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Respuesta de sistemas de un grado de libertad ante

carga armónicaDr. Ing. Alberto Salgado Rodríguez

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Sistemas no amortiguados

Ecuación del movimiento de un sistema lineal, no amortiguado, sujeto a una excitación armónica de amplitud p0 y frecuencia forzada (en rad/s) Ω

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Sistemas no amortiguados

Debido a que solo existen derivadas de orden par del lado izquierdo de la ecuación anterior, su solución particular; es decir, el movimiento forzado o de estado permanente será de la forma:

Al sustituir la solución propuesta en la ecuación del movimiento se obtiene el valor de U

02 mkConsiderando que :

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Si se define:El cual es un desplazamiento estático, entonces se obtiene

Donde:

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Si se define:

Función de respuesta en frecuencia

A la magnitud:

Se le conoce como Factor de Magnificación del Estado Permanente, o ganancia

Por lo tanto up se puede expresar como:

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Sistemas no amortiguados

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Sistemas no amortiguados

Si r<1, la respuesta está en fase con la excitación, ya que 1-r2 es positivo. Si r>1, la respuesta está 180º fuerza de fase con la excitación; por lo tanto, si este es el caso, up se puede reescribir como:

La solución general está dado por la suma de la solución particular y la solución complementaria (vibración libre). Por lo tanto

Las constantes A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales

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El factor de magnificación dinámica se define como:

0

)(max

U

tuD t

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Sistemas no amortiguados

La resonancia

La ecuaciones

No son válidas cuando r=1 ó Ω=ω. Se observa que cuando la frecuencia de la excitación es cercana a la frecuencia natural del sistema, la respuesta es muy grande.

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Sistemas no amortiguados

Solución de la ecuación del movimiento para la condición de resonancia:

En este caso, la solución particular supuesta es de la forma:

Al sustituir en la ecuación del movimiento, se obtiene el valor de C:

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Sistemas no amortiguados

Por lo tanto, la solución particular para excitación del tipo coseno, en la resonancia, es la siguiente:

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Sistemas con amortiguamiento viscoso

Por la presencia del amortiguador, la respuesta del estado permanente no estará en fase (ni 180º fuera de fase) con la excitación y estará dada por:

En este caso U es la amplitud del estado permanente y α es el ángulo de fase del estado permanente relativo a la excitación.

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Sistemas con amortiguamiento viscoso

Al derivar la respuesta en estado permanente, se obtiene:

velocidad

desplazamiento

aceleración

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Sistemas con amortiguamiento viscoso

Al sustituir las derivadas de la solución particular propuesta en la ecuación del movimiento, se obtiene:

Las proyecciones de los vectores punteados sobre el eje horizontal (de los reales) son los términos del lado izquierdo de la ecuación. Las proyecciones del vector continuo sobre el eje horizontal es el lado derecho de la ecuación.

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Sistemas con amortiguamiento viscosoDe la figura anterior, se observa que:

Por lo tanto:

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Sistemas con amortiguamiento viscoso

Facto

r d

e m

ag

nif

icació

nD

inám

ica y

án

gu

lo d

e f

ase

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El movimiento en estado permanente es senoidal y tiene la misma frecuencia que la excitación.

La amplitud de la respuesta en estado permanente es función de la amplitud y frecuencia de la excitación, así como de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento del sistema.

Sistemas con amortiguamiento viscoso

Se observa los siguiente:

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La excitación y la respuesta en estado permanente no están en fase; es decir, no alcanzan su máximo valor al mismo tiempo. La respuesta en estado permanente precede a la excitación mediante su ángulo de fase, con un tiempo de retraso de α/Ω.

En la resonancia (r=1), la amplitud del movimiento está limitada solo por el amortiguamiento

Sistemas con amortiguamiento viscoso

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Sistemas con amortiguamiento viscosoYa que el factor de magnificación dinámica puede ser muy grande cerca de la resonancia y la excitación puede presentar un intervalo muy amplio de frecuencias, las curvas del factor de amplificación dinámica y el ángulo de fase se pueden dibujar en escalas logarítmicas; cuando sucede esto, se les conoce como gráficas de Bode.

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Respuesta compleja en frecuencia

Considere la respuesta de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso

El subíndice R (para proyección sobre el eje de los reales) se utiliza para designar el movimiento en estado permanente (o forzado) debido a la excitación cosΩt

La solución del estado permanente es:

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Respuesta compleja en frecuencia

De forma análoga, para una excitación senΩt, la ecuación del movimiento y solución del estado permanente son:

El subíndice I, señala la proyección sobre el eje imaginario. Si la ecuación superior se multiplica por √-1 y se le adiciona a la ecuación del movimiento con la fuerza en términos del coseno, se obtiene:

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Respuesta compleja en frecuencia

Donde la barra sobre las variables indica que se trata de un vector en el plano complejo, de manera que ahora se tendría una respuesta compleja, dada por:

Se entiende que el movimiento real en estado permanente estará dado por la parte real de ū o su parte imaginaria, dependiendo si la excitación es del tipo cosΩt o senΩt, respectivamente.

La solución del estado permanente se puede suponer que es de la forma:

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Respuesta compleja en frecuencia

U es la amplitud compleja, dada por:

donde α es el ángulo de fase

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación del movimiento, se tiene:

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Respuesta compleja en frecuencia

En forma adimensional, se tiene:

)(0 H Se le conoce como la respuesta compleja en frecuencia

Determinar la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente requiere encontrar la amplitud y la fase de la ecuación anterior.

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Respuesta compleja en frecuencia

De la teoría de los números complejos, se tiene que un número Ā se puede representar en forma rectangular como sigue

O en forma polar como sigue:

La amplitud de Ā está dada por:

Y el ángulo de fase por:

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Respuesta compleja en frecuenciaCociente de dos números complejos: si A y B son números complejos

Tomando en cuenta lo anterior para la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente, se tiene:

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Respuesta compleja en frecuencia

El polígono de vectores de fuerzas ahora se puede relacionar directamente con la ecuación diferencial compleja. Si se diferencia la ecuación de la respuesta compleja, se obtiene

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Respuesta compleja en frecuencia

Por lo que se obtiene:

Se tiene que :

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Respuesta compleja en frecuencia

La información de la magnitud y la fase se pueden combinar en una gráfica simple, al dibujar las componentes del vector Ho(r) en el plano complejo. A esta gráfica se le llama gráfica de respuesta vectorial o gráfica de Nyquist.

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1. La masa m, rigidez k y frecuencia natural ωn de un sistema no amortiguado de un grado de libertad son desconocidos. Estas propiedades se determinarán mediante pruebas ante excitación armónica. Cuando se le aplica una excitación con frecuencia de 4 Hz, se presenta la resonancia. Cuando se le agrega un incremento de peso de 5 libras al sistema, entonces la condición de resonancia ocurre para una frecuencia de 3 HZ. Determine la masa y la rigidez del sistema

Tarea

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2. En una prueba de vibración forzada bajo carga armónica se registró que la amplitud en la condición de resonancia fue exactamente 4 veces la amplitud con una frecuencia de excitación 20% más grande que la frecuencia de resonancia. Determinar el porcentaje de amortiguamiento del sistema.

3. Determine la expresión de respuesta y dibuje cuando menos 5 ciclos de la misma, de un sistema de un grado de libertad sujeto ala excitación 105sen15t-30cos32t [ton]. El sistema pesa 50 ton, tiene una rigidez de 2500 Ton/m y un porcentaje de amortiguamiento del 8%.

Tarea