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EJERCICIOS

2.1. Remítase a la figura 2.3.Calculese a la probabilidad de k eventos independientes en

los m intervalos de duración Δt unidades de tiempo, si la probabilidad de un evento en

cualquier intervalo es de p, mientras que la probabilidad de no evento es q = 1 - p.

Muéstrese como se obtiene la distribución binomial de la ecuación (2.4).

DESARROLLO

Muéstrese como se obtiene la distribución binomial de la ecuación (2.4).

k

(k) ; ; ; 1

n!;q 1

(n k)!k!

lim

n!lim 1

(n k)!k!

n(n 1)(n 2)(n k 1)lim 1

n !

n(n 1lim

:

1

k n k

n

n k

k n k

n

k m k

n

nk

n

n

k

np p q np p p q

k

n

k n

np q

y

n n

k n

n

si

n

k

)(n 2)(n k 1) 1 2 1lim 1 1 .... 1 1

n

lim 11

1 11 1 1lim 1

lim1 1! !

(n)!

n

k

n

nn nn

n

n

k k

k

k

n n n

n

en n nn

e e

e

k k

Pk

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2.2. En el problema 2.1, sea p= Δt, donde es un factor de proporcionalidad. Esto

relaciona entonces la distribución binomial con el proceso de Poisson. Sea Δt →0,

con T = mΔt fijo. Muéstrese que en el límite se obtiene la distribución de Poisson de la

ecuación (2.1). Muéstrese que el valor medio E(k) y la varianza σk2 son iguales a T.

¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra alguna llegada en el intervalo T? Grafíquese

ésta como una función de T. Repítase para la probabilidad de que ocurra al menos una

llegada de T.

DESARROLLO

Muéstrese que el valor medio E(k) = T.

0

0 0 0 0

10

0

(k)

(k)

(k) 1

(k)

!

: u

!

(k)! (k 1)! (k 1)!

(k) u u u u u(k 1)!

E(k) u

(k)

n

u

u

u

k

T

k

u

u

k k ku u u

u u u u

ku u u u u

u

p e

p e

p

kp k ke e e

e e e e e

T

k

si T

u

k

u u uE

k k

uE

T

E T

Muéstrese que la varianza 2

k =T.

Grafíquese ésta como una función de T. Repítase para la probabilidad de que ocurra al

menos una llegada en T.

( , )

!

k

TP k T eT

k

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2.3. Calcúlese y grafique la distribución de Poisson dada por la ecuación (2.1) para los

tres casos T= 0.1, 1, 10. En el tercer caso trátese de calcular y graficar para al menos k

= 20. (La aproximación de Stirling para el factorial puede ser útil.) ¿ Comienza la

distribución a acumularse y a formarse un pico en E(k) como lo predice la razón de

cambio k/E(k)=1

T?

( , )

!

k

TP k eT

Tk

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2.4. Llévense a cabo los detalles del análisis que dan como resultado las ecuaciones

(2.10) y (2.11), mostrando que la suma do Poisson es también de Poisson.

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2.5. Remítase a la ecuación dependiente del tiempo (2.12a) que gobierna la operación de

la cola M/M/1. Iníciese en el tiempo t=0 con la cola vacía (¿Cuáles son entonces los

valores de pn(0)?).

Hágase λ/μ=0.5 para simplificar, tómese Δt = 1 y escójase un λΔt y un μΔt muy pequeñas

de manera que puedan ignorase términos de orden (Δt)2 y mayores. Escríbase un

programa que recursivamente calcule Pn(t+Δt) conforme t aumenta por Δt y muéstrese

que pn(t) finalmente cae en el conjunto de probabilidades de estado estacionario {pn,

tómese el valor máximo de n como 5. El conjunto de probabilidades de estado

estacionario obtenido deberá concordar con la ecuación (2.20). Nota: La ecuación (2.12a)

debe modificarse un poco al calcular p0(t+Δt) y p5(t+Δt). Tal vez se quiera plantear el

problema en forma de matriz-vector.

DESARROLLO:

Realizando iteraciones en la ecuación el sistema se observa en la siguiente tabla

T/P(n) P0(T) P1(T) P2(T) P3(T) P4(T) P5(T) Sumatoria

0 1 0 0 0 0 0 1

1 0,9 0,1 0 0 0 0 1

2 0,83 0,16 0,01 0 0 0 1

3 0,779 0,197 0,023 0,001 0 0 1

4 0,7405 0,2204 0,036 0,003 0,0001 0 1

5 0,71053 0,23553 0,04784 0,00572 0,00037 0,00001 1

6 0,686583 0,245492 0,058185 0,008862 0,000833 0,000044 0,999999

7 0,6670231 0,2521397 0,0670511 0,0121885 0,0014781 0,0001141 0,9999946

8 0,65074873 0,25661032 0,07458744 0,01553268 0,00227634 0,00022768 0,99998319

9 0,63699592 0,25961959 0,08097878 0,01878689 0,00319224 0,00038701 0,99996042

10 0,62522025 0,26162906 0,08640448 0,02188715 0,00419066 0,00059013 0,99992172

11 0,61502403 0,26294326 0,09102347 0,02479958 0,0052402 0,00083216 0,99986271

12 0,60611028 0,26376738 0,09497067 0,0275101 0,00631453 0,00110653 0,99977949

13 0,59825273 0,26424233 0,09835823 0,03001704 0,00739249 0,00140602 0,99966884

14 0,59127592 0,26446655 0,1012784 0,03232625 0,00845765 0,00172347 0,99952824

15 0,58504164 0,26450986 0,10380678 0,03444774 0,00949767 0,00205219 0,99935589

16 0,57943945 0,26442242 0,10600528 0,03639363 0,01050358 0,0023863 0,99915067

17 0,57437999 0,2642407 0,10792467 0,03817679 0,01146913 0,00272077 0,99891204

18 0,56979013 0,26399142 0,10960669 0,03981005 0,01239023 0,00305145 0,99863996

19 0,5656094 0,26369434 0,11108584 0,04130575 0,01326445 0,00337504 0,99833482

20 0,56178733 0,26336415 0,11239067 0,0426755 0,0140907 0,00368897 0,99799731

21 0,55828142 0,26301177 0,11354498 0,04393005 0,01486883 0,00399135 0,99762842

22 0,55505564 0,26264538 0,11456868 0,0450793 0,01559946 0,00428083 0,99722928

23 0,55207915 0,26227106 0,11547847 0,04613227 0,01628372 0,00455653 0,9968012

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24 0,54932545 0,26189335 0,11628849 0,04709718 0,01692313 0,00481794 0,99634555

25 0,54677157 0,26151559 0,11701072 0,0479815 0,0175195 0,00506487 0,99586375

26 0,54439753 0,26114021 0,11765536 0,04879202 0,01807477 0,00529736 0,99535727

27 0,54218582 0,26076897 0,11823118 0,04953491 0,01859102 0,00551563 0,99482753

28 0,54012104 0,2604031 0,1187457 0,05021576 0,01907033 0,00572004 0,99427597

29 0,53818955 0,26004341 0,11920545 0,05083967 0,01951481 0,00591106 0,99370396

30 0,53637928 0,25969044 0,11961609 0,05141127 0,01992655 0,00608923 0,99311286

31 0,53467944 0,25934445 0,11998256 0,05193481 0,02030756 0,00625511 0,99250393

32 0,53308039 0,25900557 0,1203092 0,05241414 0,02065979 0,00640933 0,99187842

33 0,53157346 0,25867378 0,12059983 0,05285277 0,02098514 0,00655251 0,99123749

34 0,53015087 0,25834896 0,12085781 0,05325395 0,02128538 0,00668527 0,99058224

35 0,52880558 0,25803092 0,12108615 0,05362062 0,02156221 0,00680823 0,98991371

36 0,5275312 0,25771943 0,12128752 0,05395549 0,02181726 0,00692198 0,98923289

37 0,52632197 0,25741423 0,12146431 0,05426105 0,02205203 0,00702711 0,98854069

38 0,52517262 0,25711502 0,12161865 0,05453957 0,02226794 0,00712418 0,98783798

39 0,52407836 0,2568215 0,12175247 0,05479315 0,02246635 0,00721372 0,98712556

40 0,52303482 0,25653338 0,12186751 0,05502372 0,02264851 0,00729624 0,98640419

41 0,52203802 0,25625035 0,12196534 0,05523306 0,02281558 0,00737222 0,98567456

42 0,52108429 0,25597212 0,12204739 0,05542279 0,02296865 0,00744211 0,98493734

43 0,52017028 0,25569839 0,12211494 0,05559442 0,02310876 0,00750634 0,98419313

44 0,51929293 0,25542889 0,12216918 0,05574934 0,02323684 0,00756532 0,9834425

45 0,51844941 0,25516335 0,12221118 0,05588883 0,02335379 0,00761941 0,98268596

46 0,51763714 0,25490152 0,12224193 0,05601405 0,02346041 0,00766896 0,98192402

47 0,51685373 0,25464317 0,12226231 0,05612611 0,02355749 0,00771432 0,98115713

48 0,51609699 0,25438805 0,12227316 0,05622601 0,02364572 0,00775577 0,9803857

49 0,5153649 0,25413597 0,12227522 0,05631466 0,02372576 0,00779361 0,97961012

50 0,51465561 0,25388671 0,12226918 0,05639294 0,02379822 0,0078281 0,97883076

La ultima columna verificando la sumatoria de todas las probabilidades

Ahora si calculamos las probabilidades con la ecucaiones 2.20 nos da:

P(0) 0,50793651

P(1) 0,25396825

P(2) 0,12698413

P(3) 0,06349206

P(4) 0,03174603

P(5) 0,01587302

Bastante cercano a lo que tenemos en la tabla.

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2.6. Derívese la ecuación (2.15), la cual gobierna las probabilidades de estado

estacionario de la cola M/M/1, de dos maneras:

1. De la ecuación generadora inicial (2.12).

K

2. A partir de argumentos debalance deflujos que incluyen transiciones entre estados n-

1,n, y n + 1, como se indica en la figura 2.11.

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2.7. Como una generalización de análisis de la cola M/M/1, considérese un proceso de

nacimiento-muerte con llegadas independientes del estado λn y salidas dependientes de

estado μn. (Véanse la Figs.2.24 y 2.25.) Muéstrese, aplicando argumentos de balance,

que la ecuación que gobierna las probabilidades de estado estacionario está dada por:

(n + μn)pn = n-1 pn-1 + μn+1pn + 1

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DESARROLLO:

1) Teniendo presente las figuras 2.24, 2.25 y resolviendo por inspección con las

siguientes consideraciones:

a. Hacia el estado nE “cuando el sistema contiene n elementos” se produce un flujo de

entrada desde los estados 1nE y 1nE , que dan una tasa global de llegada al estado nE

de:

1 1 1 1. .n n n nP P

b. Desde el estado nE se produce un flujo de salida hacia los estados 1nE y 1nE que dan

una tasa global de salida del estado nE de:

. .n n n nP P

c. Para que el sistema esté en equilibrio ambas tasa deben equilibrarse, es decir, ser

iguales, de donde se deduce inmediatamente:

1 1 1 1. . . .n n n n n n n nP P P P

Simplificando se obtiene la ecuación de las probabilidades de estado estacionario:

1 1 1 1( ). . .n n n n n n nP P P

2)Demostración de la solución de la ecuación de balance (Ec. 2.40):

Para 0n

0 0( 0 1).P 1. P 1 1.P 0 0 1 1. .P P

01 0

1

.P P

Para 1n

1 1 1 0 0 2 2( ). . .P P P 01 0 1

1

. .P

0

.

10P 0 0. P 2 2.P

0 12 0

1 2

.P P

Para 2n

2 2 2 1 1 3 3( ). . .P P P 12 1 2

2

. .P

1

.

21P 1 1. P 3 3.P

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0 1 23 0

1 2 3

.P P

En general

00

0 1 0

1

.

n

n ii n i

nn

i ii

i

PP P

P

2.8. Considéreme el análisis de la cola M/M/1. Muéstrese que la probabilidad de estado

estacionario, pn, está dada por

pn = ρnp0 ρ ≡ /μ

de dos maneras:

1. Muéstrese que esta solución para pn satisface la ecuación (2.15), que gobierna la

operación de la cola.

2. Muéstrese que la ecuación de balance pn = μpn+1 o pn+1= ρpn satisface la

ecuación(2.15). Itérese entonces n veces.

Calcúlese po para la cola finita M/M/1 y muéstrese que pn está dada por la ecuación

(2.20).

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2.9. Muéstrese que la probabilidad de bloqueo PB de la cola M/M/1 finita está dada por

PB=PN mediante la igualación de la tasa neta de llegada λ(1—PB) a la tasa promedio de

salida μ(1-P0) y resolviendo para PB.

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2.10. Considérese una cola M/M/1 finita capaz de acomodar N paquetes (usuarios).

Calcúlense los valores N requeridos por las siguientes situaciones:

1. ρ = 0.5, PB=10-3,1-6

2. ρ =0.8, PB = 10-3,10-6

Compárense los resultados obtenidos.

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2.11. La probabilidad pn, de que una cola infinita M/M 1 se halle en estado n está dada

por:

pn=(1— ρ)pnρ =λ/ μ

A. Muéstrese que la ocupación promedio de la cola está dada por

E(n)= / (1 )n

nPn

B. Grafíquese pn como una función de n para ρ = 0.8.

C. Grafíquese E(n) contra ρ y compárese con la figura 2.17.

( ) (1 ) nP n 0.8

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( )(1 )

E n

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2.12. La ocupación promedio del área de almacenamiento temporal de un multiplexor

estadístico (o concentrador de datos) se calcula para varios casos. (En un dispositivo de

este tipo los paquetes de entrada de las terminales conectadas a él se almacenan en

orden de llegada en un área de almacenamiento temporal y después se leen con una

política de servicio "primero que llega-primero en ser atendido" sobre un enlace de

transmisión de salida.) Se usara un modelo de área de almacenamiento infinita M/M/1

para representar el concentrador.

1. Diez terminales están conectadas al multicanalizador estadístico. Cada una genera,

enpromedio, un paquete de 960 bits, que se suponen con distribución exponencial,

cada 8s. Se usa una línea de salida de 2400 bits/s.

2. Repítase si cada terminal genera ahora en promedio un paquete cada 5 s.

3. Repítase el punto 1 anterior si se conectan 16 terminales.

4. Ahora se encuentran conectadas 40 terminales y se usa una línea de salida de 9600

bits/s.Repítase 1 y 2 para este caso. Auméntese ahora la longitud promedio del

paquete a 1600 bits. ¿Cuál es la ocupación promedio del área de almacenamiento

temporal si se genera un paquete cada 8 s en cada terminal? ¿Qué pasaría si se

permitiera a cada terminal aumentarsu tasa de generación de paquetes a 1 por cada 5

s en promedio? (Sugerencia: Seria apropiado usar un modelo de la cola M/M/1 finita

dejando a la propia elección el tamaño del área de almacenamiento temporal.)

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2.13. Considérese la cola M/M/1 finita con capacidad máxima para N paquetes.

A. Muéstrese que la probabilidad de bloqueo es PB = 1/(N + 1) para ρ=1.

B. Grafíquese PB= PN para todos los valores de ρ, 0 ρ∞ para N = 4 y N =19.

c. El rendimiento se define como ɣ=λ(1—PB). Grafíquese ɣ/μ (el rendimiento normalizado)

como función de ρ = λ/μ (carga normalizada) para 0 ρ∞ N = 4 y N =19. Compárese.

1

(( )

1 ),

1

N

B NP N

0 4N 19N

1

(( )

1 ), 1

1

N

NN

0 4N 19N

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2.14. Remítase al problema 2.12. Encuéntrese el retardo medio E(T) y el tiempo promedio

deespera E(W) en cada caso.

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2.15. Úsese la figura 2.23 para probar que la fórmula de Little se aplica en la política de

servicio UEPS.

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2.16. Dibújense diagramas de llegada-salida propios para un sistema arbitrario de

formación de colas, como en las figuras 2.22 y 2.23, comparando las políticas de servicio

PEPS y UEPS. Llévese a cabo una prueba propia para la fórmula de Little.

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2.17. Considérese en cola M/M/2 analizada en el texto. Derívese la ecuación (2.43), la

expresión para la probabilidad de ocupar un estado y la ecuación (2.44), la del promedio

de ocupación de la cola. Grafíquese μE(T) (tiempo normalizado de retardo) contra λ, la

tasa promedio de llegada (carga en el sistema) para la cola M/M/2, y compárese con dos

casos de servidor único: una cola M/M/1 con tasa de servicio μ y una cola M/M/1 con tasa

de servicio 2μ. Verifíquese la figura 2.27.

/ /1( )1

1M ME T

0 1

/ /1, 2( )1

1M ME T

0 1

2

/ /2 2( )

1

1M ME T

0 1

2

Page 22: Solucionario Capitulo 2 - Mischa Schwartz Telecommunication Networks

2.18. Remítase a los ejemplos de servidor múltiple (0 amplio) y de cola con desaliento

analizados en el texto. Muéstrese que la distribución de probabilidad de estado y la

ocupación promedio de la cola están dadas, en ambos ejemplos, por la ecuación (2.47)

con la ecuación (2.48), y la ecuación (2.49), respectivamente. Sin embargo, el tiempo

promedio de retardo y desempeño son diferentes en ambos casos. Calcúlense estas dos

cantidades en los dos casos y compárense.

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2.19. Considere una cola con un proceso general de salida (servicio) dependiente de

estado μ.

A. Explíquese porqué el rendimiento promedio está dado por = 1

1N

n

nPn

B. Tómese el caso especial de la cola M/M/2. μn = μ, n = 1; μn =2μ, n 2. Muéstrese que

=μp1+2μ(1-p0-p1). Muéstrese que justamente = λ, si p1 y p0 se calculan de manera

explícita usando la ecuación (2.41).

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2.20. Un sistema de formación de colas soporta N paquetes, incluyendo el o los que están

en servicio. La tasa do servicio es independiente de estado, con μn = n, 1 nN. Las

llegadas son de Poisson, con tasa promedio .

A. Muéstrese que la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n es la

distribución de Erlang de la ecuación (2.54).

B. Muéstrese que el número promedio en el sistema está dado por la ecuación (2.56).

C. Muéstrese que el desempeño promedio es =E(n), de dos maneras:

1. Úsese = 0

0N

n

npn.

2. = (1-PB), donde PB es la probabilidad del bloqueo.

C. El teorema de Little dice que aquí E(T)=E(n)/=1/. Explíquese este resultado (es decir,

no hay tiempo de espera).

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2.21. Un sistema de formación de cola tiene dos líneas de salida, usadas en forma

aleatoria por los paquetes que requieren servicio. Cada una trasmite a velocidad de μ

paquetes/s. Cuando ambas líneas estarán transmitiendo (sirviendo) paquetes, éstos son

bloqueados a su entrada; es decir, no hay almacenamiento temporal en este sistema. Los

paquetes tienen longitud con distribución exponencial; las llegadas son de Poisson, con

tasa promedio λρ = λ/μ = 1.

A. Encuéntrese la probabilidad de bloqueo PB, de este sistema.

B. Encuéntrese el número promedio, E(n), en el sistema.

C. Encuéntrese el rendimiento normalizado /μ, con como el desempeño normalizado,

en paquete/s.

D. Encuéntrese el retardo promedio E(T) a través del sistema, en unidades 1/μ. (De

manera alternativa, encuéntrese E(T)/1/μ).

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2.22. Un concentrador de datos tiene 40 terminales conectadas. A cada terminal llegan

paquetes con longitud promedio de 680 bits. Se agregan a cada paquete 40 bits de

información de control antes de que se trasmitan sobre un enlace de salida con

capacidad de C = 7200 b/s.

A 20 de las terminales llega en promedio un paquete/10 s.

A 10 de las terminales llega en promedio un paquete/5 s.

A 10 de las terminales llega en promedio un paquete/2.5 s.

Las estadísticas de llegada son de Poisson.

a. Las unidades de datos transmitidas (llamadas tramas) tienen longitud con

distribución exponencial. Encuéntrese (1) el tiempo promedio de espera en la cola,

sin incluir el tiempo de servicio, y (2) el número promedio de paquetes en el

concentrador, incluyendo al que está en servicio.

b. Repítase si todos los paquetes son de la misma longitud.

c. Repítasesi el segundo momento de la longitud de la trama es E(τ2) = 3(1/)2; y 1/

es la longitud promedio de la trama.

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2.23Remítase a la derivación de las fórmulas de Pollaczek-Kinchine en el texto.

A. Derívese la ecuación (2.69), la expresión general para el numero promedio de usuarios

en cola.

B. Para el caso de llegadas de Poisson, calcúlense E(ν) y σν2, siguiendo el procedimiento

del texto, y muéstrese que resultan las ecuaciones (2.74) y (2.76).

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2.24. Se transmiten sobre una red datos dos tipos de paquetes. Los de tipo 1, paquetes

de control, todos de 48 bits de longitud; los de tipo 2, paquetes de datos, de 960 bits de

longituden promedio. Los enlaces de transmisión tienen una capacidad de 9600 b/s. Los

paquetes de datos tienen una varianza 22 = 2(1/2)

2, siendo 1/μ2 la duración en segundos

promedio del paquete. Los paquetes de control del tipo 1 constituyen un 20% del tráfico

total. La utilización global de trafico sobre un enlace de transmisión es ρ = 0.5.

a. Se usa una política de servicio PEPS (servicio sin prioridad). Muéstrese que el tiempo

promedio de espera para ambos tipos de paquetes es E(W) = 148 ms.

b. A los paquetes de control (tipo 1) se les asigna prioridad sin interrupción. Muéstrese

que el tiempo de espera de estos paquetes se reduce a E(W1)=74.5 ms, mientras que el

tiempo de espera de los paquetes de datos (tipo 2) aumenta ligeramente E(W2)=149 ms.

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2.25. Muéstrese que el tiempo promedio de espera de clase p en un sistema de prioridad

sin interrupción esta dado por la ecuación (2.84).