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Teorema Fundamental da Trigonometria

1cossen 22

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Demonstração ...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

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Continuação...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

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Continuação...

)θsen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen 22 C M P Q D

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Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

)θCateto Adjacente Cateto O

posto

Hipotenusa

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Continuação ...

Cotangente de θ

Secante de θ

Cossecante de θ

Tangente de θ

Cosseno de θ

Seno de θ

Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico

HICO

sen

HICA

cos

COHI

sen1

seccos

CACO

tg

CAHI

cos1

sec

COCA

tg1

gcot

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Na Circunferência Trigonométrica

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

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Continuação ...

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

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Arcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

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arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 06

4

3

2

3

22

seno 02

1

2

2

2

31 0 - 1 0

cosseno 12

3

2

22

10 - 1 0 1

tangente

cos

sen 03

31 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

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Vamos pensar . . .

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Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?

Observem a figura ao lado

1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

b

hip

.o.csen

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2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/bc

a

hip

.a.ccos

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3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c

a

b

.a.c

.o.ctg

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4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c b

a

.o.c

.a.cgcot

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5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1 1.o.c

.a.c.

.a.c

.o.c

gcot.tg

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6) Se a = 3b, podemos dizer então, que

sen2 + cos2 vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:

sen2 + cos2 = 1

portanto,

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7) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

cos

1sec

cos

1sec

olog,cos

1sec

222

2

2

2

22 tg1sec

cos

sen

cos

cos11

cos

11sec

2

22

22

cos

sentg

cos

sentg

olog,cos

sentg

22

22

cos1sen

1cossen

22 tg1sec

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8) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

sen

1seccos

sen

1seccos

olog,sen

1seccos

222

2

2

2

22 gcot1seccos

sen

cos

sen

sen11

sen

11seccos

2

22

22

sen

cosgcot

sen

cosgcot

olog,sen

cosgcot

22

22

sen1cos

1cossen

22 gcot1seccos

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9) Se sen b/c, então, calculando o valor de

chegaremos a:

a) a/c

b) b/c

c) a/b

d) b/a

e) 1

cos

1cos.)cos1(.

sen

cosy

cos

11.)cos1(.gcoty

22

22

cos1sen

1cossen

cos

11.)cos1(.gcoty

)coscos1(cos.sen

1y

1cos.)cos1(.sen

1y

2

)cos1(.sen

1y 2

2sen.sen

1y

c

by

seny

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Voltando

a parte teórica

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Lei dos Senos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos : Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

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Lei dos Cossenos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

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Continuação ...

Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :

90coscb2cba 222

Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...

0cb2cba 222

Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitágoras

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Gráficos das funções trigonométricas

sen x

y

x

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

90°

1

-1

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Continuação ...

cos x

y

x •

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

1

-1

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Continuação ...

tg x

y

x •

0° 360°

-90° 90°180°

270° 450°

540°

630°

Page 28: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Continuação ...

y

x

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

90°

1

-1

cossec x

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Continuação ...

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

sec x

y

x

1

-1

Page 30: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Continuação ...

cotg x

y

x •

0° 360°

90°

180°

270° 450°

540°

630°

720°

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TRIGONOMETRIA APLICADA

• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,“t” dias após 1º de janeiro.

)80t(

365

2sen8,212)t(L

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

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Continuação ...

dt2

tsen)x(S

x

0

2

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394

•Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas.

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Continuação ...

• Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit.

Trigonométrica Transformada Trigonometria no

Triângulo Retângulo

I 222 .uba sen.b

au cos.sen1. 2 aa

CA

COtg

II 222 .uba tgb

au . sec.1. 2 atga

HI

CAcos

III 222. aub sec.b

au tgaa .1sec. 2

HI

COsen

Demonstrando o Caso I ...

)sen1.(sensen.sen. 222222

2

222

222222 aaa

b

aba

b

abauba

22 cossen1. aa cos.a C M P Q D

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Trigonometria

Algumas Aplicações

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Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

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hd.tgd

htg

.a.c

.o.ctg

temos que:

portanto: tg.dh

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:

metros8675,28h

95773502691,0.50h

30tg.50h

tg.dh

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Exemplo 1

A inclinação de uma rampa

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Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

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Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.

Observemos:

6 metros16,4 metros

2 metros

Comprimento total da rampa

solo

Page 40: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

6 metros

16,4 metros2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Temos em relação ao ângulo

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

Page 41: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

121219512195,04,16

2

hip

.o.csen

Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.

Page 42: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

Page 43: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

2,49121219512195,0

6

7sen

6

sen

o.chip

sen

o.chip.o.chip.sen

hip

.o.csen

6 metros

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos

Como:

Chegamos a conclusão que o

comprimento total da rampa é 49,2 metros

Page 44: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Exemplo 2

Mecânica Geral

ou Trigonometria?

Page 45: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros

assuntos.Observemos os exemplos a seguir:

Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo

que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

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Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F

nos eixos das abscissas e das

ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F

e )y(2F

.

Analogamente, encontraremos as projeções de 3F

, encontrando os componentes )x(3F

e )y(3F

.

Page 47: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s

)x(Ré o b t i d a

d a s e g u i n t e m a n e i r a :

)x(31)x(2)x( FFFR

60cos.FFFF.60cosF

F60cos.

hip

a.ccos

45cos.FFFF.45cosF

F45cos.

hip

a.ccos

Como

3)x(3)x(333

)x(3

2)x(2)x(222

)x(2

N20F5,0.4060cos.FF

N70F70,0.10045cos.FFtotanPor

)x(33)x(3

)x(22)x(2

)x(31)x(2)x( FFFR

N70R

202070R

)x(

)x(

Page 48: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s

)y(Ré o b t i d a

d a s e g u i n t e m a n e i r a :

)y(34)y(2)y( FFFR

60sen.FFFF.60senF

F60sen.

hip

o.csen

45sen.FFFF.45senF

F45sen.

hip

o.csen

Como

3)y(3)y(333

)y(3

2)y(2)y(222

)y(2

N4,34F86,0.4060sen.FF

N70F70,0.10045sen.FFtotanPor

)y(23)y(3

)y(22)y(2

)y(34)y(2)y( FFFR

N6,25R

4,341070R

)y(

)y(

Page 49: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Colocando )x(R

e )y(R

, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,

Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força

Resultante

R, )x(R

é o cateto adjacente a e )y(R

ocateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para

calcularmos o valor de

R.

Page 50: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

N53,74R

36,5555R

36,5555R

36,6554900R

6,2570R

RRR

cch

2

2

222

2

)y(

2

)x(

2

222

Page 51: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

P a r a o c á l c u l o d o â n g u l o , t e m o s :

3657,070

6,25

R

R

.a.c

.o.ctg

)x(

)y(

3657,0tg

E s s e é o v a l o r d a t a n g e n t e d o â n g u l o P a r a c a l c u l a r m o s o v a l o r d o â n g u l o ,t e m o s q u e e n c o n t r a r o a r c t g , e n t ã o :

20

3657,0arctgarctg

C o n c l u í m o s e n t ã o q u e a R e s u l t a n t e N53,74R

e f o r m au m â n g u l o 20 c o m o e i x o x .

Page 52: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Desafio !

Page 53: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13

Page 54: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Solução:

Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

)II(y.3h

y.60tghhy.60tgy

h

.a.c

.o.c60tg

)I()y20(.3

3h

)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(

h

.a.c

.o.c30tg

Page 55: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

metros10y

y220yy320y.3)y20(

y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3

3

y.3h)II()y20(.3

3h)I(

Igualando o h das equações ( I ) e (II)

Como

metros17h

10.7,1h

y.3h

Page 56: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

30 metros

17 metros para subir a árvore

17 metros para descer da árvore

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

segundos20eutosmin5touutosmin333,5t

60

segundos320tsegundos320

2,0

64t

V

stst.V

t

sV

v = 0,2 m/s

Page 57: Teorema Fundamental da Trigonometria. Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

Obrigado pela participação de todos!!!

Infelizmente, terminou . . .Prof. Edson Arnaldo Mendes

Prof. Paulo Alves Rodrigues