11
ResponRespon FrekuensiFrekuensi padapadaFIR Filter FIR Filter
Oleh:TriOleh:Tri Budi Budi SanrtosoSanrtosoLab Lab SinyalSinyal, EEPIS, EEPIS--ITSITS
22
ResponRespon sinusoidasinusoida padapada sistemsistem FIRFIR
Suatu sistem FIR dinyatakan: [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑==
−=−=M
k
M
kk knxkhknxbny
00
(1)
( )knjj
njj
s
s
eAeknx
eAenx−=−
=ωφ
ωφ
][
][Sinyal input secara umum merupakan bentuk komplek diskrit
Karena φ = 0 dan A = 1, maka bentuk tsb menjadi:
( )knj seknx −=− ω][
ωs= ωTs merupakan frekuensi ternormalisasi terhadap periode sampling yang digunakan
33
SehinggaSehingga bentukbentuk umumumum FIR FIR menjadimenjadi::
( ) njs
njkjM
kk
knjM
kk
s
ss
s
eHny
eebny
ebny
ω
ωω
ω
ω=
=
=
−
=
−
=
∑
∑
][
][
][
0
)(
0
44
dimana:
∑∑=
−
=
− ==M
k
kjM
k
kjks
ss ekhebH00
][)( ωωω (2)
yang lebih dikenal sebagai fungsi respon frekuensi untuk sistem tersebut, dan seperti anda kenal dalam istilah komunikasi sebagai “respon frekuensi”
Respon Frekuensi merupakan bentuk komplek
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) )(ImRe sHjssss eHHjHH ωωωωω ∠=+= (3)
dimana:|H(ωs)|=magnitudo dan = fase)( sH ω∠
Maka persamaan (2) menjadi:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) njHjs
njjHjs
ssss eeAHeAeeHny ωφωωφω ωω −∠∠ ==][
55
ContohContoh 1:1:Suatu sistem LTI memiliki koefisien-koefisien pada persamaan beda sbb:{bk}={1 , 2 , 1}. Bagaimana bentuk respon frekuensinya?
Penyelesaian:Dengan persamaan (1) diperoleh
ss
s
jj
M
k
kjk
M
kk
ee
ebH
knxbny
ωω
ωω
20
0
21
)(
][][
−−
=
−
=
++=
=
−=
∑
∑
Untuk mendapatkan respon magnitudo dan respon fasenya:
( )sssss jjjjjs eeeeeH ωωωωωω −−−− ++=++= 221)( 2
66
Contoh Program Matlab
clear all;w=-3:.1:3;y = 1 + 2*exp(-j*w*pi) + 2*exp(-j*2*w*pi);plot(w,abs(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')
77
88
Anda coba untuk mengingat kembali persamaan Euler:
sjj
ssj
ssj
ss
s
s
ee
je
je
ω
ωω
ωω
ωω
ω
ω
cos2
__________________sincos
sincos
=+
+−=
+=
−
−
Maka: ( ) ( )( ) sj
s
ssj
s
e
eHω
ω
ω
ωω−
−
+=
+=
cos22
cos22
dimana:2+2cosωs merupakan magnitudo-ωs fase
99
ContohContoh 2:2:Jika input sinyal x[n]=2ejπ/4 ejπn/3 diberikan ke sistem FIR pada soalsebelumnya, bagaimana bentuk outputnya?
Penyelesaian:
( ) ( )( )∑=
+∠=−=M
k
njHjs
ss eeAHknxkhny0
)(][][][ ωφωω
ganti ωs dengan π/3 maka:H(ωs) = H(π/3) = 2 + 2cos(π/3) = 2 + 2( ½ ) + 3
( ) 3/πω =∠ sH sementara φ = 0
sehingga:
( )
( ) 3/14/
3/12/
3/3/4/
3/4/3/
)6()6(
)2()3(23][
−
−
−
−
=
=
=
=
njj
jj
jjj
jjj
eeee
eeeeeny
ππ
ππ
πππ
πππ
1010
SifatSifat--sifatsifat ResponRespon FrekuensiFrekuensi FIR FilterFIR Filter
1.1. HubunganHubungan dengandengan ResponRespon ImpulsImpuls dandan PersamaanPersamaan BedaBeda
ResponRespon impulse impulse tersusuntersusun daridari sekuensekuen impulse impulse koefisienkoefisien--koefisienkoefisien FIRFIR
SecaraSecara umumumum::Time Domain: Time Domain: Frequency Domain:Frequency Domain:
kjkjkk
ss ekhebkhb ωω −− =⇒= ][][
∑=
−=M
kknkhnh
0][][][ δ ∑
=
−=M
k
kjs
sekhH0
][][ ωω
1111
ContohContoh 1:1:
SebuahSebuah FIR FIR memilikimemiliki responrespon inpulseinpulse sepertiseperti berikutberikut::h[nh[n] = ] = --δδ[n[n] + 3] + 3δδ[n[n--1] 1] –– δδ[n[n--2]2]
SistemSistem iniini memilikimemiliki {{bkbk} = {} = {--1, 3, 1, 3, --1} 1}
MakaMaka bentukbentuk persamaanpersamaan iniini dapatdapat ditransformasiditransformasi::PersamaanPersamaan BedaBeda::
REsponREspon FrekuensiFrekuensi: :
]2[]1[3][][][0
−−−+−=−=∑=
nxnxnxknxbnyM
kk
ss jjs eeH ωωω 231)( −− −+−=
1212
ContohContoh 2:2:
JIkaJIka diketahuidiketahui responrespon frekuensifrekuensi FIR filter FIR filter sbbsbb::
BagaimanaBagaimana bentukbentuk persamaanpersamaan bedabeda--nyanya??
JawabJawab::PersamaanPersamaan Euler:Euler:
PersamaanPersamaan BedaBeda::y[ny[n]= ]= --x[nx[n] +3x[n] +3x[n--1] 1] --x[nx[n--2]2]
( ) ( )sj
sseH ωω ω cos23−= −
( )ss jjs ee ωωω −+=
21cos
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
−−
223
sss
jjj
seeeH
ωωωω
1313
2. 2. PeriodisitasPeriodisitas H(H(ωωss))ResponRespon frekuensifrekuensi H(H(ωωss) ) selaluselalu periodikperiodik sebagaisebagai fungsifungsi ωωss padapadasetiapsetiap nilainilai 22ππ radiant.radiant.
H(H(ωωss) = ) = H(H(ωωss+ 2+ 2ππ) ???) ???dapatdapat dibuktikandibuktikan sepertiseperti berikutberikut iniini
( ) ( )
( )s
M
k
kjk
M
k
kjkjk
M
k
kjks
H
egerkdenganeb
eeb
ebH
s
s
s
ω
πω
ω
πω
πω
=
==
=
=+
∑
∑
∑
=
−
=
−−
=
+−
int;
2
0
0
2
0
2
1414
RepresentasiRepresentasi GrafikGrafik padapada ResponRespon FrekuensiFrekuensiDuaDua poinpoin pentingpenting yang yang harusharus ““didi--emhpasizedemhpasized” ” tentangtentang responrespon
frekuensifrekuensi::1.1. ResponRespon frekuensifrekuensi biasanyabiasanya memilikimemiliki nilainilai bervariasibervariasi sesuaisesuai
perubahanperubahan nilainilai frekuensinyafrekuensinya2.2. PemilihanPemilihan koefisienkoefisien bbkk akanakan menentukanmenentukan bentukbentuk responrespon
frekuensinyafrekuensinya
Untuk memvisualisasikan H(ωs)
Harus menggambarkan dalamsistem koordinat berikut ini
H(ωs)
ωs
Magnitudo
Nilai frekuensi dalam radiant
1515
Kasus pada suatu system dengan delay:
y[n] = x[n-n0]
Sistem ini memiliki koefisien filter non-zero di bn0 =1, sehingga respon frekuensinya adalah:….
Coba anda kembali melihat persamaan dasar
[ ]∑=
−=M
kk knxbny
0
][
k = n0 bk bn0 =1
Maka00.1)( njnj
sss eeH ωωω −− ==
1616
KasusKasus padapada sistemsistem persamaanpersamaan bedabeda ordeorde 11
y[n] = x[n]-x[n-1]
Respon Frekuensinya adalah
( ) ( )( ) ( ) ( )2/2/2/
2/2/2/2/
2/sin22/sin2
2/sin2.
sincos11)(
ss
ssss
s
js
js
sjjjjss
js
ee
eeee
eH
ωπω
ωωωω
ω
ωω
ω
ωωω
−−
−−−
−
==
=−=
+−=−=
1717
Program Matlabclear all;w=-3:.1:3;y=1-exp(-j*w*pi);subplot(2,1,1)plot(w,abs(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')
subplot(2,1,2)plot(w,y_phase,'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')
1818
1919
Re{H(Re{H(ωωss)}= 1)}= 1-- coscos ωωss; ; dandan Im{H(Im{H(ωωss)}= sin )}= sin ωωss;;
( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∠
+−=
−
s
ss
sss
H
H
ωω
ω
ωωω
cos1sin
tan
sincos1
1
22 clear all;w=-3:.1:3;y=1-exp(-j*w*pi);
subplot(2,1,1)plot(w,real(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')ylabel('Real Part')
subplot(2,1,2)plot(w,imag(y),'linewidth',2)gridxlabel('w (radiant)')ylabel('Iamaginary Part')
2020
2121
ContohContoh 3:3:
Suatu input diskrit diketahui sebagai berikut: x[n] = 4 + 2cos(0.3 πn – π/4)Pada saat sistem diuji, keluar output sebagai berikut:
y[n] = x[n]-x[n-1]Cari bentuk respon frekuensi sistem dan cari bentuk output pada saat H(0) = 0 terjadi.
Penyelesaian:Dengan melihat kembali hasil pada kasus sistem persamaan beda orde 1:
( ) ( )
( ) ( ) 22/3.0sin2)3.0(
2/sin2)(2/3.02/
2/2/ 2
≈=
=−
−
ππ
ωπ
ππ
ωωj
js
eH
eH
2222
KembaliKembali keke prinsipprinsip awalawalx[nx[n] = A] = A00 + A+ A11cos(cos(ωω1 1 n + n + φφ11))y[ny[n] = H(0)A0 + |H(] = H(0)A0 + |H(ωω11)|A1cos()|A1cos(ωω11n + n + φφ11+ H(+ H(ωω11))))
MakaMaka::y[ny[n] = 4H(0) + 2|H(] = 4H(0) + 2|H(ωω11)|A1cos(0,3)|A1cos(0,3ππn n –– ππ/4+ H(0,3/4+ H(0,3ππ))))
dengandengan kondisikondisi H(0)= 0, H(0)= 0, makamaka::y[ny[n] = 2(2)sin(0,3] = 2(2)sin(0,3ππ/2)cos(0,3/2)cos(0,3ππn n –– ππ/4 /4 ––0,30,3ππ/2)/2)
= 1,816 cos(0,3= 1,816 cos(0,3ππ –– 0,10,1ππ))
2323
KasusKasus padapada Low Pass Filter Low Pass Filter SederhanaSederhana::Suatu sistem memiliki frekuensi respon
( ) s
ss
js
jjs
e
eeHω
ωω
ω
ω−
−−
+=
++=
cos22
21)( 2
Nilai (2 + 2 cosωs) > 0 untuk semua ωKita juga memiliki:|H(ωs)| = (2 + 2 cos(ωs) dan H(ωs) = -ωs
Coba anda gambarkan nilai ini untuk –π < ωs < π
2424
clear all;clear all;wsws==--pi:pi/17:pi;pi:pi/17:pi;H_wsH_ws=(2+2*=(2+2*cos(wscos(ws)).*exp()).*exp(--j*j*wsws*pi);*pi);subplot(2,1,1)subplot(2,1,1)plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)gridgridxlabel('w(radiantxlabel('w(radiant)'))')
subplot(2,1,2)subplot(2,1,2)plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)gridgridxlabel('w(radiantxlabel('w(radiant)'))')
2525
2626
ContohContoh 4:4:Jika diketahui suatu input adalah x[n] = 4 + 3cos((π/3)n –π/2) + 3cos((20π/21)n)Dapatkan output dari y[n] =……………
Penyelesaian:
Dengan gambar yang terbangkit, coba anda hitungH(ws) pada ws =0, π/3, dan 20π/21 π1H(0) = (2 + 2cos(0)) e-j0
= 4H(π/3) = (2 + 2cos(π/3)) e-jπ/3
= (2 + 1) e-jπ/3
= 3e-jπ/3
H(20π/21) = 0,0223 e-j20π/21
Nilai-nilai ini bisa anda cocogkan dengan gambar…?
2727
OutputnyaOutputnya::y[ny[n] = 4.4 + 3.3 cos((] = 4.4 + 3.3 cos((ππ/3)n /3)n –– ππ/3 /3 ––ππ/2) + (0,0223) 3cos((20/2) + (0,0223) 3cos((20ππ/21)n /21)n –– 2020ππ/21)/21)
=16 + 9 cos(=16 + 9 cos(ππ/3(n /3(n ––1) 1) ––ππ/2) + 0,067 cos(20/2) + 0,067 cos(20ππ/21(n/21(n--1))1))
GambarkanGambarkan outputnyaoutputnya….….n=1:1:30;n=1:1:30;x_nx_n = 4 + 3*= 4 + 3*cos(ncos(n*pi/3 *pi/3 -- pi/3) + 3*pi/3) + 3*cos(ncos(n*20*pi/21);*20*pi/21);subplot(2,1,1)subplot(2,1,1)stem(n,x_nstem(n,x_n))ylabel('Inputylabel('Input x[nx[n]')]')xlabel('Timexlabel('Time Index n')Index n')
subplot(2,1,2)subplot(2,1,2)y_ny_n = 16 + 9*cos(pi/3*(n= 16 + 9*cos(pi/3*(n--1) 1) -- pi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(npi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(n--1));1));stem(n,y_nstem(n,y_n))ylabel('Outputylabel('Output y[ny[n]')]')xlabel('Timexlabel('Time Index n')Index n')
2828
Top Related