Chapitre 8

Traitement Numrique du Signal8.1 De la T.F. la T.F.D.

Le but de ces deux exercices est dtudier dans deux cas particuliers de signaux la relation entre la Transforme de Fourier dnie par : Z X(f) = x(t)ei2f t dtR

et la Transforme de Fourier Discrte calcule par :N1 X n=0 i2

k = 0, ..., N 1 XD (k) =

x (n) e

kn N

Pour cela, ltude sera mene en plusieurs tapes : problme du support ni du signal observ : eet de la troncature sur la Transforme de Fourier tudi par le passage de la Transforme de Fourier la Transforme de Fourier Tronque : XL (f ) = Z+L

x(t)ej2f t dt

0

problme de lchantillonnage du signal : passage de la Transforme de Fourier Tronque la Transforme de Fourier Numrique : XN (f ) =N1 X n=0

x (nTE ) ei2f nTE

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Chapitre 8. Traitement Numrique du Signal et enn, pour le deuxime exercice seulement, problme du calcul numrique de la Transforme de Fourier Numrique qui ne peut tre calcule sur une chelle continue en frquence mais dont le rsultat sera forcment discrtis en frquence : passage la Transforme de Fourier Discrte.

EXERCICE 1 Etude de la TFD dun signal spectre continu On considre le signalx (t) = eat pour t 0 = 0 pour t < 0 avec a > 0. 1. Montrer que la transforme de Fourier tronque Z L XL (f ) = x(t)ej2f t dt0

scrit XL (f) = X(f )G(f, L) o X(f ) est la transforme de Fourier de x(t). Le terme G(f, L) reprsentant lerreur commise en utilisant la Transforme de Fourier Tronque la place de la vritable Transforme de Fourier, dterminer le module et la phase de cette erreur multiplicative. Donner un encadrement de |G(f, L)|2 que lon chirera pour 4 L = a. 1 Pour L >> a , donner une valeur approche de la phase de G(f, L). 2. Dans un deuxime temps, le signal est chantillonne la frquence dchantillonnage FE = 1/TE et on remplace la Transforme de Fourier Tronque de x(t) par la Transforme de Fourier Numrique (TFN) : XN (f ) =N1 X n=0

x (nTE ) ei2f nTE

(a) Comment faut-il choisir la frquence dchantillonnage FE et le nombre de points N ? On sera amen dnir

8.1. De la T.F. la T.F.D. une largeur de bande spectrale f du signal en considrant par exemple que : |X (f )| = 0.01 |X (0)| (b) Etablir la relation entre la TFN et la TF tronque de la question 1 en utilisant les hypothses suivantes : le spectre du signal considr est basse frquence et que les frquences dintrt sont telles que f FE /2 et L 1/a. Retrouver la priodicit de la TFN.

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EXERCICE 2 Etude de la TFD dun signal spectrede raies On considre le signal x(t) = Aei(2f0 t+) tR

1. Comparer la Transforme de Fourier de ce signal avec sa Transforme de Fourier Tronque, dnie dans lexercice prcdent. 2. Comparer la Transforme de Fourier Tronque avec sa Transforme de Fourier Numrique, dnie dans lexercice prcdent. 3. En dduire la Transforme de Fourier Numrique dans le cas o x(t) = A cos (2f0 t) 4. Pour calculer la Transforme de Fourier Numrique, il est ncessaire de discrtiser lchelle des frquences et, pour des raisons algorithmiques, on dcide de calculer cette transforme de Fourier aux frquences de la forme : k FE N On obtient alors la Transforme de Fourier Discrte : kn N1 X i2 N k = 0, ..., N 1 XD (k) = x (n) e k = 0, ..., N 1 fk =n=0

Calculer la TFD de x(t) = A cos (2f0 t) dans deux cas :

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Chapitre 8. Traitement Numrique du Signal (a) la frquence f0 est commensurable avec FE cest--dire : k0 {0, ..., N 1} tel que f0 = k0 FE N

(b) la frquence f0 nest pas commensurable avec FE f0 = k0 + FE N 0