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MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ⋅ en m.

A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2

Resolución

Tema: Semejanza de triángulos

Recuerde

αA C

B

a

b

c

M

N

m

n Lα

Según el gráfico, ABC ∼ MNL

→ = =am

bn

c

Análisis y procedimiento

Piden AP CQ⋅ .

α

α

θ

Q

θ

P3b

3a

2a

2

2

D

B

G

F

3

2b

CA

E

Según el gráfico:

ABQ ∼ FCQ

BQCQ

= 23

→ CQ=3a y BQ=2a

EAP ∼ CBP

APBP

= 23

BP=3b y AP=2b

Luego

AP=2b y QC=3a

Además

5 225

b b= → =

5 3

35

a a= → =

→ = =AP y QC45

95

∴ AP CQ⋅ = 65

Respuesta65

Alternativa C

PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

MD

A BO

C

R

A) 12 7 p B) 12 5 p C) 12 3 p

D) 24 33

p E) 24 55

p

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MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Recuerde que por relaciones métricas en el

ba h

1 1 12 2 2h a b

= =

Análisis y procedimientoPiden C.

C

BO

CM

D

A

r

rr

12

8 6

Se sabeC =2pr

AO=OB y AD // OC→ AD=2(OC)=12Por relaciones métricas en el DAB

1

8

1

12

1

22 2 2= +( )r

→ =r12 5

5

C = 24 5

5p

Respuesta24 5

5p

Alternativa E

PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.

Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B

(P exterior a AB). Si mPAB=12

mC y AP=12 u,

determine el valor de BC (en u).

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Resolución

Tema: Aplicaciones de la congruencia

Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

m m

B

A CM

m

Análisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12

6612

12

P

B

QCMA

x6

2ααα

α

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MATEMÁTICA

Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles.→ AP=AQ=12

En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.→ AM=MQ=BM=6.

El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6

Respuesta6

Alternativa D

PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor.

A) ab

a b c− + B) b

a b c+ − C)

aba b c+ +

D) ab

a b c+ − E) a

a b c+ +

Resolución

Tema: Relaciones métricas en la circunferencia

Teorema de cuerdas

y

x b

a

ab=xy

Análisis y procedimientoPiden la longitud del radio x.De la figura, por los datos se tiene queFO=x – cOG=xOM=a – xON=b – x

GO

b

a

CF

M

N

A

c x

x

x–c

b–x

B

Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM(x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2

xab

a b c=

+ −

Respuestaab

a b c+ −

Alternativa D

PREGUNTA N.o 25En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y mDAB=70º, calcule la mCDB.

A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 17º

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MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Aplicaciónes de la congruencia

Observación

αθ

B

a

Q

A

a

O

Si AQ=QB

→ α=θ

Análisis y procedimiento

L

C30º

70º M

aA

B

aD

N

a2a

60ºxx x+40ºx+40º

40º40º

70º70º

Piden mCDB=x.Como L��

mediatriz de AD, entonces AM=MD=a

BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.

BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a.Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º

BND se cumple que x+x+40º=60º∴ x=10º

Respuesta10º

Alternativa B

PREGUNTA N.o 26¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?

ak

aαα

θ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

Tema: Teorema de correspondencia

Recuerde

Teorema de correspondencia

βω

x y

si b<w→ x<y

Análisis y procedimiento

Piden el menor valor entero de k.Dato: a es una constante

αα

θ

ak

a

agudo

C

Da

E

B

A

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20

MATEMÁTICA

Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a

En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a<ak 1<k

Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.

Respuesta2

Alternativa B

PREGUNTA N.o 27Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo

equilátero, entonces el valor de área

área CEFABCD

es

igual a:

BFA

CD

E

A) 2 1−

B) 3 1−

C) 2 3 3−

D) 1

2

E) 1

3

Resolución

Tema: Área de regiones planas

Recordemos que

a. Área de la región triangular equilátera

A =2 3

4

b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal

ad

a

A =d2

2

Análisis y procedimiento

Del gráfico nos piden área

área CEFABCD

.

3a

D C

30º30º 15º

15º

a

aa

45º

45º45ºA

M

E

BF

Como AC���

es mediatriz de EF,

sea EM=MF=a → MC=a 3

y en el EAF: AM=a.

Luego, AC=a+a 3=a 3 1+( )

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MATEMÁTICA

Ahora calculamos las áreas solicitadas.

área CEF=( )23

42a =a2 3

área ABCD=( ) ( )AC a2 2

23 12

=+( )

= + = +

aa

22

24 2 3 2 3( ) ( )

→ área

área CEFABCD

a

a=

+=

+= −

2

23

2 3

3

2 32 3 3

( ) ( )

Respuesta2 3 3−

Alternativa C

PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A) arc tan( )2

B) arc sen( )2

C) arc cos( )3

D) arc cos( )2

E) arc cot( )3

Resolución

Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos

B

A

C

hh

D

a

En un tetraedro regular se cumple que

h

a=

63

Análisis y procedimiento

B

A

C

HH

D

a

θθ 3333

aa

Del tetraedro regular de arista lateral a

la altura DHa

=6

3.

En el AHD

AH

a=

33

tanθ =

a

a

63

33

tanθ = 2

∴ θ = arc tan 2

Respuesta

arc tan 2

Alternativa A

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22

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 29Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados.

A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13

Resolución

Tema: Geometría analítica

Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.

Análisis y procedimiento

Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados.

– 2– 2

– 3– 34

(– 3; 2; 4)P

QQ

3300

4

4

J

X

Y

– 1– 1

– 1– 1– 2– 2

MM

– 3– 4

– 5S

11

1122

3344

4

2234

– 3– 3– 4– 4

13

13

13

13N

P '(3; – 2; 4)

(– 3; 2; 0)(– 3; 2; 0)

P ''

Z

(– 3; 2; – 4)

1313

Sea P ' el simétrico de P respecto de Z

, entonces P '=(3; – 2; 4)

Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ''=( – 3; 2; – 4)

En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0)

→ = + =OM 2 3 132 2

Luego, PN NP= =' 13

En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4

Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8.

Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es 8 2 13 16 13× =

Respuesta

16 13

Alternativa A

PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luegopor las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 1 3( )+ a

B) 3 3 1 3( )− a

C) 2 3 1 3( )+ a

D) 2 3 1 3( )− a

E) 43

3 1 3( )− a

Resolución

Tema: Prisma

h

BB V: volumen

V=B h

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23

MATEMÁTICA

Análisis y procedimiento

Piden V.V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’

BB32a

34a3

30º E ' 'E '

h

D ' 'D '

A '

F '

M

N

C '

B '

Q

D

C

B

F

E

P

A

2a

2a

2a 2a

2a

2a

2a 2a

60º60ºR

Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah

→ V=2a2h (I)

RMN ∼ AA’N

ha

MNA N2

='

ha

a

aa

2

4 33

4 33

4=

+

→ h a= −( )3 1

Reemplazando en (I)

\ V = −( )2 3 1 3a

Respuesta

2 3 1 3−( )a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.

A) 23π B)

43π

C) 6

D) 8

E) 10

Resolución

Tema: Cilindro

Análisis y procedimiento

Piden A base

Dato: voblicuocilindro=40π

g

HH 5

30º

30º22

22

1010secciónrecta

base

• Sabemosquev Aoblicuocilindro

rectasección= ( ) ⋅ g

Arectasección( )g=40π

π(2)2g=40π

→ g=10

• Pero

A A

rectasección base= ( )cos º30

4

32

π = ( )

A base

∴ A base = 83π

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24

MATEMÁTICA

Respuesta8

Alternativa D

PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.

2πR

R

O X

Y

A) πR3

B) πR3

3

C) πR3

4

D) πR3

6

E) πR3

9

Resolución

Tema: Anillo esférico

A

B

ha

Recuerde que

Volumen del anillo esférico

Vesféricoanillo = πa h2

6

a: longitud de la cuerda AB

h: longitud de la proyección de AB

Análisis y procedimiento

O

A

Y

R

R

B X

2R

Piden VRS (volumen del sólido generado).

Se observa

VRS=Vesféricoanillo

Por teorema

VRS

R R=( )π 2

6

2

∴ VRSR= π 3

3

Respuesta

πR3

3

Alternativa B

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25

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.

θ

θa

a

A) 2 2a

B) 3

22a

C) 2

2a2

D) 12

a2

E) 3 2

2a2

Resolución

Tema: Sólidos - Prisma

Recuerde

h

BB

Vprisma=B h

Análisis y procedimiento

θθ

BB

θaa

a

a

Piden el volumen máximo

V=b h=a2

2⋅ senθ

Para que el volumen sea máximo, senθ=1.

\ v = a2

2

Respuesta12

2a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuación trigonométrica

cos cos4

218

278

xx

− ( ) =

El número de soluciones en [0; 2π] es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

Tema: Ecuaciones trigonométricas

• cos2θ=2cos2θ –1

• 2cos2θ=1+cos2θ

• cosθ=1 → θ=2nπ; n ∈Z

Análisis y procedimiento

Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación

cos cos4

218

278

xx

− =

2 2

22 72

2

cos cosx

x

− =

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26

MATEMÁTICA

2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7 2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7 cosx=1→ x=0; 2πPor lo tanto, el número de soluciones de la ecuación es 2.

Respuesta2

Alternativa B

PREGUNTA N.o 35Sea f una función definida porf(x)=|arc senx|+|arc tanx|

Determine el rango de f.

A) 02

B) 02

C) 034

D) 034

E) [0; π⟩

Resolución

Tema: Funciones inversas

π2

y=|arc senx|

X1–1

Y

π2

y=|arc tanx|

Y

X

Análisis y procedimiento

f(x)=|arc senx|+|arc tanx|

f1(x)=|arc senx| → –1≤x ≤ 1

f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R

→ x ∈[– 1; 1]

Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la

función y=|arc senx|+|arc tanx|

3π4

y=f(x)

X10–1

Y

∴ Ran f ∈ 034

Respuesta

034

Alternativa C

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27

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 36

Cuál de los gráficos mostrados representa a la función

y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo.

A)

– π/2 π/2

B)

– π/2 π/2

C) – π/2 π/2

D)

π/2 π– π/2– π

E) – π/2 π/2

Resolución

Tema: Funciones trigonométricas directas

Análisis y procedimiento

Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p).

y=cos(2x – p)

y=cos( – (p – 2x))

y=cos(p – 2x)

y= – cos2x

Graficando y= – cos2x

y = cos2x

y = – cos2x

0

Y

–1

1

X– π/2 π/2 π– π

Respuesta

– π/2 π/2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB

= 4 unidades, calcule L LCD EF

+ 3 .

A

B

C

D

E

F

O

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2

E) 6 2

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28

MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Área de un sector circular

SSO

A

B

Lθrad

S: área del sector circular AOB

S = L2

Análisis y procedimiento

Piden x y+ 3 .

2S2SSS 3S3Syy xx

F

O

AC

D

E

B

4θrad

• S S= ∧ =y2 2

26

42θ θ

( )

= → =6

2162

3 2 22y

yθ θ

• 32

642

2 2S S= ∧ =x

θ θ( )

= → =6

6162

2 22x

xθ θ

∴ + =x y3 4 2

Respuesta

4 2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es

β

φ X

Y

A) – 2 B) – 1 C) – 1/2 D) 1/2 E) 1

Resolución

Tema: Ángulos en posición normal

Si AO=OA’

XO

Y

A(– m; n)

A (– n; – m)'

Análisis y procedimiento

Del gráfico

β

φX

Y

P(– a; b)

P (– b; – a)'

Por definición

tan tanφ β⋅ =

−−

ab

ba

∴ tanf · tanb= – 1

Respuesta– 1

Alternativa B

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29

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 39

Si tan54

13 5

π

=

+x, cot

32

= −y , calcule x+y.

A) – 4/5 B) – 3/4 C) – 3/5

D) 5/3 E) 8/3

Resolución

Tema: Reducción al primer cuadrante

sen(p+q)= – senq cos(p+q)= – cosq tan(p+q)=tanq

Análisis y procedimiento

De

tan54

13 5

π

=

+x

tan ππ

+

=

+41

3 5x

tanπ4

13 5

=

+x

11

3 5=

+x

3x+5=1

→ = −x43

De

cot32

= −y

0=y – 4

→ y=4

Nos preguntan

x y+ = − +43

4

∴ + =x y83

Respuesta83

Alternativa E

PREGUNTA N.o 40

Al determinar la forma compleja de la ecuación

(x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos

A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0

C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0

D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0

E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0

Resolución

Tema: Números complejos

• ∀ z ∈ C: |z|2=z · z

• Ecuacióndelacircunferencia

(x – x0)2+(y – y0)2=r2

o |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i

Análisis y procedimiento

Tenemos que

(x – 1)2+(y – 1)2=12

→ |z – (1+i)|2=12; z=x+yi

→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1

→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1

→ (z – (1+i))(z – (1 – i))=1

→ z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1

→ z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1

→ z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1/ – ( – 1)=1/∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

Respuesta

zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

Alternativa A