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Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALESAmpliación de Matemáticas.

Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General1 Introducción 1

2 Sistemas autómonos. Plano de fases 2

3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 5

4 Estabilidad mediante linealización 12

5 Método directo de Liapunov 17

1 IntroducciónHasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de ob-tener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones y sistemasdiferenciales.

En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planteán-donos ahora el obtener información cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones. Este nuevoenfoque tiene un interés obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales nolas sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario de-terminarlas explícitamente pues sólo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede sercostosa la obtención de dichas soluciones para el estudio que se quiere realizar).

Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas:Consideremos que x1(t) y x2(t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies quecompiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que lastasas de crecimiento de las poblaciones, x1(t) y x2(t), están gobernadas por un sistema de ecuacionesdiferenciales

X0(t) = f(t,X(t)) donde X(t) =µx1(t)x2(t)

¶En la mayoría de los casos este sistema será de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones,

esto es, no podremos obtener x1(t) y x2(t), que nos dirían el número de individuos de cada especie enun tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a lasque con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias sin necesidad de determinar explícitamente lassoluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones:

1. ¿Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, ¿existennúmeros α,β tales que x1(t) = α y x2(t) = β son soluciones del sistema X0(t) = f(t,X(t))? Si talesvalores existen se les llama valores (soluciones) de equilibrio o puntos críticos.

2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunosmiembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. ¿Permanecerán las

1

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poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro?, es decir, si φ(t) es unasolución de equilibrio del sistema X0(t) = f(t,X(t)), y ψ(t) es otra solución tal que φ(t0) estápróximo a ψ(t0), ¿se verificará que ψ(t)→ φ(t) cuando t→ +∞?.

3. Si conocemos el número de individuos de cada especie en un tiempo t0, ¿Cuál será la evolución delas especies cuando transcurre el tiempo? Si no tienden a valores de equilibrio, ¿triunfará una delas especies?

Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistemaX0(t) = f(t,X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente sección definiendo los principales conceptos.

2 Sistemas autómonos. Plano de fasesUn sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx

dt= F (x, y)

dy

dt= G(x, y)

(1)

donde supondremos que F yG son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuasen todo el plano. En este caso, las funciones F y G se dicen de clase C1 en todo R2 (F,G ∈ R2). Estascondiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solución, definida para todo t ∈ R, delproblema de valor inicial ½

x0 = F (x, y) x(t0) = x0y0 = G(x, y) y(t0) = y0

para cualquier t0 ∈ R y (x0, y0) ∈ R2.El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explícitamente en

los segundos miembros de las ecuaciones dada.

Recordemos también que, si tenemos una ecuación diferencial de segundo orden, en este caso autóno-ma,

d2x

dt2= f

µx,dx

dt

podemos convertirla en un sistema autónomo introduciendo una nueva variable y =dx

dt, y nos queda½

x0 = yy0 = f (x, y)

Las variables dependientes x(t) e y (t) se llaman a veces variables de estado del sistema. El planoformado por los pares de valores (x, y) se suele llamar plano de las fases.

Cada solución del sistema (1) es un par de funciones x(t) e y(t) que definen una curva C ≡ [x(t), y(t)]en el plano XY o plano de fases. Obsérvese que cada punto de la curva C nos determina el estado delsistema en un instante t correspondiente a una condiciones iniciales determinadas, y que por ello es degran interés el conocimiento de este tipo de curvas, que se suelen llamar trayectorias u órbitas. En cadapunto (x, y) de una órbita, el vector (F (x, y) , G (x, y)) es un vector tangente a dicha órbita, por eso elconjunto de vectores (F (x, y) , G (x, y)) se llama campo de direcciones del sistema.

Debe observarse que una solución en la que x(t) = x0 e y(t) = y0 para todo t ∈ R define únicamenteun punto (x0, y0) en el plano de fases y verifica que F (x0, y0) = G (x0, y0) = 0. Se dice entonces (x0, y0)

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es un punto crítico o un equilibrio del sistema. Cada punto del plano de las fases o bien es un puntocrítico o bien por él pasa una única trayectoria.

Las propiedades cualitativas de las órbitas nos permiten obtener información sobre el comportamientode las soluciones.

1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autónomo: esto es, si(x (t) , y (t)) es una solución del sistema (1), entonces para cada c ∈ R se tiene que (x (t) , y (t)) =(x(t+ c), y(t+ c)) es otra solución de (1).

2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes: es decir, si (x (t) , y (t)) y (x (t) , y (t)) son solucionesdel sistema (1), tales que la primera solución en t0 vale (x0, y0) y la segunda en t1 toma los mismosvalores (x0, y0), entonces existe un valor c ∈ R tal que (x (t) , y (t)) = (x(t+ c), y(t+ c)).

3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas: si (x (t) , y (t)) es una solucióndel sistema (1) que en dos instantes t0 y t0 + T toma el mismo valor, entonces (x (t) , y (t)) =(x(t+ T ), y(t+ T )) para todo t, es decir (x (t) , y (t)) es periódica.

Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autónomo,sin necesidad de obtener explícitamente dichas soluciones. Supongamos que (x (t) , y (t)) es una solucióndel sistema (1) que no permanece constante en el tiempo (esto es, no se trata de una solución de equilibrio

o punto crítico), y la derivadadx

dtes distinta de cero en t = t1, entonces en un entorno del punto x1 = x(t1)

se verifica que

dy

dx=dy

dt· dtdx=G(x, y)

F (x, y).

Por tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer ordendy

dx=G(x, y)

F (x, y).

Caso de ser la derivadadx

dtnula para todo t, se tendrá que verificar que

dy

dtno siempre sea nula, por lo que

la trayectoria de esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencialdx

dy=F (x, y)

G(x, y). En cualquier

caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.

Veamos algunos ejemplos de determinación de trayectorias y puntos críticos.

Ejemplo 2.1 Considérese el sistema autónomo½x0 = 2xyy0 = y2 − x2

Su único punto crítico es el punto (0, 0). Las demás trayectorias se pueden obtener resolviendo la ecuaciónhomogénea

dy

dx=y2 − x22xy

y comprobando que las trayectorias son todas las circunferencias de centro (a, 0) y radio |a|, excluyendode ellas el punto (0, 0).

Ejemplo 2.2 Los puntos de equilibrio del sistema½x0 = 1− yy0 = x3 + y

son los puntos (x, y) que verifican 1− y = 0, x3 + y = 0. Por tanto, existe un único punto crítico quees (−1, 1). Es decir, (x(t), y(t)) = (−1, 1) es la única solución que permanece constante en el tiempo.

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Ejemplo 2.3 Los puntos de equilibrio del sistema½x0 = (x− 1)(y − 1)y0 = (x+ 1)(y + 1)

son los puntos (1,−1) y (−1, 1) ya que son los únicos que verifican½(x− 1)(y − 1) = 0,(x+ 1)(y + 1) = 0.

Ejemplo 2.4 Los puntos de equilibrio del sistema diferencial½x0 = x(y − 1)y0 = x(y + 1)

son los puntos (x, y) que verifican el sistema½x(y − 1) = 0,x(y + 1) = 0.

Por tanto, hay infinitos puntos críticos, todos los puntos de la recta x = 0.

Ejemplo 2.5 Consideremos ahora un ejemplo físico: el péndulo matemático. La ecuación del movimientodel péndulo viene dada por

d2θ

dt2+g

lsen θ = 0

siendo l la longitud de la varilla del péndulo y θ el ángulo que forma la varilla con la vertical.El sistema diferencial de primer orden equivalente a la ecuación anterior es, llamando x1 = θ y

x2 =dθ

dt, el siguiente: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx1dt

= x2

dx2dt

= −glsen x1

Este sistema tiene infinitas soluciones de equilibrio. Los puntos críticos son todos los de la forma (kπ, 0)con k ∈ Z.Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos críticos. El primero de ellos tiene x1 = θ = 0, x2 =

dt= 0,

por tanto, estamos en la siguiente situación: no hay desplazamiento de la vertical, y la velocidad es

nula. El segundo punto crítico tiene x1 = θ = π, x2 =dθ

dt= 0, por tanto, estamos en la siguiente

situación: el ángulo de desplazamiento es π, y la velocidad es nula. En cualquiera de estas dos situacionesel péndulo continuará así indefinidamente. Sin embargo, estos dos puntos de equilibrio son diferentes.Cuando nos encontramos en la situación de equilibrio (0,0), ante cualquier pequeño cambio de la situación(cambio de posición o de velocidad), el sistema presentará pequeñas oscilaciones. Sin embargo, cuandonos encontramos en la situación de equilibrio (π, 0), estos pequeños cambios harán que el sistema presenteuna notable desviación.En estas situaciones diremos que el punto (0, 0) es estable, y el punto (π, 0) inestable (a continuación

definiremos formalmente el concepto de estabilidad)

Supondremos en lo que sigue que los puntos críticos de los sistemas autónomos que consideremosestán aislados, esto es, existe un entorno del punto crítico donde no hay otro punto crítico. Además,supondremos que el punto crítico aislado a estudiar es el (0, 0), lo cual no supone ningún tipo de restricción

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pues de no ser así bastará hacer un cambio de coordenadas adecuado: Si (x0, y0) es un punto de equilibriodel sistema (1), el cambio de variable

X = x− x0, Y = y − y0 (2)

transforma dicho sistema en ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dX

dt= F (X + x0, Y + y0)

dY

dt= G (X + x0, Y + y0)

(3)

y (0, 0) es un punto de equilibrio de (3).

En estas condiciones introducimos la noción de estabilidad del punto crítico.

Definición 2.1 i) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es estable si para todo númeroR > 0, existe algún r > 0, r ≤ R, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo x2 + y2 = r2en algún momento t = t0, permanezca dentro del círculo x2 + y2 = R2 para todos los t > t0: estoes, si una trayectoria está cerca del punto de equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo.

ii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es asintóticamente estable, cuando es establey existe algún número r0 > 0, tal que toda trayectoria que está dentro del círculo x2 + y2 = r20 enalgún momento t = t0, se aproxime al origen cuando t→ +∞. La expresión “se aproxime al origencuando t → +∞” se deberá entender de la siguiente forma: si C ≡ (x(t), y(t)) es una trayectoria,deberá verificarse que x(t)→ 0, e y(t)→ 0 cuando t→ +∞; es decir, las trayectorias cercanas nosólo se mantienen cerca, sino que se aproximan al punto de equilibrio a lo largo del tiempo.

iii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable cuando no es estable: las trayectoriasque empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del tiempo.

En lo que sigue nos centraremos en el estudio de las dos cuestiones siguientes, las cuales constituyenuna parte esencial del plano de fases del sistema:

— La disposición de las trayectorias cerca del punto crítico (0,0).

— La estabilidad o inestabilidad del punto crítico (0,0).

3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas linealesVeremos seguidamente que, en el caso de los sistemas autónomos lineales, la naturaleza y estabilidad delpunto crítico queda caracterizada por los autovalores de la matriz del sistema. Consideremos un sistemaautónomo lineal ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

dx

dt= a1x+ b1y

dy

dt= a2x+ b2y

(4)

para el que (0, 0) es su único punto crítico. Esto equivale a que la matriz A =

µa1 b1a2 b2

¶del sistema

tenga determinante no nulo, y por ello que los autovalores λ1,λ2 sean diferentes de cero. En funcióndel comportamiento de las trayectorias en relación con el punto crítico aislado (0, 0), el punto crítico sedenominará: nodo, punto de silla, centro, o foco.

El punto crítico es un nodo.

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Este caso se presenta cuando los autovalores λ1,λ2 son reales y del mismo signo. El diagrama de fasestiene las siguientes características:a) Todas las trayectorias se acercan al origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovaloresnegativos.b) Todas las trayectorias se alejan del origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovalores positivos.Por esta razón, en el caso que el punto crítico sea un nodo, éste será o bien asintóticamente estable

(autovalores negativos), o bien inestable (autovalores positivos).

Ejemplo 3.1 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = xy0 = −x+ 2y

Sus soluciones son x (t) = C1et, y (t) = C1et + C2e

2t con C1, C2 ∈ R. Analicemos las trayectorias:Cuando C1 = 0 y C2 6= 0, se tiene x = 0, y = C2e

2t. Estas soluciones determinan dos únicastrayectorias. Si C2 > 0, la trayectoria es la parte positiva del eje OY, y si C2 < 0, la trayectoria esla parte negativa del eje OY . En ambos casos las trayectorias se recorren alejándose del punto críticocuando t→ +∞.Cuando C2 = 0 y C1 6= 0, tenemos x = C1e

t, y = C1et. Estas soluciones determinan dos nuevas

trayectorias. Una trayectoria es la semirrecta bisectriz del primer cuadrante, que corresponde al casoC1 > 0. La otra es la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, que corresponde al caso C1 < 0. En amboscasos, las trayectorias se recorren alejándose del punto crítico cuando t→ +∞.Si C1 y C2 son distintos de cero, entonces tenemos, eliminando el parámetro t, que las trayectorias

verifican la ecuación y = x+C2C21x2. En realidad, dicha ecuación corresponde a dos trayectorias (véase en

la Figura 1). Es fácil comprobar que en los puntos de dichas trayectorias, a medida que nos aproximamosal (0, 0), la pendiente de la recta tangente se va aproximando a 1.El punto crítico (0,0) de este sistema es un nodo y el diagrama de las fases se muestra en la Figura

1.

Figura~1: Nodo.

Obsérvese que los autovalores del sistema lineal considerado son reales, distintos y del mismo signo(positivo). En este caso, toda trayectoria sale del punto (0,0) cuando t → +∞, hay cuatro trayectorias

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en forma de semirrecta que determinan dos rectas que pasan por el origen, y el resto de las trayectoriasse asemejan a porciones de parábolas. Es fácil entender que si los autovalores hubieran sido negativos,toda trayectoria entra al punto (0,0) cuando t→ +∞.

Cuando un sistema lineal tiene autovalores reales, del mismo signo, pero además iguales (λ el únicoautovalor de la matriz del sistema), las configuraciones de las trayectorias son algo diferentes, aunqueguardan cierta relación con las anteriores (véanse las Figuras 2 y 3). En este caso el punto crítico aisladodel sistema se sigue denominando nodo (aunque se suele llamar nodo impropio).

Figura~2: Nodo impropio con dim(V (λ)) = 2.

Figura~3: Nodo impropio con dim(V (λ)) = 1.

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El punto crítico es un punto de silla.Este caso se presenta cuando los autovalores λ1,λ2 son reales y de distinto signo. Cuando t → +∞,

nos encontramos con dos trayectorias rectas que se acercan al origen y otras dos trayectorias rectas quese separan del origen. Esto nos permite concluir, que todo punto de silla es inestable.

Ejemplo 3.2 Consideremos el sistema lineal½x0 = xy0 = −3y

Sus soluciones son x(t) = C1et, y(t) = C2e−3t. Analicemos las trayectorias:Cuando C1 = 0 y C2 6= 0, se tiene x(t) = 0, y(t) = C2e

−3t. Todas estas soluciones determinan dosúnicas trayectorias que descansan sobre la recta x = 0. Cuando C2 > 0, la trayectoria es la semirrectax = 0 con y > 0. Cuando C2 < 0, la trayectoria es la semirrecta x = 0 con y < 0. Cuando t → +∞,ambas trayectorias “entran” en el origen.Cuando C1 y C2 son ambos no nulos, la trayectoria correspondiente a la solución x(t) = C1et, y(t) =

C2e−3t descansa sobre la curva de ecuación y =

C2

C−31x−3. Este tipo de curvas semejan hipérbolas, y

constan de dos ramas situadas en los cuadrantes primero y tercero cuandoC2

C−31> 0, o bien en los

cuadrantes segundo y cuarto cuandoC2

C−31< 0. Cada una de dichas ramas constituye una trayectoria.

Este punto crítico aislado (0, 0) es un punto de silla. Hay cuatro trayectorias en forma de semirrecta,que determinan dos rectas que pasan por el origen. Cuando t→ +∞, dos de esas trayectorias se recorrenhacia el origen; las otras dos,“salen” del origen. Entre estas semirrectas hay cuatro regiones, cada unade las cuales contiene trayectorias que se asemejan a ramas de hipérbolas. Cuando t → +∞, estastrayectorias no tienden hacia el punto crítico, sino que son asintóticas a algunas de las semirrectas queentran (véase la Figura 4).

Figura~4: Punto de silla.

El punto crítico es un centro.

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Figura~5: Centro.

Este caso se presenta cuando los autovalores son imaginarios puros. Las trayectorias son curvascerradas que rodean al origen, que en general tienen forma de elipses, de modo que ninguna trayectoriatiende a él cuando t → +∞ o t → −∞. Por ello, el punto crítico es estable, pero no asintóticamenteestable.

Ejemplo 3.3 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = −yy0 = x

Sus soluciones son x(t) = C1 cos t+ C2 sen t, y(t) = C sen t− C2 cos t.Las trayectorias las determinamos en este caso resolviendo la ecuación diferencial

ydy = −xdy

y así obtenemos que las trayectorias son todas las circunferencias centradas en el origen (véase la Figura5).

En este caso el punto crítico aislado (0, 0) se denominado centro, y las trayectorias se recorren, parat > 0, en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El punto crítico es una espiral o foco.Este caso se presenta cuando los autovalores son complejos conjugados y tienen parte real no nula.

Las trayectorias son curvas en forma de espiral que, conforme t→ +∞, pueden presentar dos situaciones:a) Todas se acercan al origen, caso de ser la parte real de los autovalores negativa.b) Todas se separan del origen, caso de ser la parte real de los autovalores positiva.Así, pues, un punto crítico foco es o bien asintóticamente estable (autovalores con parte real negativa),

o bien es inestable (autovalores con parte real positiva).

Ejemplo 3.4 Consideremos el sistema autónomo lineal½x0 = 2x− yy0 = x+ 2y

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Las soluciones son x(t) = e2t[C1 cos t+ C2sen t], y(t) = e2t[C1sen t− C2 cos t].Determinamos las trayectorias resolviendo la ecuación diferencial

dy

dx=x+ 2y

2x− yque es una ecuación homogénea cuyas soluciones son curvas en el plano de fases. Para ver cuál es laforma de estas órbitas hacemos un cambio a coordenadas polares en la solución obtenida resultando

r = Ce2θ

y aquí podemos reconocer a una familia de espirales logarítmicas que se muestran en la Figura 6.

Figura~6: Foco.

Obsérvese que los autovalores de este sistema son complejos conjugados a ± ib, pero no imaginariospuros (b 6= 0). En esta situación, el punto crítico se denominará foco o espiral. En este caso, lastrayectorias son espirales que se enrollan a su alrededor. Por otra parte, todas se comportan de la mismaforma: tienden al (0,0) cuando t→ +∞, caso de ser a < 0, o bien salen del (0,0), cuando a > 0.

El siguiente resultado resume los diferentes comportamientos de las trayectorias desde el punto devista de la estabilidad.

Teorema 3.1 El punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es estable si y sólo los autovalores tienen partereal no positiva; si existe un autovalor con parte real positiva, entonces el punto crítico (0,0) del sistemalineal (4) es inestable; el punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es asintóticamente estable si y sólo silos autovalores tienen parte real negativa.

Hemos visto que la naturaleza y la estabilidad del punto crítico de un sistema autónomo lineal sepueden describir atendiendo a sus autovalores. Pasaremos ahora a ver que, con la misma facilidad, estascaracterísticas se pueden describir en términos de la traza T = traza(A) y del determinante D = det(A)de la matriz A de coeficientes del sistema teniendo en cuenta que el polinomio característico de A vienedado por

pA(λ) = λ2 − Tλ+D.

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En efecto, si λ1,λ2 son los autovalores de la matriz del sistema , T = λ1 + λ2 y D = λ1λ2, y además setiene

λ1,λ2 =T ±√T 2 − 4D

2

siendo D 6= 0, ya que el cero no puede ser autovalor.Ahora, atendiendo a los diferentes valores de T y D tenemos:

1. Si T 2 − 4D < 0, entonces los autovalores λ1,λ2 son complejos conjugados. Además, como tienenparte real igual a T/2, resulta:

- son imaginarios puros si y sólo si T = 0 (centro y estabilidad)

- tienen parte real negativa cuando T < 0 (foco y estabilidad asintótica)

- tienen parte real positiva cuando T > 0 (foco e inestabilidad)

Por ello, al considerar el plano TD, podremos asegurar que por encima de la parábola T 2− 4D = 0se tiene (véanse las Figuras):

- En el eje OD se presentan los centros y hay estabilidad.

- A la izquierda del eje OD se presentan los focos y hay estabilidad asintótica.

- A la derecha del eje OD también se presentan focos, pero hay inestabilidad.

2. Si D < 0, entonces se tiene T 2 − 4D > T 2. Por ello los autovalores son reales y de distinto signo.Se presentan puntos de silla e inestabilidad. Por ello, al considerar el plano TD, por debajo del ejeOT se presentan puntos de silla e inestabilidad (véanse las Figuras).

3. Si D > 0 y T 2− 4D ≥ 0, entonces los autovalores son reales y tienen el mismo signo que T . De ahíque:

a) Si T < 0, se tenga:

- Cuando T 2 − 4D = 0, entonces los autovalores son iguales y negativos (nodo impropio,estabilidad asintótica).

- Cuando T 2 − 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y negativos (nodo,estabilidad asintótica)

b) Si T > 0, se tenga:

- Cuando T 2 − 4D = 0, entonces los autovalores son iguales y positivos (nodo impropio,inestabilidad)

- Cuando T 2 − 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y positivos (nodo,inestabilidad)

Estos casos nos aseguran que en la parte izquierda de la parábola T 2−4D = 0 nos encontramos nodosy estabilidad asintótica. En la parte derecha de la dicha parábola también se presentan nodos, pero hayinestabilidad. Por otro lado, por debajo de la parábola T 2−4D = 0, y por encima del eje OT , se tiene: sepresentan nodos y estabilidad asintótica, en la región de la izquierda; se presentan nodos e inestabilidaden la región de la derecha. Véanse las Figuras.

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ESTA

BIL

IDA

DINESTABILIDAD

INESTABILIDADESTABILIDADASINTÓTICA

T

D

ESTA

BIL

IDA

DINESTABILIDAD

INESTABILIDADESTABILIDADASINTÓTICA

T

D

Estabilidad del origen para el sistema lineal

NODOSCE

NTR

OS

PUNTOS DE SILLA

FOCOS FOCOS

NODOS NODOS IMPROPIOSNODOS IMPROPIOS

T

D

NODOSCE

NTR

OS

PUNTOS DE SILLA

FOCOS FOCOS

NODOS NODOS IMPROPIOSNODOS IMPROPIOS

T

D

Naturaleza del origen para el sistema lineal

4 Estabilidad mediante linealizaciónConsideremos el sistema autónomo (1), con un punto crítico en (x0, y0), tal que las funciones F (x, y)y G(x, y) sean de clase C1

¡R2¢. Entonces, aproximando z = F (x, y) y z = G(x, y) (cerca del punto

(x0, y0)) por sus respectivos planos tangentes en dicho punto,

F (x, y) ≈ ∂F

∂x(x0, y0) · (x− x0) + ∂F

∂y(x0, y0) · (y − y0)

G(x, y) ≈ ∂G

∂x(x0, y0) · (x− x0) + ∂G

∂y(x0, y0) · (y − y0)

podemos escribir µF (x, y)G(x, y)

¶≈ A

µx− x0y − y0

¶si (x, y) ' (x0, y0),

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donde A es la matriz jacobiana del campo (F (x, y), G(x, y))t en el punto (x0, y0), es decir,

A =

⎛⎜⎜⎜⎝∂F

∂x(x0, y0)

∂F

∂y(x0, y0)

∂G

∂x(x0, y0)

∂G

∂y(x0, y0)

⎞⎟⎟⎟⎠ .De esta manera, podemos pensar que el sistema (1) se encuentra próximo al sistema linealµ

xy

¶= A

µx− x0y − y0

¶(5)

cuando (x, y) está cerca de (x0, y0), y por consiguiente, es natural esperar que el comportamiento de lastrayectorias del sistema (1) cerca del punto crítico (x0, y0) sea similar al de las trayectorias del sistemalinealizado (5).El proceso descrito con anterioridad se denomina linalización y nótese que el cambio de variable (2)

sobre el sistema (5) transforma éste en el sistema linealµxy

¶= A

µxy

¶(6)

que tiene al punto (0, 0) como punto de equilibrio.A continuación veremos que, en general, el punto de equilibrio (x0, y0) del sistema autónomo (1)

hereda la estabilidad, y en algunos casos la naturaleza, del punto de equilibrio (x0, y0) para el sistemalineal (5), es decir, la estabilidad del (0, 0) para el sistema lineal (6).En primer lugar caracterizamos la propiedad de punto crítico aislado para el sistema (1) a partir de

esta misma propiedad para el punto crítico (0, 0) del sistema lineal (6).

Proposición 4.1 Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal (6) es aislado (es decir, si det (A) 6= 0),entonces el punto crítico (x0, y0) del sistema (1) es aislado.

Teorema 4.1 Teorema de Linealización de Liapunov y Poincaré.

1. El punto crítico (x0, y0) del sistema (1 )es asintóticamente estable si y sólo si todos los autovaloresde la matriz A poseen parte real negativa (esto es, si el punto crítico (0, 0) del sistema (6) esasintóticamente estable).

2. El punto crítico (x0, y0) del sistema (1) es inestable si y sólo si la matriz A del sistema posee unautovalor con parte real positiva (es decir, el punto crítico (0, 0) es inestable para el sistema (6).

Más aún, si los autovalores de A son distintos entre sí y distintos de cero se puede decir lo siguiente:

1. Si λ1 < λ2 < 0, entonces (x0, y0) es un nodo asintóticamente estable.

2. Si λ1 > λ2 > 0, entonces (x0, y0) es un nodo inestable.

3. Si λ1 < 0 < λ2, entonces (x0, y0) es un punto de silla.

4. Si λ1 no es real y Re(λ1) < 0, entonces (x0, y0) es un foco asintóticamente estable.

5. Si λ1 no es real y Re(λ1) > 0, entonces (x0, y0) es un foco inestable.

Cuando el punto (0, 0) del sistema lineal (6) es estable, pero no asintóticamente estable, es decir,cuando la matriz jacobiana A posee un par de autovalores complejos conjugados con parte real nula, ocuando det(A) = 0 y A no posee un autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona

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información sobre la estabilidad del punto crítico (x0, y0) para el sistema (1). En efecto, consideremos elsistema ½

x0 = −y + µ ¡x2 + y2¢xy0 = x+ µ

¡x2 + y2

¢y

donde µ ∈ R. (7)

El punto (0, 0) es el único punto de equilibrio para el sistema (7) y el sistema linealizado en dicho puntoes ½

x0 = −yy0 = x (8)

de donde, (0, 0) es un punto de equilibrio estable para el sistema (8).Si estudiamos el sistema (7), introduciendo el cambio a coordenadas polares

x = r cos θ, y = r sen θ

tenemos

r2 = x2 + y2, θ = arctgy

x

por lo que

r0r = xx0 + yy0, θ0 =y0x− x0y

r2

y el sistema (7) se tranforma en ½r0 = µr3

θ0 = 1

Por consiguiente:

• Si µ < 0, entonces r es decreciente y tiende a cero cuando t → +∞, por lo que el punto (0, 0) esasintóticamente estable para el sistema (7).

• Si µ > 0, entonces r es creciente y tiende a +∞ cuando t → +∞. Por tanto, el punto (0, 0) es unpunto de equilibrio inestable para el sistema (7).

• Por último, si µ = 0, entonces (0, 0) es estable (centro) para el sistema (7), ya que este sistemacoincide con el sistema lineal (8).

El plano de fases del sistema (7) para los distintos valores de µ puede contemplarse en las Figuras9—11.

Ejemplo 4.1 Determinar la estabilidad del punto crítico (0, 0) para el sistema½x0 = −x− y − 3x2yy0 = −2x− 4y + y senx (9)

Solución: Puesto que el sistema linealizado correspondiente es½x0 = −x− yy0 = −2x− 4y (10)

entonces la traza y el determinante de la matriz de coeficientes vienen dados por T = −5 y D = 2. Estoasegura que el origen para el sistema linealizado es asintóticamente estable (T < 0,D > 0). Por tanto,podemos aplicar el Teorema 4.1, y concluir que el punto (0, 0) es, para el sistema no lineal, asintóticamenteestable. Los diagramas de fase para ambos sistemas se muestran en las Figuras 12 y 13.

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Figura~7: Plano de fases del sistema (7) para µ < 0.

Figura~8: Plano de fases del sistema (7) para µ > 0.

Figura~9: Plano de fases del sistema (7) para µ = 0.

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Figura~10: Retrato de fases del sistema no lineal (9).

Figura~11: Retrato de fases del sistema linealizado (10).

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5 Método directo de LiapunovPara el estudio de la estabilidad de un punto crítico aislado de un sistema autónomo, se cuenta con unmétodo que se conoce como método directo de Liapunov, y que pasamos a exponer seguidamente. En loque sigue supondremos, sin pérdida de generalidad, que (0, 0) es el punto crítico aislado del sistema (1).En primer lugar necesitamos recordar algunos conceptos e introducir otros nuevos.

Definición 5.1 Se dice que la función real de dos variables E(x, y) es:

a) definida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) > 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) = ax2 + by2 con a > 0, b > 0 es definida positiva.

b) semidefinida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) = ax2 con a > 0 y E(x, y) = by2 con b > 0, son semidefinidas positivas.

c) definida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) < 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).Obsérvese que E(x, y) es definida negativa si, y sólo si, −E(x, y) es definida positiva.

d) semidefinida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) ≤ 0 ∀(x, y) 6= (0, 0).

Definición 5.2 Se dice que una función E(x, y), definida en alguna región que contiene al origen, con-tinua, y con derivadas parciales de primer orden continuas, es una función de Liapunov para el sistema(1) cuando verifica las dos condiciones siguientes:

a) E(x, y) es definida positiva.

b) La función E0(x, y) =∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es semidefinida negativa

Teorema 5.1 Para el sistema (1) se verifican las siguientes propiedades:

(A) Si existe una función de Liapunov E(x, y) para el sistema autónomo (1), entonces el punto crítico(0, 0) es estable. Además, si esa función verifica que

E0(x, y) =∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es definida negativa,

entonces el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable.

(B) Si existe una función E(x, y), con las siguientes propiedades:

(i) E(x, y) es continua y tiene derivadas parciales de primer orden en alguna región que contieneal origen.

(ii) E(0, 0) = 0, y cada círculo centrado en (0, 0) contiene al menos un punto en el que E(x, y) espositiva.

(iii)∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G es definida positiva.

entonces el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable.

Veamos en el siguiente ejemplo que, a veces, es posible determinar de manera relativamente sencillauna función de Liapunov.

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Ejemplo 5.1 Demostremos, utilizando el método directo de Liapunov, que el punto crítico aislado delsiguiente sistema es asintóticamente estable½

x0 = −3x3 − yy0 = x5 − 2y3

Se comprueba fácilmente que dicho sistema tiene un único punto crítico que es el (0, 0). Nótese que lamatriz del sistema linealizado en (0, 0) es nula, por lo que el proceso de linealización no da información.Trataremos de buscar una función del tipo E(x, y) = ax2m + by2n con a > 0, b > 0, n,m números

naturales, que sea por tanto definida positiva, y tal que además verifique que la función∂E

∂x·F + ∂E

∂y·G

sea definida negativa. Puesto que

∂E

∂x· F + ∂E

∂y·G = 2ma x2m−1

¡−3x3 − y¢+ 2nby2n−1 ¡x5 − 2y3¢= − ¡6ma x2m+2 + 4nby2n+2¢+ ¡−2ma x2m−1y + 2nby2n−1x5¢

se habrá conseguido una función de este tipo si es posible que

2m− 1 = 5 2n− 1 = 1 2ma = 2nb con a > 0 y b > 0

lo que determina que m = 3, n = 1, y por ejemplo, tomemos a = 1 y b = 3.Así pues, la función de Liapunov E(x, y) = x6 + 3y2 nos permite asegurar que el punto crítico (0,0)

de este sistema es asintóticamente estable.

La idea de considerar una función de Liapunov para el estudio de la estabilidad de un punto críticosurge, de manera natural, cuando se piensa que “si la energía total de un sistema físico tiene un mínimolocal en cierto punto de equilibrio (crítico), entonces ese punto será estable”. Esta idea intuitiva la utilizóLiapunov para considerar el tipo de funciones que hemos descrito en el estudio de la estabilidad. Lasfunciones de Liapunov generalizan el concepto de energía total de un sistema físico.El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la energía total de un cierto sistema físico es una función

de Liapunov que nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio del sistema.

Ejemplo 5.2 Considérese la ecuación del movimiento de una masa m sujeta a un resorte,

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = 0

donde c ≥ 0 es una constante que representa el amortiguamiento que ejerce el medio en que se muevela masa, y k > 0 es la constante de recuperación del resorte. El sistema autónomo equivalente a dichaecuación es (

x0 = y

y0 = − kmx− c

my

y su único punto crítico es (0, 0).Las energías cinética y potencial de la masa son

Ec = my2/2 Ep =

Z x

0

kxdx = kx2/2

Así, la energía total del sistema es

E(x, y) = my2/2 + kx2/2

y es fácil comprobar que esta función E(x, y) es una función de Liapunov para el sistema. Cumple losrequisitos a) y b) de la definición, aunque la función del requisito b) es semidefinida negativa. Por tanto,dicha función sólo nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio, aunque nosotros ya hemosvisto que cuando c > 0, dicho punto es asintóticamente estable.