Sismica Applicata

La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni.

La nozione elementare di sforzo è legata al bilancio delle azioni interne, fra le differenti parti di un corpo, in un determinato punto interno ad esso. Sia ΔS una porzione di superficie, di normale n, attorno al punto P. Si può definire:

stress in P sulla superficieS

SS

Flim

0

p p p

p p p

p p p

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

Principi fisici: sforzi

Lo stress su ΔS ha 2 componenti, una normale ed una tangenziale

Si può dimostrare che gli sforzi su qualunque ΔS passante per P sono noti se sono note le componenti di sforzo su tre piani (ortogonali), ovvero sulle facce di un cubo elementare:

tensore di sforzo:

ove per l’equilibrio: pyx=pxy, etc

cioè vi sono solo 6 componenti indipendenti

x

z

y

Pyz

PyxPyy

FFn

n S

Ft

Pt

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: deformazioni

Considerando due punti P (x, y, z) e Q (x+dx, y+dy, z+dz) di un solido non deformato, per uno spostamento s (ui, vj, wk) di P in P’ (x+u, y+v, z+w), Q si sposta di s+ds finendo in Q’ (x+dx+u+du, ...), ove ds (du, dv, dw) si può esprimere come:

Le nove derivate costituiscono un tensore che può essere scomposto in due componenti, una simmetrica ed una antisimmetrica; solo quella simmetrica corrisponde a deformazione del materiale:

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw

dzz

vdy

y

vdx

x

vdv

dzz

udy

y

udx

x

udu

)(2

1

k

i

i

k

ik

x

u

x

ue

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eeetensore di deformazione:

(simmetrico exy = eyx)

P’P s

Q’Q

s+ds

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: deformazioni

Le tre componenti sulla diagonale principale del tensore di deformazione corrispondono a deformazioni longitudinali, cui corrispondono anche variazioni di volume:

u1

x1

022

1

111

e

x

ue

Infatti la dilatazione cubica, ovvero la variazione relativa di volume, si esprime come:

332211 eeeuz

w

y

v

x

u

V

V

Le tre componenti fuori dalla diagonale corrispondono invece a deformazioni di taglio puro, cui corrisponde una variazione di volume nullo:

x1

2

112 x

ue

u1

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineareUn solido elastico è caratterizzato dalla proprietà che la deformazione in qualsiasi punto è nota conoscendo lo sforzo nello stesso punto. Il caso particolare nel quale le componenti della deformazione sono funzioni lineari omogenee delle componenti dello sforzo è chiamato elasticità perfetta, regolata dalla legge di Hooke. Molte delle proprietà delle onde sismiche sono descritte in maniera soddisfacente dalla legge di Hooke.

Per uno stato di tensione monoassiale:

pxx exx E E : modulo di Young (pyy = pzz = 0)

E eyy E ezz ν pxx ν : rapporto di Poisson = e zz / e xx

ν exx ESe lo stato di tensione è pluriassiale, vale la seguente equazione (pyy, pzz 0)

E eii = (1+ ) pii (pxx + pyy + pzz)

ma essendo )21( Eppp zzyyxx

si ha:kkkk ep 2

ove)21)(1(

E

)1(2

E

sono note come costanti di Lamè

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare

È quindi possibile scrivere la legge di Hooke, in un sistema di riferimento qualsiasi, in forma tensoriale, nel seguente modo:

ikikik ep 2

ove ik : delta di Kronecker, ik = 0 (i k); ik = 1 (i = k).

Costanti elastiche

(1) Modulo di Young [Pa]: se tutte le componenti di stress sono nulle salvo quella agente lungo l’asse 1

E= e11 /P11 P22 = 0

(2) Rapporto di Poisson [-]: nelle stesse condizioni di carico:

ν= -e22/ e11

-1 ν <0.5 (in pratica 0 ν <0.5)

P11

P11

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare

(3) Modulo di taglio (o seconda costante di Lamè) [Pa]:

= p12 /(2 e12)

(4) Modulo di deformazione uniassiale [Pa]: in condizioni di deformazione laterale impedita:

e22 =0;

(5) Modulo bulk [Pa]: lega la dilatazione cubica con l’invariante di sforzo P = p11+p22+p33:

(6) Prima costante di Lamè [Pa]: λ definita in precedenza.

Nota: M = +2

NB!: per definire un mezzo elastico lineare bastano DUE delle sei costanti, le altre si ricavano con formule algebriche.

p12

p12

1122 1pp

11

11

e

pM

P11

P220

PK

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde P

Sostituendo la Legge di Hooke per mezzi isotropi nell’equazione del moto (F= m a) otteniamo:

(*)

prendendo la divergenza di entrambi i membri dell’equazione (*) si ottiene:

che è l’equazione delle onde per la propagazione della dilatazione cubica , con velocità:

Questa è la dimostrazione che le onde di compressione esistono e si muovono con la velocità in qualsiasi solido isotropo ed elastico.

Le onde di compressione sono note come onde P, onde longitudinali o dilatazionali.

ut

u

22

2

)(

22

2

)2(

t

2

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde S Prendendo il rotore di entrambi i membri dell’equazione (*) e ricordando che si ha:

che è l’equazione d’onda della propagazione di una perturbazione rotazionale, con velocità

Questa è la dimostrazione della possibilità della propagazione di onde trasversali o rotazionali in un corpo elastico ed isotropo, che si muovono con velocità . Esse sono note come onde S, onde rotazionali o trasversali o di taglio. Considerando la propagazione dei fronti d’onda a grande distanza dalla sorgente, le onde possono essere considerati polarizzate su di un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Le componenti orizzontali del moto delle particelle di tali onde, che costituiscono onde polarizzate su di un piano orizzontale, sono chiamate SH, mentre, nel caso verticale, prendono il nome di SV.

Nota:

(1) α>β, ( 2 ) cioè le onde di compressione sono più veloci delle onde di taglio

(2) In fluido le onde S non si trasmettono, essendo questo caratterizzato dall’avere

il modulo di taglio nullo (μ=0)

0)(

uut

2

2

2

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde P ed onde S

Onde P

Onde S

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: energia delle onde sismiche

L’energia delle onde sismiche diminuisce con la distanza percorsa a causa di tre fenomeni:

(1) Divergenza sferica(2) Attenuazione intrinseca (frizione)(3) scattering

(1) Divergenza sferica: si consideri un onda sferica sinusoidale:

L’energia cinetica per unità di volume è:

L’energia cinetica si trasforma in elastica e viceversa: l’energia totale è:

e l’intensità di energia che attraversa la superficie unitaria è:

Data la simmetria sferica e la conservazione dell’energia:

)(cos),( krtAtru

)(sin2

1

2

1),( 222

2

krtAt

utrEc

22

2

1AEtot

22

2

1AI

222

21 3

4

3

41 rIrI

21

1

rI ovvero:

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: energia delle onde sismiche

(2) assorbimento intrinseco

un’onda piana in un mezzo dissipativo e dispersivo avrà un’equazione del tipo:

Si definisce Fattore di Qualità il rapporto (f=frequenza, λ=lunghezza d’onda, v=velocità)

La definizione de Fattore di qualità si basa sul fatto che sperimentalmente γ è proporzionale alla frequenza, per cui il prodotto γλ è una costante (adimensionale).

Q risulta un parametro proprio del mezzo, e Q-1 è l’attenuazione per lunghezza d’onda.

Tipicamente γ= 0.02÷0.16 dB/lunghezza d’onda, da cui:

Q=20 ÷ 150

);cos(),( tkxetx xo );( )(kk

v

fQ

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: energia delle onde sismiche

1. ka<<1, mezzo quasi omogeneo, le eterogeneità sono troppo piccole per essere viste, ma producono un’attenuazione apparente

2. ka0.1, la lunghezza d’onda è ancora grande rispetto alle eterogeneità, ma queste producono diffusione dell’energia (scattering di Rayleigh), è il caso più comune

3. ka=0.1÷10, le eterogeneità sono di grandi dimensioni (p.es. in discariche) e lo scattering si manifesta come un sovrapporsi di segnali confusi (scattering di Mie)

(3) scattering

L’energia delle onde si riduce anche per effetto di riflessioni e diffrazioni causate da eterogeneità lungo il percorso. Lo scattering si classifica in base al rapporto fra la lunghezza d’onda λ e la dimensione media delle eterogeneità a, ovvero al prodotto ka, dove k è il numero d’onda:

sorgente

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: Principio di Huygens

Il fronte d’onda è ogni superficie nei cui punti l’onda che si propaga sia in fase.

Il principio di Huygens afferma che ogni punto su una superficie d’onda può essere considerato una sorgente secondaria di onde sferiche. Il nuovo fronte d’onda è dato dall’inviluppo delle onde sferiche.

Usando il principio di Huygens è facile comprendere i meccanismi di riflessione, rifrazione e diffrazione.

Tuttavia invece di considerare la propagazione seguendo i fronti d’onda è spesso più facile tracciare raggi ortogonali ai fronti d’onda, per cui la propagazione delle onde viene spesso rappresentata tramite percorsi di raggi.

sorgenti secondarie

nuovo fronte d’onda

fronte d’ondaoriginario

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati

L’analisi viene usualmente condotta tramite onde piane.

In ogni strato omogeneo valgono le equazioni d’onda (P ed S).

Ad ogni interfaccia devono essere soddisfatte due condizioni:

(1) equilibrio degli sforzi, normali e tangenziali

(2) congruenza degli spostamenti, normali e tangenziali

In modo empirico, la riflessione e la rifrazione ad ogni interfaccia può essere studiata usando il Principio di Huygens.

1

2

n

1

2

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati

La rifrazione delle onde sismiche all’interfaccia è governata dalle velocità delle onde nei due mezzi. La legge di Snell descrive la relazione geometrica fra raggio incidente e raggio rifratto:

La legge di Snell si può dimostrare p.es. usando il Principio di Huygens.

1

2

1

2

sin

sin

v

v

La legge di Snell descrive anche la riflessione all’interfaccia. Se l’onda riflessa è dello stesso tipo di quella incidente (p.es. P e P, o S ed S), allora l’angolo di riflessione è uguale a quello incidente.

pvi

i sinLa legge di Snell si può anche esprimere in termini di una

costante detta parametro del raggio p, costante lungo lo stesso raggio.

1

2

n

1

2

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati

Passando da un mezzo più lento ad uno più veloce, il raggio si allontana dalla normale.

Per la legge di Snell:

2

1arcsinv

vc

Se v2>v1, esiste un angolo di incidenza tale per cui l’angolo di rifrazione è pari a 90°. Questo angolo di incidenza è detto angolo critico .Per angoli di incidenza superiori, tutta l’energia (relativa a quel tipo di onde) viene riflessa.

12 sinsin

12 sinsin

12

12

(1) se v2>v1

(2) se v2<v1

1

2902

1

22

C

1

22

1

1

C

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati

La ripartizione dell’energia all’interfaccia dipende dal contrasto di velocità e dell’angolo di incidenza. P.es. per un’onda P ad incidenza normale:

Coefficiente di riflessione

Coefficiente di trasmissione12

12

ZZ

Z

A

AT

incid

trasm

12

12

ZZ

ZZ

A

AR

incid

rifl

Aincid

Arifl

Atrasm

1

2

Zi=ρivi è detta impedenza acustica del mezzo i-esimo;

contatto Rarenaria/calcare 0.20tipica interfaccia superficiale 0.045tipica interfaccia profonda 0.023fondo oceanico soffice 0.33fondo oceanico duro 0.67oceano/atmosfera (da sotto) -0.9994base dell’areato 0.68

nota che se R<0, questo indica un’inversione di fase dell’onda riflessa è detta

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: diffrazione

principi fisici

tempo

distanza

Sismica Applicata

tv/2

t0v/2

x

222

022

44x

vtvt

2

220

2 4

v

xtt

2

220

2

v

xtt

x

z=t0v/2

NMO

DIFFRAZIONEOFFSET = 0

RIFLESSIONE OFFSET ≠ ZERO

Sismica Applicata

Principi fisici: onde di superficie

Un caso particolarmente interessante è considerare come mezzo superiore il vuoto. Si consideri ancora una perturbazione contenente componenti di P e di SV.

Si osserva la generazione di onde di superficie dalla interferenza costruttiva di onde di corpo in connessione con la superficie libera.

La condizione al contorno è che le componenti di stress si annullino per z=0.

Le onde che si generano hanno velocità e compresa tra 0 e β (velocità delle onde S nel mezzo); tali onde sono smorzate esponenzialmente all’aumentare di z.

[Onde simili si propagano all’interfaccia fra due mezzi e si chiamano Onde di Stoneley]

Queste onde si chiamano Onde di Rayleigh o Ground Roll.

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde di Rayleigh

Il moto delle particelle è ellittico, retrogrado alla superficie, progressivo in profondità. Sia il moto orizzontale che quello verticale decadono esponenzialmente con la profondità.

piano nodale

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde di Rayleigh

L’energia di una sorgente superficiale (p.es. un maglio) viene convertita per 2/3 in onde di Rayleigh.

Per convertire un maggior % di energia in onde di volume (P e S) la sorgente (esplosivo) va interrata, spesso in pozzetti profondi anche qualche decina di metri.

La velocità delle onde di Rayleigh è circa uguale al 90% della velocità delle onde S nello stesso mezzo.

Le onde di Rayleigh in un mezzo omogeneo sono non dispersive (ovvero la velocità non dipende dalla frequenza).

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: onde rifratte criticamente

Abbiamo visto che se un mezzo più lento sta sopra un mezzo più veloce, esiste un angolo di incidenza critico. L’energia corrispondente viaggia con incidenza radente nel mezzo più veloce e ogni punto dell’interfaccia può ritrasmettere energia nel mezzo a velocità più bassa.

Sfruttando il principio di Huygens si ricostruisce facilmente l’angolo di emergenza per i piani a fase costante re-irradianti energia, uguale a quello critico. Nota che la teoria delle onde piane non prevede che ci sia energia trasportata secondo queste traiettorie. Il paradosso trova soluzione se si considera che i fronti d’onda sono curvi.  

S P

hC C

1

2

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: tipiche velocitàMateriale AriaAcquaPetroliosuolo superficialeNeveGhiaccio in ghiacciai (funzione della temperatura)Sabbia sciolta non saturaSabbia sciolta saturaMorenaSabbia r ghiaia superficialeSabbia r ghiaia a 2 km di profonditàArgillaPermafrostArenariaCalcare sofficeCalcare duroDolomia salgemmaGessoArgillitiGraniti BasaltiGabbroSerpentiniteGneissMarmo

Vp (m/s) 3301450-15301300-1400100-500350-30003000-4000200-20001500-20001500-2700400-23003000-35001000-25001500-49001400-45001700-42002800-70002500-65004000-55002000-35002000-41004600-62005500-65006400-70005500-65003500-76003800-7000

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: tipiche velocità

I fattori preponderanti che controllano la velocità delle onde sismiche sono:

1. porosità (che dipende dalla profondità)

2. Contenuto di fluidi

Dalla porosità deriva la densità “bulk” (complessiva) della roccia ρb, nei cui termini è espressa la relazione di Gardner:

ove a è una costante empirica.Molto nota è l’equazione cosiddetta di media temporale o di Wyllie (1958):

41

)( pb Va

ove è la porosità, V è la velocità della roccia, Vf è la velocità del fluido, Vm è la velocità della matrice solida.Esistono moltissime relazioni semi-empiriche che legano velocità con altre grandezze (porosità, fluidi, saturazione, temperatura, profondità, etc). In ogni caso queste relazioni vanno intese come linee guida di prima approssimazione.

mf VVV

11

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: percorsi del segnale sismico e del rumore

ONDA D’ARIA

C

RIFLESSIONE

V2,2

AREATO VW

SUB-Areato VSW

BASAMENTO

RIFRATTE

GROUND ROLLRIVERBERAZIONI

DIRETTA

RICEVITORI

principi fisici

Sismica Applicata

Principi fisici: percorsi del segnale sismico

riflessioni

Le dromocrone

principi fisici