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ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS

PLANAS

1.- Considera las ecuaciones x = e y = 1 – t

a) Complete la tabla

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una gráfica de las ecuaciones

paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro y restringir su dominio.

2.- Considere las ecuaciones x = 4cos2 θ e y = 2 sen θ

a) Complete la tabla

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una gráfica de las ecuaciones

paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro y restringir su dominio.

3.- Dibujar la curva definida por las ecuaciones y hallar sus ecuaciones rectangulares.

a) x = 3 cos t , y = 3 sen t

b) x = 2 cos t , y = 3 sen t

c) ) x = 1 + 2 cos t , y = -2 + 2 sen t

d) ) y = 3 cos t , x = 2 sen t

e) x = -1 + 2t , y = 3t

f) x = 4 + 3t , y = 2 – 4t

g) x = 1 + t , y = t2 + 2

h) x = 2 – t , y = t2 + 1

i) x = t2 – 1 , y = 2t

θ -π/2 -π/4 0 π/2 π/4

x

y

t 0 1 2 3 4xy

j) 1 + , y = t – 1

k) x = tan2 θ , y = sec2 θ

TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y ÁEAS DE

SUPERFICIES

1.- Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor de t.

a) x = 2 cos t , y = 2 sen t en t = π/4

b) x = sen 2πt , y = cos 2πt en t = -1/6

c) x = 4 sen t , y = 2 cos t en t = π/4

d) x = cos t , y = cos t = 2π/3

e) x = t , y = en t = ¼ f) x = sec2 t – 1 , y = tan t en t = - π/4 g) x = sen t , y = tan t en t = π/6

h) x = - , y = en t = 3

i) x = 2t2 +3 , y = t2 en t = -1

j) x = t – sen t , y = 1 – cos t en t = π/3

k ) x = 1/t , y = -2 + ln t en t = 1

2.- Encuentre la longitud de curva en cada uno en el intervalo indicado.

a) x = cos t , y = t + sen t en 0≤ t ≤ π

b) x = t3 , y = 3t2/2 en 0≤ t ≤

c) x = t2 , y = , en 0≤ t ≤ 4

d) x = , y = t + t2/2 en 0≤ t ≤ 3

e) x = 8 cos t + 8t sen t , y = 8 sen t – 8t cos t en 0≤ t ≤ π/2

f) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3

g) Hipocicloide : x = a cos3 θ , y = a sen3 θ

h ) Arco de cicloide x = a (θ – sen θ ) , y = a ( 1 – cos θ )

i) Involuta de circunferencia : x = cos θ + θ sen θ , y = sen θ – θ cos θ

3.- Encuentre el área de las superficies generadas al girar las curvas respecto a los ejes indicados.

a) x = cos t , y = 2 + sen t en 0≤ t ≤ 2π en eje x

b) x = , y = 2 en 0≤ t ≤ en eje y

c) x = t + , y = en - ≤ t ≤

d) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3

e) x = t , y = 2t en 0≤ t ≤ 4 en eje x y en eje y

f) x = a cos θ , y = b sen θ en 0≤ t ≤ 2π en eje x y en eje y. COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS. 1.- Grafica los conjuntos de puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y desigualdades siguientes.

a) r = 2 b) r ≥ 1 c) 0 ≤ r ≤ 2 d) 1 ≤ r ≤ 2

e) o ≤ θ ≤ π/6 , r ≥ 0 f) θ = 2π/3 , r ≤ -2 g) θ = π/3 , -1 ≤ r ≤ 3

2.- Sustituya las ecuaciones polares por sus respectivas ecuaciones cartesianas equivalentes.

a) r cos θ = 2

b) r sen θ = 0

c) r = 4 csc θ

d) r sen θ = -1

e) r cos θ = 0 f) r = -3 sec θ

g) r2 = 1

h) r2 = 4r sen θ

i) r =

j) r2 sen 2θ = 2

k) r2 + 2r2 cos θ sen θ = 1

l) r = 4 tan θ sec θ

m) r sen θ = ln r + ln cos θ

n) r2 = -6r sen2 θ2.- Reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones polares equivalentes.

a) x = 7

b) x – y = 3 c) x = y

d) x2 + y2 = 4

e)

f) x2 + xy + y2 = 1

g) xy = 2

h) x2 + (y – 2 )2 = 4

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIE EN COORDENADAS POLARES.

1.- Determinar la longitud de la gráfica sobre el intervalo indicado.

a) r = 2a cos θ en -π/2 ≤ t ≤ π/2 b) r = 1 + sen θ en 0≤ θ ≤ 2π

c) r = 5( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ 2π

d) r = θ2 en 0≤ θ ≤

e) r = a sen2 en 0≤ θ ≤ π , a >0

f) r = en π/2 ≤ θ ≤ π

2.- Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de la recta dada.

a) r = 2 cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del eje polar

b) r = 2a cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del θ = π/2

c) r = a( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ π , alrededor del eje polar.

d) r = en 0≤ θ ≤ π/2, alrededor del eje x

DERIVADAS PARCIALES Y RECTAS TANGNTES, REGLA DE LA CADENA, DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS Y DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

1.- Halla en cada una de las funciones que se dan a continuación.

a) f(x,y) = 2x – 3y + 5

b) z = x c) z = x2

d) f(x,y) = ln (x2 + y2 )

e) f(x,y) = x2 – 3y2 + 7

f) f(x,y) = x

g) z = tg ( 2x – t )

h) f(x,y) =

i) z = cos 3y sen 3x

j) z = ln

k) f(x,y) =

l) z = sen xy

m) f(x,y) =

n) f(x,y) =

ñ) f(x,y) = sen2 (x – 3y) o) z = tg-1(y/x) 2.- Calcular la pendiente de la superficie en las direcciones de x e y en el punto indicado.

a) g(x,y) = 4 – x2 – y2 , (1,1,2) figura 29

b) f(x,y) = x2 – y2 , (-2,1,3)

c) z = cos y , (0,0,1) d) z = ½ sen ( 2x –y ) , (π/4, π/3,1/2)

e) z = , (2,3,6)

3.- Verificar que las derivadas parciales cruzadas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.

a) f(x,y,z) = xyz

b) f(x,y,z) = x2 – 3xy + 4yz + z3 c) f(x,y,z) = sen yz

d) f(x,y,z) =

4.- En cada uno de los siguientes ejercicios halla dw/dt. a) w = x2 + y2 , si x = e y =

b) w = , si x = sen t e y =

c) w = x sec y , si x = e y = π – t

d) w = ln , si x = cos t e y = sen t

e) w = x2 + y2 + z2 , si x = cos t , y = sen t , z =

f) w = xy +xz +yz , si x = t – 1, y = t2 – 1, z = t

g) w = xy , si x = 2 sen t , y = cos t

5.- Utilizando la regla de la cadena halla y luego evaluarlas en los valores de s y t que se

indican. a) w = x2 + y2 , x = s + t , y = s – t en s = 2 y t = -1

b) w = -3yx2 + y3 , x = , y = en s = 0 y t = 1

c) w = x2 - y2 , x = s cos t , y = s sen t en s = 3 y t = π/4

d) w = sen (2x + 3y ) , x = s + t , y = s – t en s = 0 y t = π/2

e) w = xy + yz + xz , x = u + v, y = u – v , z = uv

INTEGRALES MÚLTIPLES: Iteradas, dobles y triples.

1.- Calcula las siguientes integrales iteradas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2.- Dibuja un esbozo de la región R cuyas áreas vienen dadas por las integrales que sen dan a continuación, y luego cambia el orden de intregración y prueba que ambos ordenes dan el mismo valor.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3.- Calcula el área de la región entre las dos curvas usando una integral iterada.

a) y = 4 – x2 e y = x + 2.

b) y = 4 – x2 en 0≤ y ≤ 3 y 0≤ x ≤ 2

c) y = ; x = 2 y x = 5

d) x2 + y2 = 4 en 0≤ y ≤ 2 y 0≤ x ≤ 2

e) La parábola x = -y2 y la recta y = x + 2

f) Las parábolas x = y2 y x = 2y – y2

g) Las curva y = y las rectas y = 0, x = 0 y x = ln2

4.- Escribe una integral para cada orden de integración y utiliza el más conveniente para evaluar la integral sobre la región R.

a) ; R : rectángulo de vértices (0,0), (0,5), (3,5), (3,0)

b) ; R: región acotada por y = x, y = 2x, x = 2

c) ; R: sector circular en el primer cuadrante acotado por y = , 3x – 4y = 0, y = 0

5.- Usar una integral doble para calcular el volumen de los sólidos que se te dan a continuación.

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.

1.- Calcula el área de la región sombreada utilizando una integral doble.

2.- Calcula las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

INTEGRALES TRIPLES, VOLUMEN Y MOMENTOS DE INERCIA.

1.- Calcula las siguientes integrales triples.

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Haga un esbozo de la región sólida cuyo volumen representa la integral triple que se te da a continuación y reescribe la integral en el nuevo orden de integración que se especifica.

a) ; usar el orden dydxdz

b)

c)

2.- Hallar los momentos Ix, Iy e Iz para los sólidos cuya densidad se especifica.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

1.- Evalúe las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas.

a)

b)

c) d)

e) f)

a)b)

c)

d)

2.- Evalúe las siguientes integrales en coordenadas esféricas.

a)

b)

c)

d)

3.- Establezca la integral iterada para evaluar sobre la región D dada.

a)

b)

c)

d) e)

VECTORES TANGENTES Y NORMALES UNITARIOS.

1.- Hallar el vector tangente unitario T(t) y unas ecuaciones paramétricas para la recta tangente espacial en el punto P.

a) r(t) = ti + t2j + tk, p(0,0,0)

b) r(t) = ti + t2j + k, p(1,1, )

c) r(t) = 2cost i + 2sent j + tk, p(2,0,0)

d) r(t) = 3cost i + 4sent j + tk, p(0,4,π/4)

e) r(t) = ( t, t, ), p(1,1, )

2.- Hallar T(t), N(t) para un objeto que mueve a lo largo de la trayectoria determinada por las funciones vectoriales r(t).

a) r(t) = 4ti

b) r(t) = 4ti – 2tj

c) r(t) = 4t2i

d) r(t) = t2i + k

CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS, ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.

1.- Hallar el campo vectorial gradiente de cada una de las funciones escalares propuestas , es decir hallar el campo vectorial conservativo de cada función.

a) f(x,y) = 5x2 + 3xy + 10y2

b) f(x,y) = sen 3x cos 4y

c) f(x,y,z) = z - y

d) f(x,y,z) =

e) f(x,y,z) = xyln(x + y)

2.- Verificar si el campo de vectores es conservativo, si lo es calcula una función potencial para él.

a) F(x,y) =2xyi + x2j

b) F(x,y) =

c) F(x,y) = 2xy3i + 3y2x2j

d) F(x,y) = x

e) F(x,y) =

3.- Calcular rot (FxG)

a) F(x,y,z) = i + 2xj + 3yk G(x,y,z) = xi – yj +zk

b) F(x,y,z) = xi – zk G(x,y,z) = x2i + yj + z2k

4.- Calcular la divergencia del campo vectorial F

a) F(x,y,z) = 6x2i – xy2j

b) F(x,y,z) = x i + y j

c) F(x,y,z) = sen x i +cos y j + z2k

d) F(x,y,z) = ln(x2 + y2)i + xyj + ln(x2 + y2)k

5.- Halla div (rot F) =

a) F(x,y,z) = xyzi + yj + zk

b) F(x,y,z) = x2zi – 2xzj + yzk

6.- Calcular la divergencia del campo vectorial en el punto indicado.

a) F(x,y,z) = xyzi + yj + zk , en (1,2,,1)

b) F(x,y,z) = x2zi – 2xzj + yzk , en (2,-1, 3)

c) F(x,y,z) = , en (0,0,3)

d) F(x,y,z) = , en (3,2,0)

INTEGRALES DE LINEAS, CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.

1.- Probar que el resultado de es igual para las dos parametrizaciones de C.

a) F(x,y) = x2i + xyj , para : r1 (t) = ti + t2j , 0≤ t ≤ 1 r2 (θ) = sen θi +sen2 θj , 0≤ θ ≤π/2

b) F(x,y) = (x2 + y2)i – xj , para : r1 (t) = ti + j , 0≤ t ≤4 r2 (w) = w2i + wj , 0≤ w ≤2

c) F(x,y) = yi – xj , para : r1 (θ) = sec θi + tg θj , 0≤ θ ≤π/3 r2 (t) = i + j, 0≤ t ≤3

2.- Comprobar el teorema de Green calculando ambas integrales

para el camino indicado.

a) C: cuadrado de vértices (0,0), (4,0), (4,4) y (0,4) b) C: triángulo de vértices (0,0), (4,0) y (4,4)

c) C: borde de la región comprendida entre las gráficas de y = x e y =

d) C: ciculo de ecuación x2 + y2 = 1