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Curso Hidráulica de Canales Abiertos. Primera Parte. Instructor: Roberto Campaña Toro.

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SEPARATAS DEL CURSO DE HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS

PRIMERA PARTE

Temas:

Flujo Uniforme y Flujo Crítico

Instructor: M.Sc. Ing. Roberto Campaña Toro

Julio 2015

Curso Hidráulica de Canales Abiertos. Primera Parte. Instructor: Roberto Campaña Toro.

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Nota sobre el material impreso y de las presentaciones entregadas a los participantes del curso

El material impreso que se entrega como parte del curso se debe emplear para fines de repaso de

los temas cubiertos en el desarrollo del mismo. Este material no se debe distribuir fuera del curso

a través de medios impresos o electrónicos.

En el desarrollo del curso y las separatas se han citado las fuentes de la información y los gráficos

que se han incluido en el texto. Los derechos de autor permanecen con las fuentes citadas.

Los derechos de autor del material producido para el curso es propiedad intelectual de los autores

que son instructores del curso y la Universidad Nacional de Ingeniería y pueden ser empleados en

otros cursos o futuras publicaciones.

Rímac, 1º de Agosto de 2015.

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REFERENCIAS:

Las Separatas de Clase se han basado en las siguientes referencias:

- Chaudry, Hanif (2008) Open Channel Flow. Springer. Nueva York,

USA. - Chow, V.T. (1994) Hidráulica de Canales. . Mc Graw Hill

Interamericana. Santa Fé de Bogotá, Colombia. - Graf, W (1998) Fluvial Hydraulics. Wiley. West Sussex, Inglaterra. - Rocha, Arturo (1969) Transporte de Sedimentos. Universidad Nacional

de Ingeniería. Lima, Perú. - Rocha, Arturo (2007) Hidráulica de Tuberías y Canales. Universidad

Nacional de Ingeniería. Lima, Perú. - Potter, Merle. (2001) Mecánica de Fluidos. Thomson, USA.

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1. FLUJO EN CANALES ABIERTOS

1.1.- Introducción

La conducción del agua mediante canales abiertos ha sido uno de los logros

más importantes de la humanidad comparable solo con la invención de la

rueda, el dominio del fuego ó la invención de la máquina de vapor.

Si bien, como todas las ramas de la ingeniería, en sus comienzos el

dimensionamiento de los canales abiertos se realizó en función de bases

totalmente empíricas sustentada en un proceso de prueba y error, el avance

de la ciencia apoyada fuertemente en el método científico permite que en la

actualidad se cuenten con herramientas de análisis basadas en una

comprensión clara de los mecanismos físicos que determinan el

comportamiento del agua.

1.2.- Definición

Los canales abiertos conducen el agua en condición de superficie libre, es decir la superficie del agua está en contacto con la atmósfera. En esta condición el movimiento del fluido se produce básicamente por la acción de la gravedad determinándose que el flujo se produzca siempre de zonas de mayor a menor elevación. La aspereza de las paredes del conducto influye en el comportamiento del agua transportada por los canales afectando principalmente a la rapidez con la que esta discurre y a su profundidad.

Figura 1.1 Esquemas de Flujo en Superficie Libre

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1.2.- Principales variables hidráulicas

Caudal (Q)

Es una medida de la cantidad de agua transportada por la corriente, se expresa en términos de volumen de agua transportado por unidad de tiempo (L3T-1: m3/s en S.I.)

Figura 1.2 Estación de Aforo

Velocidad (V)

Es una medida de la rapidez con que se desplaza el agua en un curso de agua, se expresa en términos de distancia por unidad de tiempo (LT-1: m/s en S.I.). Puede cuantificarse como una velocidad media de la corriente ó como velocidades puntuales en diferentes ubicaciones de una sección transversal.

Figura 1.3 Caracterización de Velocidades en una Sección de Canal

Fuente: Adaptado de Chow (1994). Hidráulica de Canales.

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Esfuerzo de Corte ()

Cuantifica la fricción por unidad de área ejercida por el agua sobre una superficie en contacto con esta. La superficie de contacto puede ser las paredes de un canal ó superficies de volúmenes de control que forman parte de la masa del agua transportada por el canal. Se expresa en términos de fuerza cortante por unidad de área de contacto (F.L-2 : N/m2 en S.I.)

Figura 1.4. Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Canal

Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

Figura 1.5 Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Volumen de Control

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

Rugosidad , “k”,“n”, C

Cuantifica la aspereza de las paredes del canal, la manera más sencilla de definirla es mediante la altura media de las irregularidades (m), sin embargo

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según el contexto en la que se la cuantifique puede expresarse en otras unidades.

Figura 1.6 Rugosidad en Fondo de Canal

Fuente: Rocha (1969). Transporte de Sedimentos.

1.3.- Leyes Fundamentales que Gobiernan el Flujo en Canales

El flujo en canales abiertos está gobernado por las siguientes leyes

fundamentales.

Ley de Conservación de la Masa

Establece que la masa de un sistema, definido este como un conjunto fijo de

partículas de un material, debe conservarse. Para flujos de agua de densidad

constante, situación típica de los flujos en superficie libre, la ley establece

que el caudal entre dos secciones de flujo contiguas se mantiene (Q1=Q2).

Esto se expresa mediante la ecuación de continuidad:

2211 .. AVAV (1.1)

donde:

V1 y V2: Velocidades medias de la corriente en las secciones 1 y 2.

A1 y A2: Areas transversales en las secciones 1 y 2.

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Figura 1.7 Esquema de Balance de Masas

Ley de la Conservación de la Energía

Establece que la energía de un sistema debe conservarse. Se deriva de la

primera ley de la termodinámica. La aplicación de esta ley para flujos de agua

en canales abiertos muestra que la energía del flujo va disminuyendo en el

sentido del flujo; esto se debe tanto a las pérdidas de energía por la fricción

de las paredes ó singularidades como a la disminución en la elevación del

fondo del canal.

Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuación de la

energía.

Et1 = Et2 + dE12 (1.2)

donde:

Et1 y Et2 : Energía total en 1 y 2.

dE12 : Pérdida de Energía en las secciones 1 y 2.

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En el contexto del flujo de canales abiertos la energía suele expresarse en

términos de energía por unidad de fuerza (Joule/Newton) resultando

unidades de longitud (m). En la Figura 1.8 se visualiza las componentes del

balance de energía entre dos secciones transversales de un canal abierto.

Figura 1.8 Esquema de Balance de Energía

Como se observa en la Figura la energía en cada sección se calcula como:

g

vyzE

2

2

(1.3)

Donde: z (m): Elevación con respecto a un nivel de referencia arbitrario. y(m): Tirante. V(m/s): Velocidad Media de la sección α : Coeficiente de Coriolis que toma en cuenta la existencia de un perfil de velocidades variables en la vertical; para flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.

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Ley de la Conservación de la Cantidad de Movimiento

Establece que la cantidad de movimiento de un sistema debe conservarse. Se

deriva de la segunda ley de Newton. La aplicación de esta ley para flujos de

agua en canales abiertos muestra que la cantidad de movimiento del flujo a

lo largo de un canal puede mantenerse constante ó variar en función de las

fuerzas que se ejerzan sobre el flujo a lo largo de su recorrido.

Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuación de la

energía.

xFCMCM 12 (1.4)

donde:

CM1 y CM2 : Cantidad de Movimiento en 1 y 2.

SFx : Sumatoria de Fuerzas ejercidas sobre el flujo a lo largo de su recorrido

entre las secciones 1 y 2

En la Figura 1.9 se visualizan las fuerzas que actúan sobre el volumen de

control seleccionado entre las dos secciones transversales de un canal

abierto.

Figura 1.9 Esquema de Balance de Fuerzas

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La cantidad de movimiento (CM) en cada sección se calcula mediante

... VQCM (1.5)

Donde:

ρ (kg/m3): Densidad del Fluido

Q (m3/s): Caudal Líquido

V(m/s): Velocidad Media de la sección

β : Coeficiente de Bousinesq que toma en cuenta la existencia de un perfil de

velocidades variables en la vertical; al igual que el coeficiente de Coriolis para

flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.

1.4.CLASIFICACION DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

1.4.1 Por su permanencia en el tiempo

Flujo Permanente: Es aquel donde las características hidráulicas no varían en

el tiempo. Así en una sección dada el gasto, presión, velocidad, etc,

permanecen constantes a lo largo del tiempo.

Figura 1.10 Flujo Permanente

Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

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Flujo Impermanente: Es aquel donde las características hidráulicas en una

sección determinada pueden cambiar con respecto al tiempo.

Figura 1.11 Flujo No Permanente

Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

1.4.2 Por su uniformidad espacial.

Flujo Uniforme: Es aquel donde las características hidráulicas no varían

longitudinalmente. Así en un canal con movimiento uniforme el área, la

velocidad y el caudal son constantes en todas las secciones transversales y la

línea de energía es paralela a superficie del agua y al fondo del canal

Figura 1.12 Flujo Uniforme

Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

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Flujo No Uniforme:

Es aquel donde las características hidráulicas varían longitudinalmente. En

un canal con movimiento uniforme el área y la velocidad cambian a lo largo

del tramo y la línea de energía no es paralela a la superficie del agua ni al

fondo del canal.

Figura 1.13 Flujo No Uniforme

Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

1.4.3 Por su nivel de turbulencia

Flujo Laminar

Es aquel flujo donde la agitación de las partículas es depreciable, supone que

las líneas de corriente fluyen siempre paralelas entre sí. Es una situación

bastante rara en situaciones ingenieriles.

Figura 1.14 Flujo Laminar

Se puede describir mediante el número de Reynolds que cuantifica la relación

entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Cuando su valor es inferior

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a 600 se puede considerar que el flujo es laminar. El número de Reynolds se

calcula mediante la expresión Re=V.RH/ν, donde V=Velocidad Media (m/s),

Radio Hidráulico (m) y ν=Viscosidad Cinemática (m2/s)

Flujo turbulento

Es aquel flujo donde la agitación de las partículas es considerable, en este

caso las líneas de corrientes no siguen una trayectoria paralela.

Figura 1.15 Flujo Turbulento

Se presenta cuando el número de Reynolds es mayor a 2000. Cuando el

número de Reynolds es menor que 2000 y mayor que 600 se dice que el flujo

está en una etapa transicional.

Figura 1.16 Flujos Laminares y Turbulentos

(a) (b) (c)

(a) Flujo laminar de agua. (b) Flujo turbulento de agua (c) Flujo primero laminar y luego flujo turbulento de humo

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1.4.4 Por su régimen de flujo

Flujo Sub Crítico

Es aquel flujo donde las perturbaciones pueden remontar la corriente del

canal. Se manifiesta con bajas velocidades y tirante grandes.

Figura 1.17 Flujo Sub Critico

Se puede describir mediante el número de Froude que cuantifica la relación

entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitatorias. El número de Froude

también puede interpretarse como la relación entre la velocidad media de la

corriente (v) y la velocidad de propagación de las ondas superficiales (c)

En dado que en flujo subcrítico las ondas superficiales pueden remontar la

corriente es decir (c>v) su valor es menor a 1

Flujo Super – Crítico

Es aquel flujo donde las perturbaciones no pueden remontar la corriente del

canal. Se manifiesta con altas velocidades y tirante bajos.

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Figura 1.18 Flujo SuperCritico

Dado que en flujo supercrítico las ondas superficiales no pueden remontar la

corriente es decir (c<v) el valor del número de Froude es mayor que 1.

Flujo Crítico

Es aquel flujo donde las perturbaciones que tenderían a moverse hacia aguas

arriba permanecen estacionarias. Se caracteriza por su inestabilidad ya que

pequeños cambios de flujo pueden ocasionar variaciones súbitas de tirante y

velocidad.

Figura 1.19 Flujo Critico

Dado que en flujo crítico la velocidad de las ondas superficiales (c) es igual a

la velocidad de la corriente (v) el valor del número de Froude es igual a 1.

1.5 Ejercicio Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho de base y taludes laterales 1.5H:1V. Si el canal transporta un caudal de agua de 8 m3/s con un tirante de 1.41 m a una temperatura de 20 oC. Determinar: a) El nivel de turbulencia del flujo b) El régimen de flujo c) La energía total en una sección cuyo fondo tiene una cota de 20 msnm. d) La cantidad de movimiento en dicha sección.

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2. FLUJO UNIFORME

2.1 Definición En condiciones de flujo uniforme las características hidráulicas no varían longitudinalmente. Así en un canal con movimiento uniforme la velocidad media, la profundidad del agua, el ancho de flujo, etc son constantes en todas las secciones transversales. Esto determina que la línea de energía, la superficie libre y el fondo sean líneas paralelos, de modo que sus pendientes son iguales.

Figura 2.1 Flujo Uniforme en un Canal

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

Para que se desarrolle el flujo uniforme la pendiente no debe ser excesivamente grande. Si la pendiente es muy grande aparecen ondulaciones superficiales y el flujo deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan a lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. 2.2 Esfuerzos Cortantes En flujo uniforme los esfuerzos cortantes ejercidos por el agua sobre las superficies en contacto con esta no varían longitudinalmente, sin embargo si presentan una variación transversal y vertical. Su determinación para

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geometrías complejas requiere de mediciones experimentales, a continuación se analizan tres casos simples.

a) Esfuerzos Cortantes en un Canal muy ancho. Un canal ancho es un canal donde los efectos de las paredes laterales sobre el flujo pueden considerarse despreciables, se considera un canal ancho aquel donde el ancho de base (B) sea mayor que 10 veces el tirante (y). Generalmente los ríos pueden considerarse canales anchos. En la Figura 2.2 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.

Figura 2.2 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:

SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,

W senθ = τh .Al [ρg(y-h) ∆s.B] senθ = τh .( ∆s.B) Simplificando y haciendo senθ=S dado que el ángulo θ es pequeño se tiene: τh = ρg(y-h) S (2.1)

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Se observa que la distribución del esfuerzo de corte es lineal como puede verse en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Distribución de Esfuerzos de corte en un canal muy ancho

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h= 0. τo = γ y S (2.2) Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico τo = γ R S (2.3) Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso especifico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).

b) Esfuerzo Cortante en un canal de cualquier sección transversal Corresponderían a conductos compactos utilizados en irrigación ó sistemas de alcantarillados, generalmente son calanes rectangulares, trapezoidales. En la Figura 2.4 se presenta una sección genérica.

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Figura 2.4. Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal.

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

Si se hacen similares consideraciones a las realizadas para un canal ancho se llega a que la componente longitudinal del peso (W senθ) debe equilibrase con la fuerza de fricción ejercida por el fondo y las paredes del canal (τm .Al). τm es el esfuerzo cortante promedio en el fondo y las paredes y representa el promedio de los esfuerzos cortantes que se presentarán transversalmente a la sección, dado que las profundidad de agua no es constante transversalmente, los esfuerzos cortantes tampoco lo serán. Del equilibrio mencionado: W senθ = τm .Al (2.4) En este caso W = ρgA∆s reemplazando en (2.4) (ρgA∆s). senθ = τm .P. ∆s haciendo senθ=S y simplificando se tiene que:

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Si se hace R=A/P Se tiene

SRo ..

(2.5)

Se observa que las ecuaciones (2.3) y (2.5) son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo de un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía. La distribución de esfuerzos cortantes en la sección depende de la geometría del conducto y se obtiene generalmente con datos experimentales. La Figura 2.5 muestra la distribución de esfuerzos cortantes en una sección trapezoidal con talud 1H:1.5V y ancho de base b igual 4 veces el tirante h. Figura 2.5. Distribución de Esfuerzos Cortantes en una Sección Trapezoidal

Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

Se observa que los esfuerzos cortantes que se presentan en la parte central del fondo del canal son muy cercanos a los obtenidos para un canal ancho. Esto indica que la influencia de las paredes es muy pequeña en dicha

ubicación. En las Figuras 2.6 y 2.7 se presentan las relaciones Sy

fondoo

..

max

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y Sy

orillaso

..

max

para canales rectangulares y trapezoidales de taludes

variables

Figura 2.6. Valor de Relación Sy

fondoo

..

max

para diferentes valores de b/y

Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.

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Figura 2.7. Valor de Relación Sy

orillaso

..

max

para diferentes valores de b/y

Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.

2.3 Distribución de Velocidades En flujo uniforme las velocidades del agua no varían longitudinalmente, sin embargo, al igual que los esfuerzos cortantes si presentan una variación transversal y vertical. En la Figura 2.8 se observa cómo pueden variar las velocidades a través de una sección transversal en función de la geometría del conducto.

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Figura 2.8. Distribuciones de Velocidad para Diferentes Geometría de Canal

Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.

Su determinación para geometrías complejas requiere de mediciones experimentales y ó modelamientos numéricos, a continuación se analizan tres casos simples. 2.3.1 En Canal Muy Ancho con Movimiento Laminar Si bien es un caso muy raro en la práctica ingenieril, con fines pedagógicos se mostrará la deducción del perfil de velocidades den un canal ancho con flujo laminar. En flujo laminar es válida la ecuación de Newton para los esfuerzos cortantes

dh

dvhh

Igualando esta expresión con la ecuación (2.1 ) deducida en el ítem previo τh = ρg(y-h) S se tiene

dh

dvShy h (2.6)

dividiendo por ρ

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dh

dvShyg h

separando variables

dhhySg

dvh

.

De donde:

Ch

hygS

vh

2.

2

el valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones de

borde (h=0, vh=0; C=0), Luego,

2.

2hhy

gSvh

(2.7)

Ecuación de distribución de velocidades en

un canal con movimiento laminar

Figura 2.9. Distribución de Velocidades en Flujo Laminar

La velocidad máxima se obtiene cuando h=y, 2

2

..max y

Sgv

(2.8)

Integrando y dividiendo por el área se obtiene la velocidad media

AdAvV

yh

h

h /0

.

(2.9) 3

.. 2ySgV

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2.3.2 En Canal Muy Ancho con Movimiento Turbulento

Para obtener la ecuación de distribución de velocidades en el flujo turbulento

es necesario establecer una relación entre los esfuerzos de corte y las

velocidades. Se sabe que en el flujo turbulento se produce un intercambio

constante de partículas a diferentes niveles tal como se muestra en la Figura

2.10.

Figura 2.10. Fluctuaciones de Velocidad en Flujo Turbulento

Fuente: Adaptado de Potter (2002). Mecánica de Fluidos.

Supóngase que una partícula masa de agua definida se eleva hacia un nivel

superior con una componente vertical de velocidad v´ y en el camino la

componente x de su velocidad cambia en u´; si se supone que dicho cambio

se produjo debido a una fuerza cortante en la dirección x actuando sobre un

área normal al flujo vertical dA, de la aplicación de la ecuación de cantidad de

movimiento se tiene que:

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'. QudAh , haciendo Q=v´.dA

'v´.dA... udAh

simplificando se obtiene la expresión de Reynolds

''. vuh (2.10)

donde:

h = Esfuerzo tangencial presente en el flujo turbulento

u’ y v’ son las fluctuaciones de la velocidad en un punto

Siguiendo a Prandtl, si se asume que las velocidades longitudinales varían en

la vertical según el gradiente dh

dvh , en una distancia vertical "L" la variación

habrá sido de L dh

dvh , esta variación es precisamente el valor de u´

mencionado previamente, se tiene entonces que:

dh

dvLu h'

experimentalmente se constata que v´ es del mismo orden de magnitud que

u´, por lo tanto:

dh

dvLv h'

L se define como la longitud de mezcla y es la distancia media recorrida por

una partícula para transferir o perder el exceso de cantidad de movimiento.

por lo tanto:

2

2

dh

dvL h

h (2.11)

de donde se obtiene que:

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Ldh

dv

h

h

(2.12)

Estableciendo una relación entre L y la profundidad donde el valor de L es

igual a cero tanto en el fondo como en la superficie se tiene que:

y

hhL 1 (2.13)

donde χ es la constante de Karman, para la cual se acepta el valor de 0.4 (sin

sólidos e suspensión)

Reemplazando (2.13) en (2.12)

y

hh

dh

dv

h

h

1

Sustituyendo el valor de th

y

hh

Shy

dh

dvh

1

)(

simplificando

h

Syg

dh

dvh

.. (2.14)

la expresión Syg .. recibe el nombre de velocidad de corte (v*),

reemplazando en (2.14)

h

v

dh

dvh

*

Integrando:

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Chv

vh ln*

(2.15)

la ecuación (2.15) solo es válida hasta cierta distancia (ho) muy próxima del

fondo ya que para h=0, . Asumiendo que para ho la velocidad

será cero se tiene que el valor de la constante de integración C es:

ohV

C ln*

Reemplazando en (2.15)

o

hh

hvV ln*

(2.16)

Contorno Hidráulicamente Liso

El trabajo teórico y experimental de Prandtl y Nikuradse, que supuso que

para condiciones de contorno liso se desarrolla cerca al fondo una delgada

capa de espesor “δ” en la que el flujo es laminar y donde la distribución de

velocidades es diferente de la del resto de la sección condujo a la expresión

1040

h (2.17)

Esta expresión fue obtenida para situaciones en que 4.0k , teniendo en

cuenta que *

6.11v

, el rango de validez de la expresión también puede

expresarse como 5.*

kv

Reemplazando ho en (2.16) se tiene

hvvh

.104ln* (2.18) Ecuación de distribución de velocidades en un

contorno hidráulicamente liso

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Contorno Hidráulicamente Rugoso

El trabajo experimental de Nikuradse en tuberías con altura de rugosidad

absoluta “k” condujo a

ho=k/30 (2.19)

Esta expresión fue obtenida para situaciones en que 6k , teniendo en

cuenta que *

6.11v

, el rango de validez de la expresión también puede

expresarse como 70.*

kv

Reemplazando ho=k/30 en (2.16) se obtiene

k

hvVh

30ln*

(2.20)

Cuando 70.

5 *

kv el flujo se encuentra en etapa transicional entre liso y

rugoso.

2.4 Velocidad Media Mediante la Ecuación de Chezy 2.4.1 Ecuación de Chezy Según la ecuación de Chezy la velocidad media en un canal en flujo uniforme se calcula mediante:

SRCV .. (2.21) Donde: R: Radio Hidráulico. S: Pendiente de la Línea de Energía C: Coeficiente de Chezy que depende de las características del contorno y puede calcularse mediante

7/2/

6log18

k

RC (2.22)

*

6.11

v

(2.23)

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Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero están sustentadas casi en su totalidad en mediciones empíricas. La ecuación de Chezy puede deducirse suponiendo que el esfuerzo cortante medio que se opone al movimiento esta en función de la velocidad media del flujo al cuadrado. En la Figura 2.11 se utiliza esta hipotesis en el análisis de fuerzas del volumen de control seleccionado.

Figura 2.11. Análisis de Fuerzas en un Canal

Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.

Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:

SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,

W senθ = (K.V2).P.L (ρg. A.L) senθ = (K.V2).P.L Simplificando y haciendo senθ=S dado que el ángulo θ es pequeño se tiene:

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SP

A

K

gV .

reemplazando R = A/P y haciendo

K

gC

se obtiene

SRCV .. En base a análisis teóricos y experimentales se ha determinado que el valor de C se pude calcular como

7/2/

6log18

k

RC

*

6.11

v

Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero están sustentadas casi en su totalidad en mediciones empíricas. El caudal Q se puede calcular mediante Q = V.A 2.4.2 Demostración Teórica-Experimental de la Ecuación de Chezy a Partir de la Distribución de Velocidades. 2.4.2.1 Velocidad Media en Contornos Hidráulicamente Lisos

En un canal ancho el caudal por unidad de ancho puede expresarse como

q=V.y

donde:

V: Velocidad media

y: tirante

de donde se tiene que V=q/y

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Despreciando la pequeñísima porción de flujo que discurre en la subcapa

laminar, para una franja de unidad de ancho, q puede calcularse como

yh

h

h dhVq

.

reemplazando en esta expresión la ecuación obtenida para contornos

hidráulicamente lisos

hvvh

.104ln*

se obtiene

yh

h

dhhv

q

.104ln*

de donde finalmente se llega a:

yLn

vV

3.38* (2.24)

Esta expresión proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con

fondo hidráulicamente liso. En un canal ancho el radio hidráulico R se puede

aproximar como y, por lo tanto la expresión podría presentarse de esta

manera:

RLn

vV

3.38* (2.25)

Se puede demostrar que en tuberías la velocidad media es

RLn

vV

4.46* (2.26)

De (2.25) y (2.26) se adapta la expresión (2.27) válida para canales y tuberías

RLn

vV

42* (2.27)

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2.4.2.2 Velocidad Media en Contornos Hidráulicamente rugosos

En base a consideraciones análogas a las realizadas para canales

hidráulicamente lisos y utilizando las ecuaciones

yh

hoh

h dhVq . y

k

hvVh

30ln*

se obtiene que

yh

hoh

dhk

hvq

30ln*

de donde finalmente se obtiene que

k

yLn

vV

11*

(2.28)

Esta expresión proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con

fondo hidráulicamente rugoso. Para un canal ancho se puede expresar como:

k

RLn

vV

11*

(2.29)

se puede demostrar que en tuberías la velocidad media es

k

RLn

vV

4.13*

(2.30)

De (2.29) y (2.30) se adapta la expresión (2.31) válida para canales y tuberías

k

RLn

vV

12*

(2.31)

Adaptando (2.27) y (2.31) se obtiene

7/2/

6ln*

k

RvV (2.32)

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Expresando la ecuación 2.32 en términos de logaritmos decimales mediante

ln X = ln 10. logX y reemplazando SRgv ..* y χ= 0.4 se tiene que:

SRk

RV .

7/2/

6log18

(2.33)

si se asume que

7/2/

6log18

k

RC donde

*

6.11

v

se llega a:

SRCV .. que corresponde a la expresión de la Ecuación de Chezy

Tabla 2.1. Valores Típicos de la Rugosidad Absoluta k

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

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2.5 Velocidad Media Mediante la Ecuación de Manning La ecuación de Manning para la velocidad media se obtiene a partir de la

ecuación de Chezy ( SRCV .. ) haciendo C=R1/6/n. Así se tiene que la velocidad media se expresa mediante la expresión:

n

SRV

2

1

3

2

. (2.34)

Donde: R: Radio Hidráulico. S: Pendiente de la Línea de Energía n: Coeficiente de Manning que depende de la aspereza del contorno De Q = V.A el Caudal (Q) se expresa mediante.

n

SRAQ

2

1

3

2

.. (2.35)

Donde: A: Área de la Sección Transversal. El coeficiente de Manning se obtiene experimentalmente. En la Tabla 2.1 se muestran valores típicos para diferentes tipos de superficies.

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Tabla 2.2. Coeficientes de Manning para Diferentes tipos de Superficies

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

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Aplicación de la Ecuación de Manning a Canales de Sección Compuesta y rugosidad variable. Una sección compuesta es aquella de geometría variable y rugosidad variable. En la Figura 2.12 se presenta un ejemplo.

Figura 2.12. Sección Compuesta y de Rugosidad Variable

El caudal total Q puede tomarse como la suma de los caudales parciales. Q= Q1+Q2+Q3+…….QN y en cada sección puede aplicarse la ecuación de Manning

Rugosidad Equivalente Para secciones compuestas y rugosidad variable, partiendo del concepto de que la suma de los caudales de las subsecciones es igual al caudal total, Lotter obtuvo la siguiente expresión como una rugosidad equivalente:

i

ii

e

n

RP

RPn

3

5

3

5

.

.

(2.36)

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Para secciones simples y rugosidad variable, suponiendo que la velocidad media en cada subsección eran iguales a la velocidad media de toda la sección v1=v2=v3=...v, Horton y Einstein obtuvieron:

3/22/3

.

i

iie

P

nPn (2.37)

Figura 2.13. Sección Simple y de Rugosidad Variable

De manera que el caudal total puede calcularse como

en

SRAQ

2

1

3

2

.. (2.38)

correspondiendo A y R al área y radio hidráulico total.

2.6 Ejercicios 1. Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) El tirante. b) La velocidad media. c) Los esfuerzos cortantes máximos en el fondo y en las paredes. d) El esfuerzo cortante medio en las paredes y fondo. e) El Número de Froude. 2. Se tiene un canal ancho de 2.5 m de tirante , 0.001 m de pendiente e irregularidades de fondo de 0.05 m de altura media. Si la temperatura del agua es de 10oC. Determinar: a) El perfil de velocidades. b) La velocidad media. c) El caudal específico.

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3. FLUJO CRÍTICO

3.1 Definición Corresponde a la situación en que la velocidad local del flujo es igual a la

celeridad de propagación de las perturbaciones, esto determina que las

perturbaciones que tenderían a moverse hacia aguas arriba permanecerán

estacionarias. Como se verá más adelante esto hace que las características

hidráulicas en una sección de flujo crítico (tirante y velocidad) dependan solo

de las características geométricas locales de la sección y del caudal que pasa

a través de esta.

3.2 Energía Específica La energía específica en una sección determinada se define como la energía

calculada tomando como referencia el nivel del fondo del canal. Se calcula

como la suma del tirante y la carga de velocidad.

E = y + g

v

2

2

(3.1)

Donde :

y : Tirante

v : Velocidad media en el canal

Figura 3.1. Definición de Energía Específica

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

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A diferencia de la energía total que siempre va descendiendo a lo largo del

canal, en flujo uniforme la energía específica se mantiene constante.

Expresada en términos del gasto Q y el área A de la sección transversal la

ecuación (1) se transforma en:

E = y + 2

2

2gA

Q (3.2)

Energía Específica a Caudal Constante

Si se asume constante el caudal (Q), debido a que el área (A) depende del

tirante (y), la energía específica en una sección dependerá únicamente del

valor del tirante (y). Al graficar versus y con un caudal constante se tendrá.

Figura 3.2. Relación entre la Energía Específica y el Tirante para un Caudal Constante

Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

En la gráfica las rectas y=0 y y=E son asíntotas de la curva E vs. y. La Figura

muestra se observa que en el estado crítico la energía especifica es mínima

para un caudal determinado.

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Análisis de la condición de Energía Específica Mínima

El mínimo contenido de energía se obtiene cuando 0dy

dE

Derivando (3.2) con respecto de y.

dy

dA

gA

Q

dy

dE3

2

1 (3.3)

Tomando en cuenta que de la Figura

adjunta

dA = T.dy

de donde:

dy

dAT (4)

Reemplazando (3.4) en (3.3)

3

2

1gA

TQ

dy

dE (3.5)

Reemplazando 0dy

dE en (3.5)

13

2

gA

TQ (3.6) (Expresión general de flujo critico)

Despejando Q

T

AgAQ . (3.7)

Reemplazando: T

Ad , donde d: tirante hidráulico

dgAQ . (3.8)

dividiendo entre A ambos miembros se tiene:

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dgv . (3.9) (Velocidad Crítica)

Reemplazando en la expresión para el número de Froude dg

vFr

. (3.10)

se tiene que para un flujo critico Fr = 1

En un río donde v < vcritica se tendrá que Fr < 1 (flujo subcritico)

En un torrente donde v > vcritica se tendrá que Fr > 1 (flujo supercritico)

3.3 Tirante Crítico en Secciones Características Flujo Crítico en una Sección Rectangular

Tirante Crítico:

Igualando la expresión para la velocidad crítica cc dgv . con la expresión

de velocidad de la ecuación de continuidad vc=Q/Ac

c

c

A

Q

T

Ag . ,

para una sección rectangular

TyA cc

Reemplazando Ac y despejando yc

3/2

1

gT

Qyc

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3

2

g

qyc (3.11)

Flujo Crítico en una Sección Parabólica

Tirante Crítico:

De:

cc dgv . igual a vc=Q/Ac

en una sección parabólica

TyA cc3

2

Reemplazando Ac y despejando yc

3/2

2/1

2/3

.3

2

1

gT

Qyc

, si se reemplaza q por Q/T , y se opera se tiene:

3/2701.0 qyc (3.12)

Flujo Crítico en una Sección Trapezoidal

Tirante Crítico:

De:

cc dgv . igual a vc=Q/Ac

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c

c

A

Q

T

Ag . ,

en una sección trapezoidal

AC = (b+z.yc)yc

T = b+2z.yc

Reemplazando Ac y reacomodando

g

Q

yzb

yyzb

c

cc233

..2

).(

(3.13)

el tirante crítico yc se obtiene mediante tanteos.

Flujo Crítico en una Sección Circular

Tirante Crítico:

De:

cc dgv . igual a vc=Q/Ac

c

c

A

Q

T

Ag . ,

en una sección circular

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)sen(2

2

r

Ac

2/sen

)cos1(

rT

Reemplazando Ac , T y reacomodando

g

Qr 2

35

cos1

2sen)sen(

2cos1

2

Dyc

(3.14)

3.4 Relación entre el Tirante Crítico y la Energía Especifica En una sección rectangular:

Se sabe:

g

vyE c

c2

2

además:

cc ygv .

de donde:

Eyc3

2 (15) y E

g

vc

3

1

2

2

(3.16)

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En una sección parabólica

de: g

vyE c

c2

2

y T

Agv c

c .

donde:

TyA cc3

2

se obtiene que:

Eyc4

3 (3.17) y E

g

vc

4

1

2

2

(3.18)

En Sección Trapezoidal:

de: g

vyE c

c2

2

y T

Agv c

c .

donde:

cc yTb

A2

se obtiene que:

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EbT

Tyc

5

4 (3.19) y E

bT

Tb

g

vc

52

2

(3.20)

3.4 Variación del gasto con el tirante a energía específica constante:

Para una sección rectangular la expresión de Energía específica

E = y + 2

2

2gA

Q

puede transformarse en

E = y + 2

2

2gy

q

Si se asume E constate y se despeja q:

yyEgq )(2 (3.21)

Derivando q con respecto de y e igualando a cero se puede obtener el gasto

máximo

0)(2

12 2/12/1

yyEyEg

dy

dq

Ey3

2 (3.22)

Esta expresión es la misma obtenida para condiciones críticas (ec. 3.15) , se

concluye así que para una energía específica dada el gasto es máximo cuando

las condiciones son críticas.

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Figura 3.3. Relación entre el Caudal Específico y el Tirante para una Energía Específica Constante

GASTO A ENERGIA ESPECIFICA CONSTANTE

Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.

De la Figura 3.3 se podría afirmar que las condiciones críticas representan la

condición de flujo más eficiente ya que produce la máxima descarga para una

energía especifica dada; sin embargo a pesar de esto no es la condición más

deseable para fines de diseño ya que como se observa en la Figura 3.2

pequeños cambios en la Energía Específica puede resultar en fluctuaciones

significativas en la profundidad del flujo haciéndola una condición inestable.

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3.5 Ejercicio Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) Hacer el gráfico tirante vs. energía específica. b) El tirante crítico. c) La velocidad crítica d) Si la sección fuera rectangular de 1 m de ancho, ¿ cuáles serían el tirante crítico y la velocidad crítica?