Sexta Lista - Fontes de Campo Magnetico

FGE211 - Fısica III

Sumario

• A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnetico d ~B em um certoponto devido a um elemento de comprimento d~l que carrega consigouma corrente I e esta a uma distancia ~r e

d ~B =µ0

4πId~l × rr2

,

onde r = |~r| e µ0 = 4π × 10−7T ·m/A.

• A magnitude do campo magnetico produzido por um fio infinito poronde passa uma corrente I a uma distancia r do fio e

B =µ0I

2πr.

• A magnitude da forca magnetica FB entre dois fios de comprimento lpor onde passam correntes I1 e I2 separados por uma distancia r e

FB =µ0I1I2l

2πr.

• A Lei de Ampere afirma que a integral de linha de ~B · d~l atraves deum circuito fechado e proporcional a corrente que passa por qualquersuperfıcie que o circuito encubra:∮

C

~B · d~l = µ0IC .

• O campo magnetico dentro de um toroide de N espiras por onde passauma corrente I e

B =µ0NI

2πr.

• O campo magnetico dentro de um solenoide de comprimento l que temN espiras por onde passa uma corrente I e

B = µ0N

lI = µ0nI,

onde n e o numero de espiras por unidade de comprimento.

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Estrategia para resolucao de problemas

A Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart afirma que o campo magnetico em um ponto P auma distancia r de um elemento de comprimento d~l por onde passa umacorrente I e

d ~B =µ0

4πId~l × rr2

=µ0

4πId~l × ~rr3

.

Para calcular o campo magnetico, os passos abaixo podem ser uteis:

1. Posicao da fonte: escolha um sistema de coordenadas apropriado paraescrever o elemento de corrente Id~l e o vetor ~r′ que descreve a suaposicao. Em eletromagnetismo e comum usarmos variaveis com umalinha para descrever a posicao das fontes de campo.

2. Posicao do ponto: usando o mesmo sistema de coordenadas, ache aposicao do ponto P com relacao a origem ~rP .

3. Posicao relativa: geometricamente, e trivial de mostrar que ~rP = ~r+~r′.Ou seja, a posicao relativa entre o elemento de corrente e o ponto P e~r = ~rP − ~r′. O versor nesta direcao se torna entao

r =~r

r=

~rP − ~r′

|~rP − ~r′|.

4. Ache d~l

5. Calcule o produto vetorial d~l × r ou d~l × ~r.

6. Substitua o resultado em d ~B e efetue a integracao para achar ~B.

A Lei de Ampere

A lei de Ampere afirma que a integral de linha de ~B · d~l sobre um circuitofechado e proporcional a corrente total que passa por qualquer superfıcie queo circuito encubra: ∮

C

~B · d~l = µ0IC .

Os passos abaixos podem ser uteis para calcular campos magneticos a partirda lei de Ampere:

1. Desenho um circuito de Ampere a partir de argumentos de simetria.

2. Ache a corrente que passa pelo circuito.

3. Calcule a integral∮~B · d~l sobre o circuito.

4. Iguale os termos e ache ~B.

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Questoes conceituais

1. Compare as semelhancas e diferencas entre a lei de Biot-Savart e a leide Coulomb.

2. Se uma corrente passa por uma mola, a mola se comprime ou se ex-pande?

3. Quais argumentos deve se usar para escolher o caminho de integracaoao usar a lei de Ampere?

4. Duas espiras concentricas de diametros diferentes tem correntes cons-tantes. As espiras se atraem ou se repelem?

5. Suponha que tres fios paralelos sao arranjados de tal forma que, seolharmos para suas secoes transversais, eles correspondem aos cantosde um triangulo equilatero. E possıvel fazer uma combinacao de cor-rentes tal que (a) todos os tres fios se atraiam e (b) todos os tres fiosse repilam?

Problemas

1. Campo magnetico de um fio finito em um ponto qualquer

Este problema e um pouco mais complicado que os resolvidos em salade aula uma vez que argumentos de simetria nao podem ser utilizados.Considere um fio de comprimento L que carrega em si uma correnteI na direcao do eixo dos x como mostra a figura 1. Qual o campomagnetico em um ponto arbitrario do plano x-y? Sugestao: siga exa-tamente os passos descritos na secao acima. Este problema deve sersuficiente para entender a essencia da lei de Biot-Savart.

Figura 1: Fio finito de comprimento L e corrente I.

2. Campo devido a quatro fios

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Quatro fios infinitos carregam consigo uma corrente I e estao dispostosde tal forma que, ao olhar para suas secoes transversais, compreendemos vertices de um quadrado de lado a como mostra a figura 2. Ascorrentes dos fios A e D apontam para foram da pagina e a dos fios Be C para dentro. Qual o campo magnetico no centro do quadrado.

Figura 2: Quatro fios dispostos nos vertices de um quadrado de lado a.

3. Corrente passando por um arco

Considere um arco como o mostrado na figura 3 por onde passa umacorrente I. Calcule o campo magnetico no ponto P .

Figura 3: Arco com uma corrente I passando por ele.

4. Fio em forma de ferradura

Um fio infinito por onde passa uma corrente I e dobrado na formamostrada na figura 4. Ache o campo magnetico no ponto P .

5. Dois fios infinitos

Considere dois fios infinitos alinhados com o eixo dos x e separadospor uma distancia 2a como mostra a figura 5.

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Figura 4: Fio dobrado em forma de ferradura.

Figura 5: Dois fios infinitos.

(a) Esquematize as linhas de campo se olhando em uma vista trans-versal.

(b) Ache a distancia d com relacao ao eixo dos z (posicao (0,0,z))onde o campo magnetico e maximo.

6. Lei de Ampere

A aplicacao mais simples da lei de Ampere e um fio infinito. Calcularo campo magnetico de varios fios infinitos e uma boa forma de verificarse voce de fato entendeu o significado da lei.

(a) Usando a lei de Ampere, calcule o campo magnetico gerado porum fio infinito pelo qual passa uma corrente I a uma distancia rdele. Tente ser claro com relacao a qual caminho voce escolheue quais argumentos de simetria utilizou. Qual o campo a umadistancia de 10mm do fio se a corrente for 10A?

(b) Oito fios paralelos cortam perpendicularmente a pagina comomostra a figura 6. O fio i (i = 1, 2, 3, ..., 8) carrega consigo umacorrente 2iI0. Para os fios i = 1 a i = 4 a corrente tem a direcaosaindo da pagina. Para os outros, a corrente tem a direcao en-trando na pagina. Calcule

∮~B · d~l para o caminho descrito na

figura na direcao das flechas. (cuidado com os sinais).

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Figura 6: Oito fios que entram perpendicularmente na pagina. Os fios 1a 4 tem correntes saindo da folha ao passo que os fios 5 a 8 tem correnteentrando nela. A linha e o caminho pelo qual a lei de Ampere deve seraplicada.

(c) E possivel aplicar a lei de Ampere apenas uma vez para calcular ocampo na vizinhanca dos oito fios? Como voce faria para calcularo campo em um ponto P qualquer?

7. Campo magnetico de uma distribuicao de corrente a partirda lei de Ampere

Considere um cilindro condutor furado no centro como mostra a figura7. O cilindro e feito de cobre e tem raio interno a e raio externo b.Uma corrente uniforme I flui pelo cilindro.

Figura 7: Cilindro semi-macico infinito.

(a) Calcule a magnitude do campo magnetico fora do condutor (r >b).

(b) Calcule o campo magnetico, dentro do condutor para r < a.

(c) Calcule o campo magnetico na parte interna do condutor (a <r < b).

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(d) Faca um grafico do campo magnetico de r = 0 ate r = 4b. Ocampo magnetico e contınuo em r = a e em r = b? E a suaderivada?

(e) Suponha agora que um fio bastante fino que carrega uma correnteI e posto bem no centro deste cilindro. Sem refazer as contas,faca um grafico do campo magnetico em todo o espaco.

8. Corrente nao uniforme

Considere um cilindro condutor infinito de raio R por onde passa umacorrente nao constante de tal forma que a densidade de corrente podeser escrita como

J = αr,

onde α e uma constante (vide figura 8). Ache o campo magnetico emtodo o espaco.

Figura 8: Fio infinito com densidade de corrente nao constante.

9. Cilindro com um buraco

Um cilindro infinito de cobre com raio a tem um buraco fora do seucentro como mostra a figura 9. O cilindro carrega uma corrente uni-forme I. Calcule o campo magnetico no ponto P .

10. Solenoide

Um solenoide com 200 espiras tem 25cm de comprimento e 10cm dediametro. Assuma que ele carregue uma corrente I = 300mA e esuficientemente longo para poder ser considerado um solenoide ideal.

(a) Faca um esquema mostrando a direcao com que as espiras foramenroladas, a corrente e o campo magnetico dentro e fora do so-lenoide. Qual a direcao dominante do campo magnetico dentrodo solenoide?

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Figura 9: Cilindro macico com um buraco fora do seu centro.

(b) Ache o campo magnetico dentro do solenoide usando a lei deAmpere.

11. Disco rodando

Um disco circular de raio R com uma densidade uniforme de cargaσ e posto para rodar sobre seu eixo com uma velocidade angular ω.Mostre que o campo magnetico no centro do disco e

B =12µ0σωR

Dica: considere um anel circular de raio r e espessura dr. Mostre que oelemento de corrente que passa por esse anel e dl = (ω/2π)dq = ωσrdr.

12. Momento magnetico de um eletron orbital

Neste problema quero que estimem o momento de dipolo magneticoassociado com o movimento orbital de um eletron em um atomo dehidrogenio. Para isso vamos usar um modelo semi-classico. Assumaque um eletron tem velocidade v e orbita ao redor de um proton (fixona origem) como mostra a figura 10. O raio da orbita e r = 0, 53A.

(a) Ha uma forca radial centrıpeta para dentro F = mev2/r que

e necessaria para que o eletron se mova em um cırculo devido aatracao Coulombiana. Calcule a velocidade do eletron. (resposta:2, 18× 106m/s)

(b) Qual o perıodo orbital T do eletron? (resposta: 1, 52× 10−16s)

(c) Qual a corrente associada a esse movimento? Pense no eletroncomo se estivesse esticado ao redor da circunferencia de tal formaque em um tempo T a carga q que passa por um ponto do cırculoe e. (resposta: 1, 05mA. Enorme!!)

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Figura 10: Esquema semi-classico de um eletron orbitando um proton.

(d) Qual o momento de dipolo magnetico associado a este movi-mento? Ache a magnitude e a direcao. Esta momento e co-mumente chamado de um Magnetron de Bohr, µB. (resposta:9, 27× 10−24A ·m2 na direcao do eixo z)

(e) Uma das razoes para este modelo ser chamado de semi-classicoe porque classicamente nao ha razao para a orbita do eletron tero valor fornecido acima. O valor de r e determinado a partirda mecanica quantica assumindo que o momento angular J doeletron pode assumir apenas multiplos inteiros de h/2π onde h =6, 63×10−34J/s e a constante de Plank. Qual o momento angularorbital do eletron em unidades de h/2π?

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