1

TKS 6112 Keandalan Struktur

SIMULASI Kendalan (Reliability Simulation)*

* Pranata, Y.A. Teknik Simulasi Untuk Memprediksi Keandalan Lendutan Balok Statis Tertentu.

Prosiding Konferensi Teknik Sipila Nasional ke II, 20 – 21 Desember 2006, Semarang.

Pendahuluan

Permasalahan mengenai ketidakpastian berhubungan erat

dalam perencanaan suatu struktur. Parameter-parameter

dalam pemodelan suatu elemen struktur bukanlah suatu

jumlah yang benar-benar diketahui, tetapi nilai prediksi

atau bilangan acak. Sebagai contoh adalah beban yang

bekerja pada struktur, modulus elastisitas, dimensi

penampang, dan sebagainya. Maka dalam perencanaan

struktur diperlukan pula perhitungan keandalan atau

probabilitas terhadap kegagalan.

2

Pendahuluan (lanjutan)

Pada saat ini terdapat beberapa teknik simulasi yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan numerik

yang berhubungan dengan keandalan struktur, sebagai

contoh teknik simulasi Monte Carlo. Dalam beberapa

kasus, suatu persamaan numerik mungkin saja terlalu

kompleks dan waktu yang dibutuhkan untuk

menyelesaikan dalam satu kali trial dibutuhkan waktu

lama (untuk ribuan bahkan jutaan simulasi tentu menjadi

sangat lama). Oleh karena itu, diperlukan suatu teknik

untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan solusi

yang rasional dan tingkat ketelitian yang cukup baik.

Pendahuluan (lanjutan)

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

1. Melakukan simulasi Metode Elemen Hingga untuk

menentukan lendutan balok,

2. Melakukan simulasi Monte Carlo untuk memprediksi

keandalan lendutan balok.

3

Pendahuluan (lanjutan)

Batasan dan asumsi dalam penelitian ini adalah :

1. Model struktur yang ditinjau adalah balok kantilever

statis tertentu, dengan asumsi tumpuan yang

digunakan adalah jepit-bebas.

2. Beban yang bekerja adalah beban terpusat di ujung

bebas balok.

3. Berat sendiri balok dan deformasi geser diabaikan,

4. Simulasi menggunakan beban terpusat sebagai

parameter bilangan acak dengan distribusi seragam

dan normal.

Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik spesial

dimana dapat dibangkitkan beberapa hasil numerik

tanpa secara aktual melakukan suatu tes eksperimen.

Untuk menentukan distribusi probabilitas dari

parameter-parameter yang ditinjau dapat menggunakan

hasil dari tes sebelumnya yang pernah dilakukan.

Kemudian informasi ini digunakan untuk

membangkitkan parameter-paramater data numerik.

Dasar dari prosedur teknik simulasi Monte Carlo adalah

membangkitkan bilangan acak yang terdistribusi

seragam antara 0 dan 1.

4

Simulasi Monte Carlo (lanjutan)

Gambar 1. Simulasi Monte Carlo

(Sumber : Nowak, 2000)

Simulasi Monte Carlo (lanjutan)

Metode Monte Carlo sering diaplikasikan dalam 3 (tiga)

kondisi :

1. Untuk menyelesaikan suatu problem kompleks dengan

solusi pendekatan.

2. Untuk menyelesaikan suatu problem kompleks yang

pada umumnya dalam penyelesaiannya dilakukan

penyederhanaan asumsi (dengan simulasi Monte

Carlo, problem asli dapat dipelajari tanpa asumsi

tersebut).

3. Untuk digunakan dalam cek hasil dari teknik simulasi

yang lain.

5

Bilangan Acak dengan Distribusi Seragam

Pada bilangan acak dengan distribusi seragam, fungsi

PDF (Probability Density Function) bernilai konstan

untuk semua kemungkinan nilai dari bilangan acak

dengan a dan b adalah batas. Persamaan PDF, mean dan

variansi dapat dihitung dengan Pers. (1), Pers. (2), dan

Pers. (3).

Bilangan Acak dengan Distribusi Seragam (lanjutan)

𝑃𝐷𝐹 = 𝑓𝑥 𝑥 = 1

𝑏−𝑎

0 a x b (1)

𝜇𝑥 =𝑎+𝑏

2 (2)

𝜎𝑥2 =

𝑏−𝑎 2

12 (3)

6

Bilangan Acak dengan Distribusi Normal

Bilangan acak dengan distribusi seragam merupakan

komponen penting dalam teori keandalan struktur. Fungsi

PDF dan CDF, dan pembangkit bilangan acak dapat

dihitung dengan Pers. (4), Pers. (5), dan Pers. (6).

Bilangan Acak dengan Distribusi Normal (lanjutan)

𝑓𝑥 𝑥 =1

𝜎𝑥 2𝜋exp −

1

2

𝑥−𝜇𝑥

𝜎𝑥

2 (4)

Φ 𝑧 = 1 −Φ −𝑧 (5)

𝑋 = 𝜇𝑥 + 𝑍𝜎𝑥 (6)

Keterangan :

µx dan x adalah mean dan standar deviasi.

7

Bilangan Acak dengan Distribusi Normal (lanjutan)

Gambar 2. PDF dan CDF

(Sumber : Nowak, 2000)

Metode Elemen Hingga

MEH merupakan suatu simulasi numerik untuk

mendapatkan suatu hasil pendekatan, dari suatu masalah

dengan syarat-syarat batas tertentu. Pada suatu tingkat-

tingkat permasalahan tertentu, penyelesaian tidak dapat

diselesaikan dengan metode analitis, sehingga perlu

digunakan pendekatan MEH sebagai solusinya. Konsep

MEH merupakan bagian-bagian kecil dari struktur aktual

(diskritisasi). Pemodelan MEH hanyalah merupakan

sebuah model elemen hingga “yang mungkin” pada

struktur aktualnya.

8

Metode Elemen Hingga (lanjutan)

Gambar 3. Skema Metode Elemen Hingga

(Sumber : Coock, dkk., 2004)

Lendutan Balok Statis Tertentu

Suatu balok dengan sumbu longitudinal lurus dibebani

oleh gaya-gaya lateral, maka sumbu tersebut akan

terdeformasi menjadi suatu lengkungan, yang disebut

kurva defleksi balok (Gere, 2001). Beberapa metode

analitis dapat dilakukan untuk mendapatkan persamaan

lendutan, untuk balok kantilever statis tertentu dengan

beban terpusat diujung bebas seperti terlihat pada

Gambar 4, persamaan umum lendutan dapat dihitung

dengan Pers. (7).

9

Lendutan Balok Statis Tertentu (lanjutan)

Gambar 4. Model 3D Balok Kantilever

𝑉(𝑥) =𝑃𝑥3

6𝐸𝐼−

𝑃𝐿𝑥2

2𝐸𝐼 (7)

Studi Kasus dan Pembahasan

Studi kasus berupa balok kantilever statis tertentu

(tumpuan jepit bebas) dengan beban terpusat pada ujung

bebas P = 1500 N, bentuk penampang segiempat dengan

dimensi dan ukuran penampang b = 300 mm dan h = 600

mm, panjang bentang balok L = 4 m, asumsi modulus

elastisitas E = 20000 MPa.

10

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

1. Asumsi Data Beban

Simulasi menggunakan parameter bilangan acak beban

terpusat, dengan distribusi seragam (Gambar 5) dan

normal (Gambar 6) masing-masing 4 set data yaitu : 10,

100, 10000, dan 100000 data. Data sintetik yang

digunakan pada masing-masing set data tersebut

dibangkitkan dengan range beban antara 1000 N sampai

dengan 2000 N, baik pada bilangan acak seragam dan

bilangan acak normal.

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Gambar 5. Bilangan acak dengan disribusi seragam

11

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Gambar 6. Bilangan acak dengan disribusi normal

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

2. Penyelesaian dengan Cara Analitis

Penyelesaian secara analitis dapat dihitung dengan Pers.

(7), lendutan maksimum terjadi pada ujung bebas balok,

atau x = 4 m.

𝛿maks = −𝑉(𝐿)= −𝑃 𝐿 3

6𝐸𝐼−𝑃𝐿 𝐿 2

2𝐸𝐼=

𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

= 0,29629 m

12

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

3. Penyelesaian dengan Cara Numerik

Simulasi numerik MEH dilakukan dengan software

SAP2000 (CSI, 2006), dengan model balok menggunakan

properti solid. Untuk mendapatkan hasil dengan tingkat

ketelitian yang cukup baik (konvergen), maka dilakukan

simulasi pada beberapa pemodelan dengan variasi jumlah

elemen yang berbeda. Model-model yang digunakan

dalam simulasi dapat dilihat pada Gambar 7.

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Gambar 7. Model Simulasi MEH

13

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Selanjutnya dilakukan simulasi dengan software

SAP2000. Hasil simulasi selengkapnya ditampilkan

dalam Tabel 1. Hasil simulasi memperlihatkan bahwa

tingkat % relatif pada model dengan jumlah elemen yang

semakin banyak (atau model dengan ukuran elemen yang

semakin diperkecil) menjadi semakin kecil. Hal ini

menunjukkan bahwa pada model balok-M6, hasil

lendutan dapat dianggap konvergen karena tingkat %

relatif sebesar 0,43 %.

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Tabel 1. Hasil Simulasi Numerik

14

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

4. Simulasi Monte Carlo

Analisis keandalan lendutan dilakukan dengan

menggunakan persamaan lendutan dari cara analitis, Pers.

(7). Data sintetik berupa bilangan-bilangan acak distribusi

seragam dan normal dibangkitkan masing-masing 4 set

data, yaitu 10, 100, 10000, dan 100000 data dengan

menggunakan software MATLAB (Mathworks, 2005).

Selanjutnya dilakukan simulasi untuk tiap set data. Hasil

simulasi selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 2 dan

Tabel 3.

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Tabel 2. Hasil Simulasi Monte Carlo untuk Bilangan Acak Seragam

15

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

Tabel 3. Hasil Simulasi Monte Carlo untuk Bilangan Acak Normal

Studi Kasus dan Pembahasan (lanjutan)

5. Pembahasan

Secara umum, hasil perhitungan lendutan secara analitis

diperoleh 0,29629 m, secara numerik (2048 elemen)

diperoleh 0,30071 m. Perbedaan hasil antara cara numerik

dengan analitis sebesar 1,49 %. Perbedaan hasil simulasi

Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan

100000 data bilangan acak seragam berturut-turut 4,46 %,

1,48 %, 0,47 %, dan 0,018 %. Perbedaan hasil simulasi

Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan

100000 data bilangan acak normal berturut-turut 0,008%,

0,008%, 0,062%, dan 0,025%.

16

Kesimpulan

1. Simulasi numerik MEH menghasilkan tingkat

ketelitian semakin tinggi sampai dengan konvergen,

dengan membagi elemen semakin kecil/jumlah elemen

diperbanyak pada model balok kantilever.

2. Simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak

terdistribusi seragam memberikan perbedaan hasil

berkisar antar 0,018 % - 4,46 %.

3. Simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak

terdistribusi normal memberikan perbedaan hasil

berkisar antar 0,008 % - 0,025 %.

Kesimpulan (lanjutan)

4. Simulasi numerik MEH cukup baik digunakan untuk

menghitung lendutan balok, hal ini dapat dilihat dari

hasil tingkat ketelitian yang semakin baik

(konvergen).

5. Simulasi Monte Carlo cukup baik dan rasional untuk

memprediksi keandalan lendutan balok, hal ini dapat

dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang cukup tinggi.

17

Daftar Pustaka

Computer and Struct ures, Inc. (2006), SAP2000 Advanced

Tutorials, Computer andStructures, Inc., Berkeley, CA.

Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. (2004),

Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John

Wiley and Sons, Inc.

Gere, J.M. (2001), Mechanics of Materials – 5th Edition,

Brooks/Cole, Thomson Learning.

Nowak, A.S., Collins, K.R. (2000), Reliability of Structures,

McGraw-Hill Book Co, Singapore.

The Mathworks, Inc. (2005), Matlab Documentation – Release 14

with service pack 3, The Mathworks, Inc.

Terima kasih

dan Semoga Lancar Studinya!