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Page 1: Resolución de Circuitos Eléctricos

EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS MEDIANTE LOS TEOREMAS GENERALES.

EJERCICIO 1.- En el circuito de la figura, hallar la corriente que circula por la impedancia 3 + j 4 Ω.

RESOLUCIÓN:

MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Dado que se trata de un circuito de tres mallas, se establecen las tres corrientes de malla indicadas en la figura.

Para dichas corrientes se establece el siguiente sistema de ecuaciones:

0

V

V

=

I

I

I

=

4j + 33 10 20 -

10 2,5j + 10 0

20 - 0 5j + 20

3

2

1

La corriente buscada, I3 se obtendrá como:

Page 2: Resolución de Circuitos Eléctricos

4j + 33 10 20 -

10 2,5j + 10 0

20 - 0 5j + 20

0 10 20 -

10 2,5j + 10 0

10 0 5j + 20

= I 3

Debido a que:

0 =

0 10 20 -

10 2,5j + 10 0

10 0 5j + 20

se verifica que: 0 = I 3

MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS

Al utilizar el método de las tensiones en los nudos, para calcular la corriente por la impedancia 3 + j 4 Ω, se observa

que el generador de tensión es ideal y por tanto hay que transformarlo. Para ello se insertan en uno de los nudos de

conexión del generador de tensión, tres generadores de tensión de igual valor eficaz dispuestos en la forma indicada

en la figura.

Tomando como nudo de referencia el #3, el sistema de ecuaciones, en forma matricial es el siguiente:

Page 3: Resolución de Circuitos Eléctricos

20 0 10 -

20 0 10

= V

V

52j 1 +

5j 1 +

101 +

201

5j 1 -

201 -

5j 1 -

201 -

5j 1 +

201 +

4j + 31

2 #

1 #

°∠

°∠

El valor de la tensión en el nudo #1, se obtiene de:

′°∠°∠

°∠

52j 1 +

5j 1 +

101 +

201

5j 1 -

201 -

5j 1 -

201 -

5j 1 +

201 +

4j + 31

52j 1 +

5j 1 +

101 +

201

10 0 10 -

20 0 10 -

5j 1 -

201 -

20 0 10

= V 1 #

Planteando la tensión en el nudo #1 recorriendo, a través de la impedancia 3 + j 4 Ω, se llega a:

A 0 = I ; 4j + 3

V = I ; I . ) 4j + 3 ( + V - 4j + 31 #

4j + 34j + 31 #

SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE TRANSFORMACIONES

A la vista del resultado obtenido al resuelto la indeterminación, se realiza una simplificación Thevenin-Norton de

ambos generadores de tensión, estableciéndose el circuito de la figura.

Asociando las impedancias conectadas en paralelo con los generadores de corriente, y efectuando una transforma-

ción Norton-Thevenin se obtiene el siguiente circuito.

Page 4: Resolución de Circuitos Eléctricos

Agrupando los generadores de tensión se llega a la simplificación máxima del circuito, mostrada en la figura.

De este último circuito se tiene que: 0 = 5j + 20 90 50 -

2,5j + 10 90 25 °∠°∠

con lo que: 0 = I 4j + 3

EJERCICIO 2.- Obtener la condición de equilibrio de un circuito puente de corriente alterna.

En circuito como el del enunciado, denominado genéricamente circuito puente y cuya representación es el de la

siguiente figura,

Page 5: Resolución de Circuitos Eléctricos

la corriente por la impedancia Z ( normalmente un galvanómetro) es nula cuando el puente se encuentre en equilibrio

es decir cuando se verifique que:

0 =

0 Z Z -

V Z+ Z 0

V 0 Z + Z

43

42

31

es decir: ZZ =

ZZ : oequilibrad Puente

4

3

2

1

EJERCICIO 3.- Para el circuito de la figura se pide calcular, el valor de la impedancia que conectada en paralelo con

el generador de corriente transfiere la máxima potencia y valor de dicha potencia.

RESOLUCIÓN:

La impedancia de Thevenin se calcula mediante el circuito de la figura siguiente, resultado de simplificar el circuito

original anulando los generadores.

Page 6: Resolución de Circuitos Eléctricos

Por composición de impedancias se obtiene: Ω 2572 =

3j + 43j x 4 +

3j - 43j - x 4 = Z th

por tanto, la impedancia que conectada en paralelo con el generador de corriente proporciona la transferencia de la

máxima potencia será: Ω 2572 = R

El cálculo de la potencia disipada por dicha resistencia se va a obtener mediante el circuito Thevenin equivalente. Para

ello, se ha de obtener Vth, es decir VAB. Este computo se hará aplicando el Teorema de Superposición.

PARA EL GENERADOR DE TENSIÓN.- Se anula el generador de corriente (se deja en circuito abierto). El circuito

resultante es el mostrado en la figura. Se resuelve el circuito por el método de las corrientes de malla, utilizando las

corrientes indicadas en la figura.

El sistema de ecuaciones para las corrientes de malla será:

0 = I ) 3j + 4 ( + 0 6 - 2°∠

0 = I ) 3j - 4 ( + 0 6 - 1°∠

y la diferencia de potencial entre A y B: 0 = I 4 - I 3j + V - 12BA′

sustituyendo valores se tiene que: ) 3j - 4 0 6 ( 4 - )

3j + 4 0 6 ( 3j = V BA

°∠°∠′

V 180 1,68 = V BA °∠′

Page 7: Resolución de Circuitos Eléctricos

PARA EL GENERADOR DE CORRIENTE.- Se anula el generador de tensión (se cortocircuita). El cálculo de la

tensión entre A y B se realiza fácilmente después de efectuar un agrupamiento de impedancias, tal como se muestra

en la figura.

Para el circuito resultante se tiene que: V 90 - 2 x 2572 = V BA °∠′′

V 90 - 5,76 = V BA °∠′′

POR SUPERPOSICIÓN La tensión equivalente de Thevenin vendrá dada por: V 106,26 - 6,0 = V + V = V BABATh °∠′′′

El circuito equivalente de Thevening será el de la figura.

El valor de la potencia disipada por la resistencia de transferencia de máxima potencia se obtiene:

W 3 =

2572 4

6 = P2

R

Cálculo de la tensión del generador equivalente de Thevenin por el Método de las Corrientes de Malla. Para ello se

establecen las corrientes de malla mostradas en la figura.

Page 8: Resolución de Circuitos Eléctricos

El sistema de ecuaciones correspondientes, en forma matricial, es el siguiente:

°∠

°∠

V

0 6

0 6

=

I

I

I

3j - 44 -3j -

4 -3j + 40

3j -0 3j - 4

AB

2

1

operando se tiene que: ) ( 72 = 3Ω∆ ) V ( 0 42 + V 25 = 2

AB3 Ω°∠∆

Por tanto, como: ∆∆3 = I

se obtiene: V 06261 - 6 = 25

0 4 - 90 - 2 . 72 = V = V ABI °′∠°∠°∠

El circuito Thevenin equivalente es el mostrado en la figura,

del que se calcula: W 3 =

2572 4

6 = P2

R

Cálculo de la tensión del generador equivalente de Thevenin por el Método de las Tensiones en los nudos. Para

ello se ha de resolver la indeterminación que presenta el generador ideal de tensión. Su resolución se muestra en la

figura adjunta, en la que además se muestran y numeran los nudos del circuito.

Page 9: Resolución de Circuitos Eléctricos

El sistema de ecuaciones correspondiente, en forma matricial, es el siguiente:

°∠°∠

°∠°∠

4 0 6 +

3j 0 6

3j 0 6 - 90 - 2

= V

V

) 3j

1 - 3j

1 + 41 +

41 ()

3j 1 +

41 ( -

) 3j

1 + 41 ( - )

3j 1 +

41 (

2 #

1 #

Resolviendo se obtiene: V 0631 - 6 = )

3j 1 +

41 ( -

21

) 3j

1 + 41 ( . 0 6

= V 1 # °′∠°∠

El circuito Thevenin equivalente será el mostrado en la figura,

del que se calcula: W 3 =

2572 4

6 = P2

R

EJERCICIO 4.- Para el circuito de la figura, calcular el valor instantáneo de la diferencia de potencial entre los puntos A y B, siendo: Hz 400 = f ; A ) t ( sen14 + 15 = (t) i ω

Page 10: Resolución de Circuitos Eléctricos

RESOLUCIÓN:

Como la corriente instantánea suministrada por el generador de corriente está formada por una función compuesta de

dos frecuencias, se habrá de aplicar el teorema de superposición. Es decir, habrá que resolver el problema para

corriente continua y posteriormente para corriente alterna. La solución será la suma de las respuestas a ambos tipos

de corriente.

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS

CORRIENTE CONTINUA. Dado que la fuente es de corriente continua, el condensador se comporta como un circuito

abierto. La resistencia en serie con la fuente de corriente puede suprimirse ya que su presencia no altera la diferencia

de potencial entre los puntos A y B.

Resolviendo por nudos el circuito propuesto una vez simplificado, tal como se muestra en la figura, se tiene que:

V 600 = V ; 15 = 120

1 + 601 V 1 #1 #

por tanto: V 300 = V AB

CORRIENTE ALTERNA. En primer lugar, se calcula la reactancia capacitiva que presenta el condensador de 19 μF a

la frecuencia de 400 Hz. Así se tiene que: Ω 21 = 19 x 400 x x 2

10 = X6

C π

Se resolverá el circuito propuesto utilizando, como ya se ha indicado, el método de las tensiones en los nudos

haciendo la elección de los nudos indicada en la figura adjunta.

Page 11: Resolución de Circuitos Eléctricos

El sistema que se obtiene es el siguiente:

0

10

0

=

V

V

V

21j -1 +

602

21j -1 -

601 -

21j -1 -

21j -1 +

601

601 -

601 -

601 -

603

3

2

1

resolviendo para la tensíon V3, que es precisamente igual a VAB, resulta: V 5 355 = V = V AB3 °∠

SUPERPOSICIÓN. Sumando las respuestas para ambas frecuencias se concluye con:

V ) 5 + t ( sen355 . 2 + 300 = (t) vab °ω

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA

CORRIENTE CONTINUA. En la figura adjunta se muestra el circuito una vez simplificado. Así mismo, se muestran las

corrientes de malla elegidas para la resolución del problema.

Para dichas corrientes de malla se establece el sistema de ecuaciones siguiente:

Page 12: Resolución de Circuitos Eléctricos

0

V =

I

15

18060 -

60 -60 I

resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: V 600 = V ; 7.200

V 180 = 15 II A 5 =

7.200V 60 = I I

Por tanto: V 300 = V AB

CORRIENTE ALTERNA. Utilizando las corrientes de malla indicadas en la figura,

se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

°∠

0

0

V

=

I

I

0 10

180 60 -60 -

60 - ) 21j - 120 ( 60 -

60 - 60 - 120

I

3

2

Resolviendo se obtiene: V 3,66 2.017,02 = V ; A 11,86 7,83 = I ; A 5,21 5,91 = I I23 °∠°∠°∠

la tensión entre A y B será: V 5 355 = V AB °∠

SUPERPOSICIÓN. Por superposición de ambas respuestas, teniendo en cuenta que en la función instantánea ha de

figurar el valor máximo de la función temporal de pulsación ω, resulta:

V ) 5 + t ( sen355 2 + 300 = (t) vab °× ω

RESOLUCIÓN MEDIANTE TRANSFORMACIONES THEVENIN-NORTON

CORRIENTE CONTINUA. Mediante la transformación mostrada en la figura

Page 13: Resolución de Circuitos Eléctricos

se llega al circuito simplificado para el que se verifica:

V 300 = 60 + 120

900 x 60 = V AB

CORRIENTE ALTERNA. Al igual que en el apartado anterior, mediante las transformaciones mostradas secuencial-

mente en las sucesivas figuras se llega al circuito equivalente Thevenin final.

1er paso.-

2º paso.-

Page 14: Resolución de Circuitos Eléctricos

3er paso.-

4º paso.-

5º paso.-

Page 15: Resolución de Circuitos Eléctricos

6º paso.-

Para el circuito simplificado resultante se verifica que:

A 5,21 5,91 = 3,21 - 91,03 + 0 60

3,27 892,13 = I °∠°∠°∠

°∠

V 5,21 354,55 = 5,21 5,91 x 60 = V AB °∠°∠

SUPERPOSICIÓN. La suma de las respuestas a las dos frecuencias será:

V ) 5 + t ( sen355 . 2 + 300 = (t) vab °ω

Ultima versión: 11/12/01 - F Bugallo Siegel.