Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

35

Triangolo rettangolo

Dato il triangolo rettangolo ∆

OPA sappiamo che:

ααα

αα

αα

adadiacentecateto

adoppostocateto

OA

PAtg

ipotenusa

adadiacentecateto

OP

OA

ipotenusa

adoppostocateto

OP

PAsen

==

==

==

cos

Possiamo perciò utilizzare αsen , αcos , αtg per determinare gli elementi del triangolo (lati ed

angoli).

a) Conoscendo l’ipotenusa OP e l’angolo α (cioè αsen , αcos , αtg )

cateto opposto ad α = =PA ipotenusa αsen⋅

cateto adiacente ad α = =OA ipotenusa αcos⋅

b) Conoscendo il cateto AP e l’angolo opposto α

c) Conoscendo il cateto OA e l’angolo adiacente α

d) Conoscendo il cateto PA e l’ipotenusa OP posso trovare

αα

α

cos⋅=

=

ipotenusaadadiacentecateto

ipotenusa

adoppostocatetoipotenusa

ααα

α

senipotenusaadoppostocateto

adadiacentecatetoipotenusa

⋅=

=cos

OP

PAsen =α e quindi anche αcos e αtg

Dalla conoscenza di senα posso risalire all’angolo

α (tasto di “inversione” della calcolatrice)

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

36

Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure αcos poiché αcos⋅= OPOA

e) Conoscendo il cateto OA e l’ipotenusa OP abbiamo

f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare

Nota

Naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di α si può ricavare anche απ −=Λ

2OPA

In conclusione, dalla conoscenza di 2 elementi di un triangolo rettangolo, che però non siano due

angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice “risolvere” il triangolo).

Conoscere α equivale a conoscere αsen o αcos o αtg .

Osserviamo che si ha

αα =OP

OAcos

con il teorema di Pitagora oppure AP αsenOPAP ⋅=

αα =OA

PAtg (anche αsen e αcos )

OP con il teorema di Pitagora oppure αsen

PAOP =

βα

ββαα

ββαα

tgtg

senipotenusa

aoppostocateto

ipotenusa

adadiacentecateto

ipotenusa

aadiacentecateto

ipotenusa

adoppostocatetosen

1

cos

cos

=

===

===

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

37

Esempi

a) Nel triangolo rettangolo ∆

OPA sia l’ipotenusa 2=OP e 3

1=αsen

=Λ

POAα . Determinare

gli altri elementi del triangolo.

Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo

23

42

3

22cos2

3

2

9

11cos =⋅=⋅==−= αα OPOA

Se απβ −==Λ

2OPA abbiamo

αβαβ

sen

sen

==

cos

cos

Per avere un’idea della misura degli angoli α e β possiamo utilizzare la calcolatrice premendo,

per esempio, il tasto 1−SIN che permette di risalire all’angolo che ha come valore del seno il

numero indicato.

Prendendo

−

3

1sin 1 otteniamo °≅ 47,19α .

Infine ( )°≅−°= 53,7090 αβ

b)

Se 5

4cos =α abbiamo

5

3

25

161 =−=αsen

3

1

2

=

=

αsen

OP

3

2

3

12 =⋅=⋅= αsenOPAP

5

4cos

3

=

=

α

AP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

38

Quindi 53

53

5

3=⋅== AP

OP

e 45

45cos =⋅=⋅= αOPOA (oppure con il teorema di Pitagora)

Per ricavare α utilizzando per esempio il tasto 1cos− della calcolatrice abbiamo

( )°≅− 86,365

4cos 1

e quindi ( )°≅−°==Λ

14,5390 αβ OPA

c)

Se 4

2=αtg posso ricavare αsen e αcos dal sistema

=+

=

1cos

4

2

cos22 αα

αα

sen

sen

oppure ricordare che 12

22

+=

ααα

tg

tgsen e

αα

2

2 1cos

tg=

Si ottiene, in ogni caso, che 3

1=αsen e 3

22cos =α da cui

2

3

3

22

2

cos===

αOA

OP

e 2

2

2

1

3

1

2

3 ==⋅=⋅= αsenOPAP

Utilizzando la calcolatrice ( )°≅= − 47,194

21tgα e αβ −°= 90

Nota: il problema poteva essere risolto anche così

e OP si può trovare con il teorema di Pitagora.

4

2

2

=

=

αtg

OA

2

2

4

22 =⋅=⋅== αα tgOAAPtg

OA

AP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

39

d)

Posso determinare 8

5=αsen e con la calcolatrice ( )°≅ 68,38α e per determinare OA posso

utilizzare il teorema di Pitagora oppure calcolare 8

39

64

251cos =−=α e

398

398cos =⋅=⋅= αOPOA

e)

Determino 5

2

10

4cos ==α (con la calcolatrice ( )°≅ 42,66α ).

Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP , basterà calcolare

5

21

25

91 =−=αsen e avrò

f)

Posso determinare 15

1

152

2 ===OA

APtgα (con la calcolatrice ( )°≅ 47,14α ).

Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare αsen (o αcos )

da αtg .Risoluzione

Per esempio

.

5

8

=

=

AP

OP

4

10

=

=

OA

OP

152

2

=

=

OA

AP

8

4

1

2

4

1

16

1

16

15

15

1

115

115

1

12

22

===

==⋅=+

=+

=

α

αα

αα

sen

APOP

sentg

tgsen

2125

2110 =⋅=⋅= αsenOPAP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

40

Problemi sul triangolo rettangolo

1. In un triangolo isoscele ABC la base aAB 2= e 5

3=αsen (∧

= ABCα ). Determina perimetro

e area del triangolo.

[2p = a2

9 ; A = 2

4

3a ]

2. In un triangolo isoscele ABC di base AB , il lato obliquo lCB = e 2=αtg (∧

= ABCα ).

Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dell’altezza AK

relativa al lato obliquo.

[ llp 255

22 += ; 2

5

2lA = ; lAK

5

4= ]

3. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e 4

1cos =α dove

α è uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio.

[ ap2

92 = ; 2

16

155aA = ]

4. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a , forma un angolo retto con

il lato obliquo BC e 5

3=αsen dove α è l’angolo acuto adiacente alla base maggiore.

Determina perimetro e area del trapezio.

[ ap5

222 = ; 2

75

68aA = ]

5. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura a2 e 5

1cos =α dove α è

l’angolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo.

[ aCH5

54= ; aAK5

8= ]

6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 20 e la base minore DC misura 10.

Sapendo che 5

3cos −=α , dove α è l’angolo ottuso adiacente alla base minore, determina

perimetro e area del trapezio.

[ 682 =p ; 256=A ]

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

41

7. In una semicirconferenza di diametro rAB 2= si prolunga il diametro dalla parte di B e si

considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il

punto di tangenza, si abbia 5

3)( =

∧APTsen . Tracciata la tangente t’ alla semicirconferenza in A

e detto Q il punto di intersezione tra t e t’, determina perimetro e area del triangolo ∆

APQ .

[ rp 82 = ; 2

3

8rA = ]

8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente l’altezza aAD = , 5

3)( =

∧BACsen (AB base

maggiore, AC diagonale minore), 2

3)cos( =

∧ABC , determina perimetro e area di ABCD.

[2p= aa 33

17 + ; 2

6

338aA

+= ]

9. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa aBC 2= si consideri il punto medio O di BC e si

tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M l’intersezione di questa con il cateto

AB. Sapendo che 4

3)( =

∧ABCtg , determinare il perimetro del quadrilatero ACOM.

[ ap10

332 = ]

10. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo

BC. Sapendo che aAD = e che 4

3)( =

∧ABCtg , determina perimetro e area del trapezio.

[ ap2

112 = ; 2

12

17aA = ]

11. L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura a e l’angolo che essa forma

con uno dei due cateti ha coseno uguale a 5

4. Calcola perimetro e area del triangolo.

[ ap 52 = ; 2

24

25aA = ]

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

42

12. In un triangolo isoscele ∆

ABC di base AB, il raggio della circonferenza inscritta misura r e

3

1)cos( =

∧ABC . Determina i lati del triangolo.

[ rAB 22= ; rBC 23= ]

13. In un triangolo isoscele ∆

ABC di base AB, aACBC == e 3

1)cos( =

∧ABC . Determina

perimetro e area del triangolo e l’altezza AK relativa a BC.

[ ap3

82 = ; 2

9

22aA = ; aAK 2

9

4= ]

14. In un trapezio scaleno ABCD la base minore DC è uguale ad uno dei due lati obliqui e si ha

lADDC == . Sapendo che =∧

DAB4

π e che 2)( =

∧ABCtg , determina i lati del trapezio e le

funzioni goniometriche di ∧C e

∧D .

[ lAB

+=4

423; lBC

22

5= απ −=∧C ….;

∧D π

4

3= ]

15. Un trapezio isoscele di base maggiore AB è circoscritto ad una circonferenza di raggio r e,

indicato con α uno degli angoli alla base, si ha 25

24=αsen . Determina i lati del trapezio.

[ rAB3

8= ; rDC2

3= ; rADCB12

25== ]

16. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa aBC 3= si ha 2cot =

∧ABCg . Considera P su

BC tale che aBP = e traccia da P la perpendicolare all’ipotenusa che incontra il cateto AB in

Q. Determina l’area del quadrilatero AQPC.

2

20

31a

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

43

Area di un triangolo

Supponiamo di conoscere due lati di un triangolo e l’angolo compreso: possiamo calcolare l’area?

Tracciamo l’altezza AH : γbsenAH =

e quindi area γsenbaABC ⋅⋅=∆

2

1)( .

Osserviamo che se anche γ fosse ottuso avremo:

e quindi ancora area γsenbaABC ⋅⋅=∆

2

1)( .

Se, come caso particolare, avessi 2

πγ = il triangolo sarebbe rettangolo in C e infatti:

( ) γγπ senbsenbAH ⋅=−⋅=

12

2

1)(

==

=∆

πγ sensen

abABCarea

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

44

Lunghezza di una corda di una circonferenza

Consideriamo una corda AB in una circonferenza di raggio r: se conosciamo un angolo alla

circonferenza che insiste sulla corda possiamo trovare AB ?

Sappiamo che tutti gli angoli che insistono su AB sono uguali: disegniamo allora quello che ha un

lato passante per il centro della circonferenza.

Il triangolo ∆

ABC è rettangolo in B e quindi, essendo RAC 2= :

αsenRAB ⋅= 2

Osserviamo che questa relazione vale anche considerando un angolo β come in figura: infatti

απβ −= (α e β sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e quindi

αβ sensen =

Quindi in generale abbiamo senoRAB ⋅= 2 (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda AB)

Esercizio: ricava il lato del triangolo equilatero, del quadrato e dell’esagono regolare inscritti in

una circonferenza di raggio r.

βsenRAB ⋅= 2

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

45

Circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo

Dato un triangolo ∆

ABC come possiamo calcolare il raggio R della circonferenza circoscritta e il

raggio r della circonferenza inscritta?

Cominciamo con la circonferenza inscritta.

L’area del triangolo ∆

ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli aventi base a, b, c e altezza r

e quindi:

( )cbarS

rcrbraS

++=

⋅+⋅+⋅=

2

1

2

1

2

1

2

1

ma ( )trosemiperimepcba =++

2

e quindi ⋅= prS p

Sr =

Quindi conoscendo l’area S e il semiperimetro possiamo calcolare il raggio r della circonferenza

inscritta nel triangolo.

Esempio: in un triangolo equilatero ∆

ABC di lato l abbiamo:

=

⋅

⋅= 323

1

23

13

22

1 l

l

llr

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

46

Consideriamo ora la circonferenza circoscritta al triangolo

Ricordando che la corda αsendiametroBC ⋅=

⋅= αsenRa 2 αsen

aR

2= (1)

Naturalmente è anche γβ sen

c

sen

bR

22==

Possiamo anche scrivere, moltiplicando nella (1) per cb ⋅ numeratore e denominatore, e

ricordando che SABCareasenbc =

=⋅∆

α2

1

S

cba

cbsen

cba

sen

aR

422

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅==αα

Quindi conoscendo i lati del triangolo e l’area posso determinare R.

Esempio: in un triangolo equilatero ∆

ABC di lato l abbiamo:

3322

14

l

ll

lllR =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅= 323

2 l