11

Teoremadolimitecentraleestimaçãodaproporção

populacionalp

1

2

RESULTADO 1: Seja uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável X, com média µ e variância σ2. Temos que:

E( ) = µ e Var ( ) = σ2 n

XX

Relembrando resultados importantes

Se X ~ N(µ,σ2), para uma amostra aleatória de tamanho n de X, temos que

.⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

nσNX

2 , ~ µ

RESULTADO 2:

Logo, .

( )1 ,0 ~2

N

nσ

XZ µ−=

2

3

RESULTADO 3:

, 1~ 2 −−

= nt

nS

XT µ

onde, é a variância amostral e tn-1 representa a

distribuicão t de Student com n-1 graus de liberdade.. 1

)(1

2

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

Se X ~ N(µ,σ2), sendo σ2 desconhecida, então, para uma amostra aleatória de tamanho n de X,

3

4

Seja X uma variável com média µ e variância σ2. Para amostras X1, X2, ..., Xn , retiradas ao acaso e com reposição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média µ e variância σ2/n , ou seja,

X

. , , ~2

menteaproximada grande, para nnσ

µNX ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Teorema Limite Central (TLC)

RESULTADO 4

5

Figura 2: Histogramas correspondentes às distribuições de para amostras de algumas populações.

4ª 2002, 273

X

6

7

Estes gráficos mostram que,

• quando n aumenta, independentemente da forma da distribuição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral aproxima-se de uma distribuição normal.

7

• conforme n aumenta, os valores de tendem a se concentrar cada vez mais em torno de média µ, uma vez que a variância vai diminuindo;

X

No R

Pacote: RcmdrPlugin.TeachingDemos ⇒

Simulação do Teorema Limite Central

X

7

para σ desconhecido:

8

Portanto, se a variável X na população não tem distribuição normal, e n é grande, usando o TLC o intervalo de confiança aproximado para µ, com nível de confiança γ, é

sendo z tal que γ = P(-z ≤ Z ≤ z), com Z ~ N(0, 1), σ é o desvio padrão da população, e S é o desvio padrão amostral.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

n S

z X n

S zX ;

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

n σ

z X n

σz X ;para σ conhecido:

8

9

Exemplo 1:Não se conhece o consumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que o desvio padrão do consumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/L. Na análise de 150 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/L. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um nível de confiança de 95%.

X: consumo de combustível de automóveis da marca T σ = 10 km/L

γ = 0,95 ⇒ z = 1,96

Amostra: n = 150 ⇒ (média amostral) = 8 km /Lx

Observe que a margem de erro ε é 1,60 km / l.

Pelo Teorema Limite Central, o intervalo de confiança é dado, aproximadamente, por

10

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−nσzX;

nσzX ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

150101,968 ;

150101,968

[ ]] ;[

9,606,40

1,60]81,60;[80,82 x 1,968 0,82; x 1,968=

+−=+−=

11

Exemplo 2: A quantidade de colesterol X no sangue das alunas de uma universidade tem uma distribuição com desvio padrão σ = 50 mg/dL e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a quantidade média µ de colesterol com erro ε = 10 mg / dL e confiança de 95%, quantas alunas devem formar a amostra para realizar o exame de sangue?

X: quantidade de colesterol no sangue das alunas da universidade σ = 50 mg / dL

ε = 10 mg / dL γ = 0,95 ⇒ z = 1,96n = ??

11

12

Assim, aproximadamente 97 alunas devem ser selecionadas para realizar o exame de sangue.

Supondo que o tamanho da amostra a ser selecionada é suficientemente grande, pelo Teorema Limite Central (TLC) temos:

12

,σεz n 2

2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

96,04

50)101,96 2

2

(

=

×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

12

Exemplo 3: Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade, é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons. A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R$ 527 e R$ 50, respectivamente. Determine um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança de 90%, para a renda média semanal de garçons dessa cidade.

Amostra: n = 75 ⇒ = 527 e s = 50 γ = 0,9 ⇒ z = 1,65

x

X : renda semanal de garçons da cidade

13

=+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

57

05 1,65 527 ;

57

50 1,65 - 527

[ ][ ] 536,53 ; 517,47

9,53 527 ; 9,53 - 527 =+

O intervalo de 90% de confiança é dado, aproximadamente, por

14

=+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ n

s z x ;

n

s z -x

Estimaçãodaproporção

15

16

Objetivo

Estimar uma proporção p (desconhecida) de elementos em uma população, apresentando certa característica de interesse, a partir da informação fornecida por uma amostra.

17

Exemplos:

p: proporção de consumidores satisfeitos com os serviços prestados por uma empresa telefônica;

p: proporção de eleitores da cidade de São Paulo que votariam em um determinado candidato, caso a eleição para presidente se realizasse hoje;

p: proporção de crianças de 2 a 6 anos, do estado de São Paulo, que não estão matriculadas em escola de educação infantil.

p: proporção de alunos da USP que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês;

18

- Vamos observar n elementos, extraídos ao acaso da população, de forma independente;

- Para cada elemento selecionado da população, verificamos a presença (“sucesso”) ou não (“fracasso”) da característica de interesse.

Neste caso, temos uma amostra aleatória (a.a.) de tamanho n de X, sendo X uma v.a. com distribuição de Bernoulli, que representamos por X1, X2, ..., Xn,

onde Xi vale “1”, se ocorre sucesso, ou “0”, se ocorre fracasso para o i-ésimo elemento da amostra.

19

Estimador pontual

Note que: • X1 + ... + Xn é o número de elementos na amostra que apresentam a característica; •

. ˆ 1

nX...Xp n++

=

O estimador pontual para p, também denominado proporção amostral, é definido como

Se observamos k elementos na amostra com a característica, obtemos , que denominamos estimativa pontual para p. n / k pobs =ˆ

X p =ˆ

20

Exemplo 1: Seja p a proporção de alunos da USP que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

Suponha que foram entrevistados n = 500 estudantes, e que, desses, k = 100 teriam afirmado que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

ou seja, 20% dos estudantes entrevistados afirmaram que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

,nk

pobs 0,20500100

===ˆ

A estimativa pontual (proporção amostral) para p é dada por:

→ Note que outra amostra de mesmo tamanho pode levar a uma outra estimativa pontual para p.

21

[ ], ε X ε X +− ;

Vimos que, para qualquer variável aleatória X, quando n é grande, usando o Resultado 4 (TLC), um intervalo de confiança para µ tem a forma

21

Intervalo de confiança para p

onde , sendo σ2 a variância de X.n

z σε =

Neste caso, como X ~ Bernoulli(p), com σ2=p(1-p) e , o estimador intervalar para p é dado por

X p =ˆ

[ ] ,ˆˆ ε pε ; p +−

e z tal que γ = P(-z ≤ Z ≤ z) na N(0,1).comnppzε )( −

=1

21

22

Intervalo de confiança para p

Na prática, substituímos a proporção desconhecida p pela proporção amostral , obtendo o seguinte intervalo de confiança aproximado com coeficiente de confiança γ :

p̂

Intervalo de confiança para p

ˆ1ˆ

ˆˆ1ˆ

ˆ

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzp p ; γIC

!"!"!" ;

Na prática, substituímos a proporção desconhecida p pela proporção amostral , obtendo o seguinte intervalo de confiança aproximado com coeficiente de confiança γγγγ :

p̂

22

nn

23

Exemplo 1 (continuação):p̂No exemplo da USP, temos n = 500 e obs = 0,20.

Construir um intervalo de confiança para p com coeficiente de confiança γ = 0,95.

Como γ = 0,95 fornece z = 1,96, o intervalo é dado por:

[ ] [ ]. 0,235 ; 0,165 0,0350,20 ; 0,0350,20 500

0,800,201,960,20 ; 500

0,800,201,960,20

=+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×+

×−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−−

nppzp

nppzp )()( ˆ1ˆˆˆ1ˆˆ ;

Exemplo 1 (continuação):

p̂No exemplo da USP, temos n = 500 e obs = 0,20.Construir um intervalo de confiança para p com coeficientede confiança γ = 0,95.

Como γ = 0,95 fornece z = 1,96,o intervalo é dado por:

−

+−

−pp

zp pp

zp !"!" ˆ1ˆ

ˆˆ1ˆ

ˆ ;

23

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]. 0,235 ; 0,165 0,0350,20 ; 0,0350,20

500

0,800,201,960,20 ;

500

0,800,201,960,20

====++++−−−−====

××××++++

××××−−−−====

−+

−−

n

ppzp

n

ppzp

!"!" ˆ1ˆˆ

ˆ1ˆˆ ;

24

Interpretação do IC com γ = 95%:

Comentários:

Da expressão é possível concluir que: ,)( n

ppzε −=

1

• para n fixado, o erro aumenta com o aumento de γ.

Se sortearmos 100 amostras de tamanho n = 500 e construirmos os respectivos 100 intervalos de confiança, com coeficiente de confiança de 95%, esperamos que, aproximadamente, 95 destes intervalos contenham o verdadeiro valor de p.

• para γ fixado, o erro diminui com o aumento de n.

25

Da relação

),(12

ppεzn −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

segue que o tamanho amostral n, dados γ e a margem de erro ε, tem a forma

, )(1nppzε −

=

onde z é tal que γ = P(-z ≤ Z ≤ z) e Z ~ N(0,1).

Dimensionamento da amostra

Entretanto, nesta expressão, n depende de p(1-p), que é desconhecido.

→ Como calcular o valor de n?

26

Pela figura observamos que: • a função p(1-p) é uma parábola simétrica em torno de p = 0,5;

Assim, na prática, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, obtendo

, 0,252

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

que pode fornecer um valor de n maior do que o necessário.

Gráfico da função p(1-p), para 0 ≤ p ≤ 1.

• o máximo de p(1-p) é 0,25, alcançado quando p = 0,5.

27

No exemplo da USP suponha que nenhuma amostra foi coletada. Quantos estudantes precisamos consultar de modo que a estimativa pontual esteja, no máximo, a 0,02 da proporção verdadeira p, com probabilidade de 0,95?

.estudantes 24010,250,021,96 )(1-

0,021,96 22

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ppn

Dados do problema: ε = 0,02 (erro da estimativa); γ = 0,95 ⇒ z = 1,96.

Exemplo 1 (continuação):

28

Pergunta: É possível reduzir o tamanho da amostra quando temos alguma informação a respeito de p?

Em alguns casos, podemos substituir a informação p(1-p), que aparece na expressão de n, por um valor menor que 0,25.

Por exemplo, sabemos que:

• p não é superior a 0,30, ou• p é pelo menos 0,80, ou • p está entre 0,30 e 0,60.

Resposta: Depende do tipo de informação sobre p.

29

Vimos que, se nada sabemos sobre o valor de p, no cálculo de n, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, e calculamos

. 0,252×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

Se temos a informação de que p é no máximo 0,30 (p ≤ 0,30), então o valor máximo de p(1-p) será dado por 0,3x0,7 = 0,21.

Redução do tamanho da amostra

Logo, reduzimos o valor de n para

. 0,212×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

30

Agora, se p é pelo menos 0,80 (p ≥ 0,80), então o máximo valor de p(1-p) é 0,8 x 0,2 = 0,16, e temos

. 0,162

×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

.0,252

×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

Mas, se 0,30 ≤ p ≤ 0,60 o máximo valor de p(1-p) é 0,5 x 0,5 = 0,25 e, neste caso, não há redução, ou seja,

31

Exemplo 1 (continuação):

No exemplo da USP, suponha que temos a informação de que no máximo 30% dos alunos da USP foram ao teatro no último mês.

conseguindo uma redução de 2401- 2017 = 384 estudantes.

Portanto, temos que p ≤ 0,30 e, como vimos, o máximo valor de p(1-p) neste caso é 0,21.

,estudantes 20170,210,021,960,21

22=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=εzn

Assim, precisamos amostrar

32

Exemplo 2: Por ocasião do centenário da imigração japonesa no Brasil, um Instituto de Pesquisa conduziu uma pesquisa, com a finalidade de conhecer alguns aspectos dessa população vivendo no país. Entre outras questões, desejou-se estimar a proporção p de japoneses e descendentes no Brasil que pertenciam a alguma associação de cultura japonesa.

Foram selecionados 610 japoneses e descendentes, com mais de 16 anos de idade. Na amostra aleatória selecionada, 195 declararam frequentar ou pertencer a alguma associação de cultura japonesa.

320610195ˆ ,pobs ≅=- Estimativa por ponto para p:

- Intervalo de confiança aproximado de 95% para p:

0,357) (0,283; 0,037) 0,32 0,037; - (0,32

)610

0,32)0,32(11,960,32 ; 610

0,32)0,32(11,96(0,32

=+=

−+

−−

Fonte da Pesquisa na íntegra: http://www1.folha.uol.com.br/poder/2015/03/1603885-maioria-foi-as-ruas-contra-corrupcao-diz-datafolha.shtml

Uma ilustração

33

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Distribuição Normal : Valores de P( Z < z ) = A(z)

Segunda decimal de z

Parte

intei

ra e p

rimeir

a dec

imal

de z

Volta

3434