Transfert de chaleur par rayonnement

1

Fraction de lmittance totale rayonne par le corps noir dans un intervalle donne 1220 M d

2

F1 2 =

1

=0

1

0 M d

Dans de nombreuses applications il arrive quon ait besoin de connatre une temprature donne la quantit:

M d 10 M d

T 4

0

Elle reprsente la fraction de lmittance dans la bande donne2

Ce quon peut prsenter par:

F1 2 =

0

0 M d

00

= F02 F01

0 M d

0

0 M d

2

Fraction de lmittance M d

Fraction de lemittance totale rayonne entre 0 et 0F0 =0

0 M d

0

On remplace M0 par la loi de Planck 1 2 hc 2 d F0 = T 4 5 ( exp ( hc / k T ) 1) 0

La valeur de lintgrale dpend de et de T3

Fraction de lmittance

En introduisant une variable unique: u = Tu = T

C15

F0 =u =0

1 T 4

u ( exp ( C2 / u ) 1) T

du T

, C1 = 2 hc 2 , C2 = hc / k

Donc:F0 = C1u = T

u =0

du = G0T 5 u ( exp ( C2 / u ) 1)

G est une quantit dont la valeur dpend de et de T En dfinitive: F =G G1 20 2T 0 1T4

Fraction de lmittance

Les valeurs de la fonction G0-T calcules pour de nombreuses valeurs de T sont donnes dans les tables spcifiques Lallure de la reprsentation graphique de la fonction G0-T=f(T) est la suivante:

5

Echanges radiatifs entre des surfaces noires spares par un milieux transparent

Notion de facteur de forme:

Le flux total mis par S1: Facteur de forme est:

1 = M 10 S1 = T14 S1

F1 2

Dont on tire:

1 2 = 10 1 16

1 2 = F1 21 = F1 2 M S

Facteur de forme expression analytique

On utilise la formule de Bouguer:

Elle donne le flux rayonne par un lment ds1 de S1 lintrieur de langle solide d12 donc:

De plus surface tant noire:7

Facteur de forme expression analytique

On obtient donc:

Par intgration sur S2 on dduit lexpression de d12 rayonn par dS1 et parvenant sur S2:

8

Facteur de forme expression analytique

A laide dune nouvelle intgration portant sur S1 on obtient le flux 12 rayonn par dS1 et parvenant sur S2:

Il en sort que:

9

Facteur de forme expression analytique - rciprocit

En permutant les indices 1 et 2 on obtient:

Le rapprochement de deux expressions met en vidence lexistence dune relation de rciprocit:

Ou par gnralisation:

10

Relations algbriques entre facteurs de forme

Enceinte close de n parois noires: Il existe au total n2 facteurs de forme impliqus dans ce transfert:

Les valeurs de Fii diffrent de 0 si les surfaces sont concaves Elles sont gales 0 si:11

Relations algbriques entre facteurs de forme - additivit

Considrons une parois Si dune enceinte close qui rayonne un flux rparti sur les divers parois de lenceinte. La conservation de lnergie nous conduit aussi au:

12

Dtermination des facteurs de forme

Le calcul peut tre toujours ramen celui dune double intgrale de surface partir de la dfinition:

Mais cest une opration longue et fastidieuse Heureusement trs grand nombre de configurations usuelles a t dj calcul. Les rsultats sont prsents dans les documents spcialiss.13

Dtermination des facteurs de forme

On peut galement faire appel des abaques donnant des valeurs pour certaines gomtries Il est aussi possible de dterminer par des considrations gomtriques simples Dans le cas de surfaces Si et Sj trs longues suivant la mme direction on peut utiliser une formule du Hottel En pratique, on cherche dterminer qqs facteurs et puis on profite de ladditivit et rciprocit14

Exemple par le calculDfinition: Avec:

Do:

15

Exemple par le calcul

Le calcul de rsulte du changement de variable:

et

16

Exemple par le calcul

17

Configurations videntes

1.

2. Du fait de rciprocit:

Et comme:

18

Configurations videntes

1.

2.

La mme chose pour les sphres concentriques et de rayons voisins19

Configurations videntes

20

Formule de Hottel

21

Abaques - exemple

22

Puissance nette change entre 2 surfaces noires

Les deux surfaces en vis--vis tant supposes assimilables noires, tout flux incident sur lune ou lautre est intgralement absorb (transmission et absorption 0) On dfinit le flux net chang par rayonnement entre Si et Sj comme la diffrence du flux mis par Si et reu par Sj et du flux rayonn par Sj et incident sur Si

23

Puissance nette change entre 2 surfaces noires

Du fait de la rciprocit: On peut crire:

Si Ti>Tj le flux net sera suprieure 0, si linverse le flux est ngatif (on gagne de lnergie)

24

Modlisation des changes au sein dune enceinte noire

Soit une enceinte close n parois noires (S1, Sn) temprature T1, Tn Objectif: calculer les flux net radiatifs chang par chaque parois de lenceinte ou si on connat les flux, calculer les tempratures On procde au bilan nergtique pour obtenir un systme de n quations pour n inconnues25

Modlisation des changes au sein dune enceinte noire

Pour une i-me parois le flux net chang sera: avec:

Or:

On a:

Ou encore:26

Modlisation des changes au sein dune enceinte noire

Lquation prcdente, on lutilise n fois pour remonter aux n inconnues La relation dadditivit: permet dcrire:

27

Modlisation des changes au sein dune enceinte noire

Ce qui correspond ce que nous avons montr (diapositive 24) :

Lexpression ci-dessus quivaut aussi :

28

Remarques

1. net=0 compensation totale 2. net>0 pertes suprieures la puissance reue 3. net