Download - Unid3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

Transcript

Unidade 3CIRCUITOS POLIFSICOS EQUILIBRADOSCORCORAN (captulo VIII) 3.1 GERAES DE TENSES POLIFSICASSistema polifsico equilibrado: Conjunto de vrios sistemas monofsicos com as tenses geradas em cada fase com mesma freqncia, mesma amplitude e defasadas no tempo por = 360 n onde n o nmero de fases do sistema polifsico. Veja na figura ao lado, para uma mquina de dois plos um sistema trifsico onde as bobinas aa, bb e cc esto fisicamente defasadas de 120 graus. Considerando o sentido de rotao da parte mvel (m SN) conforme indicado, sentido horrio, obteremos tenses geradas na seqncia direta (ABC), ou seja: fase b atrasada de 120 da fase a; fase c atrasada de 120 da fase b. No caso da rotao da parte mvel (m SN) no sentido ante-horrio, obteremos tenses geradas na seqncia inversa (ACB ou CBA), ou seja: fase c atrasada de 120 da fase a; fase b atrasada de 120 da fase c; De uma forma geral define-se ordem de fase ou seqncia de fase como sendo a ordem pela qual as f.e.m. alcanam seus valores mximos. Resumindo-se, para seqncia direta a fase b atrasada de 120 da fase a e para seqncia inversa, a fase b adianta de 120 da fase a. Observe que se as tenses geradas nas fases a, b e c

(E a , E b e E c ) esto na seqncia direta, ento, se tomarmos os seus

negativos ( E a ' , E b ' e E c ' ) obteremos a mesma seqncia de fases, no caso, tambm, a seqncia direta. A ordem da seqncia de fases de um sistema polifsico de suma importncia j que, em especial para o sistema trifsico, o mais utilizado na prtica tem-se que: Para um motor de induo, a inverso da seqncia de fase implica na inverso do sentido de rotao do eixo do motor; No caso de carga trifsica desequilibrada os valores das correntes de linha fasorias podem ser completamente diferentes para as duas seqncias, tanto em mdulo como em seus ngulos. De uma forma geral analisando as figuras, abaixo, e considerando o sentido de giro mostrado, so equivalentes, para efeito da seqncia de fase , as denominaes:

Seqncia direta: ABC, BCA ou CAB; Seqncia inversa: CBA, BAC ou ACB.

1

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.2 DIAGRAMA VETORIAL E NOTAO COM SUB-NDICE DUPLOQuando estamos lidando com sinais alternados senoidais de muita importncia especificar o sentido de percurso no circuito, bem como, o sentido da fora elemotriz induzida. Lembre-se que as correntes e tenses sero representadas por fasores e, desta forma, uma inverso no sentido de percurso implica no negativo do fasor original. O sentido ser indicado pelo sub-ndice duplo, & dessa forma, na figura ao lado, Eab significa que est sendo gerada uma f.e.m. na bobina ab no sentido de a para b, ou melhor, o terminal b da bobina tem potencial & maior que o terminal a. Da mesma forma, Ecd significa que est sendo gerada uma uma f.e.m. na bobina cd no sentido de c para d, ou melhor, o terminal d da bobina tem potencial maior que o terminal b.& Exemplo 1 - Sabendo-se que as tenses geradas nas bobinas ab e bc acima sejam Eab = 100 / 60 volts e & E =100 / 0 volts quais so as opes para lig-las aditivamente?cd

& & & a) Ligando os terminais b e c e tomando a tenso Ead = Eab + Ecd = 100 & & & b) Ligando os terminais a e d e tomando a tenso Ecb = Ecd + Eab = 100

3 / 30 volts. 3 / 30 volts.

& & & Ead = Eab + Ecd

& & & Ecb = Ecd + Eab

& & Problema 3.2 Conectando os terminais d e b determinar as tenses Eca e Eac ?

& & & Eca = Ecd Eab = 100 / -60 volts & & & Eac = Eab Ecd = 100 / 120 volts

Problema 3.2 Para as bobinas ao lado & & determinar Eca sabendo-se que Eab =100 / 0 volts & e E =100 / 30 volts.cd

& & & Resp.: Eca = Ecd Eab = 51,76 / 105 volts

2

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.3 SISTEMAS DI E TETRAFSICOSO sistema difsico caracteriza-se pela gerao de tenses alternadas senoidais com defasagem de 90o em duas bobinas aa e bb conforme indicado abaixo. Observe que temos aqui uma exceo regra geral de Sistema polifsicos equilibrados onde as tenses geradas em cada fase esto defasadas no tempo por 360 = onde n o nmero de fases do sistema polifsico. No caso bifsico, n=2, o que implicaria em n = 180 .

Ligando-se os terminais a e b teramos uma estrela bifsica onde: Tenses de fase: Tenses geradas nas bobinas, ea ' a e eb ' b na seqncia direta;

Tenses de linha: Tenses entre dois terminais de sada do gerador, eab ou eba ; Fazendo o mdulo da tenso de fase igual a EF e designando o mdulo da tenso de linha por E L & & & & observe que EL = 2 E F . Note que Eab = Eb ' b Ea ' a = 2 E F / -135 . Eab = EL = 2 E F .

Sistema TetrafsicoO sistema tetrafsico caracteriza-se pela gerao de tenses alternadas senoidais com defasagens de 90o entre as bobinas aa, bb, cc e dd conforme indicado abaixo.

Conexo em EstrlaLigando-se os terminais a, b, c e d teramos uma estrela tetrafsica onde: Tenses de fase: Tenses geradas nas bobinas: ea ' a , eb ' b , ec ' c e ed ' d na seqncia direta;

Tenses de linha: Tenses entre dois terminais de sada do gerador contguos: eab , ebc , ecd e eda . & & & & & & & & & & & & Observe que: Eab = Eb ' b Ea ' a , Ebc = Ec ' c Eb 'b , Ecd = Ed ' d Ec ' c e Eda = Ea ' a Ed ' d ;Fazendo o mdulo da tenso de fase igual a EF e designando o mdulo da tenso de linha por E L & & & & observe que EL = 2 E F . Note que Eab = Eb ' b Ea ' a = 2 E F / -135 Eab = EL = 2 E F .

3

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Conexo em MalhaLigando-se os terminais a ao b, b ao c, c ao d e o d ao a teremos uma malha tetrafsica onde: Tenses de fase: Tenses geradas nas bobinas: ea ' a = ea , eb ' b = eb , ec ' c = ec e ed ' d = ec na seqncia direta; Tenses de linha: Tenses entre dois terminais de sada do gerador contguos: ed '' a '' = ea , ea ''b '' = eb ,

eb '' c '' = ec e ec '' d '' = ed ; Fazendo o mdulo da tenso de fase igual a EF e designando o mdulo da tenso de linha por E L observe que EL = E F ;

& & & & Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador: I ab , I bc , I cd e I da ; & & & & Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador: I dd '' , I aa '' , I bb '' e I cc '' . Observe que: & & & & & & & & & & & & I = I I , I = I I , I = I I e I = I I ;aa " da ab bb '' ab bc cc '' bc cd dd '' cd da

Fazendo o mdulo da corrente de fase igual a I F e designando o mdulo da corrente de linha por I L & & & & observe que I L = 2 I F . Observe que I bb '' = I ab I bc = 2 I F 45 I bb '' = I L = 2 I F .

Sistema difsico trs fios (2 fases e um neutro) - Seqncia direta

E n 'a ' = E a = E F0 E n 'b' = E b = E F 90 Ea 'b' = E b E a = 2 E F 135

3.4 f.e.m. geradas por sistemas trifsicos tetrafilaresPara um gerador trifsico equilibrado na seqncia direta, ligando-se os terminais a, b e c a um ponto comum e designandoo por n (ponto neutro) tem-se uma ligao estrela trifsica onde:

E na = E a = E F 0 ; E nb = E b = E F 120 ; E nc = E c = E F + 1204

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Note que Eab = E b E a =

3 E F 150 onde E F

o

mdulo da tenso de fase j que

3 & Eab = 2 x OA = 2 x E F cos 30 = 2 EF = 3 EF . 2Observaes importantes para um gerador trifsico equilibrado com ligao estrla: & & & & & & Tenses de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, Ena = Ea , Enb = Eb e Enc = Ec ; & & & Tenses de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de sada do gerador, Eab , Ebc e Eca . Observe que: & & & & & & & & & E = E E , E = E E e E = E E ;ab b a bc c b ca a c

Em mdulo, toda Tenso de linha = 3 Tenso de fase; & & & Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador I na , I nb , I nc ; & & & Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador I , I I . Observe que as correntesaa ' bb ' e cc '

& & & & & & de linha so iguais as correntes de fase correspondentes: I na = I aa ' ; I nb = I bb ' e I nc = I cc ' ; Em mdulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase. A Corrente de neutro In 'n nula j In 'n = I na + Inb + Inc = 0 ; Veja as figuras abaixo ilustrando estes fatos. Observe que para efeito de treinamento, mostramos as & & & & & & tenses de linha Eba , Eac e Ecb em vez das tenses Eab , Ebc e Eca . Quais so as relaes vetoriais das tenses de linha representadas em termos das tenses de fase?

Problema 3.4 - Desenhar um diagrama vetorial polar que represente as tenses de fase e de linha mostrados

no Oscilograma VIII-1 do livro texto, usando V bn como referncia. Especificar o valor eficaz da tenso de fase, a seqncia das tenses de linha e de fase. Este Oscilograma corresponde s tenses numa carga em estrela equilibrada cujo valor eficaz das tenses entre linhas 100 Volts. a) VF = 100 / 3 =57,7 volts; b) Seqncia das tenses de fase: an, bn, cn; c) Seqncia das tenses de linha: ab, bc, ca.

5

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.5 Sistemas Trifsicos trifilaresNos Sistemas Trifsicos Trifilares no existem o fio neutro e, portanto, no possvel conectar cargas entre as linhas e o neutro.

3.6 A conexo Tringulo ( )Observe as figuras abaixo que ilustram este tipo de ligao bem como as relaes existentes entre suas tenses e correntes de linha e de fase.

Observaes importantes para um gerador trifsico equilibrado com ligao tringulo: & & & Tenses de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, Eab , Ebc e Eca ; & & Tenses de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de sada do gerador, E , Ea 'b '

b 'c '

& & & as tenses de linha so iguais as tenses de fase correspondentes: Ea 'b ' = Eab , Eb ' c ' bc c 'a ' ca & ,I ,I ; & & Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador, I ab bc ca & & & Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador I aa ' , I cc ' , I bb ' . Observe que & & & & & & & & & I = I I ;I =I I ;I = I I ;aa ' ca ab bb ' ab bc cc ' bc ca

& e Ec ' a ' . Observe que & & & =E e E =E ;

Em mdulo, toda Tenso de linha = Tenso de fase; Em mdulo, toda Corrente de linha = 3 Corrente de fase.

Problema 3.5 Desenhar o diagrama vetorial com as tenses de fase, correntes de fase e de linha, usando & Vbc como referncia, referente ao Oscilograma VIII-2 do livro texto.

Correntes de linha saindo do gerador & = I I ;I =I I ;I = I I ; I aa ' &ca &ab &bb ' &ab &bc &cc ' &bc &ca

Correntes de linha chegando na carga & = I I ;I = I I ;I = I I ; I a ' a &ab &ca &b 'b &bc &ab &c ' c &ca &bc

6

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.7 Estrelas e malhas n-fsicasPara geraes n-fsicas equilibradas, ligadas em estrela, sabe-se que o defasamento das tenses 360 . Neste tipo de ligao, sempre, a tenso de linha entre fases geradas em fases contguas = n contguas a tenso de uma delas menos a tenso da outra fase. Individualizando-se para as fases a e b 180 . Para as correntes, bvio obtm-se: E ab = E an + E nb = E b E a E ab = E L = 2 AB = 2 E F sen n que as de linha e de fase so iguais ( I L = I F ) j que no existe nenhum n separando-as.

( )

Para as ligaes em malha temos uma simetria com relao ligao em estrela, s que permutandose as tenses pelas correntes, ou melhor, o que ocorre com as tenses na ligao estrela ocorrer com as correntes na ligao tringulo e vice-versa. Veja as figuras abaixo que ilustram este fato. Tenses de linha iguais a tenses de & & & & fase j que Ea 'b ' = Eab , Eb ' c ' = Ebc , etc. EL = E F ;I bb ' = I ab I bc ;

& = I = 2 AB = 2 I sen 180 . Ibb ' L F n

Problema 3.6 Para um gerador em malha hexafsico com corrente de fase igual a 100 A, qual o valor da sua corrente de linha?360 360 = = 60 ; n 6 180 1 IL = 2 IF sen = 2 100 sen30 = 2 100 = 100 ampres. 6 2 =

Problema 3.7 Qual a tenso entre linhas adjacentes de um sistema duodecafsico, equilibrado, conectado em estrela, se E F = 50 volts? Solues numrica e grfica. 180 E L = 2 E f sen = 2 50 sen15 = 25,88 volts; 12 360 360 & & = = = 30 Ea = 500 e Eb = 50 30 ; n 12E ab = E an + E nb = E b E a = 25,88 105; & E = E = 25,88 105 = 25,88volts.L ab

7

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Problema 3.8 Determinar a tenso ente linhas alternadas num sistema hexafsico, equilibrado, conectado em estrela, se o mdulo das tenses de fase igual a 132,8 volts.

=

360 360 & = = 60 Ea = 132,80, n 6 & & Eb = 132,8 60 e Ec = 132,8 120;

E ac = E an + E nc = E c E a = 230 150; & E = E = 230 150 = 230volts.L ac

3.8 Carga trifsica equilibrada com ligao Estrela (Y)Para uma carga trifsica equilibrada com ligao estrela tem-se que (veja figura do exemplo 3.2): & & & & Tenses de fase: Quedas de tenses produzidas nas impedncias das fases: Van = Va , Vbn = Vb e & & V =V ;

cn

c

Tenses de linha: Quedas de tenses entre dois terminais contguos de entrada da carga: & & & & & & & Va 'b ' = Va ' n + Vnb ' = Van Vbn = Va Vb ;& & & & & & & Vb ' c ' = Vb' n + Vnc ' = Vbn Vcn = Vb Vc ; & & & & & & & Vc ' a ' = Vc ' n + Vna ' = Vcn Van = Vc Va .

Fazendo o mdulo da tenso de fase igual a VF e designando o mdulo da tenso de linha por VL observe que VL = 3 VF . Em mdulo, toda Tenso de linha = 3 Tenso de fase; & & & & & & Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedncias das fases: I an = I a , I bn = I b e I cn = I c . & Considerando que o sistema equilibrado e designando a impedncia de fase por Z tem-se que:F

& & & V & V V & & I an = an , I bn = bn e I cn = cn ; & & & ZF ZF ZF& & & Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: I a ' a , I b 'b e I c ' c . Observe que: & & & & & & I a ' a = I an , I b ' b = Ibn e I c ' c = I cn ; Fazendo o mdulo da corrente de fase igual a I F e designando o mdulo da corrente de linha por I L observe que I L = I F . Em mdulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase;

Exemplo 3.2 Para uma carga trifsica equilibrada (R = 6 e X L = 8 ) ligada em estrela onde a tenso de linha igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potncia real por fase e a potncia real da carga trifsica. VL 220 = = 127 V 3 3 V 127 127 IF = F = = = 12, 7 A 2 2 ZF 10 6 +8 IL = IF = 12, 7 A VF = PF = R F I F 2 = 6 x12, 7 2 = 967, 7 W PTotal = P3# = 3 x PF = 3 x 967, 7 = 2.903, 2 W.

8

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Exemplo 3.2.a Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tenses, correntes e potncias, & & sabendo-se que as tenses esto na seqncia direta e Van est na referncia, isto , Van = 127 0 volts. & & & & Z = Z = Z = Z = 6 + j8 = 1053,13 an bn cn F

V an = 127 0 = 127 + j0 volts V bn = 127 120 = 63,5 j110 volts V cn = 127 120 = 63,5 + j110 volts V ab = V an V bn = 190,5 + j110 = 220 30 volts

Ian = Ibn = Icn =Pna = Vna I na cos & Vna & Ina

V an

= = =

ZF

127 0 = 12, 7 53,13 A 10 53,13 127 120 = 12, 7 173,13 A 10 53,13 127 120 = 12, 7 66,87 A 10 53,13

V bn

ZF

V cn

ZF= 127 x 12, 7 x cos 53,13 = 967, 7 W& Vna & I na

Q na = Vna Ina sen

P3# = 3 Pna = 3 967, 7 = 2.903,1 W

= 127 x 12, 7 x sen 53,13 = 1.290,3 VARs

Q3# = 3 Q na = 3 1.290, 3 = 3.870,9 VARs N na = Vna I na = 127 x 12, 7 = 1.612,9 VA N 3# = 3 N na = 3 1.612,9 = 4.838, 7 VA

Observe que neste exemplo e nas definies anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a, b e c para o ponto n, embora nada impea de considerarmos a corrente no sentido contrrio. claro que osentido da corrente definido pelo sentido da queda de tenso considerada, isto , a tenso V an corrente Ian (corrente entrando no neutro, ponto n); a tenso V na corrente Ina (corrente saindo do neutro, ponto n). obvio que I na = I an para um mesmo sistema de tenses geradas.

3.9 Carga trifsica equilibrada com ligao Tringulo ()Para uma carga trifsica equilibrada com ligao tringulo tem-se que (veja figura do exemplo 3.3): & & & Tenses de fase: Quedas de tenses produzidas nas impedncias das fases: Vab , Vbc e Vca ; & & Tenses de linha: Quedas de tenses entre dois terminais contguos de entrada da carga: Va 'b ' , Vb ' c ' e & & & & & & & V . Observe que V = V , V = V e V = V ;

c'a '

a 'b'

ab

b'c '

bc

c'a '

ca

Fazendo o mdulo da tenso de fase igual a VF e designando o mdulo da tenso de linha por VL observe que VL = VF . Em mdulo, toda Tenso de linha = Tenso de fase;

9

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) & & & Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedncias das fases: I ab , I bc e I ca . Considerando & que o sistema equilibrado e designando a impedncia de fase por ZF tem-se que: & & & V & V V & & I ab = ab , I bc = bc e I ca = ca ; & & & Z Z ZF F F

& & & Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: I a ' a , I b 'b e I c ' c . Observe que:

& & & I a 'a = I ab I ca & & & I b 'b = I bc I ab

& & & I c 'c = I ca I bc Fazendo o mdulo da corrente de fase igual a I F e designando o mdulo da corrente de linha por I Lobserve que I L = 3 I F . Em mdulo, toda Corrente de linha =3 Corrente de fase;

Exemplo 3.3 Para uma carga trifsica equilibrada (R = 6 e X L = 8 ) ligada em tringulo onde a tenso de linha igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potncia real por fase e a potncia real da carga trifsica.Z F = R 2 + X L 2 = 62 + 82 = 10 VF = VL = 220 V IF = VF 220 = = 22 A Z F 10

IL = 3 If = 3 22 = 38,1 A

PF = R F I F 2 = 6 x 222 = 2.904 W

PTotal = P3# = 3 PF = 3 2.904 = 8.712 W

Exemplo 3.3.a Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tenses, correntes e potncias, & & sabendo-se que as tenses esto na seqncia direta e Vab est na referncia, isto , Vab = 220 0 volts. & & & & Z = Z = Z = Z = 6 + j8 = 1053,13 ab bc ca F

V ab = 220 0 volts V bc = 220 120 volts V ca = 220 120 volts

Iab = Ibc =Ica =

V ab

= ==

ZF

220 0 = 22 53,13 A 10 53,13 220 120 = 22 173,13 A 10 53,13220 120 = 22 66,87 A 10 53,13

V bc

ZF

V ca

& Ia 'a

ZF = &ab &ca = 38,11 83,13 A I I

10

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)Pab = Vab Iab cos & Vab & Iab

Qab = Vab I ab sen I&ab = 220 22 sen 53,13 = 3.872 VARs& Vab

P3# = 3 Pab = 3 2.904 = 8.712 W

= 220 x 22 x cos 53,13 = 2.904 W

Q3# = 3 Qab = 3 3.872 = 11.616 VARs N ab = Vab Iab = 220 x 22 = 4.840 VA N 3# = 3 N ab = 3 4.840 = 14.520 VA

Observe que neste exemplo e nas definies anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a para b, de b para c e de c para a, embora nada impea de considerarmos a corrente no sentido contrrio ou outro qualquer. claro que o sentido da corrente definido pelo sentido da queda de tenso considerada,isto , a tenso V ab corrente Iab (corrente de a para b); a tenso V ba corrente Iba (corrente de b para a). obvio que Iba = Iab para um mesmo sistema de tenses geradas. Por exemplo, se for especificado uma seqncia de fases V ba , V cb , V ac , quer dizer que V cb atrasa de V ba de 120o e que V ac atrasa de V ac de 120 , usaramos como base para os clculos as correntes de fase Iba , Icb , Iac . Observaes importantes sobre as relaes existentes entre tenses, correntes e potncias para & ligaes Estrela e Tringulo com mesmas impedncias de fase ( Z F ) e alimentadas com a mesma tenso de linha ( VL ). Analisando os resultados obtidos nos exerccios 3.2.a e 3.3.a conclue-se que:

VL = VL y (hiptese);

VF = 3 VFy ; IF = 3 I Fy ;IL = 3 I Ly ; PF = 3 PFy ; P3# = 3 P3#y .

3.10 - Diagrama vetorial de trplice origem em Sistemas Trifsicos Equilibradosa) Tenses geradas (tenses no gerador) Seja um gerador ligado em estrela, seqncia direta, conforme ilustrado na pgina seguinte. Observe que as tenses de linha so dadas por: Eab = E b E a , E bc = E c E b e Eca = E a E c . Temos na figura (a), uma & & & ligao em estrela; na figura (b) o diagrama fasorial correspondente das tenses de fase (E a , E b eE c ) geradas & & & na seqncia direta e das tenses de linhas (E , E eE ) , composio vetorial das tenses de fase e,ab bc ca

finalmente, na figura (c) um diagrama fasorial equivalente quele da figura (b) e que designamos diagrama vetorial de trplice origem, onde as tenses de linha formam um tringulo eqiltero. Observou-se nesta figura, para seqncia direta, que girando no sentido horrio encontramos os pontos a, b e c na seqncia & & & ABC (seqncia direta). Se a seqncia gerada para as tenses E a , E b eE c fosse seqncia inversa teramos encontrado, girando novamente no sentido horrio, os pontos na seqncia ACB, ou CBA ou BAC (seqncia inversa). 11

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

& Exemplo 1 - Para tenses geradas na seqncia inversa, sabendo-se que Ebc = 20090 o V determine as & & & & & & tenses de fase (E a , Eb eE c ) e de linha (E ab , E bc eEca ) , usando o diagrama vetorial de trplice origem correspondente:

& Eab = 200 30 o V & Ebc = 200 + 90 o V e & E = 200 150 o Vca

& & Ena = Ea = 115,47 + 180 o V & & Enb = Eb = 115,47 60o V & & E = E = 115,47 + 60 o Vnc c

& & Exemplo 2 - Similar ao exemplo 1, seqncia direta, dado Enc = Ec = 10090 V . Tm-se:

& & & E ab = 100 3 + 180 o V Ena = Ea = 100 30 o V & & & Enb = Eb = 100 150o V e Ebc = 100 3 + 60o V & & & Enc = Ec = 100 + 90o V Eca = 100 3 60 o V

Observe nos exemplos 1 e 2 anteriores, que partimos da hiptese de que o gerador tinha ligao estrela e, neste caso, existe fisicamente o ponto n, ponto comum das trs bobinas. Da, determinamos as tenses de & & & & & & & & neutro-fase E na = E a , E nb = E b , E nc = E c , e as tenses fase-fase E ab , E bc eE ca . Se assumirmos a hiptese de que o gerador est ligado em tringulo, no teremos o ponto n fsico, mas por outro lado o procedimento totalmente similar na determinao das tenses neutro-fase e fase-fase. Este ponto n seria o neutro do gerador ligado em estrela, equivalente a este ltimo ligado em tringulo.

12

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Tenses na carga Seja uma carga trifsica equilibrada e seus diagramas fasoriais indicados abaixo. O procedimento anlogo ao caso do gerador com a nica diferena de que as tenses geradas so no sentido do neutro para a & & & & & & fase, ( E na , E nb e E nc ) e, na carga, so no sentido da fase para o neutro (Van , Vbn e Vcn ) , ou seja, as tenses & seguem o sentido da corrente convencional. Considere seqncia direta com V = 1200 o V . Tm-se:an

& & & Vab = Van Vbn & & & Vbc = Vbn Vcn ; & & & V = V Vca cn an

& Vab = 120 3 + 30o V & Vbc = 120 3 90o V & Vca = 120 3 + 150o Ve

& Van = 1200 o V & Vbn = 120 120 o V . & V = 120 + 120o Vcn

Observe no exemplo acima que mesmo considerando a seqncia direta, o diagrama fsico da carga, induz erroneamente seqncia inversa. Lembre-se que a seqncia de fases definida pelo diagrama vetorial e no pelo diagrama fsico.

& Exemplo 3 - Para seqncia inversa, Vbc = 18045 o V, determine todas as tenses fase-neutro e fase-fase numa carga trifsica equilibrada. Tm-se:

& Vab = 180 75o V ; & Vbc = 18045o V ; e & V = 180165o V ;ca

& Van = 103,92 45o V ; & Vbn = 103,9275o V ; . & V = 103,92 165o V ;cn

Embora, no muito usual, mas nada nos impede de que as tenses e correntes numa carga trifsica sejam consideradas saindo do neutro da carga. Com seqncia direta, veja exemplos seguintes:

13

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Ex. 1 - Diagrama polar de uma carga equilibrada em estrela com fp = 1.

Ex. 2 - Diagrama polar de carga equilibrada conectada em tringulo com fp = 1. Exemplo 3.4 Para uma carga trifsica equilibrada de 10 KVA com tenso de linha de 200 volts, apresente os diagramas de trplice origem com as tenses geradas de fase e de linha e com as correntes de linha para: (a) Seqncia direta e fator de potncia unitrio; (b) Seqncia direta e fator de potncia 0.6 atrasado; (c) Seqncia inversa e fator de potncia 0.6 atrasado; Soluo: cos( 1 ) = 1 1 = 0; cos( 2 ) = 0.6 2 = 53,1 Tm-se os diagramas:

14

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.11 - CLCULO DA POTNCIA REAL OU MDIA EM SISTEMAS EQUILIBRADOS (W) Pf = V f I f cos fPt = n Pf Para sistema Trifsico: Pt = 3 V f I f cos f

a) Ligao estrela IL = I f ; VL = 3 V f Pt = 3 b) Ligao tringulo: IL = 3 I f ;VL = V f Pt = 3 VL IL 3 cos f = 3 VL I L cos f .

VL I L cos f = 3 VL I L cos f . 3

Problema 3.9 - Tenses de linha trifsicas, VL = 2.300 V , so aplicadas a uma carga equilibrada conectada em com Z f = 100 + j173,2 por fase, pede-se I L e Pt.Z f = 100 + j173, 2 = 20060 ; IL = I f = VL

= 6,64 A; 3 3.200 Pt = 3 R f I 2 = 3 100 6,64 2 = 13, 23 kW ; f2.300Pt = 3 VL I L cos f = 3 2.300 6,64 cos 60 o = 13,23 kW

/Zf =

Problema 3.10 - Idem exemplo anterior com carga em . Vf V 2.300 If = = L = = 11.5 A; Zf Zf 200I L = 3 I f = 3 11,5 = 19,92 A; Pt = 3 R f I 2 = 3 100 11,5 2 = 39,67 kW ; f Pt = 3 VL I L cos f = 3 2.300 19,92 cos 60 o = 39,67 kW .15

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.12 POTNCIA APARENTE (VOLT-AMPRES - VA) Para sistemas trifsicos equilibrados definida como a soma dos VA das fases, ou melhor, N = VAtotais = 3 VA fase = 3 V f I f . Em funo das tenses e correntes de linha, tm-se: Ligao N = 3 VL Ligao N = 3

IL = 3 VL I L ; 3

VL I L = 3 VL I L . 3

3.13 POTNCIA REATIVA (VOLT AMPRES REATIVOS VAR) Definida como a soma dos volt-ampres reativos das fases, Q = Px = 3 V f I f sen f . Similarmente aos itens anteriores, tm-se: Ligao Px = 3 VL . I L sen f ; Ligao Y Px = 3 VL I L sen f .

3.14 TRINGULO DE POTNCIASEm sistemas trifsicos equilibrados, as potncias real (P), reativa (Q) e aparente (N) formam um tringulo retngulo conforme mostrado ao lado onde f o ngulo da impedncia de fase da carga trifsica equilibrada.

Problema 3.11 - Dado um sistema de tenses trifsicas equilibrada com VL = 440 volts aplicada carga & equilibrada e com Z f = 8 + j 6 , pede-se:a) Calcular N f , Q f e o fator reativo.

N f = VA f = V f I f = 440

= 19.360 VA ; 82 + 6 2 6 Q f = VA f sen f = 19.360 = 11.616 VAr ; 10 Fator reativo = fr = sen f = 0,6 .

440

3.15 - FATORES DE POTNCIA (fp) E REATIVO (fr) Para sistemas trifsicos equilibrados alimentados por ondas sensoriais, so definidos como: P P Fator de potncia: cosseno do ngulo entre V f e I f fp = cos f = = ; VA N P Q Fator reativo: seno do ngulo entre V f e I f fr = sen f = x = ; VA N Exemplo 3.5 - Dado um motor trifsico de 5 HP alimentado por tenses trifsicas equilibradas 220 volts, rendimento de 0,85 e o fator de potncia = 0,86, pede-se a potncia real entregue ao motor em plena carga e a corrente eltrica absorvida da rede eltrica. 5 5 745,7 HP = = 4.386,5 W ; Potncia real entregue ao motor = 0,85 0,85 P = 3 VL I L cos f 3 220 I L 0,86 = 4.386,5 W I L = 13,385 A .16

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Exerccio - Para um motor trifsico, 10 CV, fator de potncia = 0,85 atrasado, tenso de linha = 220 volts, rendimento = 0,81, f = 60 H z , pede-se:a) As potncias absorvidas da rede de alimentao (P, Q e N), e apresente o tringulo de potncia (1 cv = 735,5 W); P 10 735,5 P eltrica = mecnica = = 9.080, 25 W ; 0,81 P 9.080,25 N= = = 10.682,64 VA; cos 0,85

Q = N 2 P 2 = 5.627,43 VAr.b) A corrente de linha;

N = 3 VL I L I L =

10.682,64 = 28,035 A . 3 220

c) A corrente de fase se a ligao interna do motor ligao e o valor de sua impedncia de fase; I V 220 28,035 IF = L = = 16,186 A; Z F = F = = 13,592 ; & I F 16,186 3 3 & = arc cos 0,85 = 31,788o Z = 13,59231,788o .F F

d) O valor das capacitncias em (F) de trs capacitores iguais ligados em paralelo este motor, com ligao , de modo que o fator de potncia do conjunto (motor + capacitores) seja 0,95 indutivo.fp = 0,95 1 = 18,195o ; tg1 = Q1 Q1 = 9.080,25 tg18,195o = 2.984,53 VAr ; P Q2 = Q Q1 = 2.642,90 VAr capacitivos;

Clculo das capacitncias ligadas em tringulo: a) Enfoque monofsico Q Q1F = 2 = 880,97 VAr ; 3b) Enfoque trifsico Q2 = 3 VL I L sen 90 o 2 2

V V 2 Q1F = X c I C = X C F = F X Xc C V 220 XC = F = = 54,937 ; Q1F 880,972 2

I L = I LC = I FC = Xc = XC = I LC 3

2.642,90 = 6,936 A; 3 220 ( 1)

(

)

= 4,004 A;

Xc =

1 1 10 C = = = wC wX C 120 54,937 48,282F .

6

VF 220 = = 54,937 ; I FC 4,004 1 1 10 6 C = = = wC w X C 120 54,937

48,282 F .

17

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.16 - Potncias Monofsicas e Trifsicas Equilibrados com alimentao Alternada SenoidalOs valores instantneos da potncia da carga monofsica indicada abaixo dada por:

p = vi

p = [Vm sen(wt )] [I m sen(wt )] = Vm I m sen wt [sen (wt )] = 2 sen wt cos wt Vm I m sen wt cos Vm I m sen 4 3 14 244 sen 2 wt 2 Vm I m sen wt [sen wt cos sen cos wt ] =

(a )

Relembrando-se que: 1 = cos 2 wt + sen 2 wt cos 2 wt = cos 2 wt sen 2 wt Substituindo (b) em (a), obtm-se:p = Vm I m

1 cos 2 wt = 2 sen 2 wt sen 2 wt = 1 cos 2 wt 2

(b )

1 cos 2wt sen 2wt cos Vm I m sen = 2 2

Vm I m cos Vm I m cos [cos 2wt ] Vm I m sen [sen 2wt ] 2 2 2 2 2 14243 1444 444 3 1444 444 31 2 3

Onde: Vm I m cos - parcela constante correspondente potncia real; 2 V I (2) m m cos [cos 2wt ] - parcela correspondente a potncia reativa; 2 Vm I m sen [sen 2 wt ] - parcela correspondente a potncia reativa. (3) 2 Desenvolvendo (1) + (2) obtm-se: V I V I m m [cos 2 wt cos + sen 2 wt sen ] = m m (cos 2wt ) - parcela correspondente a potncia reativa 2 2 de freqncia dupla dos sinais de tenso e de corrente do circuito monofsico. (1) Para o sistema trifsico equilibrado, considerando as potncias instantneas de cada fase funo da tenso da fase e de sua respectiva corrente de fase, Pa = f (Va , I a ) , Pb = f (Vb , I b ) e Pc = f (Vc , I c ) , tm-se: pa = Vm I m sen wt sen (wt );pb = Vm I m sen wt 120o sen wt 120 o ;o o

p c = Vm I m

( ) ( sen (wt 240 ) sen (wt 240

) ).

18

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) Extendendo-se o desenvolvimento efetuado anteriormente para o circuito monofsico tem-se: V I V I pa = m m cos m m cos (2wt ) ; 2 2 Vm I m Vm I m pb = cos cos (2 wt 120 ) ; 2 2 V I V I pc = m m cos m m cos (2wt 240 ) 2 2Vm I m cos j que a soma das trs parcelas 2 senoidais nula sinais senoidais de mesma freqncia, mesma amplitude e defasados de 120. Para a carga trifsica obtm-se: Pt = Pa + Pb + Pc = 3

3.17 - MEDIDAS DE POTNCIA EM SISTEMAS EQUILIBRADOSUm vatmetro acusa uma leitura proporcional ao produto da corrente na sua bobina de corrente pela tenso na bobina de tenso e pelo cosseno do ngulo entre a tenso e a corrente percebidas por suas bobinas de tenso e de corrente. Assim, o valor medido ser: W = V I cos (V I ) watts. Nas figuras abaixo tm-se esquemas possveis para a medio de potncias trifsicas em cargas ligadas em tringulo e estrela onde a potncia trifsica a soma das potncias medidas pelos trs vatmetros. Entretanto nem sempre possvel in-

terromper as fases de uma carga , assim como, ter acesso ao neutro de uma carga Y. Dessa forma, sugerese o mtodo de dois vatmetros indicados abaixo, que alm de resolver os problemas citados anteriormente precisa apenas de dois e no de trs medidores de potncia real. Neste mtodo, insere-se dois vatmetros em

19

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) duas fases a seu critrio com suas bobinas de corrente recebendo as correntes de linha sentido fonte para a carga. Suas bobinas de tenses devem perceber as tenses de sua fase para a fase sem vatmetro. Observando-se o diagrama fasorial correspondente, conclui-se que os vatmetros (a) e (b) mediro: Wa = V ac I a 'a cos 30o = VL I L cos 30 o = W1 ;o Wb = V bc I b 'b L IL 2 Onde: VL a tenso de linha do sistema trifsico equilibrado; o

( ) cos( + 30 ) = V

( ) cos ( + 30 ) = W .

I L a corrente de linha que a carga trifsica equilibrada absorve da rede de alimentao; o ngulo da impedncia de fase. No diagrama fasorial anterior a ttulo de exemplo, utilizou-se uma carga indutiva, corrente atrasada do ngulo da tenso correspondente;e que a soma de suas leituras resultar na potncia trifsica, ou melhor, Wa + Wb = VL I L cos cos 30 o + sen sen 30 o + cos cos 30o sen sen 30o = VL I Lo

[ [2 cos cos 30 ] = V

]

L

I L 2 cos

3 = 3 VL I L cos = P3F . 2

vatmetro (b) acusou uma medida proporcional a cos + 30 . Podemos generalizar estas proporcionalidades usando o critrio seguinte e que ser comprovado atravs de diagramas fasoriais posteriormente. Para seqncia de fases direta (ABC), tem-se o critrio:o

Observou-se acima que o vatmetro (a) acusou uma medida proporcional a cos 30 o e que o

(

)

(

)

Critrio para seqncia de fases direta (ABC) Escolha duas fases para inseres dos vatmetros, por exemplo, fases (a) e (b); Partindo da fase (c), aquela sem vatmetro, girando-se no sentido horrio, encontra-se o primeiro vatmetro (a) que designaremos de W1 e

que acusar a medida W1 = VL I L cos 30 o ; Prosseguindo no sentido horrio, encontra-se o segundo vatmetro (b) que designaremos de W2 e que acusar a medida W2 = VL I L cos + 30 o ;

(

)

(

)

Observe a comprovao do critrio acima no diagrama fasorial da pgina seguinte para os pares de vatmetros: (Wa , Wb ) , (Wb , Wc ) e (Wc , Wa ) . Tm-se as medies para os pares de vatmetros seguintes: I - Watmetros nas fases (a) e (b): Wa = Vac I a 'a cos V&ac I&a 'a = VL I L cos ( 30) = W1 Wb = Vbc I b'b cos V&bc I&b 'b = VL I L cos ( + 30) = W2 II - Watmetros nas fases (b) e (c): Wb = Vba I b 'b cos V&ba I&b 'b = VL I L cos ( 30) = W1 Wc = Vca I c 'c cos V&ca I&c 'c = VL I L cos ( + 30) = W2

( (

) )

( (

) )

III - Watmetros nas fases (c) e (a): Wc = Vcb I c 'c cos V&cb I&c 'c = VL I L cos ( 30) = W1 Wa = Vab I a 'a cos V&ab I&a 'a = VL I L cos ( + 30) = W2

( (

) )

20

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Similarmente, para seqncia de fases inversa (CBA), tem-se o critrio: Critrio para seqncia de fases inversa (CBA) Escolha duas fases para inseres dos vatmetros, por exemplo, fases (c) e (b); Partindo da fase (a), aquela sem vatmetro, girando-se no sentido horrio, encontra-se o primeiro vatmetro (c) que designaremos de W1 e que acusar a medida W1 = VL I L cos 30 o ; Prosseguindo no sentido horrio, encontra-se o segundo vatmetro (b) que designaremos de W2 e que acusar a medida

(

)

W2 = VL I L cos + 30 o ;

(

)

21

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) Observe a comprovao do critrio acima no diagrama fasorial abaixo para os pares de vatmetros: (Wc , Wb ) , (Wb , Wa ) e (Wa , Wc ) . Tm-se as medies para os pares de vatmetros seguintes: I - Watmetros nas fases (c) e (b): Wc = Vca I c 'c cos V&ca I&c 'c = VL I L cos ( 30) = W1 Wb = Vba I b 'b cos V&ba I&b 'b = VL I L cos ( + 30) = W2 II - Watmetros nas fases (b) e (a): Wb = Vbc I b 'b cos V&bc I&b 'b = VL I L cos ( 30) = W1 Wa = Vac I a 'a cos V&ac I&a 'a = VL I L cos ( + 30) = W2 III - Watmetros nas fases (a) e (c): Wa = Vab I a 'a cos V&ab I&a 'a = VL I L cos ( 30) = W1 Wc = Vcb I c 'c cos V&cb I&c 'c = VL I L cos ( + 30) = W2

( (

) )

( (

) )

( (

) )

22

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) Varredura dos ngulos percebidos pelos vatmetros (1) e (2) no mtodo dos dois vatmetros Observou-se que o vatmetro (1) perceber, sempre, o ngulo ( 30) e o vatmetro (2), o ngulo ( + 30) . Como o ngulo ( ) pode variar de -90 at +90 para uma carga puramente capacitiva at uma carga puramente indutiva. Desta forma pode-se ter o intervalo de valores possveis para os ngulos dos vatmetros: ngulo de W1 : intervalo [ 120, 60]; ngulo de W2 : intervalo [ 60, 120].

Sabe-se que o cosseno negativo nas faixas [120, 90) - (90, 120] e dessa forma, dependendo do fator de potncia da carga, um dos vatmetros pode acusar uma leitura negativa. Num experimento prtico, se um vatmetro acusar um valor negativo de fundamental importncia identificar se esta leitura deve ser considerada negativa no clculo da potncia trifsica ou se ela ocorreu por conexo errnea da montagem do circuito. Por outro lado, a maioria dos watmetros no tem escala para valores negativos e, neste caso, se uma leitura for negativa faz-se necessrio trocar a polaridade de umas das bobinas (de tenso ou de corrente) deste vatmetro, efetuar a medida e considera-la como sendo negativa. Sinais corretos s leituras dos vatmetros

Observou-se anteriormente a necessidade de considerar os sinais corretos s leituras dos vatmetros. Apresenta-se ento dois procedimentos para assegurar este fato. Mtodo I: Vatmetro ligado com as polaridades corretas em suas bobinas de corrente e de tenso: 1. Identifique no vatmetro a polaridade positiva de suas bobinas de corrente e de tenso; 2. Faa sua ligao de modo que a corrente proveniente da fonte de tenso entre pelo terminal positivo e saia pelo terminal negativo da bobinas de corrente do vatmetro; 3. Faa sua ligao de tenso de modo que a fase do vatmetro esteja ligada ao terminal positivo e a fase sem vatmetro esteja ligado ao terminal negativo da bobinas de tenso do vatmetro; 4. Se o vatmetro acusar leitura negativa ao energizar o circuito considere sua leitura negativa, caso contrrio a medio obtida deve ser considerada positiva. Mtodo II: Abertura das bobinas de corrente dos vatmetros separadamente: 1. Wa deve indicar leitura positiva com (b) aberto 2. Wb deve indicar leitura positiva com (a) aberto. 3. Se algum vatmetro Wa , Wb indicar leitura negativa com (a) e (b) fechados sua leitura deve ser considerada negativa. Justificativa: Observe que nos itens (1) e (2) acima que ao desligar os terminais (b) e (a), respectivamente, a carga trifsica transformou-se numa carga monofsica onde a tenso aplicada a tenso & & de linha e a impedncia da carga monofsica 2 Z F , sendo Z F a impedncia de cada fase da carga trifsica. Dessa forma, leitura positiva significa vatmetro ligado corretamente (Mtodo I) pois ele est medindo a potncia real entrega a uma carga monofsica. Com relao ao item (3) obvio que se os vatmetros esto ligados corretamente e se algum deles acusar leitura negativa este fato devido ao fator de potncia da carga e sua leitura dever ser considerada negativa no mtodo dos dois vatmetros.

23

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) Curva da relao de potncia no Mtodo dos Dois Vatmetros Observou-se para cada valor de , isto , para cada fator de potncia tm-se valores definidos para as leituras dos vatmetos W1 e W2 onde W1 = VL I L cos ( 30) e W2 = VL I L cos ( + 30 ) . Dessa forma, a relao ( W1 /W2 ) nos permite determinar o fator de potncia da carga trifsica a partir da Curva das Relaes de Potncia mostrada abaixo onde em valores absolutos W1 menor que W2 . Exemplos:

a) W1 = W2 com mesmos sinais W1 /W2 = 1 cos () = 1 = 0.

W cos( 30) cos(0 30) cos( 30) 0,8660 Contra-prova: 1 = = = = = 1. W2 cos( + 30) cos(0 + 30 ) cos(+ 30) 0,8660 b) W1 = W2 com sinais contrrios W1 /W2 = -1 cos () = 0 = 90.

c) W1 = W2 /2 com mesmos sinais W1 /W2 = 0,5 cos () 0,866 30.

W cos( 30) cos(90 30) cos(60) 0,5 Contra-prova: 1 = = = = = 1. W2 cos( + 30) cos(90 + 30) cos(120) 0,5

W cos( + 30) cos(79,24 + 30) cos(109, 24) 0,3295 Contra-prova: 1 = = = = = 0,505 0,5. 0,6529 W2 cos( 30) cos(79, 24 30) cos(49,24) e) W1 = 0 W1 /W2 = 0 cos () 0,5 60. W cos( + 30) cos(60 + 30) cos(90) 0 Contra-prova: 1 = = = = = 0. W2 cos( 30 ) cos(60 30) cos(30) 0,866

W cos( + 30) cos(30 + 30) cos(60) 0,5 Contra-prova: 1 = = = = = 0,5. W2 cos( 30) cos(30 30) cos(0) 1,0 d) W1 = W2 /2 com sinais contrrios W1 /W2 = -0,5 cos () 0,1867 79,24.

24

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) Exemplo 3.7 - No circuito indicado ao lado Wa acusa 800 W e Wb , 400 W. Com o terminal (a) aberto Wb acusou leitura negativa. Pede-se: a) A potncia trifsica consumida pela carga. P3 F = Wa + Wb = 800 + ( 400 ) = 400 watts. b) O fator de potncia da carga trifsica. 400 = 0,5 obtm-se Na curva de relaes de potncia, com W1 / W2 = 800 o fator de potncia = cos = 0,1867 . 3.18 VOLT-AMPRES REATIVOSNo mtodo dos dois vatmetros pode-se usar a as leituras W1 e W2 para determinar a potncia reativa, ou melhor, ( W1 W2 ) = VL I L cos ( 30) VL I L cos ( + 30) =

= VL I L cos cos 30 o + sen sen 30 o (cos cos 30 o sen sen 30 o ) = = VLo L L

[ I [2 sen sen 30 ] = V

]

I L 2 sen

Q 1 = VL I L sen = 3F 2 3

Q = Px = Q3 F = 3 (W1 W2 ) .

Clculo do fator de potncia baseado nas leituras W1 e W2 Exemplo 3.8 Para o exerccio anterior com seqncia ABC, pede-se: a) A potncia reativa trifsica da carga. Seqncia ABC W1 = Wa = 800 W e W2 = Wb = 400 W ;Q3 F = Q = 3 (W1 W2 ) = 3 (800 ( 400)) = 2.078,46 VAr. b) O fator de potncia da carga trifsica.

Soluo 1: P3 F = P = (W1 + W2 ) = (800 + ( 400)) = 400 W; Q 2.078,46 tg = = = 5,196 = 79,107 fp = cos( ) = 0,189 . P 400 Soluo 2:

N = P 2 + Q 2 = 4002 + 2.078,46 2 = 2.116,6 VA; 400 P fp = = = 0,189 . N 2.116,6

25

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.19 - MTODO DE UM VATMETRO PARA MEDIO DE POTNCIA REATIVADe maneira similar ao mtodo dos dois vatmetros para medio de potncias trifsicas equilibradas real e reativa pode-se comprovar atravs de diagramas fasoriais o Mtodo de um vatmetro para a medio da potncia reativa trifsica. Tm-se:

Critrio para seqncia de fases direta (ABC) Escolha uma fase para insero do vatmetro, por exemplo, a fase (a); Partindo da fase (a), aquela com vatmetro, girando-se no sentido horrio, & encontra-se a tenso Vbc que dever ser aplicada a bobina de tenso dovatmetro (a), Wa .

A potncia reativa ser dada por: Q = 3 Wa ; O sinal de Wa implicar no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significa potncia reativa capacitiva, caso contrrio, potncia reativa indutiva. Ressalta-se a importncia da ligao experimental com as polaridades corretas.Observe a comprovao do critrio acima no diagrama fasorial da pgina seguinte para os vatmetros nas fases (a), (b) e (c). Tm-se as medies para os vatmetros seguintes:

I - Watmetros na fase (a): Wa = Vbc I a 'a cos V&bc I&a 'a = VL I L cos (90 ) = V L I L sen ( ) ; II - Watmetros na fase (b): Wb = Vca I b 'b cos V&ca I&b 'b = VL I L cos (90 ) = VL I L sen ( ) ; III - Watmetros na fase (c): Wc = Vab I c 'c cos V&ab I&c 'c = V L I L cos (90 ) = V L I L sen ( ) .

(

)

(

(

)

)

26

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)Similarmente, para seqncia de fases inversa (CBA), tem-se o critrio:

Critrio para seqncia de fases inversa (CBA) Escolha uma fase para insero do vatmetro, por exemplo, a fase (c); Partindo da fase (c), aquela com vatmetro, girando-se no sentido horrio, & encontra-se a tenso Vba que dever ser aplicada a bobina de tenso do vatmetro (c), Wc . A potncia reativa ser dada por: Q = 3 Wc ; O sinal de Wc implicar no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significapotncia reativa capacitiva, caso contrrio, potncia reativa indutiva. Ressalta-se a importncia da ligao experimental com as polaridades corretas. Observe a comprovao do critrio acima no diagrama fasorial da pgina seguinte para os vatmetros nas fases (c), (b) e (a). Tm-se as medies para os vatmetros seguintes:

I - Watmetros na fase (c): Wc = Vba I c 'c cos V&ba I&c 'c = VL I L cos (90 ) = VL I L sen ( ) ; II - Watmetros na fase (b): Wb = Vac I b'b cos V&ac I&b 'b = V L I L cos (90 ) = V L I L sen ( ) ; III - Watmetros na fase (a): Wa = Vcb I a 'a cos V&cb I&a 'a = VL I L cos (90 ) = V L I L sen ( ) .

(

(

)

)

(

)

27

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.20 - SISTEMAS TRIFSICOS TETRAFILARESNos sistemas trifsicos tetrafilares equilibrados no existem correntes no neutro e, portanto, podem ser tratados da mesma forma que os sistemas trifsicos trifilares. Sempre existe sistema em Y equivalente ao , portanto, pode-se usar as mesmas regras anteriores. Observe-se que foram utilizadas apenas correntes e tenses de linha nas expresses literais para os clculos de potncias.

3.21 SISTEMAS EM

Problema 3.12 Para uma carga trifsica equilibrada ligada em , seqncia direta, fp=1 e valores instantneos mximos de linha: VL mximo = 155,5 volts e I L mximo = 14,14 ampres, pede-se o valor acusadopelos vatmetros Wa e Wc , ligados em concordncia com o mtodo dos dois vatmetros.

fp=1 = arc cos (1) = 0; Seqncia ABC Wc = W1 e Wa = W2 ;

VL = VL mximo / 2 = 109,96 V ; I L = I L mximo / 2 = 10 A ;Wc = W1 = VL I L cos ( 30) = 109,96 10 cos(0 30) = 952,2 W ;

Wa = W2 = VL I L cos ( + 30) = 109,96 10 cos(0 + 30) = 952,2 W .

& Exerccio - Para uma carga trifsica equilibrada ligada em tringulo, Z F = 100 40 , alimentada com & VL = 200 volts onde Van = VF 30 V , seqncia inversa, pede-se:& & & & & & & & & & & & a) As tenses Van , Vbn , Vcn , Vab , Vbc , Vca , correntes: I ab , I bc , I ca , I a ' a , I b 'b , I c 'c e suas composies fasoriais envolvendo os valores de fase e de corrente. & & & & Van = 115,47 30 V ; Vab = 200 60 V ; I ab = 2 100 A; I a 'a = 3,464 70 A; & & & & V = 115,47 + 90 V ; V = 200 + 60 V ; I = 2 + 20 A; I = 3,464 + 50 A;

& & & & Vcn = 115,47 150 V ; Vca = 200 + 180 V ; I ca = 2 + 140 A; I c 'c = 3,464 + 170 A.

bn

bc

bc

b 'b

b) Calcular N, P e Q para o sistema trifsico equilibrado. N = 3 VL I L = 3 200 3,464 = 1.199,96 VA;P = N cos = 919,23 W ; Q = N sen = 771,32 VAr.

28

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran) c) Calcular as leituras dos watmetros (b) e (c) conforme indicados na pgina anterior.

Wc = Vca I c 'c cos(V&ca I&c 'c ) = 200 3,464 cos (180 170) = 682,27 W .d) Calcular P, Q e N a partir das leituras de Wb e Wc de acordo com o mtodo dos dois vatmetros Seqncia inversa (CBA), vatmetros nas fases (b) e (c) Wc = W1 = VL I L cos ( 30) = 200 3,464 cos (40 30) = 682, 27 W ; Wb = W2 = VL I L cos ( + 30) = 200 3,464 cos (40 + 30) = 236,95 W . P = W1 + W2 = (682,27 + 236,95) = 919, 22 W ; Q = 3 (W1 W2 ) = 3 (682,27 236,95) = 771,32 VAr ; N = P 2 + Q 2 = 919,22 2 + 771,32 2 = 1.199,96 VA. e) Calcular a leitura do vatmetro (a) colocado na fase A, para medio da potncia reativa.& Seqncia inversa (CBA), vatmetro na fase (a) tenso Vcb aplicada bobina de tenso do vatmetro (a); Wa = Vcb I a 'a cos (V&cb I&a 'a ) = 200 3,464 cos (120 + 70) = 445,32 W ;

Wb = Vba I b'b cos(V&ba I&b 'b ) = 200 3,464 cos (120 50) = 236,95 W ;

Q = 3 Wa = 3 445,32 = 771,32 VAr.

3.22 COBRE NECESSRIO PARA TRANSMITIR POTNCIASOB CONDIES FIXADAS Problema 3.13 Determinar a relao de cobre necessria para transmisso bifsica trifilar com relao ao sistema trifsico trifilar sob as condies: a) Mesma potncia real transmitida; b) Mesma distncia de transporte; c) Mesma perda total na linha de transmisso; d) Mesma tenso entre linhas; e) Mesma densidade de corrente nos trs condutores bifsicos. Soluo: Vamos considerar o ndice (2) associado ao sistema bifsico e, (3), ao sistema trifsico. Para o sistema bifsico, tm-se:

29

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Da condio (a), tm-se : P3 = P2 3 VL3 I L3 cos = 2 Substituindo a condio (d) em (1) tem-se: 3 I L3 = 2

VL2 2

I L2 cos 2

(1) ;

I L2

Da condio (e), tm-se : I n2 = 2 I L2 S n2 = 2 S fase2

I L ( 2) ; 2 3 2 onde S a seo dos condutores

I L3 =

(3); 2 2 2 2 Da condio (c), tm-se : P3 = P2 3 RL3 I L3 = 2 RL2 I L2 + Rn2 I n2

Rn2 =

RL2

(4) ;

Substituindo a condio (3) em (4) e lembrando-se que I n2 = 2 I L2 , tem-se:

3 RL3 I L3 = 2 RL2 I L2 +2 2 2

RL2

( 2)

2 I L2

) = (2 + 2 ) R2

L2

I L2

2

(5) ;

RL SL 2 2+ 2 2+ 2 2 3 RL3 3 = 2 = 3 I L2 = 2 + 2 RL2 I L2 RL2 2 S L3 2 Assim, a relao do cobre necessrio dada por: Peso2 Volume2 2 l S L2 + l S L2 2 S L2 2 + 2 = = = . (7 ) ; Peso3 Volume3 3 l S L3 S L3 3

Substituindo a condio (2) em (5), tem-se:

(

(

)

(

)

( 6) ;

Substituindo a condio (6) em (7), tem-se:

Peso 2 2 + 2 2 + 2 = = 1,94 . Peso3 2 3

3.23 HARMNICAS NO SISTEMA YUma f.e.m. gerada num condutor ser senoidal apenas quando o fluxo cortando o condutor for senoidal. Existem vrios fatores que distorcem a distribuio de fluxo senoidal em geradores C.A, tais como: Ranhuras e dentes de armadura modificam a relutncia do percurso do fluxo; Introduo da carga provocando uma corrente no induzido; Certas disposies dos indutores na armadura e suas conexes reduzem certas harmnicas ou, mesmo, as eliminam por completo. Alm disso, transformadores com ncleos de ferro conectados ao circuito podem provocar distoro do sinal senoidal devido a sua corrente de excitao que pode no ser senoidal ainda que a tenso aplicada seja uma onda senoidal pura. Torna-se, portanto, necessrio considerar os efeitos de certas harmnicas de tenses e de correntes nas fases de um sistema trifsico j que afetam as tenses de linha do sistema. Supondo-se que a f.e.m. induzida na fase a de um gerador conectado em , mostrada na figura ao lado, seja ena = E m1 sen wt + E m3 sen (3wt + 3 ) + E m 5 sen (5wt + 5 ) + E m7 sen (7 wt + 7 ) . Supondo seqncia direta, fundamental da fase (b) atrasada de 120 da fundamental da fase (a), fase (c) atrasada de 240 e como, usualmente, um deslocamento de um grau da fundamental provoca um deslocamento de n graus na n-sima harmnica tm-se para as tenses das fases (b) e (c): enb = Em1 sen ( wt 120) + E m3 sen (3wt + 3 ) + Em 5 sen (5wt + 5 240) + E m 7 sen (7 wt + 7 120) ;

enc = E m1 sen ( wt 240) + E m3 sen (3wt + 3 ) + Em 5 sen (5wt + 5 120) + Em 7 sen (7 wt + 7 240) .

30

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Conclue-se: Todas as 3as harmnicas e seus mltiplos de 6: 9as, 15as, 21as, etc., esto em fase; A seqncia de fase da 5a harmnica e de seus mltiplos de 6: 11a, 17a, 23a, etc., esto invertidas em relao fundamental; A 7a harmnica e seus mltiplos de 6: 13a, 19a, 25a, etc., tm a mesma seqncia de fase da fundamental.Para determinar as tenses de linha devem-se efetuar as suas composies em termos das tenses de fase considerando separadamente cada harmnica, conforme indicado abaixo:

eba = ebn + ena eac = ean + enc e = e + e cn nb cb

Obtendo-se: eba = 3 Em1 sen ( wt + 30) + 3 Em 5 sen (5wt + 5 30) + 3 Em 7 sen (7 wt + 7 + 30)

eac = 3 Em1 sen ( wt + 150) + 3 Em5 sen (5wt + 5 150) + 3 Em 7

; sen (7 wt + 7 + 150)

ecb = 3 Em1 sen (wt 90) + 3 Em5 sen (5wt + 5 + 90) + 3 Em 7 sen (7 wt + 7 90) .

;

Como as 3as harmnicas se anulam nas tenses de linha, tm-se para os valores eficazes das tenses de fase e de linha no gerador em estrela: E na = E m1 + E m3 + E m 5 + E m 7 ; 22 2 2 2 2 2 2

E m1 + E m 5 + E m 7 EL 3 E f ; 2 Observa-se, ento, que a relao da tenso de linha para a tenso de fase na ligao no h, na onda da tenso de fase, a terceira harmnica ou seus mltiplos de 6. Eba = 3

3 apenas quando

Correntes no sistema Y& & & Considerando a Lei de Kirchhoff para as correntes ( I na + I nb + I nc = 0 ) conclui-se que no existe 3a harmnica de corrente na conexo trifilar, pois, em condies equilibradas, esta condio pode ser satisfeita apenas quando as trs correntes so iguais em mdulo e defasadas de 120 (que no o caso j que esto em fase) ou quando o mdulo de cada uma delas so nulos. Por outro lado, nos sistemas tetrafilares a corrente de 3a harmnica retornar pelo neutro e se valor ser I n = 3 I 3 Harmnica . O comportamento dos diagramas fasoriais de correntes so similares queles apresentados para as tenses.

31

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3.24 HARMNICAS NO SISTEMA Para as mesmas trs bobinas do item anterior com tenses induzidas ena , enb e enc contendo as 1a, 3a, 5a e 7a harmnicas, conectadas em , provocar, a vazio, uma corrente de 3a harmnica no tringulo dada por: ena3 H + enb3 H + enc3 H 3 e g3 H eg I 3H = = = 3H . & & & & & Z 3Z Z +Z +Zca3 H ab3 H bc3 H g3 H g3 H

Nota-se, ento, que a tenso terminal nas linhas que a tenso gerada menos a queda interna no contero a componente de 3a harmnica j que a tenso de 3a harmnica gerada consumida na impedncia interna da bobina geradora. Dessa forma tm-se as tenses de linha: eca = Em1 sen wt + Em 5 sen (5wt + 5 ) + Em 7 sen (7 wt + 7 ) ; eab = Em1 sen (wt 120) + Em 5 sen (5wt + 5 240) + Em 7 sen (7 wt + 7 120) ;

ebc = Em1 sen ( wt 240) + Em 5 sen (5wt + 5 120) + Em 7 sen (7 wt + 7 240) .

Todas as harmnicas de corrente so possveis nas fases do tringulo e as correntes de linha so determinadas pelas composies daquelas de fase indicadas ao lado, no possuindo a componente de 3a harmnica. Tm-se os valores eficazes para as correntes de fase e de linha:If = I m1 + I m 3 + I m 5 + I m 7 ; 22 2 2 2 2 2 2

& & & I aa ' = I ca I ab & & & I bb ' = I ab I bc & & & I cc ' = I bc I ca

I + I m5 + I m7 IL 3 I f . I L = 3 m1 2 Observa-se, ento, que a relao da corrente de linha para a corrente de fase na ligao quando no h, na onda da tenso de fase, a terceira harmnica ou seus mltiplos de 6.

3 apenas

Na sntese das harmnicas de tenso e de corrente existentes na fase e na linha para as vrias combinaes de gerao-carga, mostradas adiante, tm-se as convenes: Nas bobinas do gerador, independentemente da ligao ou , foram gerados as 1a, 3a e 5a harmnicas; Os ndices tem os significados: ( f ) fase; ( g ) gerador; ( L ) linha; ( c ) carga. a) Sistema - trililar 3 fasesE f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

E L 1a e 5a harmnicas;I f g 1a e 5a harmnicas;

I L 1a e 5a harmnicas;I fc 1a e 5a harmnicas.

32

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

b) Sistema - tetrafilar 3 fases + neutroE f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

E L 1a e 5a harmnicas;E f c 1a, 3a e 5a harmnicas; I f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

I L 1a, 3a e 5a harmnicas;I n 3 x I 3 harmnica .

c) Sistema - trililar 3 fasesE f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

E L 1a e 5a harmnicas;I f g 1a e 5a harmnicas;

I L 1a e 5a harmnicas;I fc 1a e 5a harmnicas.

d) Sistema - trililar 3 fasesE f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

E L 1a e 5a harmnicas;I f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

I L 1a e 5a harmnicas; I fc 1a e 5a harmnicas.

e) Sistema - trililar 3 fasesE f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

E L 1a e 5a harmnicas;I f g 1a, 3a e 5a harmnicas;

I L 1a e 5a harmnicas;I fc 1a e 5a harmnicas.

33

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Exemplo 3.49 Um gerador emY gera na sua tenso de fase Ef os harmnicos 1, 3, 5 e 7. Sabendo-se que Vl=230 volts e Vf=160 volts medidos atravs de um voltmetro, pede-se o mdulo de tenso gerada V3 para a terceira harmnica. Sabe-se que:

Vm1 + Vm3 + Vm 5 + Vm 7 V f = 160 = (160) 2 = ( 22 2 2 2

)2

(1);2 2 2

( 3.Vm1 ) 2 + ( 3.Vm5 ) 2 + ( 3.Vm 7 ) 2 2302 Vm1 + Vm 5 + Vm 7 Vl = 230 = = 2 3 2 Substituindo (2) em (1) obtemos: 2 230 2 Vm 3 2 2 160 = + Vm 3 = 7966,67.2 Vm3 = 126,23; 3 2 V Mdulo de Vm 3 = m 3 = 89,26 V . 2

(2).

Exemplo. 3.50 - Para o circuito abaixo foi gerado as harmnicas 1, 3, 5, e 7. Atravs de um voltmetro obteve-se as medidas: Vac=2.500 volts e Vbb=1.800 volts. Pede-se a tenso Vab

2 & = V + V V = Vm1 + Vm 5 + Vm 7 + (2.Vm 3 ) & & & Vab ' ac cb ab ' 2 2 2 2

(1); (2);

(3 Vm 3 ) 2 3V 1.800 2 & & & & & Vbb ' = Vba + Vac + Vcb Vbb ' = 1.800 = 1.800 = me 3 Vme 3 = 2 3 2Vm1 + Vm3 + Vm5 + Vm 7 V + Vm5 + Vm 7 V & m1 = 2.500 2 me 3 Vac = 2 2 2 Substituindo (3) em (1) elevado ao quadrado, obtm-se: 2 &ab ' ) 2 = 2.500 2 Vme 3 + 2 Vm 3 2 = 2.500 2 + 3 Vm3 2 (4). (V 2 2 Substituindo (2) em (4), obtm-se:2 2 2 2 2 2 2 2

(3).

34

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

3 & (Vab ' ) = 2.500 + 22 2

1.800 2 = 2.500 2 + 1 1.800 2 Vab ' = 2.707,4 volts. 3 3 2

Exemplo. 3.52 Para o circuito indicado abaixo, gerador trifsico equilibrado, puramente resistivo, tem-se que: Leitura do ampermetro:15 A, leitura do voltmetro: 230 V, leitura do Vatimetro: 600 watts. E que so gerados sinais de 1 e 3 harmnicas. Pede-se a corrente de linha e a tenso Van.

& & & & & & & I N = I an + I bn + I cn I n = 3.I e H = 15 A I 3 H = 5 A; 230 & & & & & & Vbc = Ec 'b ' ' = Eb Ec Vbc = 3.E1 H = 230 E1 H = = 132,79 volts; 3 600 = 40 volts; W = In.Vqn3 H .cos 0 = 600 Vqn3 H = 15.1 Van = 132,79 2 + 40 2 = 138,68 volts; Van3 = R.I e H R = I 1 H = Van1 H R 40 = 8 ; 5 132,79 = = 16,6 A; 8

I l = 16,6 2 + 5 2 = 17,34 A.

35

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Problemas - Captulo 8 Corcoran

36

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

37

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

38

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

39

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

Respostas dos Problemas - Captulo 8 - Corcoran8.14) VF = 78 V; V12 = 78 V. 8.16) IF6 = 10 A; IF12 = 19,32 A. 8.17) Trs maneiras: b1 + b2 com EL =190,5 V; b1 - b4 com EL = 219,97 V; b1 // (-b4) com EL = 109,99 V. 8.18) Estrla trifsica Malha trifica Ligao bifsica 8.15) VF = 193,19 V; V13 = 193,19 V; V17 = 386,37 V.

8.19) Malha trifsica E =119,06 V;

Estrela trifsica E = 68,74 V.

40

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

8.20)

8.21) Y IL = 6,64 A, P = 2.116 W; IL = 19,92 A, P = 6,348 W.

8.22)

8.23) EL = 80 V. 8.25) IF = 5,75 A; IL = 9,96 A. 8.27) IL = 36,51 A.

8.24) VL = 207,61 V. 8.26) VL = 271,26 V; P = 4.411,76 W.

& 8.28) Ligao : Z F =2,634 + j9,878 ;

& Ligao Y: Z F = 0,878 + j3,293 .

8.29) IL = 16,72 A; P = 2.338,46 W; f p = 0,8076. 8.30) N = 8,73 kVA; fp = 0,958; IL = 22,91 A. 8.31) VL = 279,69 V. 8.32) f p atrasado Q = 5,773 kVArs; f p adiantado Q = 11,547 kVars.

8.33) f p atrasado e C = 96,50 F; f p atrasado e Y C = 289,49 F; f p adiantado e C = 193,01 F; f p adiantado e Y C = 579,02 F. 8.34) VL = 89,64 V; PL = 325,26 W; Pc = 813,14 W. 8.35) EL = 382,59 V. 8.37) VL = 2.385 V. 8.39) a) C= 1,187 F; b) L = 16,60 mH. 8.41)W1 = 8,274 kW; W2 = -3,274 kW. 8.43) Prova. 8.45) N = 2.884,44 VA; f p = 0,2774. 8.48) eL = 127 sen wt + 30 sen (5wt + 40). 8.50) Vab = 2.707,4 V. 8.52) IL = 17,34 A; VAN = 138,68 V.

8.36) EL = 2.091,19 V; P = 76,92 kW; f p = 0,424. 8.38) fo = 820,7 Hz. 8.40)Wa = -127,22 W; Wb = 402,45 W; PF = 91,74 W. 8.42) WR = 529,68; QT = 917,43 VArs; 8.44) a) = 10,89 ; b) = 86,33 . 8.46) IL = 20 A ; f p = 0,6; P = 14.400 W. 8.47) eab = 219,97 sen (wt - 150) + 51,96 sen (5wt - 170) V. 8.49) VM3 = 89,25 V. 8 51) Vbb = 2.056,7 V.

QT = 3. WR

41

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifsicos Equilibrados (Captulo 8 Corcoran)

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Traduo de Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Traduo de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 8, p. 307-353. 2. BOYLESTAD, R. L. Introduo anlise de circuitos. Traduo: Jos Lucimar do Nascimento; reviso tcnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpresso, fev. 2008. Traduo de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 22, p. 663-686. 3. IRWIN, J. D. Anlise de Circuitos em Engenharia. Traduo: Luis Antnio Aguirre, Janete Furtado Ribeiro Aguirre; reviso tcnica: Antnio Pertence Jnior. 4. ed. So Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 848 p. Traduo de: Basic Engineering Circuit Analysis 4 th edition. cap 12. p. 475-549. 4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos eltricos. Traduo: Ronaldo Srgio Biasi. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Traduo de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 11. p. 365-391. 5. ROBBA, E. J. et al. Introduo a sistemas eltricos de Potncia - componentes simtricas. 2. ed. rev. e ampl. So Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpresso, 2007. cap 1. p. 1-105. 6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Anlise de Circuitos Eltricos. Traduo: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpresso 2000. Traduo de Basic electric circuit analysis, John Wiley & Sons, 1990. cap 13. p. 319-343.

42