1. La alternativa correcta es E.
2α
α60°
108°
180°– α
Cadaángulointeriordeuntriánguloequiláteromide 60° y de un pentágono regular mide108°. Como la región donde se intersectanel triángulo y el pentágono corresponde auncuadrilátero,entonceslasumadeángulosinterioresdebeseriguala360°.
⇒ 2α + 60° + 108° + 180° – α = 360°⇒ α + 348° = 360°⇒ α = 360° – 348° ⇒ α = 12°
2. La alternativa correcta es B.
AldibujarlaalturaCD deltriánguloABC,éstatambiénesalturadellostriángulosAPC,PQCyQBC,entonces:
C
A P Q BD
I) Verdadera,yaqueeltriánguloABCporserisósceles,DespuntomediodeAB ,ycomoAP=PQ=QB,entoncesDtambiénespuntomediodelsegmentoPQ.Luego,comosiemprequelaalturacaeenelpuntomedioeltriánguloesisósceles,entonceseltriánguloPQCesisóscelesenC.
II) Verdadera,yaquelostrestriángulostienenlamismaalturaylamismamedidadelabase,porlotantotienenigualárea.
III) Falsa,losángulosACPyQCBsoncongruentesentresí,peroelánguloPCQtieneunamedidadistinta,yaqueelhechoqueelladoABquededivididoentrespartesiguales no implica que el ánguloACB quede dividido en tres partes iguales (dehechonuncasucede).
3. La alternativa correcta es C. α = 45ºyβ = 135º
C
A
B
45º
135º45º
Porlotanto,eltriánguloesisóscelesrectángulo.
4. La alternativa correcta es D.
EltriánguloSQTeslamitaddeuntriánguloequiláterodelado2.
Luego,x=30°.
30º
30º 60º
2
1
S
M
T
Q
5. La alternativa correcta es D. ComoeltriánguloesrectánguloenA,entonces,portríospitagóricosAB = 9.
1512
A B
C
9
Área=9 · 12
2
= 9 · 6 = 54
6. La alternativa correcta es C.
AB = 6,BC = 2,entoncesporteoremadePitágoras,AC=2�10
Comolasdiagonalessedimidian,AE=�10 cm
7. La alternativa correcta es C.
AplicandoteoremadePitágoras:
3d
9
d2 = 92 + 32
d2 = 81 + 9
d2 = 90
d = �90
d = 3�10 cm
8. La alternativa correcta es B. DE :mediana,entoncesDE = 5 cm,ademásDyE:puntosmedios,porlotanto, AE = 3 cm,entonces,setiene:
D
E
A
B
C
105
3
3
AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloAED,portríospitagóricosAD = 4 cm.
9. La alternativa correcta es C. EB = 6 cm;AC = 8 cm;ED=DB;AD=DC,llevandoestosdatosalafigura,setiene:
B
C
A
E
D
3
3 4
4
AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADB,portríospitagóricosAB=5 cm AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloDBC,portríospitagóricosBC=5 cm AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADE,portríospitagóricosAE=5 cm
Entonces:
B
C
A
E
D
3
3 4
45
5
5
PerímetrodeABCDE= AB + BC + CD + DE + AE
PerímetrodeABCDE=5 + 5 + 4 + 3 + 5
PerímetrodeABCDE=22 cm
10. La alternativa correcta es C.
Perímetrocuadrado= 4·lado=4�2 lado=�2 Luego:
Diagonalcuadrado=lado·�2 Diagonalcuadrado=�2 ·�2 Diagonalcuadrado=2 cm Porlotanto,AC=2 cm
11. La alternativa correcta es D.
Llevandolosdatosaldibujo,setiene:
A B
C
E
FD
44
2
2G 4
AplicandoteoremadePitágorasen∆FEG:
EF2 = GE2 + FG 2
(EF)2 = 62 + 42
(EF)2 = 36 + 16
(EF)2 = 52
EF = �52 cm
12. La alternativa correcta es C.
PQ = 2QT
6 = 2QT 6
2= QT
3 = QT
Llevandolosdatosaldibujo:
WS
P Q
R
TV
6
3
3
3 3 3
3
3
AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloWVT:
WV 2 + VT 2 = WT 2
32 + 62 = (WT)2 9 + 36 = (WT)2 45 = (WT)2 �45 = (WT)2
�9 · 5= (WT)2
3�5 cm = WT
13. La alternativa correcta es B.
Perímetro∆PSR = 30 3x = 30
x = 30 3
x = 10 Porlotanto,elladodeltriánguloequiláteromide10 cm,entonces:
SQ = 5,yaque,PQesalturadeltriánguloequilátero PQ = 5�3 ,TS = 5�3
5
S
QP
R
T
10 5
105
5�3
Áreasombreada=5 · 5�32
= 25�32
cm2
14. La alternativa correcta es D. I) Verdadera,yaque:
Silaalturamide8�3 cm,entonces: h = lado
2�3
8�3 = lado
2�3
16 = lado
Entonces: Perímetrotriángulo = 3 · lado Perímetrotriángulo = 3 · 16 Perímetrotriángulo = 48 cm
II) Verdadera,yaque:
lado = 16 cm,entonces:
Áreadeltriángulo = (lado)2
4�3
Áreadeltriángulo = (16)2
4�3
Áreadeltriángulo = 64�3 cm2
III) Falsa,yaquesielladodeltriánguloequiláteromide16 cm,cadamedianamidelamitaddeunlado,entonces,cualquieradeellasmide8 cm.
15. La alternativa correcta es B.
30º
4
A B
C
Correspondeauntriángulodeángulos30º,60ºy90º,entonces:
AB = 42�3
AB =2�3 cm
16. La alternativa correcta es A.
ComoAC=AB,entonceselánguloCBAtienelamismamedidaqueelánguloACB. Además,si∠BAC = 60°,entonces ∠CBA = ∠ACB = 60°.Porlotanto,eltriánguloABC
esequilátero.Sisuperímetromide36 cm,entoncessuladomide 363 = 12 cm.
A B
C I) Verdadera,yaque:
Sielladomide12 cm,entonces:
h = lado
2 ·�3
h = 122 ·�3
h = 6�3 cm
II) Falsa,yaque: lado = 12 cm,entonces:
ÁreadeltriánguloABC= (lado)2
4�3
ÁreadeltriánguloABC= (12)2
4�3
ÁreadeltriánguloABC= 12 ∙ 124
�3
ÁreadeltriánguloABC= 3 ∙ 121
�3
ÁreadeltriánguloABC=36�3 cm2
III) Falsa, ya que, si el lado del triángulo equiláteromide 12 cm, cada una de lasmedianasmidelamitaddellado,entonces,cualquieradeellasmide6 cm.
17. La alternativa correcta es A.
Si∆ABC isóscelesdebaseAB yDespuntomedio⇒CD es transversal,bisectriz,simetralyaltura,además∠CBD=∠DAC,entonces∠ACD=60º.
Porlotanto,∆ADCcorrespondeauntriángulodeángulos30º,60ºy90º,entonces: AC = 14 cm AD = 7�3cm
A30º B
C
D
60º
30º7
Perímetro∆ADC= AD + CD + AC Perímetro∆ADC= 7�3 + 7 + 14 Perímetro∆ADC= (7�3 + 21) cm
18. La alternativa correcta es C.
45º
6
A Bx
x
C
AplicandoTeoremadePitágoras:
x2 + x2 = 62
2x2 = 36
x2 = 18
x = �18
x = �9 ∙ 2
x=3�2
Porlotanto,AC=3�2 cm
19. La alternativa correcta es E.
E
C
D
BI
A
HF
G
ComolostriángulosABCyDEFsonequiláteroscongruentesdeladoay GC ,GH ,CH,HD ,HI yDJ sonmedianas,entonces:
AI=IB=BD=DC=CE=EG=GF=FH=HA=ID=DH=HI=HC=CG=GH
=a2,porlotanto,elperímetrodelapartesombreadaes15·
a2=
15a2cm
20. La alternativa correcta es C.
AplicandoteoremadeEuclides:
(BD)2 = 16 ∙ 25
BD=�16 ∙�25
BD=4 ∙ 5
BD=20 cm
21. La alternativa correcta es A.
R
P QS1 2
SiPQ = 3 cm ⇒ SQ = 2 cm AplicandoteoremadeEuclides:
RS2=SP ∙ SQ
RS2 = 1 ∙ 2
RS2 = 2
RS = �2 cm
22. La alternativa correcta es D.
5�2 5�2
A
B CD
45º 45º
Triángulorectángulodeángulos45ºy90º,entoncesBC=10.
Las rectas notables que caen en la base de untriángulo isósceles coinciden, entonces, si AD esaltura también es transversal, por lo tanto,D espuntomedio,asíobtenemos:
BD=DC=AD=5 cm
23. La alternativa correcta es C.
CA
B
h
4 9
AplicandoteoremadeEuclides: h2 = 4 ∙ 9
h = �4 ∙ 9
h = �4 ∙ �9
h = 2 ∙ 3
h = 6 cm
24. La alternativa correcta es E.
C
9
16
A B
D
I) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadeEuclideseneltriánguloABC: AD
2= DC ∙ BD
AD2 = 9 ∙ 16 AD = 3 ∙ 4 AD = 12
II) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloACD: AC
2 = CD
2 + AD
2
AC2 = 92 + 122
AC2 = 81 + 144 AC2 = 225 AC = �225 AC = 15 III) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADB: AB
2 = AD
2 + DB2
AB2 = 122 + 162
AB2 = 144 + 256 AB2 = 400 AB = �400 AB = 20
Porlotanto,ningunadeellasesfalsa.
25. La alternativa correcta es D.
Untriángulocuyosladosmiden15 cm,15 cmy10 cm,estriánguloisósceles,porlotantosisetrazalaalturasobreelladodistinto,éstacaeenelpuntomediodellado.
LaalturasepuedecalcularporPitágoras,considerándolacomoelcatetodeuntriángulorectángulocuyahipotenusamide15 cmyelotrocatetomide5 cm.
1515
10
15 15
5 5
h
⇒h2 + 52 = 152
⇒h2 + 25 = 225 ⇒h2 = 200 ⇒ h = �200 = 10�2
Comoeláreaes base · altura2
Entonces,A= 10 ∙ 10 �22
=50�2 cm2
26. La alternativa correcta es A.
Porsertriánguloequilátero,altrazarlaalturaCPsobreelladoAB ,éstacaeenelpuntomediodellado,porlotantoPBmide6 cm.Además,
CP= lado ∙ �32
=12 ∙ �3 2
=6�3 cm
Porotrolado,comoADDB
= 12,entoncesAD = 4 cmyDB = 8 cm,porlotantoDP = 2 cm.
2 64
x
A BD P
C AplicandoPitágoraseneltriánguloDPC:
22 + (6�3 )2 = x2
4 + 36 · 3 = x2
⇒ 112 = x2
�112 = x 4�7 cm = x Porlotanto,CD=4�7 cm
27. La alternativa correcta es A.
Comoloscatetosmiden60 cmy80 cm,entonceslahipotenusaABmide100 cm.
ComoQeselpuntomediodelsegmentoAB,entoncesAQmide50 cm.
AplicandoEuclides⇒AC 2=AP · AB ⇒602=AP· 100⇒AP=36 cm
Luego,AP +PQ =AQ ⇒ 36+PQ=50⇒ PQ=14 cm
28. La alternativa correcta es C.
AplicandoelteoremadePitágorasaltriánguloABC (o larelaciónentre losnúmerospitagóricos:5, 12y13),elladoAB=13 cm.
Luego,aplicandoteoremadeEuclides,laalturaCE= 5 ∙ 1213
= 6013
cm
Porlotanto,eláreadelcuadriláteroentredostriánguloses:3 ∙ 6013
=18013
cm2
29. La alternativa correcta es A.
Portríospitagóricos:
5
13
DA
C
12
B
I) Verdadera,yaque:
AplicandoteoremadeEuclides:
CD=AC ∙BCAB
CD=5 ∙ 12
13
CD=6013 cm
II) Falsa,yaque: AplicandoteoremadeEuclides: (AC )
2 = AB ∙ AD
52 = 13 ∙ AD
25 = 13 ∙ AD
2513
cm = AD
III) Falsa,yaque:
(BC )2=AB ∙DB
122=13 ∙ DB
144=13 ∙ DB
14413 cm = DB
30. La alternativa correcta es D.
SP
R
6
Q4
I) Verdadera,yaque:
AplicandoteoremadeEuclides: 62=4(PS+4)
36=4(PS+4)
9=PS+4
5 cm=PS
II) Falsa,yaque:
AplicandoteoremadeEuclides:
(RS)2 = 5 ∙ 4
RS = 2�5 cm
III) Verdadera,yaque:
AplicandoteoremadeEuclides:
(RP)2 = 5 ∙ 9
RP = 3�5 cm
31. La alternativa correcta es B.
DA
C
B
4
E
16
AplicandoteoremadeEuclideseneltriánguloADC: ED
2 = AE ∙ EC
ED2 = 16 ∙ 4
ED = 4 ∙ 2
ED = 8 cm
AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloCED:
CD2 = EC
2 + ED
2
CD2 = 42 + 82
CD2 = 16 + 64
CD2 = 80
CD = �80
CD = �16 ∙ 5
CD = 4�5 cm
32. La alternativa correcta es A.
x
8 EA
C
B4
SiAE : EB = 2 : 1,entonces:
AEEB
=21
AE=2EB
Además:
AE + EB = 12
2EB + EB = 12
3EB = 12
EB = 123
EB = 4 cm
Sabíamosque:
AE=2EB AE=2 ∙ 4 AE = 8 cm PorelteoremadeEuclidestenemos:
(AC )2 = AE ∙AB
x2 = 8 ∙ 12
x = �8 ∙ �12
x = �4 ∙ 2 ∙ �4 ∙ 3
x = 2 ∙ �2 ∙ 2 ∙ �3
x = 4�2 ∙ 3
x = 4�6
Porlotanto, AC = 4�6 cm
33. La alternativa correcta es E.
Recordemos que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulorectángulo,porlotanto,el∆ABCesrectánguloenC.
I) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:
A6
C
BO 3 D 3
(CD)2 = AD ∙ BD
(CD)2 = 9 ∙ 3
(CD)2 = 27 cm2
II) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:
(AC )2 = AD ∙ AB
(AC)2 = 9 ∙ 12
AC = �9 ∙ �12
AC = �9 ∙ �4 ∙ 3
AC = 3 ∙ 2 ∙ �3
AC = 6�3 cm III) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:
(BC )2 = BD ∙ AB
(BC)2 = 3 ∙ 12
(BC)2 = 36
BC = �36
BC = 6 cm
34. La alternativa correcta es D.
α
γ
P
Q R
α'
β
(1) PQ ≅ PR yα = α'.Conestainformación,síesposibledeterminarlamedidadeβ,yaquesededucequeeltriánguloesrectánguloisósceles.
P
Q R45º 45º
(2) β = γ = 12 α' y PQ ⊥ PR .Conestainformación,síesposibledeterminarla
medidadeβ,yaquesededucequeeltriánguloesrectánguloisósceles.
P
Q R45º 45º
Porlotanto,larespuestaes:Cadaunaporsísola.
35. La alternativa correcta es C.
(1) Ellargodelrectángulomide12 cm.Conestainformación,nosepuededeterminarladiagonaldelrectángulo.
(2) Elanchodelrectángulomide5 cm.Conestainformación,nosepuededeterminar
ladiagonaldelrectángulo. Con (1) y (2) sí se puede determinar la diagonal del rectángulo, ya que conocemos
el largoyelancho,entoncesaplicandoteoremadePitágoras,podemosdeterminar ladiagonal.
Porlotanto,larespuestaes:Ambasjuntas.
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