Download - trigon ejercicios resueltos

Transcript

Captulo2RazonesTrigonometricasenelTrianguloRectanguloEnestecaptuloelanguloqueaparezcadebesatisfacer:0 < < 90o 0 < 0, : 0 < 1 y cosec > 13. Sabemosqueelcomplementodeunanguloesaquelanguloquecompletaa90oa/2aselcomplementodees_2 _4. Se acostumbra a decir que la funcion coseno es la cofuncion del seno y viceversa,quela funcion cotangente es la cofuncion de la tangente y viceversa y que la cosecante eslacofunciondelasecanteyviceversa.Larelacionentreunafuncionysucofuncionestadadapor:funcion() =cofuncion_2 _Delasiguientegura(Figura6)setienep2aaFigura6sen = cos_2 _cos = sen_2 _tg = cotg_2 _cotg = tg_2 _sec = cosec_2 _cosec = sec_2 _Trigonometraygeometraanaltica LuisZegarraA.RazonesTrigonometricasenelTrianguloRectangulo 62.4. RazonesdeangulosespecialesVamosallamarangulosespecialesa30,45y60.Paraverlasrazonestrigonometricasde30y60tomemosuntrianguloequilaterodelado(l = 2)63002 21 13Figura6sen30=12= cos 60cos 30=32= sen60tg 30=13= cotg 60cotg 30=3 = tg 60sec 30=23= cosec 60cosec 30=21= sec 60Para45,considereeltriangulonotable:52114Figura6sen45=12= cos 45tg 45= 1 = cotg 45sec 45=2 = cosec 45CasoslmitesLlamamoscasoslmitesalosangulos:0y90aPQOFigura7ConlaFigura7yrecordandolasdenicionesdelasrazonestrigonometricas,enformaintuitiva,podemosasumirqueparasen =PQOQ; para tan peque no como se quiera OQ = 0 PQseachicatantocomosequiera, es decir sen0=0. Conelmismo razonamiento obtenemos cos 0= 1, tg 0= 0 ysec 0= 1.Notemosqueparaelcasodelatangentetg =PQOPyaproxim andosea90tantoco-mosequieraPQ,creceindenidamentemientrasqueOPsemantieneconstante,esporestoqueseacostumbraaexpresarque: tg 90=+obienquetg 90noestadenida.Aceptemos ahorasinpreviadenicionrigurosa+simplementecomounsmbolo, esdecirunaabreviaturadelenguaje.Sinmas,aceptemoslassiguientesdenicionesTrigonometraygeometraanaltica LuisZegarraA.RazonesTrigonometricasenelTrianguloRectangulo 7sen90= sen 2= 1 sec 90= sec 2= +cos 90= cos 2= 0 cotg 90= cotg 2= 0tg 90= tg 2= + cosec 90= cosec 2= 12.5. IdentidadesfundamentalesRecordemosqueunaidentidadmatematicaesunaigualdadquesiempreesvalida, paratodoslosvaloresquepuedantomarlasvariablesinvolucradas.Ejemplo.x2y2= (x + y)(x y); x, y RTeorema1. : 0 < < 90,severican:sen2 + cos2 = 1 (1) 1 + tg2 = sec2 (2)1 + cotg2 = cosec2 (3) sen cosec = 1 (4)cos sec = 1 (5) tg cotg = 1 (6)tg =sencos (7) cotg =cos sen(8)Nota:sen2 = (sen)2, sen2 = sen2= sen(2)cos2 = (cos )2 etc.Demostracion.Dadoelangulo,eneltriangulorectangulodelaFigura8.aABabCcFigura8DelteoremadePitagorassetienequea2+ b2= c2como c > 0_ac_2+_bc_2= 1(sen )2+ (cos )2= 1 loqueesigualasen2 + cos2 = 1Trigonometraygeometraanaltica LuisZegarraA.RazonesTrigonometricasenelTrianguloRectangulo 8Analogamenteud.puededemostrar:(2)y(3).Para(4)sen =ac=1caperoca= cosec as sen =1cosec sen cosec = 1.Analogamenteud.puededemostrar:(5)y(6).Finalmentepara(7)tg =ab=acbc; c > 0tg =sen cos Analogamenteud.puededemostrar(8).2.6. Expresion de cada razon en terminos de las demasLas 8 relaciones (formulas) fundamentales no son independientes, es decir, hay algunasquepuedendeducirsedelasdemas.Porejemplo: cotg =1tg =1sencos =cos sen.Vamos a dar un metodo geometrico para establecer cada una de las razones trigonometri-casenterminosdelasdemas.El metodoconsisteentomarcomounidadel ladodel triangulorectanguloqueaparececomo denominador en la razon en terminos de la cual se quiere expresar una razon deter-minada.Porejemplo:Formulas en termino de la razon sen =sen1. Sea el triangulo con hipotenusa = 1, as:a1a2sena sen1cos =1 sen2 tg =sen1 sen2cotg =1 sen2sensec =11 sen2cosec =1senElrestodelasformulas,quedandetareaparaud.Trigonometraygeometraanaltica LuisZegarraA.RazonesTrigonometricasenelTrianguloRectangulo 92.7. Ejerciciosresueltos1. Si3 tg = sec con0 0, 0 < < 90, calcule el valor de: p2sen2q2cos2Solucion.p cos =q sen sencos =pqpuespyqsonpositivosy0