UMR 5213

UMR 5213

E F

S

E IcosR2

E LcosdS

A

O

x

θ

UMR 5213

S ab

x 2

a2 y 2

b2 1

a h2

tan( m ) tan( m ) h2

sin2m

cos2 m sin2

b a 1sin2

cos2 m

1/ 2

S

O

m

h

O

θ

ba

S

O

mh

E F

S

F

h2 tan2 m

Hypothèses de départ: Eclairement uniformeOn connaît la position de source (h)

etl’ouverture du faisceau (αm)

E F

S

F

ab

UMR 5213

E I

R2cos

R d

cos

E I

d2cos3

cos cos( )cos

SH

P

P’

O

d

R

SP SP '

cos

cos SH

SP

SH SP ' cos( )

E I

d2 cos3( )cos3

SP R

SH d

On connaît la position et l’intensité de la source

Angles et coplanaires

UMR 5213

d dxdy

R2cos

cos h

R

R x 2 y 2 h2

dF I()h

x 2 y 2 h2 3 / 2 dxdy

F q1

h

x 2 y 2 h2 3 / 2 dxdy0

a

0

b

avec x'x /h; y'y /h et a'a /h; b'b /h

F q1

1

x'2 y'2 1 3 / 2 dx'dy0

a '

0

b '

'

dF I()dS

P

x

y

O

a

b

Z

X

Y

d

R

dS

h

F q1 arctana'b'

a'2 b'2 1q1Y1

F q2

2

a'

a'2 1arctan

b'

a'2 1

b'

b'2 1arctan

a'

b'2 1

q2Y2

I() q1

I() q2 cos()

UMR 5213

O

P

m

Ψ

r

Rm

R

h

dE LcosdΨ

dΨ 2rdr cos

R2

R2 h2

cos2 avec r h tan

dΨ 2cosd

dE 2Lsin cosdd

dσ

dσ’

h 0 E L

E 'I

h2 Lrm

2

h2

E ' E

E

rm

h

2

si h 10rm E

E1%

E dE 2Lsin cosd sin2 m0

m

s

sin2 m rm

2

rm2 h2

E Lrm

2

rm2 h2

UMR 5213

cos h

R

dE Lh2 dxdy

(x 2 y 2 h2)2 E Lh2 dy dx1

(x 2 y 2 h2)2

0

a

0

b

E H L

2

b

b2 h2arctan

a

b2 h2

a

a2 h2arctan

b

a2 h2

cos x

R

dE Lhxdxdy

(x2 y2 h2 )2 E Lh dy dx

x

(x2 y2 h2 )2

0

a

0

b

EV L

2arctan

a

h

h

b2 h2arctan

a

b2 h2

Z

X

Y Rh

S

x

y

O

b

a

P

dΨ dxdy

R2cos

R x 2 y 2 h2

dE LcosdΨ

Eclairement Horizontal

Eclairement Vertical

UMR 5213

cos h

R

dE L cos2

R2 dx dE Lh2

(x 2 d2 h2)2 dx

E HT L

2

h2

(d2 h2)

1

d2 h2arctan

d2 h2

2 d2 h2

EV L

2

h

(d2 h2)

2 d2 h2

Eclairement Horizontal

Eclairement Vertical

cos d

R

E HL L

2

hd

(d2 h2)

1

d2 h2arctan

d2 h2

2 d2 h2

E HT

E HL

h

d

Configuration Transversale

Configuration Longitudinale

R

∆

d

h

Z

X

Y

O

P

dS

∆

d

UMR 5213

'h

; 'h

; d'd

hL 2

E '

(d'2 1)

1

d'2 1arctan

'

d'2 1

'

'2 d'2 1

d’

E/δ

’

Δ’

UMR 5213

d’

’=1

E/δ

’

Δ’

’=1

E/δ

’

UMR 5213

z0

y0

P

x0

A

B C

D

E H L

2

x0

z02 x0

2arctan

y0

z02 x0

2

y0

z02 y0

2arctan

x0

z02 y0

2

On pose:

x0

z02 x0

2sin1 arctan

y0

z02 x0

21

y0

z02 y0

2sin2 arctan

x0

z02 y0

22

E H L

21 sin1 2 sin2

Si B et C s'éloignent à l’infini on a:

1 1 1 /2

2 /2 2 0

E H L

4sin1

E

L

4

0,785

UMR 5213

EV L

2arctan

y0

x0

x0

x02 z0

2arctan

y0

x02 z0

2

z0

y0

P

x0

γ

A

B

C

D

On pose:

arctany0

x0

0 arctany0

z02 x0

21

x0

z02 x0

2cosγ1

EV L

20 1 cosγ1 y0/x0=0.1

0.5

1.0

1.52.02.5

z0/x0

E/L

y0/x0

y0/x0 ∞

(EV/L)∞ π/4

UMR 5213

P

A

B

C

DB’

D’

A’

C’

O

Eclairement dû au OB’CC’ = E1

Eclairement dû au OD’DC’ = E2

Eclairement dû au OB’BA’ = E3`

Eclairement dû au OD’AA’ = E4`

EP E1 E2 E3 E4 E1 E4 (E2 E3)

EP L

2cosγd

P

A

B C

B’

D’

A’C’

O

D

Σ

γ

Généralisation(formule de Yamauti)

UMR 5213

dσ1 induira en P2 un éclairement:

dE L1

dσ1

r 2cos1 cos 2

r

P1

P2

dσ1

dσ2

1

2

L1

L2

Σ1

Σ2

Eclairement en P2 dû à Σ1 :

EP 2 L1

cos1 cos2

r2Σ1

dσ1

Flux reçu en P2 :

dFP 2 EP 2dσ 2 L1

cos1 cos2

r2Σ1

dσ1dσ 2

Flux reçu en Σ2 dû à Σ

F21 L1

cos1 cos2

r2Σ1

Σ2

dσ1dσ 2 L1G

Flux reçu en Σ1 dû à Σ:

F12 L2

cos1 cos2

r2Σ2

Σ1

dσ 2dσ1 L2G

Coefficients d’échange (CIE)

g12 F12

M2

g21 F21

M1

Mais M=πL alors

g12 g21 G

F21

F12

L1

L2

UMR 5213

d E L

E S

d

S

L

FR dΣS

SurfaceS

SurfaceApparente

Σ

Flux incidentFI

Flux dans la cavité

FI FR Fabs dΣS

(1 d )

FR

FI

d

ΣS

1 d

ΣS

1

Σ/S

d=0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

g11 S Σ S(1ΣS

)

Coefficient d’auto-échange