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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 85

Actividad 1

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente:

• Dos rectas son paralelas en el espacio, si sus proyecciones sobre los dos planos de proyección también lo son.

1. Sea el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”) de perfil. Se toma un plano α1-α

2 de perfil, y se halla la tercera proyección tanto

del punto P como de la recta r. La proyección r’’’ corta a los planos de proyección en Hr’’’ y V

r’’’.

2. Por P’’’ se traza s’’’, paralela a r’’’ y se obtienen las trazas Hs’’’ y V

s’’’. La recta s’-s’’ pasa por P’-P’’ y es paralela a

r-r’’ que se define por sus trazas Hs’ y V

s’’.

SISTEMA DIÉDRICO II

TEMA 9

V’’’V’’

P’’’P’’

P’

V’’

H’

H’

V’H’’

V’H’’

s’’ r’’

r’s’

α

α

s’’’2

1

r’’’

V’’’

H’’’ H’’’

rr

s

s

r

s

s

r

r

s

s r

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 86

Actividad 2

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente:

• Dos planos α(α1-α

2) y β(β

1-β

2) son paralelos en el espacio, si las trazas del mismo nombre también lo son.

Actividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontalActividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontalActividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontalActividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontalActividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontal

1. Se dibuja el plano α(α1-α

2) proyectante horizontal, y el punto P(P’-P”).

2. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la horizontal r(r’-r”), siendo r’ paralela a α1.

3. La traza vertical de la recta r es el punto V” y por éste pasa la traza β2, paralela a α

2.

4. La traza horizontal β1 coincide con r’.

Actividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante verticalActividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante verticalActividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante verticalActividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante verticalActividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante vertical

1. Se dibuja el plano α(α1-α

2) proyectante vertical, y el punto P(P’-P”).

2. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la frontal r(r’-r”), siendo r” paralela a α2.

3. La traza horizontal de la recta r es el punto H’ y por éste pasa la traza β1, paralela a α

1.

4. La traza vertical β2 coincide con r’’.

P’’

P’

r’’V’’

V’

r’

α β

α

β

22

1

1

P’’

r’’

H’’

H’ P’

r’

αβ

αβ

2

2

11

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 87

Actividad 3

1. Se dibuja el plano α(α1-α

2) paralelo a L.T., y el punto P(P’-P”).

2. Se traza una recta oblicua r(r’-r”) cualquiera contenida en el plano α(α1-α

2).

3. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la recta oblicua s(s’-s”) paralela a la r(r’-r”), siendo s’ paralela a r’ y s” paralelaa r”.

4. Se determinan las trazas Hs(H

s’-H

s”) y V

s(V

s’-V

s”) de la recta s.

5. Por la traza vertical Vs” pasa la traza β

2, paralela a α

2, y por la traza horizontal H

s’ la traza β

1, paralela a α

1.

P’’

s’’

s’

V’’

H’

H’

H’’ H’’V’

r’’V’’

r

s

r

r s

s

s

P’

α

β

α

β

2

2

1

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 88

Actividad 4

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta los teoremas siguientes:

• Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, la s, es paralela a un plano β, sobre el que seproyectan, las proyecciones de ambas son dos rectas r’ y s’ perpendiculares.

• Si una recta r es perpendicular a un plano α, la proyección r’ de la recta sobre un plano (por ejemplo, el plano H)y la intersección del plano con el de proyección, traza α1

, son dos rectas perpendiculares.

Actividad 4-1º: plano perpendicular a una recta verticalActividad 4-1º: plano perpendicular a una recta verticalActividad 4-1º: plano perpendicular a una recta verticalActividad 4-1º: plano perpendicular a una recta verticalActividad 4-1º: plano perpendicular a una recta vertical

El plano perpendicular a una recta vertical es uno paralelo al PH y, por lo tanto, sólo tiene traza vertical α2, paralela

a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a lasproyecciones del mismo nombre de la recta.

1. Se dibuja la recta r(r’-r”) vertical, y el punto P(P’-P”); se determina la traza horizontal Hr(H

r’-H

r”) de la recta r.

2. Basta trazar por P’’ la traza α2 paralela a L.T. ya que así el punto P’-P’’ pertenece al plano α(α

2).

Actividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano verticalActividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano verticalActividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano verticalActividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano verticalActividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano vertical

El plano perpendicular a una recta perpendicular al plano vertical es uno paralelo al PV y, por lo tanto, sólo tiene trazahorizontal α

1, paralela a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán

perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

1. Se dibuja la recta r(r’-r”) perpendicular al plano vertical, y el punto P(P’-P”).

2. Basta trazar por P’ la traza α1 paralela a L.T., ya que así el punto P’-P’’ pertenece al plano α(α

1).

P’’

H’

H’’r’

r’’

P’

α2

P’’

V’

V’’

r’

r’’

P’ α1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 89

Actividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontalActividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontalActividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontalActividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontalActividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontal

El plano perpendicular a una recta horizontal es un plano proyectante horizontal y, por lo tanto, la traza horizontal α1

contiene a P’ y α2 es perpendicular a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas

serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

1. Se dibuja la recta r(r’-r”) horizontal de plano, y el punto P(P’-P”).

2. Por P’ pasa α1 y es perpendicular a r’. La traza α2 pasa por N y es perpendicular a la L.T. y por lo tanto a r’’.

Actividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontalActividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontalActividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontalActividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontalActividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontal

El plano perpendicular a una recta frontal es un plano proyectante vertical cuya traza vertical α2 contiene a P” y α

1 esperpendicular a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendicularesa las de proyecciones del mismo nombre de la recta.

1. Se dibuja la recta r(r’-r”) frontal de plano, y el punto P(P’-P”).

2. Por P’’ se traza α2 perpendicular a r’’ y α

1 perpendicular a r’.

P’’

N

r’

V’’

V’

r’’

P’

α

α

1

2

P’’

N

r’

H’’

H’

r’’

P’

α

α

1

2

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 90

AAAAActividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de perctividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de perctividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de perctividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de perctividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de perfil que corfil que corfil que corfil que corfil que corta a la L.Tta a la L.Tta a la L.Tta a la L.Tta a la L.T.....

El plano perpendicular a una recta de perfil es un plano paralelo a la L.T. y, por lo tanto, las trazas α1-----α2 son paralelas

a la L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a lasproyecciones del mismo nombre de la recta.

Se da la recta r(r’-r’’) que es de perfil, corta a L.T. y está definida por el punto A(A’-A’’). También tenemos el punto P(P’-P’’) por donde ha de pasar el plano perpendicular a r. Se pasa a tercera proyección el punto A(A’-A’’) en A’’’, la recta r enr’’’ y el punto P(P’-P’’) en P’’’. Por P’’’ se traza la perpendicular α

3 a r’’’ y obtenemos las trazas α

1 y α

2 del plano solución.

Actividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisectorActividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisectorActividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisectorActividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisectorActividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisector

Tenemos la recta r(r’-r’’) de perfil y que es perpendicular al primer bisector por tener sus trazas H’ y V’’ equidistantesde L.T. Tenemos también el punto P(P’-P’’) por donde ha de pasar el plano α perpendicular a la recta r. Se pasa a terceraproyección la recta r en r’’’ y el punto P en P’’’. Por P’’’ se traza la perpendicular a r’’’ y obtenemos α

3 que corta a los

planos H y V en α1 y α

2. Obsérvese que al devolver α

1 a proyecciones las dos trazas α

1 y α

2 coinciden, lo que indica que

es un plano paralelo a L.T. y perpendicular al 2º bisector.

P’’ P’’’

r’

H’’V’’H’V’

r’’

A’’ A’’’

r’’’

A’

P’

αα

α

αα

1

1

2

23

P’’

r’

H’’

V’’

H’

V’

r’’

V

H

P’’’

r’’’

P’

α

αα

α−

α

1

2

2

1

3

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 91

Actividad 5

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta los teoremas siguientes:

• Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, la s, es paralela a un plano β, sobre el que seproyectan, las proyecciones de ambas rectas r’ y s’ son perpendiculares.

• Si una recta r es perpendicular a un plano α, la proyección r’ de la recta sobre un plano (por ejemplo, el plano H) yla intersección del plano con el de proyección, traza α1

, son dos rectas perpendiculares.

Actividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontalActividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontalActividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontalActividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontalActividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontal

La recta perpendicular a un plano frontal, es decir, paralelo al vertical, es una recta perpendicular al plano V, y, por lotanto, sólo tiene traza vertical V(V’-V”); su proyección r’ es perpendicular a L.T., y r” es un punto; por otro lado, se sabe,que las trazas del plano serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

Tenemos el plano frontal α(α1) y el punto P(P’-P’’). La recta perpendicular por P a α tiene su proyección r’ perpendicular

a α1 por P’ y r’’ coincide con P’’ y con su traza vertical V’’. En tercera proyección se aprecia con claridad el problema.

P’’ V’’ r’’≡ ≡

V’

r’

P’’’V’’’ r’’’

P’

α

α

1

3

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 92

Actividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontalActividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontalActividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontalActividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontalActividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontal

La recta perpendicular a un plano horizontal, es decir, paralelo al horizontal H, es una recta vertical o perpendicularal plano H, y, por lo tanto, sólo tiene traza horizontal H(H’-H”); su proyección r” es perpendicular a L.T., y r’ es un punto.

Tenemos el plano horizontal α(α2) y el punto P(P’-P’’). La recta perpendicular por P a α tiene su proyección r’’

perpendicular a α2 por P’’ y r’ coincide con P’ y con su traza horizontal H’. En tercera proyección se aprecia con claridad

el problema.

P’ H’

r’’

P’’

r’≡ ≡

H’’

P’’’

H’’’

r’’’

α α2 3

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 93

AAAAActividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.Tctividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.Tctividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.Tctividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.Tctividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.T.....

La recta perpendicular a un plano paralelo a la L.T. es una recta de perfil.

El problema se resuelve en la tercera proyección. Tenemos el plano α(α1-α

2) paralelo a la L.T. y en α

3 en tercera

proyección. Tenemos el punto P(P’-P’’) que pasamos a P’’’. Por P’’’ trazamos r’’’ perpendicular a α3, obteniendo las

trazas H’’’ y V’’’ que se devuelven a las proyecciones r’-r’’ en H’ y V’’. Como se ve la recta es de perfil (proyeccionesconfundidas pasando por P’-P’’ y perpendicular a α

1 y α

2). La única parte oculta es el segmento H’-H’’.

r r r r

r r

Actividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontalActividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontalActividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontalActividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontalActividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontal

La recta perpendicular a un plano proyectante horizontal es una recta horizontal de plano, y, por lo tanto, r” esparalela a la L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas del plano seránperpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

Sea el plano α(α1-----α2

) proyectante horizontal y el punto P’-P’’. Por las proyecciones P’-P’’ trazamos las perpendicularesa las trazas α

1 y α

2 respectivamente y tenemos como solución la recta horizontal r’-r’’.

r’’

P’’

H’’’

V’’’V’’H’

P’

r’

H’’V’ r

rr

r

r

r

P’’’

r’’’

α

α

α

2

1

3

r’’ P’’ V’’

V’

P’

r’

α

α

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 94

Actividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante verticalActividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante verticalActividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante verticalActividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante verticalActividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante vertical

La recta perpendicular a un plano proyectante vertical es una recta frontal de plano, y, por lo tanto, r’ es paralela ala L.T.

Tenemos el plano α(α1-----α2

) proyectante vertical y el punto P’-P’’. Como en el ejercicio anterior por P’ y P’’ se trazan lasperpendiculares a α

1 y α

2 respectivamente obteniendo las proyecciones r’ y r’’.

Actividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisectorActividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisectorActividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisectorActividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisectorActividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisector

Las trazas de un plano perpendicular al segundo bisector están en línea recta.

La recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisector es una recta oblicua, y, por lo tanto, tiene dostrazas, la vertical y la horizontal; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas delplano serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

Dado el plano α(α1-----α2

) y el punto P(P’-P’’), las proyecciones r’-r’’ de la recta perpendicular a α pasan por P’ y P’’ y sonperpendiculares a α

1 y α

2 respectivamente. Se indican las trazas de la recta.

r’’

P’’

H’’

H’P’r’

α

α

2

1

V’’

r’’

P’’

H’’

H’

V’

P’

r’

αα2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 95

Actividad 6

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

·•Dos planos son perpendiculares, cuando contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro.

• Dos rectas que pasan por un punto, es decir, que se cortan, forman un plano.

Tenemos el plano α(α1-----α2

) perpendicular al 2º bisector, el plano β(β1-----β2

) que pasa por L.T. y por el punto A(A’-A’’).Hay que trazar por el punto P(P’-P’’) dado, el plano perpendicular a α y β. Por P se traza la recta s(s’-s’’) perpendiculara α y la recta r(r’-r’’) perpendicular a β, lo que se hace en tercera proyección pasando por el punto P’-P’’ a P’’’ y el planoβ a β

3 por medio del punto A’’’.

Uniendo las trazas del mismo nombre H’r-H’

s y V

r’’-V

s’’ de las rectas r y s se tienen las trazas δ

1 y δ2 del plano

solución.

A’’’

s’’

A’’

r’’

P’’

s’

P’

A’r’

V’’ V’’

V’’V’

H’

H’

H’’ H’’

V’’’

H’’’ N

r’’’

P’’’

s r

rs

r

s

r s

r

r

α βδ

β

δ

β

α2

32

1

1

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 96

Actividad 7

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente:

• Dos planos α(α1-----α2

) y β(β1-----β2

) son paralelos en el espacio, si las trazas del mismo nombre también lo son.

Actividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la rectaActividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la rectaActividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la rectaActividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la rectaActividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la recta

1. Se dibujan los puntos A(A’-A”-A’’’) y B(B’-B”-B’’’) y se traza la recta r(r’-r”-r’’’) que forman ...

2. Definimos las trazas horizontal H(H’-H”-H’’’) y vertical V(V’-V”-V’’’) de la recta r.

3. Como el plano solución ha de contener a r y ser paralelo a L.T., basta trazar por H’ y V’’ las paralelas a L.T. ytendremos las trazas β

1 y β

2 del plano.

r r

r’’

B’

r’

V’’

A’’A’’’

A’

V’

H’

H’’

H’’’

V’’’

r’’’

B’’ B’’’

r

r

r

r

r

r

α β

β

β

α

23

1

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 97

Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto P(6,4,7)P(6,4,7)P(6,4,7)P(6,4,7)P(6,4,7)

Partimos del plano (β1-β

2 -β

3 ) obtenido del apartado anterior.

1. Se dibuja el punto P(6,4,7).

2. Pasamos el punto a tercera proyección P’’’ y por P’’’ se traza el plano δ3 paralelo a β3 y se obtienen las trazas δ1 y δ2

del plano pedido.

P’’

6

4

7

P’’’

P’

α

ββ

β

δ

δ

δ

α

2

2

3

1

1

2

3

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 98

Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta ABABABABAB y el punto y el punto y el punto y el punto y el punto C(2,1,-2)C(2,1,-2)C(2,1,-2)C(2,1,-2)C(2,1,-2)

Partimos de los puntos A y B y de la recta r(r’-r”) obtenidos en el apartado 77777-1º1º1º1º1º.

1. Se dibuja el punto C(2,1,-2).

2. Se traza la recta t(t’-t”) que pasa por los puntos B(B’-B”) y C(C’-C”); se determinan sus trazas Ht(Ht’-Ht”) yVt(Vt’-Vt”).

3. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas Ht’-H

r’ y V

t”-V

r” obtenemos las trazas (ε

1-ε

2) del plano solicitado.

V’’

H’’

H’

V’’

C’’

C’

t’

t’’

V’V’H’’

H’

r’

B’

A’

B’’

A’’

r’’

ε

α

α

ε

2

2

1

1

r

t

t

t

t

r

r

r

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 99

Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo a éste que pase por el punto Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo a éste que pase por el punto D(0,2,2)D(0,2,2)D(0,2,2)D(0,2,2)D(0,2,2)

Partimos del plano ε(ε1-ε

2) obtenido en el apartado anterior.

1. Se dibuja el punto D(0,2,2).

2. Se sitúa una recta horizontal de plano cualquiera a(a’-a”) sobre el plano dado ε(ε1-ε2).

3. Por el punto D(D’-D”) se hace pasar la recta b(b’-b”), paralela a la a(a’-a”), y se determina su traza vertical Vb(V

b’-

Vb”).

4. Por la traza vertical Vb” pasa la traza γ

2, paralela a ε

2, y por el punto N, donde la traza ε

2 corta a la L.T., se dibuja latraza horizontal γ

1, paralela a ε

1.

N

V’’

V’’ a’’

a’

V’

b’’ D’’

b’

D’

V’

α

α

ε

ε

γ

γ

2

1

1

2

1

2

b

s

sb

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ES

CR

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 100

Actividad 8

1. Se dibujan las trazas β1-β

2 de un plano oblicuo cualquiera.

2. Sobre la L.T. se sitúa un punto A(A’-A”-A’’’) cualquiera.

3. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por A”, r”perpendicular a β

2 y por A’, r’ perpendicular a β1.

4. Sobre esta recta r(r’-r”), se sitúa un punto B(B’-B”-B’’’) cualquiera, y se determina su proyección de perfil B’’’.

5. Se dibujan las proyecciones (δ1-----δ2-----δ3

) del plano solución, teniendo en cuenta, que la proyección de perfil δ3 debe

contener a r’’’ y a B’’’, y pasar por la L.T.

B’’’

r’’’r’’

B’’

A’’’A’’A’

B’

r’

N

α

β

δδ

δ

αβ

2

2

21

3

1

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 101

Actividad 9

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

• Todos los puntos del segundo bisector tienen las proyecciones confundidas, y las trazas de un plano perpendicularal segundo bisector están en línea recta.

• La distancia D de un punto P a un plano α, se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano dado;se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida.

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

• Para hallar el punto de intersección de una recta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que lacontenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es laintersección de la recta r con el plano dado.

1. Representamos un plano α(α1-α

2) perpendicular al segundo bisector, y situamos un punto P(P’-P”) en el primer

diedro.

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’, r’perpendicular a α

1, y por P”, r” perpendicular a α

2; se determinan las trazas horizontal H(H’-H”) y vertical V(V’-V”)

de la recta r.

3. Se dibuja un plano auxiliar cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el proyectante horizontal β(β1-β

2).

4. Se determina la recta i(i’-i”) de intersección del plano auxiliar β(β1-β2) con el plano dado α(α1-α2).

5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos la proyección horizontal I’(i’-r’)y vertical I”(i”-r”) del punto de intersección I de la recta r con el plano dado.

6. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d”. Por P’se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitudde la distancia en el espacio.

También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientosde los dos puntos.

V’’

r’’

I’’

d’’

r’

V’ H’’

H’

V’’

V’

d’

P’

N H’

H’’

i’ ≡

I’

D

h

i

i

i

i

h

P’’

i’’

α

β

α

β

2

2

1

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 102

Actividad 10

1. Representamos un plano β(β1-----β2-----β3

) paralelo a la L.T., y dibujamos un punto P(P’-P”-P’’’) situado en el segundodiedro.

2. La distancia se puede obtener directamente en verdadera magnitud sobre la tercera proyección.

Se pasa el plano β a β3 y el punto P(P’-P’’) a P’’’. Por P’’’ la recta r’’’ perpendicular a β

3 nos da el punto N’’’. La

distancia real es D = P’’’-N’’’ y en proyecciones P’N’, P’’-N’’.

P’’’ P’’

N’

N’’

P’

N’’’

r’’’

D

β

β

β

1

3

2

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 103

Actividad 11

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

• Las proyecciones r’ y r” de una recta r contenida en el primer bisector forman el mismo ángulo con L.T.

• La distancia D de un punto P a una recta r, se determina trazando el plano α perpendicular a r por el punto P; sehalla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida.

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

• Para hallar el punto de intersección de una recta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que lacontenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es laintersección de la recta r con el plano dado.

1. Representamos la recta r(r’-r”) y el punto P(P’-P”) dados.

2. Por el punto P(P’-P”) se traza el plano perpendicular a la recta r(r’-r”); para ello, por el punto dado P(P’-P”), se hacepasar una recta del plano que se busca y de la cual conocemos su dirección; esta recta puede ser una frontal s(s’-s”); s’ pasa por P’, es paralela a L.T., y s”, perpendicular a r”, pasa por P”.

3. Se halla la traza horizontal Hs’ de la recta s y por este punto pasa la traza α

1, perpendicular a r’; por el punto N,

intersección de α1 con L.T, se traza α

2, perpendicular a r”.

4. Se halla el punto de intersección de la recta r(r’-r”) con el plano α(α1-α2); para ello:

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r, en este caso el proyectante vertical β(β1-β

2).

• Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el α(α1-α

2); la traza horizontal H

i’-H

i” de la recta i es el

punto de intersección de las trazas α1 y β

1; la traza vertical V

i’-V

i”de i es el punto de intersección de las trazas α2

y β2; uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’(H

i’-V

i’) y

vertical i”(Hi”-V

i”) de la recta intersección.

• En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontalesI’(i’-r’) y verticales I”(i”-r”) del punto I(I’-I”) de intersección.

5. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d”. Por I”se traza la perpendicular a d” y sobre ella se lleva la suma de alejamientos h. El segmento P”M es D, verdaderamagnitud de la distancia en el espacio.

También se puede tomar como cateto la proyección horizontal d’ y como otro cateto, la diferencia de las cotas de losdos puntos.

D

h

M

V’’

H’’ H’’H’

I’

i’

V’

=

=

V’ V’’H’’

H’

H’

s’’

s’

r’

d’’

d’

N

h

I’’

i

s rr

ri r

i

i

s

P’’

P’

r’’ i’’≡≡

α

α

β

β

2

1

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 104

Actividad 12

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

1. Obsérvese la figura del espacio. El triángulo PNB es el que hay que construir. Para ello se abate el punto P sobre elplano H en P

o. El cateto PN es igual a la hipotenusa NM del triángulo MP’N.

2. Conociendo NP y la hipotenusa PB = 6 unidades, basta desde Po cortar a la L.T. con radio igual a 6 unidades. Los

puntos A’-A’’ y B’-B’’ son la solución.

c = 3

P’’

A

P

MB

6

6

N

P’

Po

c =

3

a =

46

P

B’-B’’A’-A’’N

P’’

P’ M

o

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 105

Actividad 13

Actividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazasActividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazasActividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazasActividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazasActividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazas

PPPPPrimer método: utilizando el plano de perrimer método: utilizando el plano de perrimer método: utilizando el plano de perrimer método: utilizando el plano de perrimer método: utilizando el plano de perfil, es decirfil, es decirfil, es decirfil, es decirfil, es decir, las proyecciones de per, las proyecciones de per, las proyecciones de per, las proyecciones de per, las proyecciones de perfil.fil.fil.fil.fil.

1. Dibujar las trazas H(H’-H”-H”’) y V(V’-V”-V’’’) de la recta de perfil r.

2. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r limitada por sus trazas H y V.

Segundo método: por medio de las proyecciones Segundo método: por medio de las proyecciones Segundo método: por medio de las proyecciones Segundo método: por medio de las proyecciones Segundo método: por medio de las proyecciones d’d’d’d’d’ y y y y y d”d”d”d”d”.....

1. Dibujar las trazas H(H’-H”) y V(V’-V”) y las proyecciones r’-r” de la recta de perfil r.

2. Se toma sobre L.T. a partir de V’ el alejamiento h de H’ y el segmento NV’’ es la distancia D en verdaderamagnitud.

D

D

V’’ V’’’

r’’’

H’’’

N

d’’

V’H’’

h

d’

H’

r’

h

r’’

α

α

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 106

Actividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntosActividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntosActividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntosActividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntosActividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntos

1. Dibujar los puntos A(A’-A”-A’’’) y B(B’-B”-B’’’) y la recta de perfil r(r’-r”-r’’’) que forman.

2. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por los puntos A y B y limitada por sustrazas H y V.

Actividad 13-3º:Actividad 13-3º:Actividad 13-3º:Actividad 13-3º:Actividad 13-3º: la recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de losla recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de losla recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de losla recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de losla recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de losplanos de proyecciónplanos de proyecciónplanos de proyecciónplanos de proyecciónplanos de proyección

Sea el punto A(A’-A”-A’’’), y la recta r(r’-r”-r‘’’) que, pasando por A, forma 60º con el plano de proyección H.

1. Dibujar el punto A(A’-A”-A’’’) y la proyección de perfil r’’’ que forma 60º con el plano H.

2. Determinamos H’’’ y V’’’, puntos de intersección de r’’’ con el plano de perfil α1-----α2

, y definimos el resto de proyecciones.El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por el punto A y el ángulo de 60º conel plano horizontal y limitada por sus trazas H y V.

D

V’’V’’’

r’’’

A’’’’

H’’’

d’’

A’’

V’H’’

r’

A’

B’

d’

H’

r’’

B’’ B’’’

α

α

2

1

D

V’’ V’’’

r’’’

A’’’’

H’’’

60o

d’’

A’’

V’H’’

r’

A’

H’

d’

r’’

α

α

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 107

Actividad 13-4º:Actividad 13-4º:Actividad 13-4º:Actividad 13-4º:Actividad 13-4º: la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a L.TL.TL.TL.TL.T.....

Sea el punto A(A’-A”-A’’’), y la recta r(r’-r”-r’’’) que, pasando por A, dista de la L.T. el valor x = 29 mm.

1. Dibujar el punto A(A’-A”-A’’’), y la circunferencia de radio 29 mm, y centro en L.T., punto O.

2. Por A’’’ se traza la proyección r’’’, tangente a la circunferencia de radio x, y obtenemos H’’’ y V’’’ trazas de la recta r.

3. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por el punto A y la distancia a la L.T. ylimitada por sus trazas H y V.

D

29 mm

V’’V’’’

r’’’

T’’’

x

O

A’’’’

H’’’

d’’

A’’

V’

H’’

r’

A’

H’

d’

r’’

α

α

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 108

Actividad 14

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

• La distancia D de un punto P a un plano β, se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano dado;se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida.

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

• Para hallar el punto de intersección de una recta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que lacontenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es laintersección de la recta r con el plano dado.

• La proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión quela recta original.

AAAAActividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.Tctividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.Tctividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.Tctividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.Tctividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.T.....

1. Representamos un plano β(β1-β

2-β

3) paralelo a la L.T. y dibujamos un punto P(P’-P”-P’’’) situado en el primer diedro.

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’, r’perpendicular a β

1, por P”, r” perpendicular a β

2, y por P”’, r”’ perpendicular a β

3.

3. En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta r

con el plano dado.

4. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’, y la verdaderamagnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una rectaparalela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyecciónsobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

D

r’’

P’’

I’’

r’’’

P’’’

H’’’

I’’’

d’’

V’ H’’

r’

H’V’’

I’

P’

V’’’

d’

β

β

α

β

α

2

3

2

1

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 109

AAAAActividad 14-2º: el plano está deterctividad 14-2º: el plano está deterctividad 14-2º: el plano está deterctividad 14-2º: el plano está deterctividad 14-2º: el plano está determinado por minado por minado por minado por minado por L.TL.TL.TL.TL.T. . . . . y un puntoy un puntoy un puntoy un puntoy un punto

1. Representamos el plano β(β1-β

2-β

3) que pasa por L.T. y el punto A(A’-A”-A’’’), y dibujamos un punto P(P’-P”-P’’’)

situado en el primer diedro.

2º Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’, r’perpendicular a β

1, por P”, r” perpendicular a β

2, y por P’’’, r’’’ perpendicular a β

3.

3º En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta rcon el plano dado.

4º Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’, y la verdaderamagnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una rectaparalela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyecciónsobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

D

P’’

I’’

r’’

r’’’P’’’

A’’’

I’’’

d’’

A’’

r’

A’

I’

P’

d’

β

βα

β

α

2

3

2

1

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 110

Actividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea rectaActividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea rectaActividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea rectaActividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea rectaActividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea recta

PPPPPrimer caso:rimer caso:rimer caso:rimer caso:rimer caso: se trata de un plano paralelo a la L.T. que, pasando por 1º, 2º y 3º diedros, es perpendicular al 2ºbisector.

1. Representamos el plano β(β1-β

2-β

3) que es paralelo a la L.T. y perpendicular al 2º bisector, y dibujamos un punto

P(P’-P”-P’’’) situado en el primer diedro.

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’, r’perpendicular a β1, por P”, r” perpendicular a β2, y por P’’’, r’’’ perpendicular a β3.

3. En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta r

con el plano dado.

4. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’, y la verdaderamagnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una rectaparalela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyecciónsobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

D

P’’

45o

=

I’’

r’’ r’’’

H’’’

V’’’

P’’’

I’’’d’’

V’H’’

r’

H’

I’

P’

d’

βα

β β

α

32

1 2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 111

Segundo caso:Segundo caso:Segundo caso:Segundo caso:Segundo caso: se trata de un plano perpendicular al 2º bisector.

1. Representamos un plano α(α1-α

2) perpendicular al segundo bisector, y situamos un punto P(P’-P”) en el primer

diedro.

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’, r’perpendicular a α

1, y por P”, r” perpendicular a α

2; se determinan las trazas horizontal H

r(H

r’-H

r”) y vertical

Vr(V

r’-V

r”) de la recta r.

3. Se dibuja un plano auxiliar cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el proyectante horizontal β(β1-β2).

4. Se determina la recta i(i’-i”) de intersección del plano auxiliar β(β1-β

2) con el plano dado α(α

1-α

2).

5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos la proyección horizontal I’(i’-r’)y vertical I”(i”-r”) del punto de intersección I de la recta r con el plano dado.

6. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d”. Por P’se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitudde la distancia en el espacio.

También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientosde los dos puntos.

D

P’’

I’’

i’’r’’

V’’

H’’V’ H’’V’

V’’

H’

H’

r’ ≡ i’

I’

d’

P’

N

hr

rr i

i

i

i

r

h

d’’

α

β

β

α2

1

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 112

Actividad 15

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

• La distancia D de un punto P a una recta r, se determina trazando el plano α perpendicular a r por el punto P; sehalla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida.

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

• Para hallar el punto de intersección de una recta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que lacontenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es laintersección de la recta r con el plano dado.

• La proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión quela recta original.

AAAAActividad 15-1º: a la L.Tctividad 15-1º: a la L.Tctividad 15-1º: a la L.Tctividad 15-1º: a la L.Tctividad 15-1º: a la L.T.....

PPPPPrimer método:rimer método:rimer método:rimer método:rimer método: utilizando el plano de perfil, es decir, las proyecciones de perfil.

1. Dibujar el punto P(P’-P”-P’’’).

2. Por este punto, se traza la recta r(r’-r’-r”-r’’’), que corta a L.T. y es perpendicular a ella; se determinan las trazasH(H’-H”-H’’’) y V(V’-V”-V’’’) de la recta de perfil r.

3. El segmento H’’’P’’’ es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Segundo método:Segundo método:Segundo método:Segundo método:Segundo método: por medio de las proyecciones d’ y d”.

1. Dibujar el punto P(P’-P”).

2. Dibujar las trazas H(H’-H”) y V(V’-V”) y las proyecciones r’-r” de la recta de perfil r.

3. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son P’-P” y V’-V”, y la distancia es d’-d”. Por P”se traza la perpendicular a d” y sobre ella se lleva la diferencia de alejamientos h = H’P’. El segmento V”N es D,verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

D

D

h

r’’

P’’

d’’

h d’

P’

r’

H’’ H’

V’’’

P’’’

r’’’

N

H’’’V’≡V’’

α

α

2

1

Page 29: SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato · PDF fileA SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 86 Actividad 2 Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta

GE

OM

ET

RÍA

D

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CR

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TIV

A

SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 113

AAAAActividad 15-2º: a una paralela a L.Tctividad 15-2º: a una paralela a L.Tctividad 15-2º: a una paralela a L.Tctividad 15-2º: a una paralela a L.Tctividad 15-2º: a una paralela a L.T.....

PPPPPrimer método:rimer método:rimer método:rimer método:rimer método: utilizando el plano de perfil, es decir, las proyecciones de perfil.

1. Dibujar el punto P(P’-P”-P’’’) y la recta r(r’-r”-r’’’), paralela a L.T.

2. Por este punto, se traza la recta s(s’-s”-s’’’), perpendicular a r; se determina el punto I(I’-I”-I’’’) de intersección de rcon i.

3. El segmento I’’’P’’’ es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Segundo método:Segundo método:Segundo método:Segundo método:Segundo método: por medio de las proyecciones d’ y d”.

1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), paralela a L.T.

2. Por este punto, se traza la recta s(s’-s”), perpendicular a r; se determina el punto I(I’-I”) de intersección de r con i.

3. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d”. Por I”se traza la perpendicular a d” y sobre ella se lleva la diferencia de alejamientos h = I’P’. El segmento P”N es D,verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

D D

P’’P’’’

s’’

d’’

hd’

P’

I’r’

r’’

s’

I’’h

s’’’

Nr’’’≡ I’’’

α

α

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 114

Actividad 15-3º: a una recta situada en el plano verticalActividad 15-3º: a una recta situada en el plano verticalActividad 15-3º: a una recta situada en el plano verticalActividad 15-3º: a una recta situada en el plano verticalActividad 15-3º: a una recta situada en el plano vertical

1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), situada en el plano vertical.

2. Por el punto P se traza el plano β1-β

2, perpendicular a r, que es proyectante vertical; la traza β

2 pasa por P’’ y es

perpendicular a r’’.

3. El punto de intersección de r y β es I’-I’’, estando I’ en L.T., es decir, en r’.

4. La distancia en proyecciones es d’-d’’ y en verdadera magnitud es D.

D

P’’

d’’

d’

P’

I’r’

r’’

I’’

hh

N

β

β

2

1

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SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 115

Actividad 15-4º: a una recta cualquieraActividad 15-4º: a una recta cualquieraActividad 15-4º: a una recta cualquieraActividad 15-4º: a una recta cualquieraActividad 15-4º: a una recta cualquiera

Tomamos una recta cualquiera, por ejemplo, la recta r(r’-r”), horizontal de plano.

1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), horizontal de plano; determinar su traza vertical Vr(V

r’-V

r”).

2. Por el punto P(P’-P”), se traza el plano perpendicular a la recta r(r’-r”); para ello, por el punto dado P(P’-P”), se hacepasar una recta del plano que se busca y de la cual conocemos su dirección; esta recta puede ser la horizontals(s’-s”); s” pasa por P” y es paralela a L.T., y s’, perpendicular a r’, pasa por P’.

3. Se halla la traza vertical Vs’’ de la recta s y por este punto pasa α

2, perpendicular a r’’; por V

s’ se traza α

1 perpendicular

a r’.

4. Se halla el punto de intersección de la recta r(r’-r”) con el plano α(α1-----α2

); para ello:

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r, en este caso, el proyectante horizontal β(β1-----β2

).

• Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el α(α1-----α2

); la recta intersección es una recta perpendicularal plano horizontal; la traza horizontal H

i’-H

i” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α

1 y β1, su

proyección horizontal i’ es un punto que coincide con Hi’, y su proyección vertical i”, perpendicular a L.T., pasa por

Hi”.

• En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontalesI’(i’-r’) y verticales I”(i”-r”) del punto I(I’-I”) de intersección.

5. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d”. Por P’,se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitudde la distancia en el espacio.

También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientosde los dos puntos.

D

d’’

d’

N

P’

i’≡ ≡

I’

i’’

H’’

H’

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V’

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β

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1

1