U N I
16
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ⋅ en m.
A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2
Resolución
Tema: Semejanza de triángulos
Recuerde
αA C
B
a
b
c
M
N
m
n Lα
Según el gráfico, ABC ∼ MNL
→ = =am
bn
c
Análisis y procedimiento
Piden AP CQ⋅ .
α
α
θ
Q
θ
P3b
3a
2a
2
2
D
B
G
F
3
2b
CA
E
Según el gráfico:
ABQ ∼ FCQ
BQCQ
= 23
→ CQ=3a y BQ=2a
EAP ∼ CBP
APBP
= 23
BP=3b y AP=2b
Luego
AP=2b y QC=3a
Además
5 225
b b= → =
5 3
35
a a= → =
→ = =AP y QC45
95
∴ AP CQ⋅ = 65
Respuesta65
Alternativa C
PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
MD
A BO
C
R
A) 12 7 p B) 12 5 p C) 12 3 p
D) 24 33
p E) 24 55
p
U N I
17
MATEMÁTICA
Resolución
Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Recuerde que por relaciones métricas en el
ba h
1 1 12 2 2h a b
= =
Análisis y procedimientoPiden C.
C
BO
CM
D
A
r
rr
12
8 6
Se sabeC =2pr
AO=OB y AD // OC→ AD=2(OC)=12Por relaciones métricas en el DAB
1
8
1
12
1
22 2 2= +( )r
→ =r12 5
5
C = 24 5
5p
Respuesta24 5
5p
Alternativa E
PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.
Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B
(P exterior a AB). Si mPAB=12
mC y AP=12 u,
determine el valor de BC (en u).
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
Resolución
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
m m
B
A CM
m
Análisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12
6612
12
P
B
QCMA
x6
2ααα
α
2α
U N I
18
MATEMÁTICA
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles.→ AP=AQ=12
En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.→ AM=MQ=BM=6.
El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6
Respuesta6
Alternativa D
PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor.
A) ab
a b c− + B) b
a b c+ − C)
aba b c+ +
D) ab
a b c+ − E) a
a b c+ +
Resolución
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema de cuerdas
y
x b
a
ab=xy
Análisis y procedimientoPiden la longitud del radio x.De la figura, por los datos se tiene queFO=x – cOG=xOM=a – xON=b – x
GO
b
a
CF
M
N
A
c x
x
x–c
b–x
B
Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM(x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2
xab
a b c=
+ −
Respuestaab
a b c+ −
Alternativa D
PREGUNTA N.o 25En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y mDAB=70º, calcule la mCDB.
A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 17º
U N I
19
MATEMÁTICA
Resolución
Tema: Aplicaciónes de la congruencia
Observación
αθ
B
a
Q
A
a
O
Si AQ=QB
→ α=θ
Análisis y procedimiento
L
C30º
70º M
aA
B
aD
N
a2a
60ºxx x+40ºx+40º
40º40º
70º70º
Piden mCDB=x.Como L��
mediatriz de AD, entonces AM=MD=a
BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.
BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a.Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º
BND se cumple que x+x+40º=60º∴ x=10º
Respuesta10º
Alternativa B
PREGUNTA N.o 26¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?
ak
aαα
θ
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Tema: Teorema de correspondencia
Recuerde
Teorema de correspondencia
βω
x y
si b<w→ x<y
Análisis y procedimiento
Piden el menor valor entero de k.Dato: a es una constante
αα
θ
ak
a
agudo
C
Da
E
B
A
U N I
20
MATEMÁTICA
Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a
En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a<ak 1<k
Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.
Respuesta2
Alternativa B
PREGUNTA N.o 27Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo
equilátero, entonces el valor de área
área CEFABCD
es
igual a:
BFA
CD
E
A) 2 1−
B) 3 1−
C) 2 3 3−
D) 1
2
E) 1
3
Resolución
Tema: Área de regiones planas
Recordemos que
a. Área de la región triangular equilátera
A =2 3
4
b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal
ad
a
A =d2
2
Análisis y procedimiento
Del gráfico nos piden área
área CEFABCD
.
3a
D C
30º30º 15º
15º
a
aa
45º
45º45ºA
M
E
BF
Como AC���
es mediatriz de EF,
sea EM=MF=a → MC=a 3
y en el EAF: AM=a.
Luego, AC=a+a 3=a 3 1+( )
U N I
21
MATEMÁTICA
Ahora calculamos las áreas solicitadas.
área CEF=( )23
42a =a2 3
área ABCD=( ) ( )AC a2 2
23 12
=+( )
= + = +
aa
22
24 2 3 2 3( ) ( )
→ área
área CEFABCD
a
a=
+=
+= −
2
23
2 3
3
2 32 3 3
( ) ( )
Respuesta2 3 3−
Alternativa C
PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
A) arc tan( )2
B) arc sen( )2
C) arc cos( )3
D) arc cos( )2
E) arc cot( )3
Resolución
Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos
B
A
C
hh
D
a
En un tetraedro regular se cumple que
h
a=
63
Análisis y procedimiento
B
A
C
HH
D
a
θθ 3333
aa
Del tetraedro regular de arista lateral a
la altura DHa
=6
3.
En el AHD
AH
a=
33
tanθ =
a
a
63
33
tanθ = 2
∴ θ = arc tan 2
Respuesta
arc tan 2
Alternativa A
U N I
22
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 29Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados.
A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13
Resolución
Tema: Geometría analítica
Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.
Análisis y procedimiento
Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados.
– 2– 2
– 3– 34
(– 3; 2; 4)P
3300
4
4
J
X
Y
– 1– 1
– 1– 1– 2– 2
MM
– 3– 4
– 5S
11
1122
3344
4
2234
– 3– 3– 4– 4
13
13
13
13N
P '(3; – 2; 4)
(– 3; 2; 0)(– 3; 2; 0)
P ''
Z
(– 3; 2; – 4)
1313
Sea P ' el simétrico de P respecto de Z
, entonces P '=(3; – 2; 4)
Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ''=( – 3; 2; – 4)
En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0)
→ = + =OM 2 3 132 2
Luego, PN NP= =' 13
En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4
Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8.
Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es 8 2 13 16 13× =
Respuesta
16 13
Alternativa A
PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luegopor las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.
A) 3 3 1 3( )+ a
B) 3 3 1 3( )− a
C) 2 3 1 3( )+ a
D) 2 3 1 3( )− a
E) 43
3 1 3( )− a
Resolución
Tema: Prisma
h
BB V: volumen
V=B h
U N I
23
MATEMÁTICA
Análisis y procedimiento
Piden V.V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’
BB32a
34a3
30º E ' 'E '
h
D ' 'D '
A '
F '
M
N
C '
B '
Q
D
C
B
F
E
P
A
2a
2a
2a 2a
2a
2a
2a 2a
60º60ºR
Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah
→ V=2a2h (I)
RMN ∼ AA’N
ha
MNA N2
='
ha
a
aa
2
4 33
4 33
4=
+
→ h a= −( )3 1
Reemplazando en (I)
\ V = −( )2 3 1 3a
Respuesta
2 3 1 3−( )a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.
A) 23π B)
43π
C) 6
3π
D) 8
3π
E) 10
3π
Resolución
Tema: Cilindro
Análisis y procedimiento
Piden A base
Dato: voblicuocilindro=40π
g
HH 5
30º
30º22
22
1010secciónrecta
base
• Sabemosquev Aoblicuocilindro
rectasección= ( ) ⋅ g
Arectasección( )g=40π
π(2)2g=40π
→ g=10
• Pero
A A
rectasección base= ( )cos º30
4
32
π = ( )
A base
∴ A base = 83π
U N I
24
MATEMÁTICA
Respuesta8
3π
Alternativa D
PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.
2πR
R
O X
Y
2π
A) πR3
B) πR3
3
C) πR3
4
D) πR3
6
E) πR3
9
Resolución
Tema: Anillo esférico
A
B
ha
Recuerde que
Volumen del anillo esférico
Vesféricoanillo = πa h2
6
a: longitud de la cuerda AB
h: longitud de la proyección de AB
Análisis y procedimiento
O
A
Y
R
R
B X
2R
Piden VRS (volumen del sólido generado).
Se observa
VRS=Vesféricoanillo
Por teorema
VRS
R R=( )π 2
6
2
∴ VRSR= π 3
3
Respuesta
πR3
3
Alternativa B
U N I
25
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.
θ
θa
a
A) 2 2a
B) 3
22a
C) 2
2a2
D) 12
a2
E) 3 2
2a2
Resolución
Tema: Sólidos - Prisma
Recuerde
h
BB
Vprisma=B h
Análisis y procedimiento
θθ
BB
θaa
a
a
Piden el volumen máximo
V=b h=a2
2⋅ senθ
Para que el volumen sea máximo, senθ=1.
\ v = a2
2
Respuesta12
2a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuación trigonométrica
cos cos4
218
278
xx
− ( ) =
El número de soluciones en [0; 2π] es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Tema: Ecuaciones trigonométricas
• cos2θ=2cos2θ –1
• 2cos2θ=1+cos2θ
• cosθ=1 → θ=2nπ; n ∈Z
Análisis y procedimiento
Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación
cos cos4
218
278
xx
− =
2 2
22 72
2
cos cosx
x
− =
U N I
26
MATEMÁTICA
2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7 2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7 cosx=1→ x=0; 2πPor lo tanto, el número de soluciones de la ecuación es 2.
Respuesta2
Alternativa B
PREGUNTA N.o 35Sea f una función definida porf(x)=|arc senx|+|arc tanx|
Determine el rango de f.
A) 02
;π
B) 02
;π
C) 034
;π
D) 034
;π
E) [0; π⟩
Resolución
Tema: Funciones inversas
π2
y=|arc senx|
X1–1
Y
π2
y=|arc tanx|
Y
X
Análisis y procedimiento
f(x)=|arc senx|+|arc tanx|
f1(x)=|arc senx| → –1≤x ≤ 1
f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R
→ x ∈[– 1; 1]
Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la
función y=|arc senx|+|arc tanx|
3π4
y=f(x)
X10–1
Y
∴ Ran f ∈ 034
;π
Respuesta
034
;π
Alternativa C
U N I
27
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 36
Cuál de los gráficos mostrados representa a la función
y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo.
A)
– π/2 π/2
B)
– π/2 π/2
C) – π/2 π/2
D)
π/2 π– π/2– π
E) – π/2 π/2
Resolución
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimiento
Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p).
y=cos(2x – p)
y=cos( – (p – 2x))
y=cos(p – 2x)
y= – cos2x
Graficando y= – cos2x
y = cos2x
y = – cos2x
0
Y
–1
1
X– π/2 π/2 π– π
Respuesta
– π/2 π/2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB
= 4 unidades, calcule L LCD EF
+ 3 .
A
B
C
D
E
F
O
A) 2 2
B) 3 2
C) 4 2
D) 5 2
E) 6 2
U N I
28
MATEMÁTICA
Resolución
Tema: Área de un sector circular
SSO
A
B
Lθrad
S: área del sector circular AOB
S = L2
2θ
Análisis y procedimiento
Piden x y+ 3 .
2S2SSS 3S3Syy xx
F
O
AC
D
E
B
4θrad
• S S= ∧ =y2 2
26
42θ θ
( )
→
= → =6
2162
3 2 22y
yθ θ
• 32
642
2 2S S= ∧ =x
θ θ( )
→
= → =6
6162
2 22x
xθ θ
∴ + =x y3 4 2
Respuesta
4 2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es
β
φ X
Y
A) – 2 B) – 1 C) – 1/2 D) 1/2 E) 1
Resolución
Tema: Ángulos en posición normal
Si AO=OA’
XO
Y
A(– m; n)
A (– n; – m)'
Análisis y procedimiento
Del gráfico
β
φX
Y
P(– a; b)
P (– b; – a)'
Por definición
tan tanφ β⋅ =
−−
−
ab
ba
∴ tanf · tanb= – 1
Respuesta– 1
Alternativa B
U N I
29
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 39
Si tan54
13 5
π
=
+x, cot
32
4π
= −y , calcule x+y.
A) – 4/5 B) – 3/4 C) – 3/5
D) 5/3 E) 8/3
Resolución
Tema: Reducción al primer cuadrante
sen(p+q)= – senq cos(p+q)= – cosq tan(p+q)=tanq
Análisis y procedimiento
De
tan54
13 5
π
=
+x
tan ππ
+
=
+41
3 5x
tanπ4
13 5
=
+x
11
3 5=
+x
3x+5=1
→ = −x43
De
cot32
4π
= −y
0=y – 4
→ y=4
Nos preguntan
x y+ = − +43
4
∴ + =x y83
Respuesta83
Alternativa E
PREGUNTA N.o 40
Al determinar la forma compleja de la ecuación
(x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos
A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0
C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0
D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0
E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0
Resolución
Tema: Números complejos
• ∀ z ∈ C: |z|2=z · z
• Ecuacióndelacircunferencia
(x – x0)2+(y – y0)2=r2
o |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i
Análisis y procedimiento
Tenemos que
(x – 1)2+(y – 1)2=12
→ |z – (1+i)|2=12; z=x+yi
→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1
→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1
→ (z – (1+i))(z – (1 – i))=1
→ z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1
→ z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1
→ z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1/ – ( – 1)=1/∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
Respuesta
zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
Alternativa A
Top Related