Teorema de Vaschy-Buckingham• El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del

análisis dimensional.

• este teorema expresa que en un problema fisico en que intervengan n magnitudes en las que hay m dimensiones fundamentales, las n magnitudes pueden agruparse en n-m parametros adimensionales.

• Sean A1, A2, A3, . . .,An las magnitudes que intervienen. Si se sabe que todas las magnitudes son escenciales a la solución, entre ellas debe de eexistir una relación funcional.

F(A1, A2, A3, . . .,An) = 0

• Si 1 ,2 , etc., representan los grupos adimensionales de las magnitudes A1, A2, A3, . . .,An,. entonces si son m las dimensiones independientes que intervienen, se puede formar una ecuación de la forma:

F(1 , 2, 3, . . . , n-m) = 0

La demostración de este teorema se encuentra en los escritos de BUCKINGHAM. El método de determinación de los parámetros consiste en elegir m de las A magnitudes, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones, y usarlas como variables repetidas todas ellas junto con otra de las A magnitudes para cada . Por ejemplo, sean A1, A2, A3, que contienen M, L y T, no necesariamente en cada una, sino colectivamente. Entonces, el primer parámetro se forma así:

1 = A1X1 A2

Y1 A3Z1 A4

El segundo,

2 = A1X2 A2

Y2 A3Z2 A5

Y así sucesivamente, hasta:

n-m = A1Xn-m A2

Yn-m A3Zn-m An

En estas ecuaciones los exponentes tienen que determinarse de tal manera que cada sea adimensional. Para esto, se sustituyen las dimensiones de las A magnitudes y los exponentes de M,L y T se igualan a cero respectivamente. Esto origina tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro , de tal forma que los exponentes x, y, z se pueden determinar y, por consiguiente, el parámetro .

Si solo intervienen dos dimensiones, entonces dos de las magnitudes A se eligen como variables que se repiten y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas para cada parámetro .

En muchos casos las magnitudes A son tales que los grupos adimensionales son evidentes y se forman sin necesidad de cálculos. El caso más simple es aquel en que dos de las magnitudes tienen la misma dimensión, por ejemplo longitudes, entonces el cociente de estos dos términos es un parámetro .

EJEMPLO:

El caudal a través de un tubo capilar horizontal se cree que depende de la caída de presión por unidad de longitud, del diámetro y de la viscosidad. encontrar la forma de la ecuación.

Se tabulan las magnitudes y sus dimensiones:

MAGNITUD SIMBOLO DIMENSIONES

Caudal Q L3T-1

Caída de presión/longitud p/l ML-2T-2

Diámetro D L

Viscosidad µ ML-1T-1

Entonces,

Las magnitudes fundamentales que intervienen son tres, por lo que con las cuatro magnitudes del problema podrá formarse un único monomio .

Sustituyendo las dimensiones

Los exponentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación. Para L, primeramente.

3X1 - 2Y1 + Z1 - 1 = 0

Y de forma semejante para M y T

Y1 + 1 = 0 ; -x1 -2Y1 – 1 = 0

De las que se deduce X1 = 1, Y1 = -1, Z1 =-4, por tanto,

Despejando Q :

El análisis adimensional no nos proporciona información sobre el valor numérico de la constante adimensional C. Experimental (o analíticamente) se demuestra que la constante C vale /128 Para usar el análisis dimensional es necesario conocer las variables que intervienen en el problema. En el último ejemplo, si se hubiese elegido la viscosidad cinemática en lugar de la dinámica, se hubiese obtenido una fórmula incorrecta.

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA (DE MECÁNICA DE LOS FLUIDOS)

Esto no pertenece al estudio de la ciencia de los materiales, propiamente dicha, sin embargo, hace referencia al análisis de fluidos en situaciones inferidas por objetos, y aunque no conforme parte de libro de Askeland he decidido publicar aquí, por el interés manifiesto en el conocimiento general.

Esta exposición es explícitamente breve y a fines prácticos, por lo que las demostraciones se reticularan para otros fines. Existen propiedades físicas de gran relevancia en la mecánica de los fluidos: presión, densidad, viscosidad, tensión superficial, módulo de elasticidad volumétrico, aceleración gravitacional y velocidad. Como influyen tantas variables en los problemas de la mecánica de los fluidos, la relación entre ellos no es suficiente plantearlas mediante ecuaciones analíticas y es necesario, entonces, recurrir a la experimentación para determinar su comportamiento. En eso consiste el análisis dimensional.

La similitud dinámica surge en base al problema que representa la experimentación de un prototipo diseñado con determinadas condiciones para desempeñarse en una función. Es entonces cuando el análisis dimensional recurre a la parametrización de las variables, para estudiar sus interrelaciones en un modelo (de por sí más pequeño que el prototipo). Y se debe garantizar que el modelo represente al prototipo en forma, es decir que sean homogéneos.

Una cantidad física observada tiene un magnitud y una dimensión que se miden en unidades de esa dimensión. Las dimensiones fundamentales o básicas para la mecánica de fluidos: masa (m), longitud (L) y tiempo (t). En realidad todas las cantidades físicas se derivan de las fundamentales, así por ejemplo, la fuerza es masa por gravedad, de modo que la masa es una dimensión fundamental y la gravedad está dada en base a una longitud y al tiempo.

Si establecemos una similitud geométrica en los mecanismos de análisis, entonces la geometría de contorno, es decir las cantidades que definen la composición de un prototipo corresponden a la del modelo en una escala. A ésta escala la relacionaremos como:

λ=Lm/Lp y λ=Am/ApSí λ es una escala (por ejemplo para λ= 1:10 , el prototipo es 10 veces mayor que el modelo de análisis) Lm es la longitud del modelo y Lp es la longitud del prototipo, así para el caso de las áreas, y otras variables símiles.

Por ejemplo, la fuerza inercia que provoca el movimiento de una partícula, en este caso fluido, genera en él una aceleración. La densidad del fluido expresa la relación entre la masa por unidad de volumen. Si tratamos de llevar esto a una expresión simplificada de las cantidades físicas en dimensiones fundamentales, obtendremos que la densidad por el volumen al cuadrado y la longitud, asumiendo que la misma es unidireccional, es igual a la fuerza de inercia. Así toda la tabla construye estas igualdades para simplificar el cálculo.

PERDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN

La pérdida de carga en una tubería o canal, es la pérdida de presión en un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce. Las pérdidas pueden ser continuas, a lo largo de conductos regulares, o accidentales o localizadas, debido a circunstancias particulares, como un estrechamiento, un cambio de dirección, la presencia de una válvula, etc.

Pérdida de carga en conducto rectilíneo

Si el flujo es uniforme, es decir que la sección es constante, y por lo tanto la velocidad también es constante, el principio de Bernoulli, entre dos puntos puede escribirse de la siguiente forma:

La pérdida de carga se puede expresar como ; siendo “L” la distancia entre las secciones 1 y 2; y, “J” la variación en la presión manométrica por unidad de longitud o pendiente piezométrica, valor que se determina empíricamente para los diversos tipos de material, y es función del radio hidráulico, de la rugosidad de las paredes de la tubería, de la velocidad media del fluido y de su viscosidad.

Existen diversos métodos, obtenidas empíricamente, para calcular la pérdida de carga a lo largo de tuberías y canales abiertos:

Ecuación de Darcy-Weisbach.

Factor de fricción de Darcy.

Ecuación de Colebrook-White.

Fórmula de Hazen-Williams.

Diagrama de Moody.

Fórmula de Bazin.

Ecuación general de Darcy-Weisbach

La ecuación en sí fue deducida por Henry Darcy, ingeniero francés, y por JuliusWeisbach, científico e ingeniero alemán. Weisbach propuso el coeficienteadimensional ξ y Darcy realizó cuantiosos experimentos en tuberías con flujo deagua.Se entenderá con esta deducción que la ecuación de Darcy-Weisbach es laecuación general para explicar la pérdida de energía durante el movimiento defluidos.

La pérdida total debido a la fricción que experimenta un fluido cuando fluye por unatubería circular llena depende del diámetro (D), de la longitud de la tubería (L), dela velocidad media (V), de la rugosidad absoluta (k), de la aceleración de lagravedad (g), de la densidad (ρ) y de la viscosidad del fluido (μ). Por medio delanálisis dimensional se determina la fórmula para el cálculo de pérdidas por fricción.

h f( D L V k g)

Demostracion Ecuación general de Darcy-Weisbach.

Suponemos una tubería por la que circula un líquido incompresible de peso específico g, y en ella el volumen comprendido entre las secciones 1 y 2, separadas una distancia L.El elemento de tubería

Figura 3.1. Elemento de tubería por el que circula un líquido

Peso de la masa del líquido (P), aplicado en el cdg (G):

Peso de la masa del líquido (P), aplicado en el cdg (G):

Fuerzas de presión (P1·S y P2·S), que sería la fuerza que ejerce el resto del líquido sobre las secciones 1 y 2, respectivamente.

Fuerza de rozamiento (F), en sentido contrario al movimiento y debida al rozamiento ( ) del líquido con las paredes de la tubería.

F =   · Superficie con la que roza =  · c · L

La superficie lateral del cilindro considerado es un rectángulo de base L y altura c, siendo c el perímetro de la sección circular, figura 3.2.

Proyectando sobre el eje hidráulico las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado:

Dividiendo por S · γ :

El primer miembro de la igualdad,  , es la diferencia de las alturas piezométricas entre los puntos 1 y 2, es decir, la pérdida de carga que se produce en ese trayecto.

Entonces,   (1)

Se comprueba experimentalmente que  , siendo   un factor de proporcionalidad adimensional conocido como coefiente de Fanning.

Además, el radio hidráulico es   y como   =ρ.g , entonces 

Introduciendo estos valores en (1):

En tubería cilíndrica,   , por lo que:

Llamando 4 ·   = f coeficiente de fricción, la ecuación general de Darcy-Weisbach:

La pérdida de carga por unidad de longitud será:

La pérdida de carga continua es directamente proporcional a la velocidad del líquido y a la longitud del tramo de tubería que estamos considerando, e inversamente proporcional a su diámetro.

El factor de fricción (f) es adimensional y es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubería, parámetro que da idea de la magnitud de las asperezas de su superficie interior:

Es un hecho demostrado que la rugosidad relativa no influye sobre f en régimen laminar (Re   2000), ya que el rozamiento se debe fundamentalmente a la fricción de unas capas de fluido sobre otras y no de éstas sobre las paredes de la tubería. Sin embargo, para Re   2000 las cosas cambian y la rugosidad relativa adquiere notable importancia, como veremos posteriormente.

La ecuación de Darcy - Weisbach puede ponerse en función del caudal circulante, ya que el caudal que fluye por una conducción circular a plena sección está ligado al diámetro y a la velocidad media por la relación:

donde

Sustituyendo en la ecuación de Darcy - Weisbach:

que es la ecuación de Darcy-Weisbach en función del caudal

La pérdida de carga por unidad de longitud será:

Se deduce que un aumento en el caudal o un aumento en la velocidad del líquido implica un aumento en la pérdida de carga, mientras que diámetro y pérdida de carga están inversamente relacionados.

DIAGRAMA DE MOODY En el caso de flujo laminar el factor de fricción depende únicamente del

número de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de fricción depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubería, por eso en este caso se representa mediante una familia de curvas, una para cada valor del parámetro , donde k es el valor de la rugosidad absoluta, es decir la longitud (habitualmente en milímetros) de la rugosidad directamente medible en la tubería. En la siguiente imagen se puede observar el aspecto del diagrama de Moody.

Ecuación de Colebrook-White:

k/D = rugosidad relativa total

Re = Número de Reynolds

λ = factor de fricción

D = diámetro interno de la cañería

Ecuación de Barr:

k/D = rugosidad relativa

Re = Número de Reynolds

λ = factor de fricción