Download - Tecniche di copertura di copertura I Esempio. Il Gamma di un portafoglio Delta-neutral è pari a −10000. Sulla base della (8), un cambiamento (in un breve lasso di tempo) pari a

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Tecniche di coperturaI A tale scopo, il primo parametro da considerare è ∆. Si

supponga di possedere un portafoglio Π compostodall’opzione e da una quantità pari a ∆ del sottostante(dunque, ho venduto l’opzione e acquistato ∆ quote delsottostante: il portafoglio è ∆-neutral).

I Tale portafoglio risulta perfettamente coperto; in generaleperò il prezzo del sottostante evolve in modo continuo e ciòimplica che la copertura non è perfetta (lo è soloistantaneamente). Si noti che anche il passare del tempomodifica ∆.

I Si ipotizzi che la volatilità e il tasso risk-free siano costantie si consideri l’espansione di Taylor della funzione diprezzo di un’opzione:

dC =∂f∂S

dS+12

∂2f∂S2 dS2+

∂f∂t

dt+12

∂2f∂t2 dt2+

∂2f∂S∂t

dSdt+· · · .

(7)

Tecniche di copertura

I Per il portafoglio Π (ma anche, in generale, per unportafoglio contenente N opzioni sul medesimosottostante) l’espansione di Taylor della funzione f è datada:

dΠ =∂Π

∂SdS +

12

∂2Π

∂S2 dS2 +∂Π

∂tdt +

12

∂2Π

∂t2 dt2 +∂2Π

∂S∂tdSdt + · · · =

= ∆dS +12ΓdS2 + Θdt +

12

∂2Π

∂t2 dt2 +∂2Π

∂S∂tdSdt + · · · .

I Dunque, se Π è ∆-neutral, il primo termine a destradell’uguale nella (7) è nullo. Tralasciando i termini di ordinesuperiore a dt , si ottiene quindi

dΠ ≈ Θdt +12ΓdS2. (8)

Tecniche di copertura

I Ne segue che, se ci si copre anche rispetto a Γ, lavariazione del valore della posizione dipende solo dalpassare del tempo, che è non stocastico.

I La (8) fornisce una stima dell’errore che si commettecoprendosi solo rispetto a ∆. Si noti anche che sicommette tale errore esclusivamente perché la funzioneche esprime il prezzo dell’opzione in funzione del prezzodel sottostante è non lineare; se infatti fosse lineare, laderivata seconda (il parametro Γ) sarebbe nulla.

Tecniche di coperturaI Esempio. Il Gamma di un portafoglio Delta-neutral è pari a−10000. Sulla base della (8), un cambiamento (in unbreve lasso di tempo) pari a +2$ o a −2$ del prezzo delsottostante provoca una diminuzione del valore delportafoglio approssimativamente pari a0.5 · 10000 · (2$)2 = 20000$.

I Come ci si copre rispetto a Γ? L’unica possibilità èassumere una posizione in un’opzione. Si considerinoinfatti un portafoglio Delta-neutral con Gamma pari a Γ eun’opzione con Gamma pari a ΓT . Se si aggiunge alportafoglio una quantità wT di tali opzioni, il Gamma delportafoglio diventa Γ + wT ΓT . Bisogna trovare wT tale che

Γ + wT ΓT = 0 ⇐⇒ w∗T = − Γ

ΓT.

I Dunque sono necessarie w∗T opzioni per rendere il

portafoglio Gamma-neutral.

Tecniche di copertura

I Esempio. Si supponga che un portafoglio Delta-neutralabbia Γ = −3000 e che un’opzione abbia ∆ = 0.62 eΓT = 1.5. Il portafoglio può essere reso Gamma-neutralincludendo una posizione lunga di wT = 3000/1.5 = 2000opzioni. Ora però il ∆ del portafoglio è 2000 · 0.62 = 1240;bisogna dunque vendere 1240 azioni del sottostante perrendere nuovamente Delta-neutral il portafoglio.

I In pratica, l’informazione fornita da Γ è utilizzata non tantoper coprirsi anche rispetto a questo parametro, quanto perstimare con quale frequenza deve essere “aggiornata” lacopertura rispetto a ∆: quanto più grande è Γ, tanto piùfrequentemente deve essere aggiornata la copertura.Infine, sulla base della stessa logica, se si ipotizza che lavolatilità e/o il tasso risk-free non siano costanti, bisognacoprirsi anche rispetto a Vega e ρ.

Risultato generale sul pricing risk-neutral

I L’approccio al pricing basato sull’individuazione di unamisura di probabilità risk-neutral può essere esteso adasset con dinamiche più complesse; il risultato piùgenerale che può essere dimostrato è il seguente.

I Si consideri un derivato il cui cash flow alla scadenza èdato da g(ST ), dove (St) è il sottostante, di cui si supponeche segua un processo markoviano. Sia Ct il prezzo delderivato al tempo t . La formula di pricing non può cheessere del tipo:

Ct = e−rrf (T−t)Eπ∗(g(ST )|St),

dove Eπ∗ indica il valore atteso rispetto alla distribuzione diprobabilità risk-neutral del sottostante; se il mercato ècompleto, tale distribuzione di probabilità è unica.

Un caso di studio: il fallimento della banca Barings

I La banca Barings fallì nel febbraio 1995, a causa diun’enorme posizione scoperta in derivati costruita dalresponsabile dell’attività di trading della filiale di Singaporedella banca, Nick Leeson (si veda, per esempio,http://riskinstitute.ch/137560.htm ).

I Leeson costruì uno short straddle di circa 35000 opzionicall e altrettante put aventi come sottostante contrattifutures sull’indice Nikkei. Lo short straddle è lacombinazione della vendita di un’opzione call e un’opzioneput con medesimi sottostante, strike e scadenza.

I Considerando che un contratto in opzioni corrispondeva a500 Yen e che il tasso di cambio Yen/Dollaro era pari acirca 100, il controvalore dello straddle era di circa2 · 35000 · 500/100 = 350000$.

Payoff a scadenza di uno short straddle

(ipotizzando che Cct = Cp

t = Ct )

Sottostante Payoff call Payoff put Payoff straddleST ≤ K Ct Ct − (K − ST ) 2Ct − (K − ST )ST > K Ct − (ST − K ) Ct 2Ct − (ST − K )

Il payoff di uno short straddle

17000 18000 19000 20000 21000

−150

0−1

000

−500

0

Valore del sottostante

Payo

ff

Il payoff di uno short straddle (Strike = 19000 $)

Call payoffPut payoffStraddle payoff

Un caso di studio: il fallimento della banca Barings

I Oltre allo straddle, Leeson costruì una grossa posizionelunga in futures sul Nikkei, che era a sua volta esposta aperdite potenzialmente illimitate nel caso di un calodell’indice.

I La posizione divenne insostenibile a seguito del forte calodel Nikkei verificatosi tra gennaio e febbraio 1995, quandosia la posizione in futures sia lo short straddleaccumularono perdite tali che la banca non riuscì a coprirlee fallì il 27 febbraio, quando l’indice Nikkei scese sottoquota 17000.

I Questo è un tipico caso in cui il Delta hedging può esseremolto fuorviante. Infatti il Delta di uno short straddle, seentrambe le opzioni sono at-the-money e il tasso diinteresse risk-free è “piccolo”, è approssimativamentenullo.

Concetti fondamentali di risk management

Tutti i concetti della lezione odierna sono presi da McNeil, Frey,Embrechts (2005), Quantitative Risk Management, Princeton,Princeton University Press, cap. 2.

I Il risk management è la disciplina che si occupa dellamisurazione e gestione del rischio.

I Ha assunto particolare rilevanza in finanza sia per lafrequenza e l’ammontare delle perdite, sia per la pressionedelle autorità di vigilanza. I progressi nella misurazione delrischio sono stati inoltre resi possibili dallo sviluppo dell’IT.

I Riferimenti storici:I Il Comitato di Basilea è fondato nel 1974.I Il primo “accordo di Basilea” è emesso nel 1988.I Il VaR nasce nel 1993.I Nel 1996 il First Amendment al primo accordo di Basilea

introduce la possibilità di calcolare internamente il VaR.

Concetti fondamentali di risk management

I Si distinguono principalmente tre tipi di rischio finanziario.(i) Rischio di mercato. E’ il rischio di cambiamento di valore di

una posizione dovuto a cambiamenti di valore deisottostanti da cui la posizione dipende (prezzi di azioni odobbligazioni, tassi di cambio e di interesse, prezzi dicommodity , ecc.).

(ii) Rischio di credito. E’ il rischio di: (i) non ricevere rimborsipromessi a fronte di investimenti già effettuati, quali prestitiod obbligazioni, a causa del fallimento (default) dellacontroparte; (ii) variazioni dei prezzi di strumenti finanziaricausati dalla variazione del merito di credito; (iii) perdita incaso di default .

(iii) Rischio operativo. Rischio di perdite derivanti da processi osistemi interni inadeguati o non andati a buon fine, da erraticomportamenti di persone o da eventi esterni.

Perché gestire il rischio finanziario?

Perché gestire il rischio finanziario?I Dal punto di vista della società civile: per assicurare uno

sviluppo stabile ed ordinato dell’economia e della società;questa motivazione ha portato soprattutto al massicciointervento delle autorità di vigilanza.

I Dal punto di vista degli azionisti: per incrementare il valoredella banca.

I Le sfide:(i) stimare valori estremi. From the point of view of the risk

manager, inappropriate use of the normal distribution canlead to an understatement of risk, which must be balancedagainst the significant advantage of simplification. [...]Improving the characterization of the distribution of extremevalues is of paramount importance. (A. Greenspan, 1995)

Le sfide

(ii) La natura multivariata del rischio.

(iii) Gli aspetti computazionali.

(iv) L’interdisciplinarità: sono richieste competenze“quantitative” (statistica, matematica finanziaria eattuariale, econometria finanzaria, economia finanziaria) e“non quantitative” (capacità di comunicare, conoscenza dipratiche di mercato e dettagli istituzionali).

Fattori di rischio e distribuzione di perditaI La perdita del portafoglio per il periodo [s, s + ∆] è data da

L[s,s+∆] = −(Vs+∆ − Vs).

La distribuzione di tale quantità è la distribuzione diperdita. La quantità −L[s,s+∆] è il Profit & Loss (P&L).

I Il valore del portafoglio Vt è funzione del tempo e di unvettore aleatorio di fattori di rischio Z t = (Zt ,1, . . . , Zt ,d)′:

Vt = f (t , Z t). (9)

I I fattori di rischio sono diversi a seconda del tipo di rischio:(i) nel rischio di mercato, sono di solito rendimenti di strumenti

finanziari, tassi di cambio e tassi di interesse;(ii) nel rischio di credito sono la Probabilità di Default , la Loss

Given Default e la Exposure at Default;

I La scelta di f e di Z t dipende da vari fattori: in particolare iltipo di portafoglio e la precisione desiderata.

La distribuzione di perdita

I La (9) è definita una mappatura dei rischi.I Problema: bisogna assumere che la composizione del

portafoglio sia costante nel tempo!I La distribuzione di perdita può essere condizionata o non

condizionata.I La distinzione è collegata all’orizzonte temporale di

riferimento: su orizzonti temporali brevi è più utile ladistribuzione condizionata, per analisi di lungo periodo siricorre di solito alla distribuzione non condizionata.

I La distribuzione non condizionata si ottiene come mediadelle distribuzioni condizionate su un orizzonte temporalelungo.

I Se i rendimenti sono iid , le due distribuzioni coincidono.

L’operatore perdita

I Sia X t = Z t − Z t−1 la serie storica dei cambiamenti deifattori di rischio e FXt+1|t la distribuzione condizionata di Xal tempo t + 1 data tutta l’informazione disponibile altempo t . La distribuzione condizionata di perdita è allora laperdita indotta dalla distribuzione FXt+1|t .

I Esempio. Se si ipotizza che la varianza dei fattori di rischioevolva secondo il modello σ2

t = α + βr2t−1, la distribuzione

di perdita al tempo t + 1 è influenzata dal quadrato delrendimento al tempo t .

I L’operatore perdita è definito come:

lt(x ) = −(f (t + 1, Z t + x )− f (t , Z t)), x ∈ IRd .

Si noti che Lt+1 = lt(X t+1).

La distribuzione di perditaI Se f è derivabile, l’approssimazione del primo ordine della

perdita e l’operatore di perdita linearizzato sono:

L∆t+1 = −

(ft(t , Z t) +

d∑i=1

fzi (t , Z t)Xt+1,i

);

l∆t (x ) = −

(ft(t , Z t) +

d∑i=1

fzi (t , Z t)x

),

dove i deponenti t e Zi indicano una derivata parziale.

Esempi di mappatura dei rischi .I Portafoglio azionario. Sia Zt ,i = log(St ,i), dove St ,i è il

prezzo dell’azione. Allora Xt+1,i = rt+1,i , cioè i rendimentilogaritmici. Sia λi il numero di azioni del titolo i-esimo inportafoglio. Allora Vt =

∑di=1 λieZt,i . Quindi

Lt+1 = −(Vt+1 − Vt) = −d∑

i=1

λiSt ,i(eXt+1,i − 1).

La perdita di un portafoglio azionario

I La perdita linearizzata è data da:

L∆t+1 = −Vt

d∑i=1

wt ,iXt+1,i ,

dove wt ,i = (λiSt ,i)/Vt dà la percentuale del valore delportafoglio investita nel titolo i al tempo t .

I Infine, l’operatore di perdita linearizzata è dato dal∆t (x ) = −Vt

∑di=1 wt ,ixi = −Vtw ′

tx .I Se E(X t) = µ e cov(X t) = Σ, abbiamo

E(l∆t (x )) = −Vtw ′µ e var(l∆t ) = V 2t w ′Σw .

I A seconda che valore atteso e matrice di covarianza di Xsiano calcolati sulla base della distribuzione condizionata onon condizionata di X , si ottengono i primi due momentidella distribuzione di perdita condizionata o noncondizionata del portafoglio.

La perdita di un’opzione

I (2) Opzione europea. Per un’opzione europea la funzionef non è altro che la formula di Black & Scholes. Benchénella formula si assuma che rrf e σ siano costanti, in realtànon è così, quindi il vettore dei cambiamenti dei fattori dirischio è di solito dato da

X t+1 = (Xt+1,1, Xt+1,2, Xt+1,3)′ =

= (log(St+1)− log(St), rrf ,t+1 − rrf ,t , σt+1 − σt)′.

I Posto ∆t = (t + 1)− t , la perdita linearizzata è data da

L∆t+1 = −(Θ∆t + ∆Xt+1,1 + ρXt+1,2 + ΛXt+1,3).

I Non si tratta di una buona approssimazione! E’ preferibilel’approssimazione Delta-Gamma.

La perdita di un portafoglio crediti

I Supponiamo che un portafoglio crediti contenga Ncontroparti, ognuna con esposizione ηi . L’orizzontetemporale ∆ è tipicamente pari ad un anno. Per semplicità,supponiamo che tutti i prestiti siano rimborsati alla stessadata T . Sia

Li =

{1 la controparte fallisce in [0, T ];

0 la controparte non fallisce in [0, T ].

Come si tiene conto del rischio di default nel prezzare ilprestito? Scontandolo ad un tasso più alto dello yieldy(s, T ) relativo ad un bond zero-coupon risk-free:

p(s, T ) = e−(T−t)y(t ,T )+ci (t ,T )ηi ,

dove ci è il credit spread del bond e si ipotizza p(T , T ) = 1.

La perdita di un portafoglio crediti

I Ipotizziamo che ci(t , T ) = c(t , T ) ∀i = 1, . . . , N. Allora ilvalore del portafoglio è

Vt =N∑

i=1

(1− Lt ,i)e−(T−t)y(t ,T )+c(t ,T )ηi .

Quindi il vettore Z t in questo caso potrebbe essereZ t = (Lt ,1, . . . , Lt ,N , y(t , T ), c(t , T ))′.

I Data la lunghezza dell’orizzonte temporale, le perditelinearizzate sono poco importanti. La principale difficoltà ètrovare la distribuzione congiunta delle v.c. L1, . . . , LN .

La misurazione del rischioPerché si misura il rischio?

I Per determinare il capitale regolamentare (riserve).I Per gestire l’ammontare complessivo di rischio di un’unità

all’interno dell’azienda.I Per determinare premi assicurativi.

Possibili approcci:I Approccio dell’ammontare nozionale.I Misure di sensitività rispetto ai fattori di rischio: derivate

prime di funzioni di prezzo (es.: Greche, duration).I Misure basate su distribuzioni di perdita. Sono

decisamente preferibili perché le distribuzioni di perdita:(i) sono il principale oggetto di studio del risk management;(ii) sono appropriate a qualsiasi livello di aggregazione;(iii) riflettono effetti di compensazione e diversificazione;(iv) possono essere stimate e paragonate su portafoglidiversi.

Misure di rischioI Sia FL(l) la funzione di ripartizione della distribuzione di

perdita. Possiamo definire varie misure di rischio basate sutale distribuzione: la più usata è il Value at Risk (VaR).

I Il VaR è la massima perdita a cui è soggetto un portafoglio,con probabilità data, su un orizzonte temporale predefinito.

I Definizione . Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), il VaRal livello di confidenza α è il numero VaRα tale che laprobabilità che la perdita L ecceda VaRα sia uguale a(1− α):

VaRα = k ∈ IR : P(L > k) = 1− α.

I In termini probabilistici, il VaR è un quantile di L. Nelrischio di mercato, α è di solito uguale a 0.95 o 0.99 el’orizzonte temporale è pari a 1 o 10 giorni; nel rischio dicredito e operativo α è per lo più uguale a 0.99 o 0.999, el’orizzonte temporale pari ad un anno.

Quantili

I Definizione . Un numero x0 ∈ IR è il quantile α delladistribuzione F se e solo se F (x0) = P(X ≤ x0) = α. Se Fè continua, si ha x0 :

∫ x0−∞ f (x)dx = α.

Come si calcolano i quantili?I Per via analitica, cioè risolvendo analiticamente l’integrale.I Per via numerica (deterministica), cioè risolvendo

l’integrale con tecniche di analisi numerica.I Tramite simulazione Monte Carlo. In quest’ultimo caso, si

procede come segue:(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;(iii) si calcola il quantile empirico, che è l’osservazione simulata

x∗0 tale che α% delle osservazioni simulate è minore di x∗0 e(1− α)% è maggiore di x∗0 .

VaR e quantili

I Esempio. Supponiamo X ∼ N(0, σ2). Allora VaRα è taleche P(X ≤ VaRα) = α. Sia Z = X/σ; alloraP(X ≤ VaRα) = α ⇔ P(Z ≤ VaRα/σ) = α ⇔ VaRα/σ =zα, dove zα è il quantile α della normale standard. QuindiVaRα = σzα.

I Il VaR è semplice da calcolare e fornisce rapidamenteun’informazione di base sulla rischiosità delladistribuzione. Soffre tuttavia di almeno due difetti:

(i) Siano L1 e L2 le distribuzioni di perdita di due portafogli. SiaL = L1 + L2 la distribuzione di perdita del portafoglioottenuto fondendoli. Non è sempre vero cheVaR(L)

α ≤ VaR(L1)α + VaR(L2)

α .(ii) Il VaR non ci dà alcuna informazione sull’entità delle perdite

che eccedono il VaR.

Expected Shortfall

I Una misura migliore è l’Expected Shortfall (ES).I Definizione . Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), ES al

livello di confidenza α è il valore atteso delle perdite cheeccedono il VaRα:

ESα = E(X |X ≥ VaRα).

Se X ∼ N(µ, σ2), si ha

ESα = µ + σφ(Φ−1(α))

1− α.

I Per calcolare ES tramite simulazione Monte Carlo siprocede come segue:

(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;

(iv) si calcola il VaR;(iii) si calcola la media delle osservazioni maggiori del VaR.

VaR ed Expected Shortfall

I Le figure illustrano le seguenti due proposizioni. Date duev.c. X1 ed X2 con curtosi rispettivamente pari a k1 e k2 conk1 > k2, si ha che:(1) se il livello di confidenza α è “sufficientemente alto”,

VaRX1α > VaRX2

α e ESX1α > ESX2

α ;(2) può accadere, per livelli di confidenza “non troppo alti”, che

(a) VaRX1α < VaRX2

α e ESX1α > ESX2

α o anche che(b) VaRX1

α < VaRX2α e ESX1

α < ESX2α .

I La prima figura illustra il caso (1), la seconda figura è unesempio del caso (2a), la terza un esempio del caso (2b).

VaR ed Expected Shortfall

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 99% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertà

Normale(0,2)t4VaR0.99 normale

VaR0.99 Student

ES0.99 normale

ES0.99 Student

VaR ed Expected Shortfall

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 95% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertà

Normale(0,2)t4VaR0.95 normale

VaR0.95 Student

ES0.95 normale

ES0.95 Student

VaR ed Expected Shortfall

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 85% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertà

Normale(0,2)t4VaR0.85 normale

VaR0.85 Student

ES0.85 normale

ES0.85 Student

Metodi standard per il rischio di mercato

I Sono possibili fondamentalmente tre approcci al problema:

(i) approccio parametrico;(ii) approccio non parametrico (simulazione storica);(iii) approccio Monte Carlo;

I Nell’approccio parametrico svolge un ruolo fondamentalel’ipotesi di normalità multivariata per i cambiamenti deifattori di rischio: X t ∼ Nd(µ,Σ). La densità normalemultivariata è data da:

f (x ;µ,Σ) = (2π)−d/2(det(Σ))−1/2e−12 (x−µ)′Σ−1(x−µ).

I Si tratta dell’estensione della normale univariata al casomultidimensionale. La proprietà fondamentale per i nostriscopi è la seguente: qualsiasi combinazione lineare deglielementi di X ha distribuzione normale univariata:Y = w ′X =

∑di=1 wiXi ∼ N(w ′µ, w ′Σw ).

L’approccio varianze-covarianze

I Si ipotizza X t+1 ∼ Nd(µ,Σ). Si ipotizza inoltre che laperdita linearizzata sia un’approssimazionesufficientemente accurata della distribuzione di perdita.L’operatore di perdita linearizzato ha la forma:

l∆t (x ) = −(ct + b ′tx )

per qualche costante ct e qualche vettore b t . Per esempio,nel caso del portafoglio azionario, ct = 0 e b t = w t , i pesidel portafoglio.

I Poiché una funzione lineare di un vettore normalemultivariato ha distribuzione normale univariata, ne segueche la perdita linearizzata L∆

t+1 ha distribuzione normaleunivariata:

L∆t+1 = l∆t (X t+1) ∼ N(−ct − b ′tµ, b ′tΣb t).

L’approccio varianze-covarianze

I Il VaR di uno strumento il cui prezzo è Pt viene calcolatocome

∆Pt = θ ·∆St ,

dove θ è un “coefficiente di sensitività” di Pt rispetto allavariazione di valore (∆St ) del fattore di rischio sottostante.

I Per esempio, per un’azione si tratta del parametro β, perun bond della duration modificata, per un’opzione delparametro ∆. I fattori di rischio sottostanti sonorispettivamente l’indice di mercato, la variazione del tassodi rendimento effettivo a scadenza e il prezzo delsottostante.

I In ultima analisi, il principale vantaggio del metodo è il fattoche la matrice Σ ha dimensioni ridotte, ed è quindi moltopiù agevole stimarla.

Duration e rischio

I Ricordiamo che la duration di un bond di prezzo P èdefinita come D = (1/P)

∑Tt=1 t · Ct/(1 + y)t ; in particolare

si ha1P

dPdy

= − D1 + y

def= DM,

dove DM è la duration modificata.I Si può dunque scrivere

var(

dPP

)≈ DM2 · var(dy). (10)

I Si noti che la (10) si basa su un’approssimazione lineare(espansione di Taylor del primo ordine) della funzioneprezzo-rendimento.

Il VaR di un BTP

I Vogliamo misurare il VaR giornaliero al 99% di unaposizione su un BTP decennale con valore nominale di100000 Euro, duration modificata pari a 6 e prezzo pari a120 Euro, sapendo che la volatilità giornaliera del tassodecennale σF è pari allo 0.15%. Si ha

VaR0.99 = 2.326 · 120 · 6 · 0.0015 = 2.512.

I A rigore, nel caso dell’obbligazione con cedole, l’approccioparametrico (più accurato e complicato) prevede che lasingola posizione obbligazionaria venga scomposta nellerelative componenti elementari, ognuna delle quali èlegata, in termini di sensitività, alle variazioni di uno solodei fattori di mercato considerati.

I Il rischio della posizione è determinato sulla base dei rischidelle singole componenti, aggregati per mezzo dellecorrelazioni tra i rendimenti dei fattori di mercato coinvolti.

Il VaR di un BTPI La posizione in BTP viene prima scomposta nei singoli

flussi di cassa (cedole più valore di rimborso) per poterprendere in considerazione la volatilità dei nodi della termstructure.

I La modellizzazione utilizzata da RiskMetrics consiste nellascomposizione dello strumento in una serie di cash flow.Ogni cash flow è legato ad uno o più fattori di rischio. IlVaR dello strumento composto si può quindi calcolaretrattando i singoli cash flow come singoli strumenti.

I Considerando uno strumento finanziario che comporta duecash flow di valore attuale uguale rispettivamente a 100Euro dopo un mese e a 200 Euro due mesi dopo la data dicalcolo del VaR, il rendimento atteso dello strumentofinanziario composto (o del portafoglio) può esserecalcolato nel modo seguente:

r =13

r1m +23

r2m,

Il VaR di un BTP

I Il VaR dello strumento viene quindi calcolato come il VaRdel portafoglio composto da due strumenti diversi,corrispondenti ai due cash flow distinti. Si ottiene

VaR = zα ·√

19σ2

1m +49σ2

2m +49σ1mσ2mρ,

dove ρ è la correlazione tra il tasso ad un mese ed il tassoa due mesi e α è il livello di confidenza scelto.

Il VaR di un’azione

I Nell’approccio varianze-covarianze, il VaR di un’azioneviene calcolato sulla base del CAPM come

VaR = zα · β · σM ,

dove σM è la volatilità dell’indice di mercato scelto perl’azione.

I In linea di principio, il VaR dell’azione andrebbe tuttaviacalcolato come

VaR = zα · σ,

dove σ è la volatilità dell’azione stessa.

Il VaR di un’opzioneI Nonostante la funzione di prezzo (formula di B&S) sia

fortemente non lineare, il VaR di un’opzione vienecalcolato sulla base della Delta approximation:

VaR = zα ·∆ · σS,

dove σS è la volatilità dei rendimenti del sottostante.I Purtroppo l’utilizzo della Delta-Gamma approximation

porta a consistenti complicazioni. Si ha infatti:

C1 − C0 ≈ Θ∆t + ∆(S1 − S0) +12Γ(S1 − S0)

2.

I Poiché una trasformazione non lineare di una v.c. normalenon è normale, NON si può calcolare il VaR come

VaRα =

√var(

Θ∆t + ∆(S1 − S0) +12Γ(S1 − S0)2

)· zα.

L’approccio varianze-covarianzeI Il VaR di portafoglio al livello di confidenza α è quindi il

quantile α della normale di parametri µ = −ct − b ′tµ eσ2 = b ′tΣb t . Se si ipotizza µ = 0, il problema principaleconsiste nel decidere quali fattori di rischio utilizzare enello stimare i coefficienti di sensitività b t e la matrice Σ.

I Per un portafoglio contenente n1 azioni, n2 bond e n3

opzioni, ipotizzando di utilizzare la (?? ) per calcolare il VaRdel bond , si hab = (β1, . . . , βn1 , DM1, . . . , DMn2 ,∆1, . . . ,∆n3)

′ e

Σ =

σ2M cov(rM , y) cov(rM , S)

cov(rM , y) σ2y cov(y , S)

cov(rM , S) cov(y , S) σ2S

.

I In ultima analisi, il principale vantaggio del metodo è il fattoche la matrice Σ ha dimensioni ridotte, ed è quindi moltopiù agevole stimarla.