Reg. Automática II 1

SISTEMAS DISCRETOS SISOCurso 10/11

Coordinador: Prof. Roberto González

Profesor: Pablo San Segundo

Despacho: C-206

Tutorías: Lunes 15:30h-17:30h

Martes 10:00h-12:00h

Reg. Automática II 2

TRANSFORMADA Z

{ } /k kx x ∈ℜ { }( )k

kk k

kz Z x x z z

=+∞−

=−∞

Χ = = ⋅ ∈∑

{ }0

1kk kZ zδ δ

+∞−= ⋅ =∑

{ } 1 2 1

01

11 1 11 1

kk k

zZ u u z z z z zz z

+∞− − − −

−= ⋅ = + + + = = < → >− −∑

{ }0

1 11

0

1( ) 11 ( )

k k k k zZ a a z a z a z z aa z z a

+∞ +∞− − −

−= ⋅ = ⋅ = = ⋅ < → >− ⋅ −∑ ∑

0

( )n

nn

n

S z a Z=+∞

=

= ∑•Si converge, converge absolutamente

•Dominio de convergencia es el interior de una bola

0

( ) nn

nn

S z a Z=+∞

=

−= ∑ •Serie de potencias de términos negativos

•Dominio de convergencia es el exterior de una bola

Ejercicios

Transformada Z con sólo términos k positivosControl

Dominio de convergencia

Reg. Automática II 3

PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z

Linealidad

{ } { } { } { }[ ]k k k kZ x Z y Z x yα β α β+ = +

D.C. al menos la intersección de ambos dominios pudiendo ser el mayor

Desplazamiento

{ } { } ( )n nk n kn Z x z Z x z X z− −−∀ ∈ = = { } { }(( ))k n n

k k kk n k n n

k n k n k n k nk

kk

nk

Z x x z z x z z Zx z z x=+∞ =+∞ =+∞

− −− − −−

− − −− − − −

=−∞ =−∞ =−∞

= = = =∑ ∑ ∑

Multiplicación por sucesión de potencias

{ } { }1( ) ( )kk kZ a x X a z donde Z x X z−= ⋅ =

{ } { } { } { }2 1 2 [ ] ?k kk k k kx y Z x y= = − + =

Ejemplo

{ } 1 1( ) ( )k k

k k k kk k k

k kZ a x a x z x a z X a z

=+∞ =+∞− − − −

=−∞ =−∞

= = =∑ ∑

{ }1

11( )

1 1ku kz a z zX Z u X a z

z a z z a

−−

−= = = =− − −

Aplicación

{ } { } 1( )k

k kk uZ a Z a u X a z−= =

, 0z a a> >

D.C.Términos negativos

Reg. Automática II 4

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Diferenciación

{ } { }1 1( ) k k kd X z z Z r x z Z k xdz

− −= − ⋅ = − ⋅Válido en el dominio de convergencia

{ }1 1 1( ) ( )k k k k

k k k kk k k k k

k k k k

d d dX z x z x z x k z z k x z z Z k xdz dz dz

=∞ =∞ =∞ =∞− − − − − − −

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

= = = − =− ⋅ ⋅ = − ⋅∑ ∑ ∑ ∑Demostración

Aplicación { } { } { } ?k kZ r Z k u Z k= ⋅ = =

{ } { } { }2 21 1

2

1 1( ) ( )1 ( 1) ( 1)( 1)ku k k k

d d zX z z Z k u z Z k u zZ k udz z z z z zd

− −− −= − ⋅ = = ⇒ − ⋅ = ⋅ =⇒

−− − −

Convolución discreta

{ } { }n n

k k k n k n n k nn n

h x y x y y x=+∞ =+∞

− −=−∞ =−∞

= ∗ = =∑ ∑

0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 1 0 2h x y h x y x y h x y x y x y= = + = + +

{ } { }( ) ( ) ( )k kZ x y X z Y z∗ = ⋅

Método de la malla

0x

0h

¿Interpretación gráfica?

Reg. Automática II 5

PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z

Tma del valor inicial Secuencias índices positivos

0 lim ( )z

x X z→∞

= Como los dominios de convergencia son del tipo la expresión es válida siemprez ρ>

01( ) ( ) ?

1 1zX z X z x

z z= = =

− −

Aplicación

Tma del valor final Secuencias índices positivos

1

11lim( ) ( )z

x z X z−∞ →

−=0

lim ( )s

s F s→

⋅Sistemas continuos

Aplicable en el dominio de convergencia

Aplicaciones1( ) ( ) ?

1 1zX z X z x

z z ∞= = =− −

( ) ?8

zX z xz ∞= =−

. 8!!!Dom Convergencia z≡ >

Reg. Automática II 6

ANTITRANSFORMADA ZResiduos

{ }11 1

2 2

k

kk

Cpolos

polosC

Sea X( z ) Z x

x X( z ) z dz F( z ) Re sdzj j

[ F( z )]π π

−

=

= ⋅ = =∫ ∑∫

Camino debe englobar todos los polos de F(z)

AplicaciónzX( z )

z a=

−

Repaso Tª de Residuos

a

f ( z )analítica z a ε< +

Cf ( z )Re s [ ] f ( a )z a

=−

2C z af ( z ) dRe s [ ] f ( z )| f '( a )

( z a ) dz == =−

111

n

C z an

f ( z ) dRe s [ ] f ( z )|( z a ) ( n )! dz

−

==− −

Polos múltiples

Aplicación 3Cf ( z )Re s [ ] ?

( z a )=

−

3

12C

f ( z )Re s [ ]( z a

f ' ))

'( a=−

{ }1k

k

p a

z zZ ( ) Re s( ) az a z a

−

=

= =− −∑

121

zZ ( ) ?( z )

− =−

{ }121

zZ ( )( z )

k− =−

Reg. Automática II 7

ANTITRANSFORMADA ZDivisión larga Secuencia de términos positivos (k>0)

División de términos en potencias de z-1

Aplicación 53 2

zX( z )( z )( z )

=− −

2 11 1 2 3

2 1 15 5 5 5 193 2 1 3 1 2

z z zX( z ) ( z z z )( z )( z ) z ( z )( z )

− −− − − −

− − −

⎛ ⎞= = = + + +⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

53 2

zX( z )( z )( z )

=− −Aplicación

3 3 2523 2 3 2 3 2

Az A B X( z )B( z )( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )

=⎧ ⎡ ⎤= + ⇒ = −⎨ ⎢ ⎥= −− − − − − −⎩ ⎣ ⎦

{ } { }1 1 1

05 3 3 23 225

3 2k k

kXX( z )

( z ) ( z)

)( z− − −

≥

⎡ ⎤= − ⎡ ⎤= −⎣⇒⎥− − ⎦⎢

⎣ ⎦

Linealidad

Descomposición en fracciones simples + Linealidad

¿Dom. convergencia?

1( ) ( ) ?1

zX z X zz

−= =−

Reg. Automática II 8

SISTEMAS DISCRETOS

{ }kx { }ky{ }kg { }kg ≡ Secuencia de ponderación

Convolución

{ } { } { } ( ) ( ) ( )k k k Y z G zg Xy x z= ∗ =⇒ { }kg ≡ Secuencia salida ante entrada { }kδ

Secuencias fundamentales para control

{ } { } { }1,0,0 1, kk Zδ δ= =

{ } { } { } { } { } { }1111,1,1, 0,

11,1,

1k kk kzZ u Z u

zu u

z− −= =−

= =−

{ } { } { } { } 20,1,2,3,( 1)kk

zZ rz

r k =−

= =

{ } { } { } { } { }230,1,4,9,16 ( 1)

( 1)kk kz zr pk Zp kz

= ⋅ =+−

= =

Aplicación

{ } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =

Reg. Automática II 9

SISTEMAS DISCRETOS{ }kx { }ky{ }kg

{ } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =

Convolución

0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 00 2 6y x g y x g x g y x g x g x g= ⋅ = = ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Aplicando definición convolución { } { }n n

k k k n k n n k nn n

y x g x g g x=+∞ =+∞

− −=−∞ =−∞

= ∗ = =∑ ∑

Sumas desplazadas { } { } { } { }0 1 1 2 2k k k ky x g x g x g− −= + + +

{ }{ }{ }

2 0,1,2,1,0,0,0,

2 0,0,1,2,1,0,0,

1 0,0,0,1,2,1,0,

+

+

0x

1x

2x

{ } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =Malla

{ } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =

112102242022420

1210

{ }kg

{ }kx

Reg. Automática II 10

SISTEMAS DISCRETOS-ECUACIONES EN DIFERENCIAS{ }kx { }ky

{ }kg

1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x− − − − − −=

Causalidad Ec. En diferencias

Sistemas LTI

1 1 2 2 0 1 1( ) k k k n k n k k m k mI y a y a y a y b x b x b x− − − − −+ + + + = + + +

Tomando transformada Z en (I) a cada lado y aplicando linealidad y desplazamiento

1

1 20 1 2

1 21 2

2 11 2 0 1

( )(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1)

m

n

m

n m

nn

mY z a z Y z a z Y z a z Y z b X z b

Y z b

z

b z b z b zX z a z a z a

X z b

z

z X z− − − − −

− − −

− − −

+ + + +=

+ + +

+ + + + = + + +

+

⇒

Expresiones canónicas de sistemas discretos físicamente realizables

1 1 2 102 11 k k k n k n k k m k my a y a y a y x xb b b x− − − − −⋅ + + + + = ⋅ + + +

0 0,n ma a b b ctes− −

Reg. Automática II 11

RETARDO DE UN SISTEMA DISCRETO{ }kx { }ky

{ }kg

1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x− − − − − −=Ecuación en diferencias

Diferencia de índices de mayor grado entre entrada y salida

Forma canónica

Índice de la primera potencia del numerador

Expresión en potencias de Z

Diferencia de grados entre denominador y numerador

Aplicación{ }kx { }ky

1z

z −

Forma canónica:1

11 z−−

Ec. en diferencias: 1k k ky y x−− =

Sistemas causales

Reg. Automática II 12

EJERCICIOS Junio 2006

Soluciones

1. Sí. El sistema se puede pasar a la forma canónica de la Ec. en diferencias

2. El retardo es la unidad

Reg. Automática II 13

SISTEMAS MUESTREADOS

Transformadas discretas

{ } { } { } )( ) (j sw Z ejwk

ksk

kk

k kZ

ke

s jwk F x L x s xw x ex eZ x Z σχ χ+∞

=−= +

−

+∞−

−

+−

−∞ ∞∞

∞=⎯ = = ⎯⎯⎯ ⎯ =→ == ⎯ →∑ ∑ ∑

Zeta Fourier Laplace

2wT π=

Muestreo de señales continuas con periodo T

{ } { } { }) ( )(j swT T Z ejw k

k k s js k

k kZ

ke

wk T

k L x LZ F x F wx x Z sx e x e+∞+∞

−

−

=−=

−∞

+=

∞−

−∞ ∞

⎯⎯⎯→ = = ⎯⎯ =⎯ =→=∑ ∑ ∑

2wT

Tπ

=2

sT jTπσ= +

2sT jσ π= +

{ } { }/

/

1( ) ( )2 /

TjwkT

kT kT

x kT x x F w e dwT

π

ππ −

= = = ⋅∫

Anti-transformada Fourier

{ }( ) TkTx t x⎯⎯→

jwtF( x( t )) f ( t )e dt+∞ −

−∞= ∫ { }kF x ?=

Aplicación

{ }{ } { }

1 2

? ?

1

k k

kZ z z

x x

x

F L

− −= + + +

= =

Reg. Automática II 14

TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (I){ } ( )kx x kT≡

TX(t)

jwtc( w ) x( t ) e dtχ

+∞−

−∞

= ⋅∫jwkT

d k( w ) x eχ+∞

−

−∞

= ⋅∑

Relación entre transformadas de Fourier contínua y discreta

d c x( kT )( w ) ( w )|χ χ=Razonamiento{ }

/

/

( ) ( )2

TjwkT

k dT

TII x w e dwπ

π

χπ −

= ⋅∫

1 11 12 2

kTt k

jwt jwc c x( cT )kT( I ) x( t ) ( w ) F( w ) e dw x( ) ( w )| ( w ) e dwχ χ χ

π π

+∞ +∞− − −

−∞ −∞== = ⋅ ⇒ = = ⋅∫ ∫

{ }/

/

1( ) ( ) ( )2 2

TjwkT jwkT

k d cT

TIII x w e dw w e dwπ

π

χ χπ π

+∞

− −∞

= ⋅ = ⋅∫ ∫1 2( ) ( )

r

d cr

rX w X wT T

π=+∞

=−∞

= +∑

Tπ

Tπ−

d ( w )χ

oωoω−

1T

No periódica Periódica:2Tπ

Tπ

Tπ−

c( w )χ1

oωoω−

Tma de Shannon

No periódica2TπPeriódica:

NfFrec. de Nyquist (angular)

Señal de banda limitada

Reg. Automática II 15

TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (II){ } ( )kx x kT≡

TX(t)

jwtc( w ) x( t ) e dtχ

+∞−

−∞

= ⋅∫jwkT

d k( w ) x eχ+∞

−

−∞

= ⋅∑

Tma de Shannon

Si entonces se puede reconstruir la señal muestreada sin pérdida de información

o Tπω <

Otra formulación de Tma de Shannon

Tπ

Tπ−

d ( w )χ

oωoω−

1T

T Reconstrucción

Nf angular( rad / seg )

1NFrecuencia de Nyquist: f (rad seg )

Tπ −= ⋅1

sFrecuencia de muestreo: fT

=0

2 2 2N sf fω

π π< =

Una señal muestreada puede reconstruirse sin pérdida de información siempre que la frecuencia de muestreo sea mayor que el doble de la frecuencia(Hz) base del último armónico

2s

( HZ )f f Base del último armónico de X ( w ) X( w ) F( x( t ))> =

Reg. Automática II 16

SELECCIÓN PERIODO DE MUESTREO(I){ } ( )kx x kT≡

TX(t)

Objetivos teóricos•T lo más alto posible

•T cumpla Shannon (muestreo ideal)

Elección del periodo de muestreo para señales

A-Señal de banda limitada (wo)0

2 2sf ω

π=

B-Señal x(t) de banda no limitada

2s

( HZ ) elegif f armónico de X( w ) X ( w ) F( x )d )o ( t= =

No es posible, en general

1T

Tπ

Tπ−

c( w )χ1

oωoω−

Tπ

Tπ−

d ( w )χAliasing

5f ( t ) sen( t ) T ?= =

Aplicación

0sf

ωπ

Reg. Automática II 17

SELECCIÓN PERIODO DE MUESTREO(II){ } ( )kx x kT≡

TX(t)

Sistemas 1er Orden

Sistemas

Mínimo 30 muestras antes de estabilización 10T τ≅

3 3 1330 10 10s

K / ag(s) ts a a a

T ττ= → ≅ ⋅ = = = =+ ⋅

Demostración

Sistemas 20 Orden

Mínimo 30 muestras antes de estabilización

Mínimo 10 muestras por oscilación

110

Tσ

≅

5 d

TWπ

≅

Demostración 130 30 10s

stt Tπ π

σ σ σ≅ ⇒ ≅ ≅ ≅

2 210 10 5

pp

d d d

tt T

W W Wπ π π⋅

≅ ⇒ ≅ ≅ ≅

110 5 d

T min( , )Wπ

σ=

Reg. Automática II 18

EJERCICIOS Muestreo

0,110

T sτ≅ =

Polo Real Simple Parte oscilatoria2 0,05

10 d

T sWπ

≅ ≅

Junio 2007

Reg. Automática II 19

RECONSTRUCCIÓN DE LA SEÑAL{ } ( )kx x kT≡

TX(t) Bloq

X(t)

h(t)

jwkTd k( w ) x eχ

+∞−

−∞

= ⋅∑ jwtc( w ) x( t ) e dtχ

+∞−

−∞

= ⋅∫H( w )

No periódica

PeriódicaNo periódica

S. Híbridos

Ec. Fundamental

( ) ( )kk

x t x h t kT+∞

=−∞

= ⋅ −∑( ) ( ) ( )c dw w H wχ χ= ⋅

( ) ( ) ( )c ds s H sχ χ= ⋅

Bloqueador ideal Filtro de paso bajo

Tπ

Tπ−

idealH ( w )

oωoω−

1T

T 1

( ) ( )

1( ) ( )( )

( )

2 2

2 2

T Tjwt jwt

T T

t tj jT Twjwt T

wT

h t

T

TH w H w e dw e dw

T T e eejt t j

tsent T

π π

π π

π ππ

π ππ

π

π

π

π

−

− −

−

=

−=

= = = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( )( ) sin( )( )k

k

T t kTx t xt kT T

ππ

+∞

=−∞

−= ⋅

−∑No causal!

Reg. Automática II 20

BLOQUEADORES POR INTERPOLACIÓN

Bloqueador de orden 0

(( 1) ) ( (( ), (( 1) ), , (( ( 1)) )x k T f x kT x k T x k n T+ = − − −Interpolación de orden n

Mejor polinomio que pasa por la muestra actual y las anteriores

kδ 1 h(t)

T 2T

01 1( ) 11 sT sTH s ee

s s s−−= − = ⎡ ⎤−⎣ ⎦

Bloqueador de orden 1

kδ 1h(t)

T 2T2

1 2

2

2 2

22

1 1 1 1 1 2 1 1( ) ( )( ) ( )

1 1 1( )

( )

1 1

sT sT sT

s TT

T ss

e e es s T s T s T s

e

H s

sT eTT s

es s

− −

−−

−

−

= + −

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣

−

+ + =⎦

− +

Reg. Automática II 21

ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS

Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada la salida es acotada

Definición laxa

Corolario (I) LTI

k

kk

Estabilidad g=+∞

=−∞

⇔ < ∞∑Serie formada por la secuencia ponderatriz es absolutamente sumable

Corolario (II) LTI

lim 0kkEstabilidad g

→∞⇒ =

Ante entrada pulso discreto la salida tiende a 0

Definición general

Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada todas sus variables están acotadas

11 22

kk

k

g ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

21 22

kk

k

g ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2122k k

k

g g ⎛+ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 1 2

2 2.5( )1 2.5

zG zz z

−

− −

−=

− +1

2 1 2

1.5( )1 2.5

zG zz z

−

− −

−=

− +

1 2( ) ( ) ?G z G z+ =

Prob. de def. laxa

Reg. Automática II 22

EJERCICIOS DE ESTABILIDAD Aplicando definición

Reg. Automática II 23

ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS (II)sTz e=

−∞

−∞

Tπ

Tπ−

Plano S

sTz e=

Plano Z

1

1

0T semiplano S negativo→

Un sistema con función de transferencia G(z) es estable si sus polos se encuentran dentro de la

circunferencia de radio unidad

Reg. Automática II 24

EJERCICIOS DE ESTABILIDAD (II) (Examen)

2( )2

zG zz

=−

Razónese sin realizar ningún cálculo previo acerca de lacausalidad, retardo y estabilidad del sistema. Determine a) elvalor inicial y final ante entrada escalón unitario; b) la ecuaciónen diferencias que caracteriza el sistema; c) Termino general de lasalida ante entrada escalón unitario

Un sistema G responde ante una secuencia escalón unitario{1k} con la secuencia {0,1,4,4,4…}.

a) Determine la ecuación característica del sistema (G(z))

b) A partir de la ecuación característica (obtenida en el apartado anterior) determine la ecuación en diferencias que representa al sistema

c) Obtenga la secuencia de ponderación del sistema a partir de G(z). Calcule por convolución la respuesta ante entrada {1k}.

Reg. Automática II 25

CRITERIO DE JURY Método algebraico

11 1 0

220 0,( ) n n n

in nap z z a z a z a z aa a− −−= + + + + > ∈+

Tabla de Jury

Z0 Z1 Z2 …. Zn-1 Zn

an an-1 an-2 a1 a0

a0 a1 a2 an-1 an

bn-1 bn-2 bn-3 b0

b0 b1 b2 bn-1

… … …

k0 k1 k2

Polinomio dato

Rellenar filas pares primero

Última fila de la tabla: 3 coeficientes

(Pol. segundo orden)

( 1)

1

n n kk

o k

a ab

a a− +

+

=

Aplicación

2 1( ) 22

p z z z= + −

0 1 211 22

k k k= = = −

Reg. Automática II 26

CRITERIO DE JURY1

1 1 02

20 0,( ) n n nin nap z z a z a z a z aa a− −

−= + + + + > ∈+

Las raíces de un polinomio de coef. ctes. están dentro de el círculo unidad si y sólo si:

1) 0na a< Término indep. < Término en zn

2) (1) 0p >

4) 1 0 2 0 2 0n nb b c c k k− −> > >…

Aplicación

2 1( ) 22

p z z z= + − 0 1 211 22

k k k= = = −0( 1)

0si n par

psi n impar

>⎧− ⎨<⎩

3) FUERA CIRCULO UNIDAD!

Reg. Automática II 27

EJERCICIOS - JURY

G( z ){ }ku

-

{ }kyK

A) 2

1( )0.5 0.5

G zz z

=+ −

Hallar los valores de K para que el sistema realimentado sea estable en los siguientes casos

2( ) 0.5 0 0 1. 55 .cp z z kz k= + − < <+

B) 2( )0.5 0.5

zG zz z

=+ −

2( ) (0.5 ) 0.5cp z z k z= + + − ∃k

2

2( )0.5 0.5

zG zz z

=+ −

C) 2( ) ( 1) 0.5 0.5cp z k z z k= + + − ∀

Polos:-1,.5

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

G

G

c

N z K N zD z D

p

z

z D z N z

= ⋅=

= +( ) ( )( ) ( )1 ( ) ( )

( ( ))( )( ) ( )

( )c

kG z N zM z G zkG z D zkN zM z

Dp D z k

z kN zN z

= =+

= = + ⋅⇒+

Reg. Automática II 28

JURY

EJERCICIOS (II) - JURY

Reg. Automática II 29

SOLUCIÓN (II) - JURY

3 21 1( ) (

1( ) ( ) ( 1)( 1)( )2

) ( ) ( 1)2 2c

N z z D

p z D z K N z z z z

z z z

k

z= = − + −

= + ⋅ = − + − +

Z0 Z1 Z2 Z3

1/2 (k-1) -1/2 1

1 -1/2 (k-1) 1/2

b2 b1 b0

b0 b1 b2

0

1 1 321 412

kb k

−= = − +

−

2

1 1 321 412

b = = −

Tabla de Jury

Criterio de Jury

1)1 12<

2) (1) 0 0p k k= > ⇒ >

( 1) 0 0p k k− = − < ⇒ >3)

0 23 34 4

b b k< ⇒ − + <4)

303 3 3) 0 (1) 0 0 (2) (1) (2)4 4 4 4

ka k k k k De y− + > − + < ⇒ − < < <⇒ >

3 3 3 3) 0 (1) (2) (1) (2)4 4

3 34 24 2

b k k k De y k− + < − < ⇒ < < <

302

k< <SOLUCION

Reg. Automática II 30

EQUIVALENTE DISCRETO DE UN S. CONTINUO

Bloq. G(s) T

S. Discreto Eq.

{ }kx { }kyX(t) y(t)

{ }kx { }ky

( )kB G z

1( ) ( )

1( ) Re ( ) ( )1

k

k k pTpolos B s G s

B G z s B s G se z−

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦∑

GRADO DENOMINADOR B(s)G(s)> GRADO NUMERADOR B(s)G(s)

Reg. Automática II 31

EJERCICIOS

1( ) ( )

1( ) Re ( ) ( )1

k

k k pTpolos B s G s

B G z s B s G se z−

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦∑

Eq. Discreto

A) ( ) ( ) ( )kbF s B s G s

s a= ⋅ =

+ 1 1

1( ) Re [ ]1 1pT aT

p aTaT

b b bZ ss a s a e z e z

bzz e− − −

=−−= ⋅ = =

+ + −− −∑

B) 0 ( ) / ( ) bB s G ss a

=+

0 1 1

0 0

1 1 11

1 1

1

1

1

1

1 1 1( ( ) ( )) Re [ ] ( ) Re [ ]1 ( ) 1

1 1 1 1 1(1 ) 11 1 1 1

1sT

pT pTTp a p ap p

aT

aT aT aT

e b bZ B s G s s ss s a e z s s a e z

b b b z b e z zza z a e z a e z a

z

z

be z

−

− −=− =−= =

− − − −−

− − − − − −

−

−

−

−⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ − + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−∑ ∑

1

11

aT

aT

ea e z

−

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

Mismo polo

01( ) / ( )B s G ss

=C)

1T

z −1 1

0 2 10

10

1 1 1( ( ) ) (1 ) Re (1 )1

11 sTsT

pT s

dds e z

Z B s z s zs s e z

− −−

=−

=

⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⋅ = − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎛

−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠∑

Reg. Automática II 32

EQUIVALENTE DISCRETO DE UN S. CONTINUO

1 20.5 0.05

1( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))2 0.37 0.

0.319

6 0.0

048T s T s

F s G z Z F s G z Z F ss z z= =

= = = = =+ − −

2 ( )G z

1( )G z

Respuesta Escalón

1er Orden

Comando MATLAB

c2d (F(s),T,’zoh’)

c2d (F(s),T,’foh’)

1 aTb ea

−⎡ ⎤−⎣ ⎦BLOQUEADOR DE ORDEN 0

Reg. Automática II 33

EJERCICIOS Eq. Discreto

Bo(s) T

{ }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)

{ }ku

Hallar el equivalente discreto U-Y teniendo en cuenta que el algoritmo de control U-X es tal que la salida es igual a la entrada en ese ite. más la salida en el instante anterior por 1/2

a) Equivalente discreto X-Y

10 1 52

0,020 5

0,235 5 1 1( ( ) ) (1 ) Re [ ]2 ( 2) 1

80,905

aT

pT aT bpT ap T s

b eZ B s z ss s s e z a z e z

−−

− − ==− == =

⎡ ⎤−⋅ = − ⋅ = =⎢ ⎥+ + −− −⎣ ⎦

∑

52s +

0, 510

0T sgτ≅ =

b) Eq. de control

{ } { } { }11

1 ( ) 11 12 ( ) 12 2

k k kX z zx u xU z z z

−−

= + ⇒ = =− −

00,238( ) ( ) 1( )( 0,905)

2

czG z B G z

z z⋅ =

− −

5 1 0 9052

( , )−

Reg. Automática II 34

ARQUITECTURA DE CONTROL

BK(s) G(s)

T

{ }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)

{ }ku

H(s)

T-

{ }kyPC

Alg. Control SWRealim. serie

PCPLANTA

G(s)

BK(s)

H(s)T

Alg. Control SW

{ }ku { }kx

C. D/A

C. A/D Captador

Señal de control

{ }ky

C.A/D

Mux.

Reg. Automática II 35

EQUIVALENTE DISCRETO S. REALIMENTADOS

BK(s) G(s)

T

{ }kyx(t) y(t){ }ku

H(s)

T-

{ }ky

Realim. serie

kB G( z )

kB GH( z )

1k

k

Y( z ) B G( z )M( z )U( z ) B GH( z )

= =+

cG ( z )

Si existe compensador Gc(z)

1c k

c k

Y( z ) G ( z )B G( z )M( z )U( z ) G ( z )B GH( z )

= =+

Cad. Abierta

Cad. Directa

Si H(s)=1 existe una rep. gráfica equivalente kB G( z )

{ }ku

-

{ }ky

1k

k

B G( z )M( z )B G( z )

=+

Reg. Automática II 36

DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS Función de transferencia conocida

• Respuesta genérica de un sistema ante entrada impulso

Polos reales simples

Un par de polos complejos

• Respuesta genérica de un sistema ante entrada escalón

Polos simples

Un par de polos complejos

-Enlace con sistema continuos muestreados: Ábacos

( )( )( )

P zG zQ z

=

Reg. Automática II 37

MODOS TRANSITORIOS ANTE ENTRADA IMPULSO

( )( )( )

P zG z KQ z

= { }1 1

1( ( ))

Nn

n r r rr

Z G z g K a P a− −

=

= = ∈∑Residuos

( )( )

r

rr

P

P Pa

dQ zdz

=

P1

P2

1α

2α

1β1d

2d3d

21

1 3

dad d

=

1 1 1 2( )a β α α∠ = − +

Polos reales simples ,r rP a ∈ℜ

1rP > Progresión geométrica creciente

0rP < Progresión geométrica signo alternado

Polos complejos ,r rP a ∈

{ } 112

1

( )2 (( 1) )

'(cos

)n r

n r r r rr r

nr

P Pg K a P K n P a

Q PP −−

=

= = − ∠ +∠∑

El grado de amortiguamiento depende de (n-1)

Frecuencia de la senoide depende de (n-1)

( ) ( )r

r ii rP

dQ z p pdz ≠

= −∏

Reg. Automática II 38

MODOS TRANS. ANTE ENTRADA ESCALÓN ( )( )( )

P zG z KQ z

=

{ }1 1( )( ( )) Re [ ]1 ( )

nn r

polos

z P zZ G z y K s z az Q z

− −= = ⋅ ∈−∑

Polos reales simples ,r rP a ∈ℜ

1rP > Progresión geométrica creciente (S. Inestable)

0rP < Progresión geométrica signo alternado

Polos complejos ,r rP a ∈

{ } ( )(1) 2 cos( )(1) ( 1) '( )

nrn r r r

r r

P PPg K K P P aQ P Q P

n= + ∠ +∠−

El grado de amortiguamiento depende de n

Frecuencia de la senoide depende de n

{ }1

(P )(1) ( ) (1)Re [ ](1) ( 1) 1( ) (1) ( ) '( )

Nn r

n rpolos

n

rrr r

PP P z Py K K s z K K PQ P PQ z Q Q P= −

= + = +−∑ ∑

Residuo de l polo en z=1

1 11

P( )y K G( )Q( )∞ = =

{ }1

11

N

n r rr

nP( )y K K a PQ( ) =

= + ∑( )

( 1) '( )r

rr r

P Pa

P Q P=

−

Reg. Automática II 39

RESPUESTA 1er ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN

A)

bG( z )z a

=−

{ }kx { }ky a,b∈

0a∈ℜ >

{ }1

111 1 11 1

n n n

npolos p a

p

nb z z ay Res[ ( )] b Re s[ )] b[ ]z a z ( z )(

b [ a ]az a ) a a=

=

= = = + =− − − − −

−−−∑ ∑

1b zy( z ) ( )

z a z=

− −

{ }1

11

N

n r rr

nP( )y K K a PQ( ) =

= + ∑

Ejercicio0 0 1

1by y G( )

a∞= = =−

10 8

G( z )z .

=−

B) 0a∈ℜ < { } 11n

nb [ a ]a

y −−

=

Alterna signo

b

1 0 551 1 0 8

b .a ( . )= =

− − −

10 8

G( z )z .

=+

S ZTπ

Tπ−

j

σ-1

Teσ

2ºOrden!

Pico de oscilación

1

1

p

bba a

a

M b

−−= =

−

−

Tanto por uno

Reg. Automática II 40

RESPUESTA 2º ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN22 2

KG( z )z ( P cos )z Pφ

=− +

{ }kx { }ky

1

γ1P −

θ

P P

S

σθ

P

P

dW ZTeσ

dW Tθ = ⋅

Pd( W j )TsTz e e σ + ⋅= =

1

γ 2π γ π≤ ≤

dW φ→

( 0,707)stπ ξσ

<

Plano S

rd

tWπ θ−

=

pd

tWπ

=

tan( )pM e

πφ

−

=

Plano Z

r rn qγφ

= +

p pn qπφ

= +

(0 1( ), )i i iq q n≤ ≤ ∈ ∈

s sn qπσ+

pnpM e p

πσφ= =

Sin redondear

Reg. Automática II 41

RESPUESTA 2º ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN22 2

KG( z )z ( P cos )z Pφ

=− +

{ }kx { }ky

1

γ1P −

θ

P P

Plano Z

3r rn qγφ

= + =

5p pn qπφ

= + =

11s sn qπσ+ =

0.25pM eπσφ= =

0 5 1P . ( j )?= ±

21

21

2 +−=

zz)z(G

Reg. Automática II 42

LUGARES GEOMÉTRICOS

Plano S

r rn qγφ

= +

2ºOrden

22 2KG( z )

z ( P cos )z Pφ=

− +{ }kx { }ky

1rn =

2rn =

3rn =

4rn =

P

PP

p pn qπφ

= +

Plano S

2pn =3pn =

4pn =

sin( ) 1

s rn qπσγ

+

≅

=pM ↑

Plano S

, snσ ↑ ↓

pM ↑

pM ↑sn ↑ sn ↑ r

p

n

n

↑

↑RESUMEN

pnpM P e

π σφ⋅

= =sn ↑

1pn =

1γ

1P −θ

P P

Reg. Automática II 43

SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE (I){ }

1

11

N

n r rr

nP( )y K K a PQ( ) =

= + ∑(

'( )1P )

( )r

rr

r

PaQP P

=−

( )( )( )

P zG z KQ z

={ }ky{ }kx

1

1

( )( )( )( ) ( )

m

kkn

rr

z zP zG z K KQ z z p

=

=

−= =

−

∏

∏1

1 1 1

( )...( )(P )( ) '( ) ( )( )...( )(1 1 )...( )

r r mrr

r r r r r r r nr r

p z p zPaQ P p p p p p pP p p p− +− −

− −= =

− − − −

Reducción par polo-cero ( , )i jp z

0 0i ijp az → ⇒ →−Se puede eliminar el modo i

siempre que no afecte demasiado a los otros coef. ar

VALIDEZ (conservar ar)

/ra r i∀ ≠11

j r j

i r i

z p zp p p

− −

− −

Pr

1d3d4

d2d1 32

1 4

ddd d

izjp

( )( ) ))

11

((

i

j

j

i

z pG z Gzp

zz z−

=−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎣ ⎦−REDUCCIÓN

(1) (1)G G=

D

0D mejor aproximación→

Reg. Automática II 44

SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE (II)

Reducción polo cercano al origen

{ }1

11

N

n r rr

nP( )y K K a PQ( ) =

= + ∑(

'( )1P )

( )r

rr

r

PaQP P

=−

( )( )( )

P zG z KQ z

={ }ky{ }kx

1

1

( )( )( )( ) ( )

m

kkn

rr

z zP zG z K KQ z z p

=

=

−= =

−

∏

∏

1

1 1 1

( )...( )(P )( ) '( ) ( )( )...( )(1 1 )...( )

r r mrr

r r r r r r r nr r

p z p zPaQ P p p p p p pP p p p− +− −

− −= =

− − − −

Se puede eliminar el modo isiempre que no afecte

demasiado a los otros coef. ar

1 0niip para n bajop − ><< ⇒

( ) ( ) ( ) 1 11 i

iG z zp

p G zz

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

= −REDUCCIÓN

1 1 1 /1 r

r i r i

a r ip p p p

∀ ≠− −

Validez (conservar ar)Pr

1

r ip p−rp

ip

(1) (1)G G=

Aplicación

1

ba

1( )( )( )

G zz a z b

=− −

2519090

11

1123180

119010 ..x.ab

..ab

.b.a ≅=−

⋅≅=−

==

Reg. Automática II 45

EJERCICIOReducción S. Eq.

Hallar el sistema equivalente reducido de

2

3( 0.55)( 0.5)( )( 0.5)( 0.1)( 0.5)

z zG zz z z z

− +=

+ + + −

2

0.45 1 0.5( ) 30.5 1.1 ( 0.5)

zG zz z z

+= ⋅ ⋅

+ +

( )G z

( )G z

0.55 10

1) 2.5 0.1

)zz z−− +

Reducción

Reg. Automática II 46

EJERCICIO

2( 1)( 0.5)z

z z z− − +K-

+

1)Valores de K que hacen estable el sistema

2)Sistema equivalente de orden reducido para

3)Valores nr,np, ns, Mp del sistema reducido

4)Estimar si la aproximación es válida y calcular npy Mp del sistema total

{ }kx { }ky

25.1maxKK =

1: (1 ), 12

Polos j±

Reg. Automática II 47

ERRORES EN RÉGIMEN PERMANENTE

-+{ }kx { }ky

G(z)E(z) )(

)(11)( zX

zGzE

+=

1

1

1lim(1 ) ( )1 ( )k

e z X zG z

−∞ →= −

+

Secuencias de prueba

{ } { }1 ( )1k k

zx X zz

= =−

{ } { } { } 2( )( 1)k k

zx r kT X z Tz

= = =−

{ } { }2

23

1 ( 1)( ) ( )2 2 ( 1)k k

T z zx P kT X zz+⎧ ⎫= = =⎨ ⎬ −⎩ ⎭

ORDEN DE UN SISTEMA DISCRETONúmero de polos en z=1

Constantes de error

1

1 lim ( )1p p z

p

e k G zk →

= =+

1lim( 1) ( )v v z

v

Te k z G zk →

= = −

22

1lim( 1) ( )a a z

a

Te k z G zk →

= = −

Realimentación unitaria

Cad. abierta

Reg. Automática II 48

DISCRETIZACIÓN DE REGULADORES CONTINUOS

Discretización: Dada una función de transferencia de un sistema continuo R(s), encontrar la del sistema discreto R(z) que haga que los sistemas A y B sean equivalentes

( )G sR(z)-

+{ }kx ( )y t

T

( )B s

( )G sR(s)-

+( )x t ( )y t( )G sR(z)

-

+( )x t ( )y tT B(s)

R(z)=?

R(s)( )x t ( )y t

A

R(z)T B(s)( )x t ( )y t

B

Reg. Automática II 49

APROXIMACIÓN DE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL

Aproximación ante escalón 11 1( ) (1 ) (1 1( ( )) ( )

1( ))RZ R s R z s

sz z Z R

sz−−== ⇒

−−

11

0

1( ) (1 ) Re( ) 1 sT

ss b

s aR z z A ss s b e z

−−

==−

⎡ ⎤+= − ⋅ =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

∑1

1

( )( )1

bT

bT

A b a b ae zR zb e z

− −

− −

⎡ ⎤+ − −= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

2( ) 50.4

sR ss+

=+

0.52( ) 5 0.250.90

zR z T sz−

= =−

B0(s)R(z)T B(s)( )x t ( )y t

R(z)T B(s)( )x t ( )y t

T

Bloqueador ficticio( )R s

Aproximaciones de orden mayor

2

21 2(1 ) (1 )( ) ( ( )) (1 )(1 ) ( ( ))

sTsT eR z Z R sT s

sTz Z R sTs

−− +

−⎡ ⎤+ −

= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) s aR s A

s b+

=+

Ejercicio

( ) s aR s As b+

=+

Ejercicio

Reg. Automática II 50

DISCRETIZACIÓN POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Aproximación operador derivada 1( ) k k

t kT

x xdx tdt T

−

=

−

2( 1) 1 1 2 1 2

2 2 2

( ) ( ) 2t kT t k T k k k k k k k

t kT

dx dxdt dtd x t x x x x x x x

dt T T T= = − − − − − −

=

−− − + − +

= =

Aplicación

( ) ( )( ) ( )dy t dx tb y t A a x tdt dt

⎡ ⎤+ ⋅ = + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦1

1

(1 )( )( )( ) 1

A aT zY zR zX z bT z

−

−

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= =+ −

2( ) 50.4

sR ss+

=+

6 5( )1.04 1

zR sz−

=−

S

( )dx tdt( )x t { }kx

( )

t KT

dx tdt =

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭-11 - z

T

1

( )( ) 1

W z TX z z−

= =− -1

1 Ts 1- z

El regulador discreto será estable si el regulador continuo también lo es

Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema

( ) ( )t

o

w t f t dt= ∫

10

k

k k k ki

w Tx w Tx−=

= = +∑

T 2T 3T 4T

( )f t

Aprox. Integral

Reg. Automática II 51

DISCRETIZACIÓN POR INTEGRACIÓN TRAPEZOIDAL

T 2T 3T 4T

( )f t

Aprox. Trapezoidal

El regulador discreto será estable si el regulador continuo también lo es

Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema

11 1( ) ( )

2 2k k

K k k k kx x TA t t x x−

− −

+= − = +

1 11 1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

2 2k k k kT Tw w x x W z z W z X z z X z− −

− −= + + ⇒ = + +

1/S( )x t dt∫( )x t { }kx { }( )

t KTx t dt

=⋅∫

⋅-1

-1

T 1+ z2 1- z

2( ) 50.4

sR ss+

=+

5.5 4.5( )1.02 0.98

zR zz−

=−

Reg. Automática II 52

REGULADORES PID DISCRETOS( ) 1( ) ( ) ( )

t

di o

de tx t K e t T e ddt T

τ τ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

1

0

kk k

k k d jji

e e Tx K e T eT T

−

=

⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

11 2

1 10

kk k

k k d jji

e e Tx K e T eT T

−− −

− −=

⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

1 1 2(1 ) ( 1 2 )d d dk k k k k

i

T T TTx x x K e e eT T T T− − −

⎡ ⎤Δ = − = + + + − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

-

0 (1 )d

i

TTq KT T

= + +

1 ( 1 2 )dTq KT

= − −

2dTq K

T=

11 0

0( )

2

kk k k

k k d jji

e e e eTx K e T eT T

−−

=

⎡ ⎤− += + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

21 2 0 1

1 10

( )2

kk k k

k k d jji

e e e eTx K e T eT T

−− − −

− −=

⎡ ⎤− += + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

-

1 1 2(1 ) ( 1 2 )2 2i

d d dk k k

ik k

T T Tx x x K e e eT

TT T

TT T− − −

⎡ ⎤Δ = − = + + + − − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

0 (1 )2

d

i

TTq KT T

= + +

1 ( 1 2 )2

d

i

T Tq KT T

= − − +

2dTq K

T=

1 20 1 2

1

( )( )( ) 1

q q z q zX zR zE z z

− −

−

+ += =

−

Aproximación Int. trapezoidal

= ⋅-1

-1

2 1 - zT 1+ z

s

Aproximación Op. Derivada

=-11 - z

Ts

d iT T T<< <<

Cuanto mas se verifique esta desigualdad menor diferencia entre comportamientos de aprox. derivada y trapezoidal