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Estudio de fundamentos y técnicas de simulaciónab-initio.

Aplicaciones al fluoruro de Aluminio α−AlF3

Lic. Jorge Luis Navarro SánchezDirector: Dr. Eduardo A. Albanesi

Seminario, Instituto de Física del LitoralIFIS CONICET-UNL

[email protected]

Octubre 10, 2014

Introducción Resumen

Resumen de la Charla

IntroducciónFundamentos Teóricos

Aproximaciones utilizadasMétodos computacionales.

Caracterización estructural de α−AlF3

Propiedades electrónicas- Corrección GWPropiedades ópticas- Corrección BSEPerspectivas de trabajo.Conclusiones

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 2 / 42

Introducción Objetivos

Objetivos

Como objetivos del trabajo se plantean los siguientes:

Estudiar los fundamentos y los esquemas de modelización ycaracterización ab-initio a nivel de detalle necesario en lananoescala incluyendo las correcciones por las interacciones demuchos cuerpos.Conocer los diferentes métodos con los cuales se implementanlas técnicas ab-initio por medio de dos de los programas másdifundidos al efecto, Wien2k y ABINIT.Aplicar los estudios anteriores para caracterizar y modelar pormedio de herramientas computacionales ab-initio el αAlF3.

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Introducción Objetivos

Objetivos

Como objetivos del trabajo se plantean los siguientes:Estudiar los fundamentos y los esquemas de modelización ycaracterización ab-initio a nivel de detalle necesario en lananoescala incluyendo las correcciones por las interacciones demuchos cuerpos.

Conocer los diferentes métodos con los cuales se implementanlas técnicas ab-initio por medio de dos de los programas másdifundidos al efecto, Wien2k y ABINIT.Aplicar los estudios anteriores para caracterizar y modelar pormedio de herramientas computacionales ab-initio el αAlF3.

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Introducción Objetivos

Objetivos

Como objetivos del trabajo se plantean los siguientes:Estudiar los fundamentos y los esquemas de modelización ycaracterización ab-initio a nivel de detalle necesario en lananoescala incluyendo las correcciones por las interacciones demuchos cuerpos.Conocer los diferentes métodos con los cuales se implementanlas técnicas ab-initio por medio de dos de los programas másdifundidos al efecto, Wien2k y ABINIT.

Aplicar los estudios anteriores para caracterizar y modelar pormedio de herramientas computacionales ab-initio el αAlF3.

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Introducción Objetivos

Objetivos

Como objetivos del trabajo se plantean los siguientes:Estudiar los fundamentos y los esquemas de modelización ycaracterización ab-initio a nivel de detalle necesario en lananoescala incluyendo las correcciones por las interacciones demuchos cuerpos.Conocer los diferentes métodos con los cuales se implementanlas técnicas ab-initio por medio de dos de los programas másdifundidos al efecto, Wien2k y ABINIT.Aplicar los estudios anteriores para caracterizar y modelar pormedio de herramientas computacionales ab-initio el αAlF3.

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Introducción Contexto

Calculos Ab-initio

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

Hamiltoniano para sistemas de muchos cuerpos. α y β son los núcleos, i y j son loselectrones.

H = −~2

2

∑α

1

mα∇2α −

~2

2me

∑i

∇2i +

∑α

∑β>α

ZαZβe2

~rαβ−∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑i

∑i>j

e2

~rij

Energía cinética de los nucleos

Energía cinética de los electrones

Energía potencial debida a la repulsipon nuclear

Energía potencial debida a la atracción electrón-nucleo

Energía potencial debida a la repulsipon electrónica

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

Hamiltoniano para sistemas de muchos cuerpos. α y β son los núcleos, i y j son loselectrones.

H = −~2

2

∑α

1

mα∇2α −

~2

2me

∑i

∇2i +

∑α

∑β>α

ZαZβe2

~rαβ−∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑i

∑i>j

e2

~rij

Energía cinética de los nucleos

Energía cinética de los electrones

Energía potencial debida a la repulsipon nuclear

Energía potencial debida a la atracción electrón-nucleo

Energía potencial debida a la repulsipon electrónica

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

Hamiltoniano para sistemas de muchos cuerpos. α y β son los núcleos, i y j son loselectrones.

H = −~2

2

∑α

1

mα∇2α −

~2

2me

∑i

∇2i +

∑α

∑β>α

ZαZβe2

~rαβ−∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑i

∑i>j

e2

~rij

Energía cinética de los nucleos

Energía cinética de los electrones

Energía potencial debida a la repulsipon nuclear

Energía potencial debida a la atracción electrón-nucleo

Energía potencial debida a la repulsipon electrónica

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

Hamiltoniano para sistemas de muchos cuerpos. α y β son los núcleos, i y j son loselectrones.

H = −~2

2

∑α

1

mα∇2α −

~2

2me

∑i

∇2i +

∑α

∑β>α

ZαZβe2

~rαβ−∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑i

∑i>j

e2

~rij

Energía cinética de los nucleos

Energía cinética de los electrones

Energía potencial debida a la repulsipon nuclear

Energía potencial debida a la atracción electrón-nucleo

Energía potencial debida a la repulsipon electrónica

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

Hamiltoniano para sistemas de muchos cuerpos. α y β son los núcleos, i y j son loselectrones.

H = −~2

2

∑α

1

mα∇2α −

~2

2me

∑i

∇2i +

∑α

∑β>α

ZαZβe2

~rαβ−∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑i

∑i>j

e2

~rij

Energía cinética de los nucleos

Energía cinética de los electrones

Energía potencial debida a la repulsipon nuclear

Energía potencial debida a la atracción electrón-nucleo

Energía potencial debida a la repulsipon electrónica

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos Aproximaciones utilizadas

Aproximación de Born Oppenheimer

HΨ(~qi, ~qα) = EΨ(~qi, ~qα)

Considerando que mα me

Hel = −~2

2me

∑i

∇2i −

∑α

∑i

Zαe2

~riα+∑j

∑i>j

e2

~rij

La ecuación de Schrödinger a resolver ahora es:

(Hel − VNN )Ψel = EelΨel

Donde

VNN =∑α

∑β>α

ZαZβe2

~Rαβ⇒ Vext

Born-Oppenheimer, permite desacoplar los movimientos electrónicos y nucleares.

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.Se separa la ecuación de

Schrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =

N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.Se separa la ecuación de

Schrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =

N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.

Se separa la ecuación deSchrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =

N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.Se separa la ecuación de

Schrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =

N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.Se separa la ecuación de

Schrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Ecuaciones de Kohn y Sham

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.1965 W. Kohn y L. Sham plantean el formalismo matemático de la DFT.Se separa la ecuación de

Schrödinger en N ecuaciones deuna sola partícula

[− ~2

2m∇2 + Veff (~r)

]ψi(~r) = εiψi(~r)

Donde la densidad total estadefinida por

ρ(~r) =N∑i=1

|ψi(~r)|2

Se define el potencial efectivoVeff (~r) = Vext(r) + Vc(~r) + Vxc(~r)

El único término que se debe aproximar es el potencial de intercambioy correlación Vxc(~r)

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Fundamentos teóricos DFT

Potencial de Intercambio y correlación

Existen diferentes aproximaciones para el potencial de intercambio ycorrelación

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Fundamentos teóricos DFT

Potencial de Intercambio y correlación

Existen diferentes aproximaciones para el potencial de intercambio ycorrelación

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y ShamDonde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y ShamDonde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y Sham

Donde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y ShamDonde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y ShamDonde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos DFT

Solución de las ecuaciones de Kohn y Sham

Se requiere resolver la llamada ecuación secular

H¯· Ci = εi · S

¯· Ci

Lo cual permite obtener la energía εi de Kohn y ShamDonde:

Sij = 〈Φj |Φk〉

Matriz de solapamiento

Hjk =

⟨Φj

∣∣∣∣− ~2m∇2 + VC + Vxc

∣∣∣∣Φk⟩Elementos de matriz del Hamiltoniano

Proceso iterativo, finaliza cuando los valores iniciales y finales de ρ(~r) son igualesdentro de un margen de tolerancia.

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Extensiones a la DFT

Historicamente se ha logrado un cálculo adecuado de energías en el estadofundamental.

Subestimación de los band gaps en semiconductores y aisladores.La DOS calculada con LDA en sistemas con enlaces d y f (no llenos) no estande acuerdo con valores experimentales.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 10 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Extensiones a la DFT

Historicamente se ha logrado un cálculo adecuado de energías en el estadofundamental.Subestimación de los band gaps en semiconductores y aisladores.

La DOS calculada con LDA en sistemas con enlaces d y f (no llenos) no estande acuerdo con valores experimentales.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 10 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Extensiones a la DFT

Historicamente se ha logrado un cálculo adecuado de energías en el estadofundamental.Subestimación de los band gaps en semiconductores y aisladores.La DOS calculada con LDA en sistemas con enlaces d y f (no llenos) no estande acuerdo con valores experimentales.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 10 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Extensiones a la DFT

Historicamente se ha logrado un cálculo adecuado de energías en el estadofundamental.Subestimación de los band gaps en semiconductores y aisladores.La DOS calculada con LDA en sistemas con enlaces d y f (no llenos) no estande acuerdo con valores experimentales.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 10 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Extensiones a la DFT

Historicamente se ha logrado un cálculo adecuado de energías en el estadofundamental.Subestimación de los band gaps en semiconductores y aisladores.La DOS calculada con LDA en sistemas con enlaces d y f (no llenos) no estande acuerdo con valores experimentales.

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GWCuasipartícula: Combinación de una partícula real (Electron/hueco) y una nube depares virtuales de interacción electron-hueco que la rodean. Por esto se debe recurrira las llamadas teorias de muchos cuerpos, "Many body"

1965 Lars Hedin plantea la aproximación de apantallamiento dinámico GW

Donde W , se refiere al potencial de Coulomb apantallado.

W (~r1, ~r2) = ε−1v(~r1, ~r2)

Siendo v(~r1, ~r2) =e2

|~r1 − ~r2|el potencial de Coulomb estático.

Definiendo la evolución temporal del sistema por medio de la función de Green:

G(~r1, t1;~r2, t2) = −i〈N |Tψ(~r1, t1)ψ†(~r2, t2)|N〉

Con lo cual, se puede definir el operador autoenergía

Σ(~r1, ~r2, E) =i

∫G(~r1, ~r2, E + E′)W (~r1, ~r2, E

′)dE′

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 11 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GWCuasipartícula: Combinación de una partícula real (Electron/hueco) y una nube depares virtuales de interacción electron-hueco que la rodean. Por esto se debe recurrira las llamadas teorias de muchos cuerpos, "Many body"

1965 Lars Hedin plantea la aproximación de apantallamiento dinámico GW

Donde W , se refiere al potencial de Coulomb apantallado.

W (~r1, ~r2) = ε−1v(~r1, ~r2)

Siendo v(~r1, ~r2) =e2

|~r1 − ~r2|el potencial de Coulomb estático.

Definiendo la evolución temporal del sistema por medio de la función de Green:

G(~r1, t1;~r2, t2) = −i〈N |Tψ(~r1, t1)ψ†(~r2, t2)|N〉

Con lo cual, se puede definir el operador autoenergía

Σ(~r1, ~r2, E) =i

∫G(~r1, ~r2, E + E′)W (~r1, ~r2, E

′)dE′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GWCuasipartícula: Combinación de una partícula real (Electron/hueco) y una nube depares virtuales de interacción electron-hueco que la rodean. Por esto se debe recurrira las llamadas teorias de muchos cuerpos, "Many body"

1965 Lars Hedin plantea la aproximación de apantallamiento dinámico GW

Donde W , se refiere al potencial de Coulomb apantallado.

W (~r1, ~r2) = ε−1v(~r1, ~r2)

Siendo v(~r1, ~r2) =e2

|~r1 − ~r2|el potencial de Coulomb estático.

Definiendo la evolución temporal del sistema por medio de la función de Green:

G(~r1, t1;~r2, t2) = −i〈N |Tψ(~r1, t1)ψ†(~r2, t2)|N〉

Con lo cual, se puede definir el operador autoenergía

Σ(~r1, ~r2, E) =i

∫G(~r1, ~r2, E + E′)W (~r1, ~r2, E

′)dE′

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 11 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GWCuasipartícula: Combinación de una partícula real (Electron/hueco) y una nube depares virtuales de interacción electron-hueco que la rodean. Por esto se debe recurrira las llamadas teorias de muchos cuerpos, "Many body"

1965 Lars Hedin plantea la aproximación de apantallamiento dinámico GW

Donde W , se refiere al potencial de Coulomb apantallado.

W (~r1, ~r2) = ε−1v(~r1, ~r2)

Siendo v(~r1, ~r2) =e2

|~r1 − ~r2|el potencial de Coulomb estático.

Definiendo la evolución temporal del sistema por medio de la función de Green:

G(~r1, t1;~r2, t2) = −i〈N |Tψ(~r1, t1)ψ†(~r2, t2)|N〉

Con lo cual, se puede definir el operador autoenergía

Σ(~r1, ~r2, E) =i

∫G(~r1, ~r2, E + E′)W (~r1, ~r2, E

′)dE′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GWCuasipartícula: Combinación de una partícula real (Electron/hueco) y una nube depares virtuales de interacción electron-hueco que la rodean. Por esto se debe recurrira las llamadas teorias de muchos cuerpos, "Many body"

1965 Lars Hedin plantea la aproximación de apantallamiento dinámico GW

Donde W , se refiere al potencial de Coulomb apantallado.

W (~r1, ~r2) = ε−1v(~r1, ~r2)

Siendo v(~r1, ~r2) =e2

|~r1 − ~r2|el potencial de Coulomb estático.

Definiendo la evolución temporal del sistema por medio de la función de Green:

G(~r1, t1;~r2, t2) = −i〈N |Tψ(~r1, t1)ψ†(~r2, t2)|N〉

Con lo cual, se puede definir el operador autoenergía

Σ(~r1, ~r2, E) =i

∫G(~r1, ~r2, E + E′)W (~r1, ~r2, E

′)dE′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GW

Un calculo GW requiere en principio de la soluciónde la ecuación de cuasipartículas:

H0(~r1ψ(~r1)) +

∫Σ(~r1, ~r2, E)ψ(~r2)d3~r2 = Eψ(~r1)

Donde la interacción se incluye como unaperturbación en H0

H0(~r1) = T + VN (~r1) + vxc(~r1)

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 12 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GW

Un calculo GW requiere en principio de la soluciónde la ecuación de cuasipartículas:

H0(~r1ψ(~r1)) +

∫Σ(~r1, ~r2, E)ψ(~r2)d3~r2 = Eψ(~r1)

Donde la interacción se incluye como unaperturbación en H0

H0(~r1) = T + VN (~r1) + vxc(~r1)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Corrección GW

Un calculo GW requiere en principio de la soluciónde la ecuación de cuasipartículas:

H0(~r1ψ(~r1)) +

∫Σ(~r1, ~r2, E)ψ(~r2)d3~r2 = Eψ(~r1)

Donde la interacción se incluye como unaperturbación en H0

H0(~r1) = T + VN (~r1) + vxc(~r1)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Parte imaginaría función dieléctrica

ε2(ω)αβ =4π2e2

m2ω2

∑i,f

∫〈f |pα|i〉〈f |pβ |i〉Wi(1−Wf )× δ(Ef − Ei − ~ω)d3k

Parte real función dieléctrica por medio de relaciones de Kramers y Kronig:

ε1(ω) = 1 +2

π

∫ ∞0

ε2(ω)ω′dω′

ω′2 − ω2

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 13 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Parte imaginaría función dieléctrica

ε2(ω)αβ =4π2e2

m2ω2

∑i,f

∫〈f |pα|i〉〈f |pβ |i〉Wi(1−Wf )× δ(Ef − Ei − ~ω)d3k

Parte real función dieléctrica por medio de relaciones de Kramers y Kronig:

ε1(ω) = 1 +2

π

∫ ∞0

ε2(ω)ω′dω′

ω′2 − ω2

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Parte imaginaría función dieléctrica

ε2(ω)αβ =4π2e2

m2ω2

∑i,f

∫〈f |pα|i〉〈f |pβ |i〉Wi(1−Wf )× δ(Ef − Ei − ~ω)d3k

Parte real función dieléctrica por medio de relaciones de Kramers y Kronig:

ε1(ω) = 1 +2

π

∫ ∞0

ε2(ω)ω′dω′

ω′2 − ω2

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 14 / 42

Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Transiciones electrónicas

Restantes funciones ópticas

Índice de refracción

n(ω) =

√|ε(ω)|+ ε1(ω)

2

Coeficiente de extinción:

K(ω) =

√|ε(ω)| − ε1(ω)

2

Reflectividad a incidencia normal:

R(ω) =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

Coeficiente de absorción:

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

Función de perdida de energíaelectrónica:

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Fundamentos teóricos Correcciones Many Body

Ecuación BSE

Ecuación de Bethe Salpeter: Corrección GW que incluye la estructura electrónica de Kohn ySham junto con la interacción de Coulomb apantallada incluyendo la interacción electrón-hueco,con la cual se puede mejorar la estimación de la función dielectrica ε2(ω)

ε2(ω) = 1− limq→0

(ω) =4πe2

q2

∑λ

|∑v,c〈v|eiq·r|c〉A

v,cλ |

2

ω − Eλ + iη

Eλ y Av,cλ son los autovalores y autovectores de:

Hexcvc,v′,c′A

v′,c′

λ = EλAv,cλ

Hexcvck,v′,c′k′ = Hdiag

vck;v′c′k′ +Hexchvc−fk;c′v′k′ +Hscr

vck;v′c′k′

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Métodos computacionales

Método LAPW

LAPW Linearized Augmented PlaneWavesSe divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 16 / 42

Métodos computacionales

Método LAPWLAPW Linearized Augmented PlaneWaves

Se divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 16 / 42

Métodos computacionales

Método LAPWLAPW Linearized Augmented PlaneWavesSe divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 16 / 42

Métodos computacionales

Método LAPWLAPW Linearized Augmented PlaneWavesSe divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

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Métodos computacionales

Método LAPWLAPW Linearized Augmented PlaneWavesSe divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

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Métodos computacionales

Método LAPWLAPW Linearized Augmented PlaneWavesSe divide el sistema en dos regiones

1 Esféras atómicas centradasalrededor de los sitios atómicos

2 Región intersticial

Wien2k

Este método es utilizado por elprograma Wien2k.Página web:http://www.wien2k.at

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Métodos computacionales

Método de Pseudopotenciales

Generalidades

Este método es utilizado por el programa ABINIT.Página web: http://www.abinit.org.

1 Reemplaza el potencial nuclear por unpseudopotencial que tiene en cuenta solo losefectos ocasionados por los electrónes devalencia.

2 Reduce el número de orbitales que seincluyen en el cálculo al incluir menoselectrones.

3 Se usa una base de ondas planas pararepresentar las funciones de ondaψ(~r) = ei(

~k+ ~K)·~r

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 17 / 42

Métodos computacionales

Método de Pseudopotenciales

Generalidades

Este método es utilizado por el programa ABINIT.Página web: http://www.abinit.org.

1 Reemplaza el potencial nuclear por unpseudopotencial que tiene en cuenta solo losefectos ocasionados por los electrónes devalencia.

2 Reduce el número de orbitales que seincluyen en el cálculo al incluir menoselectrones.

3 Se usa una base de ondas planas pararepresentar las funciones de ondaψ(~r) = ei(

~k+ ~K)·~r

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 17 / 42

Métodos computacionales

Método de Pseudopotenciales

Generalidades

Este método es utilizado por el programa ABINIT.Página web: http://www.abinit.org.

1 Reemplaza el potencial nuclear por unpseudopotencial que tiene en cuenta solo losefectos ocasionados por los electrónes devalencia.

2 Reduce el número de orbitales que seincluyen en el cálculo al incluir menoselectrones.

3 Se usa una base de ondas planas pararepresentar las funciones de ondaψ(~r) = ei(

~k+ ~K)·~r

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Métodos computacionales

Método de Pseudopotenciales

Generalidades

Este método es utilizado por el programa ABINIT.Página web: http://www.abinit.org.

1 Reemplaza el potencial nuclear por unpseudopotencial que tiene en cuenta solo losefectos ocasionados por los electrónes devalencia.

2 Reduce el número de orbitales que seincluyen en el cálculo al incluir menoselectrones.

3 Se usa una base de ondas planas pararepresentar las funciones de ondaψ(~r) = ei(

~k+ ~K)·~r

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Métodos computacionales

Método de Pseudopotenciales

Generalidades

Este método es utilizado por el programa ABINIT.Página web: http://www.abinit.org.

1 Reemplaza el potencial nuclear por unpseudopotencial que tiene en cuenta solo losefectos ocasionados por los electrónes devalencia.

2 Reduce el número de orbitales que seincluyen en el cálculo al incluir menoselectrones.

3 Se usa una base de ondas planas pararepresentar las funciones de ondaψ(~r) = ei(

~k+ ~K)·~r

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Polimorfismos AlF3

Fase estable a temperatura ambiente

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 18 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Polimorfismos AlF3

Fase estable a temperatura ambiente

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 18 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 19 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 19 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.

6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 19 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Cristalografía α− AlF3

Datos cristalográficos

Estructura romboédrica.

Grupo espacial 167 R3c.

acell = 5.0294angs

8 átomos por celda unidad.

2 átomos de Al.6 átomos de F .

Aislante iónico.

Un calculo All-electron incluye 80electrones (26Al, 54F ).

Un calculo con pseudopotencialesincluye 48 electrones (18Al, 30F ).

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Propiedades estructurales

Por medio de las ecuaciones de estado de Birch-Murnagham,la presión en función del volumense define como:

P (V ) =3

2B0

[(V0

V

)7/3

−(V0

V

)5/3]

1 +3

4(B′0 − 4)

[(V0

v

)2/3

− 1

]

mientras que la energía en función de volumen se define como:

E(V ) = E0 +9V0B0

16

[(

V0

V

)2/3

− 1

]3B′0 +

[(V0

V

)2/3

− 1

]2 [6− 4

(V0

V

)2/3]

B0 es el modulo de Bulk del material.

B′0 su derivada.

V0 es el volumen de equilibrio

E0 es la enegía mínima

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 20 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Propiedades estructurales

Por medio de las ecuaciones de estado de Birch-Murnagham,la presión en función del volumense define como:

P (V ) =3

2B0

[(V0

V

)7/3

−(V0

V

)5/3]

1 +3

4(B′0 − 4)

[(V0

v

)2/3

− 1

]

mientras que la energía en función de volumen se define como:

E(V ) = E0 +9V0B0

16

[(

V0

V

)2/3

− 1

]3B′0 +

[(V0

V

)2/3

− 1

]2 [6− 4

(V0

V

)2/3]

B0 es el modulo de Bulk del material.

B′0 su derivada.

V0 es el volumen de equilibrio

E0 es la enegía mínima

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 20 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Propiedades estructurales

Por medio de las ecuaciones de estado de Birch-Murnagham,la presión en función del volumense define como:

P (V ) =3

2B0

[(V0

V

)7/3

−(V0

V

)5/3]

1 +3

4(B′0 − 4)

[(V0

v

)2/3

− 1

]

mientras que la energía en función de volumen se define como:

E(V ) = E0 +9V0B0

16

[(

V0

V

)2/3

− 1

]3B′0 +

[(V0

V

)2/3

− 1

]2 [6− 4

(V0

V

)2/3]

B0 es el modulo de Bulk del material.

B′0 su derivada.

V0 es el volumen de equilibrio

E0 es la enegía mínima

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Popiedades estructuralesCurvas obtenidas por fiteo de Birch Murnagham

800 1000Volumen (Bohr^3)

-150,9

-150,85

-150,8

-150,75

En

erg

ia (

Ha)

Datos calculados ABINITBirch-Murnag

Energia Vs.Volumen

alfa-AlF3

800 1000Volumen (Bohr^3)

-20

0

20

40

60

Pre

sion (

GP

a)

Datos Calculados ABINITBirch-Murnag

Presion Vs Volumenalfa-AlF3

E0 = −150.88Ha

V0 = 943.52Bohr3

B0 = 137GPa

B′0 = 3.47

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 21 / 42

Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Popiedades estructuralesCurvas obtenidas por fiteo de Birch Murnagham

800 1000Volumen (Bohr^3)

-150,9

-150,85

-150,8

-150,75

En

erg

ia (

Ha)

Datos calculados ABINITBirch-Murnag

Energia Vs.Volumen

alfa-AlF3

800 1000Volumen (Bohr^3)

-20

0

20

40

60

Pre

sion (

GP

a)

Datos Calculados ABINITBirch-Murnag

Presion Vs Volumenalfa-AlF3

E0 = −150.88Ha

V0 = 943.52Bohr3

B0 = 137GPa

B′0 = 3.47

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Resultados Caracterización estructural α− AlF3

Popiedades estructuralesCurvas obtenidas por fiteo de Birch Murnagham

800 1000Volumen (Bohr^3)

-150,9

-150,85

-150,8

-150,75

En

erg

ia (

Ha)

Datos calculados ABINITBirch-Murnag

Energia Vs.Volumen

alfa-AlF3

800 1000Volumen (Bohr^3)

-20

0

20

40

60

Pre

sion (

GP

a)

Datos Calculados ABINITBirch-Murnag

Presion Vs Volumenalfa-AlF3

E0 = −150.88Ha

V0 = 943.52Bohr3

B0 = 137GPa

B′0 = 3.47

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 21 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados (total)

DOS Total ABINIT

Band Gap DFT 7.79eV

DOS Total Wien2k

-20 -10 0 10 20 30Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

DOS total αAlF3 Wien2k

Band Gap del mismo orden demagnitud.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 22 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados (total)

DOS Total ABINIT

Band Gap DFT 7.79eV

DOS Total Wien2k

-20 -10 0 10 20 30Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

DOS total αAlF3 Wien2k

Band Gap del mismo orden demagnitud.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 22 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados (total)

DOS Total ABINIT

Band Gap DFT 7.79eV

DOS Total Wien2k

-20 -10 0 10 20 30Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

DO

S (

Sta

tes

Vol-1

eV

-1)

DOS total αAlF3 Wien2k

Band Gap del mismo orden demagnitud.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 22 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados (total)

DOS Total ABINIT

Band Gap DFT 7.79eV

DOS Total Wien2k

-20 -10 0 10 20 30Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

DO

S (

Sta

tes

Vol-1

eV

-1)

DOS total αAlF3 Wien2k

Band Gap del mismo orden demagnitud.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 22 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados parcial (PDOS)

Principales picos calculados a partir de DOS en (eV) y sus estados aportantes para el α−AlF3.Los orbitales se muestran en orden decreciente de contribución.

0

50

100

150

200

F-s StatesF-p States

F-d States

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes

Vol-1

eV

-1)

Al-s StatesAl-p States

Al-d States

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

100

200

300

400

500

600

700

Total DOS α−AlF3

0

F C

on

du

ctio

n D

OS

VBM CBM

c1

c2

c3

c4 c

5

c6

c7

c8

c9

c10

V1

v2

v2

v3

v4

v5

v6

v7v

8

VBM Max Zona valencia

CMB Mín zona conducción

Pico DOS EnergíaDOS

Estadosapor-tantes.

Mayor MenorV8 −5.02 F-p Al-s Al-pV7 −3.85 F-p Al-pV6 −3.19 F-p Al-p Al-dV5 −2.82 F-p Al-p Al-dV4 −2.16 F-p Al-dV3 −1.64 F-p Al-dV2 −0.98 F-pV1 −0.32 F-pV BM 0CMB 10.81C1 14.15 Al-s Al-p F-pC2 15.7 Al-s Al-p F-p F-sC3 16.14 Al-s Al-p F-pC4 16.43 Al-s F-p Al-pC5 17.39 Al-p Al-sC6 18.27 Al-p Al-s F-p F-sC7 18.93 F-p Al-s Al-sC8 19.74 Al-d Al-p F-pC9 20.11 Al-p Al-d F-pC10 21.09 Al-d Al-p F-p

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 23 / 42

Resultados Estructura electrónica

Densidad de estados parcial (PDOS)

Principales picos calculados a partir de DOS en (eV) y sus estados aportantes para el α−AlF3.Los orbitales se muestran en orden decreciente de contribución.

0

50

100

150

200

F-s StatesF-p States

F-d States

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes

Vol-1

eV

-1)

Al-s StatesAl-p States

Al-d States

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

100

200

300

400

500

600

700

Total DOS α−AlF3

0

F C

on

du

ctio

n D

OS

VBM CBM

c1

c2

c3

c4 c

5

c6

c7

c8

c9

c10

V1

v2

v2

v3

v4

v5

v6

v7v

8

VBM Max Zona valencia

CMB Mín zona conducción

Pico DOS EnergíaDOS

Estadosapor-tantes.

Mayor MenorV8 −5.02 F-p Al-s Al-pV7 −3.85 F-p Al-pV6 −3.19 F-p Al-p Al-dV5 −2.82 F-p Al-p Al-dV4 −2.16 F-p Al-dV3 −1.64 F-p Al-dV2 −0.98 F-pV1 −0.32 F-pV BM 0CMB 10.81C1 14.15 Al-s Al-p F-pC2 15.7 Al-s Al-p F-p F-sC3 16.14 Al-s Al-p F-pC4 16.43 Al-s F-p Al-pC5 17.39 Al-p Al-sC6 18.27 Al-p Al-s F-p F-sC7 18.93 F-p Al-s Al-sC8 19.74 Al-d Al-p F-pC9 20.11 Al-p Al-d F-pC10 21.09 Al-d Al-p F-p

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 23 / 42

Resultados Estructura electrónica

Estructura de Bandas α− AlF3

L U X U Gamma L U WWave vector (k)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

En

erg

y (

eV)

εF

Estructura de bandas del α−AlF3 donde se observa el Gapdirecto en el punto Γ de 7.79eV

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 24 / 42

Resultados Estructura electrónica

Estructura de Bandas α− AlF3

L U X U Gamma L U WWave vector (k)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

En

erg

y (

eV)

εF

Estructura de bandas del α−AlF3 donde se observa el Gapdirecto en el punto Γ de 7.79eV

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 24 / 42

Resultados Estructura electrónica

Corección GW a la estructura de bandas

Estructura de bandas del α−AlF3 con gap corregido con GW.Gap obtenido 10.81 eV en el punto Γ.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 25 / 42

Resultados Estructura electrónica

Corección GW a la estructura de bandas

Estructura de bandas del α−AlF3 con gap corregido con GW.Gap obtenido 10.81 eV en el punto Γ.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 25 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Función dielectríca εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2 (

ω)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1 (

ω)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 26 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Función dielectríca εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2 (

ω)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1 (

ω)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 26 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

RefracciónCoeficiente deExtinciónReflectividad

Grilla de puntos k de25x25x25 convergidaincluyendo 36 bandas.ABINIT

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n( ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 5 10 15 20 25 30

Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 27 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

RefracciónCoeficiente deExtinciónReflectividad

Grilla de puntos k de25x25x25 convergidaincluyendo 36 bandas.ABINIT

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n( ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 5 10 15 20 25 30

Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 27 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

RefracciónCoeficiente deExtinciónReflectividad

Grilla de puntos k de25x25x25 convergidaincluyendo 36 bandas.ABINIT

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n( ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 5 10 15 20 25 30

Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 27 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

RefracciónCoeficiente deExtinciónReflectividad

Grilla de puntos k de25x25x25 convergidaincluyendo 36 bandas.ABINIT

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n( ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 5 10 15 20 25 30

Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 27 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

Coeficiente de absorción

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

0 10 20 30Energy (eV)

0

25

50

75

100

125

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función de perdida de energía electrónica

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

- Im

ε (

ω)

EELS(ω) Dir xx

EELS(ω) Dir yy

EELS(ω) Dir zz

Cálculos realizados con una grilla de puntos k de 25x25x25 totalmente convergidaincluyendo 36 bandas, por medio del Programa ABINIT

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 28 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Funciones ópticas

Coeficiente de absorción

α(ω)j =2ω

c

(|ε(ω)j | − ε1(ω)j

2

) 12

0 10 20 30Energy (eV)

0

25

50

75

100

125

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función de perdida de energía electrónica

EELS(ω) = Im

− 1

ε(ω)

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

- Im

ε (

ω)

EELS(ω) Dir xx

EELS(ω) Dir yy

EELS(ω) Dir zz

Cálculos realizados con una grilla de puntos k de 25x25x25 totalmente convergidaincluyendo 36 bandas, por medio del Programa ABINIT

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 28 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función dielectríca ε2(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

1

2

3

4

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx DFT

ε2(ω) Dir yy DFT

ε2(ω) Dir zz DFT

ε2(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 29 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función dielectríca ε2(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

1

2

3

4

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx DFT

ε2(ω) Dir yy DFT

ε2(ω) Dir zz DFT

ε2(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 29 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función dielectríca ε2(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

1

2

3

4

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx DFT

ε2(ω) Dir yy DFT

ε2(ω) Dir zz DFT

ε2(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 29 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función dielectríca ε2(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

1

2

3

4

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx DFT

ε2(ω) Dir yy DFT

ε2(ω) Dir zz DFT

ε2(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 29 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función de perdida de energía electronica EELS(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

-Im

ε(ω

)

EELS(ω) Dir xx DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 30 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función de perdida de energía electronica EELS(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

-Im

ε(ω

)

EELS(ω) Dir xx DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 30 / 42

Resultados Propiedades ópticas

Corrección BSE

Función de perdida de energía electronica EELS(ω)

ExcitonesGrilla de puntos k de14x14x14 convergidaimplementando BSE.ABINIT

0 10 20 30Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

-Im

ε(ω

)

EELS(ω) Dir xx DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) Dir yy DFT

EELS(ω) BSE

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 30 / 42

Resultados Comparación experimental

EELS(ω) Exp Vs Teoría

10 20 30Energy (eV)

0,5

1

1,5-I

m ε

EELS(ω) BSE

EELS(ω) Peak 1 Exp

EELS(ω) DFT

EELS(ω) exp 2 Peak

Técnicas XPS y UPSEin = 100eV

Ángulo incidencia: 30

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 31 / 42

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Perspectivas

Modelado de interfaces

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(100)

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(111)

Calulo de fenómenos de transporte en dichas interfases,obtención de curvas I-VImplementación de otros progamas de cálculo (Ej. OpenMX,SIESTA).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 32 / 42

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Perspectivas

Modelado de interfaces

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(100)

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(111)

Calulo de fenómenos de transporte en dichas interfases,obtención de curvas I-VImplementación de otros progamas de cálculo (Ej. OpenMX,SIESTA).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 32 / 42

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Perspectivas

Modelado de interfaces

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(100)

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(111)

Calulo de fenómenos de transporte en dichas interfases,obtención de curvas I-V

Implementación de otros progamas de cálculo (Ej. OpenMX,SIESTA).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 32 / 42

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Perspectivas

Modelado de interfaces

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(100)

Modelado de interface α−AlF3 − Cu(111)

Calulo de fenómenos de transporte en dichas interfases,obtención de curvas I-VImplementación de otros progamas de cálculo (Ej. OpenMX,SIESTA).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 32 / 42

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 33 / 42

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Conclusiones

Resultados:

El α−AlF3 es un material del grupo espacial R3C del grupo de simetría 167. Es unmaterial que en su celda unitaria cuenta con 8 átomos, 2 de Al y 6 de F .

Modulo de bulk 137GPa, derivada del módulo de bulk respecto a la presión 3.47, volumende equilibrio 943.53Bohr3, energía mínima 150.88Ha.

Band-gap de 7.793 eV directo en el punto Γ calculado con DFT.

Band-gap GW de 10.81eV corregido en el band gap del material.

Constante dieléctrica ε0 de 1.92 y de 2.0 en presencia de campos locales.

El α−AlF3 presenta una gran absorción en una energía que va desde los 19 eV hasta 24eV.

Corrección BSE. Cálculo de las propiedades ópticas que incluyendo efectos excitónicosregión del band-gap (10− 14eV ).

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Final

Gracias por su atención

Hasta la próxima...

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Teoréma de Block

Electrones de Block[− ~2

2m∇2 + U(~r)

]ψ = Eψ

Asumiendo la periodicidad de la red

V (~r + ~R) = V (~r)

“Las autofunciones o funciones propias ψ de la ecuación de onda para un potencialperiódico V (~r + ~R) = V (~r) son el producto de una onda plana de la forma ei

~k·~r poruna función u~k(~r) que posee la periodicidad de la red cristalina que conforma elsólido”

ψ~k = ei~k·~ru~k(~r)

u~k(~r + ~R) = u~k(~r) para todo vector ~R de la red de Bravais

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 35 / 42

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Teoréma de Block

Electrones de Block[− ~2

2m∇2 + U(~r)

]ψ = Eψ

Asumiendo la periodicidad de la red

V (~r + ~R) = V (~r)

“Las autofunciones o funciones propias ψ de la ecuación de onda para un potencialperiódico V (~r + ~R) = V (~r) son el producto de una onda plana de la forma ei

~k·~r poruna función u~k(~r) que posee la periodicidad de la red cristalina que conforma elsólido”

ψ~k = ei~k·~ru~k(~r)

u~k(~r + ~R) = u~k(~r) para todo vector ~R de la red de Bravais

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Teoréma de Block

Electrones de Block[− ~2

2m∇2 + U(~r)

]ψ = Eψ

Asumiendo la periodicidad de la red

V (~r + ~R) = V (~r)

“Las autofunciones o funciones propias ψ de la ecuación de onda para un potencialperiódico V (~r + ~R) = V (~r) son el producto de una onda plana de la forma ei

~k·~r poruna función u~k(~r) que posee la periodicidad de la red cristalina que conforma elsólido”

ψ~k = ei~k·~ru~k(~r)

u~k(~r + ~R) = u~k(~r) para todo vector ~R de la red de Bravais

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 35 / 42

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Teoréma de Block

Electrones de Block[− ~2

2m∇2 + U(~r)

]ψ = Eψ

Asumiendo la periodicidad de la red

V (~r + ~R) = V (~r)

“Las autofunciones o funciones propias ψ de la ecuación de onda para un potencialperiódico V (~r + ~R) = V (~r) son el producto de una onda plana de la forma ei

~k·~r poruna función u~k(~r) que posee la periodicidad de la red cristalina que conforma elsólido”

ψ~k = ei~k·~ru~k(~r)

u~k(~r + ~R) = u~k(~r) para todo vector ~R de la red de Bravais

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 35 / 42

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Teoréma de Block

Electrones de Block[− ~2

2m∇2 + U(~r)

]ψ = Eψ

Asumiendo la periodicidad de la red

V (~r + ~R) = V (~r)

“Las autofunciones o funciones propias ψ de la ecuación de onda para un potencialperiódico V (~r + ~R) = V (~r) son el producto de una onda plana de la forma ei

~k·~r poruna función u~k(~r) que posee la periodicidad de la red cristalina que conforma elsólido”

ψ~k = ei~k·~ru~k(~r)

u~k(~r + ~R) = u~k(~r) para todo vector ~R de la red de BravaisJ.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 35 / 42

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Teoremas de Hohenberg y Kohn

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

Theorem1. La densidad electrónica ρ(~r) del estado fundamental determina univocamente elpotencial externo Vext(~r), a menos de una constante. ρ(~r) es necesario perosuficiente para construir el Hamiltoniano H. Por lo que al conocer H, se conoceríaψ0(~r1, ...., ~rN ).

Theorem2 .Se puede definir un funcional universal de la energía E[ρ], en términos de ladensidad de carga ρ(~r), valida para cualquier potencial externo Vext(~r).Para un dado Vext(~r), la energía exacta del estado fundamental es el mínimo de lafuncional E[ρ], y la densidad que minimiza la funcional es la densidad de carga delestado fundamental.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 36 / 42

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Teoremas de Hohenberg y Kohn

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

Theorem1. La densidad electrónica ρ(~r) del estado fundamental determina univocamente elpotencial externo Vext(~r), a menos de una constante. ρ(~r) es necesario perosuficiente para construir el Hamiltoniano H. Por lo que al conocer H, se conoceríaψ0(~r1, ...., ~rN ).

Theorem2 .Se puede definir un funcional universal de la energía E[ρ], en términos de ladensidad de carga ρ(~r), valida para cualquier potencial externo Vext(~r).Para un dado Vext(~r), la energía exacta del estado fundamental es el mínimo de lafuncional E[ρ], y la densidad que minimiza la funcional es la densidad de carga delestado fundamental.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 36 / 42

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Teoremas de Hohenberg y Kohn

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

Theorem1. La densidad electrónica ρ(~r) del estado fundamental determina univocamente elpotencial externo Vext(~r), a menos de una constante. ρ(~r) es necesario perosuficiente para construir el Hamiltoniano H. Por lo que al conocer H, se conoceríaψ0(~r1, ...., ~rN ).

Theorem2 .Se puede definir un funcional universal de la energía E[ρ], en términos de ladensidad de carga ρ(~r), valida para cualquier potencial externo Vext(~r).Para un dado Vext(~r), la energía exacta del estado fundamental es el mínimo de lafuncional E[ρ], y la densidad que minimiza la funcional es la densidad de carga delestado fundamental.

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Teoremas de Hohenberg y Kohn

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

Theorem1. La densidad electrónica ρ(~r) del estado fundamental determina univocamente elpotencial externo Vext(~r), a menos de una constante. ρ(~r) es necesario perosuficiente para construir el Hamiltoniano H. Por lo que al conocer H, se conoceríaψ0(~r1, ...., ~rN ).

Theorem2 .Se puede definir un funcional universal de la energía E[ρ], en términos de ladensidad de carga ρ(~r), valida para cualquier potencial externo Vext(~r).Para un dado Vext(~r), la energía exacta del estado fundamental es el mínimo de lafuncional E[ρ], y la densidad que minimiza la funcional es la densidad de carga delestado fundamental.

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 36 / 42

Para terminar...

Teoremas de Hohenberg y Kohn

N∑i=1

[− ~2

2m∇2i + Vext(~ri)

]+

1

2

N∑i6=j=1

e2

|~ri − ~rj |

ψ(~ri, ....~rN ) = Eψ(~ri, ....~rN )

1964 P. Hohenberg Y W. Kohn plantean los teoremas que dan fundamento a la DFT.

Theorem1. La densidad electrónica ρ(~r) del estado fundamental determina univocamente elpotencial externo Vext(~r), a menos de una constante. ρ(~r) es necesario perosuficiente para construir el Hamiltoniano H. Por lo que al conocer H, se conoceríaψ0(~r1, ...., ~rN ).

Theorem2 .Se puede definir un funcional universal de la energía E[ρ], en términos de ladensidad de carga ρ(~r), valida para cualquier potencial externo Vext(~r).Para un dado Vext(~r), la energía exacta del estado fundamental es el mínimo de lafuncional E[ρ], y la densidad que minimiza la funcional es la densidad de carga delestado fundamental.

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Para terminar...

Herramientas para resolver la ecuación deSchrödinger.

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Para terminar...

Comaparación con DOS Teorica

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 38 / 42

Para terminar...

Densidad de estados parcial Al en α− AlF3

DOS parciales obtenidas con ABINIT y con Wien2k

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

DO

S (

Sta

tes/

eV)

Al s-states

Al p-states

Al d-states

Al f-states

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes/

eV)

DOS Total α−AlF3

0

0,5

1

1,5

DO

S (

Sta

tes/

eV)

Al s-states

Al p-states

Al d-states

Al f-states

Al-Dos

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes/

eV)

DOS Total α−AlF3

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 39 / 42

Para terminar...

Densidad de estados parcial Al en α− AlF3

DOS parciales obtenidas con ABINIT y con Wien2k

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

DO

S (

Sta

tes/

eV)

Al s-states

Al p-states

Al d-states

Al f-states

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes/

eV)

DOS Total α−AlF3

0

0,5

1

1,5

DO

S (

Sta

tes/

eV)

Al s-states

Al p-states

Al d-states

Al f-states

Al-Dos

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes/

eV)

DOS Total α−AlF3

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 39 / 42

Para terminar...

Densidad de estados parcial F en α− AlF3

DOS parciales obtenidas con ABINIT y con Wien2k

0

20

40

60

80

100

F D

OS

(Sta

tes

Vol-1

eV

-1) F-s States

F-p States

F-d States

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30Energy (eV)

0

100

200

300

400

500

600

700

Tota

l D

OS

(S

tate

s V

ol-1

eV

-1)

Total DOS α−AlF3

0

2

4

6

8

10

F D

OS

(Sta

tes

Vol-1

eV

-1) Zoom Zona de conduccion

0

2.5

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

F s-statesF p-states

F d-states

F f-states

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

) DOS Total αAlF3

Energy (eV)0

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

Zoom zona de Conduccion

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 40 / 42

Para terminar...

Densidad de estados parcial F en α− AlF3

DOS parciales obtenidas con ABINIT y con Wien2k

0

20

40

60

80

100

F D

OS

(Sta

tes

Vol-1

eV

-1) F-s States

F-p States

F-d States

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30Energy (eV)

0

100

200

300

400

500

600

700

Tota

l D

OS

(S

tate

s V

ol-1

eV

-1)

Total DOS α−AlF3

0

2

4

6

8

10

F D

OS

(Sta

tes

Vol-1

eV

-1) Zoom Zona de conduccion

0

2.5

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

F s-statesF p-states

F d-states

F f-states

-20 -10 0 10 20 30

Energy (eV)

0

5

10

15

20

25

30

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

) DOS Total αAlF3

Energy (eV)0

DO

S (

Sta

tes

Vo

l-1 e

V-1

)

Zoom zona de Conduccion

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Para terminar...

Propiedades ópticas con Wien2kFunción dielectrica εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1(ω

)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

Refracción n(ω), Extinción K(ω), Reflectividad R(ω)

0,60,8

1

1,21,41,61,8

2

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n(ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,5

1

1,5

2

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

Coeficiente de absorción α(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

50

100

150

200

250

300

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función perdida de energía electrónica EELS(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-Im

ε(ω

)

EELS (ω) Dir xx

EELS (ω) Dir yy

EELS (ω) Dir zz

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Para terminar...

Propiedades ópticas con Wien2kFunción dielectrica εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1(ω

)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

Refracción n(ω), Extinción K(ω), Reflectividad R(ω)

0,60,8

1

1,21,41,61,8

2

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n(ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,5

1

1,5

2

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

Coeficiente de absorción α(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

50

100

150

200

250

300

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función perdida de energía electrónica EELS(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-Im

ε(ω

)

EELS (ω) Dir xx

EELS (ω) Dir yy

EELS (ω) Dir zz

J.L. Navarro y E. Albanesi Seminario IFIS CONICET-UNL Octubre de 2014 41 / 42

Para terminar...

Propiedades ópticas con Wien2kFunción dielectrica εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1(ω

)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

Refracción n(ω), Extinción K(ω), Reflectividad R(ω)

0,60,8

1

1,21,41,61,8

2

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n(ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,5

1

1,5

2

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

Coeficiente de absorción α(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

50

100

150

200

250

300

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función perdida de energía electrónica EELS(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-Im

ε(ω

)

EELS (ω) Dir xx

EELS (ω) Dir yy

EELS (ω) Dir zz

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Para terminar...

Propiedades ópticas con Wien2kFunción dielectrica εi(ω)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε2(ω

)

ε2(ω) Dir xx

ε2(ω) Dir yy

ε2(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

ε1(ω

)

ε1(ω) Dir xx

ε1(ω) Dir yy

ε1(ω) Dir zz

Refracción n(ω), Extinción K(ω), Reflectividad R(ω)

0,60,8

1

1,21,41,61,8

2

n(ω

)

n(ω) Dir xx

n(ω) Dir yy

n(ω) Dir zz

0

0,5

1

1,5

2

K(ω

)

K(ω) Dir xx

K(ω) Dir yy

K(ω) Dir zz

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

R(ω

)

R(ω) Dir xx

R(ω) Dir yy

R(ω) Dir zz

Coeficiente de absorción α(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

50

100

150

200

250

300

α(ω

) (x

10

4 c

m-1

)

α(ω) Dir xx

α(ω) Dir yy

α(ω) Dir zz

Función perdida de energía electrónica EELS(ω)

0 10 20 30 40Energy (eV)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-Im

ε(ω

)

EELS (ω) Dir xx

EELS (ω) Dir yy

EELS (ω) Dir zz

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Para terminar...

Ecuación BSE

El término diagonal representa transiciones fotoabsortivas

Hdiagvck,v′,c′k′ = (Eck − Evk)δvv′δcc′δkk′

El segundo término representa el intercambio electrón-hueco

Hexchvc~k,v′,c′~k′ = 2vv

′c′~k′

vc~k= 2

Ω

∑~G6=0

1

|~G|2〈c~k|ei ~G~r|v~k〉 × 〈c′~k′|e−i ~G~r|v′~k′〉

El tercer término toma en cuenta el apantalamiento por medio de ε−1M

HSCRvc~k,v′,c′~k′ = W v′c′~k′

vc~k= −4π

Ω

∑~G~G′

ε−1~G~G′(~q)

|~q + ~G|2〈c~k|ei(~q+~G)~r|c′~k′〉 × 〈v′~k′|e−i(~q+~G)~r|v~k〉δ~q,~k−~k′

Donde ~G y ~G′ son vectores de la red recíproca.

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Para terminar...

Ecuación BSE

El término diagonal representa transiciones fotoabsortivas

Hdiagvck,v′,c′k′ = (Eck − Evk)δvv′δcc′δkk′

El segundo término representa el intercambio electrón-hueco

Hexchvc~k,v′,c′~k′ = 2vv

′c′~k′

vc~k= 2

Ω

∑~G6=0

1

|~G|2〈c~k|ei ~G~r|v~k〉 × 〈c′~k′|e−i ~G~r|v′~k′〉

El tercer término toma en cuenta el apantalamiento por medio de ε−1M

HSCRvc~k,v′,c′~k′ = W v′c′~k′

vc~k= −4π

Ω

∑~G~G′

ε−1~G~G′(~q)

|~q + ~G|2〈c~k|ei(~q+~G)~r|c′~k′〉 × 〈v′~k′|e−i(~q+~G)~r|v~k〉δ~q,~k−~k′

Donde ~G y ~G′ son vectores de la red recíproca.

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Para terminar...

Ecuación BSE

El término diagonal representa transiciones fotoabsortivas

Hdiagvck,v′,c′k′ = (Eck − Evk)δvv′δcc′δkk′

El segundo término representa el intercambio electrón-hueco

Hexchvc~k,v′,c′~k′ = 2vv

′c′~k′

vc~k= 2

Ω

∑~G6=0

1

|~G|2〈c~k|ei ~G~r|v~k〉 × 〈c′~k′|e−i ~G~r|v′~k′〉

El tercer término toma en cuenta el apantalamiento por medio de ε−1M

HSCRvc~k,v′,c′~k′ = W v′c′~k′

vc~k= −4π

Ω

∑~G~G′

ε−1~G~G′(~q)

|~q + ~G|2〈c~k|ei(~q+~G)~r|c′~k′〉 × 〈v′~k′|e−i(~q+~G)~r|v~k〉δ~q,~k−~k′

Donde ~G y ~G′ son vectores de la red recíproca.

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