MA-1002-2012 Esteban Rodríguez

Resumen C.1-Cálculo Diferencial e Integral

(Definiciones y Fórmulas)

• Semana 1: Sucesiones y Continuidad

1. Definición (subsucesión): Sea una sucesión (sn) y sea ϕ : N→ N una función estric-tamente creciente. Se llama subsucesión de sn a aquella generada por ϕ a la sucesión(un), definida por:

un = sϕ(n)

(a) Teorema 1.1: Sea (sn) una sucesión y sea ` ∈ R. Entonces

sn → `⇔ (TODAS las subsucesiones de sn)→`.

(b) Teorema 1.2 (Bolzano-Weierstrass): Toda sucesión acotada tiene al menos unasubsucesión convergente.

• Recuerdo (Definición de Convergencia): Una sucesión (sn) es convergente siy solamente si:

(∀ε > 0) (∃no ∈ N) (∀n ≥ n0) |sn − `| ≤ε

• Definición extra (Sucesión de Cauchy): Se dice que una sucesión es de Cauchysi:

(∀ε > 0) (∃no ∈ N) (∀n,m ≥ n0) |sn − sm| ≤ ε

2. Definición (Función continua en un punto): Sea f : A ⊆ R→ R y x ∈ A, diremosque f es una función continua en x si:

∀(xn) ⊆ A, xn → x⇒ f(xn)→ f(x)

(a) Teorema 2.1(Álgebra de funciones continuas): Sea f : A ⊆ R → R y seag : B ⊆ R → R dos funciones continuas en x ∈ A ∩ B. Luego las siguientesfunciones son continuas en x.

i. f + g

ii. f − giii. λf ∀λ ∈ Riv. f · gv. f/g g(x) 6= 0

Son todas funciones continuas.

(b) Teorema 2.2 (Composición de funciones continuas): Sea f : A ⊆ R → R ysea g : B ⊆ R→ R dos funciones. Si f es continua en x ∈ A y g es continua eng(x) ∈ B, entonces la función g ◦ f es continua en x.

(c) Teorema 2.3(Caracterización ε− δ de la continuidad): Sean f : A ⊆ R→ Ry x ∈ A. f es continua en x ssi se cumple que:

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ A) (|x− x| ≤ δ ⇒ |f(x)− f(x)| ≤ ε)

(d) Definición (consecuencia del teorema 2.3): Si se cumple la definición anteriorpara todo x ∈ A diremos que la función es continua.

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• Semana 2: Continuidad - TVIAlgunos de estos teoremas han sido incluidos por el profesor en cátedra que podrían no estar en el apunte.

1. Teorema: f : [a, b]→ R continua ∀x ∈ [a, b]⇒ f es acotada.

2. Teorema de Weierstrass: f : [a, b] continua en [a, b]⇒ ∃x1, x2 ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b] talque f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2). (Existe máximo y mínimo).

3. Teorema de Bolzano: f continua en [a, b], si f(a)f(b) < 0 ⇒ ∃x ∈ [a, b] tal quef(x) = 0.

4. Teorema de los Valores Intermedios: f continua en [a, b]. Si c, d ∈ f([a, b]) entoncespara todo número e comprendido entre c, d, existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = e.

5. Teorema: f : [a, b] → [c, d] es continua y biyectiva ⇒ f−1 tambien es continua (ybiyectiva, lógicamente).

6. Teorema: f : [a, b]→ [c, d] es continua y biyectiva ⇒ f es monótona.

7. Definición (continuidad uniforme): Diremos que una función es uniformementecontinua ssi, se cumple que:

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ A) (|x− x| ≤ δ ⇒ |f(x)− f(x)| ≤ ε)

La gracia, es que el valor de δ sólamente depende de ε, en ningún caso de x o unacombinación de ε− x.

• Si f es continua en [a, b] ⇒ f es uniformemente continua en [a, b].

• Semana 3 y 4: DerivadasSobre derivadas (semana 3) se incluirán algunas definiciones y fórmulas, dado que el cálculo de derivadas, y el álgebra son temas tratados en MA-1001.

1. Definición (Función Derivable): Diremos que una función es derivable si existe elsiguiente límite:

f ′(x) = limx→x

f(x)− f(x)x− x ⇔ lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

2. Algunas fórmulas de derivación (las menos recordadas):

•(f

g

)′= f ′g − fg′

g2

• (sen x)′ = cosx

• (cosx)′ = −sen x

• (tan x)′ = sec2 x

• (arc sen x)′ = 1√1− x2

• (arc cosx)′ = − 1√1− x2

• (arc tan x)′ = 11 + x2

3. Teorema (máximos y mínimos de una función): si x ∈ (a, b) es un mínimo omáximo local de una función derivable f : (a, b)→ R, entonces f ′(x) = 0.

4. Teorema de Rolle: f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Sif(a) = f(b)⇒ ∃ξ ∈ (a, b) tal que f ′(ξ) = 0.

5. Teorema de Lagrange: f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b)⇒ ∃ξ ∈

(a, b) tal que f ′(ξ) = f(b)− f(a)b− a .

6. Teorema de Cauchy: f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b)⇒ ∃ξ ∈(a, b) tal que f ′(ξ)[g(b)− g(a)] = g′(ξ)[f(b)− f(a)].

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7. Definición (derivadas y monotonía): si la derivada de una función es positiva, lafunción es creciente (o estrictamente si la desigualdad es estrictamente positiva). Asímismo si la derivada es negativa, la función es decreciente en ese intervalo, (o es-trictamente). Para ver la monotonía, siempre derivar por separado en los intervalosdelimitados por los puntos críticos de f’.

8. Teorema (concavidad y convexidad): En este punto utilizaremos lo que se conoceen otras referencias bibliográficas como criterio de la segunda derivada. En la sigu-iente tabla, se adjunta un resumen para el análisis de curvas.

Situación Significadof ′(x) > 0 ↗f ′(x) < 0 ↘f ′′(x) > 0 ∪f ′′(x) < 0 ∩

f ′(x) = 0 ∧ f ′′(x) < 0 está en un máximof ′(x) = 0 ∧ f ′′(x) > 0 está en un mínimof ′(x) = 0 ∧ f ′′(x) = 0 punto de inflexión (cambio de concavidad)

• Semana 5: Primitivas

1. Definición (Primitiva): Sea F continua en un intervalo I ⊆ R y derivable en int(I),se llama primita de una función f sobre I ssi:

∀x ∈ int(I), F ′(x) = f(x)

• El conjunto de todas las primitivas de una función esˆf(x)dx = F (x) + c

2. Algunas primitivas inmediatas:

•ˆxndx = xn+1

n+ 1 + c

•ˆ 1xdx = ln |x|+ c

•ˆ

sen xdx = − cosx+ c

•ˆ

cosxdx = sen x+ c

•ˆeaxdx = 1

aeax + c

•ˆ

sec2 xdx = tan x+ c

•ˆ

csc2 xdx = cotx+ c

•ˆ 1

1 + x2 dx = arc tan x+ c

•ˆ 1√

1− x2dx = arc sen x+ c

•ˆ

−x√1− x2

dx =√

1− x2 + c

3.´como operador lineal:

•ˆf ± g =

ˆf ±ˆg

•ˆλf = λ

ˆf ∀λ ∈ R

4. Teorema del Cambio de Variable: sea u = g(x), entonces:

ˆf(u)du =

ˆ(f ◦ g)(x) · g′(x)dx

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Resumen C.1-Álgebra Lineal

(Definiciones y Fórmulas)

• Semana 1,2 y 3: Matrices y sistemas de ecuacionesResolución de sistemas, escalonamiento, sistemas cuadrados y algoritmo de Gauss, cálculo de la inversa, factorización LDU son temas que serán abordados en elresumen práctico.

1. Definición (Matriz): Matriz A, tabla de doble entrada, de m filas y n columnascon coeficientes en K.

A =

a11 ... a1n

......

am1 ... amn

aij ∈ K ∀i = 1, ...,m, j = i, ...n.

2. Definición (Igualdad de matrices): Dadas dos matrices, de iguales dimensiones,son iguales si todos sus coeficientes en la misma ubicación son iguales.

3. Proposición: (Mmn(K),+) tiene estructura de grupo abeliano.

4. Definición (Producto de matrices): Con A = (aij) ∈ Mmn, B = (bij) ∈ Mnp,C = AB es una matriz C = (cij) ∈Mmp tal que:

cij =r∑

k=1aikbkj i = 1, ...,m, j = i, ...n.

(a) Asociatividad: A(BC) = (AB)C.

(b) Distributividad: A(B + C) = AB +AC.

5. Definición (matriz identidad): las matrices cuadradas admiten un neutro parael producto que es de igual dimensiones que la matriz en cuestión.

Im =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

. . .0 0 · · · 1

6. Definición (matriz invertible): se dice que una matriz A es invertible si y sólo

si existe B tal que:

AB = BA = I

(a) Si la matriz es invertible, su inversa es única.(b) Basta que exista inversa por un solo lado para que sea la inversa por los

dos.(c) No todas las matrices tienen inversa, las que no tienen se denominan

singulares o degeneradas.

7. Definición (matriz diagonal): es diagonal si aij = 0 ∀i 6= j.

A =

a11 0

a22. . .

0 ann

• Si ningún elemento de la diagonal es cero, entonces es invertible, su in-

versa se calcula como: (A−1ii ) = 1

aii.

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• Si se multiplica una diagonal por izquierda a otra matriz, se pondera cadafila por el término de cada fila.

• Análogamente, si se multiplica una matriz con una diagonal por derecha,se pondera cada columna por el término correspondiente.

8. Definición (triangular superior e inferior):

• Triangular superior si y sólo si aji = 0 si i > j:

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

.... . .

...0 · · · 0 ann

• Triangular inferior si y sólo si aij = 0 si i < j:

A =

a11 0 · · · 0

a22 0 0...

.... . . 0

an1 an2 · · · ann

• El producto de matrices triangulares inferiores (superiores) es triangularinferior (superior).

9. Definición (matriz ponderada): Sea λ ∈ K y A una matriz cualquiera:

λA = (λaij)

10. Definición (matriz transpuesta): dada A = (aij) ∈ Mmn(K , se dicetranspuesta a aquela matriz de n×m que se denotará At tal que (At)ij = aji.

(a) Se dice que una matriz es simética si At = A.(b) Algunas propiedades de la transposición:

i. (At)t = A.

ii. (AB)t = BtAt.

iii. Si D es diagonal, entonces Dt = D.

11. Proposición: Sean A y B invertibles, entonces:

• (A−1)−1 = A.

• (AB)−1 = B−1A−1

• (An)−1 = (A−1)n

• (At) es invertible y (At)−1 = (A−1)t

12. Definición (matrices elementales):

(a) Matriz elemental de permutación: se denota como Ipq tal que permutanel orden de las filas p y q.

(b) Matriz elemental: se denota como Epq(λ) que define el ponderar la fila ppor λ y sumarla a la fila q.

13. Definición (sobre solución general de sistemas lineales y algortimo de Gauss):

• Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) A es invertible.(b) ∀b ∈ K, Ax = b tiene una solución única.

(c)n∏

i=1aii 6= 0

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• Semana 4: Geometría lineal en Kn

1. Definición (vector columna): se denotará como vectores de Kncomo columnas,es decir, Kn =Mn1(K).

2. Definición (recta en Kn): sea d (vector director) ∈ Kn\{0} y p ∈ Kn un puntodado. La recta L que pasa por p y va en dirección de d, corresponde a:

L = Lp,d = {v ∈ Kn|v = p + td, t ∈ K}

3. Definición (vectores paralelos): sean v, w ∈ Kn. Se dice que v es paralelo a wsi y sólo si (∃λ ∈ K\{0}) w = λv.

4. Definición (planos en Kn): sea un un punto p y con vectores directores d1yd2, el plano es el subconjunto de Kn tal que:

Πp,d1,d2 = {v = p + sd1 + td2, s, t ∈ K}

5. Definición (producto punto en Kn): Sean x e y en Rn dos vectores columna,se define 〈x, y〉como el escalar:

n∑i=1

xiyi = xty = ytx

(a) (∀x,y ∈ Rn) 〈x,y〉 = 〈y,x〉(b) ∀ (x,y,x,y ∈ Rn) 〈x + x,y〉 = 〈x,y〉 + 〈x,y〉, lo mismo para el caso de

sumar en el elemento de la derecha.(c) (∀λ ∈ R)(∀x,y ∈ Rn) 〈λx,y〉 = 〈x, λy〉 = λ 〈x,y〉(d) (∀x ∈ Rn) 〈x,x〉 ≥ 0 ∧ 〈x,x〉 = 0⇔ x = 0

6. Definición (Norma): se define como la norma de un vector x ∈ Rn como

‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i =

√〈x,x〉.

(a) (∀x ∈ Rn)‖x‖ ≥ 0 ∧ ‖x‖ = 0⇔ x = 0(b) (∀λ ∈ R)(∀x ∈ Rn)‖λx‖ = |λ| ‖x‖(c) (∀x,y ∈ Rn)‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

• Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

(∀x,y ∈ Rn)|〈x,y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖

7. Definición (distancia de dos puntos): sean p y q dos puntos en Rn, la distanciaentre p y q es un número real positivo dado por:

d(p,q) = ||q − p||

8. Definición (perpendicularidad): dos vectores x e y en Rn son perpendicularessi su producto punto es 0.

9. Definición (ángulo entre vectores): Sean x e y en Rn \ {0}, el ángulo entreestos vectores es aquel número θ ∈ [0, π] tal que:

cos θ = 〈x,y〉‖x‖ ‖y‖

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Resumen C.2-Cálculo Diferencial e Integral

(Definiciones y Fórmulas)

• Semana 5 y 6: Primitivas

1. Definición (Primitiva): Sea F continua en un intervalo I ⊆ R y derivable en int(I),se llama primita de una función f sobre I ssi:

∀x ∈ int(I), F ′(x) = f(x)

• El conjunto de todas las primitivas de una función esˆf(x)dx = F (x) + c

(a) Algunas primitivas inmediatas:

•ˆxndx =

xn+1

n+ 1+ c

•ˆ 1xdx = ln |x|+ c

•ˆ

senxdx = − cosx+ c

•ˆ

cosxdx = senx+ c

•ˆeaxdx =

1aeax + c

•ˆ

sec2 xdx = tanx+ c

•ˆ

csc2 xdx = cotx+ c

•ˆ

sec dx = ln | tanx+ secx|+ c

(b) Proposición 1:•ˆf ± g =

ˆf ±ˆg

•ˆλf = λ

ˆf ∀λ ∈ R

(c) Teorema (cambio de variable): Sea u = g(x), entonces:ˆf(u)du =

ˆ(f ◦ g)(x) · g′(x)dx

(d) Fórmula de integración por partes: Sean u y v dos funciones de x, entonces:ˆu(x) · v′(u)dx = uv −

ˆvdu

(e) Integración por sustituciones trigonométricas:• Para a2 + x2, usar x = a tanu.• Para a2 − x2, usar x = a cosu ∧ asen u.• Para x2 + a2, usar x = a secu.

(f) Integración por fracciones parciales: Sea R(x) = P (x)Q(x) y buscamos calcularle la

primitiva a R(x). Se puede hacer la descomposición considerando los siguientescasos:i. Factores lineales: Se calculan las constantes A, A1, ..., An mediante la

factorización siguiente:

P (x)(λ1x− r1)(λ2x− r2)...(λnx− rn)

=A1

(λ1x− r1)+

A2

(λ2x− r2)+ ...+

An

(λnx− rn)ii. Factores lineales repetidos: Se calculan las constantes mediante la factor-

ización siguiente:

P (x)(λx− r)n

=A1

(λx− r)1 +A2

(λx− r)2 + ...+An

(λx− r)n

iii. Factores cuadraticos distintos: Se calculan las constantes mediante lafactorización siguiente:

P (x)(λ1x2 + µ1x+ d1)...(λnx2 + µnx+ dn)

=A1x+B1

(λ1x2 + µ1x+ d1)+...+

Anx+Bn

(λnx2 + µnx+ dn)iv. Factores cuadráticos repetidos: Se calculan las constantes mediante la

factorización siguiente:

P (x)(λx2 + µx+ d)n

=A1x+B1

(λx2 + µx+ d)1 +A2x+B2

(λx2 + µx+ d)2 + ...+Anx+Bn

(λx2 + µx+ d)n

• En el caso de tener composición de estos casos, se sigue la misma reglapara cada factor independiente.

(g) Reducción de trigonométricas a racionales: Con integrales del tipo:ˆR(sen x, cosx)dx, se recomienda ocupar el cambio de variable t = tan x

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• Semana 7: Integral de Riemann

1. Definición (Partición de un intervalo): El conjunto P = {x0, x1, ..., xn} es una par-tición del intervalo [a, b] si a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.Si P es una partición de [a, b], se llama norma de P y se denota por |P | al real:

|P | = max{(xi − xi−1) : i = 1, ..., n}

2. Definición (Sumas superiores e inferiores): Sea f una función definida y acotada en[a, b]. Sea P = {x0, x1, ..., xn} una partición de [a, b]. Como f es acotada en [a, b]también lo es en cada intervalo Ii = [xi−1, xi] ∀i = 1, ..., n, luego se puede definir:

mi(f) = inf {f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}

Mi(f) = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}

(a) S(f, P ) =n∑

i=1

Mi(f)(xi − xi−1) se llama suma superior de f correspondiente a

la partición P.

(b) s(f, P ) =n∑

i=1

mi(f)(xi − xi−1) se llama suma inferior de f correspondiente a

la partición P.

3. Definición (Integrales superiores e inferiores): Sea P[a,b] el conjunto de todas las par-ticiones de [a, b]. Sea f una función definida y acotada sobre [a, b]. Los númerosreales:

ˆ b

a

f = sup{s(f, P ) : P ∈ P[a,b]}

ˆ b

a

f = inf {s(f, P ) : P ∈ P[a,b]}

Se llaman integral superior de f en [a, b] e integral superior de f en [a, b] respectiva-mente.

4. Definición (Refinamiento de una partición): Sean P y Q dos particiones de [a, b], siP ⊆ Q, diremos que Q es una partición más fina que P .

(a) Proposición 1: Si P ⊆ Q entonces:

s(f, P ) ≤ s(f,Q) ∧ S(f, P ) ≥ S(f,Q)

(b) Proposición 2: Si f esta definida y acotada en [a, b], y m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈[a, b], entonces

m(b− a) ≤ˆ b

a

f ≤ˆ b

a

f ≤M(b− a)

5. Proposición 1: Diremos que una función f definida y acotada en [a, b] es Riemannintegrable si se cumple que la integral superior es igual a la integral inferior. El valor

común se llamará simplemente integral de f en [a, b] y se escribirá comoˆ b

a

f .

6. Teorema 1 (Condición de Riemann): Una función f definida y acotada en un inter-valo [a, b] es Riemann integrable en [a, b] ssi:

(∀ε > 0)(∃P ∈ P[a,b]) S(f, P )− s(f, P ) < ε

7. Proposición 2: Si f es una función definida, acotada y monótona en [a, b], entonceses Riemann integrable en [a, b].

8. Teorema 2: Si f es una función continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].

(a) Corolario: Si f es continua en [a, b], entonces:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀P ∈ P[a,b])

{|P | ≤ δ ⇒

∣∣∣∣∣n∑

i=1

f(xi)(xi − xi−1)−ˆ b

a

f

∣∣∣∣∣ ≤ ε}

lo cual es equivalente a decir:

ˆ b

a

f = lim|P |→0

n∑i=1

f(xi)∆xi

9. Propiedades de la integral:

(a) Si c ∈ R, entoncesˆ b

a

c = c(b− a).

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(b) Si f es integrable en [a, b] y c ∈ (a, b), entonces f es integrable en [a, c] y [c, b],y además:

ˆ b

a

f =ˆ c

a

f +ˆ b

c

f

(c) Si f es integrable [a, c], y en [c, b], entonces f es integrable en [a, b] y:ˆ b

a

f =ˆ c

a

f +ˆ b

a

f

(d) Si f y g son funciones integrables en [a, b] entonces (f+g) es integrable en [a, b]y:

ˆ b

a

(f + g) =ˆ b

a

f +ˆ b

a

g

(e) Si f es una función integrable en [a, b] y α ∈ R, entonces (αf) es integrable en[a, b] y:

ˆ b

a

αf = α

ˆ b

a

f

(f) Si f y g son integrables en [a, b] y f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] entonces:

ˆ b

a

f ≤ˆ b

a

g

(g) Si f es integrable [a, b], entonces |f | es integrable en [a, b] y:∣∣∣∣ˆ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ˆ b

a

|f |

10. Definición: Sea f una función integrable en un intervalo [p, q]. Si a, b ∈ [p, q] sontales que a ≥ b entonces se define la integral de a o b del modo siguiente:

ˆ b

a

f = −ˆ a

b

f con a > b

ˆ b

a

f = 0 con a = b

• Semana 8: Teorema Fundamental del Cálculo

1. Proposición: Sea f una función integrable en [a, b] ⊆ R, entonces la funciónG definidapor:

G(x) =ˆ x

a

f

es continua en [a, b].

2. Primer teorema fundamental de cálculo: Si f es una función continua en un inter-valo I ⊆ R y a ∈ I, entonces la función G definida por:

G(x) =ˆ x

a

f

es derivable en int (I) y además G′ = f en int (I).

(a) Corolario: Si la función F , continua en I, es una primitiva de f en I, entonces:

∀a, b ∈ I,ˆ b

a

f = F (b)− F (a)

3. Segundo teorema fundamental del cálculo: Sea f integrable en [a, b]. Si existe unafunción F continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que F ′ = f en (a, b), entonces:

ˆ b

a

f = F (b)− F (a)

4. Teorema (integración por partes): Sean f y g son dos funciones continuas en unintervalo I y diferenciables en int (I). Sean a, b ∈ int (I). Si f ′ y g′ son continuasentonces:

ˆ b

a

fg′ = fg|ba −ˆ a

b

f ′g

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5. Teorema (integración por sustitución): Sea g una función continua en un intervaloI y derivable en int (I), con g′ continua. Sean a, b ∈ int (I) con a < b. Sea f unafunción continua en g([a, b]), entonces:

ˆ b

a

(f ◦ g)g′ =ˆ g(b)

g(a)f

6. Definición (Valor medio de una función): Sea f una función integrable en el inter-valo [a, b]. Se llama valor medio de f en [a, b] al número real.

1b− a

ˆ b

a

f

(a) Teorema del valor medio para integrales: Si f es continua en [a, b], entonces∃ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 〈f〉, es decir:

ˆ b

a

f = f(ξ)(b− a)

(b) TVM generalizado para integrales: Si f es continua en [a, b] y g es una funciónintegrable en [a, b] que no cambia de signo, entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que:

ˆ b

a

fg = f(ξ)ˆ b

a

g

• Semana 9: Aplicaciones de la Integral

1. Proposición (Área de funciones con intervalos negativos): Si f cambia de signoen [a, b] un número finito de veces y R la región a la que se le quiere calcular el áreaentre f y el eje OX, entonces esta se puede calcular como:

Aba =ˆ b

a

|f |

(a) Área entre curvas: Para calcular el área que definen dos curvas al cortarse secalcula como:

A =ˆ b

a

|f − g|

2. Proposición (Cálculo de volúmenes de sólidos): conociendo la función que defineel área del cuerpo en cuestión, el volúmen se calcula como:

V =ˆ b

a

A(x)dx

(a) Volumen de sólido en revolución (en torno al eje OX): V =´ b

aπf2(x)dx

(b) Volumen de solido en revolución (en torno al eje OY): V =´ b

a2πxf(x)dx

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Resumen C.2-Álgebra Lineal

(Definiciones y Fórmulas)

Sería conveniente echar un vistazo al resumen para el control anterior, puesto que contiene elementos útiles para geometría (semana 4).

• Semana 5: Geometría

1. Definición (vectores unitarios): son vectores de módulo 1, los cuales son un con-junto ortonormal de R3, es decir, definen el espacio, sus principales caracteristicasson:

• Se suelen llamar i, j, k, cada uno con módulo 1.

i =

(100

), j =

(010

), k =

(001

)• Son ortogonales entre sí.

2. Definición (Producto cruz o Producto vectorial): Sean x =( x1

x2x3

), y =

( y1y2y3

)∈ R3,

se define el producto cruz como el determinante de la siguiente matriz:

x× y =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣(a) Propiedades:

i. (∀x, y ∈ R3) x× y ⊥ x ∧ x× y ⊥ y.ii. (∀x, y ∈ R3) x× y = −y × x.

iii. (∀x, y, z ∈ R3) x× (y + z) = x× y + x× z ∧ (x+ y)× z = x× z + y × z.iv. (∀x, y ∈ R3)(∀λ ∈ R) (λx)× y = x× (λy) = λ(x× y).v. (∀x ∈ R3) x× x = 0.

(b) Proposición 1: (∀x, y ∈ R3 \ {0}) ‖x× y‖ = ‖x‖ · ‖y‖ |sen θ|(c) Proposición 2: Sean x, y ∈ R3\{0} vectores no paralelos y sea z ∈ R3. Entonces:

i. z ⊥ x ∧ z ⊥ y ⇒ (∃λ ∈ R) tal que z = λx× y.ii. z ⊥ x× y ⇒ (∃s, t ∈ R) tal que z = sx+ ty.

(d) Proposición 3:i. Sean x, y ∈ R3 \ {0} vectores no paralelos. Entonces el área del paraleló-

gramo que definen es ||x× y||.ii. Sean x, y, z ∈ R3 \ {0} vectores no coplanares con 0, entonces el veloumen

del paralelepípedo que definen es | < x× y, z > |.

3. Definición (Distancia punto-conjunto): Sea A ⊆ Rn un subconjunto no vacio deRn, y sea q ∈ Rn. La distancia de q al conjunto A se define como:

d(q,A) = ınf {d(q, x) | x ∈ A}

4. Definición (Proyección ortogonal sobre una recta): Llamamos proyección ortogo-nal del punto q ∈ Rn sobre la recta L ⊆ Rn al punto r ∈ L tal que (q − r) ⊥ L.

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• Semana 6: Espacios Vectoriales (I)

1. Definición (Espacio vectorial): Dado un grupo abeliano (V,+) y un cuerpo (K,+, ·)con una ley de composición externa. diremos que V es un espacio vectorial sobre Ksi y solo si la ley de composición externa satisface ∀λ, β ∈ K, x, y ∈ V .

• (α+ β)x = αx+ βx.• λ(x+ y) = λx+ λy.• α(βx) = (αβ)x.• 1x = x, 1 es el neutro para la multiplicación del cuerpo K.

2. Definición (Subespacio vectorial): Sea un espacio vectorial V sobre un cuerpo K.diremos que U 6= φ, es un subespacio vectorial de V ssi:

• ∀u, v ∈ U, u+ v ∈ U.• ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.

(a) Proposición 1: Sea un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. U 6= φ, essubespacio vectorial de V ssi :

∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.

3. Definición (Combinación lineal): Denominaremos combinación lineal de vectores ala suma ponderada por algun escalar de varios de éstos:

n∑i=1

λivi = λ1v1 + ...+ λnvn

Siendo V el conjunto fijo v1, ... , vn definimos el conjunto de todas las combinacioneslineales de V como:

〈{v1, ..., vn}〉 =

{v ∈ V/v =

n∑i=1

λivi = λ1v1 + ...+ λnvn

}

(a) Proposición 1: Sean V e.v y v1, ..., vn ∈ V . Entonces 〈{v1, ..., vn}〉 es un s.e.vde V . Además el s.e.v más pequeño que contiene a los vectores v1, ..., vn. Esdecir, si ootro s.e.v de U los contiene entonces 〈{v1, ..., vn}〉 ⊆ U .

Por ende 〈{v1, ..., vn}〉 es llamado subespacio vectorial generado por {vi}ni=1.

4. Definición (Dependencia lineal): Sea {vi}ni=1 ⊆ V , diremos que estos vectores son

linealmente dependientes si y sólo si existen escalares {λ1, ..., λn} no todos nulos,

tales quen∑

i=1

λivi = 0. En caso contrario, es decirn∑

i=1

λivi = 0⇒ λi = 0∀i = 1, ..., n,

diremos que el conjunto de vectores es linealmente independiente.

5. Teorema: En Rn, m > n vectores son siempre linealmente dependientes.

• Semana 7: Espacios Vectoriales (II)

1. Definición (Generador de un e.v): Sea V un e.v sobre un cuerpo K. Diremos quelos vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V ssi:

〈{v1, ..., vn}〉 = V

o de manera equivalente: ∀v ∈ V, ∃ {λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =

n∑i=1

λivi

2. Definición (Base): Dado un e.v V sobre K, diremos que el conjunto de vectores{vi}n

i=1 es una base de V ssi:

• {vi}ni=1 es l.i.

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• V = 〈{v1, ..., vn}〉

(a) Proposición 1: Dado un e.v V , B = {vi}ni=1 es una base ssi ∀v ∈ V , v se escibre

de manera única como combinación lineal de los vectores de conjunto B.(b) Teorema 1: Si X ={v1, ..., vn} ⊆ V es un conjunto generador, entonces es

posible encontrar un subconjunto B = {v1, ..., vn} que es base de V .(c) Teorema 2: Sea B = {vi}n

i=1, base de V y un conjunto arbitrario X ={wi}m

i=1 ⊆ V . Si m > n, entonces el conjunto X es l.d.(d) Corolario T.2: Si {vi}n

i=1 y {ui}mi=1 son bases de V , entonces n = m.

3. Definición (Dimensión): Un e.v es de dimensión n (finita) si admite una base decardinalidad n. En caso de que no existiera una base finita, hablamos de un e.v dedimensión infinita. Se denota como dim V, diremos además que dim {0} = 0.

(a) Teorema 1: Sea dim V = n. Si {vi}ni=1 es l.i entonces {vi}n

i=1 es base.(b) Teorema 2: Sea U s.e.v de V , luego dim U ≤ dim V , más aun se tiene que

dim V = dim U ⇒ U = V .(c) Teorema 3: (Completación de base): Dado V e.v sobre K con dim V = n y

un conjunto de vectores l.i; X = {v1, ..., vr}, r < n, entonces existen vectoresvr+1, ..., vn, tales que el conjunto {v1, ..., vn} es base de V .

4. Definición (Suma de espacios vectoriales): Definiremos la suma de espacios vecto-riales como:

U +W = {v ∈ V/v = u+ w, u ∈ U, w ∈W}

5. Definición (Suma directa): Sea un espacio vectorial V y dos s.e.v U, W de V . Di-remos que el s.e Z = U +W es suma directa de U y W . Se anota como U ⊕W = Z,si ∀v ∈ Z, v se escribe de manera única como:

v = u+ w, u ∈ U, w ∈W

En el caso en que V sea suma directa de U y W , diremos que estos últimos sonsuplementarios.

(a) Proposición 1: Dado V e.v y U , W , Z s.e.v de V , entonces:

Z = U ⊕W ⇔ (Z = U +W ) ∧ (U ∩W = {0})

(b) Teorema 1: Si V = U ⊕ W y V es de dimensión finita, entonces dim V =dim U + dimW .

(c) Teorema 2: Supongamos que V = U +W , entonces dim V = dim U + dimW −dim U ∩W .

• Semana 8: Transformaciones Lineales

1. Definición (Transformación lineal): Sean U , V dos e.v sobre el mismo cupero K.Diremos que una función T : U → V es una transformación lineal si y solo si satisface:

• ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)• ∀u1, u2 ∈ U, λ ∈ K, T (λu) = λT (u)

Estas propiedades establecen un homomorfismo entre los grupos (U,+) y (V,+).

(a) Proposición 1: Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:i. T (0) = 0 ∈ V.ii. T (−u) = −T (u).iii. T es lineal ssi ∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U

T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2).

(b) Composición de funciones lineales: Sean U, V, W e.v sobre el mismo cuerpo,y T : U → V y L : V →W :

i. L ◦ T : U →W es función lineal.ii. Si L y T son isomorfismos, la composición también es isomorfismo.iii. Si L ◦ T es isomorfimo, su inversa también es isomorfismo.

2. Definición (Núcleo): Sea una t.l T : U → V . Definimos el núcleo de T como elconjunto:

Ker T = {x ∈ U/T (x) = 0}

(a) Teorema 1: Sea T : U → V una t.l, entonces: T inyectiva ⇔Ker T = {0}

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3. Definición (Imagen): Sea una t.l T : U → V . Definimos la imagen de T como elconjunto:

Im T = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

(a) Corolario T.1 def 2: Una t.l T : U → V , es isomorfismo si y sólo si Ker T ={0} ∧ Im T = V , o de manera equivalente dim Ker T = 0 ∧ dim Im T = dim V .

(b) Teorema 1: Si T : U → V es inyectiva, entonces {vi}ni=1 es l.i en U ⇒

{T (ui)}ki=1 es l.i en V .

4. Definición (Rango y nulidad): La dimensión de Im T se denomina el rango de latransformación T y se nota r. La dimensión del Ker T se llama nulidad y se denotapor ν.

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Resumen C.3-Álgebra Lineal

(Definiciones y Fórmulas)

• Semana 8: Transformaciones Lineales

1. Definición (Transformación lineal): Sean U , V dos e.v sobre el mismo cupero K.Diremos que una función T : U → V es una transformación lineal si y solo si satisface:

• ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)• ∀u1, u2 ∈ U, λ ∈ K, T (λu) = λT (u)

Estas propiedades establecen un homomorfismo entre los grupos (U,+) y (V,+).

(a) Proposición 1: Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

i. T (0) = 0 ∈ V.ii. T (−u) = −T (u).iii. T es lineal ssi ∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U

T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2).

(b) Composición de funciones lineales: Sean U, V, W e.v sobre el mismo cuerpo,y T : U → V y L : V →W :

i. L ◦ T : U →W es función lineal.ii. Si L y T son isomorfismos, la composición también es isomorfismo.iii. Si L ◦ T es isomorfimo, su inversa también es isomorfismo.

2. Definición (Núcleo): Sea una t.l T : U → V . Definimos el núcleo de T como elconjunto:

Ker T = {x ∈ U/T (x) = 0}

(a) Teorema 1: Sea T : U → V una t.l, entonces: T inyectiva ⇔Ker T = {0}

3. Definición (Imagen): Sea una t.l T : U → V . Definimos la imagen de T como elconjunto:

Im T = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

(a) Corolario T.1 def 2: Una t.l T : U → V , es isomorfismo si y sólo si Ker T ={0} ∧ Im T = V , o de manera equivalente dim Ker T = 0 ∧ dim Im T = dim V .

(b) Teorema 1: Si T : U → V es inyectiva, entonces {vi}ni=1 es l.i en U ⇒{T (ui)}ki=1 es l.i en V .

4. Definición (Rango y nulidad): La dimensión de Im T se denomina el rango de latransformación T y se nota r. La dimensión del Ker T se llama nulidad y se denotapor ν.

• Semana 9: Transformaciones Lineales (II)Todo lo referente a matrices representantes y matrices de pasajes será adjunto al final de este resumen (que son los temas fuertes de esta semana).

1. Teorema (Núcleo-Imágen): Sean U, V espacies vectoriales sobre el mismo cuerpo,T : U → V una t.l, dim U <∞. Entonces:

dim U = dim (KerT ) + dim (ImT )

• De aquí se deduce que si T : U → V y dim U = dim V entonces T es biyectivay por lo tanto U es isomorfo a V .

2. Teorema: Para todas matriz A ∈Mnn las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) A es invertible.(b) TA : Kn → Kn, v → TA(v) = Av es un isomorfismo.(c) El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.

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• Semana 10: Valores y Vectores Propios

1. Definición (Vector y valor propio): Diremos que x ∈ V es un vector propio de L si:

• x 6= 0.

• ∃λ ∈ K tal que L(x) = λx. (Para aquel λ que cumpla esto, este se llama valorpropio asociado a x)

x ∈ V \ {0} es un vector propio de A ∈Mnn si es vector propio de la t.l L dada porL(x) = Ax.

∃λ ∈ K, Ax = λx

Diremos que λ es valor propio de A.

(a) Proposición: dada A ∈Mnn son equivalentes:

i. ∃x 6= 0Ax = λx.ii. ∃x solución no trivial del sistema (A− λI)x = 0.iii. Ker(A− λI) 6= {0}iv. A− λI no es invertible.

2. Definición (Determinante): Para A de n× n:

|A| =n∑i=1

(−1)i+1ai1|Ai1|

*Notación: Aij es la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila i y la columnaj.

(a) Propiedades:

i. El determinante es una función lineal de las filas de A, es decir:

∀t ∈ K, x, y ∈ Kn :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1•...

tx+ y...

An•

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1•...x...

An•

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1•...y...

An•

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ii. Si B se obtiene de A permutando dos filas, entonces |A| = −|B|.iii. Si A tiene dos filas iguales, |A| = 0.

iv. |I| = 1. Si A es triangular superior, entonces |A|=n∏i=1

aii.

v. A invertible ⇔|A| 6= 0.vi. |AB| = |A||B|vii. |At| = 1

|A|

3. Definición (Polinomio característico): Se llama polinomio característico a aquelP (λ) = |A− λI|.

4. Definición (Subespacio propio): Para cada valor propio λ de A, llamaremos sube-spacio propioWλ que corresponde aWλ = Ker (A−λI). El subespacio debe contenervectores no nulos, pues λ es valor propio.Observaciones:

• Cualquier solución no nula de (A − λI)x = 0 es entonces un vector propio deA con valor propio λ.

• Si x es vector propio, en general también lo es αx, con α ∈ K\{0}.• Si x es vector propio, el valor propio asociado es único.

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• Semana 11: Vectores y Valores Propios (II)Sobre diagonalización también se incluirá un breve resumen adicional al final.

1. Definición (Matriz diagonalizable): A ∈ Mnn(K) es diagonalizable si Kn admiteuna base de vectores propios de A.

• Diagonalizar, en términos simples es hacer que una matriz cuadrada, pueda serescrita como A = PDP−1 con D diagonal.

• Se dice que una matriz es semejante a otra si se puede escribir a A comoA = PDQ con P, Q invertibles y D diagonal.

(a) Teorema: A es diagonalizable ssi A es similar a una matriz diagonal.

2. Definición (Suma directa múltiple): Sea V espacio vectorial y U1, ..., Uk subespa-cios vectoriales de V. Decimos que el subespacio Z = +k

i=1Ui es suma directa deU1, ..., Uk, notado Z =

⊕k

i=1 Ui, si para todo v ∈ Z, v se escribe de manera únicacomo:

v =k∑i=1

ui con ui, ∀i ∈ {1, ..., k}

3. Definición (Multiplicidad geométrica): Sean A ∈ Mnn y λ un valor propio deA. Definimos la multiplicad geométrica de λ, γA(λ), como la dimensión del espaciopropio Wλ = Ker (A− λI).

(a) Teorema: una matriz A ∈ Mnn(K) es diagonalizable ssi la suma de las multi-plicidades geométricas de sus valores propios es n.

4. Definición (Multiplicidad algebraica): Sean A ∈ Mnn y λ un valor propio deA. Definimos la multiplicidad algebraica de λ, αA(λ), como la máxima potencia de(x− λ) que divide al polinomio característico de A, pA(x) = |A− xI|.

(a) Proposición: Sean A ∈Mnn y λ0 un valor propio de A, entonces:

1 ≤ γA(λ0) ≤ αA(λ0) ≤ n

i. Corolario: Sean A ∈Mnn(K) y pA(λ) su polinomio característico. Se tieneentonces que A es diagonalizable ssi pA(λ) se factoriza completamente enK en factores lineales. Es decir:

pA(λ) = cA · (λ− λ1)αA(λ1)...(λ− λk)αA(λk)

y además, para todo valor propio de λ de A, se tiene que γA(λ) = αA(λ).ii. Corolario: A ∈ Mnn(C) es diagonalizable ssi para todo valor propio de λ

de A, se tiene que:

γA(λ) = αA(λ)

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Sobre Matriz RepresentanteLa matriz representante, no es más que aquella que contiene TODA la información respecto a la transformación lineal en la que estamos trabajando. Es decir, oculta detrás de lafunción, existe una matriz asociada que al multiplicar ésta por uno de los vectores que queremos calcular su efecto es equivalente.

Si reflexionamos un poco, notamos que en los elementos del e.v de partida, podemos escribirlos a todos ellos en términos de una base específica y que normalmente no tiene grandimensión. En efecto, si aplicamos la transformación lineal sobre esta base, definiriemos por completo la acción de la t.l.

Una visualización clara de lo dicho anteriormente se puede expresar como sigue:

Sea T : U → V una transformación lineal, con α base de U y β base de V . Y sea Mαβ(T ) la matriz representante de la transformación lineal. ∀u ∈ U son equivalentes:

• T (u)

• Mαβ · u

• La notación para la matriz representante es:Mαβ(T ), que se lee como matriz representante de T con base de partida α y base de llegada β.

• Es casi trivial deducir entonces que si cambiamos las bases, obtendremos una matriz representante diferente.

Método para calcular matrices representantes:• Evaluar cada término de la base de partida en la transformación lineal.

• Las imágenes obtenidas, expresarlas en términos de la base de llegada (separando como combinación lineal).

• Los escalares asociados a cada vector de la base de llegada ordenarlos por columnas (el número de columnas dependerá directamente de la dimensión de la base en que trabajamos).

Ejemplo:

Sea T :M22(R)→M22(R) tal que T (A) = A+At

2 . Calcule la matriz representante de T cuando la base en el espacio de partida y de llegada es:

β ={(

1 00 0

),

(0 00 1

),

(0 11 0

),

(0 1−1 0

)}• Evaluando cada uno de los elementos de la base en la transformación lineal y expresándolas en términos de β, separando como combinación lineal:

T

(1 00 0

)=(

1 00 0

)= 1 ·

(1 00 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)+ 0 ·

(0 11 0

)+ 0 ·

(0 1−1 0

)T

(0 00 1

)=(

0 00 1

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 1 ·

(0 00 1

)+ 0 ·

(0 11 0

)+ 0 ·

(0 1−1 0

)T

(0 11 0

)=(

0 11 0

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)+ 1 ·

(0 11 0

)+ 0 ·

(0 1−1 0

)

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T

(0 1−1 0

)=(

0 00 0

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)+ 0 ·

(0 11 0

)+ 0 ·

(0 1−1 0

)• Ordenando los escalares asociados a cada elemento de la base: por columnas, cada uno de los términos.

Mββ(T ) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

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Sobre Matriz de PasajeEn términos simples, la matriz de pasaje es una matriz representante, pero de la identidad del espacio vectorial en que estamos trabajando. La gracia de la existencia de estas matrices,es que teniendo la matriz representante respecto a una bases ya conocidas, podemos lograr obtener la matriz representante de la misma transformación lineal respecto a otras bases através de un producto matricial.

Podemos visualizar el problema en el siguiente recuadro:

Sea T : U → V una transformación lineal, con α, β bases de U y γ, δ bases de V . Y sea Mαγ(T ) la matriz representante de la transformación lineal respecto a esas bases, queremosconocer Mβδ(T ).

Es claro que los vectores de U los podemos expresar como combinación lineal de los elementos de α, pero a su vez, éstos términos de α los podemos expresar como combinaciónlineal de β (bases distintas). Considerando esto, como no aplicamos ninguna función podríamos expresar una suerte de matriz representante de la identidad, en efecto, como habíamosseñalado, la matriz de pasaje es:

Pγα = Mαγ(idU )

• La notación de las matrices de pasaje es distinta a la de las matrices representantes, para refererirnos a una matriz de pasaje desde α → γ se anota Pγα. Igualmente α es basede partida y γ base de llegada.

• Para solucionar el problema de calcular la matriz representante respecto a las bases pedidas, debemos ver que:

idV ◦ T ◦ idU = T ⇒Mβδ(T ) = Mβδ(idV ◦ T ◦ idU )

Mβδ(T ) = Mγδ(idV ) ·Mαγ(T ) ·Mβα(idU )

Donde Mγδ(idV ) y Mβα(idU ) son las matrices de pasaje, y cumplen que una es la inversa de la otra.

• Las matrices de pasaje SIEMPRE deben ser invertibles.

Método para calcular matrices de pasaje:• Para calcular las dos, basta con calcular una, y luego hallarle su inversa (método de Gauss).

• Evaluamos los vectores de la base en con la identidad, luego, los escribimos en términos de la base a la que queremos llegar y ordenamos nuevamente en columnas.

Ejemplo:(Continuación del ejemplo anterior). Usando matrices de pasaje, encuentre la matriz representante de T cuando la base en los espacios de partida y de llegada es la canónica.

β ={(

1 00 0

),

(0 00 1

),

(0 11 0

),

(0 1−1 0

)}→ α =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}Mαα(T ) =?

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• Usando la relación anterior, se tiene que: Mαα(T ) = Mβα(idM22 )︸ ︷︷ ︸Pαβ

·Mββ(T ) ·Mαβ(idM22 )︸ ︷︷ ︸Pβα

con Pβα = P−1αβ .

• Calculando Pαβ = Mβα(idV ), evaluando cada uno de los vectores de la base β en la identidad y escribiéndolos en términos de la base α.

id(

1 00 0

)=(

1 00 0

)= 1 ·

(1 00 0

)+ 0 ·

(0 10 0

)+ 0 ·

(0 01 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)id(

0 00 1

)=(

0 00 1

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 0 ·

(0 10 0

)+ 0 ·

(0 01 0

)+ 1 ·

(0 00 1

)id(

0 11 0

)=(

0 11 0

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 1 ·

(0 10 0

)+ 1 ·

(0 01 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)id(

0 1−1 0

)=(

0 1−1 0

)= 0 ·

(1 00 0

)+ 1 ·

(0 10 0

)+−1 ·

(0 01 0

)+ 0 ·

(0 00 1

)• Ordenamos los escalares en columnas:

Pαβ =

1 0 0 00 0 1 10 0 1 −10 1 0 0

⇒︸︷︷︸Met.Gauss

Pβα =

1 0 0 00 0 0 00 1

212 0

0 12 − 1

2 1

,

así finalmente obtenemos que Mαα(T ) =

1 0 0 00 0 1 10 0 1 −10 1 0 0

·1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 0

·1 0 0 0

0 0 0 00 1

212 0

0 12 − 1

2 1

Sobre DiagonalizaciónFormalmente ya se indicaron las condiciones que hacen a una matriz diagonalizable. Para obtener la forma A = PDP−1 con P invertible y D diagonal, se realiza casi siempre de lamisma manera, la cual está resumida en los siguientes pasos:

• Teniendo una matriz A ∈Mnn, buscarle el polinomio característico mediante p(λ) = |A− λI|.

• Hallar los valores propios, y con ello los vectores propios asociados (todos).

• En la matriz P ordenar los vectores propios por columnas, y en la matriz D poner los valores propios en la diagonal, cuidando de que en esa misma columna en la matriz P hallaun vector propio asociado a ese valor.

Ejemplo:

Encontrar P invertible y D diagonal, tal que se pueda expresar A =

1 0 0 00 −1 4 00 1 −1 00 0 0 1

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• Calculando p(λ) = |A− λI| =︸︷︷︸matraca pertinente

(λ− 1)3(λ+ 3).

• Para cada valor propio obtenemos su vector propio:

– λ = 1 :

0 0 0 00 −2 4 00 1 −2 00 0 0 0

·v1v2v3v4

=

0000

⇒︸︷︷︸descomponiendo

v =

v12v3v3v4

= v1

1000

+ v3

0210

+ v4

0001

– λ = −3 :

4 0 0 00 2 4 00 1 2 00 0 0 4

·v1v2v3v4

=

0000

⇒︸︷︷︸descomponiendo

v =

0−2v3v30

= v3

0210

• Obtenidos entonces los vectores y valores propios ordenamos por columna cada vector:

P =

1 0 0 00 2 0 −20 1 0 10 0 1 0

, D =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −3

• Luego, para hallar P−1 invertimos P con el método de Gauss, y así tenemos totalmente descrita a A = PDP−1 con P invertible y D diagonal.

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