Download - Turunan (Differensial)

Transcript
Page 1: Turunan (Differensial)

Bab 23

Diferensial

DIFERENSIAL. Untuk fungsi y = f(x), didefinisikan:(a) dx, disebut diferensial x, dengan hubungan dx = ∆x.(b) dy, disebut diferensial y, dengan hubungan dy = f’(x)dx.Dari definisi, diferensial peubah bebas adalah sama dengan pertambahan peubah tersebut, tetapi diferensial peubah yang bergantung tidak sama dengan pertambahan peubah tersebut. Lihatlah Gambar 23-1 di bawah ini.Contoh 1:Jika y = x2, dy = 2x • dx sedang ∆y = (x + ∆x)2 – x2 = 2x • ∆x + (∆x)2 = 2x dx + (dx)2. Suatu penjelasan geometrik diberikan dalam Gambar 23-2. Terlihat bahwa ∆y dan dy berbeda dengan bujur sangkar kecil dengan luas (dx)2.

Rdx = x

ydy

y

0x

Q

S

P

)(

x

x yy

dyydxx

x y

,

,

,x+ +

++ )(

( )

x

x

x

d x

d x

dxx

dx

x

dx

dx

x

x

( )dx2

( )a

y x= 2

dy x dx=12

dy

x d

x=

1 2

( )d

( )c

Gambar 23-1 Gambar 23-2

DIFERENSIAL dy dapat dicari dengan menggunakan definisi dy = f’(x)dx atau dengan bantuan ketentuan-ketentuan yang langsung diperoleh dari ketentuan-ketentuan untuk mendapatkan turunan. Beberapa di antaranya adalah:d(c) = 0, d(cu) = c du, d(uv) = u dv + v du,

d = , d(sin u) = cos u du, d(ln u) = , dst.

Contoh 2: Cari dy untuk tiap fungsi berikut :(a) y = x3 + 4x2 – 5x + 6

dy = d(x3) + d(4x2) – d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x – 5) dx(b) y = (2x3 + 5)3/2

dy = (2x3 + 5)1/2 d(2x3 + 5) = (2x3 + 5)1/2 • 6x2 dx = 9x2(2x3 + 5)1/2 dxLihat Soal-soal 1-5

PENDEKATAN DENGAN DIFERENSIAL. Jika dx = ∆x relatif kecil bila dibandingkan dengan x, dy adalah pendekatan yang cukup baik untuk ∆y.Contoh 3:Ambillah y = x2 + x + 1 dan misalkan x berubah dari x = 2 menjadi x = 2,01. Perubahan y yang sebenarnya adalah ∆y = [(2,01)2 + 2,01 + 1] – [22 + 2 + 1] = 0,0501. Pendekatan perubahan y, yang diperoleh dengan mengambil x = 2 dan dx = 0,01, adalah dx = 0,01, adalah dy = f’(x) dx = (2x + 1)dx = [2(2) + 1] 0,01 = 0,05.

Lihat Soal-soal 6-10PENDEKATAN AKAR-AKAR PERSAMAAN. Misalkan x = x1 adalah pendekatan yang cukup dekat dari akar r persamaan y = f(x) = 0 dan misalkan f(x1) = y1 ≠ 0. Maka y1

Page 2: Turunan (Differensial)

berbeda dari 0 dengan jumlah yang kecil. Sekarang jika x1 diubah ke r, perubahan yang bersangkutan dalam f(x1) adalah ∆y1 = -y1. Pendekatan perubahan ini dalam x1 diberikan

oleh f’(x1)dx = -y1 atau dx1 = - . Jadi, pendekatan kedua dan lebih baik dari akar r

adalah x2 = x1 + dx1 = x1 - = x1 - . Pendekatan ketiga adalah x3 = x2 + dx2 =

x2 - , dan seterusnya.

x

y

0 x2( ),0

00 ( ),x1( ),P r

x1, f ( )( )x1Q

Gambar 23-3Jika x1 tidak merupakan pendekatan yang cukup dekat dari suatu akar, maka akan terlihat bahwa x2 berbeda jauh dari x1. Walaupun proses ini dari waktu ke waktu memperbaiki dirinya sendiri, akan lebih mudah untuk membuat pendekatan pertama yang baru.

Lihat Soal-soal 11-12

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari dy untuk tiap-tiap fungsi berikut:

(a) y = .

dy =

= = dx

(b) y = cos2 2x + sin 3x.dy = 2 cos 2x d(cos 2x) + d(sin 3x) = 2 cos 2x(-2 sin 2x dx) + 3 cos 3x dx

= -4 sin 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (-2 sin 4x + 3 cos 3x) dx

(c) y = e3x + arc sin 2x. dy = (3e3x + 2/ ) dx

Diferensiasi Soal-soal 2-5, dg menggunakan diferensial, dan dapatkan dy/dx.2. xy + x – 2y = 5.

d(xy) + d(x) – d(2y) = d(5).

x dy + y dx + dx – 2 dy = 0 atau (x – 2) dy + (y + 1) dx = 0. Maka = - .

3. x3y2 – 2x2y + 3xy2 – 8xy = 6.

Page 3: Turunan (Differensial)

2x3y dy + 3x2y2 dx – 2x2 dy – 4xy dx + 6 xy dy + 3y2 dx – 8x dy – 8y dx = 0

=

4. - = 8. 2 - 3 = 0 dan =

5. x = 3 cos θ – cos 3θ, y = 3 sin θ – sin 3θ.

dx = (-3 sin θ + 3 sin 3θ)dθ, dy = (3 cos θ – cos 3θ)dθ, dan =

6. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) , (b) sin 60o1’.

(a) Untuk y = x1/3, dy = dx. Ambil x = 125 = 53 dan dx = -1. Maka dy =

(-1) = = -0,0133 dan secara pendekatan = y + dy = 5 –

0,0133 = 4,9867.(b) Untuk x = 60o dan dx = 1’ = 0,0003 rad, y = sin x = /2 = 0,866 03 dan dy = cos

x dx = ½(0,0003) = 0,000 15. Maka secara pendekatan sin 60o1’ = 0,866 03 + 0,000 15 = 0,866 18.

7. Hitung ∆y, dy, dan ∆y – dy, bila y = x2 + 3x, x = 2, dan dx = 0,5

∆y = { (2,5)2 + 3(2,5)} – { (2)2 + 3(2)} = 2,625∆y = (x + 3)dx = (2 + 3)(0,5) = 2,5 ∆y – dy = 2,625 – 2,5 = 0,125.

8. Cari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan oleh pertambahan sisi-sisinya dengan 1%.V = x3 dan dV = 3x2 dx. Jika dx = 0,01x, dV = 3x2(0,01x) = 0,03x3 cm3.

9. Cari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameter dalam adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m-3.Mula-mula cari perubahan volume jika jari-jari r = 1/80 diubah dengan dr = 1/400 m.V = 2πr2 dan dV = 4πr dr = 4π(1/80)(1/400) = π/8000 m3

Massa yang ditanyakan adalah 8800(π/8000) = 3,46 kg.10. Untuk nilai x berapa dapat dipakai sebagai ganti , jika kesalahan yang

diperbolehkan harus lebih kecil dari 0,001?Jika y = x1/5 dan dx = 1, dy = x-4/5dx = x-4/5.

Jika x-4/5 < 10-3, maka x-4/5 < 5 • 10-3 dan x-4 < 55 • 10-15.

Jika x-4 < 10 • 55 • 10-16, maka x4 > dan x > = 752,1.

11. Dekati akar-akar (riil) dari x3 + 2x – 5 = 0 atau x3 = 5 – 2x.(a) Pada sumbu-sumbu sama, gambar grafik y = x3 dan y = 5 – 2x.

Absis titik-titik potong kurva adalah akar-akar persamaan yang diketahui.Dari grafik, terlihat bahwa ada satu akar yang nilai pendekatannya adalah x1 = 1,3.

(b) Pendekatan kedua akar ini adalah

x2 = x1 - = 1,3 - = 1,3 - = 1,3 + 0,03 = 1,33

Page 4: Turunan (Differensial)

Pembagian dilakukan untuk mencapai dua desimal, karena hanya ada satu nol yang segera mengikuti titik desimal. Ini sejalan dengan teorema: Jika dalam suatu pembagian, k buah buah nol segera mengikuti titik desimal dalam hasil bagi, maka pembagian dapat dilakukan sampai 2k desimal.

(c) Pendekatan ketiga dan keempat adalah:

x3 = x2 - = 1,33 - = 1,33 – 0,0017 = 1,3283

x4 = x3 - = 1,3283 – 0,00003114 = 1,32826886

12. Dekati akar-akar 2 cos x – x2 = 0.(a) Kurva-kurva y = 2 cos x dan y = x2 berpotongan pada dua titik yang absisnya

adalah kira-kira 1 dan -1. Perhatikan bahwa jika r adalah suatu akar, maka –r adalah akar yang lain.

(b) Dengan menggunakan x1 = 1: x2 = 1 - = 1 + = 1 +

0,02 = 1,02.

(c) x3 = 1,02 - = 1,02 + = 1,02 + 0,0017 = 1,0217.

Jadi, sampai empat desimal, akar-akarnya adalah 1,0217 dan -1,0217.

Soal-soal Tambahan13. Cari dy untuk tiap fungsi berikut.

(a) y = (5 – x)3 Jawab: -3(5 – x)2 dx (d) y = cos bx2 Jawab: -2bx sin bx2 dx

(b) y = Jawab: 8 dx (e) y = arc cos 2x Jawab: dx

(c) y = (sin x)/x Jawab: dx (f) y = ln tan x Jawab:

14. Cari dy/dx seperti dalam Soal-soal 2-5.

(a) 2xy3 + 3x2y = 1 Jawab: - (c) arc tan = ln (x2 + y) Jawab:

(b) xy = sin (x – y) Jawab: (d) x2 ln y + y2 ln x = 2 Jawab: -

15. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) , (b) , (c) cos 59o, (d) tan 44°.Jawab: (a) 2,0315, (b) 3,99688, (c) 0,5151, (d) 0,9651

16. Gunakan diferensial untuk mendekati perubahan dalam (a) x3 jika x berubah dari 5 ke 5,01; (b) 1/x jika x berubah dari 1 ke 0,98. Jawab: (a) 0,75, (b) 0,02

17. Suatu keping lingkaran muai karena pengaruh panas sehingga jari-jarinya bertambah dari 12,5 cm ke 12,65 cm. Carilah pertambahan luas yang didekati. Jawab: 3,75π = 11,79 cm2

Page 5: Turunan (Differensial)

18. Suatu bola es jari-jari 10 cm menyusut hingga jari-jarinya 9,8 cm. Dekati pengurangan dalam (a) volume dan (b) luas permukaan. Jawab: (a) 80π cm3, (b) 16π cm2

19. Kecepatan (v ms-1) yang dicapai sebuah benda yang jatuh bebas dari jarak h m

diberikan oleh v = . Carilah kesalahan dalam v karena kesalahan 0,15 m pada

pengukuran h sebesar 30 m. Jawab: 0,061 ms-1

20. Jika pilot terbang mengelilingi bumi pada jarak 2 km di atas khatulistiwa, berapa km lebih banyak yang ditempuhnya dibandingkan seseorang yang melintas sepanjang khatulistiwa? Jawab: 12,6 km

21. Jari-jari suatu lingkaran harus diukur kemudian luasnya dihitung. Jika jari-jarinya dapat diukur sampai 0,001 cm dan luasnya harus mempunyai ketepatan 0,1 cm2, carilah jari-jari maksimum dimana proses ini dapat digunakan. Jawab: Sekitar 16 cm

22. Jika pV = 20 dan p diukur sebesar 5 ± 0,02, carilah V. Jawab: V = 4 ± 0,01623. Jika F = 1/r2 dan F diukur sebesar 4 ± 0,05, carilah r. Jawab: 0,5 ± 0,00324. Carilah perubahan dalam permukaan total suatu kerucut lingkaran total jika (a) jari-

jarinya tetap sedang tingginya berubah dengan jumlah yang kecil, (b) tingginya tetap sedang jari-jarinya berubah dengan jumlah yang kecil.

Jawab: (a) , (b) π dr

25. Cari sampai 4 desimal, (a) akar riil dari x3 + 3x + 1 = 0, (b) akar terkecil dari e-x = sin x, (c) akar x2 + ln x = 2, (d) akar x – cos x = 0.Jawab: (a) -0,32222, (b) 0,5885, (c) 1,3141, (d) 0,7391

Page 6: Turunan (Differensial)

Bab 24Penjejakan Kurva

SUATU KURVA ALJABAR BIDANG adalah kurva yang persamaannya dapat ditulis dalam bentuk

ayn + (bx + c)yn-1 + (dx2 + ex + f)yn-2 + . . . un(x) = 0dengan un(x) adalah suatu polinomial dalam x dengan derajat n. Sifat kurva aljabar dibahas di bawah ini.

SIMETRI. Suatu kurva adalah simetrik terhadap(1) sumbu-x; jika persamaannya tidak berubah jika y diganti oleh –y.(2) sumbu-y; jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh –x.(3) titik asal, jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh –x dan y oleh –y secara

serentak(4) garis y = x, jika persamaannya tidak berubah jika x dan y saling ditukarkan.

TITIK-TITIK POTONG. Titik-titik potong-x diperoleh dengan mengambil y = 0 dalam persamaan dan mencari x. Titik-titik potong y diperoleh dengan mengambil x = 0 dan mencari y.

LINGKUP. Lingkup horisontal diberikan oleh jangkauan x, yaitu selang x dimana kurva ada. Lingkup vertikal suatu kurva diberikan oleh jangkauan y. Suatu titik (x0, y0) disebut titik terisolasi dari kurva jika koordinatnya memenuhi persamaan kurva, sedang titik-titik lain di dekatnya tidak.

TITIK-TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM. Titik balik, dan kecekungan. Ini telah dibahas dalam Bab 8.

ASIMPTOT. Sebuah asimptot suatu kurva yang tak berhingga lingkupnya adalah sebuah garis yang kedudukannya didekati sebagai limit oleh suatu sekan pada kurva, bila dua buah titik potongnya dengan kurva menyusut secara tak tentu sepanjang kurva.Suatu kurva akan mempunyai asimptot vertikal jika, bila persamaannya ditulis dalam bentuk di atas, koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah fungsi x yang tak konstan yang mempunyai satu atau lebih faktor linear (riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada sebuah asimptot vertikal.Suatu kurva akan mempunyai asimptot horisontal jika, bila persamaannya ditulis dalam bentuk axn + (by + c)xn-1 + (dy2 + ey + f)xn-2 + . . . = 0, koefisien x dengan pangkat tertinggi adalah fungsi y yang tak konstan yang mempunyai satu atau lebih faktor linear (riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada sebuah asimptot horisontal.Untuk memperoleh persamaan asimptot miring:(1) Ganti y dengan mx + b dalam persamaan kurva dan susun hasilnya dalam bentuk

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an-1x + an = 0(2) Pecahkan secara serentak persamaan a0 = 0 dan a1 = 0 untuk m dan b.(3) Untuk tiap pasangan pemecahan m dan b, tulis persamaan suatu asimptot y = mx +

b. Jika a1 = 0, berapapun nilai b, persamaan a0 = 0 dan a2 = 0 harus dipergunakan dalam (3).

Page 7: Turunan (Differensial)

TITIK-TITIK SINGULAR. Suatu titik singular kurva aljabar adalah sebuah titik dimana dy/dx mempunyai bentuk tak tentu 0/0.

Untuk menentukan titik singular suatu kurva, dapatkan = , tanpa

menyederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama, dan cari akar-akar yang sama dari g(x) = 0 dan h(x) = 0.Jika (x0, y0) adalah titik singular kurva, penelitian lebih lanjut disederhanakan dengan mensubstitusi x = x’ + x0, y = y’ + y0. Sekarang dalam sistem koordinat yang baru titik singular adalah titik (0, 0).

TITIK SINGULAR DI TITIK ASAL. Jika titik asal adalah suatu titik pada suatu kurva, persamaannya dapat ditulis dalam bentuk(a1x + b1y) + (a2x2 + b2xy + c2y2) + (a3x3 + b3x2y + c3xy2 + d3y3) + . . . = 0Jika a1 = b1 = 0, titik asal adalah titik singular kurva.Jika a1 = b1 = 0, tetapi tidak semua a2, b2, c2 adalah nol, titik singular disebut titik ganda.Jika a1 = b1 = a2 = b2 = c2 = 0, tetapi tidak semua a3, b3, c3, d3 adalah nol, titik singular disebut titik rangkap tiga, dan seterusnya.

KLASIFIKASI TITIK GANDA DI TITIK ASALA. Kasus: c2 ≠ 0

(1) Ganti y dengan mx dalam suku-suku a2x2 + b2xy + c2y2 untuk memperoleh (c2m2 + b2m + a2)x2.

(2) Pecahkan c2m2 + b2m + a2 = 0 untuk m.Jika akar-akar m1 dan m2 adalah riil dan berbeda, kurva mempunyai dua tangent yang berbeda y = m1x dan y = m2x di titik asal dan titik ganda adalah suatu simpul.Jika akar-akar adalah riil dan sama, kurva pada umumnya mempunyai tangen tunggal di titik asal dan di titik ganda tersebut(a) cusp, bila kurva tidak terus ke titik asal.(b) tacnode, bila kurva terus lewat titik asal.Dalam kasus-kasus luar biasa, titik asal dapat merupakan titik yang terisolasi. Jika akar-akarnya adalah khayal, titik asal adalah titik ganda terisolasi.

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

Node Cusp Cusp Tacnode Isolated PointGambar 24-1

B. Kasus: c2 = 0, a2 ≠ 0.Ganti x dengan ny dalam suku-sukunya a2x2 + b2xy dan lanjutkan seperti di A.

C. Kasus: a2 = c2 = 0, b2 ≠ 0Titik asal adalah suatu simpul, kedua tangen di sana adalah sumbu-sumbu koordinat.

Soal-soal yang Dipecahkan

Page 8: Turunan (Differensial)

ASIMPTOT1. Cari persamaan asimptot dari y2(1 + x) = x2(1 - x).

Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (1 + x); garis x + 1 = 0 adalah asimptot vertikal. Tidak ada asimptot horizontal karena koefisien x dengan pangkat tertinggi adalah konstanta.Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh

(m2 + 1)x3 + (m2 + 2mb -1)x2 + b(b + 2m)x + b2 = 0 (1)Pemecahan serentak koefisien-koefisien dari x dengan kedua pangkat tertinggi disamakan dengan nol.

m2 + 1 = 0 dan m2 + 2mb – 1 = 0adalah khayal. Tidak ada asimptot miring. (Lihatlah Gambar 24-2 di halaman 129).

2. Cari persamaan asimptot x3 + y3 – 6x2 = 0.Tidak ada asimptot horisontal maupun vertikal karena koefisien x dan y dengan

pangkat tertinggi adalah konstanta. Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk mendapatkan

(m3 + 1)x3 + 3(m2b – 2)x2 + 3mb2x + b3 = 0 (1)Pecahkan secara serentak m3 + 1 = 0 dan m2b – 2 = 0: m = -1, b = 2. Persamaan asimptot adalah y = -x + 2.Jika m = -1 dan b = 2 disubstitusikan ke dalam (1), persamaan menjadi -12x + 8 = 0. Maka x = 2/3 adalah absis titik potong berhingga dari kurva dengan asimptotnya (lihatlah gambar 24-3 di halaman 130).

3. Cari persamaan asimptot dari y2(x – 1) – x3 = 0.Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (x – 1), garis x – 1 = 0 adalah suatu

asimptot vertikal. Tidak ada asimptot horisontal.Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b, untuk mendapatkan

(m2 – 1)x3 + m(2b – m)x2 + b(b – 2m)x – b2 = 0 (1)Pecahkan secara serentak m2 – 1 = 0 dan m(2b – m) = 0: m = 1, b = dan m = -1, b

= - .

Persamaan-persamaan asimptot adalah y = x + dan y = -x -

Asimptot y = x + memotong kurva di titik terhingga yang absisnya diberikan oleh

( - 2)x - = 0, yaitu x = - . Absis titik potong terhingga dari kurva dan asimptot

y = -x - adalah juga - . (Lihat Gambar 24-4 di bawah).

TITIK-TITIK SINGULAR4. Selidiki y2(1 + x) = x2(1 – x) untuk titik-titik singular.

Suku-suku dengan derajat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.Karena c2 ≠ 0, artinya suku y2 ada, ganti y dengan mx dalam suku-suku y2 – x2 dan samakan koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 – 1 = 0.Maka m = ± 1 dan garis y = x dan y = -x adalah tangen pada kurva di titik asal. Titik asal adalah simpul. (Lihat Gambar 24-2 di halaman 129).

5. Selidiki x3 + y3 – 6x2 = 0 untuk titik-titik singular.Suku derajat terendah adalah derajat dua, titik asal adalah titik ganda.Karena c2 = 0, ganti x dengan ny dalam suku-suku derajat terendah dan samakan koefisien y2 dengan nol untuk memperoleh n2 = 0. Terdapat tangen tunggal x = 0, pada kurva di titik asal.

Page 9: Turunan (Differensial)

Titik ganda adalah sebuah cusp, karena jika y = -ξ, persamaan x3 – 6x2 – ξ3 = 0, dari aturan tanda Descartes, mempunyai satu akar positif dan dua akar khayal, dan kurva tidak meneruskan ke titik asal. (Lihat Gambar 23-3 di halaman 130).

6. Selidiki y2(x – 1) – x3 = 0 untuk titik-titik singular.Suku-suku deraat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.Karena c2 ≠ 0, ganti y dengan mx dalam suku-suku derajat terendah dan samakan koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 = 0. Titik asal adalah cusp, karena untuk x < 0, y terdefinisikan, tetapi untuk 0 < x < 1, y adalah khayal. (Lihat Gambar 24-4 di halaman 130).

7. Selidiki y2(x2 – 4) = x4 untuk (a) titik-titik singular dan (b) asimptot.(a) Titik asal adalah titik ganda. Karena a2 = b2 = 0 dan c2 ≠ 0, hasil substitusi y = mx

dan menyamakan dengan nol adalah m2 = 0, Titik asal adalah titik ganda terisolasi karena untuk x dekat 0, y adalah khayal.

(b) Garis-garis x = 2 dan x = -2 adalah asimptot vertikal.Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh

(m2 – 1)x4 + 2mbx3 + (b2 – 4m2)x2 – 8mbx – 4b2 = 0Pecahkan secara serentak m2 – 1 = 0 dan mb = 0: m = 1, b = 0 dan m = -1, b = 0. Persamaan asimptot adalah y = x dan y = -x.Asimptot miring memotong kurva di titik asal. (Lihat Gambar 24-5 di halaman 130).

PENJEJAKAN KURVA8. Bahas dan gambar kurva y2(1 + x) = x2(1 – x).

Simetri. Kurva simetrik terhadap sumbu-x.Titik potong. Titik potong-x adalah x = 0 dan x = 1. Titik potong-y adalah y = 0.Lingkup. Kurva ada dalam selang -1 < x 1 dan untuk semua nilai y.Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya. Kurva terdiri dari dua cabang

-1 1

0x

y

y x x x2( )+1 12= ( )-

Gambar 24-2

y = dan y = - . Untuk yang pertama, = dan

=

Nilai-nilai kritis adalah x = 1 dan (-1 + )/2. Titik,

adalah titik maksimum. Tidak ada titik balik. Cabang adalah cekung ke bawah.

Page 10: Turunan (Differensial)

Dari simetri, ada titik minimum di dan cabang

kedua adalah cekung ke atas.Asimptot. Dari Soal 1, garis x = -1 adalah asimptot vertikal.Titik-titik Singular. Dari Soal 4, titik asal adalah sebuah simpul, (titik ganda atau simpul) tangen adalah garis-garis y = x dan y = -x.

9. Bahas dan gambar kurva y3 – x2(6 – x) = 0. Lihat Gambar 24-3 di halaman 130.Simetri. Tidak ada simetri.Titik potong. Titik potong adalah x = 0, x = 6 dan y = 0.Lingkup. Kurva ada untuk semua nilai x dan y.

Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya. = dan =

.

Nilai-nilai kritis adalah x = 0, 4, 6; (0, 0) adalah titik minimum dan (4, 2 ) adalah titik maksimum. Titik (6, 0) adalah titik balik, kurva adalah cekung ke bawah ke kiri dan cekung ke atas ke kanan.Asimptot. Dari Soal 2, garis y = -x + 2 adalah asimptot.Titik-titik Singular. Dari Soal 5, titik asal adalah cusp, tangen (cuspidal) adalah sumbu-y.

0

y

x

2

2 4 6

y

x1

0

x3 + y3 - 6x2 = 0 y2(x – 1) – x3 = 0Gambar 24-3 Gambar 24-4

10. Bahas dan gambar kurva y2(x – 1) – x3 = 0. Lihat Gambar 24-4 di atas.Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x.Titik potong. Titik potong adalah, x = 0 dan y = 0.Lingkup. Kurva ada pada selang -∞ < x < 0 dan x > 1, dan untuk semua nilai y.

Titik-titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk cabang y = x , =

dan =

Nilai-nilai kritis adalah x = 0 dan 3/2. Titik (3/2, 3 /2) adalah titik minimum. Tidak ada titik balik.

Page 11: Turunan (Differensial)

Cabang cekung ke atas. Dari simetri, ada titik maksimum (3/2, -3 /2) pada cabang

y = -x dan cabang adalah cekung ke bawah.

Asimptot. Dari Soal 3, garis x = 1, y = x + , dan y = -x - adalah asimptot.Titik Singular. Dari Soal 6, titik asal adalah cusp, garis y = 0 adalah tangen (cuspidal).

11. Bahas dan gambar kurva y2(x2 – 4) = x4.Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-sumbu koordinat titik asal.Titik potong. Titik-titik potong adalah x = 0 dan y = 0.Lingkup. Kurva ada dalam selang -∞ < y -4 dan 4 y < +∞. Titik (0, 0) adalah titik terisolasi.

Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk bagian y = , x > 2, =

dan =

Nilai kritis adalah x = 2 . Bagian ini cekung ke atas dan (2 , 4) adalah titik minimum.Dari simetri, ada titik minimum di (-2 , 4) dan titik–titik maksimum di (2 , -4).Asimptot, Titik Singular. Lihat Soal 7.

- 2 2

0

y

x

y2(x2 – 4) = x4

Gambar 24-512. Bahas dan gambar kurva (x + 3)(x2 + y2) = 4.

Mula-mula tentukan titik singular, bila ada, dan jadikan titik singular sebagai titik asal baru sebelum membuat analisis.

= - . Jika x = -2, y = 0 dan mempunyai bentuk

tak tentu , titik (-2, 0) adalah titik singular.

Dengan transformasi x = x’ – 2, y = y’, persamaan menjadi y’2(x’ + 1) + x’2 – 3x2 = 0.Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x’.Titik potong. Titik-titik potong adalah x’ = 0, x’ = 3 dan y’ = 0.Lingkup. Kurva didefinisikan dalam selang -1 < x’ 3 dan untuk semua nilai y’.Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain.

Page 12: Turunan (Differensial)

Dari cabang y’ =

= dan =

Nilai-nilai kritis adalah x’ = dan 3. Titik adalah titik maksimum.

Cabang adalah cekung ke bawah.

Dari simetri, adalah titik minimum pada cabang lain yang cekung ke

atas.Asimptot. Garis x’ = -1 adalah asimptot vertikal. Untuk asimptot miring, ganti y’ dengan mx’ + b untuk mendapatkan (m2 + 1)x’2 + . . . = 0. Tidak ada asimptot miring. Mengapa?Titik Singular. Titik asal adalah titik ganda jika y’ diganti oleh mx’ dalam suku-suku derajat terendah y’2 – 3x’2, hasilnya adalah (m2 – 3)x’2. Dari m2 – 3 = 0, m = ± dan

tangen (simpul) adalah y’ = ± x’.

Dalam koordinat yang mula-mula, adalah titik maksimum dan

adalah titik minimum. Garis x = -3 adalah asimptot vertikal.

Titik (-2, 0) adalah simpul, persamaan tangen (simpul) adalah y = ± (x + 2).

x’ = - 1x = - 3

yy’

xx’0 1

(-2, 0)

(x + 3)(x2 + y2) = 4Gambar 24-6

Soal-soal Tambahan

Bahas dan gambar masing-masing kurva berikut.13. (x – 2)(x – 6)y = 2x2

14. x(3 – x2)y = 115. (1 – x2)y = x4

16. xy = (x2 – 9)2

17. 2xy = (x2 – 1)3

18. x(x2 – 4)y = x2 – 619. y2 = x(x2 – 4)

Page 13: Turunan (Differensial)

20. y2 = (x2 – 1)(x2 – 4)21. xy2 = x2 + 3x + 222. (x2 – 2x – 3)y2 = 2x + 323. x(x – 1)y = x2 – 424. (x + 1)(x + 4)2y2 = x(x2 – 4)25. y2 = 4x2(4 – x2)26. y2 = 5x4 + 4x5

27. y3 = x2(8 – x2)28. y3 = x2(3 – x)29. (x2 – 1)y3 = x2

30. (x – 3)y3 = x4

31. (x – 6)y2 = x2(x – 4)32. (x2 – 16)y2 = x3(x – 2)33. (x2 + y2)2 = 8xy34. (x2 + y2)3 = 4x2y2

35. y4 – 4xy2 = x4

36. (x2 + y2)3 = 4xy(x2 – y2)37. y2 = x(x – 3)2

38. y2 = x(x – 2)3

39. 3y4 = x(x2 – 9)3

40. x3y3 = (x – 3)2

Page 14: Turunan (Differensial)

Bab 25

Rumus-rumus Integrasi Dasar

JIKA F(x) ADALAH SEBUAH FUNGSI yang turunan F’(x) = f(x) pada selang tertentu dari sumbu-x, maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari f(x). Integral tak tentu dari suatu fungsi tidak unik; sebagai contoh x2, x2 + 5, x2 – 4 adalah integral tak

tentu dari f(x) = 2x karena (x2) = (x2 + 5) = (x2 – 4) = 2x. Semua integral tak

tentu dari f(x) = 2x kemudian dicakup dalam x2 + C, dengan C disebut konstanta integrasi, adalah konstanta sebarang.

Simbol dx digunakan untuk menyatakan bahwa integral tak tentu dari f(x) harus

dicari. Jadi ditulis = x2 + C.

RUMUS-RUMUS INTEGRASI DASAR. Sejumlah rumus-rumus di bawah segera timbul dari rumus-rumus diferensiasi standar dalam bab-bab sebelum ini, sedang rumus 25 misalnya dapat diperiksa dengan menunjukkan bahwa

=

Tanda nilai mutlak muncul dalam beberapa rumus. Sebagai contoh, ditulis

5. = ln │u│ + C

sebagai ganti

5(a). = ln u + C, u > 0 5(b). = ln (-u) + C, u < 0

dan

10. = ln │sec u│ + C

sebagai ganti

10(a). = ln sec u + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u 1

10(b). = ln (-sec u) + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u -1

1. dx = f(x) + C

2. = +

3. = , a konstanta sebarang

4. = + C, m ≠ -1

5. = ln │u│ + C

6. = + C, a > 0, a ≠ 1

Page 15: Turunan (Differensial)

7. = eu + C

8. = -cos u + C

9. = sin u + C

10. = ln │sec u│ + C

11. = ln │sin u│ + C

12. = ln │sec u + tan u│ + C

13. = ln │csc u - cot u│ + C

14. = tan u + C

15. = -cot u + C

16. = sec u + C

17. = -csc u + C

18. = arc sin + C

19. = arc tan + C

20. = arc sec + C

21. = ln + C

22. = ln + C

23. = ln (u + ) + C

24. = ln │u + │ + C

25. du = u + a2 arc sin + C

26. du = u + a2 ln (u + ) + C

27. du = u + a2 ln │u + │ + C

Soal-soal Dipecahkan

1. = + C

Page 16: Turunan (Differensial)

2. = = + C = - + C

3. dz = = + C = z4/3 + C

4. = dx = + C = 3x1/3 + C

5. = 2 - 5 + 3 = - + 3x + C

6. dx = dx = - = - + C

7. = = 9 + 24 + 16s + C = 3s3 + 12s2 +

16s + C

8. dx = dx = x2 + 5x - + C = x2 + 5x + + C

9. Hitung: (a) • 3x2 dx, (b) 1/2x2 dx, (c) , (d)

. Ambil x3 + 2 = u; maka du = 3x2 dx.

(a) • 3x2 dx = du = u3 + C = (x3 + 2)3 + C

(b) 1/2x2 dx = • 3x2 dx = = • + C = (x3 +

2)3/2 + C

(c) = 8• -3 3x2 dx = = - + C = -

+ C

(d) dx = -1/43x2 dx = = • u3/4 + C = (x3 + 2)3/4

+ C

10. Hitung dx. Ambil 1 – 2x2 = u; maka du = -4x dx.

dx = 3 1/2(-4x dx) = -

= - • u3/2 + C = - (1 – 2x2)3/2 + C

11. Hitung . Ambil x2 + 6x = u; maka du = (2x + 6) dx.

= -1/3(2x + 6) dx =

Page 17: Turunan (Differensial)

= • u2/3 + C = (x2 + 6x)2/3 + C

12. x dx = - 1/3(-2x dx) = - • 4/3 + C = - 4/3 + C

13. dx = dx = - (-4x dx)

= - • + C = - + C

14. dx = dx = dx = 2x1/2 + x3/2 + x5/2 + C

15. dx = dx = x + + C’ = + 1 + C’ = + C

RUMUS-RUMUS 5-7

16. = ln │x│ + C

17. = = ln │x + 2│ + C

18. = ln │u│ + C = ln │2x - 3│ + C, dengan u = 2x – 3 dan du = 2 dx atau

= = ln │2x - 3│ + C

19. = = ln │x2 - 1│ + C = ln │x2 - 1│ + ln c = ln c

20. = - = - ln │1 – 2x3│ + C = ln

21. dx = dx = x + ln │x + 1│ + C

22. = - (-dx) = -e-x + C

23. dx = (2 dx) = + C

24. dx = (3 dx) = + C

25. = - = -e1/x + C

Page 18: Turunan (Differensial)

26. ex dx = = + C = + C dengan u = ex + 1 dan du = ex

dx, atau ex dx = = + C

27. = = - = -ln (1 + e-x) + C = ln + C = x – ln (1 + ex) +

CTanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena 1 + c-x > 0 untuk semua nilai x.

RUMUS-RUMUS 8-17

28. dx = 2 • = -2 cos + C

29. = • 3 dx = sin 3x + C

30. cos x dx = (cos x dx) = d(sin x) = + C

31. = dx = - = -ln │cos x│+ C = ln │sec x│+ C

32. = • 2 dx = ln │sec 2x│+ C

33. dx = • 2x dx = ln │sec 2x│+ C

34. dx = dx = dx = ln │sec x + tan x│+

C

35. = 2 • x-1/2 dx = 2 ln│sec + tan │ + C

36. dx = • 2a dx = + C

37. dx = dx = ln│sec x│+ x + C

38. = sec y dy = sec y + C

39. dx = dx = dx = tan x + 2 ln │sec

x│ + C

40. ex dx = • ex dx = sin ex + C

41. dx = - (-6 sin 2x dx) = - + C

Page 19: Turunan (Differensial)

42. = dx = dx = dx = -cot x + csc x

+ C

43. dx = dx

= dx = tan 2x + sec 2x – x + C

44. du = = = = ln │tan u│ + C

45. dx = dx = tan 4x - ln│sec 4x + tan 4x│+ x +

C

46. = = ln│a + b sec x│+ C

47. = = = ln(1 – cos 2x) + C’

RUMUS-RUMUS 18-20

48. = arc sin x + C

49. = arc tan x + C

50. = arc sec x + C

51. = arc sin + C

52. = arc tan + C

53. = = arc sin + C

54. = = arc tan + C

55. = = arc sec + C

56. = = arc sin x3 + C

57. = = • arc tan + C = arc tan + C

Page 20: Turunan (Differensial)

58. = = arc sec x2 + C = arc cos + C

59. = arc sin + C

60. = = arc tan ex + C

61. dx = dx = - 4x + 4 arc tan x + C

62. = = arc tan + C

63. = + 3 = - + arc sin x + C

64. = - 7 = ln (x2 + 9) - arc tan + C

65. = = = arc tan + C

66. = = = arc sin + C

67. = = = arc tan + C

68. dx = dx = dx = + 3

= + 3 = ln (x2 – 4x + 8) + arc tan +

CTanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena x2 – 4x + 8 > 0 untuk semua nilai x.

69. = = = arc sin + C

70. dx = - dx = - dx

= - dx +

= - dx +

Page 21: Turunan (Differensial)

= - + arc sin + C

71. dx = dx = dx +

= ln (9x2 – 12x + 8) + arc tan + C

72. dx = - dx = - dx

= - dx + 4 = - + 4 arc sin + C

RUMUS-RUMUS 21-24

73. = ln + C

74. = ln + C

75. = ln + C

76. = ln + C

77. = ln (x + ) + C

78. = ln │x + │ + C

79. = = ln (2x + ) + C

80. = = ln │3z + │ + C

81. = = ln + C

82. = = ln + C

83. = = ln + C = ln + C

84. = = ln + C = ln + C

Page 22: Turunan (Differensial)

85. = = ln │s + 2 + │ + C

86. dx = dx = + 2

= + 2 ln (x + ) + C

87. dx = dx = -

= ln │4x2 - 11│ - ln + C

88. dx = dx = dx +

= + ln │x + 1 + │ + C

89. = - dx = - dx +

= - ln │4x2 + 4x - 3│ + ln + C

RUMUS-RUMUS 25-27

90. dx = x + arc sin + C

91. dx = • 2 dx = + C

= x + arc sin + C

92. dx = x - 18 ln │x + │ + C

93. dx = • dx

= + C

= x + ln ( x + ) + C

94. dx = dx = + 2 arc sin + C

95. dx = • 2 dx

Page 23: Turunan (Differensial)

= + C

= + C

Soal-soal Tambahan

Lakukanlah integrasi-integrasi berikut ini.

96. dx = x4 + x3 + x2 + 5x + C

97. dx = 3x – x2 – x5/5 + C

98. dx = 2x – 3x2/2 + x4/4 + C

99. dx = x5/5 – 2x3/3 + x + C

100. dx = x2/3 - x2 + 4x1/2 + C

101. dx = (a + x)4 + C

102. dx = (x – 2)5/2 + C

103. = - + C

104. = - + C

105. = 2 + C

106. dx = (3x – 1)3/2 + C

107. dx = - (2 – 3x)3/2 + C

108. dx = (2x2 + 3)4/3 + C

109. dx = x4 - x3 + x2 + C

110. x dx = (x2 – 1)2 + C

111. y3 dy = (1 + y4)3/2 + C

112. x2 dx = (x3 + 3)2 + C

113. x2 dx = x3 - x5 + x7 + C

114. = + C

115. = - + C

Page 24: Turunan (Differensial)

116. dx = x - x4 + x7 + C

117. x dx = x2 - x5 + x8 + C

118. x2 dx = - (1 – x3)3 + C

119. (2x – 1) dx = (x2 – x)5 + C

120. = (t2 + 3)2/3 + C

121. = + C

122. = (a + bx)2/3 + C

123. dx = (1 + )3 + C

124. dx = 2x3/2(1 – x) + C

125. dx = x5/2 - x3/2 – 4x1/2 + C

126. = ln │x - 1│+ C

127. = ln │3x + 1│ + C

128. = ln (x2 + 2) + C

129. = - ln │1- x3│ + C

130. dx = x – 2 ln │x + 1│ + C

131. dx = x2 + 2 ln │x + 2│ + C

132. dx = ln (x2 + 2x + 2) + C

133. = ln + C

134. = + C

135. = e4x + C

Page 25: Turunan (Differensial)

136. dx = - + C

137. x dx = - + C

138. = + C

139. dx = + 2 + x + C

140. dx = ex - + C

141. ex dx = (ex + 1)3 + C

142. dx = ln (e2x + 3) + C

143. dx = e2x + 2x - + C

144. dx = ln (ex + 1)2 – x + C

145. dx = ln (e2x + 3)2/3 - x + C

146. = ln , C > 0

147. = ln C(x2/3 + 1), C > 0

148. dx = - cos 2x + C

149. x dx = 2 sin x + C

150. 3x tan 3x dx = sec 3x + C

151. dx = - cot 2x + C

152. = tan x2 + C

153. dx = tan x – x + C

154. x dx = 2 ln │sec x │ + C

155. dx = ln │csc 3x – cot 3x│ + C

156. sec ax tan ax dx = sec ax + C

157. dx = x + cos 2x + C

158. ax cos ax dx = sin2 ax + C = - cos2 ax + C’ = - cos 2ax + K

Page 26: Turunan (Differensial)

159. x cos x dx = sin4 x + C

160. x sin x dx = - cos5 x + C

161. 3x csc2 3x dx = tan6 x + C

162. 3x csc2 3x dx = - cot5 3x + C

163. = 2(tan x + sec x) + C

164. = + C

165. = x + (cot ax – csc ax) + C

166. tan dx = a tan2 + C

167. dx = ln │tan 3x│ + C

168. dx = sec4 x + C

169. sec2 2x dx = + C

170. cos 3x dx = + C

171. = arc sin + C

172. = arc tan + C

173. = arc sec + C

174. = arc sin ex + C

175. = arc sin e2x + C

176. = arc sin + C

177. = arc tan + C

178. dx = arc tan + C

179. = arc sin (2 tan x) + C

Page 27: Turunan (Differensial)

180. = arc sin ln x3/2 + C

181. dx = x3 – x + arc tan x + C

182. = arc tan + C

183. = - 9 = ln (x2 + 6x + 13) - arc tan

+ C

184. = -

= ln (3x2 – 4x + 3) - arc tan + C

185. = - + 3 arc sin + C

186. = - arc sin (2x – 3) + C

187. = ln + C

188. = ln + C

189. = ln = C

190. = ln + C

191. = ln (x + ) + C

192. = ln │2x + │ + C

193. dx = x + arc sin + C

194. dx = x - 8 ln │x + │ + C

195. dx = x + ln (2x + ) + C

196. dx = (x – 1) - 2 ln │x – 1 + │ + C

197. dx = (x – 2) + 8 arc sin (x – 2) + C

198. dx = (x + 2) - 2 ln │x + 2 + │ + C

Page 28: Turunan (Differensial)

199. dx = (x - 4) - 8 ln │x – 4 + │ + C

200. dx = (x - 3) + arc sin + C

Page 29: Turunan (Differensial)

Bab 26

Integrasi Bagian

INTEGRASI BAGIAN. Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasid(uv) = u dv + v duu dv = d(uv) – v du

(i) dv = uv - du

Untuk menggunakan (i) dalam menghitung suatu integrasi yang ditanyakan, integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah u dan bagian lain, bersama dengan dx, adalah dv. (Untuk alasan ini, integrasi dengan menggunakan (i) disebut integrasi bagian). Dua aturan umum dapat ditulis:(a) bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasi.

(b) du tidak boleh lebih sulit dari pada dv.

Contoh 1: Cari dx.

Ambil u = x2 dan dv = x dx; maka du = 2x dx dan v = . Sekarang dengan aturan

di atas, dx = - dx = - + C

Contoh 2: Cari .

Ambil u = ln (x2 + 2) dan dv = dx; maka du = dan v = x. dengan aturan,

(x2 + 2)dx = x ln (x2 + 2) - = x ln (x2 + 2) - dx

= x ln (x2 + 2) – 2x + 2 arc tan x/ + CLihat Soal-soal 1-10.

RUMUS REDUKSI. Usaha yang diberikan dalam penggunaan integrasi bagian berturut-turut (lihat Soal 9) untuk menghitung suatu integral dapat banyak dikurangi dengan penggunaan rumus reduksi. Umumnya, rumus reduksi menghasilkan integral baru dengan bentuk yang sama dengan aslinya tetapi dengan eksponen yang bertambah atau berkurang. Suatu rumus reduksi berhasil bila akhirnya ia menghasilkan suatu integral yang dapat dihitung. Beberapa rumus reduksi adalah:

(A) = , m ≠ 1

(B) du = + du, m ≠ -1/2

(C) = - , m ≠ 1

Page 30: Turunan (Differensial)

(D) du = - du, m ≠ -1/2

(E) du = umeau - eau du

(F) u du = - + u du

(G) u du = + u du

(H) u cosn u du = + u cosn-2 u du

= - + u cosn u du, m ≠ -n

(I) sin bu du = - cos bu + cos bu du

(J) cos bu du = sin bu - sin bu du

Lihat Soal 11.

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari sin x dx.

Kita mempunyai pilihan-pilihan berikut;(a) u = x sin x, dv = dx; (b) u = sin x, dv = x dx; (c) u = x, dv = sin x dx.(a) u = x sin x, dv = dx. Maka du = (sin x + x cos x) dx, v = x, dan

sin x dx = x • x sin x - (sin x + x cos x) dx

Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.(b) u = sin x, dv = x dx. Maka du = cos x dx, v = x2, dan

sin x dx = x2 sin x - x2 cos x dx

Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.(c) u = x, dv = sin x dx. Maka du = dx, v = -cos x, dan

sin x dx = -x cos x - cos x dx = -x cos x + sin x + C

2. Cari dx.

Ambil u = x, dv = ex dx. Maka du = dx, v = ex, dan

dx = xex - dx = xex – ex + C

3. Cari ln x dx.

Ambil u = ln x, dv = x2 dx. Maka du = , v = , dan

Page 31: Turunan (Differensial)

ln x dx = ln x - • = ln x - dx = ln x - x3 + C

4. Cari dx.

Ambil u = x, dv = dx. Maka du = dx, v = (1 + x)3/2, dan

dx = x(1 + x)3/2 - dx = x(1 + x)3/2 - (1 + x)5/2 + C

5. Cari sin x dx.

Ambil u = arc sin x, dv = dx. Maka du = dx/ , v = x, dan

sin x dx = x arc sin x - = x arc sin x + + C

6. Cari x dx.

Ambil u = sin x, dv = sin x dx. Maka du = cos x dx, v = -cos x, dan

x dx = -sin x cos x + x dx

= -sin x cos x + dx = - sin 2x + - x dx

Pindahkan integral dari kanan,

2 x dx = - sin 2x + x + C’ dan x dx = x - sin 2x + C

7. Cari x dx.

Ambil u = sec x, dv = sec2 x dx. Maka du = sec x tan x, v = tan x, dan

x dx = sec x tan x - x tan2 x dx = sec x tan x - x (sec2 x – 1)dx

= sec x tan x - x dx + x dx

Maka 2 x dx = sec x tan x + x dx = sec x tan x + ln │ sec x + tan x │+ C’

dan x dx = (sec x tan x + ln │ sec x + tan x │) + C

8. Cari sin x dx.

Ambil u = x2, dv = sin x dx. Maka du = 2x dx, v = -cos x, dan

sin x dx = -x2 cos x + 2 cos x dx

Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = cos x dx. Maka du = dx, v = sin x, dan

sin x dx = -x2 cos x + 2{x sin x - x dx}

= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

9. Cari e2x dx.

Ambil u = x3, dv = e2x. Maka du = 3x2 dx, v = e2x, dan

e2x dx = x3e2x - e2x dx

Untuk hasil integral, ambil u = x2 dan dv = e2x dx. Maka du = 2x dx, v = e2x, dan

Page 32: Turunan (Differensial)

e2x dx = x3e2x - = x3e2x - x2e2x +

Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = e2x dx. Maka du = dx, v = e2x, dan

e2x dx = x3e2x - x2e2x +

= x3e2x - x2e2x + xe2x - e2x + C

10. (a) Ambil u = x, dv = ; maka du = dx, v = , dan

= ±

(b) Ambil u = x, dv = x(a2 ± x2)m-1 dx; maka du = dx, v = (a2 ± x2)m, dan

(a2 ± x2)m-1 dx = (a2 ± x2)m dx

11. Cari (a) , (b) dx.

(a) Karena Rumus Reduksi (A) mereduksi eksponen di penyebut dengan 1, maka rumus ini digunakan dua kali untuk memperoleh

= + = + + C

(b) Dengan menggunakan Rumus Reduksi (B),

dx = x + dx

= x + {x + 9 ln (x + )} + C

Soal-soal Tambahan

12. cos x dx = x sin x + cos x + C

13. cos 2x dx = x arc cos 2x - + C

15. tan x dx = x arc tan x - ln + C

16. dx = - (1 – x)3/2(15x2 + 12x + 8) + C

17. = + C

18. arc tan x dx = (x2 + 1) arc tan x - x + C

Page 33: Turunan (Differensial)

19. e-3x dx = - e-3x(x2 + x + ) + C

20. x dx = - cos3 x – sin2 x cos x + C

21. sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x – 6 sin x + C

22. = + C

23. = (3x2 – 4x +8) + C

24. arc sin x2 dx = x2 arc sin x2 + + C

25. x sin 3x dx = sin 3x cos x - sin x cos 3x + C

26. (ln x) dx = x(sin ln x – cos ln x) + C

27. cos bx dx = + C

28. sin bx dx = + C

29. (a) Tulis = dx = dan

gunakan Soal 10(a) untuk mendapatkan rumus reduksi (A).

(b) Tulis dx = a2 dx dx dan gunakan

hasil Soal 10(b) untuk mendapatkan rumus reduksi (B).30. Turunkan rumus reduksi (C)-(J).

31. = + ln + C

32. = + C

33. dx = x(10 – x2) + 6 arc sin x + C

34. = + C

35. dx = x(8x4 – 26x2 + 33) - ln │x + │ + C

36. x dx = x - sin x cos x - sin3 x cos x + C

37. x dx = (3 cos4 x + 4 cos2 x + 8) sin x + C

38. x cos2 x dx = - cos3 x (sin2 x + ) + C

Page 34: Turunan (Differensial)

39. x cos5 x dx = sin5 x (cos4 x + cos2 x + ) + C

Suatu cara lain untuk beberapa soal yang lebih sulit dalam bagian ini dapat dicari dengan mengingat bahwa (lihat Soal 9).

(i) e2x dx = x3e2x - x2e2x + xe2x - e2x + C

Suku-suku di sebelah kanan, terlepas dari koefisien-koefisien, adalah suku-suku lain yang diperoleh dari diferensiasi integrasi x3e2x berulang-ulang. Jadi, segera dapat ditulis

(ii) e2x dx = Ax3e2x - Bx2e2x + Dxe2x - Ee2x + C

dan dari sana, dapatkan dengan diferensiasix3e2x = 2Ax3e2x + (3A + 2B)x2e2x + (2B + 2D)xe2x + (D + 2E)e2x

Samakan koefisien-koefisien, diperoleh:2A = 1, 3A + 2B = 0, 2B + 2D = 0, D + 2E = 0sehingga A = , B = - A = - , D = -B = , E = - D = - . Substitusi A, B, D, E dalam (ii), diperoleh (i).

Cara ini dapat digunakan untuk mencari dx jika diferensiasi f(x) yang

berulang-ulang menghasilkan hanya suatu bilangan berhingga dalam suku-suku yang berbeda.

40. Cari cos 3x dx = e2x(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C dengan menggunakan

cos 3x dx = Ae2x sin 3x + Be2x cos 3x + C

41. Cari (2 sin 4x – 5 cos 4x)dx = e3x(-14 sin 4x – 23 cos 4x) + C dengan

menggunakan

(2 sin 4x – 5 cos 4x)dx = Ae3x sin 4x + Be3x cos 4x + C

42. Cari 3x cos 2x dx = - (2 sin 3x sin 2x + 3 cos 3x cos 2x) + C dengan

menggunakan

3x cos 2x dx = A sin 3x sin 2x + B cos 3x cos 2x + D cos 3x sin 2x + E sin 3x cos

2x + C

43. Cari x2 sin x dx = [25x2(3 sin x – cos x) – 10x(4 sin x – 3 cos x) + 9 sin x –

13 cos x] + C

Page 35: Turunan (Differensial)

Bab 27

Integral Trigonometrik

HUBUNGAN-HUBUNGAN BERIKUT digunakan untuk mencari integral trigonometrik dalam bab ini.

Page 36: Turunan (Differensial)

1. sin2 x + cos2 x = 12. 1 + tan2 x = sec2 x3. 1 + cot2 x = csc2 x4. sin2 x = (1 – cos 2x)

5. cos2 x = (1 + cos 2x)

6. sin x cos x = sin 2x

7. sin x cos y = [sin (x – y) + sin (x + y)]

8. sin x sin y = [cos (x – y) - cos (x + y)]

9. cos x cos y = [cos (x – y) + cos (x + y)]

10. 1 – cos x = 2 sin2 x

11. 1 + cos x = 2 cos2 x

12. 1 ± sin x = 1 ± cos( π – x)

Page 37: Turunan (Differensial)

Soal-soal yang Dipecahkan

SINUS DAN COSINUS

1. x dx = (1 – cos 2x) dx = x - sin 2x + C

2. 3x dx = (1 + cos 6x) dx = x - sin 6x + C

3. x dx = x sin x dx = sin x dx = -cos x + cos3 x + C

4. x dx = x cos x dx = cos x dx

= x dx - 2 x cos x dx + x cos x dx

= sin x - sin3 x + sin5 x + C

5. x cos3 x dx = x cos2 x cos x dx = x(1 – sin2 x)cos x dx

= x cos x dx - x cos x dx = sin3 x - sin5 x + C

6. 2x sin3 2x dx = 2x sin2 2x sin 2x dx = 2x(1 – cos2 2x)sin 2x dx

= 2x sin 2x dx - 2x sin 2x dx = - cos5 2x + cos7 2x + C

7. 3x cos5 3x dx = cos5 3x sin 3x dx

= 3x sin 3x dx - 3x sin 3x dx = - cos6 3x + cos8 3x + C

atau

3x cos5 3x dx = 3x(1 – sin2 3x)2 cos 3x dx

= 3x cos 3x dx - 2 3x cos 3x dx + 3x cos 3x dx

= sin4 3x - sin6 3x + sin8 3x + C

8. dx = cos dx = 3 sin - sin3 + C

9. x dx = dx = dx

= - 2x dx + 2x dx

= - 2x dx + dx

= x - sin 2x + x + sin 4x + C = x - sin 2x + sin 4x + C

10. x cos2 x dx = 2x dx = dx = x - sin 4x + C

11. 3x cos2 3x dx = sin2 3x dx = 6x(1 – cos 6x) dx

= 6x dx - 6x cos 6x dx

Page 38: Turunan (Differensial)

= dx - 6x cos 6x dx

= x - sin 12x - sin3 6x + C

12. 3x sin 2x dx = {cos (3x – 2x) – cos (3x + 2x)}dx = dx

= sin x - sin 5x + C

13. 3x cos 5x dx = {sin (3x – 5x) + sin (3x + 5x)}dx = cos 2x - cos 8x + C

14. 4x cos 2x dx = dx = sin 2x + sin 6x + C

15. dx = x dx = -2 cos x + C

16. dx = 2 x dx = 2 cos x dx

= 2 ( sin x - sin3 x) + C

17. = = = dx

= - ln │csc - cot │+ C

TANGEN, SEKAN, KOTANGEN, KOSEKAN

18. x dx = x tan2 x dx = x(sec2 x – 1)dx = x sec2 x dx - x dx

= x sec2 x dx - dx = tan3 x – tan x + x + C

19. x dx = x tan2 x dx = x(sec2 x – 1)dx

= x sec2 x dx - x dx = x sec2 x dx - x(sec2x – 1)dx

= tan4 x - tan2 x + ln │sec x│+ C

20. 2x dx = 2x sec2 2x dx = 2x(1 + tan2 2x)dx

= 2x dx + 2x sec2 2x dx = tan 2x + tan3 2x + C

21. 3x sec4 3x dx = 3x(1 + tan2 3x)sec2 3x dx

= 3x sec2 3x dx + 3x sec2 3x dx = tan4 3x + tan6 3x + C

22. x sec3 x dx = sec3 x dx = x dx - x dx

= sec3 x tan x - sec x tan x - ln │sec x + tan x│+ C, diintegrasi per bagian

23. 2x sec3 2x dx = 2x sec2 2x • sec 2x tan 2x dx

= sec2 2x • sec 2x tan 2x dx

Page 39: Turunan (Differensial)

= 2x • sec 2x tan 2x dx - 2x • sec 2x tan 2x dx

= sec5 2x - sec3 2x + C

24. 2x dx = 2x (csc2 2x – 1)dx = - cot2 2x + ln │csc 2x│+ C

25. 3x dx = 3x(csc2 3x – 1) dx = 3x csc2 3x dx - 3x dx

= 3x csc2 3x dx - dx = - cot3 3x + cot 3x + x + C

26. x dx = x(1 + cot2 x)2 dx

= x dx + 2 x csc2 x dx + x csc2 x dx

= -cot x - cot3 x - cot5 x + C

27. 3x csc4 3x dx = 3x (1 + cot2 3x) csc2 3x dx

= 3x csc2 3x dx + 3x csc2 3x dx = - cot2 3x - cot4 3x + C

28. x csc5 x dx = x csc4 x • csc x cot x dx = csc4 x • csc x cot x dx

= x • csc x cot x dx - x • csc x cot x dx

= - csc7 x + csc5 x + C

Soal-soal Tambahan

29. x dx = x + sin 2x + C

30. 2x dx = cos3 2x - cos 2x + C

31. 2x dx = x - sin 4x + sin 8x + C

32. x dx = x - sin x + sin 2x + C

33. x dx = cos7 x - cos5 x + cos3 x – cos x + C

34. x dx = x + sin x + sin 2x - sin3 x + C

35. x cos5 x dx = sin3 x - sin5 x + sin7 x + C

36. x cos2 x dx = cos5 x - cos3 x + C

37. x cos3 x dx = cos3 2x - cos 2x + C

38. x cos4 x dx = (3x – sin 4x + sin 8x) + C

39. 2x cos 4x dx = cos 2x - cos 6x + C

40. 3x cos 2x dx = sin x + sin 5x + C

41. 5x sin x dx = sin 4x - sin 6x + C

42. = sin x + sin2 x + C

Page 40: Turunan (Differensial)

43. dx = - cot5/3 x + C

44. dx = csc x - csc3 x + C

45. (cos3 x2 – sin3 x2)dx = (sin x2 + cos x2)(4 + sin 2x2) + C

46. x dx = tan2 x + ln │cos x│+ C

47. 3x sec 3x dx = sec3 3x - sec 3x + C

48. x sec4 x dx = tan5/2 x + tan9/2 x + C

49. x sec4 x dx = sec7 x + tan5 x + C

50. x dx = - cot2 x – ln │sin x│+ C

51. x csc4 x dx = - cot4 x - cot6 x + C

52. x csc3 x dx = - csc5 x + csc3 x + C

53. 2x dx = - cot 2x - cot3 2x + C

54. dx = - - + C

55. dx = -sin x – csc x + C

56. x dx = 2 + C

57. Gunakan integrasi bagian untuk menurunkan rumus reduksi

(a) u du = secm – 2 u tan u + u du

(b) u du = - cscm – 2 u cot u + u du

Gunakan rumus reduksi Soal 57 untuk menghitung Soal-soal 58-60.

58. x dx = sec x tan x + ln │sec x + tan x│+ C

59. x dx = - csc3 x cot x - csc x cot x + ln │csc x – cot x│+ C

60. x dx = sec4 x tan x + sec2 x tan x + tan x + C

= tan5 x + tan3 x + tan x + C

Page 41: Turunan (Differensial)

Bab 28

Substitusi Trigonometrik

SUATU INTEGRAN, yang terdiri dari salah satu bentuk , , atau

tetapi bukan factor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang

menyangkut fungsi trigonometric peubah baru sebagai berikut:Untuk gunakan untuk memperoleh

u = sin z a = a cos z

u = tan z a = a sec z

u = sec z a = a tan z

Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan dalam penyelesaian soal-soal di bawah ini.

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari .

Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2 sec2 z dz dan = 2 sec z.

= = dz

= z cos z dz = - + C = - + C

x

2

z

4 + x

2

Gambar 28-1

2. Cari dx.

Ambil x = 2 sec z; maka dx = 2 sec z tan z dz dan = 2 tan z.

dx = (2 sec z tan z dz) = 4 z dz

= 2 sec z tan z + 2 ln │ sec z + tan z │+ C’

= x + 2 ln │x + │+ C

Page 42: Turunan (Differensial)

x

z

x2

2

- 4

Gambar 28-2

3. Cari dx.

Ambil x = sin z; maka dx = cos z dz dan = 3 cos z.

dx = ( cos z dz) = 3 dz

= 3 dz = 3 z dz - 3 z dz

= 3 ln │csc z – cot z│+ 3 cos z + C’

= 3 ln + + C

2x3

z

9 - 4x2

Gambar 28-3

4. Cari .

Ambil x = tan z; maka dx = sec2 z dz dan = 3 sec z.

= = ln + C

2x

3z

9 + 4x

2

Gambar 28-4

5. Cari dx.

Ambil x = sin z; maka dx = cos z dz dan = 4 cos z.

dx = = dz

= z csc2 z dz = - cot5 z + C

= - • + C = - • + C

Page 43: Turunan (Differensial)

3x4

z

16 - 9x2

Gambar 28-5

6. Cari = .

x – 1 = sin z; maka dx = cos z dz dan = cos z.

= cos z dz = dz

= dz = z – 2 cos z - sin 2x + C

= arc sin (x - 1) - 2 - (x – 1) + C

= arc sin (x - 1) - (x + 3) + C

x - 11

z

2x - x2

Gambar 28-6

7. Cari = .

Ambil x – 3 = sec z; maka dx = sec z tan z dz dan = 3 tan z.

=

= z cos z dz

= - csc z + C

= - + C

2 - 6x

3

z

4 24 27x - x + 2

Gambar 28-7

Soal-soal Tambahan

8. = + C

Page 44: Turunan (Differensial)

9. dx = 5 ln + + C

10. = - + C

11. dx = x + 2 ln (x + ) + C

12. = - arc sin + C

13. dx = x - 2 ln │x + │+ C

14. dx = + ln + C

15. = + C

16. = + C

17. = - + C

18. = x + 8 ln │x + │+ C

19. dx = (a2 – x2)5/2 - (a2 – x2)3/2 + C

20. = ln (x – 2 + ) + C

21. = + C

22. = arc tan + + C

Dari Soal-soal 23-24, integrasikanlah dalam bagian dan gunakanlah metode dalam bab ini.

23. arc sin x dx = (2x2 – 1) arc sin x + x + C

24. arc cos x dx = (2x2 – 1) arc cos x - x + C

Page 45: Turunan (Differensial)

Bab 29

Integrasi dengan Pecahan Parsial

SEBUAH POLINOMIAL DALAM x adalah fungsi dalam bentuk a0xn + a1xn-1 + . . . + an – 1x + an, di mana semua a adalah konstanta, a0 ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif termasuk nol.Jika dua polinomial dengan derajat sama adalah sama untuk semua nilai peubah, koefisien peubah dengan pangkat sama dalam kedua polinomial tersebut adalah sama.Tiap polinomial dengan koefisien riil dapat dinyatakan (paling sedikit, secara teoritis) sebagai hasil kali faktor linear riil dengan bentuk ax + b dan faktor kuadratik riil yang tak dapat direduksi dengan bentuk ax2 + bx + c.

SEBUAH FUNGSI F(x) = , di mana f(x) dan g(x) adalah polinomial, disebut

pecahan rasional.Jika derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x), F(x) disebut baik; bila tidak, F(x) disebut tidak baik.Suatu pecahan rasional yang tidak baik dapat dinyatakan sebagai jumlah polinomial dan

sebuah pecahan rasional yang baik. Jadi, = x - .

Tiap pecahan rasional yang baik dapat dinyatakan (paling sedikit, secara teoritis) sebagai jumlah pecahan yang lebih sederhana (pecahan parsial) yang penyebutnya berbentuk (ax + b)n dan (ax2 + bx + c)n, n adalah bilangan bulat positif. Empat kasus, yang tergantung pada wujud faktor-faktor dalam penyebut, muncul.

KASUS I. FAKTOR LINEAR BERBEDA.Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul sekali dalam penyebut suatu pecahan

rasional yang baik, terdapat sebuah pecahan parsial tunggal berbentuk , di mana A

adalah konstanta yang harus ditentukan.

KASUS II. FAKTOR LINEAR BERULANGUntuk tiap faktor linear ax + b yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan n buah pecahan parsial berbentuk

+ + . . . +

di mana semua A adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Lihat Soal-soal 3-4.

KASUS III. FAKTOR KUADRATIK BERBEDA

Page 46: Turunan (Differensial)

Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul sekali dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parsial tunggal berbentuk

, di mana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.

Lihat Soal-soal 5-6.

KASUS IV. FAKTOR KUADRATIK BERULANGUntuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan dari n pecahan parsial berbentuk

+ + . . . +

di mana semua A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Lihat Soal-soal 7-8.

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari .

(a) Uraikan penyebut x2 – 4 = (x – 2)(x + 2).

Tulis = + dan hilangkan pecahan hingga diperoleh

(1) 1 = A(x + 2) + B(x – 2) atau (2) 1 = (A + B)x + (2A – 2B)(b) Tentukan konstanta

Metode umum. Samakan koefisien-koefisien x dengan pangkat sama dalam (2) dan pecahkan secara serentak untuk mendapatkan konstanta-konstanta.Jadi, A + B = 0 dan 2A – 2B = 1; A = dan B = - .Metode singkat. Substitusi dalam (1) nilai-nilai x = 2 dan x = -2 untuk mendapatkan 1 = 4A di 1 = -4B; maka A = dan B = - , seperti yang lalu. (Perhatikan bahwa nilai-nilai x yang digunakan adalah nilai-nilai yang menyebabkan penyebut dalam pecahan parsial menjadi 0).

(c) Dengan salah satu metode = - dan

= - = ln │x - 2│- ln │x + 2│+ C

= ln + C

2. Cari .

(a) x3 + x2 – 6x = x(x – 2)(x + 3). Maka = + + dan

(1) x + 1 = A(x – 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2) atau(2) x + 1 = (A + B + C)x2 + (A + 3B – 2C)x – 6A

Page 47: Turunan (Differensial)

(b) Metode umum. Pecahkan secara serentak sistem persamaan-persamaanA + B + C = 0, A + 3B – 2C = 1, dan -6A = 1

untuk mendapatkan A = -1/6, B = 3/10, dan C = -2/15.Metode singkat. Substitusi dalam (1) nilai-nilai x = 0, x = 2, dan x = -3 untuk

mendapatkan 1 = -6A atau A = -1/6, 3 = 10B atau B = 3/10, dan -2 = 15C atau C = -2/15.

(c) = - + -

= - ln │x│+ ln │x - 2│- ln │x + 3│+ C = ln + C

3. Cari .

x3 – x2 – x + 1 = (x +1)(x – 1)2. Maka = + + dan

3x + 5 = A(x – 1)2 + B(x + 1)(x – 1) + C(x + 1)Untuk x = -1, 2 = 4A dan 4 = . Untuk x = 1, 8 = 2C dan C = 4. Untuk

menentukan konstanta yang lain, gunakan sebarang nilai x lain, misalnya x = 0; untuk x = 0, 5 = A – B + C dan B = - . Jadi

= - + 4

= ln │x + 1│- ln │x - 1│- + C = - + ln + C

4. Cari dx.

Integran adalah pecahan yang tidak baik. Dengan membagi

= x - = x -

Tulis = + + Maka

x + 1 = Ax(x – 1) + B(x – 1) + Cx2

Untuk x = 0, 1 = -B dan B = -1. Untuk x = 1, 2 = C. Untuk x = 2, 3 = 2A + B + 4C dan A = -2.

Jadi dx = dx + 2 + - 2

= x2 + 2 ln │x│- - 2 ln │x - 1│+ C = x2 - + 2 ln + C

5. Cari dx.

Page 48: Turunan (Differensial)

x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2). Tulis = + . Maka

x3 + x2 + x + 2 = (Ax + B)(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 + 1)= (A + C)x3 + (B + D)x2 + (2A + C)x + (2B + D)Jadi A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1, dan 2B + D = 2. Pecahkan secara serentak, A = 0, B = 1, C = 1, D = 0. Jadi

dx = + = arc tan x + ln (x2 +2) + C

6. Pecahkan persamaan = dt yang ada di Kimia Fisika.

Tulis = + + . Maka

Untuk x = a, a2 = 4Aa3 dan A = 1/4a. Untuk x = -a, a2 = 4Ba3 dan B = 1/4a. Untuk x = 0, 0 = Aa3 + Ba3 + Da2 = a2/2 + Da2 dan D = -1/2. Untuk x = 2a, 4a2 = 15Aa3 – 5Ba3 – 6Ca3 – 3Da2 dan C = 0.

Jadi = + -

= - ln │a - x│- arc tan + C

dan dt = kt = ln - arc tan + C

7. Cari dx.

Tulis = + + . Maka

x5 – x4 + 4x3 – 4x2 + 8x – 4 = (Ax + B)(x2 + 2)2 + (Cx + D)(x2 + 2) + Ex + F= Ax5 + Bx4 + (4A + C)x3 + (4B + D)x2 + (4A + 2C + E)x + (4B + 2D + F)dari sini A = 1, B = -1, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. Jadi integral yang diberikan sama

dengan dx + 4 = ln (x2 + 2) - arc tan - + C

8. Cari dx.

Tulis = + . Maka

2x2 + 3 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C)x + (B + D)dari sini A = 0, B = 2, A + C = 0, B + D = 3. Jadi A = 0, B = 2, C = 0, D = 1 dan

dx = +

Page 49: Turunan (Differensial)

Untuk integral kedua di bagian kanan, ambil x = tan z. Maka

= = z dz = z + sin 2x + C

dan dx = 2 arc tan x + arc tan x + + C = arc tan x + + C

Soal-soal Tambahan

9. = ln + C

10. = ln + C

11. = ln │(x + 1)(x – 4)4│+ C

12. dx = x + ln │(x + 2)(x – 4)4│+ C

13. dx = ln + C

14. = ln│x - 2│- + C

15. dx = - x2 – 3x – ln (1 – x)6 - + + C

16. = ln + C

17. dx = ln + arc tan x + C

18. dx = x2 + ln + C

19. = ln (x2 + 1) + + C

20. dx = ln (x2 + 4) + arc tan x + + C

21. dx = ln - arc tan x - + C

Page 50: Turunan (Differensial)

22. dx = ln - + arc tan + C

23. dx = ln + arc tan - arc tan + C

24. dx = - + ln + C

25. = + ln + C (Ambil ex = u).

26. = ln + C (Ambil cos x = u).

27. = ln│1 + tan θ│+ arc tan + C

Page 51: Turunan (Differensial)

Bab 30

Macam-macam Substitusi

BILA INTEGRAN ADALAH RASIONAL kecuali untuk bentuk akar:1. , substitusi au + b = zn akan menggantikan bentuk itu dengan integran

rasional.

2. , substitusi q + pu + u2 = (z – u)2 akan menggantikannya dengan

integran rasional.

3. = , substitusi q + pu + u2 = (α + u)2z2 atau q + pu + u2

= (β – u)2z2 akan menggantikannya dengan integran rasional.Lihat Soal-soal 1-5.

SUBSTITUSI u = 2 arc tan z akan menggantikan tiap fungsi rasional dari sin u dan cos u dengan fungsi rasional z, karena

sin u = , cos u = , dan du =

2x

u

1 - z2

1 + z2

Gambar 30-1Hubungan pertama dan kedua diperoleh dari Gambar 30-1, dan hubungan ketiga dari diferensiasi

u = 2 arc tan zSetelah mengintegrasi, gunakan z = tan u untuk kembali ke peubah semula.

Lihat Soal-soal 6-10.

SUBSTITUSI EFEKTIF sering dapat diduga dari bentuk fungsi integran.Lihat Soal-soal 11-12.

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari . Ambil 1 – x = z2. Maka x = 1 – z2, dx = -2z dz, dan

= = -2 = -ln + C = ln + C

2. Cari . Ambil x + 2 = z2. Maka x = z2 – 1, dx = 2z dz, dan

= = 2 = ln + C = ln + C

Page 52: Turunan (Differensial)

3. Cari . Ambillah x = z4. Maka dx = 4z3 dz dan

= = 4 dz = 4 dz

= 4( z2 + z + ln│z - 1│) + C = 2 + 4 + ln + C

4. Cari . Ambil x2 + x + 2 = (z – x)2. Maka

x = , dx = , = , dan

= dz = 2 = ln + C

= ln + C

5. Cari . Ambil 5 – 4x – x2 = (5 + x)(1 – x) = (1 – x)2z2. Maka

x = , dx = , = (1 – x)z = , dan

= dz = dz

= + C = + C

6. = = = ln │z│- ln │1 + z│+ C

= ln + C = ln + C

7. = = = arc tan z + C

Page 53: Turunan (Differensial)

= arc tan ( tan x) + C

8. x dx = = 2 = ln + C = ln + C

= ln│tan ( x + π)│+ C

9. = = 2 = arc tan + C

= arc tan + C

10. = = =

= arc tan + C = arc tan + C

11. Gunakan substitusi 1 – x3 = z2 untuk mencari dx. x3 = 1 – z2, 3x2 dx = -2z

dz, dan

dx = dx • x2 dx = = - z2 dz

= - + C = - (1 – x3)3/2(2 + 3x3) + C

12. Gunakan x = untuk mencari dx. Maka dx = - , = ,

dan dx = = - dz

Ambil z – 1 = s2. Maka

- dz = - = -2 + C

= -2 + C = -2 + C

Soal-soal Tambahan

13. dx = 2 - 2 arc tan + C

Page 54: Turunan (Differensial)

14. = 2 ln (1 + ) + C

15. = 2 - 6 ln (3 + ) + C

16. dx = -x + + C

17. = ln + C

18. = 2 arc tan + C

19. = arc sin + C

20. dx = - + C

21. = 2(x + 1)1/2 – 4(x -1)1/4 + 4 ln (1 + (x + 1)1/4) + C

22. = arc tan + C

23. = ln + C

24. = ln + C

25. = ln │tan x - 1│+ C

26. = arc tan + C

27. = ln + C

28. = ln │1 + tan x │+ C

29. = arc tan ( tan x) + C

30. dx = -2 cos + 2 sin + C

31. = -arc sin + C Ambil x = 1/z.

Page 55: Turunan (Differensial)

32. dx = ex – 3 ln (ex + 1) + C Ambil ex + 1 = z.

33. dx = cos x + ln (1 – cos x) + C Ambil cos x = z.

34. = - + C Ambil x = 2/z.

35. = - + arc tan + C

36. dx = (1 + )5/2 - (1 + )3/2 + C

37. = + C

Page 56: Turunan (Differensial)

Bab 31

Integrasi Fungsi Hiperbolik

KETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI

= cosh u + C = tanh u + C

= sinh u + C = -coth u + C

= ln cosh u + C = -sech u + C

= ln │sinh u│ + C = -csch u + C

= sinh-1 + C = tanh-1 + C, u2 < a2

= cosh-1 + C, u > a > 0 = - coth-1 + C, u2 > a2

Soal-soal yang Dipecahkan

1. x dx = 2 cosh x + C

2. 2x dx = sinh 2x + C

3. (2x – 1)dx = tanh (2x -1) + C

4. 3x coth 3x dx = - csch 3x + C

5. x dx = dx = = dx = arc tan (sinh x) + C

6. x dx = dx = sinh 2x - x + C

7. 2x dx = dx = x - tanh 2x + C

8. x dx = cosh x dx = 2 sinh x + sinh3 x + C

9. x dx = sech2 x dx = tanh x - tanh3 x + C

10. cosh x dx = dx = dx = e2x + x + C

11. sinh x dx = dx = ex dx - e-x dx

= (xex – ex) - (-xe-x – e-x) + C = x - + C

= x cosh x – sinh x + C

12. = cosh-1 + C

Page 57: Turunan (Differensial)

13. = - coth-1 + C

14. Cari dx. Ambil x = 2 sinh z. Maka dx = 2 cosh z dz, = 2 cosh z, dan

dx = 4 z dz = 2 dz = sinh 2z + 2z + C

= 2 sinh z cosh z + 2z + C = x + 2 sinh-1 x + C

15. Cari . Ambil x = sech z. Maka dx = -sech z tanh z dz, 1 – x2 = tanh z, dan

= - dz = - = -z + C = -sech-1 x + C

Soal-soal Tambahan

16. 3x dx = cosh 3x + C

17. x dx = 4 sinh x + C

18. x dx = ln │sin x│+ C

19. (1 + 3x) dx = - coth (1 + 3x) + C

20. 2x tanh 2x dx = - sech 2x + C

21. x dx = ln + C

22. x dx = (sinh x + x) + C

23. 3x dx = x - coth 3x + C

24. x dx = cosh3 x – cosh x + C

25. sinh x dx = e2x - x + C

26. cosh x dx = e3x + ex + C

27. cosh x dx = x sinh x – cosh x + C

28. sinh x dx = (x2 + 2) cosh x – 2x sinh x + C

29. x cosh2 x dx = cosh5 x - cosh3 x + C

30. x ln cosh2 x dx = cosh x (ln cosh2 x – 2) + C

31. = sinh-1 + C

32. = cosh-1 + C

Page 58: Turunan (Differensial)

33. = tanh-1 x + C

34. = - coth-1 x + C

35. dx = x - cosh-1 + C

36. = sinh-1 + C

37. = - coth-1 + C

38. dx = sinh-1 x - + C

39. dx = sinh-1 x - + C

Page 59: Turunan (Differensial)

Bab 32

Pemakaian Integral Tak Tentu

BILA PERSAMAAN y = f(x) suatu kurva diketahui kemiringan m di tiap titik P(x, y) pada kurva tersebut diberikan oleh m = f’(x). Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di titik P(x, y) padanya diberikan oleh m = dy/dx = f’(x), kumpulan kurva, y = f(x + C) dapat ditemukan lewat integrasi. Untuk mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu, perlu ditetapkan atau ditentukan suatu nilai C. Ini dapat dilakukan dengan menyatakan bahwa kurva melalui suatu titik tertentu.

Lihat Soal-soal 1-4.

SUATU PERSAMAAN s = f(t), di mana s adalah jarak suatu benda pada saat t terhadap suatu titik tetap pada lintasannya (garis lurus), dengan lengkap mendefinisikan gerakan benda. Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh

v = = f’(t) dan a = = = f’’(t)

Sebaliknya bila kecepatan (percepatan) pada saat t diketahui, bersama dengan posisi (posisi dan kecepatan) pada suatu saat yang diketahui, biasanya pada t = 0, persamaan gerakan dapat diperoleh.

Lihat Soal-soal 7-10.

Soal-soal yang Dipecahkan1. Carilah persamaan kumpulan kurva-kurva yang kemiringannya di tiap titik adalah

sama dengan negatif dua kali absis titik itu. Carilah kurva kumpulan tersebut yang lewat titik (1, 1).

Diketahui bahwa dy/dx = -2x. Maka dy = -2x dx, = dx, dan y = -x2 + C. Ini

adalah persamaan dari kumpulan parabola.Ambil x = 1, y = 1 dalam persamaan kumpulan, 1 = -1 + C dan C = 2.Persamaan kurva kumpulan yang lewat titik (1, 1) adalah y = -x2 + 2.

2. Carilah persamaan kumpulan kurva yang kemiringannya di titik P(x, y) adalah m = 3x2y dan persamaan kumpulan kurva yang melalui titik (0, 8).

m = = 3x2y atau = 3x2 dx. Maka ln y = x2 + C = x3 + ln c dan y = .

Jika x = 0 dan y = 8, 8 = ce0 = c. Persamaan kurva yang ditanyakan adalah y = 3. Di setiap titik pada kurva tertentu, y’’ = x2 – 1. Cari persamaan kurva yang lewat titik

(1, 1) dan di titik tersebut tangen pada garis x + 12y = 13.

= (y’) = x3 – 1. Maka (y’)dx = dx dan y’ = - x + C1.

Di (1, 1) kemiringan y’ dari kurva sama dengan kemiringan garis, - . Maka - =

- 1 + C1, C1 = , dan

y’ = = x3 – x + , = dx, y = x4 - x3 + x + C2

Page 60: Turunan (Differensial)

Di (1, 1), 1 = - + + C2 dan C2 = . Persamaan yang ditanyakan adalah y =

x4 - x3 + x + .4. Kumpulan lintasan ortogonal suatu sistem kurva tertentu adalah sistem kurva lain

yang masing-masing memotong tiap kurva dari sistem yang diberikan dengan sudut siku-siku. Cari persamaan lintasan ortogonal kumpulan hiperbola x2 – y2 = c.Di tiap titik P(x, y), kemiringan hiperbola lewat titik diberikan oleh m1 = x/y, dan kemiringan lintasan ortogonal lewat P diberikan oleh m2 = dy/dx = -y/x. Maka

= - , ln │x│+ ln C’ dan │xy│= C’

Sekarang persamaan yang ditanya adalah xy = ± C’ atau dengan mudah, xy = C.5. Suatu besaran tertentu q bertambah dengan kelajuan yang sebanding dengan besarnya

sendiri. Jika q = 25 bila t = 0 dan q = 75 bila t = 2, cari q bila t = 6.

Karena = kq, diperoleh = k dt. Maka ln q = kt + ln c atau q = cekt.

Bila t = 0, q = 25 = ce0 = c; jadi q = 25ekt.Bila t = 2, q = 25e2k = 75 ; maka e2k = 3 = e1.10 dan k = .55.Bila t = 6, q = 25e.55t = 25e3.3 = 25(e1.1)3 = 25(27) = 675.

6. Suatu zat diubah menjadi zat lain dengan kelajuan yang sebanding dengan jumlah zat yang tak diubah. Jika jumlah mula-mula adalah 50 dan adalah 25 bila t = 3, bilamanakah zat akan tetap tidak diubah?Misalkan q menyatakan jumlah zat yang diubah dalam waktu t. Maka

= k(50 – q), = k dt, ln (50 – q) = -kt + ln c, dan 50 – q = ce-kt

Jika t = 0, q = 0 dan c = 50; maka 50 – q = 50e-kt.t = 3, 50 – q = 25 = 50e-3k; maka e-3k = 0,5 = e-0,60, k = 0,23, dan 50 – q = 50e-0,23t

Jika jumlah yang tak diubah adalah 5, 50e-0,23t = 5; maka e-0,23t = 0,1 = e-2,30 dan t = 10.7. Sebuah bola digelindingkan pada lapangan rumput datar dengan kecepatan awal 8 ms -

1. Karena gesekan, kecepatan berkurang dengan kelajuan 2 ms-2. Berapa jauhkah bola akan menggelinding?

= -2 dan v = -2t + C1. Bila t = 0, v = 8; jadi C1 = 8 dan v = -2t + 8.

v = ds/dt = -2t + 8 dan s = -t2 + 8t + C2. Jika t = 0, s = 0 ; jika C2 = 0 dan s = -t2 + 8t.Jika v = 0, t = 4, artinya bola menggelinding 4 sekon sebelum berhenti.Jika t = 4, s = -16 + 32 = 16 m.

8. Sebuah batu dilempar lurus ke bawah dari balon yang diam, 300 m di atas tanah, dengan kecepatan 15ms-1. Tentukan letak batu dengan kecepatan 20 sekon kemudian.Ambil arah ke atas sebagai arah positif. Bila batu meninggalkan balon.

a = dv/dt = -9,8 ms-2 dan v = -9,8t + C1

Bila t = 0, v = -15; jadi C1 = -15. Maka v = ds/dt = -9,8t – 15 dan s = -4,9t2 – 15t + C2

Bila t = 0, s = 3000; jadi C2 = 3000; dan s = -4,9t2 -15t + 3000.Bila t = 20, s = -4,9(20)2 – 15(20) + 3000 = 750 dan v = -9,8(20) – 15 = -211.Setelah 20 sekon, batu berada 750 m di atas tanah dan kecepatannya adalah 211 ms-1.

9. Sebuah bola dijatuhkan dari balon yang berada 196 m di atas tanah. Jika balon naik dengan laju 14,7 ms-1, cari.

Page 61: Turunan (Differensial)

(a) jarak terjauh di atas tanah yang ditempuh bola,(b) waktu selama bola berada di udara,(c) kecepatan bola bila ia menumbuk tanah.

Ambil arah ke atas sebagai arah positif, makaa = dv/dt = -9,8 ms-2 dan v = -9,8t + C1

Jika t = 0, v = 14,7 jadi C1 = 14,7, maka v = ds/dt = -9,8t + 14,7 dan s = -4,9t2 + 14,7t + C2.Jika t = 0, s = 196 jadi C2 = 196 dan s = -4,9t2 + 14,7t + 196.(a) Bila v = 0, t = 3/2 dan s = -4,9(3/2)2 + 14,7(3/2) + 196 = 207. Ketinggian terjauh yang dicapai bola adalah 207 m.(b) Bila s = 0, -4,9t2 + 14,7t + 196 = 0 dan t = -5,8. Bola ada di udara selama 8 detik.(c) Bila t = 8, v = -9,8(8) + 14,7 = -63,7. Bola menumbuk tanah dengan kecepatan 63,7 ms-1.

10. Kecepatan air yang mengalir dari suatu lubang kecil pada kedalaman h m di bawah

permukaan adalah 0,6 ms-1, dengan g = 9,8 ms-2. Cari waktu yang dibutuhkan

untuk mengosongkan tangki silinder tegak, yang tingginya 1,225 m dan jari-jarinya 0,3 m, lewat lubang 2,5 cm pada dasar tangki.Misalkan h adalah kedalaman air pada saat t. Air yang mengalir ke luar dalam waktu dt menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi v dt m, jari-jari 1/80 m dan volume

π(1/80)2v dt = 0,6π(1/80)2 dt m3.

Misalkan –dh m menyatakan penurunan ketinggian permukaan yang bersangkutan. Pengurangan volume adalah –π(0,3)2 dh m2.Bila tangki kosong, h = 0 dan t = 480 sekon = 8 menit.

Soal-soal Tambahan11. Cari persamaan berkas kurva-kurva yang mempunyai kemiringan diketahui, dan

persamaan kurva dan berkas, yang lewat titik yang diketahui.(a) m = 4x; (1, 5)(b) m = ; (9, 18)(c) m = (x - 1)3; (3, 0)(d) m = 1/x2; (1, 2)(e) m = x/y; (4, 2)(f) m = x2/y3; (3, 2)(g) m = 2y/x; (2, 8)(h) m = xy/(1 + x2); (3, 5)Jawab: (a) y = 2x2 + C; y = 2x2 + 3

(b) 3y = 2x3/2 + C; 3y = 2x3/2

(c) 4y = (x – 1)4 + C; 4y = (x – 1)4 – 16(d) xy = Cx – 1; xy = 3x – 1(e) x2 – y2 = C; x2 – y2 = 12(f) 3y4 = 4x3 + C; 3y4 = 4x3 – 60(g) y = Cx2; y = 2x2

(h) y2 = C(1 + x2); 2y2 = 5(1 + x2)12. (a) Untuk kurva tertentu y’’ = 2. Cari persamaan kurvanya bila lewat P(2, 6) dengan

kemiringan 10. Jawab: y = x2 + 6x – 10

Page 62: Turunan (Differensial)

(b) Untuk kurva tertentu y’’ = 6x – 8. Cari persamaan kurvanya bila diketahui bahwa kurva lewat P(1, 0) dengan kemiringan 4. Jawab: y = x3 – 4x2 + 9x – 6

13. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dari titik asal O pada t = 0, dengan kecepatan v. Cari jarak yang ditempuh partikel selama sedang t = t1 sampai t = t2:(a) v = 4t + 1; 0, 4(b) v = 6t + 3; 1, 3(c) v = 3t2 + 2t; 2, 4(d) v = + 5; 4, 9(e) v = 2t – 2; 0, 5(f) v = t2 – 3t + 2; 0, 4Jawab: (a) 36, (b) 30, (c) 68, (d) 37 , (e) 17, (f) 17/3

14. Cari persamaan berkas kurva yang subtangennya pada tiap titik adalah sama dengan dua kali absis titik itu. Jawab: y2 = Cx

15. Cari persamaan berkas lintasan ortogonal dari sistem parabola y2 = 2x + CJawab: y = Ce-x

16. Sebuah partikel bergerak pada suatu garis lurus dari titik asal (pada t = 0) dengan kecepatan awal v0 dan percepatan a yang diketahui. Cari s pada saat t.(a) a = 32; v0 = 2, (b) a = -32; v0 = 96, (c) a = 12t2 + 6t; v0 = -3, (d) a = 1/ ; v0 = 4

Jawab: (a) s = 16t2 + 2t, (b) s = -16t2 + 96t, (c) s = t4 + t3 – 3t, (d) s = (t3/2 + 3t)17. Sebuah mobil diperlambat dengan perlambatan 0,025 ms-2. Berapa jauhkah mobil

akan bergerak sebelum ia berhenti, bila kecepatan awalnya 25 kmh-1. Jawab: 96,5 m18. Sebuah partikel dilemparkan vertikal ke atas dari suatu titik 34,3 m di atas tanah

dengan kecepatan awal 29,4 ms-1. (a) Berapa kecepatannya ketika partikel berada 73,5 m di atas tanah? (b) Bilamana partikel mencapai titik tertinggi dari lintasannya? (c) Dengan kecepatan berapa partikel menumbuk tanah?Jawab: (a) 9,8 ms-1, (b) setelah 3 sekon, (c) 39,2 ms-1

19. Sebuah balok es meluncur lewat luncuran dengan percepatan 1 ms-2. Panjang luncurannya 20 m dan es mencapai dasar dalam waktu 5 sekon. Berapakah kecepatan awal es dan kecepatannya bila ia berada 6 m dari dasar luncuran? Jawab: 1,5 ms-1, 5,5 ms-1

20. Percepatan konstan berapakah yang dibutuhkan (a) untuk menggerakkan sebuah partikel sejauh 25 m dalam waktu 5 sekon, (b) untuk memperlambat suatu partikel dari kecepatan 15 ms-1 sampai berhenti pada jarak 5 m? Jawab: (a) 2 ms-2 (b) -22,5 ms-2

21. Bakteri dalam suatu tempat pembiakan tertentu bertambah menurut rumus dN/dt = 0,25 N. Bila mula-mula N = 200, cari N bila t = 8. Jawab: 1478

Page 63: Turunan (Differensial)

Bab 33

Integral Tertentu(Definite Integral)

INTEGRAL TERTENTU. Misalkan a < x < b adalah selang di mana fungsi f(x) yang diketahui, kontinu. Bagi selang menjadi n sub selang h1, h2, . . ., hn, dengan menyisipkan n – 1 titik-titik ξ1, ξ2, . . ., ξn-1, di mana a < ξ1 < ξ2 < . . . < ξn-1 < b, dan ganti nama a menjadi ξ0 dan b menjadi ξn. Nyatakan panjang sub selang h1 dengan ∆1x = ξ1 – ξ0, h2

dengan

0 0 1 2 k - 1 k n - 1 n

1

a x1

x 2x

x2 xk

kxxn

nxb

Gambar 33-1∆2x = ξ2 – ξ1, hn dengan ∆nx = ξn – ξn-1. (Ini adalah jarak yang berarah, masing-masing adalah positif berdasarkan ketaksamaan di atas). Pada tiap sub selang pilihlah sebuah titik –x1 pada sub selang h1, x2 pada h2, . . ., xn pada hn – dan bentuk penjumlahan

(i) Sn = (xk)∆kx = f(x1)∆1x + f(x2)∆2x + . . . + f(xn)∆nx

tiap suku adalah perkalian panjang suatu sub selang dan nilai fungsi di titik yang dipilih pada sub selang tersebut. Nyatakan dengan λn panjang sub selang yang terpanjang yang muncul dalam (i). Sekarang misalkan jumlah sub selang menuju tak berhingga dengan cara sedemikian rupa, sehingga λπ → 0. (Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dengan membagi dua sama besar tiap sub selang yang mula-mula, secara bergilir bagi dua tiap sub selang yang mula-mula, secara bergilir bagi dua tiap sub selang, dan seterusnya). Maka

(ii) Sn = (xk)∆kx

ada dan adalah sama untuk semua metode dalam membagi lebih lanjut selang a < x < b, selama syarat λn → 0 dipenuhi, dan untuk semua pilihan titik-titik xk dalam hasil sub selang.Bukti teorema itu ada di luar lingkup buku ini. Dari Soal-soal 1-3 limit dihitung untuk fungsi f(x) yang dipilih. Namun harus dimengerti, bahwa untuk fungsi sebarang cara ini terlampau sulit ditempuh. Lagipula, supaya berhasil dalam perhitungan yang dibuat di sini, perlu ditentukan beberapa hubungan antara panjang sub selang-sub selang (diambil semua panjangnya sama) dan diikuti beberapa pola dalam memilih sebuah titik pada tiap sub selang (misalnya, pilih ujung kiri atau ujung kanan atau titik tengah tiap sub selang).Dengan perjanjian, ditulis

(x) dx = Sn = (xk)∆kx

Simbol (x) dx dibaca “integral tertentu dari f(x), terhadap x, dari x = a sampai x = b”.

Fungsi f(x) disebut dengan integran, sedang a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas (batas-batas) integrasi.

Lihat Soal-soal 1-3.

Page 64: Turunan (Differensial)

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU. Jika f(x) dan g(x) kontinu pada selang integrasi a < x < b:

1. (x) dx = 0

2. (x) dx = - (x) dx

3. f(x) dx = c (x) dx, untuk tiap konstanta c.

4. dx = (x) dx ± (x) dx

5. dx + dx = (x) dx, jika a < c < b

6. Teorema Nilai Rata-rata pertama:

(x) dx = (b – a)f(x0) untuk paling sedikit nilai x = x0 antara a dan b.

Sebagai bukti, lihat Soal 5.

7. Jika F(u) = dx, maka F(u) = f(u) Sebagai bukti, lihat Soal 6.

TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRAL. Jika f(x) kontinu dalam selang a < x < b dan jika F(x) adalah integral tak tentu dari f(x), maka

(x) dx = = F(b) – F(a)

Sebagai bukti, lihat Soal 7.Contoh 1:

(a) Ambil f(x) = c, suatu konstanta dan F(x) = cx; maka dx = = c(b – a).

(b) Ambil f(x) = x dan F(x) = x2; maka dx = = - 0 = .

(c) Ambil f(x) = x3 dan F(x) = x4; maka dx = = - = 20.

Hasil-hasil ini harus dibandingkan dengan Soal-soal 1-3. Pembaca akan menunjukkan bahwa tiap integral tak tentu dari f(x) dapat dipakai dengan memecahkan kembali (c) dengan F(x) = x4 + C.

Lihat Soal-soal 8-20.

TEOREMA BLISS. Jika f(x) dan g(x) kontinu dalam selang a < x < b, jika selang dibagi menjadi sub selang seperti yang lalu, dan bila dua titik dipilih dalam tiap sub selang (yaitu xk dan x’k dalam sub selang ke k), maka

• g(x’k)∆kx = • g(x) dx

Mula-mula harus dicatat bahwa teorema ini benar bila titik-titik xk dan x’k adalah identik. Keunggulan teorema ini adalah bahwa jika titik-titik tiap pasangan berbeda, hasilnya sama seperti bila titik-titik itu berimpit. Suatu intuisi untuk keabsahan teorema timbul dengan menuliskan

Page 65: Turunan (Differensial)

• g(x’k)∆kx = • g(x’k)∆kx + {g(x’k) – g(xk)}∆kx

dan mencatat bahwa bila n → +∞ (artinya, ∆kx → 0)xk dan x’k harus menjadi lebih mendekati identik dan, karena g(x) adalah kontinu g(x’k) – g(xk) harus → 0.

Soal-soal yang Dipecahkan

Dalam Soal-soal 1-3 hitung integral tertentu dengan membentuk Sn dan mendapatkan limitnya bila n → +∞.

1. dx = c(b – a), c adalah konstanta.

Misalkan selang a < x < b dibagi menjadi n sub selang yang sama dengan panjang ∆x = (b – a)/n. Karena integran adalah f(x) = c, maka f(xk) = c untuk tiap pilihan titik xk

pada sub selang ke-k, dan

Sn = (xk)∆kx = c(∆x) = (c + c + . . . + c)(∆x) = nc • ∆x = nc = c(b – a)

Jadi dx = Sn = c(b – a) = c(b – a)

2. dx = 25/2.0 x1 x2

x x0 1 2 3 4

xk

k - 1x

k

xn

n - 2 n - 1 n

xn - 15

Gambar 33-2Misalkan selang 0 < x < 5 dibagi menjadi n sub selang dengan panjang ∆x = 5/n yang sama. Ambil ujung kanan sub selang sebagai titik-titik xk, artinya, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, . . ., xn = n∆x. Maka

Sn = (xk)∆kx = ∆x = (1 + 2 + ... + n)(∆x)2 = =

dan dx = Sn = =

3. dx = 20.

Misalkan selang 1 < x < 3 dibagi menjadi n sub selang dengan panjang ∆x = 2/n.I. Ambil ujung-ujung kiri sub selang sebagai titik-titik xk seperti dalam Gambar 33-3

di bawah, artinya, x1 = 1, x2 = 1 + ∆x, ..., xn = 1 + (n – 1)∆x. Maka

Sn = (xk)∆kn = • ∆x + • ∆x + . . . + • ∆x

= [1 + (1 + ∆x)3 + (1 + 2 • ∆x)3 + ... + {1 + (n – 1)∆x}3] ∆x= [n + 3{1 + 2 + ... + (n – 1)}∆x + 3{12 + 22 + ... + (n – 1)2}(∆x)2 + {13 + 23

+ ... + (n – 1)3}(∆x)3]∆x

=

Page 66: Turunan (Differensial)

= 2 + + + = 20 - +

dan dx = = 20

x x0 1 2 3

x

x1 x2 x31

xk xk + 1

xk - 1 k

xn 3

n - 1 n

Gambar 33-3

x x0 1 2 3

x

1 x1 x2 x3

k - 1 k

xk xn 3

n - 1 n

Gambar 33-4II. Ambil titik tengah sub selang sebagai titik-titik xk, seperti dalam Gambar 33-4 di

atas, artinya,

x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + ∆x, . . ., xn = 1 + ∆x. Maka

Sn = ∆x

=

+ ∆x

= n + n2 + (4n3 – n) + (2n4 – n2)

= 2 + 6 + + = 20 -

dan = 20

4. Buktikan:

(a) dx = 0. Di sini selang integrasi panjangnya 0; jadi ∆x = 0, Sn = 0 dan

= Sn = 0.

0 1 2 k - 1 k n - 1 n

xnxka x1 x2 b xka xn x1xn - 1 b

01k - 1kn - 1n

Gambar 33-5 Gambar 33-6

(b) (x) dx = - (x) dx. Misalkan selang a < x < b dibagi dan titik-titik xk

dipilih seperti dalam Gambar 33-5 dan bila dihitung dari Gambar 33-6 adalah identik kecuali untuk tanda ∆kx yang adalah positif pada bagian pertama dan

negatif pada yang kedua. Jadi (x) dx = - (x) dx.

Page 67: Turunan (Differensial)

(c) • f(x) dx = c (x) dx, untuk pembagian selang yang baik dan tiap pilihan

titik pada sub selang, Sn = f(xk)∆kx = c (xk)∆kx

Maka f(x) dx = c (xk)∆kx = c (x) dx

5. Buktikan Teorema Nilai Tengah pertama dari Kalkulus Integral. Jika f(x) kontinu

dalam selang a < x < b, maka dx = (b – a) • f(x0) untuk paling sedikit satu

nilai x = x0 antara a dan b.Teorema ini dibenarkan, lewat Contoh 1 (a), bila f(x) = c, konstanta. Dengan cara lain misalkan m adalah nilai minimum mutlak dan M adalah nilai maksimum mutlak dari f(x) pada selang a < x < b. Untuk tiap pembagian selang yang baik dan tiap pilihan titik xk pada sub selang,

∆kx < ∆kx < ∆kx

Sekarang bila n → +∞, maka

dx < dx < dx

yang dari Soal 1, menjadi

m(b – a) < dx < M(b – a)

Maka m < dx < M

sehingga dx = N, dengan N adalah suatu bilangan antara m dan M.

Sekarang, karena f(x) adalah kontinu dalam selang a < x < b, dari Teorema, Bab 3, N harus muncul paling sedikit sekali tiap nilai dari m sampai M. Jadi harus ada suatu nilai x, misalnya x = x0, sedemikian rupa, sehingga f(x0) = N. Maka

dx = N = f(x0) dan dx = (b – a)f(x0)

6. Buktikan: Jika F(u) = dx, maka F(u) = f(u).

Dari ketentuan bertahap untuk mencari turunan

F(u + ∆u) – F(u) = dx - dx

yang dengan menggunakan Sifat-sifat 2, 5, dan 6 secara bergilir menjadi

F(u + ∆u) – F(u) = dx + dx = dx

= f(u0) • ∆u, dengan u < u0 < u + ∆uMaka

Page 68: Turunan (Differensial)

= f(u0) dan = = f(u0) = f(u)

karena ∆u → 0, u0 → u.Sifat ini sering dinyatakan sebagai

(i) Jika F(x) = dx, maka F’(x) = f(x).

Penggunaan penggunaan dari huruf u di atas hanya merupakan suatu percobaan untuk menghindari kemungkinan mengacaukan sejumlah peranan x. Perhatikanlah secara seksama (i) bahwa F(x) merupakan fungsi batas dari integrasi x dan bukan dari huruf dumi x dalam f(x)dx. Dengan kata lain, sifat tersebut dapat juga dinyatakan:

Jika F(x) = dt, maka F’(x) = f(x).

Dari (i) maka F(x) adalah integral tak tentu dari f(x).7. Buktikan: Jika f(x) kontinu dalam selang a < x < b dan jika F(x) adalah sebarang

integral tak tentu dari f(x) maka dx = F(b) – F(a)

Gunakan pernyataan terakhir dalam Soal 6 untuk menulis

dx = F(x) + C

Bila batas atas integral adalah x = a, maka

dx = 0 = F(a) + C dan C = -F(a)

Maka dx = F(x) – F(a) dan bila batas atas integrasi adalah x = b, maka seperti

yang harus dibuktikan dx = F(b) – F(a)

Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Integral untuk menghitung Soal-soal berikut:

8. dx = = - =

9. dx = = - =

10. = = 2( - ) = 2

11. dx = = -2(e-3/2 – e) = 4.9904

12. = = ln 8 – ln 4 = ln 2

13. x dx = = - =

14. = arc tan = =

15. dx = = - - 2 ln

Page 69: Turunan (Differensial)

16. = ln = = ln 0.1

17. x dx = = (e ln e – e) – (ln 1 – 1) = 1

18. Cari dx bila x = 6 cos θ, y = 2 sin θ.

Di sini x, y dan dx dinyatakan dalam parameter θ dan dθ, batas-batas integrasi diubah sesuai dengan nilai-nilai parameter yang bersangkutan, dan integral hasilnya dihitung.dx = -6 sin θ dθ. Bila x = 6 cos θ = 6, θ = 0; dan bila x = 6 cos θ = 3, θ = π/3. Maka

dx = (2 sin θ)(-6 sin θ) dθ

= -72 θ cos θ dθ = = -24{0 – ( /2)3} = 9

19. Cari . = = .

Untuk menentukan batas integrasi z (θ = 2 arc tan z): Bila θ = 0, z = 0; bila θ 2π/3, arc tan z = π/3 dan z = . Maka

= 2 = arc tan =

2z

1 - z2

1 + z2

Gambar 33-7

20. Cari . = = .

Jika x = 0, arc tan z = 0 dan z = 0; bila x = π/3, arc tan z = π/6 dan z = /3. Maka

= 2 = = - 2 = + 1.

Soal-soal Tambahan

21. Hitung dx dari Soal 1 dengan membagi selang a < x < b ke dalam n sub selang

dengan lebar ∆1x, ∆2x, . . ., ∆nx. Perhatikan bahwa = b – a.

22. Hitung dx dari Soal 2 dengan menggunakan sub selang yang sama lebarnya dan

(a) memilih ujung kiri sub selang sebagai xk, (b) memilih titik tengah sub selang

Page 70: Turunan (Differensial)

sebagai xk, (c) memilih titik xk, pada titik sepertiga dari tiap sub selang, artinya, mengambil x1 = ∆x, x2 = ∆x, . . .

23. Hitung dx = 21 dengan menggunakan sub selang yang sama lebarnya dan

memilih titik xk adalah (a) ujung kanan sub selang, (b) ujung kiri sub selang, (c) titik tengah sub selang.

24. Dengan menggunakan pilihan sub selang dan titik-titik yang sama seperti pada Soal

23(a), hitung dx dan dx, dan buktikan bahwa dx =

(x) dx + (x) dx.

25. Hitung dx dan dx. Bandingkan jumlahnya dengan hasil Soal 23, untuk

membuktikan dx + dx = dx jika a < c < b.

26. Hitung dx = e – 1.

Petunjuk. Sn = = e∆x(e – 1) dan = adalah

bentuk tak tentu dengan jenis 0/0.27. Buktikan sifat-sifat integral tentu ke 4 dan 5.28. Gunakan Teorema Dasar untuk menghitung:

(a) dx = 6

(b) dx = 8/3

(c) dx = 9

(d) t dt = -9/4

(e) du = -116/15

(f) dx = 26

(g) (x3 + 1)dx = 40/3

(h) = 2

(i) (1 - )2 dx = 1/30

(j) = 6

(k) dx = a2π

(l) dx = -

Page 71: Turunan (Differensial)

(m) = ln

(n) = -

(o) dx = 4 ln (2 + ) - 2

(p) = ln

(q) (x2 + 1)dx = ln 2 + π – 2

(r) t dt = 4

(s) sin 3x dx = (π2 – 4)

(t) =

29. Buktikan = .

30. Hitung dx = 3π, diketahui x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ.

31. Hitung dx = + ln 2, diketahui y = x2 - ln x.

32. Hitung dt = e2(e – 1), diketahui x = et cos t, y = et sin t.

33. Gunakan rumus reduksi yang tepat (Bab 26) untuk membentuk rumus Wallis.

x dx = x dx = jika n genap dan > 0

= jika n gasal dan > 1

x cosn x dx = jika m dan n genap dan > 0

= jika m gasal dan > 1

= jika n gasal dan > 1

34. Hitung :

(a) dx = 98/3

(b) dx =

Page 72: Turunan (Differensial)

(c) dx = 4 ln - 1

(d) dx = (e2 + 1)

(e) = ln

(f) dx = ln + 2 -

(g) = ln

(h) (x + )dx = 3 ln (3 + 2 ) - 2

(i) = ln ( - 1)

(j) = 4 ln -

(k) = ln +

(l) = ln +

Page 73: Turunan (Differensial)

Bab 34

Luas Bidang dengan Integrasi

LUASAN SEBAGAI LIMIT PENJUMLAHAN. Jika f(x) kontinu dan tidak negatif

dalam selang a < x < b, integral tertentu dx = (xk)∆kx dan dijelaskan

secara geometris. Misalkan selang a < x < b dibagi dan titik xk dipilih seperti pada bab yang lalu. Pada tiap titik ujung ξ0 = a, ξ1, ξ2, ..., ξn = b tarik garis tegak lurus pada sumbu-x, jadi membagi bagian dari bidang dengan batas bagian atas oleh kurva y = f(x), di bawah oleh sumbu-x, dan secara lateral oleh ordinat x = a dan x = b menjadi n pita. Dekati tiap pita dengan suatu persegi panjang yang alasnya adalah alas pita dan tingginya adalah ordinat yang didirikan di titik xk dari sub selang. Luas wakil persegi panjang yang

didekati yang ditunjuk dalam Gambar 34-1 adalah f(xk) ∆kx. Jadi (xk)∆kx adalah

jumlah luas n buah persegi panjang yang didekati.y

y = f x( )

aOx

P k k kx y,( )

kx

y =

fx

kk

()

k - 1 kbkx

Gambar 34-1

Limit jumlah ini, dx, bila jumlah pita menuju tak terhingga seperti dijelaskan

dalam Bab 33, dari definisi adalah luas bagian bidang yang digambarkan di atas, atau secara singkat, luas di bawah kurva dari x = a hingga x = b.

Lihat Soal-soal 1-2.Dengan cara yang sama, bila x = g(y) adalah kontinu dan tidak negatif dalam selang c < y

< d, maka integral tertentu dy dari definisi adalah luas yang dibatasi kurva x =

g(y), sumbu-y dan absis y = c serta y = d.Lihat Soal 3.

Jika y = f(x) adalah kontinu dan tidak positif pada selang a < x < b, maka dx

adalah negatif, menunjukkan bahwa luasan terletak di bawah sumbu-x. Dengan cara yang

sama, jika x = g(y) adalah kontinu dan tidak positif dalam selang c < y < d, dy

adalah negatif, menunjukkan bahwa luasan terletak di kiri sumbu-y.Lihat Soal 4.

Page 74: Turunan (Differensial)

Jika y = f(x) berubah tanda dalam selang a < x < b atau jika x = g(y) berubah tanda dalam selang c < y < d, maka luasan ”di bawah kurva” diberikan oleh jumlah dua atau lebih integral tertentu.

Lihat Soal 5.LUASAN DENGAN INTEGRASI. Langkah-langkah yang perlu untuk membentuk integral tertentu yang menghasilkan luas yang diminta adalah:(1) Buat suatu gambar, yang menunjukkan (a) luas yang dicari, (b) wakil pita, dan (c)

persegi panjang yang didekati. Sebagai suatu kebijaksanaan, akan ditunjukkan wakil sub selang yang lebarnya ∆x (atau ∆y) dan titik xk (atau yk) pada sub selang ini sebagai titik tengah.

(2) Tulis luas persegi panjang yang didekati dan jumlahnya untuk n buah persegi panjang.

(3) Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan Teorema Dasar pada bab sebelum ini.

Lihat Soal-soal 6-14.

Soal-soal yang Dipecahkan1. Cari luas yang dibatasi kurva y = x2, sumbu-x dan ordinat x = 1 dan x = 3.

Gambar 34-2 menunjukkan luas KLMN yang dicari, wakil pita RSTU, dan persegi panjang yang didekati RVWU. Untuk persegi panjang ini, alas adalah ∆kx, tingginya yk

= f(xk) = dan luas adalah •∆kx. Maka

A = ∆kx = dx

= = 9 - = satuan kuadrat

P k k kx y,( )T

L

OK

R UN

WVS

M

y

x

y = x2

xk1 3

ky

kx

Gambar 34-22. Cari luas yang terletak di atas sumbu-x dan di bawah parabola y = 4x – x2.

Kurva yang diberikan memotong sumbu-x di x = 0 dan x = 4. Jika pemotongan secara vertikal digunakan, maka nilai-nilai ini menjadi batas-batas integrasi. Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjuk dalam Gambar 34-3, lebar adalah ∆ kx, dan tinggi adalah yk = 4xk - , dan luas adalah (4xk - )•∆kx. Maka

A = ∆kx = dx

= = 32/3 satuan kuadrat

Page 75: Turunan (Differensial)

Dengan selalu mengingat cara lengkap seperti diberikan di atas, penyingkatan kerja dimungkinkan. Akan terlihat bahwa, di samping batas-batas integrasi, integral tertentu dapat diformulasikan bila luas persegi panjang yang didekati telah ditentukan.

y

xO

P k k kx y,( )

ky

kx4

Gambar 34-33. Cari luas yang dibatasi parabola x = 8 + 2y – y2, sumbu-y, dan garis y = -1 dan y = 3.

Di sini luasan dipotong menjadi pita-pita horisontal. Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjukkan dalam Gambar 34-4, lebar adalah ∆y, panjang adalah x = 8 + 2y – y2, dan luas adalah (8 + 2y – y2)∆y. Luas yang ditanya adalah

dy = = satuan kuadrat

y

x

P x, y( )x

O-1

3

y

Gambar 34-44. Cari luas yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 7x + 6, sumbu-x dan garis-garis x = 2

dan x = 6.Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjukkan dalam Gambar 34-5, lebar adalah ∆x, tinggi adalah –y = -(x2 – 7x + 6) dan luas adalah -(x2 – 7x + 6) ∆x. Luas yang ditanyakan adalah

A = (x2 – 7x + 6)dx = -

= satuan kuadrat

P x, y( )

-y

O

yxx1 2 6

Gambar 34-55. Cari luas antara kurva y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu-x.

Page 76: Turunan (Differensial)

Kurva memotong sumbu-x di x = 0, x = 2 dan x = 4 seperti dalam Gambar 34-6. Dengan menggunakan irisan-irisan vertikal, luas persegi panjang yang didekati dengan alas pada selang 0 < x < 2 adalah (x3 – 6x2 + 8x)∆x, dan luas bagian yang

terletak di atas sumbu-x diberikan oleh dx. Luas persegi panjang

yang didekati dengan alas pada selang 2 < x < 4 adalah -(x3 – 6x2 + 8x)∆x, dan luas

bagian yang terletak di bawah sumbu-x diberikan oleh dx. Karena

itu luas yang ditanyakan adalah

A = dx + dx

= -

= 4 + 4 = 8 satuan kuadratPenggunaan dua integral tertentu di sini penting, karena integran berubah tanda pada selang integrasi. Kegagalan dalam menyadari hal ini akan menghasilkan integral yang

tidak benar dx = 0.

O x x2 4x

P x, y( )y

P x, y( )

y

-y

Gambar 34-66. Cari luas yang dibatasi x = 4 – y2 dan sumbu-y.

Parabola memotong sumbu-sumbu-x di titik (4, 0) dan sumbu-y di titik-titik (0, 2) dan (0, -2). Akan diberikan dua penyelesaian.

P x, y( )y

O

2

y

x

-2

4

x = 4 - y 2

P x, y( )

O

2

y

x

-2

4x

2y

Gambar 34-7 (a) Gambar 34-7 (b)

Menggunakan irisan horisontal. Untuk persegi panjang yang didekati pada Gambar 34-7 (a), lebar adalah ∆y, panjang adalah 4 – y2, dan luas adalah (4 – y2)∆y. Batas-batas integrasi hasil integral tertentu adalah y = -2 dan y = 2. Namun harus diingat bahwa luas yang terletak di bawah sumbu-x adalah sama dengan yang terletak di atas. Jadi untuk luas yang ditanya diperoleh

Page 77: Turunan (Differensial)

dy = 2 dy = 2 = satuan kuadrat

Menggunakan irisan vertikal. Untuk persegi panjang yang didekati pada Gambar 34-7(b), lebar adalah ∆x, tinggi adalah 2y = 2 , dan luas adalah 2 ∆x. Batas-batas integrasi adalah x = 0 dan x = 4. Jadi luas yang ditanyakan adalah

dx = - = satuan kuadrat

7. Cari luas yang dibatasi parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4.Garis memotong parabola di titik-titik (1, -2) dan (4, 4). Dapat dilihat dari dua gambar di bawah bahwa bila irisan vertikal digunakan, beberapa pita bergerak antara garis ke parabola dan yang lain-lain dari bagian parabola ke bagian lain parabola, sedang bila irisan horisontal digunakan, tiap pita bergerak dari parabola ke garis. Di sini akan diberikan kedua penyelesaian tersebut untuk menunjukkan keunggulan yang satu terhadap yang lain dan untuk menunjukkan bahwa kedua cara mengiris harus dipertimbangkan sebelum mulai menghitung integral tertentu.

P x, y( )

P x, y( )

y

xO

(4, 4)

(1, -2)

y y( )+ 212 y- 1

22

P x, y ( )

P x, y ( )

y

xO

(4, 4)

(1, -2)

x( )4-2-x2

x4

xx

y = x - 2 4 y2 = x4

1

2

Gambar 34-8 (a) Gambar 34-8 (b)

Menggunakan irisan horisontal. Lihat Gambar 34-8 (a). Untuk persegi panjang yang didekati pada Gambar 34-8(a), lebar adalah ∆y, panjang adalah {(nilai x dari garis) – (nilai x dari parabola)} = ( y + 2) - y2 = 2 + y - y2, dan luas adalah (2 + y - y2)∆y. Luas yang ditanyakan adalah

dy = = 9 satuan kuadrat.

Menggunakan irisan vertikal. Lihat Gambar 34-8(b). Bagi luasan dengan garis x = 1. Untuk persegi panjang yang didekati di kiri garis ini, lebar adalah ∆x, tinggi (dengan menggunakan simetri) adalah 2y = 4 dan luas adalah 4 ∆x. Untuk persegi

panjang yang didekati di kanan, lebar adalah ∆x, tinggi adalah 2 - (2x – 4) = 2

- 2x + 4, dan luas adalah (2 - 2x + 4) ∆x. Luas yang ditanyakan adalah

dx + dx = + = + = 9

satuan luas8. Cari luas yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x.

Page 78: Turunan (Differensial)

Parabola-parabola berpotongan di titik-titik (0, 0) dan (4, 8). Segera terlibat bahwa pengirisan vertikal akan menghasilkan penyelesaian yang lebih mudah.Untuk persegi panjang yang didekati, lebar adalah ∆x, tinggi adalah {(nilai y batas atas) – (nilai y batas bawah)} = (6x – x2) – (x2 – 2x) = 8x – 2x2, dan luas adalah (8x – 2x2)∆x. Luas yang ditanyakan adalah

dx = = satuan kuadrat

O

y

x

P x, y ( )2(4, 8)

2 P x, y ( )1x 6

y x x = 6 - 2

y x - x = 2

2(

2)

x -

x

(6 -

)

xx 2

-Gambar 34-9

9. Cari luas yang dilingkupi kurva y2 = x2 – x4.Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-sumbu koordinat.Jadi luas yang ditanyakan adalah empat kali bagian yang terletak di kuadran pertama.

Untuk persegi panjang yang didekati, lebar adalah ∆x, tinggi y = = x

dan luas adalah x ∆x. Jadi luas yang ditanyakan adalah

4 dx = = satuan kuadrat

x

y

P x, y( )

x

y

O

Gambar 34-1010. Cari luas potongan yang kecil dari lingkaran x2 + y2 = 25 oleh garis x = 3. (Lihat

Gambar 34-11 di bawah).

A = = 2 dx = 2

= satuan kuadrat

P x, y( )

y

x3 5O

x

x

y

O

y

(1, - )3

(1, )3

Gambar 34-11 Gambar 34-12

Page 79: Turunan (Differensial)

11. Cari luas yang berimpit dari lingkaran-lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 4x. Lihat Gambar 34-12 di atas.Lingkaran-lingkaran berpotongan di titik-titik (1, ± )

Persegi panjang yang didekati berkisar dari x = 2 - ke x = .

A = 2 dy = 4 dy

= 4 = satuan kuadrat

12. Cari luas ikal kurva y2 = x4(4 + x). Lihat Gambar 34-13 di bawah.

A = dx = 2 dx. Ambil 4 + x = z2; maka

A = 4 z2 dz = 4 = satuan kuadrat

P x, y( )y

xx O-4

P x, y( )

xx

O 2

y

O

y

x

Gambar 34-13 Gambar 34-14 Gambar 34-15

13. Cari luas lengkungan sikloida x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ. Lihat Gambar 34-15 di atas.Lengkungan digambarkan dengan θ yang berubah dari 0 sampai 2π, maka dx = (1 – cos θ)dθ dan

A = dx = dθ = dθ

= = 3π satuan kuadrat

14. Cari luas yang dibatasi kurva x = 3 + cos θ, y = 4 sin θ. Lihat Gambar 34-15 di atas.Batas daerah yang diberi garis-garis miring dalam gambar ( luas yang ditanyakan),

dinyatakan dari kanan ke kiri bila θ berubah dari 0 hingga .

A = -4 (-sin θ)dθ = 16 θ dθ = 8 dθ

= 8 = 4π satuan kuadrat.

Soal-soal Tambahan15. Cari luas-luas yang dibatasi garis-garis sebagai berikut:

(a) y = x2, y = 0, x = 2, x = 5(b) y = x2, y = 0, x = 1, x = 3(c) y = 4x – x2, y = 0, x = 1, x = 3

Page 80: Turunan (Differensial)

(d) x = 1 + y2, x = 10(e) x = 3y2 – 9, x = 0, y = 0, y = 1(f) x = y2 + 4y, x = 0(g) y = 9 – x2, y = x + 3(h) y = 2 – x2, y = -x(i) y = x2 - 4, y = 8 – 2x2

(j) y = x2 – 4x2, y = 4x2

(k) Ikal y2 = x2(a2 – x2)(l) Ikal 9ay2 = x(3a – x)2

(m)y = ex, y = e-x, x = 0, x = 2(n) y = ex/a + e-x/a, y = 0, x = ± a(o) xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2

(p) y = 1/(1 + x2), y = 0, x = ± 1(q) y = tan x, x = 0, x = (r) Sektor lingkaran berjari-jari r dan sudut α.(s) Elips x = a cos t, y = b sin t.(t) x = 2 cos θ – cos 2θ – 1, y = 2 sin θ – sin 2θ.(u) x = a cos3 t, y = a sin3 t.(v) Busur pertama y = e-ax sin ax.(w)y = , y = 0, dan ordinat maksimum.(x) Kedua cabang (2x – y)2 = x3 dan x = 4.(y) Antara y = 25 – x2, 256x = 3y2, 16y = 9x2.Jawab: (a) 39 satuan kuadrat, (b) 20, (c) 22/3, (d) 36, (e) 8, (f) 32/3, (g) 125/6, (h) 9/2, (i) 32, (j) 512 /15, (k) 2a3/3, (l) 8 a2/5, (m) (e2 + 1/e2 – 2), (n) 2a(e – 1/e), (o)

24, (p) , (q) ln 2, (r) r2a, (s) πab, (t) 6π, (u) 3πa2/8, (v) (1 + 1/eπ)/2a, (w) (1 -

1 ), (x) 128/5, (y) 98/3 satuan kuadrat.Dengan ordinat rata-rata kurva y = f(x) pada selang a < x < b dimaksudkan besaran

=

16. Cari ordinat rata-rata (a) suatu setengah lingkaran, (b) parabola y = 4 – x2 dari x = -2 ke x = 2. Jawab: (a) πr/4, (b) 8/3

17. (a) Cari ordinat rata-rata busur sikloida x = a(θ – sin θ), y = a(1 – cos θ) terhadap x.(b) Sama, terhadap θ.

Jawab: (a) (1 – cos θ)2 dθ = , (b) (1 – cos θ)dθ = a

18. Untuk benda jatuh bebas, s = dan v = gt = .

(a) Tunjukkan bahwa nilai rata-rata v terhadap t untuk selang 0 < t < t1, adalah setengah kecepatan akhir.

(b) Tunjukkan bahwa nilai rata-rata v terhadap s untuk selang 0 < s < s1, adalah dua pertiga kecepatan akhir.

Page 81: Turunan (Differensial)

Bab 35

Volume Benda Putar

BENDA PUTAR, dibentuk dengan memutar suatu bidang datar sekeliling sebuah garis, disebut sumbu putar pada bidang datar. Volume benda putar dapat ditemukan melalui salah satu cara di bawah ini.

METODE CAKRAMA. Sumbu putar merupakan bagian batas bidang datar.

(1) Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil tegak lurus sumbu putar, dan persegi panjang yang didekati pita itu seperti telah disebutkan pada bab terdahulu.

(2) Tulislah volume dari cakram (tabung) yang terbentuk, jika persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah persegi panjang yang didekati.

(3) Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak berhingga dan gunakan Teorema Dasar (Fundamental Theorem).

Lihat Soal-soal 1-2.B. Sumbu putar tidak merupakan bagian batas bidang datar.

(1) Seperti (1) di atas.(2) Perpanjang sisi persegi panjang ABCD yang didekati, sampai bertemu sumbu

putar di E dan F seperti Gambar 35-3 Soal 3 di halaman 180. Apabila persegi panjang yang didekati ini diputar sekeliling sumbu putar, suatu cincin penutup terbentuk, volumenya adalah selisih antara hasil putaran persegi panjang EABF dan ECDF sekeliling sumbu putar. Tulislah selisih antara kedua volume itu dan lanjutkan seperti (2) di atas.

(3) Seperti (3) di atas.

METODE RUMAH SIPUT(1) Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil sejajar sumbu putar dan

persegi panjang yang didekati.(2) Tulislah volume (= keliling rata-rata x tinggi x tebal) rumah siput yang berbentuk

tabung, yang terjadi apabila persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah persegi panjang yang didekati.

(3) Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak terhingga dan gunakan Teorema Dasar.

Lihat Soal-soal 5-8.

Soal-soal yang Dipecahkan

1. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah di kuadran I, yang dibatasi oleh parabola y2 = 8x dan latus rectumnya* (x = 2) sekeliling sumbu-x. (Latus rectum ialah garis yang melalui fokus parabola dan tegak lurus sumbu simetri).Lihat Gambar 35-1 di bawah. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Jika persegi panjang yang didekati dari Gambar 35-1 diputar sekeliling sumbu-x, suatu cakram

Page 82: Turunan (Differensial)

berjari-jari y, tingginya ∆x, dan volumenya πy2∆x, terbentuk. Jumlah volume n buah cakram, sesuai dengan n buah persegi panjang yang didekati, ialah ∑πy2∆x dan volume yang ditanyakan ialah

V = = y2 dx = π dx = = 16π satuan kubik

(2, -4)

(2, 4)

2 x

P x , y( )

y

O

y

x

yP x, y( )

(2, 4)

(2, -4)

2 - xy

O x2

Gambar 35-1 Gambar 35-2

2. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y2 = 8x dan latus rectumnya (x = 2) sekeliling latus rectum itu.Lihat Gambar 35-2 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan horisontal. Jika persegi panjang yang didekati dari Gambar 35-2 diputar sekeliling latus rectum parabola, maka terbentuk cakram dengan jari-jari 2 – x, tingginya ∆y, volumenya π(2 – x)2∆y. Volume yang ditanyakan ialah

V = (2 – x)2dy = 2π dy = 2π dy = π satuan kubik

3. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y = 8x dan latus rectumnya (x = 2) sekeliling sumbu-y.Lihat Gambar 35-3 di bawah. Bagilah daerah itu dengan irisan horisontal. Jika persegi panjang yang didekati Gambar 35-3 diputar sekeliling sumbu-y, yang membentuk sebuah pembersih yang volumenya berbeda dari volume yang dibentuk dengan perputaran ECDF (dimensi 2 x ∆y) dan persegi panjang EABF (dimensi x x ∆y) sekeliling sumbu-y, yaitu π(2)2∆y - π(x)2∆y. Volume yang ditanyakan ialah

V = dy - dy = 2π dy = 2π dy = π satuan

kubik

x

y (2, 4)

(2, -4)

2O

EF

CD

A

B

P x , y( )

y

y

xO

y = 6

P x, y( )

x4

Gambar 35-3 Gambar 35-4

4. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah perpotongan parabola y = 4x – x2 dengan sumbu-x, sekeliling garis y = 6.

Page 83: Turunan (Differensial)

Lihat Gambar 35-4 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Benda padat yang terbentuk oleh perputaran persegi panjang yang didekati sekeliling y = 6 ialah cincin penutup, volumenya π(6)2∆x - π(6 - y)2∆x. Volume yang ditanyakan ialah

V = π dx = π dx

= π dx = satuan kubik

5. Lihat Gambar 35-5 di bawah. Misalkan volume yang ditanyakan terbentuk oleh perputaran sekeliling sumbu-y, daerah kuadran I di bawah kurva y = f(x) dari x = a ke x = b. Daerah terbagi atas n pita dan setiap pita didekati oleh persegi panjang. Jika persegi panjang yang mewakili itu diputar sekeliling sumbu-y, suatu rumah siput yang berbentuk tabung dengan tinggi yk, jari-jari dalam ξk-1, jari-jari luar ξk dan volumenya

(i) ∆kV = π yk

Terbentuk dengan ketentuan rata-rata untuk turunan,

(ii) = • = 2x’k∆kx

di mana ξk-1 < x’k < ξk. Maka (i) menjadi∆kV = 2πx’kyk∆kx = 2πx’kf(xk)∆kx

dan V = 2π f(xk)∆kx = 2π f(x) dx dengan Teorema Bliss

Catatan: Jika kebijaksanaan dalam memilih xk sebagai titik tengah dari selang bagian, yang dipergunakan pada bab sebelumnya, diikuti, Teorema Bliss tidak dibutuhkan. Karena, dari Soal 17(b), Bab 21, x’k didefinisikan oleh (ii) di atas, maka x’k = (ξk + ξk-1) = xk. Jadi volume yang terbentuk karena perputaran n buah persegi panjang sekeliling sumbu-y ialah

f(xk)∆kx = ∆kx dari (i) pada Bab 33.y

xO ba

y = f x( )

xk

xk

k - 1

k

y k

xO

(2, -4)

2

BA x

x

yP x, y( )

(2, 4)

Gambar 35-5 Gambar 35-6

6. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y2 = 8x dan latus rectumnya sekeliling latus rectum. Gunakan metode rumah siput. (Lihat Soal 2).Lihat Gambar 35-6 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal dan, untuk memudahkan, pilihlah titik P sedemikian rupa, sehingga x merupakan titik tengah dari garis AB.

Page 84: Turunan (Differensial)

Persegi panjang yang didekati pada Gambar 35-6, tingginya ialah 2y = 4 , lebarnya ∆x dan jarak rata-rata dari latus rectumnya ialah 2 – x. Jika persegi panjang itu diputar sekeliling latus rectumnya, volume rumah siput yang berbentuk silinder yang terjadi ialah 2π(2 – x) • 4 ∆x. Volume yang ditanyakan ialah

V = 8 π dx = 8 π dx = satuan kubik

7. Cari volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 sekeliling garis x = 3.Dipergunakan metode rumah siput. Persegi panjang yang didekati mempunyai tinggi 2y, tebal ∆x, dan jarak rata-rata dari sumbu putar 3 – x. Volume yang ditanyakan ialah

V = 2π (3 – x)dx = 4π dx

= 12π dx - 4π dx

=

= 24π2 satuan kubiky

x

x =

3

2

3 x-2 O

P x , y( )

Gambar 35-78. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran sekeliling sumbu-y, daerah antara

busur pertama sikloida x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ dan sumbu-x. Gunakan metode rumah siput.

V = 2π dx = 2π (1 – cos θ)(1 – cos θ)dθ

= 2π dθ

= 2π

= 6π3 satuan kubik

P x, y( )y

xO x 2

Gambar 35-89. Cari volume benda, jika daerah yang dibatasi oleh y = -x2 – 3x + 6 dan x + y – 3 = 0

diputar (a) sekeliling x = 3, (b) sekeliling y = 0.

(a) V = 2π (3 – x)dx

= 2π dx = 256π/3 satuan kubik

Page 85: Turunan (Differensial)

(b) V = π dx

= π dx = 1792π/15 satuan kubik

x

x =

3

O

(1, 2)

(-3, 6)

y( )x, y

( )x, y

C

L

Gambar 35-9

Soal-soal Tambahan

Dari Soal 10-19, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode cakram A. (Jawaban dalam satuan kubik).10. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-x Jawab: 2500π11. x2 – y2 = 16, y = 0, x = 8; sumbu-x Jawab: 256π/312. y = 4x2, x = 0, y = 16; sumbu-y Jawab: 32π13. y = 4x2, x = 0, y = 16; y = 16 Jawab: 4096π/1514. y2 = x3, y = 0, x = 2; sumbu-x Jawab: 4π15. y = x3, y = 0, x = 2; x = 2 Jawab: 16π/516. y2 = x4(1 – x2); sumbu-x Jawab: 4π/3517. 4x2 + 9y2 = 36; sumbu-x Jawab: 16π18. 4x2 + 9y2 = 36; sumbu-y Jawab: 24π19. Di dalam x = 9 – y2, di antara x – y – 7 = 0, x = 0; sumbu-y Jawab: 963π/Dari Soal 20-26, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode cakram B. (Jawaban dalam satuan kubik).20. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-y Jawab: 625π21. x2 – y2 = 16, y = 0, x = 8; sumbu-y Jawab: 128 π22. y = 4x2, x = 0, y = 16; sumbu-x Jawab: 2048π/523. y = x3, x = 0, y = 8; x = 2 Jawab: 144π/524. y = x2, y = 4x – x2; sumbu-x Jawab: 32π/325. y = x2, y = 4x – x2; y = 6 Jawab: 64π/326. x = 9 – y2, x – y – 7 = 0; x = 4 Jawab: 153π/5Dari Soal 27-32, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode rumah siput. (Jawaban dalam satuan kubik).27. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-y28. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; x = 629. y = x3, y = 0, x = 2; y = 830. y = x2, y = 4x – x2; x = 5

Page 86: Turunan (Differensial)

31. y = x2 – 5x + 6, y = 0; sumbu-y32. Di dalam x = 9 – y2, di antara x – y – 7 = 0, x = 0, y = 3Jawab: (27) 625π, (28) 375π, (29) 320π/7, (30) 64π/3, (31) 5π/6, (32) 369π/2Dari Soal 33-39, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui, sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode yang cocok.33. y = , y = 0, x = 0, x = 1; sumbu-y Jawab: π(1 – 1/e) satuan kubik

34. Satu busur y = sin 2x; sumbu-x Jawab: satuan kubik35. Busur pertama y = ex sin x; sumbu-x Jawab: π(e2π – 1)/8 satuan kubik36. Busur pertama y = ex sin x; sumbu-y Jawab: π[(π – 1)eπ – 1] satuan kubik37. Busur pertama x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ; sumbu-x Jawab: 5π2 satuan kubik38. Kardioida x = 2 cos θ – cos 2θ – 1, y = 2 sin θ – sin 2θ; sumbu-x Jawab: 64π/3 satuan

kubik39. y = 2x2, 2x – y + 4 = 0; x = 2 Jawab: 27π satuan kubik40. Dapatkan volume kerucut terpancung, yang alas bawahnya berjari-jari R, alas atasnya

berjari-jari r, dan tingginya h. Jawab: πh(r2 + rR + R2) satuan kubik