48

3. TORSIÓN Supongamos una barra prismática de sección circular en torsión pura., de longitud L y radio r.

)(xφ : Ángulo de torsión entre 0 y φ T: Torque aplicado en el extremo. Consideraciones: • Todas las secciones permanecen planas y circulares con un radio recto. En realidad existe

una distorsión en la sección, produciendo que algunas partes tiendan a alargarse (tensión) y otras se compriman producto de la torsión, esto genera esfuerzos de normales de flexión en el empotramiento, volviéndose más complejo el efecto, aunque aquí solo se tratará todo el tema como sección plana.

• Es indispensable que el material permanezca dentro del rango elástico lineal, por lo tanto el ángulo de rotación φ debe ser pequeño, y no cambia la longitud ni el radio.

Como el radio r es constante, )(xφ varía linealmente con la distancia. La línea ab es perpendicular a cd. Deformación unitaria de cortante

ab

bbmax

′=γ

Relación de φ con γ dx

rdφγ =max

Ángulo de torsión por unidad de longitud dx

dφθ =

Rescribiendo θγ r=max

De la figura anterior: Lr maxγφ =

En torsión pura φ es constante por lo tanto L

φθ =

L

γφγ =max

Las Deformaciones unitarias cortantes en el interior de la barra.

49

rmaxγθρθγ ==

La deformación unitaria varía linealmente con la distancia radial, 0=γ en el centro y

maxγγ = en la superficie.

Para tubos circulares

maxmin γγre

ri=

ri = Radio interior re=Radio exterior 3.1. FORMULA DE LA TORSIÓN PARA BARRAS CIRCULARES Se supone una barra circular en torsión pura, si se toma un elemento infinitesimal de esfuerzo, el sentido de los esfuerzos cortantes para las deformaciones unitarias cortantes será el que se observa a continuación.

Relación esfuerzo deformación unitaria (Ley Hooke) γτ G= γ : Deformación unitaria cortante en radianes G: Módulo de elasticidad cortante. ρ: Radio a cualquier profundidad

50

θγ rMAX = ρθγ = Los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia debido Ley de Hooke.

γτ G=max maxτρρθτr

G ==

:maxτ Esfuerzo cortante en la superficie

τ : Esfuerzo cortante en un punto interior θ : Ángulo de torsión por unidad de long. r: Radio A continuación se presenta un corte transversal y longitudinal. Como se puede observar en muchos materiales la primera grieta por lo tanto será longitudinal, como en la madera, cuyo plano longitudinal es más débil que el transversal. La resultante de esfuerzos sobre la sección transversal es un par de torsión T.

Existe una relación entre la Fuerza cortante en el elemento de áreadA y el torque T.

dAdV τ= El Momento de la fuerza respecto al eje longitudinal centroidal de la barra es:

dAr

dAdM 2max ρττρ == .

Jr

dAr

dMTAA

max2max τρτ=== ∫∫

Despejo el esfuerzo cortante máximo, y se obtiene la ecuación o Formula de Torsión, aplicable a tubos circulares.

J

Tr=maxτ

Donde: ∫=A

dAJ 2ρ Momento polar de inercia. Para un circulo de diámetro d y radio r.

ρπρ ddA 2=

∫=r

dJ0

32 ρπρ

322

44 drJ

ππ ==

51

En el gráfico del lado derecho, se aprecia la distribución de los esfuerzos descritos por la formula de torsión

J

Tr=maxτ , es decir la distribución de esfuerzos sobre

una sección transversal circular debido a un torque. Unidades:

SI: [ ]

==

=2224

))(()(.

pg

lb

pg

pgpglbinglesasPa

m

N

m

mmN

Sustituyendo 2

dr = en

J

Tr=maxτ

=

=

32

24max

d

dt

πτ

3

16d

T

π Ecuación aplicable a sección transversal circular sólida.

Los esfuerzo a una distancia ρ

J

T

r

τρτρτ == max

3.2 ÁNGULO DE TORSIÓN φφφφ

θτ Gr=max Donde θγ r= y γτ G=max

JGr

Tr

Gr== maxτθ

JG

T=θ

Ángulo de torsión total φ en torsión pura: L

φθ =

JG

TL=φ [ ]rad Formula Análoga a: AE

PL=δ

L

GJkT = Rigidez torsional unitaria por requerido para producir rotación de un ángulo

unitario

GJ

Lf t = Flexibilidad torsional unitaria: Ángulo de rotación requerido para producir un

par unitario Los Tubos Circulares resisten con más eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas, debido que la mayor parte del material esta cerca del borde exterior donde los esfuerzos cortantes y brazos son grandes.

52

∫=re

ridJ ρπρ 22

( )44

2 ie rrJ −= π

( )22

32dideJ −= π

Si t es pequeño comparado con el radio (Tubos de pared delgada)

42

33 tdtrJ

ππ =≈

Donde r y d, son radio y diámetro promedio respectivamente.

Para 4

1<re

t el error de la formula es mas o menos del 2%, respecto a valores de esfuerzos

reales medidos. Limitaciones • Las Ecuaciones anteriores se aplican a barras circulares macizas y huecas. Son válidas en

partes alejadas de las concentraciones de esfuerzo, como por ejemplo, agujeros y cambios abruptos de forma

• Los Materiales son elástico – lineales PROBLEMA 3.1 Fuente [1]: Se requiere un eje de acero sólido o hueco. Hallar el menor diámetro. Datos:

mNT .1200= 10

det =

MPaadm 40=τ

madmº75.0=θ

GPaG 78= a) Eje sólido por esfuerzo admisible o θ admisible.

J

TrTd

d

Tadm

admadm === τ

πτπτ 1616 3

030

mmmd 5.530535.0)10)(40(

)1200(163

60 ===π

Ángulo por unidad de longitud admisible GJ

TL=φ

( )2910)78(

180º75.0

.1200

mN

m

mN

G

TJ

JG

T

admadm

===

πθθ

53

46 )10(175.1 mJ −=

)10(175.132

640 −==

dJ

π

4

6

0

)32)(10(175.1

π

−

=d

mmd 8.580 = Controla Usar do = 60 mm b) Eje hueco: se considera diseño por admτ y admθ .

2

didet

−= pero 10

det =

dedededi

didede

8.05

15

=−=

−=

( ) ( )[ ]4444 8.03232

dededideJ −=−= ππ

4058.0 deJ = Por esfuerzo admisible τadm

( ) ( )44

4 32058.0

2/dideJ

de

deT

J

Tradm −=== πτ

Calculado en la superficie

)10)(40(116.0

.1200

116.02

63

mN

mNTde

adm

==τ

mmmde 7.63064.0 ==

Por θadm:

4058.0 deG

TJ

JG

T

admadm ===

θθ

4

29

4

)10)(78)(180

)(º75.0(058.0

.1200

058.0m

Nm

mN

G

Tde

admπθ

==

mmde 1.67= Controla

Usar de =70 mm

mmdedi 56)70(8.08.0 ===

c) Razones de diámetro y peso

54

s

a

s

a

A

A

LA

LA

Vs

Va

Ws

Wa ===γγ

γγ

( )47.0

28.58

27.5321.672

22

4

20

4

22

14.18.58

1.67

=−

=−

=

−

==

==

do

dlde

d

dide

salA

huecoA

sólidoW

huecoW

do

de

π

π

Se puede concluir que el eje hueco es 47% más liviano que el sólido mientras que su diámetro es mayor en 14%. 3.3. TORSIÓN NO UNIFORME • La barra no es prismática • Pueden actuar torques diferentes lo largo del eje de la barra. 3.3.1 Barra con segmentos prismáticos y un torque constante en cada segmento. Cada segmento está en torsión para y las formulas son aplicables a cada uno.

321 TTTTCD +−−=

21 TTTBC −−=

1TTAB −= Convención: El Par interno es positivo cuando el vector señala hacia afuera de la sección cortada, o cuando el giro del par es contra reloj visto desde la punta a la cola del vector. Es negativo si apunta hacia la sección o si gira en sentido horario visto desde la derecha.

maazτ : Es el mayor esfuerzo de las calculadas en cada segmento. El ángulo de torsión de un extremo respecto al otro es:

nφφφφ +++= ...21 ∑ ∑= =

==n

i

n

i GiJi

TiLii

1 1

φφ

55

iφ : Ángulo de torsión para el segmento i n = # total de segmentos Ti: Fuerza de torsión interna en cada sección, resulta de un corte y de hacer el equilibrio. 3.3.2 Barra con sección variable y torsión constante. El esfuerzo máximo ocurre en la sección de menor sección transversal

J

Tr=maxτ

J: Momento polar mas pequeño

( )xGJ

Tdxd =φ

( )∫=L

xGJ

Tdx

0

φ Ángulo de torsión de toda la barra

3.3.3 Barra con sección transversal y torque variables. Ángulo de torsión.

∫=L

xGJ

dxxT0 )(

)(φ

t: Torque por unidad de longitud. PROBLEMA 3.2: Hallar el torque máximo maxT que puede aplicarse en el elemento

mostrado sin quemaxτ pase de 90 MPa.

322

44 drJ

ππ ==

J

Tr=maxτ

max

34maxmax

222τππττ r

r

yJT ===

mkNT .67.17)10*90(2

)05.0( 63

== π

56

PROBLEMA 3.3: El elemento mostrado tiene las secciones circulares con los diámetros mostrados. a) Hallar el eje en el cual ocurre el máximo esfuerzo constante y la magnitud. b) El diagrama de deformaciones de la barra y el giro en el punto A respecto a C.

CAφ

mmL 120= (Longitud de cada segmento) GPaG 77=

a) Esfuerzo Cortante máximo.

Se realizan cortes en cada segmento y se hace equilibrio ∑ = 0T

015=−T mNT .15=

01560 =−+T mNT .45−=

0156090 =−++T mNT .135−=

MPa9.85max =τ

0156090120 =−++−T mNT .15−=

El diagrama de momento torsor es:

b) El diagrama de deformaciones de la barra y el giro =C

Aφ ∑ ∑= =

=n

i

n

i GiJi

TiLii

1 1

φ

radE

D4

49

10*096.6

32

)025.0(*10*77

12.0*15 −−=

−=

πφ Giro en D con respecto a E

radD

C2

49

10*339.1

32

)02.0((*10*77

)12.0(135 −−=

−=

πφ Giro en C con respecto a D

57

radC

B2

49

10*411.1

32

)015.0((*10*77

12.0*45 −−=

−=

πφ Giro en B con respecto a C

radB

A2

49

10*381.2

32

)01.0((*10*77

12.0*15 −=

=

πφ Giro en A con respecto a B

º55.0º180

*10*9703.4303.140 4 =

=−= −

πφ rad

CA

PROBLEMA 3.5 Fuente [1]: Para la barra ahusada sólida. a) Determinar el esfuerzo cortante máximomaxτ b) Obtener formula para φ

a) maxτ ocurre en la sección de menor diámetro

34max

16

32

2/

AA

A

d

T

d

Td

J

Tr

ππτ ===

b) Ángulo de torsión

bmxy +=

58

L

dd

L

dd

m AB

AB

22 −=

−

=

22AAB d

xL

ddy +

−=

yxd 2)( =

AAB dx

L

ddxd +−=)(

44

3232)(

+−== AAB dx

L

dddxJ

ππ

∫∫

−+

==L

oAB

A

L

xL

ddd

dx

G

T

xGJ

Tdx40

32

)( πφ

Resolviendo por sustitución.

∫ + 4)( bxa

dx

b

dudxbdxdu

bxau

==

+=

3

34

4 3

1

3

1

bub

uduu

bbu

du −=−==−

−∫∫

L

ABA

AB xL

ddd

L

ddbxabbu

du

0

334

3

1

)(3

1

−+

−−=

+−=∫

−

−=∫ 334

11

)(3 BAAB dddd

L

bu

du

( )

−

−= 33

113

32

BAAB ddddG

TL

πφ

3.4. MIEMBROS EN TORSIÓN ESTÁTICAMENTE INDETERMINAD OS Cuando se hace el equilibrio, existen más incógnitas que ecuaciones, por lo tanto a las ecuaciones de equilibrio se le añaden las de compatibilidad, relativas a las rotaciones. Se propone el siguiente procedimiento:

59

1) Formular las ecuaciones de equilibrio del cuerpo libre 2) Formular las ecuaciones de compatibilidad, compatibles con las deformaciones físicas

del ángulo de torsión. Las incógnitas son los ángulos de torsión 3) Relacionar ángulos de torsión con las fuerzas internas, es decir plantear las relaciones

fuerza – giro. GJ

TL=φ

4) Reemplazar las relaciones fuerza-giro en las ecuaciones de compatibilidad y de

equilibrio, y resolver el sistema. PROBLEMA 3.6 Fuente [1]: Para la figura mostrada encontrar la fuerza de torsión o par interno en la barra y el tubo.

Al realizar un giro φ causado por T, se van a generar pares

en el tubo y la barra, 1T y 2T respectivamente.

Ecuación de equilibrio 21T )1( TT += (2 incógnitas estáticas) estática indeterminada

Ecuación de compatibilidad 21 φφ = (2)

1φ : Ángulo torsión barra 1

2φ : Ángulo torsión tubo 2 Relaciones fuerza de torsión – deformación angular

22

22

11

11 JG

LT

JG

lT== φφ

Reemplazo en la ecuación de compatibilidad

60

)2( 22

2

11

1

JG

LT

JG

LT= 2 ecuaciones y 2 incógnitas

)3( 222

111 T

JG

JGT = Reemplazo en (1)

+=

+=+=

22

22112

22

11222

22

11 1*JG

JGJGT

JG

JGTTT

JG

JGT

TJGJG

JGT

TJGJG

JGT

+=

+=

2211

111

21211

222

PROBLEMA 3.7 [2]: Una barra de acero y una de latón se encuentran fuertemente unidos.

GPaGA 77= , GPaGL 39= . Hallar: a) La reacción en ambos extremos. b) maxτ en la barra c) Giro en B

Ecuación de equilibrio.

)1( 5.12=+ CA TT 2 incógnitas 1 ecuación (Estáticamente indeterminado) Ecuación de compatibilidad: Se libera el extremo derecho del Sistema Estáticamente Indeterminado (SEI) y se deja que gire libremente por el torque aplicado en B (Sistema estáticamente determinado bajo las fuerzas/SBEDBF), el giro es φ1. En realidad como el extremo C esta empotrado el giro φ1 es igual a cero, y debe volver a su sitio aplicando la reacción de torsión en TC (Sistema base estáticamente Determinado bajo la incógnita/SBEDBI), cumpliendo de esta forma la compatibilidad de giro igual a cero en C. En la siguiente gráfica se aprecia el procedimiento.

61

)2( 021 =+= φφφC Diagrama de torsión del Sistema Base Estáticamente Determinado bajo las cargas.

Relación torsión – giro

rad

mN

mN

JG

LT

AA

AAB 3

429

3

1 10*03.2

32

)125.0(*/10*77

)300.0)(.10(5.12 −=

==

πφ

−

−=−−=

32

)075.0()10(39

*2.0

32

)125.0(*10*77

*3.04

94

92 ππ

φ CC

LL

LC

AA

AC TT

JG

LT

JG

LT

CCC TTT 6672 10*813.110*651.110*626.1 −−− −=−−=φ

Reemplazo en (2) :

081310.110*03.12 67 =− −−CTrad

kNmmNTC 12.1.4.1119 ==

De (1) obtengo AT

kNmkNmTA 5.1212.1 =+

kNmTA 38.11= Diagrama de Torsión

62

b) Esfuerzo cortante máximo J

Tr=maxτ

MPaJ

dT

AB

AABAB 67.29

32

)125.0(2

125.0*10*38.11

2 4

3

=

==

πτ

MPaAB 67.29max =τ c) Giro en B

radLG

LT

JG

LT

LL

LC

AA

AAB

3

49

3

10*84.1

32

)125.0(10*

3.0*10*38.11 −=

===

ππφ

radB3

49

3

10*849.1

32

075.0**10*39

)2.0(10*38.11 −−

=

=

πφ

3.5. ESFUERZOS EN TUBOS DE PARED DELGADA Se considera que el espesor t de la pared es pequeño comparado con la sección transversal del elemento. Para espesores delgados se supone que la variación de la intensidad del esfuerzo cortante es muy pequeña y se considera constante. En realidad por el espesor del tubo corre un flujo de cortante τ , el cual es mayor en el centro del espesor t.

Las fuerzas sobre las caras ab y cd

dxtF bbb τ= dxtF CCC τ=

bt , Ct espesores del tubo Ecuación equilibrio 0=∑ Fx 0=− bC FF

Cb FF = CCbb tt ττ =

63

El esfuerzo cortante por el espesor del tubo es el mismo en cada sección transversal.

tq ⋅= τ El Flujo de cortante es el mismo en cada sección transversal.

maxτ Ocurre en la zona del espesor mínimo.

tq ⋅= τ qdsdV = Momento respecto a 0

rqdsdT =

∫=Lm

rdsqT0

mediaLineaLm :

:2

rds Área del triangulo

∫ =Lm

o mArds 2 Dos veces el área encerrada por la línea media.

mA

Tq

2=

mtAT

2=τ

Para un tubo rectangular.

bhAm =

bht

TTvert

12=

bht

TThortz

22=

Problema: Calcule el esfuerzo cortante producido por la torsión en los puntos (1) y (2) de un puente con sección viga cajón bajo un torque T=2200 kN.m.

64

215.16

2

175.2*075.0*2175.2*35.7

mA

A

m

m

=

+=

Sección (1):

tA

T

m2=τ

kPa22.1365.0*15.16*2

2200 ==τ

Sección (2)

kPa6.19435.0*15.16*2

2200 ==τ

3.6. SECCIONES RECTANGULARES EN TORSIÓN Los esfuerzos cortantes en la sección transversal de la barra rectangular, no varían linealmente con la longitud medida desde el eje centroidal. Todos los esfuerzos en la superficie libre de la barra son iguales acero. La deformación y el esfuerzo máximo ocurren a largo de la línea central de cada cara. El ángulo de torsión se calcula con al siguiente fórmula:

31Ghbk

TL=φ

El Máximo esfuerzo cortante se calcula en el centro del lado largo del contorno.

22

max hbk

T=τ

Las Constantes k1 y k2 para diferentes relaciones alto ancho se presentan en la siguiente tabla.

65

b

h 1 1.5 2 2.5 3 4 6 10 ∞

1k 0.141 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.312 0.333

2k 0.208 0.231 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.312 0.333

PROBLEMA 3.8: Para la figura mostrada hallar: a) Diagramas de T yφ . b) El giro φ B/A y φ C/B. GPaG 1.27= (Aluminio). mmL 500= Cada tramo.

a) Diagramas de T yφ

NmTT 2002 ==

NmTTT 50021 =+=

b) El giro φ A/B y φ C/B

[ ]rad

m

NmmN

AB

2

3

29

10*48.2)015.0)(2()03.0)(2(10)1.27(229.0

)5.0(.500 =

=φ

( )[ ] radmmN

BC

234

10*23.3015.0)(2)015.0)(2)(10)(1.27(141.0

)5.0(.200 −==φ

66

3.8. TORSION NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES Se considerará una barra circular en torsión no lineal cuando los esfuerzos cortantes exceden el límite proporcional, en este caso la Ley de Hooke deja de ser válida, aunque se puede considerar que la deformación unitaria cortante varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje como se observa en la figura. Lo que se hace, es que primero se averigua la deformación unitaria y luego se procede a calcular el esfuerzo cortante correspondiente de la curva esferazo – deformación. La deformación es proporcional a r. r: radio del eje γ: Deformación unitaria cortante

maxγργr

=

Diagrama Esfuerzo-Deformación Cortante

Considerando un elemento anular de radio ρ y espesor dρ, se tiene:

dAdF ⋅= τ

( ) ∫∫ ∫ ∫ ⋅=⋅===rr

dddAdFT0

2

0

22 ρτρπρπρρτρτρ (1)

τ: Función de γ, y por lo tanto se puede expresar en función de ρ.

Se tiene que: ρθγ = L

φθ = : Angulo de torsión x unidad de longitud

θγρ =

θγρ d

d = (2)

67

Se sustituye (2) en (1) y cambian los limites de integración y encontramos una ecuación que relaciona T con el ángulo de torsión θ.

∫∫ =

=maxmax

0

2

03

22

2γγ

γτγθπ

θγτ

θγπ d

dT

∫max

0

2γ

γτγ d : Momento de inercia con respecto al eje vertical τ del Área bajo la curva esfuerzo-

deformación unitaria cortante.

τθπ

IT3

2= Iτ: Momento de inercia del área especificada evaluando respecto a τ.

Procedimiento para calcular la curva T vs. θ: 1) Dada una barra con r y curva esfuerzo-deformación conocida, se supone un valor θ 2) Se calcula θγ r=max

3) Se calcula analíticamente o numéricamente Iτ con la curva esfuerzo-deformación unitaria.

4) Calcular τθπ

IT3

2=

5) Se repite el procedimiento para varios valores de θ y se obtiene la curva T vs. θ. Para cualquier T se obtiene θ y por lo tanto deformaciones (γ), esfuerzos (τ) y ángulo de torsión φ .

3.8.1 Ejes Circulares de Material Elastoplástico. Se considerará una Curva esfuerzo-deformación unitaria, para un material idealizado con comportamiento elastoplástico. Si el esfuerzo máximo esta por debajo de la fluencia los

esfuerzos se pueden calcular con J

Tr=maxτ

Si la torsión aumenta, el esfuerzo alcanza el límite de fluencia del material Yτ

68

J

rTYY =τ Aumenta el torque y llega a TY, Torque al iniciar la fluencia o Par plástico.

YY r

JT τ= Máximo torque elástico; para

el cual la deformación permanece elástica. Reemplazando el momento polar:

YYY rr

rT τπτ

π3

4

2

12

1

⋅=⋅

=

Si sigue aumentando el torque, se desarrolla una región plástica alrededor de un núcleo elástico de radio plástico ρY con esfuerzo constante τY, mientras que en el núcleo elástico el esfuerzo varía linealmente con ρ.

ρρττ

Y

Y= (3)

Si T sigue aumentando, la zona plástica se expande hasta que la deformación es totalmente plástica.

Para determinar el torque T correspondiente a un radio ρY del núcleo y que ρρττ

Y

Y= para

Yρρ <<0 y que Yττ = para rY ≤≤ ρρ

∫ ⋅=r

dT0

22 ρτρπ

∫ ∫+

=

Y

Y

r

YY

Y ddTρ

ρ

ρτρπρρρτρπ

0

22 22

3

2

3

2

2

1 333 YYY

YY

rT

ρπτπτρπρ −+=

33

3

2

6

1rT YYY τπρπτ +−=

69

−=

3

33

41

3

2

rrT Y

Y

ρπτ Se tiene que YY rT τπ 3

2

1=

−= 3

3

41

34

rTT Y

Y

ρ (4)

Cuando 0=Yρ , entonces YP TT3

4= , y la relación es:3

4=Y

p

T

T

Después de iniciada la fluencia, solo incrementando el par TY en 33%, se lleva la barra a la capacidad última de carga. La distribución de deformaciones a través de la sección permanece lineal después de iniciada la fluencia. Si φ es muy grande para causar fluencia, ρY se obtiene haciendo Yγγ = , la deformación de fluencia.

Yγγ = ρθγ = L

φθ =

L

ρφγ = φγρ L= y

φγρ LY

Y = (5)

Yφφ = : Angulo de torsión al inicio de la fluencia cuando rY =ρ

Y

Y Lr

φγ= (6) Dividiendo (5) en (6)

φφρ YY

r= Reemplazando en (4)

−= 3

3

41

34

φφY

YTT

TY: Torque en el inicio de la fluencia

Yφ : Angulo de torsión de la fluencia

Esta ecuación es válida solo para valores Yφφ >

Para Yφφ < debe usarse la ecuación φL

GJT = , debido a la relación Lineal.

Cuando Yφφ = , entonces YP TT3

4= -, caso de zona plástica perfectamente desarrollada.

Combinando las anteriores ecuaciones, se puede encontrar el diagrama T vs. φ. Este diagrama difiere bastante del de τ vs. γ

70

PROBLEMA 3.9 [2]: Para el siguiente eje de material elastoplástico, hallar: a) El radio del núcleo elástico. b) el ángulo de torsión del eje. Diámetro = 50mm

GPaG

MPaY

77

140

==τ

a) YY r

JT τ=

( ) ( )633

4

10140025.02

1

2

12

1

×=⋅=⋅

= πτπτπ

YYY rr

rT

kNTY 39.3=

−=

3

3

41

3

4

rTT Y

Y

ρ

3

3

41

4

3

rT

T Y

Y

ρ−=

( )( ) ( )( )3

3

3

3

33 025,04

1039.34

100.4314

4

31

××−=

−= r

T

T

YYρ

mmmY 3.191019.1 2 =×= −ρ

b) ( )( )

( ) ( )rad

GJ

LTYY

2

49

3

1017.7025,0

21077

0.11039.3 −×=

×

×==π

φ

Yφ : Angulo de torsión al inicio de la fluencia.

φφρ YY

r=

( )( )( ) °=×=

××== −

−

63.8180

15.01019.1

025.01017.72

2

πρφφ

Y

Yr