os parâmetros na Fig. V-66 são: 3010
111 jjXRZ L +=+= ;
105222 jjXRZ L +=+= ;
64333 jjXRZ L −=+= .
Pede-se: a) Determinar 1I , 2I , 3I , 1V e 23V sob forma polar complexa em
relação à tensão aplicada ( °∠0100 volts) como referência; b) Desenhar um diagrama vetorial completo das tensões e
correntes acima; c) Determinar os watts e VArs de entrada para o circuito em conjunto.
V-60. Determinar a potência dissipada em cada ramo da Fig. V-66 para os parâmetros dados no problema V-59.
V-61. Determinar a reatância ou reatâncias puras X na Fig. V-67 que tornarão o fator de potência total igual a 0,707.
V-62. Um circuito similar ao mostrado na Fig. V-34, exceto que 1L é constante enquanto que 2C é variável, deve deixar passar uma corrente de 45.000 ciclos com impedância mínima e bloquear uma corrente de 15.000 ciclos tão eficazmente quanto possível.
Fig. V-34
0R = 20 ohms, 1R = 40 ohms, e 1L = 0,002 henrys são fixados. A resistência, 1R , do ramo 2C é suposta
como desprezivelmente pequena. Ou um 0C fixo ou um 0L fixo (de resistência desprezível) deve ser
colocado em série com 0R para se conseguir o desejado efeito de sintonia. Pede-se:
a) Determinar o 2C que colocará o circuito paralelo bc em ressonância em paralelo em 15.000 ciclos;
b) Calcular a impedância equivalente de b a c em 45.000 ciclos com 2C colocado em seu valor ressonante em 15.000 ciclos. È bc predominantemente capacitivo ou indutivo em 45000 ciclos?
c) Para colocar o ramo ab em ressonância em série para 45.000 ciclos, deve ser usada uma indutância 0L
ou uma capacitância 0C ? Calcular seu valor;
d) Supondo que o ramo ab foi colocado em ressonância em série em 45.000 ciclos, qual é a impedância real de a a b em 45.000 ciclos? E em 15.000 ciclos?
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
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V.63. É dado o circuito mostrado na Fig. V-68, determinar a impedância ligada aos terminais ab, em 1.592 ciclos por segundo.
V-64. Uma máquina geradora tem uma impedância de 0,5 + j1 ohms e está conectada a uma carga por uma linha de 0,25 + j2 ohms. Em que carga será realizada a máxima transferência de potência? Se a tensão gerada for de 20 volts, qual será a potência recebida pela carga quando ajustada para a máxima transferência de potência? Determinar a perda na linha e a perda na máquina geradora.
V.65. Pede-se: a) Se a resistência da carga no problema V-64 for fixada em 0,75 ohms e somente reatância indutiva for
permitida na carga, para que valor da reatância da carga será transferida à carga máxima potência? b) Qual é a máxima potência de carga sob estas condições?
V.66. Resolver o problema V-64 se a impedância receptora for restringida à resistência pura.
V.67. Se urna impedância de carga tendo uma relação X/R = 5 for usada na extremidade da linha no problema V-64, determinar a impedância da carga para máxima transferência de potência. Qual é a potência máxima que a carga pode receber?
Unidade 7 - Análise de Circuitos Monofásicos Senoidais (Capítulo 5 - Kerchner & Corcoran)
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Respostas de problemas - Capítulo 5 - Corcoran
17) &I = 5 /-36,87° A; abV& = 152,05 /43,67° V;
bcV& = 98,5 /-102,91° V; cdV& = 15 /-36,87° V; fp = 0,80.
18) XL = 9,33 Ω para fp indutvo; XC = 33,33 Ω para fp capacitivo; P = 225 W.
19) a) R = 28,80 Ω; b)
;
20) P = 911,78 W; &I = 8,62 /-15,88° A; fp = 0,9618 atrasado.
21) R1 = 39,36 Ω; X1 = 78,73 Ω; I1 = 1,127 A; R2 = 0,635 Ω; X2 = 1,27Ω; I2 = 8,873 A.
22) a) &Z = 3,489 + j17,445 = 17,791 /78,69° Ω; b)
;
c) fp = 0,652.
23) 221,05 µF. 24) a) 26,46 µF e 2,003 kV; b) 13,263 µF e 141,42 V.
25) R = 8 Ω e X = XL - XC = 6 Ω. 26) a) 5.050 Hz e 4.950 Hz; b) 25 Hz.
27) a)159,155 kHz ; b)100; c) 995.000 e 1.000.5000 rd / s; d)100,2 mH.
28) a) 31,25 Ω; b) 61,54 Ω; c) 100HzZ& = 30 /0° Ω;
1 000.&
HzZ = 30 /0° Ω.
29) Provas. 30) &Z = 6,427 /24,49° Ω e fp = 0,91.
31) 1&I = 10,60 /32,01° A;
2&I = 13,13 /-66,80° A;
&I = 15,56 /-24,49° A; .
32)106,10 µF. 33) C = 46,42 µF para fp atrasado e C = 165,79 µF para fp adiantado.
34) R = 42,86 Ω. 35) 778,92 µF. 36) 6,667 kVA. 37) 4,245 kVAr.
38) I = 74,28 A; fp = 0,875 adiantado. 39) a) $40.000; b) $32.000.
40) 70,74 Ω. 41)795,775 kHz.
42) C = 110,73 µF ou 2,542 mF; P = 333,94 W ou 7,666 kW. 43) 86,1 µF.
44) Qualquer valor acima de 12,5 Ω. 45) Prova.
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46) a) e b)
c) XL1 = 16 Ω e X L 2 = 4 Ω;
d)Imin = 2,105 A para XL = 22 ,806 Ω.
47) f = 0 Hz, Y = 0,05 mho e Z = 20 Ω;
f = 10 kHz, Y = 0,1352 mho e Z = 7,39 Ω;
f = 100 kHz, Y = 1,2576 mhos e Z = 0,795 Ω;
f = 1.000 kHz, Y = 12,566 mhos e Z = 0,0796 Ω.
48)a) 50,33 Hz; b) 15,81 Ω; c)0,04 H.
49)a) g = 0,000099 mho; bL = 0,00099 mho; bC = 0,001 mho; b) 20,10 V; c) Q = 10,1.
50) Re (&) ( )al ZR
LCW R W C=− +2 2 2 2 21
. 51) a) WL
L
C
R= −
1
2
2
; b) 4,987 × 107 rd/s; c)5,0 × 107
rd/s.
52) 10,025 kΩ. 53) Q = 1,0; Q = 10,1. 54) Prova. 55) a) 100,01 kΩ; b) 9,174
kΩ.
56) a) RP = 10,013 kΩ; bL = 0,9975 × 10-3 mho; bC = 0,001 mho; b) 10,01; c) 20.
57) a) 0,01 A; b) 100,09 V. 58) &Y = 0,1083 + j1,0993 mhos; Rp = 9,236 Ω; C = 1,099 µ F.
59) a) 1&I = 2,25 /-54,39 ° A;
2&I = 3,43 /-96,66 ° A;
3&I = 2,23 /42,73 ° A;
1&V = 71,15 /17,18 ° V;
23&V = 38,32 /-33,23° V;
c) P = 131,01 W; Q = 182,92 VArs.
b)
;
60) P1 = 50,63 W; P2 =58,82 W; P3 = 21,53 W; 61) XC = 3,35 Ω ou X L = 9,27 Ω.
62) a) C2 = 53,86 nF; b) bcZ& = 0,687 - j74,23 Ω (capacitivo); c) L0 = 0,263 mH;
d) ab kHzZ 45
& = 20,69 /0° Ω; ab kHzZ 15
& = 948,6 /1,49°.
63) abZ& = 10 / 0° Ω 64) CZ& = 0,75 - j3 Ω; PC = 133,33 W; PG = 88,89 W; PL = 44,44 W.
65) a) XC = 0 Ω; b) PC = 26,67 W. 66) RC = 3,092 Ω; PC = 52,05 W; PG = 8,42 W; PL = 4,21 W.
67) CZ& = 0,606 + j3,032 Ω; PC = 6,34 W.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de
Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 5, p. 138-203.
2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 20, 23, p. 605-635, 687-736.
3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 14. p. 564-641.
4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. Tradução: Ronaldo Sérgio Biasi. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Tradução de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 14. p. 467-510.
5. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & Sons, 1990. cap 15. p. 384-410.
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