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Teoremas fundamentais sobre sucessões

Teorema das sucessões enquadradas

Sejam nu , nv e nw sucessões tais que, a partir de certa ordem p, nnn vwu ≤≤ . Se

Lvu nn == limlim (finito ou não), a sucessão nw também tem limite, que é igual a L.

Demonstração:

Se Lun =lim , para todo o número positivo δ existe uma ordem r a partir da qual os

termos da sucessão nu pertencem à vizinhança δ de L. Analogamente, sendo

Lvn =lim existe uma ordem s a partir da qual os termos da sucessão nv pertencem à

vizinhança δ de L. Então, a partir de uma ordem q, que é a maior das ordens p, r e s,

os termos de nw também pertencem à vizinhança δ de L, pelo que Lwn =lim .

Note-se que esta demonstração é válida quer L seja finito ou não. No entanto, se

+∞=nulim , conclui-se imediatamente que +∞=nwlim a partir da desigualdade

nn wu ≤ . Analogamente, se

€

limvn = −∞ , conclui-se imediatamente que −∞=nwlim

a partir da desigualdade nn vw ≤ .

Exemplo:

Mediante um enquadramento adequada, determine-se o limite da sucessão nnn

!nu = .

Como, para cada natural k, se tem 1<−

n

kn, resulta que

n...

nn...

n

kn...

n

n

n

n

n

!nn

111

121×××<×××

−××

−×=

e assim n

un1

0 << .

Pelo teorema das sucessões enquadradas tem-se então que 0=nn

!nlim .

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Teorema das sucessões monótonas

Toda a sucessão monótona e limitada tem limite finito.

Toda a sucessão monótona ilimitada tem limite infinito, sendo o limite + ∞ se ela é

crescente e - ∞ se ela é decrescente.

Demonstração:

Comecemos por analisar o caso em que uma sucessão nu é crescente e limitada por

um número L. Se nu é formada apenas por números positivos, a sucessão formada

pelas partes inteiras dos termos da sucessão não pode crescer indefinidamente,

estabilizando-se a partir de certa ordem (porque todos os termos da sucessão são

menores do que L). Quanto à parte não inteira, todos os algarismos se vão

estabilizando (primeiro o das décimas, depois o das centésimas, e assim

sucessivamente), já que não podem exceder 9. O número formado pela parte inteira

estabilizada e pelos algarismos estabilizados é o limite da sucessão.

Para sucessões decrescentes e limitadas a demonstração é perfeitamente análoga. Os

restantes casos reduzem-se facilmente a estes casos, observando que os termos das

sucessões monótonas são, a partir de certa ordem, todos positivos, todos negativos ou

todos nulos.

Se nu é crescente e não limitada, dado qualquer número positivo k existe um termo da

sucessão, digamos ju , tal que ku j > e, como a sucessão é crescente, todos os termos

da sucessão são, a partir da ordem j, maiores do que k. Então, a sucessão tem limite

+ ∞. A demonstração é análoga no caso de uma sucessão decrescente e não limitada.

Exemplo:

Como aplicação do teorema das sucessões monótonas demonstre-se que as sucessões

unn

n

= +

11

e

€

vn =1+1+12!

+ ...+ 1n!

são convergentes e têm o mesmo limite.

€ € €

3

1. A sucessão unn

n

= +

11

A convergência (existência de limite finito) da sucessão de termo geral

unn

n

= +

11

, decorre do teorema das sucessões monótonas. Trata-se, com efeito, de

uma sucessão monótona (crescente) e limitada (o conjunto dos seus termos está

contido no intervalo [ ]2 3, ) sendo, portanto, convergente.

Para verificar que a sucessão é monótona crescente, atenda-se a que, pela fórmula do

binómio de Newton,

€

1+1n

n

=1+nn

+n n −1( )n22!

+n n −1( ) n − 2( )

n3 3!+ ...+

n n −1( )... n − n −1( )( )nnn!

∗( )

e assim

€

1+1n

n

=1+1+ 1− 1n

12!

+ 1− 1n

1− 2

n

13!

+ ...+ 1− 1n

1− 2

n

... 1− n −1

n

1n!

∗∗( )

.

Tomem-se números naturais n e m tais que n m< . Tem-se

€

1+1m

m

=1+1+ 1− 1m

1− 2

m

13!

+ ...+ 1− 1m

1− 2

m

... 1− n −1

m

1n!

+ ...

...+ 1− 1m

1−

2m

... 1− m −1

m

1m!

decorrendo então facilmente que 11

11

+

< +

n m

n m

.

Para verificar que a sucessão é limitada:

• Conclui-se imediatamente de ( )∗ que, para todo o número natural n maior que 1 se

tem 11

2+

≥n

n

.

4

• Atendendo a que, 11

1− ≤n

para n > 1 , conclui-se que

€

1+1n

n

≤1+1+12!

+ ...+ 1n!

∗∗∗( )

Como, para todo o número natural n, se tem n n! ≥ −2 1 (como se vê facilmente por

indução), de ( )∗∗∗ resulta que

€

1+1n

n

≤1+1+12

+122

+123

+ ...+ 12

n−1 =1+1− 12n

1− 12

=1+ 2 1−1

2n

≤1+ 2 = 3

e assim o conjunto dos termos da sucessão está contido no intervalo [ ]2 3, .

Conclui-se assim que a sucessão de termo geral unn

n

= +

11

é convergente e que o

seu limite é um número maior que dois e menor ou igual a três.

Mais geralmente, prova-se que se an é uma sucessão de números reais que tende para

+ ∞ ou ∞− , então

na

n nlim

alim

n

+=

+

11

11

2. A sucessão

€

vn =1+1+12!

+ ...+ 1n!

Do estudo feito no número anterior, facilmente se conclui que a sucessão

€

vn =1+1+12!

+ ...+ 1n!

é uma sucessão monótona crescente e limitada, logo

convergente, tal que u vn n≤ (por ( )∗∗∗ ) e, consequentemente, lim limu vn n≤ .

Mas, para todo o natural p maior ou igual a 2 , tem-se

5

€

un = 1+1n

n

=1+1+1− 1

n2!

+ ...+1− 1

n

1− 2

n

... 1− n −1

n

n!≥

≥1+1+1− 1

n2!

+ ...+1− 1

n

1− 2

n

... 1− p −1

n

p!

Passando ao limite (em n) obtém-se, para todo o p nas condições anteriores,

€

limun ≥1+1+12!

+ ...+ 1p!

= vp e assim lim limu vn n≥

Então

€

e = lim 1+1n

n

= lim 1+1+12!

+ K +1n!

=1+1+

12!

+ ...+ 1n!

+ ...= 1n!n≥0

∑

O número “e”, base dos logaritmos neperianos, pode ser definido de vários modos.

É usualmente introduzido como limite da sucessão de termo geral unn

n

= +

11

ou

como soma da série 1

0 nn !≥∑ , isto é, como limite da sucessão

€

vn =1+1+12!

+ ...+ 1n!

,

sendo posteriormente usado em diferentes contextos.

Do anteriormente exposto decorre apenas que o número “e” está compreendido entre

2 e 3. Depois de se ter justificado a convergência das sucessões unn

n

= +

11

e

€

vn =1+1+12!

+ ...+ 1n!

que definem “e”, é legítimo utilizá-las para obter aproximações

deste número.

A tabela seguinte evidencia que a convergência da sucessão de termo geral

€

1+1+12!

+ ...+ 1n!

é mais rápida do que a da sucessão de termo geral 11

+

n

n

. Com

efeito, com a sucessão de termo geral

€

1+1+12!

+ ...+ 1n!

já se obtém, com n = 6 , um

6

valor aproximado de “e” com três casas decimais exactas, enquanto que com a

sucessão 11

+

n

n

não se obtém qulquer casa decimal exacta.

n 11

+

n

n

€

1+1+12!

+ ...+ 1n!

1 2,000 2,0

2 2,250 2,5

3 2,370 2,66

4 2,441 2,708

5 2,488 2,7166

6 2,522 2,71805

7 2,546 2,718253

8 2,566 2,7182787

9 2,581 2,71828152

10 2,594 2,718281801

A convergência da sucessão de termo geral 11

+

n

n

é muito lenta. Para n = 10000

obtem-se um valor aproximado de e, 2,7181415927, com apenas 4 casas decimais

exactas.

Não se deduza das considerações anteriores que a calculadora é um instrumento fiável

para a determinação do limite de uma sucessão, depois de garantida a sua existência..

A utilização de uma calculadora de precisão finita tem algumas limitações que

importa ter presentes. Embora do ponto de vista matemático uma sucessão tome

valores tão próximos do seu limite quanto se queira, desde que se tome um termo de

ordem suficientemente elevada, do ponto de vista da calculadora isto nem sempre é

observável, não correspondendo, a partir de certa altura, o resultado da calculadora ao

termo da sucessão.

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Por exemplo, ao tentar calcular, com a TI 83, o número e através do limite da

sucessão de termo geral 11

+

n

n

, e tomando valores para n iguais ou superiores a

1014, obtem-se o valor “1” que se afasta do valor do limite.

O que acontece resulta da precisão finita com que a máquina representa os números.

Com efeito, se n é muito grande, o valor de 11

+n

deixa de ser rigorosamente

representado pelos 14 dígitos que a TI 83 usa para representar os números. Se n for

maior do que 1014 a máquina passa mesmo a obter um valor numérico de 11

+n

como

sendo 1, pelo que 11

1 =

+n

n.

.

.