1  

Solving the Vitruvian Man Patrick M. Dey & Damian ‘Pi’ Lanningham 

The Problem and the Geometry 

Solving the Vitruvian Man1 Problem seems to have eluded mathematicians and geometricians for almost 

2000 years. Some probably never knew there was problem. It uses that mysterious, and yet very familiar 

number phi (ϕ), a number that seems to lurk in the shadows of all mathematics. We will show how the 

human  in  the  square  and  circle  is  created,  and  how  the  same  geometries  can  account  for  all 

anthropometrics, whether the human is in motion or not. Furthermore, we will illuminate how the same 

geometric process  is related to other geometries, such as the pentagram, and how  it  is a natural self‐

replicating geometry. Vitruvius describes the geometrical proportions of the human body as: 

“… In the human body the central point is naturally the navel. For if a man be placed flat on his 

back, with  his  hands  and  feet  extended,  and  a  pair  of  compasses  centered  at  his  navel,  the 

fingers and toes of his two hands and  feet will touch the circumference of the circle described 

therefrom. And  just as the human body yields a circular outline, so too a square figure may be 

found from it. For if we measure the distance from the soles of the feet to the top of the head, 

and then apply that measure to the outstretched arms, the breadth will be found to be the same 

as the height, as in the case of planes and surfaces which are perfectly square.” 

De Architectura, Book III, 1: 3 

Although Vitruvius does not present the question at hand, the question still exists: how does the human 

body  fit  into both  a  circle  and  a  square?  This problem has been  searched  and worked out by many 

geometricians,  such as Agrippa, Cesariano, Dürer, and Da Vinci. The problem  is  somewhat of a  latent 

problem in that we can map the proportions and geometries of the human body and discover numerous 

relationships and proportions. But we must ask then: how is this geometry created in the first place? 

In  looking at Leonard Da Vinci’s Vitruvian Man, the most notable  interpretation of Vitruvius’s Canon of 

Proportions, we can begin to understand some general problems: 

                                                             1 Throughout history the Vitruvian Man has been a study of the ideal male body. This makes gender neutrality difficult to work into this paper. We would like to apologize for the use of “his” rather than “his/her”. In that respect, the problem of idealization and the feminine body is addressed in this paper on pages 12 ‐ 13. 

2  

The first indication that there is a geometrical problem is the fact that the upper vertices of the square 

do not meet the boundary of the circle, but rather overlap  it. This  is no mild error, as the overlap  is  in 

error by roughly 1.5% of the circle’s radius. Considering this error, one of two things must be accepted : 

either the human body is not perfect and nature is not a perfect geometrician, or there is a natural and 

geometrically  perfect means  of  constructing  the  Vitruvian  Canon.  Since  the  former  is  antithetical  to 

humanist  ideals of  the body being perfect, as well as  the belief  that nature  is  the most perfect  (and 

beautiful)  geometrician, we  have  to  argue  for  the  latter.  But  once  again:  attempted  solutions  need 

examination.  

In order to tackle this problem, a bit of history and other attempts to solve it should be looked at. This 

question was considered and attempted by  the architect Charles  ‘Le Corbusier’  Jeanneret, one of  the 

fathers of Modernist architecture. From 1943 to 1945 Le Corbusier worked with a young collaborator, 

who  is only  known  as Hanning,  as well  as Mlle  Elisa Maillard.  Le Corbusier, working with AFNOR on 

standardizing products, goods, and buildings, presented a proportioning problem to Hanning: 

“Take a man‐with‐arm‐upraised, 2 ∙ 20 m. in height; put him inside two squares 1 ∙ 10 by 1 ∙ 10 

meters each, superimposed on each other; put a third square astride these first two squares. This 

third  square  should  give  you  a  solution.  The  place  of  the  right  angle  should  help  you  decide 

where to put this third square.”2 

Logically, this process should incorporate and be developed from the golden mean, since this property is 

inherent  in  human  proportions.  The  first  proposal  given  by Hanning  (Figure  A) was  to  begin with  a 

square and then produce golden rectangle a. Next, from the initial square draw root‐two rectangle b on 

the  opposing  side  of  the  square  from  the  golden  rectangle.  The  resulting  rectangle  is  almost  two 

adjacent squares (Figure B), therefore the angle (ϴ) of the “regulating” lines3 of the overall rectangle is 

greater than 90° (Figure C) : 

 Figure A                  Figure B           Figure C 

The product of the root‐two solution rectangle is in error by 1.6%, and, therefore, not a viable solution. 

About  two  years  later, meeting  with Mlle  Elisa Maillard,  another  solution  was  proposed.  A  golden 

rectangle is constructed from a square. Next a line is constructed from point a of the golden rectangle to 

the opposing mid‐point of the  initial square, point b. A 90°  is drawn from  line ab to  intersect with the 

base of  the geometry at point  c  (Figure D). The  resulting  rectangle  is  closer  to  two adjacent  squares 

(Figure E), but still in error by 0.63% and produces “regulating” lines that have an angle (ϴ) greater than 

90° (Figure F): 

                                                            2 Le Corbusier. The Modulor. Trans. Peter de Francia and Anna Bostock. Basel, Switzerland: Birkhäuser Publishers. 2004. P. 37. 3 Regulating lines is a term used by Le Corbusier to denote lines that intersect at 90° angles. 

3  

 Figure D                   Figure E            Figure F 

The difference in the errors of the above solutions can be seen here : 

 

Although  this  system  is  in  error,  Le  Corbusier  used  this  geometric  structure  to  devise  his  infamous 

Modulor  System, which  is  a  system  of measurements  built  on  the  principle  of  anthropometrics  that 

proportionately grow (or diminish) from the initial geometric construct. This was his means to humanize 

architecture. We must admit  that  the geometries are approximated, and at  certain  times  completely 

false and probably forced (for instance a tangential line produced from the regulating lines, which is not 

tangential  to  its  circle4). But  given  that  these  geometries were  constructed with T‐squares,  triangles, 

compasses, and pencils,  it seems  logical that a geometrical error would be considered an error on the 

draftsman’s behalf. More surprisingly, though, is the fact that Le Corbusier did know that this geometry 

was  flawed!    In  1948,  a Monsieur  R.  Taton  informs  Le  Corbusier:  “Your  two  initial  squares  are  not 

squares; one of their sides is larger by six thousandths of the other [gross miscalculation].” Le Corbusier 

being  economical  considers:  “In  everyday  practice,  six  thousandths  of  a  value  are  what  is  called  a 

negligible quantity… it is not seen with the eye.” But Le Corbusier also being a mystic further adds: “… I 

suspect  that  these  six  thousandths of a value have an  infinitely precious  importance:  the  thing  is not 

open and shut, it is not sealed; there is a chink to let in the air; life is there, awakened by the recurrence 

of  a  fateful  equality which  is  not  exactly,  not  strictly  equal… … And  that  is what  creates movement 

(sic).”5 

We, on  the other hand, argue  that  there  is no error  in  the  initial problem and  that Le Corbusier  just 

happens  to be dead wrong  (which  is certainly not  the  first  time he was dead wrong, but 20th Century 

paradigms on urbanism do not need to be accounted here). As mathematicians and geometricians we 

claim that if there is an error, no matter how trivial and small, it is an error, and therefore incorrect.                                                             4 Ibid., p. 64, Fig. 21. 5 Ibid., p. 234.  

4  

Furthermore, we argue that the solution has to be elegant. Another look at Le Corbusier’s geometry will 

show that  it  is not elegant. For his geometry to be  in accordance with the human body, the portion of 

the  rectangle  created  by  the  regulating  lines  (established  at  point  c)  shown  in  Figure  D  has  to  be 

removed  from  its  initial  side of  the  square  to be placed next  to  the golden  rectangle  (Figure G). This 

creates the distance between the top of the head to the tip of the fingers when the arm is raised above 

the  head  (Figure  H).  The  final  problem with  Le  Corbusier’s  solution  is  that  it  only  accounts  for  the 

proportions of vertical human measurements, that is, it only attempts to solve the height. The Modulor 

never takes into account horizontal measurements, such the proportions of the arm span to the whole. 

This we will account for shortly.  

   Figure G                      Figure H             (Drawing by Le Corbusier, 

                                               from The Modulor) 

Looking at Le Corbusier’s Modulor we find that it is not only incorrect, but it is also not elegant. Nature’s 

geometries do not disassemble and  then  reassemble a construction. Humans are  the ones, with  their 

“reason” and “logic”, construct geometries and  reassemble  them arbitrarily  in whatever manner suits 

their  liking.  On  the  other  hand,  the  geometries  of  nature  are  built  up  from  an  initial  geometry  to 

construct  the whole. Man  disassembles  and  reassembles  harmony  to  create  “beauty,” while  nature 

simply constructs harmony that is beautiful, nature just exists. Now we return to the initial question, but 

with more constraints:  

1) Construct a geometry that continuously builds upon itself 

2) The geometry constructs the human inside both a circle and square in accordance with the  

     Vitruvian Canon of Proportions 

3) The geometry accounts not only for the vertical anthropometrics, but also for the horizontal  

     measurements and proportions 

4) It is devised from the golden mean 

5) And, finally, the construction of the geometry has an elegant solution.  

In considering  this problem, we  find  that  it  is  justifiable  that Le Corbusier would assume  that starting 

with a  square and  constructing a golden  rectangle  that  could  inevitably produce  two perfect  squares 

through some other form of geometrizing. Also, we assume he must also be right in assuming that the 

critical  dividing  lines  created  by  an  overlapping  third  square must  be  found  in  accordance with  the 

human body, such as the height of the head. 

5  

When we began  approaching  this problem, we  segmented  a  square abcd with  a  line op  so  that  the 

segments of line ab are a golden mean (Figure 1). We did this assuming that the golden mean had to be 

present with a square, but not necessarily forming a golden rectangle. If the length of segment op that 

divides the square abcd  into a golden mean  is squared6, this naturally creates a golden rectangle bcef  

for the whole geometry thus  far  (Figure 2). Therefore, Figure 1 = Figure 2, and the squares abcd   and 

opfe are equal. Finally,  if  the  initial square  is squared,  this naturally creates  two perfect and adjacent 

squares, as well as giving the position of the third square overlapping the two adjacent squares (Figure 

3).  

        Figure 1           Figure 2      Figure 3 

Although  this does  solve  the problem of  the  two  squares  created  from  a  golden mean  and  is  rather 

elegant, it simply is not elegant enough. It is not elegant enough simply because sacred geometries, and, 

therefore, natural  geometries, do not  typically  segment  a  square with  a  golden mean without being 

created  initially  from  another  golden  geometry.  Additionally,  it  does  not  account  for  horizontal 

anthropometrics. So the construction of this geometry must be reconsidered. 

The easiest remedy to justifying the golden mean segmentation of the square is to form a square from 

two  golden  rectangles  on  perpendicular  axes.  Essentially,  starting with  square  abcd whose  edges  all 

equal  to  (φ ‐ ϕ) create a golden  rectangle cdfe so  that  line xd   equal  to  line xe,  in  that point x  is  the 

midpoint of line bc. Then construct another golden rectangle adgh on the perpendicular axis so that line 

yd  is  equal  to  line  yh,  in which  point  y  is  the midpoint  of  line  ab. We  now  have  a  square  that  is 

segmented into two lines, instead of just one, so that the segments are golden means. Therefore create 

the square beih. The new square’s area is φ2. 

                Square       Golden Rectangle   Two Golden Rectangles     Square 

Area = φ2 ‐ 2φϕ + ϕ2  Area = φ2 ‐ φϕ     Line be = bh = φ       Area = φ2 

Perimeter = 4φ ‐ 4φ  Perimeter = 4φ ‐ 2ϕ           Perimeter = 4φ 

                                                            6 In this paper we will use terms in drafting with T‐squares, compasses, and triangles. The term “squared” or “squaring” refers to making a square from a given line segment, and not to be confused with x2, unless stated so. 

6  

Thus, the same process of creating Figures 1 – 3 can be reiterated as follows. With square beih construct 

a golden rectangle ejki by squaring line segment cg, that is, the golden mean of square beih, so that line 

cg is equal to line cj. This gives the same result as if the midpoint of line be was rotated, so that line zi is 

equal to line zj. As a result squares beih and cjkg are equal. Subsequently, take line ei and square it so 

that lines ei and el are equal. The result is two perfect and adjacent squares, in that squares beih, cjki, 

and  elmi  are  all  equal,  this  locates  the  placement  of  the  third  square.  The  newly  created  square  is 

equally segmented into a golden mean as the initial square. The overall geometry thus far has an area of 

2φ2.  

         Golden Rectangle        Proof of Third Square       Two Squares 

Area = 2φ2 ‐ φϕ         Squares beih = cjki = φ2       Area = 2φ2 

Perimeter = 6φ ‐ 2ϕ                 Perimeter = 6φ 

To reiterate the steps and the mathematics: 

1) The initial square with an area of φ2 ‐ 2φφ ‐ ϕ2 creates a golden mean. 

2) The area of the golden rectangle equals φ2 – φϕ. 

3) Squaring off the golden rectangle creates a new square with an area of φ2. 

4) From this new square create another golden rectangle with an area of 2φ2 – φϕ. 

5) From the square created in step 2 square one of its lengths to produce two equal squares each 

with an area of φ2, so that the overall geometry has an area of 2φ2. 

6) The rhythmic pattern of the perimeter of this geometry is : φ ‐ ϕ, ϕ, φ ‐ ϕ, ϕ, φ ‐ ϕ, ϕ, φ ‐ ϕ, ϕ… … 

7) Thus the two adjacent squares are equally segmented into golden means. 

 

 

7  

To emphasize that this is correct, the following drawings will illustrate the squares and their placements: 

                      Placement of Third Square               Creation of Second Square        Two Perfect Adjacent Squares 

Here  it may be argued that we merely established our own geometry, but did not solve Le Corbusier’s 

problem  as  he  posed  it.  If we were  to  solve  the problem  as  Le  Corbusier  posed, we would  have  to 

account for the regulating lines and the 90° angle. As he said : “The place of the right angle should help 

you decide where  to put  this  third  square.” At  this point,  the placement of  the  right  angle  is  rather 

trivial. If we were to correct Le Corbusier’s problem as he posed it, the results will still be the same, and 

follows as such : 

First construct golden rectangle aefd. Then square line ef back toward the circle, which segments square 

abcd  into a golden mean by the  line segment xy. But  if this construction  is supposed to use regulating 

lines,  then  the  easiest  way  to  create  two  squares  is  to  draw  two  successive  45°  angles  that  are 

perpendicular  to each other.  So  if we draw a 45°  (ϴ)  from point e  toward  the opposing edge of  the 

square the line will intersect at point y.  

  

Next draw a line from point y that is perpendicular to line ey so that it creates point g. This creates the 

two perfect and adjacent squares, so that squares abcd = xefy = gxyh. This construction not only gives 

the vertical anthropometrics, it also can create the horizontal measurements. Lines bc and ey intersect 

at point o.  If a  line pq  is drawn to  intersect at point o as well, then the golden rectangle befc and the 

square abcd are bisected into golden means.  

                 

Thus,  the  above  essentially  creates  a  reiteration  of  the  same  geometry we  have  already  proposed. 

Although this does solve Le Corbusier’s problem as he posed it, it is not necessary to continue using the 

regulating lines to express the rest of the creation of the Vitruvian Man. 

8  

At this point, the very structure of the our proposed geometric construct incorporates the golden mean, 

thus  not  only  accurately  giving  the  human  height  in  the  square  and  circle,  but  also  horizontal 

measurements that are the result of squaring the golden mean.  It seems rather  logical at this point to 

assume  that  line  jk  is  the  top of  the human head,  so we  can  complete  the  rest of  the  geometry by 

squaring line bj, based on Vitruvius’s description. Assumption is rather inappropriate here. It is better to 

understand the logical construction of the human geometry. It can be seen that this process starts with a 

square  that grows  into another square by a golden mean, and  this square grows  into a golden mean. 

Thus it can be concluded that the next step is to repeat and square off the largest golden mean thus far. 

This is not a justification but a completely rational next step, since the first constraint established above 

states  that  the  geometries must build upon  themselves, much  like  the way  in which  a nautilus  shell 

continuously builds upon itself with the same proportional geometry, i.e. a golden mean. 

So, if the process continues as before, the largest golden rectangle bjkh is squared establishing point o. 

This  is done so  that  lines bj and bo are equal,  thus creating  the square bjno, being  the square within 

which  the  Vitruvian  Man  rests.  Then  the  whole  array  of  construction  lines  and  geometries  are 

orthogonally completed to create blpo, a grid of squares and golden rectangles. This is the primary grid 

of  the human proportions  and measurements,  and henceforth will be  referred  to  as  the  “geometric 

construct.” 

        Squaring the Height           Completing the Grid 

 Line bj = bo  

From this geometry we find several aspects that are related to Vitruvius’s description of the human 

geometries. For instance lengths jn and jb are equal, and therefore a square. Lengths eb, ei, and el are 

equal as well. Given these equalities it can therefore be established that line eq segments the construct 

equally vertically, and line vw segments the construct equally horizontally. Therefore, point u is the 

midpoint and point of intersection of lines eq and vw. Likewise, if a diagonal line bisecting the construct 

were drawn, for instance a line bp or lo, then their midpoints and point of intersection would still be 

point u. Thus it can be established that point u is the center of the construct, or, in a sense is the center 

9  

of inertia. According to Vitruvius, it can logically be concluded that this is the location of navel, as well as 

the center of the circle that encompasses the human figure. 

                       Vitruvian Canon of Proportions         Vitruvian Man 

    Area = 4φ2 ‐ 2φϕ 

   Perimeter = 4φ ‐ ϕ 

Not only  is  this  solution  elegant  and  builds upon  its own  geometries,  it  also  accounts  for horizontal 

anthropometrics. The initial square, golden mean, and the reflected square establish the breadth of the 

shoulders.  As  opposed  to  Le  Corbusier’s  geometry,  whose  defining  geometry  of  the  Canon  of 

Proportions was  slightly  irregular, here  the  solution provides a  regular grid  that  can be  repeated,  i.e. 

construct another square from the initial (or previous) golden mean, then square the initial (or previous) 

square, then square the previous golden mean, et cetera.  

Creating all Anthropometrics 

Logically from this basic geometrical construct the rest of the measurements of the human body should 

be able to be constructed from the overall geometry.  In essence, we have to account for creating, or, 

another way of saying it, correcting Le Corbusier’s Modulor System and achieve all the anthropometrics 

of  the human body. Furthermore, we should be able  to account  for all body parts  (i.e.  the hands and 

digits) and bodily  locations  (i.e.  location of the elbow) by building off of the same process established 

above. Since these proportions can be built outward, i.e. grow upon themselves, likewise they should be 

able to be constructed inward, or fractalized7. 

Le Corbusier’s Modulor is a proportionately growing (or diminishing) system of measurements that are 

derived from anthropometrics that grow or diminish by either squaring (or doubling) the measurement 

or produced  from  the golden mean. Since  the  solution proposed  involves  the  same process of either 

squaring or producing a golden mean  following  this exact same pattern, our  solution can provide  the 

most accurate Modulor System.  

                                                            7 Here and throughout the paper the term “fractal” will be used to denote shapes and measurements that proportionally augment or diminish in size, but remain proportional to their similar counterpart in relation. 

10  

One minor flaw on Le Corbusier’s part  is that his geometric construct only accounts for a few primary 

positions of body parts. For instance, the position of the third square in the Modulor provides the crown 

of the head, and the “common” edge of the two squares provides the position of the belly button. Of 

course,  this  only  accounts  for  their  vertical  positions  and  not  their  horizontal  positions.  All  other 

positions on the body are accounted for secondarily by either squaring or producing the golden mean of 

various numbers, and therefore are rather arbitrary means of accounting for these positions. (See Figure 

H above). 

Thus, our solution’s “Modulor system,” so to say, has to be able to provide both horizontal and vertical 

positions  of  body  parts.  The  solution  to  defining  the  lesser  anthropometrics  are  just  as  elegant  as 

constructing  the  overall  geometric  construct,  as  it  follows  an  identical means  of  construction.  The 

solution is as follows: 

Since rest of  the bodily positions and measurements must be defined by a golden mean,  the solution 

must start with a square. The square surrounding the groin (henceforth will be referred to as the groin 

square)  is  to be chosen, since  it  is  the smallest square  that  lies within  the human body.  If one of  the 

larger  squares,  say  square abcd  is  chosen,  then  the  construction process will only  repeat  the overall 

geometric construct, and therefore produce no new results. (Since square abcd creates the groin square 

through a golden mean). If the square above the head is chosen (in the region created by the arm raised 

above  the head)  to create golden means,  then  the geometries will  lie outside  the static human body, 

and therefore is not a prime square to choose. The groin happens to be the center of the body when the 

arms are held perpendicular  to  the body or  lower.  If  the arms are higher  than  the shoulder  line  then 

they fall into the great circle and the navel becomes the center, thus producing geometries outside the 

body. So the groin square appears to be the most logical choice.  

Construct golden rectangles on all four sides of the groin square. Then take the edges produced by each 

golden  rectangle and  continue  them  to  the edges of  the great  square,  therefore  creating a grid. The 

measurements produced account for the vertical height of the knees and the center of the breasts (i.e. 

the nipples in males, but center of the breasts in adult females), as well as the horizontal position of the 

elbow. 

           

11  

The next smallest square – that is, one of the smaller squares produced by squaring the golden means of 

the groin square – is then used to produce four golden means on each side of the square. This is done in 

just  the  same manner  as  in  the  previous  step  illustrated  above.  The measurements  produced  here 

account for the vertical height of the groin (i.e. the height of the pubic triangle and the fulcrum point of 

the femur) and the position of the collar bone, as well as the horizontal position  in which the eyes are 

offset from the nose (i.e. the outer edge of the eye).  

          

Again, the next smallest square then produces four golden means. The measurements created accounts 

for  the  vertical position of  the mouth  and  the  trough of  the breastplate’s  center  (i.e. bottom of  the 

sternum), and the horizontal position of the wrist. 

          

The  same  construction  repeated  for  the next  smallest  square  accounts  for  the  vertical height of  the 

centerline of the arms and the height of the eyes, as well as the horizontal position of the center of the 

palm. Doing  this once more will account  for  the horizontal  location of  the moment where  the  fingers 

meet the palm. 

12  

          

This is, of course, an iterative construction with no end. Logically, because of the continuous squaring of 

the  golden means  the  asymptote  approaches  the  opposing  vertex  of  the  square. And,  since  it  is  an 

iterative  process,  any  square  on  any  side  of  any  square  can  be  chosen  to  create  another  bodily 

measurement or position.  Speculatively, though most probably, this asymptotic grid of anthropometrics 

accounts for every human measurement from the length of the small intestines to the thickness of the 

earlobe. The asymptotic grid formed here echoes a similar grid Le Corbusier constructed to devise both 

vertical and horizontal Modulor measurements of the human. 8 Although, his  is ad hoc and  is trying to 

force  the Modular  to account  for horizontal bodily measurements, and  it  is not constructed  from  the 

overall construct.  

       

Now, Le Corbusier with his Modulor System, and even Albrecht Dürer before him, devised numerical 

measurements  for  the  human  body  for  application  in  the  visual  arts,  furniture  design,  architecture, 

product design, and anything with ergonomic applications. So as a final note to Le Corbusier’s Modulor, 

                                                            8 Ibid., p. 85 ‐ 87, Figures 33 – 35. 

13  

we do not wish to correct his Modulor dimensions. The reasons for not doing so have nothing to do with 

the math  and  tedious  calculations.  Rather we  object  to  his  value  system  altogether  for  democratic 

reasons.  The  values derived  from  the Modulor only  correspond  to  the  ideal male, who  is  six  feet  in 

height. It must be stressed that the ideal male height is different from the average male height. Since Le 

Corbusier is French, the average male height is 5 foot 9 ½ inches. He used the six foot tall man based on 

English detective novels, in which the good looking man is always six feet tall. But in England the average 

man is 5 foot 9 inches tall.9 In the U.S. the average Caucasian man is 5 foot 9 ½ inches tall.10 Clearly his 

anthropometrics  are  ideal,  rather  than  average.  Additionally,  his  anthropometric  values  are  not  in 

harmony for someone that is neither average nor ideal in height. Obviously, a house built for an average 

man  is not  in anthropometric accordance with the Modular, and therefore out of harmony. Finally, his 

system  could  be  deemed  sexist,  as  it  does  not  account  for  women,  whose  proportions  and 

anthropometrics are slightly different from a man (for instance, the hips and breasts). The very fact that 

Vitruvius’s description has always been referred to as the “Vitruvian Man” has been played upon with 

Vitruvian Woman in the Feminist movement; most notable is the Vitruvian Woman by Susan Dorothea 

White, as well as one by Nat Krate. 

One  can  see  the  “can of worms” opened when  trying  to accurately and equally account  for  the vast 

amount of variations of human proportions and measurements in all cultures, races, age ranges, and the 

sexes. We will leave that for the ergonomists.  

But then again, when Le Corbusier devised his Modulor System he rounded off the numbers so that they 

may be feasibly  implemented for practical purposes. No contractor would ever try to make a concrete 

wall exactly 1.61803399… meters long. In this sense, we were being misleading when we said we would 

provide a “most accurate” Modulor. Really, we are just providing the most accurate means for creating 

the Modulor. There really is nothing wrong with the values of the Modulor, except that they are only for 

a  six‐foot  tall man. And  in  reality  Le Corbusier did not devise his Modulor values  from his anthropo‐

geometry, but rather from some basic numbers, such as the height of the head, the navel, and the arm 

raised above  the head. He  then  took  these numbers and either  squared or produced a golden mean 

from them. In short, his original values would actually be identical to the numbers of our geometry. 

Geometry and Metrics of the Great Circle 

Another significant problem with the Vitruvian Man is the great circle11. We have been assuming thus far 

that  it  is  simply  there because Vitruvius  said  so. Nowhere  in did  the  geometric  construct  say  to us  : 

“Hereupon thou shalt place thy circle, and it shall be ye radius.” (Point in fact the construct says that wu 

                                                            9 National Center for Social Research. Health Survey for England 2008. United Kingdom: National Center for Social Research. 2009. 10 National Center for Health Statistics. Anthropometric Reference Data for Children and Adults: United States 2003 – 2006, Number 10, October 22, 2008. Hayattsville, Maryland: National Center for Health Statics. 2008. 11 The  term  “great  circle” will be used  to  refer  to  the  circle  created  from  the arms  raised above  the head and whose  center  is  the navel. The  same will  apply  for  the  “great  square”,  in which  the width  is  created  from  the horizontal  span  of  the  arms  (negating  the  vertical  height)  and  the  vertical  position  of  the  feet  (negating  the horizontal position). It is these specific geometries and their specific relation to the human body that is important, for, as we will see in the discussion on dynamic anthropometrics, that the great square and circle will change sizes, but still maintain, relatively speaking, their specific relations to the human body. 

14  

will  be  the  radius).  But  where  does  it  come  from?  How  is  it  created  from  the  rest  of  the  human 

geometry? Where does  the extra width on either  flank of  the  square  from  the  circle originate? How 

much is that extra length? These may seem like trivial questions. It may be argued that the great circle 

has already been accounted for. We established that the navel is the center of the geometric construct 

(that  is, so to say, the “center of  inertia”), and therefore we can draw a circle whose circumference  is 

tangential  to  the bottom of  the  feet  and  the  tips of  the  fingers when  the  arms  are upraised.  In  this 

sense,  the circle has been accounted  for vertically and not horizontally.  In answering  these questions, 

we will demonstrate that the geometries of nature are not designed in statics, but that nature designs in 

dynamics. The fact that nature designs in dynamics is critical to the animal kingdom. 

The  term “static human” would be assumed  to mean a person standing with  their arms at  their side, 

which will satisfy vertical anthropometrics, but not horizontal. Although this is completely legitimate, we 

will refer to the static human as a person with his arms held outright and his feet are flat on the ground 

in order to create the square. Therefore, any instance in which the arms are raised or lowered from the 

static position, or the legs are swung outward, new geometries are created that are in accordance with 

the great circle. This may already be obvious with Da Vinci’s sketch. 

In order  to  further  address  this problem,  it  is  important  to  consider what other  intellectuals besides 

Vitruvius, Da Vinci, and Le Corbusier had to say on the matter. Of particular  importance are Cornelius 

Agrippa, Cesare Cesariano, and Albrecht Dürer.  In examining  the Vitruvian Canon of Proportions  from 

these  individuals  we  will  find  that  there  is  more  information  embedded  in  Di  Vinci’s  sketch  than 

originally assumed (we will reveal Da Vinci’s secrets as we progress). 

First  let us  look at the  former, the alchemist and philosopher Cornelius Agrippa.  In his Three Books of 

Occult  Philosophy  Agrippa  produced  six  plates  that  diagrammatically  describe  the  overall  human 

geometries.12  It  seems  easy  for  us  to  dismiss  his  drawings  of  the  human  geometries  because  his 

Medieval drawing style does not look proportionate or as well drawn at Di Vinci’s sketch (and it must be 

stressed that Di Vinci’s Vitruvian Man  is only a sketch). Or we might want to dismiss these for the fact 

that there are alchemal symbols inscribed about the human figure, and we know alchemy to be a lot of 

mysticism with some science behind it. But as we will prove Agrippa’s diagrams are in accordance with 

human geometries. Here are the six plates he produced : 

    Plate 1                  Plate 2          Plate 3 

                                                            12 Agrippa, Heinrich Cornelius. De Occulta Philosophia Libri Tres. Book II, Chapter XXVII. 1533. 

15  

   Plate 4                   Plate 5           Plate 6 

Plates 1  ‐3  illustrate  three aspects of  the human geometry we already understand. Plate 1  illustrates 

that the navel  is the center of the body when the arms are raised above the shoulder  line, and  in this 

stance the body is inscribed in a circle (the great circle to be exact). The circle above the head in Plate 1 

represents the full height of the arms raised above the head. Plate 2 illustrates that the human body is 

inscribed in a square (the great square) when the arms are held perpendicular to the body, so that the 

arm  span  is  equal  to  the  human  height.  In  this  stance,  the  groin  is  the  center  of  the  body.  Plate  3 

illustrates that when the arms are raised to their full height above the head the body fits into the great 

circle, which, in this illustration, the circle can be inscribed inside of a square; in this stance the navel is 

the center of the body. Plate 4 demonstrates the same geometric consequences as Plate 1, but with a 

new feature: when the arms are raised above the shoulders and the feet are swung outward away from 

the vertical centerline of the body, the human is still inscribed in the same great circle and the navel is 

still  the  center of  the body. Therefore, Plate 4  illustrates  that when  the  legs are  swung outward  the 

navel  lies on the centerline of the  legs,  i.e. the  legs appear to hinge upon the navel. Di Vinci  illustrates 

the  same  geometry  in  his  sketch  of  the  Vitruvian Man.  Therefore  all  these  plates  logically  fit  the 

geometric construct of the human body we have proposed above. 

Plates 5 and 6 illustrate some things that seem rather forced, as if the human body could not actually be 

in accordance with another square formed by the arms and legs as diagonals, which means this square is 

smaller than the great square; as well as the pentagram. The latter may seem more mystically contrived 

rather than an actual human geometry. 

Let us see how Plate 5 works first. Agrippa  is not the only one to propose this geometry, as the same 

geometry  is  proposed  by  Cesare  Cesariano  in  his  Italian  translation  of  Vitruvius’s De  Architectura  in 

1521, twelve years before Agrippa’s De Occulta. Of the two woodcuts Cesariano illustrates depicting the 

Vitruvian Canon of Proportions the following appears to have some geometric  logic within  it, primarily 

that at some point a human can raise the arms and legs to some specific and respective height so that a 

square can be placed within the great circle, and the square’s corners  lie on the circumference of the 

circle. 

16  

 

Ceasiano’s woodcut establishes  the navel as  the center,  therefore  the circle present here  is  the same 

great circle concerning us. When  the  legs  swing outward  they always  lay within  the great circle, and, 

therefore, the distance from the navel to the tips of the fingers will always be equal to the distance from 

the navel to the center of the feet. So, even though the navel will not be the center of the square, it will 

still be the center of the body due to the limbs’ relationship to the circle (i.e. their equal length / radius). 

Logically,  if the  legs are swung outward within the great circle, then the arms can be raised to form a 

square in accordance with the legs. This can be demonstrated through a series of iterative diagrams that 

illustrate how the great square changes position and size when the arms and legs are raised or lowered 

in relation to the great circle, and vice versa. 

If the process starts with a static human,  i.e. a human with  its arms raised perpendicular to the body, 

only the great square  is generated. But  if only the arms are raised to the height of the head, then the 

great circle is generated and the square no longer applies.  

Actually, at any moment in which the arms are raised more than exactly perpendicular to the body, the 

great square no  long applies.  It  is when  the arms are at head‐height or higher  that  the great circle  is 

generated. But certainly there comes a point when the arms are raised so high that the circle no longer 

applies.  This  occurs  roughly when  the  arms  are  raised  almost  straight  up. Once  the  arms  are  raised 

completely upright then this is the height of the crest of the great circle. Here the finger tips cannot be 

on the great circle’s circumference because the crest of a circle cannot  lie  in two different points that 

are more than the shoulder’s breadth apart. In other words, the tangential crest of the circle (assuming 

some arbitrary orientation) cannot be determined by points R and L, which could be denoted by  the 

right  and  left  arms  respectively,  if  they do not  share  the  same position on  the  circumference of  the 

circle. 

To demonstrate, when the arms are perpendicular to the body the great square is generated, and when 

they are raised to the height of the head the square no applies and the great circle is generated. 

17  

    

If the arms remain at head‐height and the legs are swung outward to a certain point then the square is 

regenerated. This is precisely what Da Vinci is depicting in his sketch: the static human superimposed on 

the human with the arms raised to head‐height and the legs swung out. It is clear in this stance that the 

new square is smaller than the great square of the static human. 

    

If the arms and legs are raised a little bit more, the square will become even smaller. There then comes 

the point in which all for corners of the square will lay on the circumference of the great circle, so that 

the diagonals of the square are equal to the diameter of the circle. It can therefore be established here, 

with absolute certainty, that the perceived error between the great square and great circle in Da Vinci’s 

sketch is only the result of dynamic human geometries. If this iterative process of raising the arms and 

legs  is viewed  in reverse,  then  the great square naturally and  logically  falls  into place.  It  is quite clear 

here to realize that nature does design in dynamics, and that nature would account for its geometries in 

motion as well at a static stance.  

18  

    

It  is also clear  that Agrippa’s human geometry shown  in Plate 5 and Cesariano’s woodcut are correct. 

Additionally,  this  is corroborated by Albrecht Dürer’s  interpretation of  the Vitruvian Man.13 Similar  to 

Dürer’s illustration is William Blake’s watercolor Glad Day (1794). 

           Albrecht Dürer’s “Proportion of Man”      William Blake’s “Glad Day” 

Thus the square is at its maximum size when the human assumes the static stance, when the arms are 

held perpendicular  to  the body and  the  legs are not swung outward; as well as when  the groin  is  the 

center of the body. Likewise, the square is at its minimum size when the arms are legs are raised so that 

the center of the square shares the same position as the center of the circle (the navel). It seems that as 

if the great circle and square did not overlap in the first place, this problem wouldn’t exist at all. But it 

can now be understood the reason for this overlap, as nature designs in motion (and that motion does 

not come from a 0.6% error by Le Corbusier). 

In order to avoid confusion,  it must be noted here that these geometries are possible, but whether or 

not  if  they  are  natural  or  comfortable  to  perform  is  another matter.  If  we  are  trying  to map  the 

geometries of  the human body, one  thing  that may be noticed  is  that  the distance  from  the humeral 

head to the great square  is not equal to the distance from the humeral head to the crest of the great 

circle. So how can this geometry be possible? Would not the arm arc outside of the great circle at some 

                                                            13 Dürer, Albrect. Vier Bücher von Menschlicher Proportion. Nüremberg. 1528. 

19  

point? Although this  is true, we must stress that nature designs  in motion and not statics. The head of 

the shoulder  is not a fixed point that the arm swings around about. Because of the shoulder blade the 

head of the humerus has flexibility in its position. So when the arm is upraised the head of the shoulder 

is higher, and when the arm is down the head of the humerus is lower. If the shoulder was a fixed hinge, 

then a human (and all primates) would not be able to lift the arms above the head (at least not easily). 

Primates would certainly have had a hard time climbing around in the trees. 

This  image  of  the  arm  upraised  above  the  shoulder  line  is  really  nothing  new.  Aside  from  literal 

depictions of the Vitruvian Man, the same stance is in every crucifixion. The most typical representation 

during the Middle Ages and the Proto‐Renaissance depicts Christ with the arms raised to the height of 

the head. The Talisman of Orpheus  from  the 3rd Century BCE depicts Orpheus  crucified with arms at 

head‐height. Saint Andrew was crucified on crux decussata, or X‐shaped cross, but commonly referred 

to as a “saltire”. Depictions of his crucifixions show either the arms raised to head‐height, with the legs 

parted in accordance with the angle of the cross, which would not intersect orthogonally; or the beams 

of the cross do intersect orthogonally (at a 90° angle) and he assumes the position in which the square is 

fully inscribed within the great circle. But whether the crucifixion is of Saint Peter, Jesus, Saint Andrew, 

Orpheus  / Bacchus, Mithra, Krishna, et  cetera,  they  all depict,  in  some  fashion,  the Vitruvian Canon. 

Images and statues of Hindu deities with multiple arms and legs depict much the same canon, albeit not 

all these cultures were familiar with Vitruvius. 

       Crucifixion      Talisman of Orpheus    Crucifixion of Saint Andrew 

Raffaello Sanzio (1503 CE)   3rd Century CE      14th Century CE 

Before moving forwards and analyzing Agrippa’s human and the pentacle we need to fully address the 

nature  of  the  extra  lengths  flanking  outside  of  the  body  created  by  the  circle.  It  has  now  been 

established that the circle is the result of dynamic anthropometrics. But the extra length must somehow 

fit  into  the human geometry and be accounted  for  in some manner by our proportioning system  (i.e. 

from the asymptotic grid, or a variation from it). If these dimensions of the circle could be accounted for 

with what we have been working with so far, there would be no problem. Unfortunately our proposed 

system  needs  further  development  in  order  to  do  so. Here we will  look  at  another  little  key  to  the 

human geometry  that Da Vinci gives us  in his  sketch: notice  that Da Vinci places  lines at  several key 

20  

bodily moments, and notice the distances between them. Although these lines do not always align with 

the  anthropometric‐asymptotic  grid, what  Da  Vinci  is  illustrating  is  the  proportions  of  squares  that 

proportionally  enlarge  from  the  head  in  order  to  divide  the  human  in  the  square  into  fourths  and 

eighths. 

     

Da Vinci illustrates that this extra width created by great circle is one eighth of the arms span (or body 

height),  and  therefore  its  dimension  is  half  the  breadth  of  the  shoulder. Although  in  his  sketch  this 

seems  correct,  it  is actually  in error by 5.6% of being one eighth of  the arm  span.  It may have been 

noticed earlier  in the anthropometric grid that some of the  lines do not align with Da Vinci’s  lines, but 

then again his drawing is only a sketch and is meant to explore an idea, not to finalize it. But if the our 

proposed geometric  construct  is  revisited, we discover  that Da Vinci  is  somewhat  correct  :  the extra 

breadth of  the  great  circle  is half  the breadth of  the  shoulders  in  the  geometric  construct proposed 

earlier. Here  it can be illustrated that length x is half the breadth of the shoulders, as well as the extra 

length produced by the great circle and that the two are equal. As a consequence of this geometry, the 

final area of this geometry (that is of the square inscribing the great circle) is 4ϕ2. 

                  Breadth of Shoulders = Extra Length of Circle     Length AB = x 

Is this necessarily so?  Indeed  it  is.  If two similar 45  ‐ 45 right triangles are constructed so that each of 

their hypotenuses horizontally divide the great square, and the square inscribing the great circle, equally 

and respectively, then the vertical distance between the two hypotenuses will be equal to the horizontal 

21  

distance between the two the corresponding 45° vertices. This is true for all similar squares that share a 

common edge, and upon that common edge a common midpoint. But in the human geometry this case 

and proof is rather special. 

It can then be established here the relationship between the two bodily centers,  i.e. the navel and the 

groin,  and  the  consequences  of  the  great  square  in  relation  to  the  great  circle when  the  body  is  in 

motion. As the arms rise above the shoulder line and the legs are swung outward, the square diminishes 

in  size. Consequently  as  this happens  the  center of  the  square  approaches  the  center of  circle, until 

finally the two centers share the same position. We will account more fully on how the anthropometric‐

asymptotic grid can account for this extra length created by the great circle shortly. 

So as the arms rise higher and the legs swing more outward, the square diminishes in size until the two 

centers unite at  the navel. Can  the  same be  true  for  the circle? Can  the circle diminish  in  size  to  the 

point  that  the circle’s center  lays upon  the center of  the groin? This  is what  is depicted  in Plate 6 by 

Agrippa  :  that  if  the  arms  are  lowered  to  a  certain degree  and  the  legs  swung outward  to  a  certain 

degree  the  human will  rest  upon  a  pentagram, with  the  groin  as  the  center.  A  similar  depiction  is 

featured  in Robert Fludd’s alchemal and occult philosophical  treatise The Metaphysical, Physical, and 

Technical History of the Two Worlds, published in 1617, depicting man as a microcosm of the universe, 

and the universe as a macrocosm of man. 

   Destiny by Robert Fludd (1617) 

The question is: does this really work? As the legs swing outward they always fall on the great circle, a 

circle whose center is at the navel. How, then, can the legs swing outward and lie within a smaller circle 

with the groin as the center? 

To consider if this geometry is even correct, it must first be established which points on the pentagram 

are  constants.  First,  the  crown  of  the  head  is  constant,  as  this  is  the  vertex  of  the  top point  of  the 

pentagram (point o). Second, the legs can be swung outward in order to create two lower vertices of the 

pentagram,  and  therefore  a  constant.  In  order  for  two  lower  vertices  of  the  pentagram  to  be  in 

accordance with the geometries established above, these two vertices (i.e. the placement of each foot) 

must lay on the circumference of the great circle (points m and n). Given these three points the size and 

placement of the pentagram will appear as such: 

22  

           

As can be seen, the trough of the circle that  inscribes the pentagram  lies outside the circumference of 

the great circle. But something appears to work in this instance, as the left and right vertices (i.e. point 

x) of the pentagram seems to align at the intersection of the great square and circle (point z), the point 

in which the hand raised to the height of the head. Though this may seem trivial, it is actually in error by 

0.087%  of  the  great  circle’s  radius.  Although  there  is  a  very  small  error  in  this  geometry, we must 

remember that the shoulder  is a flexible moment  in the body, so the arms can easily adjust to correct 

this negligible error. We can  therefore establish  that  it  is possible  for  the human  to be  in accordance 

with the geometry of the pentagram. Although this  is a negligible error we do not wish to do what Le 

Corbusier did and create excuses  for  this mild error. There could be something more profound  to the 

nature of the flexibility of the shoulder blade with human geometries, and this will be the subject of a 

future paper. 

Although  this  is  a  possible  explanation,  Agrippa’s  and  Fludd’s  depictions  of  the  Vitruvian  Man  in 

accordance with the pentagram is nonetheless wrong for one reason : the groin is not the center of the 

body (point A). This is because the circle inscribing the pentagram exceeds the boundaries of the great 

square. The position of the center of the body in this stance is actually about 1/64 of the body’s height 

lower  than  the center of  the groin  (point B). Of course we can  imagine  that  these geometries would 

appear to be perfect and without error in the study or lab of a 16th Century alchemist. The center of the 

body being 1/64 of the human height lower than the groin is easily corrected by not extending the legs 

outward. But in that case the human would not take on the form of a pentagram. 

The Human Geometries and the Pentagram 

Of  all  geometries  the  pentagram  is  the  only  one  that  is  anthropomorphic. We  can  easily  look  at  a 

pentagram and see a head, arms, legs, arm pits, a groin, and a torso. Mystically the pentagram has been 

considered  a  humanist  symbol,  an  esoteric  geometry  that  represents  the  human.  But  could  the 

pentagram  have  any  further  implications  toward  the  human  geometry?  Indeed  it  does.  In  fact,  the 

pentagram is a corollary to the creation of the human geometric construct described above, as it follows 

the exact same proportioning system as the asymptotic‐anthropometric grid. 

23  

It is already well known that the pentagram has golden mean properties. For instance, the line segment 

A and C are segmented  into a golden mean by point B, so  that  line AB = ϕ – φ and  line BC = φ, and 

therefore  line AC = ϕ. Likewise  line AD  is segmented  into a golden mean by point C, so consequently  

that line AC = ϕ –φ and line CD = φ, and therefore line AD = ϕ. 

 

In  looking  at  this  geometry  some  things  can  readily be  established  :  lines ABC  and   ACD  are  golden 

means  in  the  same manner described above.  In  this  respect  the  square of  line ABC will produce  the 

golden mean  ACD,  so  that  squares  ACGE  and  BDHF will  be  equal.  In  this  instance  square  ACGE  is 

bisected on two axes into golden means. 

 

It appears that the means to create the human geometry (that is our proposal to correct Le Corbusier’s 

two adjacent squares  from a golden mean problem)  is  inherently embedded  into  the pentagram. But 

where are the other vertices? Where is the other square, so that this is two adjacent squares? It seems 

to be  a bit of  a  riddle, but  the other  vertices  are on  the pentagram. We will now demonstrate one 

possibility of the two adjacent squares and the golden mean and their relationships to the pentagram It 

must be noted that there are a few other possibilities. 

If we take a pentagram with a point a and a point r as two neighboring vertices on the pentagram, and a 

line br is drawn so that br is perpendicular to line ab, so that points b, c, and r all lay on the same line: 

then  line ab  is squared  in order  to create a square abcd  (Figure  I). Next construct a golden  rectangle 

aefd from square abcd. In the construction of golden rectangle aefd the line ef is aligned with vertex q 

of the pentagram, so that points e, f, and q all lay on the same line (Figure II). 

24  

         Figure I            Figure II 

Following the process established earlier, square the golden rectangle aefd  in order to create a square 

aegi, which is segmented  into two golden means on two perpendicular axes by lines bh and df, in that 

lines  bh  and  df  are  equal  (Figure  III).  Still  following  the  exact  same  process,  then  render  a  golden 

rectangle ajki from square aegi, so that  line jk are aligned with the vertex s on the pentagram,  in that 

points j, k, and s all lay on the same line. It can therefore be established that line ks is the centerline of 

the pentagram (Figure IV). Therefore squares aegi and bjkh are equal. 

       Figure III           Figure IV 

Finally the original square is doubled, that is square line eg, which lies upon vertex l of the pentagram. 

Therefore squares aegi = bjkh = elmg (Figure V). We have chosen to demonstrate this particular means 

of forming the two squares from the golden mean for a reason : if length al is ϕ ‐ φ, then length au is ϕ, 

as was established above. This is a critical measurement in order for the pentagram to be in accordance 

with the anthropometric‐asymptotic grid.  

       Figure V           Figure VI 

25  

In Figure VII, if the length of one line on pentagram Y is ϕ – φ, then the length of one line of pentagram 

X is ϕ. Therefore pentagram X is created from pentagram Y via the golden mean. So if pentagram Y is 

moved to the other side of pentagram X as pentagram Z is in relation to pentagram X, so that 

pentagrams Y and Z are equal. 

 Figure VII 

Although  this  is  technically disassembling and  rearranging  the geometry,  something we  argue nature 

does not do,  this  is actually a  form of  fractalizing  the pentagram. Although  it  seems  that  the  smaller 

pentagram was created and  then moved, both are actually  logical and  legitimate means of creating a 

pentagram that either  is enlarged by the golden mean or diminished. In both cases three points of the 

originally  pentagram  are  used  to  construct  the  new  pentagram,  and  three  points  is  typically  the 

minimum number of points necessary for proof. In the case of pentagram Z  it can be seen  in Figure VI 

that length al is equal to length rt, and that the two line segments are parallel in the parallelogram altr. 

Therefore it can be established that the following Figures VIII and IX of pentagrams pairs are true : 

           Figure VIII             Figure IX 

If  a  third  pentagram  is  added  that  is  the  golden mean  of  one  of  the  other  pentagrams,  then  the 

following  illustrates  that  fractalizing pentagrams by  the golden mean are  in accordance with  the  two 

adjacent squares geometry  (Figure X). Therefore  in Figure X  if pentagram A  is ϕ,  then pentagram B  is 

equal to ϕ – φ, and pentagram C equals φ.  If this process continues and a fourth pentagram  is added 

(Figure XI), then the initial two‐squares‐by‐golden‐mean no longer apply. But, since the pentagrams B, C, 

and D are proportionately similar to pentagrams A, B, and C then a smaller two‐squares can be applied 

to pentagrams B, C, and D. This new  two‐squares BCD  is diminished  from  two‐squares ABC by  φ  (or 

divided by ϕ). One can easily see two‐squares BCD’s relationship to two‐squares ABC as a fractal. 

26  

       Figure X            Figure XI 

If a fifth pentagram E is added (Figure XII) then a pattern emerges, namely that this process echoes the 

asymptotic grid created earlier (Figure XIII). 

         Figure XII          Figure XIII 

Since  it  can  now  be  established  that  the  proportions  of  a  pentagram  are  a  direct  corollary  to  the 

proportions  contained  in  the  human  body,  at  this  point  it will  be  interesting  to  see  how  these  five 

pentagrams are related to the human geometry, particularly on the anthro‐geometric construct (Figure 

XIV).  In  looking  at  how  the  pentagrams  relate  to  the  geometric  construct  in  this manner  numerous 

anthropometrics can be corroborated, and some new ones can be accounted for.  

For  instance,  if  two neighboring vertices a and b of pentagram A  lay on  the  initial square  (that  is  the 

square that created this geometry), then vertex c of the pentagram  is vertically aligned with the extra 

width created by the great circle. Likewise, the corresponding vertex of c is d, and vertex d is lays upon 

the  vertical  centerline  of  the  whole  geometric  construct.  If  pentagram  B  is  the  golden  mean  of 

pentagram A, then the centerline of pentagram B is aligned with the shoulder line. Furthermore the full 

length of a  line segment from pentagram B is equal to the length of one arm from the shoulder to the 

finger  tips  (line  ab).  Pentagram  C  is  the  golden mean  of  pentagram B,  and  its  centerline  is  also  the 

vertical  centerline of  the whole geometry, and  therefore  the vertical  line of  symmetry  for  the whole 

27  

body.  The  full  length  of  one  of  the  line  segments  of  pentagram  C  is  equal  to  the  breadth  of  the 

shoulders. And so centerline of pentagram E (the golden mean of the golden mean of pentagram C)  is 

also aligned with the shoulder. 

               Figure XIV 

Thus  far,  it  seems  that  the  point which  these  diminishing  pentagrams  approach  (point  x)  is  rather 

meaningless and  just sits  somewhere  randomly on  the construct. Or does  length ax actually measure 

something on the body? Indeed it does. If the fractlizing pentagrams continue ad infinitum (Figure XV), 

then the angle of axc is 36°, which is also the interior angle of any pinnacle on a pentagram (Figure XVI).  

       Figure XV          Figure XVI 

Therefore, in comparing the angle of the approaching pentagrams toward point x to their respective 

two‐squares geometry in Figure VIII, it can be established that the point toward which the diminishing 

two‐square geometries are approaching is also point x. The angle in which the fractalizing two‐squares 

are approaching point x is 54° (half the interior angle of a pentagon, or half of 108°). Therefore the angle 

of the fractalizing pentagrams (36°) is complementary to the angle of the fractalizing two‐squares (54°). 

In other words, they both approach point x at angles that add up to 90° (Figure XVII). 

28  

   Figure XVII 

Placing  the  fractalizing  pentagrams  as  they  are  in  Figure  XIV  only  accounts  for  horizontal 

anthropometrics, but  it does not account for vertical measurements. Consequently the  length of ax  in 

Figure XIV  is  also  the height of  the human  (or  the  arm  span).  Since  the  length of ax  is equal  to  the 

human height (from head to heels), and the fractalizing pentagrams are in accordance with the process 

of creating  the anthropometric‐asymptotic grid,  then  the pentagrams should also be able  to establish 

vertical measurements. And in Figure XVIII they do so indeed. 

 Figure XVIII 

So it seems we have come full‐circle. Actually we have come more than full‐circle; more like a circle and 

a half. We can easily see the beauty and wonder in nature’s designs. It seems as if we have a new means 

of admiring the proportions, geometries, and measurements of our own bodies. Throughout the course 

of this essay, we have intensely studied various geometries in relation to the human body and 

anthropometrics (both static and dynamic). A final aspect left to admire is the numerics of human 

29  

proportions in accordance with the fractalizing two‐square geometry. Starting with any of the two‐

squares‐by‐golden‐mean geometries, the rate at which they increase can be seen in Figure XIX. 

 Figure XIX 

If this pattern continues then a rather interesting curiosity occurs : 

Horizontal Growth :        Vertical Growth : 

φ 

ϕ ‐ φ            ϕ ‐ φ 

φ  

ϕ ‐ φ            ϕ 

ϕ ‐ φ 

ϕ            2ϕ ‐ φ 

ϕ 

2ϕ ‐ φ            3ϕ ‐ φ 

2ϕ – φ 

3ϕ ‐ φ            5ϕ ‐ 2φ 

3ϕ – φ 

5ϕ ‐ 2φ           8ϕ ‐ 3φ 

5ϕ ‐ 2φ 

8ϕ ‐ 3φ           13ϕ ‐ 5φ 

8ϕ ‐ 3φ 

13ϕ ‐ 5φ          21ϕ ‐ 8φ 

13ϕ ‐ 5φ 

21ϕ ‐ 8φ          34ϕ ‐ 13φ 

21ϕ ‐ 8φ 

… 

… et cetera 

30  

Horizontally, the measurements are increasing by ϕ + n (where n is the previous value established by 

increasing by ϕ). Vertically, they simply increase by ϕ, and therefore diminish by φ, or 1/ϕ. It is rather 

curious that in this numeric system the numbers multiplied with either ϕ or φ follow the Fibonacci 

series, which demonstrates that when any of the numbers of the series are divided by the previous 

number then the values are always ϕ, or 1.618033989... But then again, phi has a very peculiar habit of 

repeating itself. 

We have to admit that much of what has been discussed in this paper has been the result of correcting 

very trivial errors. But then again, it supports that the age old cliché “little things do matter” has some 

justifications. 

We usually regard our bodies as a mere vessel that only exists to get our brains from place to place, 

whether it is from one meeting to another, or from the office to home, or “point A to point B”. We hope 

this paper illuminates some of the beautiful (and even mystical) qualities of these vessels we inhabit for 

the duration of our lives, and even its relationship to simple ideas, like a pentagram or a square. 

So what is next? Next we can try the geometries of the human in profile… 

Patrick M. Dey 

Damian ‘Pi’ Lanningham 

5 January 2011 

The Open Problem Society 

 

Edited 5 September 2011 

 

   

31  

Bibliography: 

Agrippa, Heinrich Cornelius. Three Books of Occult Philosophy. Trans. James Freake. Woodbury, MN: 

Llewelyn Publications. 1992. 

Dürer, Albrect. Four Books on Human Proportion. Nüremberg, Germany: Hieronymus Formschneyder. 

1528. 

Fludd, Robert. The Metaphysical, Physical, and Technical History of the Two Worlds. 1617. 

Le Corbusier. The Modulor. Trans. Peter de Francia and Anna Bostock. Basel, Switzerland: Birkhäuser 

Publishers. 2004 

National Center for Social Research. Health Survey for England 2008. United Kingdom: National Center for Social Research. 2009.  

National Center for Health Statistics. Anthropometric Reference Data for Children and Adults : United 

States 2003 – 2006, Number 10, October 22, 2008. Hayattsville, Maryland: National Center for 

Health Statics. 2008.  

Pollio, Marcus Vitruvius. The Ten Books on Architecture. Trans. Morris Hicky Morgan. Mineola, New York 

: Dover Publications, Inc. 1960. 

Pollio, Marcus Vitruvius. De Architectura. Trans. Cesare Cesariano. Como, Italy. 1521. 

 

Further Reading: 

Elam, Kimberly. Geometry of Design. Princeton, New Jersey: Princeton Architectural Press. 2001. 

Livio, Mario. The Golden Ration: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number. New York, New 

York: Broadway Books. 2002. 

Padovan, Richard. Proportion: Science, Philosophy, Architecture. New York, New York: Spon Press. 1999. 

Skinner, Stephen. Sacred Geometry: Deciphering the Code. New York, New York: Sterling Publishing Co. 

2009.