Semana 12 Estatica Dinamica - [Download PPT Powerpoint]

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR

UNTECSCARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y

ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA

CICLO:IVSEMANA : 12

TEMA :CINEMATICA

PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES

2012-I

II. NOCION DE CINEMATICA La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la

rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para

describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

1.ESPACIO ABSOLUTO. Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e

independiente de la existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclidiano.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

2. MOVIL El móvil más simple que podemos considerar es el punto

material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen

en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su

posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.

En el espacio euclidiano un sistema queda definido por los elementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio físico.

b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a

un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.

De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO En la Figura hemos representado dos

observadores, S y S′, y una partícula P.

Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente.

Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una

órbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una

línea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrán reconciliar sus observaciones

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEODecimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta

1. POSICIÓN. La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO2. DESPLAZAMIENTO.

El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición

inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo

'

ˆ ˆ' '

x x x

r r r x i xi

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO3. VELOCIDAD MEDIA

Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

2 2

2 1

ˆ ˆ' '

' '

m

x xxv

t t t

r r r x i xiv

t t t t t

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO3. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura x y base t.

La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo

se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:

0

lim( )

ˆlim( )

t

x dxv

t dtr dr dx

v it dt dt

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

( ) Trap

Sv

t

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN MEDIA .

Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:

La aceleración media se define como

'

'med

v v va

t t t

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .

La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando t tiende a cero es decir

0

2

lim( )

( )

t

v dva

t dt

d dx d xa

dt dt dt

Solución La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

326 ttx 2312 tt

dt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces

podemos escribir

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 01El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es

Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

Ejemplo 02Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

SoluciónVelocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

Ejemplo 03 Una partícula metálica está sujeta a

la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B

Solución

Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento relativo

Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será.

La velocidad relativa d A con respecto a B será.

La aceleración relativa se expresa en la forma

B A B Ax x x ABAB xxx

B A B Av v v ABAB vvv

B A B Aa a a ABAB aaa

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente

La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras partículas.

En la figura la posición de B depende de la posición de A.

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

2 tan

2 0

A B

x x cons te

v v

a a

Debido a que sólo una de las coordenadas de posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: Movimiento dependiente

Aquí la posición de una partícula depende de dos posiciones más.

En la figura la posición de B depende de la posición de A y de C

Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene

Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad

2 2A B Cx x x ctte

022or022

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx

Ejemplo 06 El collar A y el bloque B están

enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L

Solución Se analiza en primer lugar el

movimiento de A. El collar A tiene un MRUV, entonces

se determina la aceleración y el tiempo

2

020

2

s

in.9in.82

s

in.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

in.9

s

in.12

2

0

tt

tavv AAA

Solución

• Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posición en el tiempo t.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

• El movimiento del bloque B depende del movimiento de collar y la polea. El cambio de posición de B será

0in.42in.8

02

22

0

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

in.160 BB xx

Solución• Derivando la relación entre las posiciones

se obtiene las ecuaciones para la velocidad y la aceleración

2 constant

2 0

in. in.12 2 3 0

s s

18 lg/

A D B

B

x x x

v v v

v

v pu s

in.18

sBv

2

2 0

in.9 0

s

A D B

B

a a a

a

2

in.9

s

9 lg/

B

a

a pu s

Ejemplo 07La caja C está siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA =4m/s a lo largo de la guía. Determine la velocidad y la aceleración de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo está en B la caja se apoya sobre el piso.

Solución La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta

que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

Cuando s = 1 m, la posición de la caja C será

Se determina ahora la posición xA, cuando s = 1 m

2 24 8C Ax x m

4 4 1 3C Cx m s m m x m

2 23 4 8 3A Am x m x m

Solución La velocidad se determina derivando la relación entre las

posiciones con respecto al tiempo

La aceleración será

1/ 22

2 2

116 (2 ) 0

23 (4 / )

16 16 3

2,4 /

C AA A

AC A

A

C

dx dxx x

dt dtx m m s

v vx

v m s

2 2 2

2 2 2 2 3

2 2 2

3

2

16 16 16 [16 ]

4 3(0) 3 (4 )

16 9 16 9 [16 9]

2,048 /

C A A A A A AC A

A A A A

C

dv x v x a x vda v

dt dt x x x x

a

a m s

Ejemplo 08El sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleración constante. Si la aceleración relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleración relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a) la aceleración del bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posición del bloque D al cabo de 5 s

Ejemplo 09Un hombre en A está sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s. Determine la velocidad y la aceleración cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequeña polea D.

Problemas propuestos 3. La aceleración de una partícula se define mediante la

relación . La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s.

4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial

2 2(64 12 ) /a t pul s

Problemas propuestos 5. El bloque A tiene una

velocidad de 3,6 m/s hacia la derecha. Determine la velocidad del cilindro B

6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que forman un ángulo recto y están conectadas por un cordón de longitud L. Determine la aceleración ax del collar B como una función de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba vA

Problemas propuestos 7. Una partícula que se mueve

a lo largo del eje x con aceleración constante , tiene una velocidad de 1,5 m/s en el sentido negativo de las x para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos más tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. ¿Hasta qué coordenada negativa se ha desplazado dicha partícula?.

8. Determine la rapidez vP a la cual el punto P localizado sobre el cable debe viajar hacia el motor M para levantar la plataforma A a razón de vA = 2 m/s.

Problemas propuestos 9. Determine la velocidad del

bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba

10. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba

Problemas propuestos 10. Determine la velocidad con la

cual el bloque asciende si el extremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo

11.

Problemas propuestos Para levantar el embalaje

mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad vA. Determine una expresión para la velocidad ascendente vB del embalaje en función de x. Desprecie la pequeña distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.

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