Download - Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Transcript
Page 1: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla

Íslands

Aðferðafræði og menntarannsóknir 50.00.04http://starfsfolk.khi.is/meyvant/menntarannsoknir.htm

Page 2: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Verkefni úr síðasta tíma

• Dæmi 1 var hugsuð sem æfing í Excel– Summa (SUM – ath. táknið Σ) – Margfeldi (PRODUCT)

• Dæmi 3 – Nafnbreyta –virkur/óvirkur– Raðbreyta-mjög virkur-frekar virkur-frekar óvirkur

mjög óvirkur eða hversu virkur á kvarða 1-7

• Dæmi 5– Setja tölu: Algengt að nota “hattinn”: ^

Page 3: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dreifing

• Jákvætt skekkt (bls 136-137 í McMillan) – Mörg gildi eru á lægri enda kvarðans (Mynd 2)– T.d ef fleiri eru með lágar einkunnir, lág laun

Meðaltal er hærra en miðgildi

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7

Page 4: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Jákvætt skekkt dreifingEinkunn

Mean 3,15Standard Error 0,424729016

Median 3Mode 1

Standard Deviation 1,899445903

Sample Variance 3,607894737

Skewness 0,529797357Range 6

Minimum 1

Maximum 7

Sum 63

Count 20

Page 5: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dreifing

• Neikvætt skekkt (bls 136-137) • Fleiri gildi eru á hærri enda kvarðans (Mynd 3)• Margir með háar einkunnir, margir með há laun

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7

Meðaltal lægra en miðgildi

Page 6: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Neikvætt skekkt dreifing

Mynd 3

Mean 4,578947

Standard Error 0,399677

Median 5Mode 6

Standard Deviation 1,74215

Sample Variance 3,035088

Kurtosis -0,58636

Skewness -0,53516

Range 6

Minimum 1

Maximum 7

Sum 87

Count 19

Page 7: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dreifing verkefni 9

• Búðu til talnasafn og súlurit með tveimur tíðustu gildum (tvítoppa/bimodal)

• Sjá McMillan bls 136• 1,2,2,2,2,3,4,5,6,6,6,6,7

• Passa að slá inn tíðnina og setja gildin á x ásinn

tvítoppa

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 2 3 4 5 6 7

Page 8: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Staðalfrávik-hvað segir það okkur ?

• Hversu langt að meðaltali tölurnar eru frá meðaltalinu

• Skoðum mismunandi dreifingar með sama meðaltal en mism. staðalfrávik

Page 9: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Staðalfrávik framh

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Stökin raðast í kringum meðaltalið sem er 5

Það eru allir með 4,5,eða 6Staðalfrávikið er 0,2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Meðaltalið er 5 Stökin dreifast mun meira

Staðalfrávikið er hærraStaðalfrávikið er 2,3

Page 10: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Meira um dreifingu, túlkun og tengls breyta

• Normaldreifing og normalkúrfa (bjöllukúrfa)

• Stöðlun tölugilda (einkunna)

• Z-gildi, staðalníur og fleiri staðlaðar einkunnir

• Fylgni

• Stutt kynning á aðhvarfsgreiningu (regression)

Page 11: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Fyrst nokkur atriði til upprifjunar

• X: 3, 6 og 9 Y: 2, 5 og 8• ΣX = 3 + 6 + 9 = • ΣX2 = 9 + 36 + 81• (ΣX)2 = (3 + 6 + 9)2 = • ΣXY = (6 + 30 + 72)• (ΣXY)2 = (6 + 30 + 72)2

• Ath einnig nokkur atriði í Excel: Gera myndrit, Meðaltal, staðalfrávik, miðgildi, tíðasta gildi, hlutfallstíðni, fylgni,vegið meðaltal ...

Page 12: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Normaldreifing - Normalkúrfa

• Graf sem hefur lögun eins og “bjalla”, samhverf með einn topp.

• Einkenni: Mælingar eru flestar kringum meðaltalið, en fækkar svo til beggja hliða.

• Geta haft mismunandi meðaltöl og staðalfrávik, en meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi það sama í hverju tilviki.

Page 13: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dæmi: Greindarvísitala – Meðaltal 100, staðalfrávik 15 • Mælingar á raunverulegum fyrirbærum í menntun aldrei

fullkomlega normaldreifðar, en slík dreifing heppileg til að nota við stöðlun prófa og túlkun niðurstaðna.

Page 14: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

z-gildi

• Breyta má einkunnum í svonefnd z-gildi og fá normalkúrfu þeirra. Segjum að nemandi fái einkunnina 7, meðaltal hópsins sé 6,5 og staðalfrávikið 0,8 þá má reikna z-gildið:

s

XXz

(7 – 6,5)/0,8 = 0,63

Page 15: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

z-gildi

• Kosturinn við stöðluð gildi eins og z-gildi er að auðveldlega má bera saman ólíkar mælingar.

• Hvert er meðaltalið skv. bjöllu-myndinni? Hve mörg % eru fyrir ofan það?

• Hve stór hluti mælinganna liggur milli z = -1 og z = +1?• Mikilvægt að hafa í huga til að lesa úr töflum:

.3413 = 0,3412 = 34,12% Ef z-gildi er 0,22 má lesa í töflu að .0871 (8,7%) er

stærð svæðis milli meðaltalsins og z-gildisins, þ.e. þetta samsvarar því að 58,7% einkunna eru fyrir neðan.

s

XXz

Page 16: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

z-gildi

• Jóna fékk einkunnina 7,0. Meðaltal hópsins var 8,0 og staðalfrávik 1,2. Hvar stendur hún samanborið við aðra nemendur?

• z = - 0,83• Skv. töflu (sjá vef) eru rúm 20% nemenda lægri en hún.• Hve mörg % mælinga liggja milli z = -1,1 og z = 0,0?• Hve mörg % liggja milli z = -2,3 og z = -0,2?

• z-gildi er í raun hlutfall því það sýnir mismun mælitölu og meðaltals (frávik) sem hluta af staðalfráviki (hluti/heild).

s

XXz

Page 17: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Fleiri stöðluð gildi í notkun

• T-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Þá er meðaltalið stillt á 50 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: T = 10 z + 50. Nemandi fær 21 stig á prófi þar sem meðaltalið er 27 og

staðalfrávikið 6. Þá er z-gildið hans -1 og T-gildið er 40.

• Stanine-gildi (staðalníur), einnig án negatívra talna og námundað að heilum tölum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eða 9: Stan = 2 z + 5.

Page 18: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Stöðlun einkunna í samræmdum prófum hjá Námsmatsstofnun

• NMST-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Normaldreifðar einkunnir á kvarðanum 0-60. Meðaltalið stillt á 30 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: NMST = 10 z + 30 Nemandi fær 63 stig á 100 stiga prófi þar sem

meðaltalið er 67 og staðalfrávikið 12. Hvar stæði hann samanborið við aðra nemendur? Hver væri NMST-einkunn hans?

Page 19: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Fylgni – Að skoða tengsl milli breyta, t.d. X og Y• Margs konar fylgnistuðlar til. Hér er fjallað um

Pearsons r: Dæmi gæti verið tengsl milli einkunna í stærðfræði

og íslensku Þótt fylgni geti verið sterk gildir það jafnan ekki um

allar breytur í gagnasafninu Fylgnistuðull getur bæði verið jákvæður og

neikvæður, Pearsons r getur verið á bilinu -1 til +1 Fylgni upp á 0,8 eða meira telst mjög sterk, einnig

fylgni upp á -0,8 eða þar fyrir neðan. Varast að draga ályktanir um orsakasamband

þegar tengsl eru milli breyta.

Page 20: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

FylgniDæmi: tengsl milli menntunar og kjörsóknar

Sveitar-félag

X Y

A 11,9 55

B 12,1 60

C 12,7 65

D 12,8 68

E 13,0 70

• Hér er fylgni milli menntunar og kjörsóknar í 5 sveitarfélögum skoðuð

X er meðalárafjöldi í skóla

Y er kjörsókn í %

Page 21: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Færum inn í töflu

5.125/5.62/ NXX

X Y X2 Y2 XY

11,9 55 141,61 3025 654,5

12,1 60 146,41 3600 726

12,7 65 161,29 4225 825,5

12,8 68 163,84 4624 870,4

13,0 70 169 4900 910

∑X = 62,5 ∑Y = 318 ∑X2 =782,15 ∑Y2 = 20374 ∑XY = 3986,4

6.635/318/ NYY

Page 22: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Reiknum svo samkvæmt formúlu:

2222 )(][)([

))((

YYNXXN

YXXYNr

984,0)318()20374(5*)5,62()15,782(5

)318)(5,62()4,3986(522

Page 23: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Aðhvarfsgreining (regression):

• Tengsl milli breyta nýtt til að spá fyrir um eina breytu út frá annarri breytu, t.d. Árangur á æðra skólastigi út frá árangri á lægra skólastigi

• Við söfnum gögnum um einkunnir af báðu skólastigum og skoðum sambandið milli þeirra með grafi: Fundir er lína sem tengir báðar breyturnar

Page 24: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Aðhvarfsgreining (regression):

• Deplar tákna gögnin

• Fjólubláa línan er svokölluð aðhvarfslína.

• Grafið notað til að spá fyrir um árangur nemenda sem eru að hefja nám eða til að velja inn í skóla Science education research center

Carleton College

Page 25: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Formúla fyrir aðhvarfslínu

Y’=bX + a

• Y’ er breytan sem spáð er fyrir um• b táknar hallatölu línunnar• X er breytan sem er notuð til að spá með • a er skurðpunkturinn við Y-ásinn

Page 26: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur

• Aðhvarfslínan sem spáir fyrir um námsgengi í KHÍ út frá meðaleinkunn í menntaskóla gæti verið eftirfarandi:

Y’=0,8X + 0,6

Umsækjandi A var með 6,2 í meðaleinkunn í menntaskóla. Hverju er spáð um meðaleinkunn umsækjanda A í KHÍ?

Page 27: Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS  23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur - frh.

• Y’=0,8X + 0,6

• Y’= 0,8*6,2 + 0,6=5,56

• Við spáum að A fái 5,56 í meðaleinkunn í KHÍ.• Okkar spá verður sjaldan alveg rétt fyrir hvern einstakling

• Fyrir hópinn sem heild er villan samt minni en ef við notum einhverja aðra línu til að spá