Produzione di mesoni scalari ininterazioni γγ a DAΦNE

Ivan Prado LonghiDipartimento di Fisica - Universita degli Studi “Roma Tre”

10 Maggio 2010

Indice

1 Mesoni Scalari 71.1 Mesoni Scalari nel modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Stati qq e qqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Mesoni Scalari come stati qqqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Mesoni Scalari e Interazioni Forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Cromodinamica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Simmetria chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Linear Sigma Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Interazioni γγ 242.1 Studio dei processi a due fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Approssimazione di Weizsacker-Williams . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Sezione d’urto risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Elemento di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Esperimento KLOE a DAΦNE 313.1 DAΦNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 KLOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 La camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Il calorimetro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Algoritmi di ricostruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.1 Ricostruzione dei cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Ricostruzione delle tracce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3 Associazione traccia-cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Acquisizione Dati 444.1 Il sistema di trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Filtro per la reiezione degli eventi di fondo (FILFO) . . . . . . . . . . 45

1

4.3 Filtro γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Efficienze di trigger, FILFO e filtro γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Simulazioni Monte Carloper segnale e fondi 495.1 Processo e+e− → e+e−σ → e+e−π0π0

a√s = 1 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Processi di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.1 e+e− → KsKL, Ks → π0π0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.2 e+e− → ηγ, η → π0π0π0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.3 e+e− → ωπ0, ω → π0γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.4 e+e− → f0γ, a0γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.5 e+e− → γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.6 e+e− → e+e−f0, e

+e− → e+e−f2 . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.7 Correzione della scala di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Analisi Dati 596.1 Preselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1.1 Recover Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.2 Appaiamento dei fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.3 Matrice di smearing e smearing gaussiano . . . . . . . . . . . 616.1.4 Studio delle efficienze di preselezione . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Tagli di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.1 Taglio sulla variabile χ2

π0π0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.2 4 e solo 4 γ prompt; no tracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3 Energia dei 2 fotoni piu energetici . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.4 Taglio sulla varabile Eγ3 + Eγ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.5 Taglio sulla variabile pT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.6 Taglio sulla variabile R =∑4

γ Eγ

Etot. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Scelte di Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.1 Analisi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.2 Analisi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 Confronto Dati-Monte Carlo 1027.1 Stime delle frazioni per i processi di fondo . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 Fit dello spettro di massa invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Sezione d’urto γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2

7.4 Fit della massa invariantecon una funzione tipo spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.5 Errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.1 Dipendenza dal MC segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.2 Dipendenza dai tagli di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A Sezione d’urto e+e− → KSKL

a√s = 1 GeV 135

B Correzione della scala di energiadelle simulazioni Monte Carlo 138B.1 e+e− → KSKL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.2 e+e− → ηγ → 3π0γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

C Selezione di eventi KSKL con KS → π0π0 141

Bibliografia 143

3

Omnis mundi creaturaquasi liber et picturanobis est in speculum

Alano delle Isole

4

Introduzione

Il settore dei mesoni scalari leggeri rappresenta un capitolo intrigante e ambiguo nellamoderna fisica delle particelle. L’interesse nello studio degli scalari, e le difficolta adesso connesse, si manifestano sia sul piano teorico che su quello sperimentale. Dalpunto di vista teorico, le controversie riguardano ad esempio la collocazione dei me-soni scalari nel modello a quark e il ruolo da essi svolto in alcune teorie effettive delleinterazioni forti nella realizzazione della rottura spontanea della simmetria chirale.Da un punto di vista sperimentale, alcuni tra i mesoni scalari leggeri si presentanocome risonanze larghe, fortemente sovrapposte ai processi di fondo che ne rendonodifficile l’individuazione.

Anche la produzione di tali risonanze rappresenta un problema non banale: leinterazioni fotone-fotone (γγ) permettono di accedere agli stati con JPC = 0++, masono difficili da realizzare utilizzando fasci di fotoni reali. La soluzione e l’utilizzo difotoni quasi reali, emessi a piccoli angoli da elettrone e positrone negli acceleratorie+e−. Studiando la reazione e+e− → e+e−γ∗γ∗ → e+e−X e possibile quindi misurarel’accoppiamento dei fotoni allo scalare X, ottenendo informazioni sulla strutturainterna di quest’ultimo. La ricerca di mesoni scalari e tensori con interazioni γγe stata condotta dagli esperimenti JADE e Crystall Ball nel 1990, e da Belle piurecentemente (2008); in questa tesi sono stati analizzati i dati raccolti con il rivelatoreKLOE a DAΦNE, il doppio anello di collisione e+e− dell’Istituto Nazionale di FisicaNucleare (INFN) collocato nel complesso dei Laboratori Nazionali di Frascati, a pochichilometri da Roma.

Lo scopo di questa tesi e quello di individuare e interpretare un possibile segnaleper il processo e+e− → e+e−σ → e+e−ππ, dove σ e una risonanza scalare di massamσ ≃ 400÷700 MeV e larghezza Γσ ≃ 400÷800 MeV1. Per ridurre il fondo dovuto aidecadimenti radiativi della φ sono stati utilizzati i dati raccolti fuori picco, a

√s = 1

GeV; poiche a questa energia lo stato finale π+π−γ e prodotto in abbondanza nelprocesso di ritorno radiativo alla massa del mesone ρ, e stato scelto di studiare il

1Il mesone σ e indicato a volte in letteratura come f0(600).

5

processo con pioni neutri anziche carichi nello stato finale. I dati raccolti a DAΦNE a√s = 1 GeV, selezionati originariamente con filtri dedicati all’analisi dei decadimenti

della φ (non adatti quindi allo studio della fisica γγ), mostrano un evidente eccessodi eventi nella regione di massa invariante dei 4 fotoni m4 ≃ 200 ÷ 450 MeV nondescrivibile in termini dei processi di fondo noti [1], e interpretabile quindi comepossibile segnale di σ. In questa tesi e stato utilizzato un campione di dati ad altastatistica (≃ 4 × 108 eventi) riprocessato con criteri ottimizzati per lo studio delleinterazioni γγ.

I primi due capitoli sono dedicati ad un inquadramento teorico del settore deimesoni scalari e alla descrizione dei processi di interazione fotone-fotone, con par-ticolare attenzione alla approssimazione di Weizsacker-Williams, che viene assuntavalida nel corso di tutta l’analisi. Nel terzo e quarto capitolo sono descritti gli ap-parati sperimentali e le condizioni di acquisizione dati. Il quinto capitolo e dedicatoalla descrizione della simulazione Monte Carlo per il segnale e di quelle utilizzateper lo studio dei processi di fondo. Nel sesto capitolo e presentata l’analisi vera epropria, svolta seguendo due strategie parallele, con la descrizione dei tagli di analisiscelti, lo studio delle efficienze e i primi confronti dati-Monte Carlo; infine, il settimocapitolo presenta i risultati ottenuti attraverso la procedura di fit dello spettro dimassa invariante.

6

Capitolo 1

Mesoni Scalari

Il settore dei mesoni scalari e uno tra i capitoli piu oscuri, e quindi intriganti, nellamoderna fisica delle particelle. L’inquadramento di questi adroni nel modello a quarke controverso: le possibili interpretazioni vanno dagli stati quark-antiquark (come peri mesoni pseudoscalari) ai tetraquark (coppie diquark-antidiquark), dalle molecoleKK alle glueballs. Sperimentalmente, l’indagine sulla struttura degli scalari e resaproblematica dalle ampie larghezze di queste risonanze, che causano una grandesovrapposizione con i processi di fondo, e dal fatto che in un intervallo di massarelativamente ristretto si aprono molti canali di decadimento. Se alcune risonanze,come f0(980), sono state osservate chiaramente, cosı da aver potuto determinarne conuna certa precisione i parametri (massa, larghezza, accoppiamenti), per altri scalari,tra i quali principalmente σ(600), la situazione e sufficientemente controversa da averspinto piu volte a dubitare dell’esistenza stessa di tali particelle.

Da un punto di vista teorico, i mesoni scalari suscitano interesse perche, avendoessi gli stessi numeri quantici del vuoto, possono svolgere un ruolo determinante nelmeccanismo di rottura spontanea di qualche importante simmetria globale, come lasimmetria chirale SUL(nf )×SUR(nf ). L’implementazione di tale meccanismo e unadelle principali sfide della moderna fisica teorica, e vede come possibili candidateteorie basate su lagrangiane chirali ed effettive; tra queste ultime il Modello SigmaLineare (LSM) introduce un campo scalare che rompe la simmetria chirale assumendoun valore di aspettazione nel vuoto non nullo.

I mesoni scalari sono prodotti, ad esempio, nei processi di scattering πN , nelleannichilazioni pp, nei decadimenti della J/Ψ e dei mesoni B, D e K, nei decadimentiradiativi della φ e nelle interazioni γγ; questi ultimi processi come meccanismo diproduzione del mesone scalare σ(600) sono l’oggetto del presente lavoro di tesi.

I primi scalari furono osservati circa quarant’anni fa. Studiando il processo π−p→

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π−π+n si evidenzio una soppressione dell’ampiezza di diffusione elastica in funzionedella massa invariante dei due π in prossimita della soglia KK, mentre nella stessaregione il processo anelastico in stato finale KK mostrava un picco marcato [2]. Taleandamento fu interpretato come la sovrapposizione di due risonanze: una larga (Γ ≈300 MeV), identificata con il mesone scalare κ(700), e una stretta (Γ ≈ 50 MeV),chiamata f0(980), fortemente accoppiata con il canale KK. Evidenze piu recenti perla κ(700) sono state individuate nei decadimenti adronici del mesone D in prossimitadella soglia Kπ (esperimenti E791, FOCUS, CLEO, BaBar); BES II ha anche trovato

una struttura riconducibile alla κ nel decadimento J/Ψ → K∗0(892)K+π−, con la κ

che rincula contro il K∗(892).Il mesone scalare a0(980) fu osservato attraverso lo studio della reazione K−p→

Σ+(1385)π−η,Σ+K−K0; la sezione d’urto in funzione della massa invariante del si-stema πη mostra un comportamento risonante (M = 980 MeV, Γ ≈ 100 MeV) al disotto della soglia KK, a significare che anche il mesone a0 e fortemente accoppiatoa questo canale.

In tre esperimenti e stata individuata l’evidenza di produzione del mesone σ(in letteratura spesso indicato come f0(600)), di cui sono state misurate massa elarghezza mediante il Dalitz plot: l’esperimento E791 [3] ha misurato il Dalitz plotdei due pioni π+π− nel decadimento D+ → π+σ → π+π+π−; BES [4] ha misurato ilDalitz plot di ωπ− vs. ωπ+ nel decadimento J/Ψ → ωπ+π−; CLEO [5] ha misuratola massa invariante nel decadimento D0 → KSσ → KSπ

+π−.

In questo capitolo si richiama la spettroscopia adronica e il modello di Gell-Manne Zweig che la descrive, con particolare attenzione alla collocazione dei mesoni scalariin questo scenario alla luce delle evidenze sperimentali. Dopo una breve esposizio-ne dei fondamenti della Cromodinamica Quantistica (QCD) viene discusso il LinearSigma Model, la simmetria chirale e la sua rottura spontanea; infine, viene postol’accento sui possibili legami tra lo scenario teorico appena descritto e le caratteristi-che osservate per i mesoni scalari, fatta salva ovviamente l’identificazione di questiultimi con gli scalari che intervengono nel LSM.

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1.1 Mesoni Scalari nel modello a quark

Nel corso di questa trattazione, ci limiteremo a considerare il modello basato sullasimmetria SUf (3), non essendo interessati a descrivere gli adroni con quark charm ebottom come quark di valenza.

In questo modello gli adroni sono disposti nelle rappresentazioni irriducibili diSU(3), il gruppo delle matrici U 3 × 3 unitarie a determinante detU = 1. Talimatrici possono essere espresse come

U = eiH = ei∑

k αkλk , (1.1)

dove H e una matrice hermitiana. Nel secondo passaggio della (1.1) H e sviluppatanella base delle matrici hermitiane 3 × 3 a traccia nulla (per soddisfare detU = 1);le matrici λk, k = 1,...8 che costituiscono tale base sono dette generatori, e sonotipicamente scelte nella forma

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

,

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

,

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

, λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

, λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

, λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

. (1.2)

Le 8 matrici (1.2) sono dette matrici di Gell-Mann. Mediante calcolo diretto siverifica che

[λk, λl] = 2ifklmλm, (1.3)

9

con fklm costanti di struttura del gruppo, antisimmetriche sotto lo scambio di qual-siasi coppia di indici. Le sole costanti di struttura non nulle sono

f123 = 1; f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 =1

2;

f458 = f678 =

√3

2, (1.4)

con tutte le altre ottenute permutando gli indici. Le relazioni di commutazione (1.3)definiscono completamente l’algebra di SU(3), indicata con su(3).

Si osserva che le matrici di Gell-Mann λ3 e λ8 commutano, come e ovvio essendoesse matrici diagonali. Il massimo numero di generatori simultaneamente diagona-lizzabili di un’algebra e detto rango del gruppo: per SU(n) il rango e dato da n− 1,il numero di parametri essenziali per specificare gli elementi diagonali di una matricehermitiana a traccia nulla. I generatori diagonali sono importanti in quanto, nelleapplicazioni, ad essi sono associati le osservabili i cui autovalori, che compaiono ap-punto sulla diagonale, sono utili per definire gli stati del sistema fisico in esame. Piuprecisamente, λ3 e la matrice degli autovalori della terza componente dell’isospin I3(a meno di un fattore 1

2); λ8 e la matrice degli autovalori dell’ipercarica Y (a meno

di un fattore 1√3).

La rappresentazione fondamentale e la piu piccola rappresentazione non banale;nel caso di SU(3) e quella delle stesse matrici 3× 3, indicata con 3. I vettori di baseper questa rappresentazione sono i tre quark up (u), down (d) e strange (s)

u =

100

, d =

010

, s =

001

, (1.5)

che sono fermioni di spin 1

2; essi costituiscono il tripletto fondamentale di SU(3).

Anche le matrici coniugate

U∗ = e−iHT

= ei∑

k αk(−λTk ) (1.6)

costituiscono una rappresentazione del gruppo, anch’essa di dimensione uguale a tre,detta rappresentazione coniugata e indicata con 3. Dalla (1.6) si vede che nellarappresentazione coniugata i generatori diagonali sono −λT3 e −λT8 , con autovaloridi segno opposto rispetto a quelli dei generatori λ3 e λ8: i vettori di base della 3si identificano allora con gli antiquark u, d e s. Uniformando la notazione a quella

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della gran parte dei testi di fisica delle particelle, definiamo gli operatori I3 (terzacomponente dell’isospin) e Y (ipercarica) come

I3 =λ32, Y =

λ8√3; (1.7)

definiamo anche l’operatore carica elettrica Q, legato all’isospin e all’ipercaricadalla legge di Gell-Mann e Nishijima:

Q =Y

2+ I3. (1.8)

Agendo con questi operatori sui vettori di base nella 3 e nella 3 si ottengono i numeriquantici di quark e antiquark, riportati in tabella 1.1.

Quark I3 Y Q Antiquark I3 Y Qu 1

2

1

3

2

3u −1

2−1

3−2

3

d −1

2

1

3−1

3d 1

2−1

3

1

3

s 0 −2

3−1

3s 0 2

3

1

3

Tabella 1.1: Numeri quantici dei 3 quark e dei 3 antiquark piu leggeri.

Mediante il prodotto esterno (indicato con ⊗) delle rappresentazioni 3 e 3 siottengono rappresentazioni di dimensione maggiore, in generale riducibili; riducendoqueste ultime, e possibile ottenere tutte le rappresentazioni irriducibili del gruppo.

1.1.1 Stati qq e qqq

Assegnando un numero barionico B = 1

3ai quark (e B = −1

3agli antiquark) e

possibile costruire stati qq con numero barionico nullo e spin intero (mesoni), oppurestati a tre quark con numero barionico B = 1 e spin semiintero (barioni). Comeprevisto dalla teoria di Dirac, quark e antiquark hanno parita opposta; una coppiaquark-antiquark in uno stato di momento angolare L avra quindi parita P definitada

P = (−1)L+1. (1.9)

Stati con L = 0 descrivono quindi mesoni pseudoscalari JP = 0− (se gli spin diquark e antiquark sono opposti) o mesoni vettori 1− (se i due spin sono allineati);stati con L = 1 e J = 2 rappresentano i mesoni tensori 2+. Stati con L = 1 e J = 0sono pure possibili, e potrebbero descrivere i mesoni scalari 0+; la spettroscopia deimesoni scalari leggeri induce tuttavia a scartare questa ipotesi (vedi §1.1.2). Le

11

rappresentazioni irriducibili di SU(3) che si ottengono dal prodotto esterno della 3e della 3 sono l’ottetto (8) e il singoletto (1)

3⊗ 3 = 8⊕ 1; (1.10)

i mesoni pseudoscalari e vettori sono effettivamente organizzati in tali multipletti.Per quanto riguarda i barioni, bisogna considerare le rappresentazioni irriducibili

ottenute dal prodotto3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1, (1.11)

nelle quali trovano posto i barioni JP = 1

2

+(ottetto) e JP = 3

2

+(decupletto).

Notiamo che nel decupletto dei barioni JP = 3

2

+compaiono stati, come la ∆++

(u ↑ u ↑ u ↑), completamente simmetrici sotto scambio, violando il principio diPauli; essi sono antisimmetrizzati introducendo ad hoc la simmetria SUc(3) di colore,assumendo che gli adroni siano singoletti di tale simmetria,

barione =1

3!ǫijkq

iqjqk, (1.12)

dove ǫ e il tensore completamente antisimmetrico. Nell’ambito della cromodinamicaquantistica (vedi §1.2.1) il colore e la carica delle interazioni forti.

1.1.2 Mesoni Scalari come stati qqqq

Le combinazioni diquark -antidiquark, dette tetraquark, (qqqq), sono possibili candi-date a descrivere la struttura dei mesoni scalari leggeri: stati tetraquark in onda Sriproducono infatti lo spin-parita degli scalari.

Consideriamo preliminarmente la singola coppia qq (qq). Lo stato di due fermioniidentici, fattorizzabile in uno stato di spin, uno di sapore e uno di colore, deve esserecomplessivamente antisimmetrico per scambio di particella; richiedendo che la coppiaabbia spin 0, cioe che sia un singoletto di spin (antisimmetrico), lo stato qq (qq)deve essere simmetrico sotto SUf (3) × SUc(3)

1. Tanto per la simmetria di sapore(f=flavour) quanto per quella di colore (c=colour) il prodotto esterno 3 ⊗ 3 dellerappresentazioni dei due quark si riduce come segue:

3f,c ⊗ 3f,c = 6f,c ⊕ 3f,c, (1.13)

con 6 stato simmetrico, 3 antisimmetrico. Analogamente, per la coppia di antiquark:

3f,c ⊗ 3f,c = 6f,c ⊕ 3f,c, (1.14)

1Il simbolo × indica il prodotto diretto interno (o alla Kronecker), che fattorizza un singolo statonelle sue simmetrie interne.

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(6 simmetrico, 3 antisimmetrico). Indicando con (nf ,nc) gli stati di diquark (anti-diquark) sotto SUf (3)× SUc(3), si ha che gli stati simmetrici cercati sono

qq = (6f ,6c), qq = (6f ,6c), (1.15)

oppureqq = (3f ,3c), qq = (3f ,3c). (1.16)

Rimane ora da considerare il prodotto esterno qq ⊗ qq, che dara

qq ⊗ qq = (3f ⊗ 3f ,3c ⊗ 3c) (1.17)

eqq ⊗ qq = (6f ⊗ 6f ,6c ⊗ 6c); (1.18)

i prodotti considerati si riducono nel modo seguente:

3⊗ 3 = 8⊕ 1, (1.19)

6⊗ 6 = 27⊕ 8⊕ 1. (1.20)

Gli stati fisici devono essere singoletti di colore; si hanno quindi i multipletti

qqqq = (8f ,1c), (1f ,1c) (1.21)

dalla (1.19), eqqqq = (27f ,1c), (8f ,1c), (1f ,1c) (1.22)

dalla (1.20).

In figura 1.1 sono mostrati a confronto gli spettri di massa per i mesoni scalari epseudoscalari; si osserva che gli ordinamenti in massa risultano invertiti.

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Figura 1.1: Spettro di massa per i mesoni scalari (a sinistra) e pseudoscalari (adestra).

L’inversione dell’ordinamento in massa per i mesoni scalari rispetto a quello peri mesoni pseudoscalari puo essere spiegata nell’ambito del modello a quattro quark:l’ordinamento in massa e infatti determinato dal contenuto in quark strano dei me-soni, e tale contenuto e massimo nei mesoni a0 e f0 (2 quark s), intermedio nei κ (1quark s), e minimo nella σ (nessun quark s) (vedi tabella 1.2).

I I3 S Y Composizione

a+0 1 +1 0 0 [su][sd]

a00 1 0 0 0 1√2([su][su]− [sd][sd])

a−0 1 -1 0 0 [sd][su]

f0 0 0 0 0 1√2([su][su] + [sd][sd])

σ 0 0 0 0 [ud][ud]

κ+ 1/2 +1/2 +1 +1 [ud][sd]κ0 1/2 -1/2 +1 +1 [ud][su]

κ0 1/2 +1/2 -1 -1 [us][du]

κ− 1/2 -1/2 -1 -1 [ds][du]

Tabella 1.2: Numeri quantici e composizione dei mesoni scalari nel modello diquark-antidiquark.

La composizione mostrata in tabella 1.2 spiega anche i forti accoppiamenti deimesoni a0 e f0 con il canale KK e della σ con il canale ππ.

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1.2 Mesoni Scalari e Interazioni Forti

In questa sezione viene discusso il possibile ruolo dei mesoni scalari in alcune teo-rie effettive delle Interazioni Forti. La trattazione non vuole essere esaustiva, e sirimanda alla bibliografia per gli opportuni approfondimenti.

1.2.1 Cromodinamica Quantistica

La teoria fondamentale delle interazioni forti e una teoria di campo rinormalizzabilebasata sul gruppo di gauge SU(3) di colore. I campi in gioco sono i quark q e gliotto campi di gauge g, i gluoni, associati agli otto generatori ta del gruppo di gauge.La lagrangiana di QCD e quindi

L =

nf∑

j=1

qj(i 6D −mj)qj −1

4

8∑

a=1

F aµνF aµν , (1.23)

dove j e un indice di sapore, 6D = γµDµ con γµ matrici di Dirac (µ = 0, 1, 2, 3) e Dµ

derivata covariante, definita come

Dµ = ∂µ − ies

8∑

a=1

tagaµ; (1.24)

es e l’accoppiamento dei quark ai campi di gauge; come in QED, si definisce lacostante di accoppiamento dell’interazione forte αs

αs =e2s4π. (1.25)

Il termine cinetico dei campi e costruito con il tensore antisimmetrico

F aµν = ∂µg

aν − ∂νg

aµ − esfabcg

bµg

cν , (1.26)

ottenuto come commutatore delle derivate covarianti, [Dµ, Dν ]q; le fabc sono le co-stanti di struttura del gruppo, definite dall’algebra (1.3).

Dalle (1.23)-(1.26) si leggono direttamente tutti i vertici di QCD: il vertice quark-antiquark-gluone e i vertici a tre e quattro gluoni, derivanti dai termini cubici equartici di F aµνF a

µν . Il fatto che SU(3) sia un gruppo non abeliano (cioe che isuoi generatori non commutino) e decisivo per la presenza di tali termini di self-accoppiamento dei campi di gauge.

15

La lagrangiana (1.23), nonostante la sua struttura relativamente semplice, da luo-go ad una dinamica molto ricca e articolata, le cui caratteristiche salienti sono senzadubbio i fenomeni della liberta asintotica e del confinamento. Entrambi sono dovutial fatto che l’intensita dell’interazione forte dipende dal quadrato del quadriimpulsotrasferito Q2. Piu precisamente, la “costante” d’accoppiamento αs e funzione di Q2

secondo la relazione

αs(Q2) =

1

b ln Q2

Λ2

, (1.27)

dove Λ ≈ 200 MeV e una scala di energia. Il coefficiente b e dato dalla relazione

b =11Nc − 2nf

12π, (1.28)

dove Nc e il numero di colori e nf il numero di sapori dei quark accoppiati. PerNc = 3 si ha che b e positivo per nf ≤ 16, e in particolare in QCD a sei sapori siha b = 0.557. Dalla (1.27) si osserva che αS e una funzione decrescente di lnQ2: alcrescere del quadriimpulso trasferito l’accoppiamento diminuisce e i quark interagi-scono debolmente (liberta asintotica). Per Q2 ≈ Λ2 l’accoppiamento diverge (polodi Landau): in questo regime l’approccio perturbativo per la QCD non e possibile.A basse energie i quark con le loro cariche di colore sono confinati negli adroni, cherisultano complessivamente non colorati: cio spiega perche gli adroni, nel linguaggiodella teoria dei gruppi, siano singoletti di SUc(3).

1.2.2 Simmetria chirale

La lagrangiana (1.23) manifesta la nota simmetria di sapore discussa in §1.1: risultainfatti invariante sotto le trasformazioni unitarie [6]

qi → q′i = [exp(−iαaτa)]ijqj; (1.29)

nel limite mj = 0, si aggiunge l’invarianza sotto le ulteriori trasformazioni

qi → q′i = [exp(−iαaτaγ5)]ijq

j, (1.30)

dove γ5 = iγ0γ1γ2γ3, con i, j = 1, . . . , N sono indici di sapore e τa, con a =1, . . . , (N2 − 1) sono i generatori del gruppo SU(N); senza perdere in generalita,considereremo qui il caso N = 2 (QCD con 2 sapori). L’invarianza sotto le trasfor-mazioni (1.29), (1.30) prende il nome di simmetria chirale e viene indicata con lanotazione gruppale SUL(2) × SUR(2): decomponendo i campi dei quark nelle loro

16

componenti levogira qL = 1

2(1 − γ5)q e destrogira qR = 1

2(1 + γ5)q la lagrangiana di

QCD puo infatti essere riscritta

L =∑

j

iqjL 6DqjL + iqjR 6DqjR − 1

4

8∑

a=1

F aµνF aµν , (1.31)

e le (1.29), (1.30) diventano

qi → q′i = [exp(−iαaLτ

aL)]

ijq

j, (1.32)

qi → q′i = [exp(−iαaRτ

aR)]

ijq

j, (1.33)

con τaL,R = τaPL,R, PL,R = 1

2(1∓ γ5). Un’importante proprieta dei generatori τaL, τ

aR

e che si trasformano l’uno nell’altro sotto l’operazione di parita:

PτaL,RP−1 = τaR,L; (1.34)

da questa proprieta deriva il nome di trasformazioni chirali.Associate all’invarianza della Lagrangiana di QCD sotto SUL(2) × SUR(2) si

trovano le correnti vettoriali [6]

jaµ = qγµτaq, (1.35)

e le correnti assialij5aµ = qγµγ5τ

aq; (1.36)

le corrispondenti cariche conservate sono l’isospin forte (a = 1, 2, 3) e il numerobarionico (a = 0)

Qa =

∫

d3xq(x)γ0τaq(x) (1.37)

e le cariche assiali

Qa5 =

∫

d3xq(x)γ0γ5τaq(x). (1.38)

Analizziamo a questo punto lo spettro della hamiltoniana di QCD [6]. Supponia-mo che lo stato di vuoto della teoria |0〉, definito dal minimo dei valori di aspettazionedella hamiltoniana 〈0|H|0〉 = 〈H〉min, sia invariante sotto le trasformazioni chirali,

τaL|0〉 = τaR|0〉 = 0; (1.39)

il teorema di Coleman (vedi, ad esempio, [7]) ci permette allora di concludere che igeneratori τaL,R commutano con l’hamiltoniana, il cui spettro puo quindi essere clas-sificato secondo le rappresentazioni irriducibili del gruppo chirale SUL(2)× SUR(2).

17

Cio significa che a ciascun multipletto di isospin corrisponde almeno un partnerdegenere di parita opposta: sia infatti |Ψ〉 un autostato di H e di P ,

H|Ψ〉 = E|Ψ〉, P |Ψ〉 = |Ψ〉; (1.40)

per quanto detto, assunta la (1.39), si ha [τaL,R, H] = 0 e quindi

HτaL|Ψ〉 = EτaL|Ψ〉, HτaR|Ψ〉 = EτaR|Ψ〉. (1.41)

Per la (1.34) si ha pure

PτaL,R|Ψ〉 = PτaL,RP+P |Ψ〉 = τaR,L|Ψ〉, (1.42)

e quindi e possibile costruire lo stato

|Ψ′〉 = 1√2(τaR − τaL)|Ψ〉, P |Ψ′〉 = −|Ψ′〉, (1.43)

che risulta degenere con |Ψ〉 e di parita opposta, come volevasi dimostrare.Le osservazioni non hanno prodotto evidenza dell’esistenza di multipletti adronici

degeneri con parita opposta. Evidentemente, l’assunzione (1.39) va sostituita conl’ipotesi che il vuoto della teoria non sia invariante sotto l’intero gruppo chirale, mache sia piuttosto

Qa5|0〉 6= 0, Qa|0〉 = 0; (1.44)

la (1.44) e la condizione per la rottura spontanea della simmetria chirale, secondola realizzazione proposta da Nambu e Goldstone. In questo scenario, lo stato divuoto |0〉 non e unico ma infinitamente degenere, e i generatori delle simmetrie rottenon annichilano |0〉 ma fanno passare da uno stato di vuoto a quello contiguo; talepassaggio, energeticamente a costo zero, corrisponde a modi a massa nulla aventi inumeri quantici dei generatori rotti (bosoni di Goldstone). I candidati piu ovvi asvolgere il ruolo di bosoni di Goldstone nella QCD a 2 sapori con rottura spontaneadella simmetria chirale secondo la (1.44) sono i pioni, che infatti hanno i numeriquantici di Qa

5: il fatto che i pioni non siano esattamente a massa nulla e riconducibilead una rottura esplicita della simmetria chirale dovuta ai termini di massa dei quarknella lagrangiana.

1.2.3 Linear Sigma Model

L’implementazione del meccanismo di rottura spontanea della simmetria chirale nel-l’ambito della QCD e un problema ancora aperto. Si e visto inoltre (§1.2.1) che la

18

cromodinamica quantistica non e adeguata a descrivere le interazioni forti a basseenergie: la strategia e quindi utilizzare teorie efficaci che manifestino la simmetriachirale e ne implementino la rottura spontanea. Consideriamo qui il modello lineareσ (LSM) messo a punto da Gell-Mann e Levy [8, 6], di particolare interesse ai finidella nostra trattazione visto il ruolo determinante in esso svolto dai mesoni scalarie pseudoscalari. In questo modello i nucleoni (indicati come doppietto di isospin N)e i pioni (tripletto di isospin π) sono trattati come campi fondamentali. I campiN possono essere decomposti nelle componenti NL e NR, che si trasformano sottoSUL(2) × SUR(2) come una (2, 1) e una (1, 2) rispettivamente. Il campo dei pionie accoppiato con il bilineare pseudoscalare di Dirac Nγ5N . La simmetria chirale erealizzata introducendo un campo scalare σ′ che si accoppia a sua volta con i campifermionici. La lagrangiana e quindi

L = iN 6∂N + gN(σ′ + iτaπaγ5)N +1

2[(∂µπ

a)2 + (∂µσ′)2]

−1

2µ2(σ′2 + (πa)2)− 1

4λ(σ′2 + (πa)2)2. (1.45)

Si verifica che le trasformazioni che lasciano invariata la lagrangiana (1.45) sono,sotto SUV (2) (V= “Vettoriale”)

πa → πa + ǫabcδαbπc

σ′ → σ′, (1.46)

e sotto SUA(2) (A=“Assiale”)

πa → πa + δαaσ′

σ′ → σ′ − δαaπa; (1.47)

i campi fermionici si trasformano secondo le (1.29), (1.30).Trascurando le correzioni quantistiche, il vuoto della teoria espressa dalla lagran-

giana (1.45) e dato dal punto di minimo per il potenziale V (σ′, πa); raggruppan-do i tre campi pseudoscalari π e lo scalare σ′ in un unico campo a 4 componentiφ = (π1, π2, π3, σ′) il potenziale si puo scrivere

V (φ) =1

2φ2 +

λ

4φ4. (1.48)

Calcolando il minimo si ha

∂V

∂φ(φ = φ0) = φ0(µ

2 + λφ20) = 0. (1.49)

19

Per µ2 > 0 esiste l’unico punto di minimo φ0 = 0; per µ2 < 0 si ha invece

φ20 =

µ2

λ, (1.50)

relazione che individua una “circonferenza” di raggio |µ/√λ| nello spazio di SO(4),

lungo la quale si dispongono infiniti punti di minimo degeneri. In questo caso siverificano le condizioni per la realizzazione della rottura spontanea della simmetriachirale, che avviene nel momento in cui il sistema sceglie un particolare stato divuoto tra gli infiniti a disposizione. Affinche il LSM riproduca effettivamente lafenomenologia, la scelta del vuoto fisico deve soddisfare, oltre che la (1.50), anche lerelazioni (1.44)

Qa5|0〉 6= 0, Qa|0〉 = 0,

affinche la simmetria di isospin sia preservata. Queste condizioni sono soddisfattecon la scelta

φ0 =

000v

, v = |µ/√λ|, (1.51)

che significa assegnare i seguenti valori di aspettazione nel vuoto per i campi:

〈0|πa|0〉 = 0, 〈0|σ′|0〉 = v. (1.52)

Esprimendo i campi come oscillazioni intorno al loro punto di minimo si puo allorascrivere

φ =

π1

π2

π3

v + σ

, σ = σ′ − v; (1.53)

la lagrangiana (1.45) in termini del campo σ diviene

L = iN 6∂N + gN(σ + iτaπaγ5)N + gvNN +1

2[(∂µπ

a)2 + (∂µσ)2]

−|µ2|σ2 − 1

4λ(σ2 + (πa)2)2 − λv(σ3 + σ(πa)2) + cost. (1.54)

Questa lagrangiana descrive nucleoni di massa mN = gv che si accoppiano con unmesone scalare σ di massa mσ =

√2(−µ2)

12 e con il tripletto di pioni che, essendo i

bosoni di Goldstone della simmetria rotta, rimangono senza massa.

20

La dinamica contenuta nella lagrangiana (1.54) riesce a spiegare alcune osserva-zioni sperimentali che, in passato, hanno messo in forte discussione l’esistenza delmesone scalare σ(600). Discutiamo qui solo qualitativamente gli aspetti piu intima-mente collegati alla fenomenologia dei mesoni scalari, e in particolare della σ(600),rimandando ai riferimenti bibliografici per una trattazione rigorosa [9, 10].

Consideriamo ad esempio il processo di scattering in onda S ππ → ππ; al treelevel tale processo e descritto dai diagrammi mostrati nella prima riga di figura 1.2.L’ampiezza risulta proporzionale al propagatore della σ e, in prima approssimazione,puo essere espressa come

A(p) ∼ 1

p2 −m2 + imΓ, (1.55)

dove p e il quadriimpulso, m la massa e Γ la larghezza della risonanza. La fase diquesta ampiezza e data

δ00 = arctanImA

ReA= arctan

−imΓ

p2 −m2, (1.56)

che, per p = m, da δ00 = π/2; ci si aspetta quindi che la fase dell’ampiezza discattering passi i 90o alla massa della risonanza (m ≃ 600 MeV). In figura 1.3 sonoriportati i punti sperimentali dell’andamento di δ00 in funzione dell’energia nel centrodi massa; si osserva che la fase passa i 90o per

√s ≃ 0.9 GeV, lontano quindi dal

valore atteso per la massa. Considerazioni di questo tipo portarono ad avanzarel’ipotesi che non esista una risonanza scalare di massa m ≃ 600 MeV.

21

!"#$T

0(tree)0

!!

""

""

!!

π

π

π

π

!!

!!""

"" !!

""

σ ""

!!

σ

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I = 0

l = 0

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T00

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π

π

π

π

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π

π

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T00

!!

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""

!!

Figura 1.2: Diagrammi di Feynman per l’ampiezza di scattering ππ nel LSM.

Lo scenario e diverso quando nel LSM si prendono in considerazione in manieraopportuna le correzioni apportate all’ampiezza dai diagrammi mostrati nella secondariga di figura 1.2. Si puo dimostrare ([9]) che e necessario tener conto di tutti gliordini in teoria delle perturbazioni per ottenere un’ampiezza che rispetti la simmetriachirale e che soddisfi la condizione di unitarieta, risommando gli infiniti diagrammicon pioni reali negli stati intermedi, che costituiscono il cosiddetto fondo chirale nonrisonante. Il contributo di self-energia in questo modello rinormalizza i parametrinudi (bare) della σ; per la massa si ha ad esempio

M2res = m2

σ −ReΠres(M2res), (1.57)

dove M2res e la massa rinormalizzata, m2

σ e la massa non rinormalizzata e Πres e ilcontributo di self-energia. Nel modello descritto in [9] si ottiene Mres ≃ 417 MeVper mσ = 1 GeV. La curva che fitta i dati sperimentali in figura 1.3 e ottenuta conquesto modello.

Gli effetti del fondo chirale, spesso definiti “schermatura chirale” (chiral shielding)in letteratura, sono stati qui descritti per la diffusione ππ → ππ, ma sono presentianche nei processi γγ → ππ, descritti nel prossimo capitolo.

22

0.4 0.6 0.8 1 1.2m, GeV

0

50

100

150

200

250

Figura 1.3: Fase δ00 dell’ampiezza si scattering ππ → ππ in funzione dell’energia nelcentro di massa: i dati sono quelli della CERN-Munich (MPI) Collaboration; il fit eeffettuato con la funzione fornita dal modello descritto in [9].

23

Capitolo 2

Interazioni γγ

Nell’ambito della Elettrodinamica Quantistica e, piu in generale, del Modello Stan-dard delle Interazioni Fondamentali, il fotone (γ) e il quanto del campo di gaugeaccoppiato ai campi fermionici elettricamente carichi, cioe il campo elettromagne-tico. Essendo l’elettromagnetismo una teoria di gauge basata sul gruppo abelianoU(1), le interazioni dell’unico campo di gauge con se stesso non sono possibili, el’unico vertice ammesso e il vertice fotone-fermione-antifermione eψγµψAµ: la spie-gazione fisica di cio risiede nel fatto che il fotone non ha carica elettrica, e non puoquindi interagire con un altro fotone.

Le interazioni γγ diventano tuttavia possibili agli ordini successivi in teoria del-le perturbazioni: ciascun fotone puo fluttuare in stati fermione-antifermione cari-chi, e quindi dare luogo a interazioni elettromagnetiche o forti. In questo senso, leinterazioni fotone-fotone sono fenomeni puramente quantistici.

Dal punto di vista sperimentale risulta difficile realizzare collisioni di fasci di fotonidi alta energia; tuttavia, gli acceleratori e+e− (tra i quali anche DAΦNE) consentonodi studiare l’interazione dei fotoni virtuali (γ∗) che l’elettrone e il positrone incidentiemettono a piccoli angoli (ϑ ≃ 1/γ, γ = 1/

√

1− β2e ). A differenza dei processi

di annichilazione e+e− → adroni, che permettono di accedere a stati con gli stessinumeri quantici del fotone, le interazioni γ∗γ∗ producono stati con JPC = 0±+ e 2±+;sono quindi processi utili per lo studio dei mesoni scalari. Le sezioni d’urto per loscattering γ∗γ∗ hanno un andamento in funzione di s del tipo ∼ ln2 s, a differenzadelle reazioni di annichilazione che scalano come 1/s [11]; tuttavia risultano minoririspetto a queste ultime essendo di ordine α4.

24

2.1 Studio dei processi a due fotoni

Consideriamo il processo e+e− → e+e−X, dove X e lo stato prodotto dall’interazionedei due fotoni virtuali γ∗1 , γ

∗2 emessi dall’elettrone nel campo del positrone e viceversa.

Sia E l’energia dei fasci di elettroni e positroni e siano q1 e q2 i quadri-impulsidei due fotoni virtuali. La massa invariante al quadrato w2 dello stato finale X saraquindi

w2 = (q1 + q2)2; (2.1)

definita la variabile adimensionale z = w2/4E2 possiamo allora esprimere la sezioned’urto come

σ(e+e− → e+e−X) =

∫

dzdLγγ

dzσγγ→X(z), (2.2)

dove la luminosita differenziale dLγγ

dztiene conto della probabilita di irraggiamento

da parte di elettrone e positrone.

2.1.1 Approssimazione di Weizsacker-Williams

Consideriamo il caso in cui i due fotoni γ∗1 , γ∗2 siano quasi reali, vale a dire

q21 ≃ q22 << w2. (2.3)

Scrivendo q1 = x1P1, q2 = x2P2, dove P1 e P2 sono i quadri-impulsi di elettrone epositrone, la sezione d’urto (2.2) si puo esprimere fattorizzando le densita dei fotoniemessi e integrando su tutti i possibili valori delle frazioni x1 e x2,

σ(e+e− → e+e−X) =

∫

dz

∫ 1

0

dx1

∫ 1

0

dx2f1(x1)f2(x2)σγγ→X(z)δ(x1x2 − z); (2.4)

nella (2.4) si e fatto uso della relazione

x1x2 =q1 · q2P1 · P2

≃ w2

4E2= z, (2.5)

ottenuta dalla (2.1) ponendo q21 ≃ 0, q22 ≃ 0 e trascurando le masse di elettrone epositrone. Nella (2.4) le funzioni f1,2 sono le funzioni di distribuzione di Weizsacker-

Williams

f1,2(x1,2) =α

πx1,2

[

(1 + (1− x1,2))2 ln

(

E(1− x1,2)

mex1,2θ1,2,max

)

− 1 + x1,2

]

. (2.6)

25

Definendo l’ulteriore variabiler =

x1x2

(2.7)

ed effettuando il cambio di variabili (x1, x2) → (z, r) nell’integrale (2.4) si ottiene:

σ(e+e− → e+e−X) =

∫

dz

∫

drf1(x1)f2(x2)∂(x1, x2)

∂(z, r)σγγ→X(z). (2.8)

Confrontando con la (2.2) si ottiene per la luminosita differenziale l’espressione

dLγγ

dz=

∫

drf1(x1)f2(x2)∂(x1, x2)

∂(z, r), (2.9)

la cui soluzione e la formula di Low :

dLγγ

dz=

(

2α

πln

E

me

)21

2z

[

1

2(2 + z)2 ln

1

z− (1− z)(3 + z)

]

. (2.10)

Il metodo di approssimazione appena descritto e chiamato Double Equivalent Photon

Approximation (DEPA), o approssimazione di Weizsacker-Williams [11, 12].Notiamo che la condizione (2.3), necessaria per l’applicabilita dell’approssima-

zione di Weizsacker-Williams, ha come conseguenza il fatto che elettrone e posi-trone nello stato finale siano emessi a piccoli angoli. Infatti, indicando con P ′

1,2 ilquadri-impulso dell’elettrone (del positrone) nello stato finale, si ha:

q21,2 = (P ′1,2 − P1,2)

2 = −E ′1,2E1,2(1− cos θ1,2), (2.11)

e la condizione q21 ≃ 0 implica θ1,2 ≃ 0. Inoltre, i fotoni emessi sono per lo piucollineari; infatti, se θ12 e l’angolo tra γ∗1 e γ∗2 ,

w2 = (q1 + q2)2 ≃ 2Eγ1Eγ2(1− cos θ12), (2.12)

e w2 ha il suo massimo per θ12 ≃ π, cioe quando i fotoni collidono “testa a testa”.

2.1.2 Sezione d’urto risonante

Specializziamo ora la trattazione al processo e+e− → e+e−σ → e+e−π0π0: la sezioned’urto σγγ che compare nella (2.2) deve tener conto della notevole larghezza stimataper il mesone σ(600) (da 500 a 1000 MeV [13]). Come forma funzionale piu adattaa descrivere uno stato risonante con larghezza grande e stata scelta la Breit-Wignerrelativistica

σe+e−→e+e−π0π0 =8π(2J + 1)(~c)2

w2

M2ΓγγΓ(w)

(w2 −M2)2 +M2Γ2(w), (2.13)

26

dove, per una risonanza larga di spin J = 0, si ha

Γ(w) = Γ0

M

w

p∗

p∗0= Γ0

√

1− 4m2π/w

2

1− 4m2π/M

2; (2.14)

nella 2.13 Γ0 e la larghezza totale calcolata alla massa della risonanza, Γ0 = Γtot(w =M), p∗ e l’impulso del π0 nel sistema del centro di massa dei due fotoni, e p∗0 =p∗(w =M).

L’espressione completa della sezione d’urto differenziale per il processo in esamediviene allora, in approssimazione DEPA,

dσe+e−→e+e−π0π0

dw=

1

3

8π(~c)2

w2

M2ΓγγΓ(w)

(w2 −M2)2 +M2Γ2(w)×

(

2α

πln

E

me

)21

w

[

(

2 +w2

4E2

)2

ln2E

w−(

1− w2

4E2

)(

3 +w2

4E2

)

]

, (2.15)

avendo espresso la formula di Low (2.10) in funzione della variabile w =√z4E2,

dLγγ/dw = dLγγ/dz × dz/dw. Il fattore 1/3 nella (2.15) e il BR del decadimentodi uno scalare singoletto di isospin in due pioni neutri, in accordo con la simmetriadell’isospin. La funzione 2.15 e mostrata in figura 2.1 per tre diversi valori di massae larghezza e per Γγγ = 1 keV.

2.2 Elemento di matrice

In questo paragrafo descriviamo brevemente il calcolo della sezione d’urto per ilprocesso e+e− → e+e−σ → e+e−π0π0 senza ricorrere all’approssimazione DEPA(processo a 4 corpi nello stato finale), e confrontiamo i risultati ottenuti con i dueapprocci.

L’elemento di matrice si calcola a partire dall’ampiezza di Feynman

M = 〈e+e−π0π0|O|e+e−〉, (2.16)

dove O e un operatore che descrive l’accoppiamento del mesone σ ai due fotonivirtuali emessi da elettrone e positrone e il successivo decadimento σ → π0π0. Idue diagrammi di Feynman che contribuiscono a questa ampiezza all’ordine α2 sonomostrati in figura 2.2: in un caso i fotoni virtuali cui si accoppia il mesone σ sonospace-like (processo nel canale t), nel secondo sono time-like (processo nel canale s).

27

w (MeV)

dσγγ

/dw

(pb

/MeV

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 2.1: Sezione d’urto differenziale dσγγ/dw, data dalla (2.15), con i valori dimassa e larghezza misurati dagli esperimenti E791 (M = 478 MeV, Γ = 324 MeV),CLEO (M = 513 MeV, Γ = 335 MeV) e BES (M = 541 MeV, Γ = 504 MeV) e conΓγγ = 1 keV.

28

Interpretando il mesone σ come uno stato a quattro quark [qq][qq], il vertice σγγpuo essere descritto come illustrato in figura 2.3:, il mesone σ decade in due mesonivettori ρ, ciascuno dei quali si converte in un fotone. La dinamica del processoσ → ρρ e simile a quella del processo σ → ππ, e vede un quark e un antiquarkattraversare per effetto tunnel la barriera di potenziale del diquark e dell’antidiquarkrispettivamente, per poi legarsi a formare un mesone qq. L’accoppiamento ργ edescritto dal modello Vector Meson Dominance (VMD).

Figura 2.2: Diagrammi di Feynman all’ordine α2 che contribuiscono all’ampiezza(2.16), con il processo nel canale t (a sinistra) e quello nel canale s (a destra).

Figura 2.3: Vertice σγγ nel modello con il mesone σ (interpretato come un tetra-quark) che decade in due mesoni vettori ρ, che poi si convertono ciascuno in unfotone (assumendo VMD).

29

2.3 Esperimenti

Tra i vari esperimenti che hanno affrontato la fisica γγ per lo studio dei mesoni scalarici soffermiamo qui brevemente su JADE e Crystal Ball (1990), e su Belle (2008).

Con il rivelatore JADE sono state studiate le reazioni e+e− → e+e−π0π0 e e+e− →e+e−π0η prodotte nell’acceleratore PETRA ad Amburgo. Sono state misurate lelarghezze Γγγ per f2(1270), a0(980) e a2(1320), e la sezione d’urto per il processoγγ → π0π0 nell’intervallo 2.0÷ 3.5 GeV [14].

L’esperimento Crystal Ball [15] ha analizzato i dati raccolti a DESY con l’acce-leratore e+e− DORIS II, utilizzando fasci di energie di circa 5.3 GeV. Si tratta delprimo esperimento ad aver misurato la sezione d’urto per il processo γγ → π0π0 permasse invarianti che vanno dalla soglia di produzione (≃ 270 MeV) fino a circa 2GeV. Nella regione w < mπ0π0 < 0.6 GeV l’esperimento ha misurato una sezioned’urto piatta di circa 10 nb, interpretata come uno stato non risonante. A valori dimassa invariante piu elevati, Crystal Ball ha osservato la formazione della f2(1270) eun segnale riconducibile alla f0(980); per entrambe le risonanza ha quotato il valoredi Γγγ.

La collaborazione Belle [16] ha utilizzato i dati forniti dal collisore asimmetricoKEKB, misurando la sezione d’urto differenziale per il processo γγ → π0π0 nell’in-tervallo di massa invariante 0.6 GeV < w < 4.0 GeV ottenendo risultati in accordocon quelli di Crystal Ball. Il grafico con i dati sperimentali di Belle e di Crystal Balle il fit effettuato da Belle e mostrato in figura 2.4.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

W (GeV)

()

(nb

)

Belle

Crystal Ball

|cos *| < 0.8

Figura 2.4: Sezioni d’urto misurate dagli esperimenti Crystal Ball e Belle.

30

Capitolo 3

Esperimento KLOE a DAΦNE

Nel 1989 l’Istituto Italiano di Fisica Nucleare (INFN) decise di costruire un accelera-tore-collisore e+e− che operasse ad alta luminosita intorno all’energia della risonanzaφ (mφ = 1019.456 ± 0.020 MeV). Tale collisore, una φ-factory, e stato realizzatoall’interno del complesso dei Laboratori Nazionali di Frascati (LNF), il laboratoriodi fisica di alte energie dell’INFN vicino a Roma; e stato collocato nell’edificio cheaveva ospitato ADONE, l’anello e+e− da 3 GeV in funzione dal 1969 al 1993.

3.1 DAΦNE

Il nome DAΦNE e l’acronimo per Double Annular For Nice Experiment. Si tratta diuna macchina costituita di due anelli di accelerazione distinti, uno per gli elettroni el’altro per i positroni, e in questa caratteristica si differenzia dal predecessore ADO-NE che invece accelerava elettroni e positroni in un unico anello; tale caratteristicapermette di ridurre notevolmente alcune sorgenti di fondo dovuti alle interazioni trai pacchetti dei due fasci e di ottenere elevati valori di luminosita.

Oltre ai due anelli, il complesso di DAΦNE comprende un acceleratore lineare(LINAC) e un anello intermedio in cui elettroni e positroni vengono accumulati. IlLINAC e utilizzato per accelerare gli elettroni fino all’energia finale di≃ 510 MeV, maanche per accelerarli ad un’energia di circa 250 MeV in una stazione intermedia dovevengono prodotti i positroni, a loro volta portati poi a 510 MeV. Elettroni e positronipassano quindi nell’anello di accumulazione intermedio e, infine, vengono iniettati inpacchetti negli anelli veri e propri. Siccome l’intensita dei fasci accumulati decadevelocemente con il tempo, il ciclo e ripetuto diverse volte ogni ora. Le interazioniavvengono una alla volta tra un pacchetto di elettroni e il corrispondente pacchettodi positroni nella regione in cui i due anelli si incrociano.

31

Figura 3.1: Complesso degli acceleratori di DAΦNE.

32

ele pos

Figura 3.2: Il doppio anello per collisioni e+e−.

Elettroni e positroni circolano negli anelli raggruppati in n pacchetti da N par-ticelle l’uno. La grandezza che caratterizza il collisore e la sua luminosita L definitacome il coefficiente di proporzionalita tra rate di eventi w e sezione d’urto σ, w = Lσ.La luminosita totale risulta proporzionale al numero di pacchetti, al numero di parti-celle in ciascun pacchetto e alla frequenza di rivoluzione dei fasci (ν), e inversamenteproporzionale alle larghezze r.m.s. dei fasci nelle direzioni trasverse (σx, σy)

1:

L = nνN2

4πσxσy= nL0, (3.1)

dove con L0 = νN2/4πσxσy e stata indicata la luminosita di singolo pacchetto.La luminosita e limitata essenzialmente dall’interazione elettromagnetica tra i duefasci, che possono essere minimizzati mediante un forte focheggiamento nel punto diinterazione ottenuto con doppietti o tripletti di quadrupoli.

I fasci di elettroni e positroni si intersecano nella zona di interazione formandoun angolo di π − 0.025 radianti nel piano zx; il risultato e che il sistema del centrodi massa non coincide con quello del laboratorio, ma si muove verso il centro deglianelli con un impulso di circa 13 MeV corrispondente a βφ ≃ 0.015, γφ ∼ 1.0001ad un’energia nel centro di massa

√s = mφ. Per minimizzare gli effetti dell’angolo

di incrocio sulla dinamica dei fasci, rendendola il piu possibile simile a quella che siavrebbe con un incrocio ad angolo π, la forma dei pacchetti in prossimita del punto

1Per convenzione il piano su cui giacciono gli anelli e il piano zx; l’asse z coincide con la tangenteagli anelli nel punto di interazione.

33

di interazione e simile ad una piattina molto schiacciata (30 mm nella direzione z, 2mm nella direzione x e 0.02 mm nella direzione y).

3.2 KLOE

La Collaborazione KLOE (K LOng Experiment) propose nel 1991 la realizzazione diun rivelatore e lo sviluppo di un programma per svolgere esperimenti di precisionesulla fisica dei mesoni K. Il rivelatore KLOE fu realizzato e collaudato a partiredall’estate del 1998, per essere poi posizionato sulla regione di interazione sud diDAΦNE all’inizio del 1999.

Nei sette anni successivi KLOE ha accumulato un’imponente mole di dati che hapermesso di rimappare con alta precisione la fisica dei K. In particolare, i contributidi KLOE hanno riguardato:

1. nuove misure di precisione dei parametri dei mesoni K e dei loro decadimenti;

2. la determinazione dell’elemento Vus della matrice CKM, test sull’unitarieta esull’universalita leptonica, ricerca di nuova fisica;

3. proprieta e spettroscopia dei mesoni leggeri;

4. esperimenti di interferometria quantistica;

5. test sulla violazione di CP e di CPT .

La complessita e le dimensioni di KLOE risultano paragonabili a quelle di coevirivelatori “di uso generico”, come LEP al CERN, nonostante questi ultimi lavorasseroa energie circa 100 volte superiori rispetto a quella di KLOE. E’ importante insisteresul fatto che lo scopo che KLOE si prefigge e quello di fare fisica di alta precisione, ed equesto scopo che ne determina la forma, la complessita, le dimensioni. In particolare,le grandi dimensioni sono dovute all’esigenza di raccogliere un’apprezzabile frazionedi decadimenti del KL che, prodotto assieme al KS nel 34% dei decadimenti dellaφ, ha un cammino medio λL = γβcτ = 340 cm. Il compromesso accettato e statoquello di avere un rivelatore di circa 2 metri di raggio, capace di raccogliere il 40%dei decadimenti.

Le caratteristiche che KLOE deve soddisfare sono:

• elevata accettanza geometrica;

• efficienza elevata e uniforme sull’intero volume di decadimento del KL;

34

• alta efficienza di tracciamento di particelle cariche in campo magnetico;

• alta efficienza nel rivelare i fotoni.

Il rivelatore, mostrato in figura 3.3, e un apparato a simmetria cilindrica posizio-nato intorno al punto di interazione con l’asse coincidente con l’asse z; le dimensionisono circa 6 × 6 × 7 m3. Le componenti principali del rivelatore sono, muovendosiradialmente dal punto di interazione (IP) verso l’esterno:

• un tubo a vuoto intorno al punto di interazione;

• due quadrupoli focalizzanti circondati dai calorimetri a piccolo angolo (QCAL);

• una grande camera a deriva (DC) (vedi §3.2.1);

• un calorimetro elettromagnetico (vedi §3.2.2);

• un solenoide con bobina superconduttrice, che genera un campo magneticoassiale di 0.52 T.

Il tubo a vuoto avvolge l’asse z per tutta la lunghezza del rivelatore, e assumeuna forma sferica di raggio r = 10 cm intorno al punto di interazione; tale sfera,pensata per contenere la quasi totalita dei decadimenti del KS (r > 15λS), ha lepareti realizzate in una lega di berillio-alluminio per uno spessore di 0.5 mm, perridurre la rigenerazione dei KL, la diffusione multipla e la perdita di energia perionizzazione.

I due quadrupoli per il focheggiamento dei fasci sono posti attorno all’asse z a46 cm dal punto di interazione. I calorimetri a piccolo angolo (QCAL) circondano iquadrupoli focalizzanti, e sono costituiti da una struttura a campionamento compostada strati di assorbitore (piombo) spessi 1.9 mm alternati a strati di 1 mm di materialescintillante, per uno spessore complessivo di 5.5 X0, con X0 lunghezza di radiazione.Lo scopo dei calorimetri a piccolo angolo e quello di rivelare i fotoni che sarebberoaltrimenti assorbiti dai quadrupoli; piu precisamente, il loro compito principale equello di identificare e rigettare i fotoni provenienti dal decadimento KL → 3π0

quando si vogliono selezionare gli eventi KL → 2π0 che violano CP .

35

S.C. COIL

Barrel calorimeter

DRIFT CHAMBER

En

d C

ap

Cryostat

Po

le P

iece

YOKE

6 m

7 m

Figura 3.3: Il rivelatore KLOE.

90 cm

R in = 11 cm5.5 cm

PM1

PM2

R ext = 16.5 cm

R ext = 21.5 cm

Pb layers (1.9 mm)

Scintillator tiles (1 mm)and WLS fibers

Figura 3.4: Un calorimetro a piccolo angolo (QCAL).

36

3.2.1 La camera a deriva

La regione 25 < R < 200 cm ospita la grande camera a deriva, il cui compito e latracciatura tridimensionale delle particelle cariche e la determinazione del vertice didecadimento del KL con un’accuratezza di ∼ 1 mm su tutto il volume. Si tratta diun cilindro di raggio R = 2 m e lunghezza 3.4 m (lungo l’asse z), attraversato daun grande numero di fili (∼ 52000), alcuni a tensione (+2000 volt, detti fili anodici),altri a massa, e riempita di una miscela di gas. Quando una particella carica entranella camera a deriva, gli elettroni prodotti per ionizzazione lungo la sua traiettorianel gas vengono attratti dai fili anodici e, per un meccanismo di moltiplicazione avalanga, compare un segnale all’estremita del filo stesso. Un’elettronica sofisticatapredisposta alle estremita dei fili anodici permette di rivelare i seppur deboli segnalie di misurare cariche e tempi di deriva.

La carica totale integrata raccolta da informazioni sull’energia rilasciata dalla par-ticella iniziale. Inoltre, particelle con masse diverse che attraversano lo stesso mezzocon lo stesso impulso rilasciano diversi quantitativi di energia: per p uguale essehanno diverso β e quindi diversa energia rilasciata per ionizzazione, dE/dx ∝ 1/β2.L’informazione relativa al quantitativo di energia rilasciata e quindi preziosa peridentificare la particella. Infine, la misura del tempo di deriva permette di determi-nare la distanza della traccia dai fili anodici e di ricostruire quindi la traiettoria delleparticelle.

Il problema di un simile rivelatore e che l’effettivo cammino di una particella ealterato dallo scattering multiplo, con un angolo di diffusione proporzionale a 1/

√X0,

dove X0 e la lunghezza di radiazione, a sua volta approssimativamente proporzionalea 1/Z2 (in gV/cm2) e alla densita del mezzo. I materiali scelti per minimizzare talieffetti sono

• fibre di carbonio per la struttura;

• una miscela al 90% elio e al 10% di isobutano per il gas.

Questa scelta assicura anche un’elevata trasparenza e una minimizzazione del feno-meno di rigenerazione dei KL.

La richiesta di tracciatura tridimensionale ha condotto alla scelta di celle ap-prossimativamente quadrate a singolo filo anodico, organizzate in cilindri coassialistereoscopici, con i fili inclinati di un piccolo angolo rispetto all’asse del rivelatoreper determinare la coordinata longitudinale. Il numero totale delle celle e 12582,disposte su 58 anelli; le celle dei 12 anelli piu interni hanno lato di ∼ 2 cm, quelledei rimanenti 46 anelli piu esterni di ∼ 3 cm. I segnali che si propagano lungo ifili anodici, detti hits, vengono amplificati e discriminati, per poi essere inviati ai

37

convertitori TDC (Time to Digital Converter) con una risoluzione temporale di circa1 ns.

3.2.2 Il calorimetro elettromagnetico

I prodotti di decadimento neutri di KL, KS e K± sono i fotoni, generati diretta-mente o attraverso il decadimento di pioni neutri in due fotoni. Fotoni di energienon inferiore a qualche MeV, come quelli in questione, interagiscono con la materiaproducendo coppie elettrone-positrone che, a loro volta, irradiano fotoni. Un fotone,attraversando un materiale denso ad alto numero atomico Z, da luogo ripetutamentea processi di produzione coppia e irraggiamento fino a qundo tutta la sua energia si econvertita in uno sciame elettromagnetico di e+e− e fotoni. Misurando l’energia de-positata da queste particelle si puo quindi risalire all’energia del fotone originario; equesto il compito del calorimetro elettromagnetico, che individua anche le coordinatespazio-temporali dello sciame.

Il calorimetro elettromagnetico di KLOE (EMC) e stato progettato per soddisfareuna serie di stringenti richieste:

• buona risoluzione energetica,

σEE

≃ 0.06√

E(GeV); (3.2)

• ottima risoluzione temporale per ricostruire i vertici dei decadimenti neutri delKL,

σT ≃ 57 ps√

E(GeV)⊕ 100 ps; (3.3)

• capacita di rivelare ermeticamente e con alta efficienza fotoni di bassa energia(20÷ 500 MeV);

• velocita di risposta, per poter utilizzare il segnale come trigger principale (vedi§4.1).

Per soddisfare tali richieste la scelta e stata quella di un calorimetro a campio-namento composto di strati inerti di piombo, che accelerano il processo di sciameelettromagnetico, alternati a strati di materiale scintillante. Piu precisamente, sonostati utilizzati fogli sottili (0.5 mm) di piombo, sui quali sono praticate scanalaturesemicilindriche di 1 mm di diametro che ospitano le fibre scintillanti; le fibre si ritro-vano cosı tra uno strato di piombo e l’altro senza essere sottoposte a compressione.

38

Le fibre sono disposte ai vertici di triangoli equilateri, di lato 1.35 mm. Circa 200 ditali strati vengono sovrapposti, incollati e pressati a formare un materiale compatto,nel quale il rapporto in volume fibre:piombo:colla e 48:42:10, con una densita mediadi 5 g/cm3 e una lunghezza di radiazione X0 di 1.5 cm. Questo materiale viene poimodellato in moduli di circa 23 cm di spessore, corrispondenti a ≃ 15X0. 24 modulidi sezione trapezoidale sono disposti parallelamente all’asse z a coprire tutto l’angoloazimutale, circondando cosı la superficie laterale della camera a deriva: il corpo cen-trale del calorimetro cosı ottenuto prende il nome di barrel. Altri 32 moduli di sezionequadrata o rettangolare costituiscono i due endcap che avvolgono i poli del magnetesuperconduttore chiudendo ermeticamente il calorimetro, con una copertura al 98%dell’angolo solido.

La luce prodotta per scintillazione nelle fibre viene raccolta e letta ad entrambele estremita dei moduli attraverso guide di luce in plexiglass otticamente accoppiatea fotomoltiplicatori. I segnali dei fotomoltiplicatori vengono divisi e inviati agli ADC(Analog To Digital Converter) per le misure di energia e per il sistema di trigger,e ai TDC (Time to Digital Converter) per le misure di tempo. La segmentazioneintrodotta dalle guide di luce nell’operazione di raccolta e lettura dei segnali luminosifa sı che il calorimetro risulti suddiviso in 2440 celle di sezione quadrata, con lato≃ 4.4 cm.

Figura 3.5: Sezione trasversale di un modulo del calorimetro elettromagnetico.

39

3.3 Algoritmi di ricostruzione

In questa sezione vengono brevemente descritte le procedure tramite le quali daisegnali registrati nel calorimetro e nella camera a deriva si traggono informazionicirca le posizioni, i tempi (rispetto al bunch crossing) e le energie delle particelle.

3.3.1 Ricostruzione dei cluster

Indicando con A e B le due estremita di ciascuna cella nel calorimetro, il tempo diarrivo t della particella e la sua coordinata s lungo la fibra (assumendo l’origine nelcentro della fibra) sono ottenuti dai conteggi TA,B registrati dal TDC:

t(ns) =tA + tB

2− tA0 + tB0

2− L

2v, (3.4)

s(cm) =v

2

(

tA − tB − tA0 + tB0)

, (3.5)

contA,B = cA,B × TA,B,

dove cA,B (ns/(conteggi TDC)) sono le costanti di calibrazione del TDC, tA,B0 sono

i tempi di offset, e L e v sono rispettivamente la lunghezza della cella e la velocitadella luce nelle fibre.

L’energia del segnale, E, su ciascun lato della cella i-esima e ottenuta dal segnaledi ampiezza S (in conteggi ADC) registrato dal corrispondente fotomoltiplicatore:

EA,Bi (MeV) = kE

SA,Bi − SA,B

0,i

SM,i

, (3.6)

dove S0,i e l’ampiezza di offset e SM,i e la risposta per una particella che attraversa ilcentro del calorimetro al minimo di ionizzazione; kE e il fattore di scala per l’energia(in MeV), ed e ottenuto utilizzando sciami di particelle di energia nota. L’energiadella cella, Ei, e assunta come la media delle energie a ciascuna estremita, pesate perun fattore di correzione AA,B

i (s) che tiene conto dell’attenuazione della luce lungo lafibra in funzione della coordianata di impatto s,

Ei(MeV) =

(

EAi A

Ai + EB

i ABi

)

2. (3.7)

Le costanti SM,i e AA,Bi (s) sono determinate utilizzando un trigger dedicato prima

dell’inizio di ogni periodo di acquisizione. I tempi di offset e la velocita della luce nelle

40

fibre sono stimati continuamente utilizzando raggi cosmici di alta energia, selezionatitramite le informazioni fornite dalla camera a deriva.

La posizione ricostruita e la correzione energia-tempo in funzione della coordinatadi impatto s sono calcolate per ogni cella avente un hit. A questo punto l’algoritmodi ricostruzione dei cluster ricerca un gruppo di celle e raggruppa in pre-cluster lecelle adiacenti in Rϕ (per il barrel) e in xz (per l’endcap), essendo ϕ l’angolo azi-mutale nel sistema di coordinate cilindriche ovvio per la geometria del calorimetro.La coordinata longitudinale e i tempi di arrivo dei pre-cluster sono quindi utilizzatiper effettuare il merging (accorpamento) o lo splitting (suddivisione), ottenendo ilcluster vero e proprio; l’energia del cluster e la somma delle energie delle celle chelo compongono, mentre posizione (xcl, ycl, zcl) e tempo (tcl) sono dati dalla mediapesata con le energie delle celle componenti. Le celle sono incluse nella formazionedei cluster solo se presentano i segnali di tempo e di energia a entrambe le estremita,altrimenti sono catalogate come celle incomplete; una cella incompleta e eventual-mente riutilizzata dopo la formazione del cluster se il confronto tra le sue coordinatexy (xz sull’endcap) e la posizione del centroide del cluster da esito positivo.

La produzione di frammenti (splitting) dallo sciame elettromagnetico e studiatadal confronto dati-Monte Carlo per il processo e+e− → γγ, utilizzando dei tagli suicluster piu energetici. Si considera come variabile la distanza minima tra il centroidedel cluster piu energetico (fotone “gold”) e quello degli altri cluster,

∆R =

√

(

xgoldcl − xicl

)2

+(

ygoldcl − yicl

)2

+(

zgoldcl − zicl

)2

; (3.8)

le distribuzioni in questa variabile per il Monte Carlo e in buon accordo con i datiper alti valori di ∆R, mentre a piccoli valori e presente una discrepanza, dovuta adun’errata simulazione dei frammenti nel MC.

La procedura utilizzata nell’analisi per ovviare al fenomeno dello splitting deicluster e descritta in §6.1.1.

3.3.2 Ricostruzione delle tracce

La procedura di ricostruzione delle tracce avviene attraverso tre fasi:

• pattern recognition: vengono selezionati gli hit nella camera a deriva cheforniscono una determinazione rozza dei parametri della traccia;

• track fit: viene effettuato un fit della traccia minimizzando i valori di distanzarelativa;

• vertex fit: due tracce vengono associate per individuare la posizione del vertice.

41

Pattern recognition. I fili anodici della camera a deriva, come gia descritto in§3.2.1, formano con l’asse z angoli stereoscopici positivi e negativi alternati. Quandovengono proiettati sul piano xy, gli hit sono distribuiti lungo due curve vicine, forma-ta una dagli hit presenti sui fili con angolo stereo positivo, l’altra da quelli presentisui fili con angolo stereo negativo.

La procedura di pattern recognition combina gli hit di ciascuna proiezione se-paratamente, definendo due tracce candidate usando esclusivamente le informazionibidimensionali.

Track fit. La procedura di track fit consiste nell’effettuare un fit delle tracce in-dividuate dalla procedura di pattern recognition per individuare la traccia effettiva.Viene costruita una variabile di tipo χ2 partendo dalle seguenti grandezze misurate:

• le distanze di deriva, misurate a partire dalla traccia candidata, raccolte in unvettore n-dimensionale (con n pari al numero di hit della traccia);

• la matrice di covarianza n × n, costruita a partire dalla matrice degli errorisulle distanze di deriva.

Minimizzando la variabile χ2 si ottengono i parametri che permettono di fornirela migliore stima di impulso e posizione della particella. Tali parametri sono:

1. ρFH =√

x2FH + y2FH , distanza del primo hit dall’asse z;

2. zFH , coordinata z del primo hit;

3. k = Q/pT , raggio di curvatura della traiettoria per una particella di carica Qe impulso trasverso pT ;

4. cot θFH = pz/pT , cotangente dell’angolo polare per il primo hit nella traccialasciata da una particella con impulso longitudinale pz e impulso trasverso pT ;

5. tanϕFH = py/pz, tangente dell’angolo azimutale del primo hit nella traccialasciata da una particella con componenti dell’impulso py e pz.

Nella procedura di minimizzazione sono presi in considerazione gli effetti dovutialla diffusione multipla.

42

Vertex fit. Per gli eventi che presentano almeno due tracce viene calcolata unafunzione di χ2, costruita a partire dalle seguenti grandezze:

• le coordinate del primo e dell’ultimo hit della traccia;

• le incertezze relative all’estrapolazione delle tracce al punto di interazione deifasci.

Il fit effettuato minimizzando il χ2 fornisce i parametri:

1. −→r V , la posizione del vertice;

2. −→p , l’impulso di ciascuna traccia nella coordinata del vertice;

3. −→r pca, la posizione del punto di minima distanza dal punto di interazione perciascuna traccia.

3.3.3 Associazione traccia-cluster

Per identificare i fotoni, e necessario individuare (per poi rigettarli) i cluster associatiad una traccia nella camera a deriva, compito svolto da un apposito algoritmo diassociazione traccia-cluster.

La procedura inizia collegando le tracce e i vertici ricostruiti in catene di decadi-mento e isolando le tracce alla fine di tali catene. Per ciascuna di queste tracce, ilmomento misurato e la posizione dell’ultimo hit nella camera a deriva sono utilizzatiper estrapolare la traccia al calorimetro. L’estrapolazione fornisce la lunghezza dellatraccia Lex dall’ultimo hit nella camera alla superficie del calorimetro, l’impulso −→p ex

e la posizione −→x ex della particella alla superficie del calorimetro.Il risultante punto di impatto e quindi confrontato con le posizioni −→x i

cl dei cen-troidi dei cluster ricostruiti in quella regione del calorimetro. L’associazione dellatraccia con il cluster avviene se e verificata la condizione

Dtcl =

∣

∣

∣

∣

(−→x cl −−→x ex) ∧ −→p ex

|−→p ex|

∣

∣

∣

∣

< 30 cm. (3.9)

43

Capitolo 4

Acquisizione Dati

I dati utilizzati per l’analisi sono stati acquisiti dal rivelatore KLOE a DAΦNEall’energia nel centro di massa

√s = 1 GeV nel periodo 17.12.2005 - 16.3.2006, per

una luminosita integrata di 239.6 pb−1. Le condizioni tipiche di acquisizione sonoriportate in tabella 4.1.

Parametro Valore medio√s 1000.1 MeV

impulso trasverso e+e− 12.7 MeV (−x)Luminosita 7 · 1031 cm−2 s−1

rate di acquisizione 1.7 kHzcorrente e− 1.1 Acorrente e+ 0.7 A

Tabella 4.1: Valori medi dei parametri d acquisizione dati.

Gli eventi acquisiti, filtrati dall’algoritmo di reiezione del fondo (FILFO), sonostati originariamente selezionati con i filtri dedicati all’analisi dei decadimenti dellaφ; ai fini dello svolgimento di questa analisi, i dati sono stati riprocessati con criteriottimizzati per lo studio delle interazioni γγ (§4.3).

4.1 Il sistema di trigger

La frequenza di eventi a DAΦNE alla massima luminosita e di 2.5 kHz per eventidi φ, 50 kHz per eventi Bhabha, 2.5 kHz per eventi di cosmici e circa 100 kHz pergli eventi di fondo macchina (vedi §4.2). Il sistema di trigger deve quindi ridurre almassimo gli eventi di fondo, cosı da non sovraccaricare il sistema di acquisizione dati

44

e minimizzare i tempi morti. Allo stesso tempo deve essere garantita un’efficienzaelevata per gli eventi di φ (maggiore del 99.5%) e deve essere conservata la frazionedi eventi Bhabha e cosmici necessaria per le calibrazioni.

Il sistema di trigger e basato sul deposito di energia nel calorimetro e sull’infor-mazione fornita dalla camera a deriva. Il trigger e composto da due livelli: un primolivello produce un segnale veloce che attiva l’elettronica di Front-End (FEE). Dopol’arrivo del primo segnale di trigger, vengono acquisite ulteriori informazioni dallacamera a deriva che vengono impiegate, insieme a quelle fornite dal calorimetro, perconfermare il trigger di primo livello e attivare il sistema di acquisizione (DAQ).Il trigger di primo livello accetta eventi che soddisfano almeno una delle seguenticondizioni:

• 2 cluster nel calorimetro con energia maggiore di una certa soglia (LET, LowEnergy Threshold) con le possibili configurazioni barrel-barrel, barrel-endcap eendcap-endcap (quest’ultima configurazione richiede pero che i due cluster nonsiano registrati sullo stesso endcap). Le soglie di energia sono 50 MeV per ilbarrel e 150 MeV per gli endcap;

• almeno un hit in 15 celle di deriva entro 250 ns.

I convertitori TDC del calorimetro misurano quindi il tempo rispetto all’istantein cui si e verificato l’incrocio tra i due pacchetti di elettroni e positroni (bunchcrossing). Questo metodo consente di mantenere la risoluzione temporale nell’ordinedei ps.

Il trigger di secondo livello seleziona gli eventi secondo i seguenti criteri:

• nel calorimetro, almeno un settore del barrel o tre settori dell’endcap accesi;

• nella camera a deriva, almeno un hit negli 850 ns successivi al segnale di triggerdi primo livello.

4.2 Filtro per la reiezione degli eventi di fondo

(FILFO)

FILFO (FILtro di FOndo) e un filtro per la reiezione del fondo basato principalmen-te sulle informazioni calorimetriche; utilizza tre strategie distinte per individuare erigettare tre diversi tipi di eventi: raggi cosmici, eventi bhabha-like, fondo macchina.

45

Raggi Cosmici. L’evento e individuato come raggio cosmico, e rigettato cometale, se e verificata almeno una delle seguenti condizioni:

• l’intervallo temporale tra la cella piu esterna e quella piu interna del primocluster in tempo e negativa, ∆T = Tout − Tin < 0: questa condizione definisceuna particella che arriva dall’esterno del rivelatore;

• la distanza temporale ∆t e quella spaziale ∆R tra i primi due cluster ordinatiin tempo sono tali che ∆t > a∆R + b, con a = 0.034 ns/cm, b = −1.15 ns.

Eventi Bhabha e bhabha-like. Sono definiti eventi bhabha-like gli eventi Bha-bha che interagiscono nei calorimetri a piccolo angolo. I criteri seguiti per rigettaretali eventi sono i seguenti:

• il numero di cluster dell’evento deve essere minore o uguale a 7;

• l’asse dell’evento a, definito dal centroide del cluster, deve formare con l’assez un angolo θa < 35o;

• la media quadratica, pesata per le energie, delle distanze dei cluster dall’asse adeve soddisfare la relazione

d =

√

∑

i d2iEi

∑

Ei

< 90 cm, (4.1)

dove di e Ei sono rispettivamente la distanza da a e l’energia del clusteri−esimo.

Fondo macchina. I processi fisici che generano il cosidetto fondo macchina sono:

1. diffusione coulombiana da molecole di gas residuo;

2. bremsstrahlung nel gas residuo della camera a vuoto e sulle pareti della beampipe;

3. effetto Touschek, cioe lo scattering coulombiano tra particelle nello stesso pac-chetto.

Le sole informazioni calorimetriche non sono sufficienti a rigettare questi eventi; siricorre quindi anche al numero di hits nella camera a deriva, essendo l’hit la presenzadi segnale su uno dei fili.

Una selezione preliminare per l’identificazione di eventi di fondo macchina preve-de:

46

• Nhits < 200;

• numero di cluster nel calorimetro 2 ≤ Nclu ≤ 6, con energia totale Etot < 1.7GeV.

Successivamente, gli eventi vengono rigettati con tagli sugli angoli polari dei duecluster piu energetici e sul rapporto tra il numero di hits nei 12 strati piu internidella camera a deriva e il numero totale di hits.

4.3 Filtro γγ

A differenza dei processi di produzione di φ, nei quali le particelle nello stato finale de-positano nel calorimetro grandi quantitativi di energia, negli eventi di interazione γγgran parte dell’energia a disposizione viene trasportata dall’elettrone e dal positronenello stato finale che, deviati a piccoli angoli, proseguono il loro cammino uscendodall’apparato senza essere rivelati; il quantitativo di energia che gli altri prodottirilasciano nel calorimetro e, quindi, relativamente piccolo. Il Filtro γγ, progettato ecollaudato da D.Capriotti[17], e ottimizzato per lo studio delle reazioni:

• e+e− → e+e−σ;

• e+e− → e+e−π0;

• e+e− → e+e−η.

Le richieste avanzate dal filtro γγ sono

1. almeno due cluster prompt e non associati a tracce (fotoni) nel calorimetro;

2. entrambi i fotoni con Eγ1, Eγ2 > 15 MeV e angolo polare 20o < θγ1,γ2 < 160o;

3. almeno un fotone con energia maggiore di 50 MeV;

4. il rapporto R = (Eγ1 + Eγ2)/Etot maggiore di 0.3;

5. 100 MeV < Etot < 900 MeV, per rigettare eventi di fondo a bassa energia e iprocessi ad alto rate Bhabha e e+e− → γγ.

47

Esperimento E791 CLEO BESgenerati (θ = 15o) 23000 23223 31209

trigger 19522 (0.848) 19782 (0.852) 26142 (0.838)FILFO 16932 (0.736) 17082 (0.735) 22863 (0.732)filtro γγ 16879 (0.735) 17016 (0.733) 22498 (0.721)

Tabella 4.2: Efficienze di trigger, FILFO e filtro γγ.

4.4 Efficienze di trigger, FILFO e filtro γγ

Dalle tre produzioni Monte Carlo a disposizione, assumendo l’accettanza θmax = 15o

per elettrone e positrone nello stato finale, sono state calcolate le efficienze di trigger,FILFO e filtro γγ (in cascata), riportate in tabella 4.2.

Nel capitolo 6 (§6.1.4) gli andamenti delle efficienze di trigger, FILFO e filtro γγsono studiati in funzione della massa invariante dei 2 pioni nello stato finale.

48

Capitolo 5

Simulazioni Monte Carloper segnale e fondi

In questo capitolo sono descritte le produzioni Monte Carlo utilizzate per studiarele efficienze delle selezioni di analisi, tanto per il segnale di σ quanto per i processidi fondo (vedi cap. 6). Tutte le produzioni MC sono state ottenute utilizzando ilprogramma GEANFI, sviluppato dalla collaborazione KLOE a partire dal pacchettoGEANT3 [18, 19].

GEANFI permette di simulare tutti i processi che hanno luogo nel rivelatorealle energie di DAΦNE: per un dato processo e+e− → XY . . . Z la produzione MCfornisce i quadri-impulsi degli stati finali XY . . . Z e ne simula i decadimenti o leinterazioni nella camera a deriva e nel calorimetro.

5.1 Processo e+e− → e+e−σ → e+e−π0π0

a√s = 1 GeV

Il programma che genera gli eventi e+e− → e+e−σ → e+e−π0π0 e stato realizzato inlinguaggio Fortran da F. Nguyen, F. Piccinini, A. Polosa [20]. Nella simulazioneviene calcolato l’elemento di matrice come descritto in §2.2, riguardando il mesoneσ come uno stato [qq][qq], assumendo il modello VMD e descrivendo la formazionedella risonanza mediante una funzione Breit-Wigner. Sono state realizzate tre diverseproduzioni, utilizzando per massa e larghezza del mesone σ i valori misurati negliesperimenti E791, CLEO e BES, riportati in tabella 5.1.

In figura 5.1 in alto sono mostrati gli eventi MC generati con i valori di BESdistribuiti nell’impulso trasverso del sistema e+e− nello stato finale. Nonostante la

49

Esperimento Massa (MeV) Larghezza (MeV)E791[3] 478+24

−23 ± 17 324+42−40 ± 21

CLEO[5] 513± 32 335± 67

M − iΓ/2BES[4] (541± 39) −i(252± 42)

Tabella 5.1: Masse e larghezze misurate nei tre esperimenti E791, CLEO e BES eutilizzate per le tre produzioni Monte Carlo utilizzate in questo lavoro. Si noti che[3, 5] forniscono i valori di massa e larghezza ottenuti fittando i dati con una funzioneBreit-Wigner, mentre [4] fornisce il polo M − iΓ/2 ottenuto mediante un’analisi inonde parziali.

distribuzione sia piccata a bassi valori di pT , la coda ad alti impulsi trasversi risultanon trascurabile. Per selezionare eventi Monte Carlo ben descritti dall’approssima-zione DEPA e stata posta una limitazione sull’angolo polare di elettrone e positronenello stato finale, richiedendo che questi siano al di fuori di una certa accettanzaθmax:

ϑpos < θmax, ϑel > (π − θmax). (5.1)

In tabella 5.2 sono riportati per le tre produzioni Monte Carlo i numeri degli eventigenerati e degli eventi limitati dalla condizione (5.1), al variare dell’accettanza θmax.

Esperimento E791 CLEO BESgenerati 39044 39001 48776θmax = 20o 25742 (0.659) 25875 (0.663) 34372 (0.705)θmax = 18o 24747 (0.634) 24907 (0.639) 33234 (0.681)θmax = 15o 23000 (0.589) 23223 (0.595) 31209 (0.639)θmax = 13o 21657 (0.555) 21867 (0.561) 29682 (0.608)θmax = 11o 20120 (0.515) 20420 (0.523) 27893 (0.572)

Tabella 5.2: Numero di eventi generati e selezionati dalla condizione (5.1); traparentesi sono indicati i corrispondenti fattori di riduzione.

In figura 5.1 in basso e mostrata la distribuzione in pT degli eventi MC generaticon i valori di BES selezionati dalla condizione (5.1) con θ = 15o: in questo caso lacoda ad alti impulsi trasversi risulta notevolmente ridotta.

50

EntriesMeanRMSALLCHAN

48776 50.54 50.10

0.4257E+05

pT (MeV)EntriesMeanRMSALLCHAN

31209 29.92 28.34

0.3121E+05

pT (MeV)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figura 5.1: Impulso trasverso del sistema e+e− senza taglio sull’angolo polare dielettrone e positrone (in alto) e con taglio a 15o (in basso).

51

5.2 Processi di fondo

Lo studio sistematico di tutti i processi e+e− che hanno luogo a KLOE e statosvolto attraverso produzioni Monte Carlo che simulano le condizioni di presa datiper il campione utilizzato: energia nel centro di massa

√s, impulso trasverso e+e−,

attivita di fondo macchina. Confrontando queste produzioni con il Monte Carlo peril segnale di σ e stato possibile individuare come processi di fondo rilevanti le reazioni

• e+e− → KsKL, Ks → π0π0;

• e+e− → ηγ, η → π0π0π0;

• e+e− → ωπ0, ω → π0γ;

• e+e− → φ→ f0γ, f0 → π0π0 ;

• e+e− → φ→ a0γ, a0 → ηπ0;

• e+e− → γγ.

In figura 5.6 sono mostrati gli eventi Monte Carlo per le reazioni di fondo distri-buiti nella massa invariante dei 4 fotoni che in ogni processo sono riconducibili aldecadimento di due pioni neutri nello stato finale (per la procedura di ricostruzionedei 4 fotoni vedi §6.1.2).

5.2.1 e+e− → KsKL, Ks → π0π0

Alle energie di DAΦNE, la risonanza φ viene prodotta praticamente a riposo; il KS

e il KL prodotti nel suo decadimento sono emessi back-to-back, ed e quindi possibileindividuare e rigettare un evento KS identificando un evento KL nella direzioneopposta (procedura di KS tagging); questa operazione e possibile quando il KL nondecade nella camera a deriva ma interagisce nel calorimetro, rilasciando una grandequantita di energia (“KL crash”).

Questo processo rappresenta un fondo per il segnale di σ nel caso in cui il KL

non viene rivelato; il KS decade in 2 pioni neutri con un BR ≃ 31%, formando unpicco nello spettro di massa invariante dei 4 fotoni intorno a m4γ ≃ mKS

≃ 497 MeV,molto scomodo per la sua vicinanza al segnale di σ.

Data l’importanza di questo processo di fondo per l’analisi di σ, e necessariofissarne con precisione la normalizzazione. La sezione d’urto e stata calcolata apartire dal valore fornito da [21], e tenendo conto delle correzioni radiative,

σe+e−→KsKL(√s = 1GeV) = 1.28± 0.05 nb. (5.2)

52

Il calcolo della sezione d’urto σe+e−→KsKL(√s = 1GeV) e descritto piu in dettaglio

in appendice A.

E (MeV)

σ(e+

e- → K

SKL)

(nb)

1

10

10 2

10 3

990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070

Figura 5.2: Sezione d’urto del processo e+e− → KSKL misurata dall’esperimentoSND al collider VEPP-2M.

La produzione Monte Carlo utilizzata per l’analisi consiste in 19571400 eventi,a fronte dei ≃ 3.5 × 105 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb−1

assumendo la sezione d’urto pari a 1.28 nb.

5.2.2 e+e− → ηγ, η → π0π0π0

Il mesone η decade in tre pioni neutri con un BR del 32.5% circa; in questo processosi hanno quindi 7 fotoni prompt nello stato finale. Se 3 fotoni vanno fuori accettanza,il processo rappresenta un fondo per il segnale di σ.

La sezione d’urto per il processo e+e− → ηγ e stata misurata dall’esperimentoSND (figura 5.3):

σe+e−→ηγ→π0π0π0γ(√s = 1GeV) = 0.284 nb. (5.3)

La produzione Monte Carlo utilizzata per l’analisi consiste in 6293520 eventi, afronte dei ≃ 6.8 × 104 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb−1

assumendo la sezione d’urto pari a 0.284 nb.

53

E (MeV)

σ(e+

e- →ηγ

→π0 π0 π0 γ)

(nb

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

960 970 980 990 1000 1010 1020

Figura 5.3: Sezione d’urto del processo e+e− → ηγ → 3π0γ misuratadall’esperimento SND al collider VEPP-2M.

5.2.3 e+e− → ωπ0, ω → π0γ

Il decadimento ω → π0γ (BR=8.9%) provoca la presenza di 5 fotoni nello stato finale;se uno dei fotoni va fuori accettanza, il processo costituisce un fondo per il segnaledi σ. Il fotone prodotto dal decadimento dell’ ω ha un’energia Eγ ≃ 315÷ 461 MeV,ed e di gran lunga il piu energetico dei 5 fotoni prodotti in questo processo.

La sezione d’urto per a√s = 1 GeV e stata misurata dalla collaborazione KLOE

con una precisione dell’1%, e risulta pari a 0.55 nb.La produzione Monte Carlo utilizzata per l’analisi consiste in 914472 eventi, a

fronte dei ≃ 1.3 × 105 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb−1

assumendo la sezione d’urto pari 0.55 nb.

5.2.4 e+e− → f0γ, a0γ

I mesoni scalari f0(980) e a0(980) hanno i seguenti modi di decadimento che costi-tuiscono fondo al segnale di σ:

• f0 → 2π0, BR≃ 33%;

• a0 → ηπ0, BR≃ 100%.

54

Le sezioni d’urto per questi processi non sono ben conosciute a√s = 1 GeV; tuttavia,

gli esperimenti SND e CLEO hanno misurato la sezione d’urto per i processi e+e− →π0π0γ nella regione 600-1600 MeV (figura 5.4), e sottraendo il contributo (noto)dovuto alla produzione di ωπ0 e stato possibile stimare la sezione d’urto della reazionee+e− → f0 → π0π0γ pari a circa 0.17 nb.

E, MeV

Cro

ss s

ecti

on, n

b

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

600 800 1000 1200 1400 1600

SND

CLEO

Figura 5.4: Sezione d’urto del processo e+e− → π0π0γ misurata dall’esperimentoSND e CLEO.

Considerando infine i branching ratio dei decadimenti radiativi della φ

BR(φ→ f0γ) = 1.1× 10−4,

BR(φ→ a0γ) = 7.6× 10−5,

si ricava BR(φ → a0γ)/BR(φ → f0γ)≃ 2/3; per la sezione d’urto del processo siassume quindi σ(e+e− → a0γ) ≃ 2/3× σ(e+e− → f0γ) ≃ 0.11 nb.

La produzione Monte Carlo utilizzata per l’analisi consiste in 129115 eventi perf0 e 97205 per a0, a fronte rispettivamente dei ≃ 4× 104 e ≃ 2.6× 104 eventi attesicon una luminosita integrata L = 239.6 pb−1, assumendo le sezioni d’urto pari a 0.17nb (per f0) e 0.11 nb (per a0).

5.2.5 e+e− → γγ

Questa reazione, con solo due fotoni nello stato finale, puo essere causa di fondo alsegnale di σ nel caso in cui avvenga il fenomeno del cluster splitting (6.1.1), quandocioe nello stato finale vengono identificati fotoni in numero maggiore di due.

55

La sezione d’urto per questo processo e grande: calcoli di QED la stimano del-l’ordine di 102 nb; anche una piccola probabilita di cluster splitting puo dunquecontribuire sensibilmente al fondo per il segnale di σ.

La produzione Monte Carlo utilizzata per l’analisi consiste in 1.92317×108 eventi,a fronte dei ≃ 8.6 × 107 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb−1

assumendo la sezione d’urto pari 360 nb.

5.2.6 e+e− → e+e−f0, e+e− → e+e−f2

Il processo di produzione del mesone scalare f0 in interazioni γγ non e stato simulato;il suo contributo allo spettro di massa invariante m4γ e stato comunque studiato os-servando il comportamento della funzione analitica che lo descrive, del tutto analogaalla (2.15) assunta valida per la produzione di σ.

Lo stesso studio e stato svolto anche per f2(1270), una risonanza di spin 2 dimassa m ≃ 1275 MeV e larghezza Γ ≃ 185 MeV che, pur essendo assai distante dallaregione di massa invariante che interessa la σ potrebbe a priori interferire proprio intale regione a causa della lunga coda che presenta la sua sezione d’urto. Nel caso diun mesone di spin J qualsiasi, la forma funzionale assunta per la sezione d’urto σγγe piu complicata, ed e data da

σγγ→X→π0π0(w) = 8π(2J + 1)

(

M

w

)2ΓγγB(X → π0π0)Γ(w)

(w2 −M2)2 +M2Γ2,

Γ(w) = Γ0

M

w

(

p∗

p∗0

)2j+1DJ(p

∗0r)

DJ(p∗r), (5.4)

dove r e un raggio effettivo di interazione che varia da 1 a 7 (GeV/c)−1 nelle diversereazioni adroniche. Per quanto riguarda la funzione DJ , nel caso J = 0 si ha D0 = 1e la (5.4) si riduce alla (2.15), mentre nel caso J = 2 si ha

D2 = 9 + 3(p∗r)2 + (p∗r)4. (5.5)

In figura 5.5 sono mostrate le sezioni d’urto σγγ (a sinistra) e dσe+e−/dm2π0 (a destra)per i processi e+e− → e+e−σ(f0)(f2); per il mesone f0 e stata assunta una larghezzaΓ = 60 MeV (la massa, ben misurata, e M = 982 MeV). Si osserva che la convolu-zione per la funzione di Low (figura a destra) di fatto annulla gli andamenti di f0e f2 nella regione dove e presente il segnale di σ. Questi fondi sono stati pertantocompletamente ignorati nell’analisi.

56

m2π (MeV)

σ (n

b)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

200 400 600 800 1000 1200 1400

m2π (MeV)

dσ/d

w (

pb/M

eV)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 5.5: A sinistra: sezioni d’urto σγγ per la produzione di f2(1270) (curva rossa)e f0(980) (curva blu). A destra, con la stessa convenzione di colori: sezioni d’urtodifferenziali dσe+e−/dm2π0 ottenute come prodotto delle σγγ per la funzione di Lowa√s = 1 GeV. E’ mostrata anche la sezione d’urto differenziale per la produzione

del mesone σ (nero), data dalla (2.15) assumendo Γγγ = 1 KeV.

57

5.2.7 Correzione della scala di energia

La scala di energia riprodotta dalle simulazioni Monte Carlo e stata corretta dopoun confronto dati-Monte Carlo per i due processi e+e− → KSKL e e+e− → ηγ(η → 3π0). I dettagli della procedura sono descritti in Appendice B.

KSKL m4γ (MeV) η→ 3π m4γ (MeV)

ω→ πγ m4γ (MeV) f0γ m4γ (MeV)

a0γ m4γ (MeV) γγ m4γ (MeV)

0

1000

2000

3000

x 10 2

200 400 600 800 10000

2500

5000

7500

10000

x 10

200 400 600 800 1000

0

2000

4000

6000

200 400 600 800 10000

200

400

600

200 400 600 800 1000

0

250

500

750

1000

200 400 600 800 10000

200

400

600

800

200 400 600 800 1000

Figura 5.6: Distribuzioni nella massa invariante dei 4 fotoni nello stato finale per iprocessi di fondo considerati.

58

Capitolo 6

Analisi Dati

Per evidenziare il segnale di σ, i dati che hanno passato il filtro γγ sono statisottoposti ad un’analisi che puo essere schematicamente descritta nei seguenti punti:

• Preselezione: vengono selezionati gli eventi con almeno 4 fotoni prompt, la cuimassa invariante ricostruisca quella di 2 pioni neutri;

• Tagli di analisi: vengono applicate ulteriori selezioni per rigettare gli eventi difondo, cercando di ottimizzare il rapporto tra efficienza per il segnale e efficienzaper i fondi.

Nei paragrafi successivi vengono illustrate tali selezioni e ne vengono studiate leefficienze da Monte Carlo, tanto per il segnale quanto per i fondi. Per il segnale estato svolto uno studio specifico degli andamenti delle efficienze come funzione dellamassa invariante m4γ. Una sezione e dedicata al problema della procedura di convo-luzione delle distribuzioni fornite dal MC per la funzione di risoluzione (smearing),che permette di mettere in relazione le variabilim2π0 (fornita direttamente dal MonteCarlo) e m4γ .

La simulazione MC segnale impiegata e quella che utilizza come parametri per laσ i valori misurati dall’esperimento BES II, gia indicati in tabella 5.1, che riportiamoqui per completezza insieme ad altre informazioni in tabella 6.1.

massa M 541 MeV (BES)larghezza Γ 504 MeV (BES)

angolo polare max (min) e+ (e−) 15o (145o)no eventi 31209

Tabella 6.1: Tabella riassuntiva dei parametri che caratterizzano il MC segnale.

59

6.1 Preselezione

Partendo dalle informazioni relative a posizione e tempo dei cluster nel calorimetro,vengono selezionati gli eventi con almeno 4 cluster prompt, ciascuno di energia dialmeno 15 MeV e angolo polare compreso tra 200 e 1600; ricordiamo che si definisconoprompt i cluster le cui coordinate spazio-temporali soddisfano la relazione

|t− R

c| < 5σt, σt ∼

57 ps√E

⊕ 100 ps. (6.1)

Utilizzando le informazioni ottenute dalla procedura di associazione traccia-cluster(§3.3.3) si richiede inoltre che i cluster selezionati non siano associati a traccia, cioeche siano neutri.

6.1.1 Recover Splitting

Per ovviare al fenomeno del cluster splitting, cioe al fatto che uno sciame energeticopuo essere ricostruito come due cluster distinti, i cluster separati da una distanza ∆Rminore di una certa soglia vengono ricombinati in un unico cluster; tale proceduraprende il nome di recover splitting. I cluster prompt vengono innanzitutto ordinati inenergia, con E1 > E2 > . . . > En. Partendo dal cluster piu energetico, si individuatra i rimanenti un eventuale cluster a distanza ∆R < 50 cm ; se tale cluster esiste,esso viene associato al primo, ricostruendo il cluster originale con energia pari allasomma delle energie e con coordinate date dalla media pesata (con le energie) dellecoordinate. A ciascuna di queste procedure si deve quindi la diminuzione di unaunita del numero di cluster prompt; a questo punto viene rinnovata la richiesta dialmeno 4 cluster neutri prompt.

6.1.2 Appaiamento dei fotoni

Tra gli n ≥ 4 cluster ottenuti dopo il recover splitting devono essere individuati i4 che meglio ricostruiscono la massa invariante dei 2 pioni neutri; a tale scopo siconsidera la variabile di tipo χ2

χ2ππ =

(mπ0 −mij)2

σ2ij

+(mπ0 −mkl)

2

σ2kl

, (6.2)

dove mij e la massa invariante di due fotoni,

mij =√

2EiEj (1− cos θij). (6.3)

60

Nella (6.2) l’errore σij e dato dalla somma in quadratura

σij =

√

(

∂mij

∂Ei

σEi

)2

+

(

∂mij

∂Ej

σEj

)2

+

(

∂mij

∂θijσθij

)2

, (6.4)

che, omettendo la trascurabile incertezza sull’angolo tra i due fotoni, diviene

σij =mij

2

(

σEi

Ei

⊕ σEj

Ej

)

,σEi,j

Ei,j

=0.06

√

Ei,j(GeV ). (6.5)

La variabile (6.2) viene calcolata per tutti le possibili combinazioni degli indicii, j, k, l; per n ≥ 4 il numero di queste combinazioni e

3

(

n4

)

= 3n!

4!(n− 4)!= 3Cn,4, (6.6)

essendo Cn,4 il numero di combinazione di classe 4 di n oggetti e essendo 3 il numerodi possibili raggruppamenti 2 a 2 di 4 oggetti. Si assume che la combinazione difotoni che minimizza χ2

ππ sia quella che meglio ricostruisce la massa invariante deidue pioni neutri.

6.1.3 Matrice di smearing e smearing gaussiano

Una volta ricostruiti i cluster dei 4 fotoni e stata cercata la relazione che lega levariabili m4γ e m2π0 ; tale relazione permette di ottenere le distribuzioni in m4γ apartire da quelle in m2π0 . Cio e utile, anzi necessario, per studiare in funzione dellavaribile m4γ le efficienze delle selezioni che precedono la ricostruzione dei 4 γ (trigger,FILFO e filtro γγ).

Sono stati utilizzati due approcci:

• applicazione della matrice di smearing al vettore di eventi distribuiti in m2π0 ;

• smearing gaussiano della variabile m2π0 .

Il primo approccio prevede un’azione sulla distribuzione degli eventi, il secondoun’azione sulla variabile.

61

Matrice di smearing. Sia nm2π0

i , i = 1, . . . , N un vettore di eventi distribuiti nellavariabile m2π0 ; l’elemento i−esimo di tale vettore e il numero di eventi contenuti nelbin i del relativo istogramma a N bin. La matrice di smearing e definita come lamatrice Sij tale che

nm4γi =

N∑

j=1

Sijnm2π0

j , (6.7)

dove nm4γi e il vettore degli stessi eventi distribuiti nella varibile m4γ.

La matrice Sij puo essere ricavata considerando, allo stadio della ricostruzione dei4 fotoni, l’istogramma bidimensionale degli eventi Monte Carlo distribuiti in m2π0

(in ascissa) e in m4γ (in ordinata). In figura 6.1 e mostrato tale scatter plot, conun binnaggio di 80 bin sull’intervallo 200 - 1000 MeV per entrambi gli assi. Lacella (i, j) dell’istogramma contiene il numero Mij di eventi che, nella transizione dauna variabile all’altra, passano dal bin j della distribuzione in m2π0 al bin i delladistribuzione in m4γ; fissato l’indice di riga i la somma su tutte le colonne da ilnumero di eventi contenuti nel bin i−esimo della distribuzione in ordinata:

nm4γi =

N∑

j=1

Mij , (6.8)

e dal confronto con la (6.7) si ottiene

Sij =Mij

nm2π0

j

. (6.9)

L’interpretazione matematica dell’eq. (6.9) e evidente: gli elementi della matrice dismearing Sij sono la probabilita di transizione dal bin j−esimo di una distribuzioneal bin i−esimo dell’altra, normalizzata al numero di eventi contenuti nel bin j−esimodella distribuzione di partenza.

Smearing gaussiano. Lo smearing gaussiano consiste nel dare alla variabile m2π0

una fluttuazione gaussiana:

msm2π0 = m2π0(1 + rgau × Res(m2π0)); (6.10)

nella (6.10) rgau e una variabile distribuita in maniera gaussiana con valore centrale0 e varianza unitaria; Res e la funzione di risoluzione definita come

Res(m2π0) =

√

〈(m4γ −m2π0)2〉m2π0

. (6.11)

62

1

2

3

4

5

678910

20

30

40

50

607080

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

m2π (MeV)

m4γ(M

eV)

Figura 6.1: Scatter plot degli eventi dopo la ricostruzione dei 4 fotoni, distribuitinelle varibili m2π0 (ascissa) e m4γ (ordinata) .

63

Costruita la variabile m4γ e stata ricavata la funzione di risoluzione Res(m2π0)definita dall’eq. (6.11). In fig. 6.3 e mostrato lo scatter plot degli eventi con alme-no quattro cluster prompt (dopo la procedura di recover splitting), distribuiti nellevariabili m2π0 (ascissa) e m4γ −m2π0 (ordinata). Per ciascun bin della distribuzionein ascissa il valore 〈m4γ − m2π0〉i (i = 1, . . . , 80) e stato assunto uguale allo scartoquadratico medio (RMS) della distribuzione ottenuta “affettando” verticalmente l’i-stogramma; in ogni fetta la distribuzione e stata fittata con una curva gaussiana, perverificare che RMS ≃ σ, condizione necessaria per giustificare lo smearing gaussia-no. I valori della funzione di risoluzione sono stati quindi ottenuti come il rapporto(errore relativo)

Resi =RMSi

m2π0i

, (6.12)

dove i e l’indice di bin in ascissa; avendo assunto che le fluttuazioni siano gaussiane,per ogni bin l’errore (che risulta essere “l’errore dell’errore”) e stato calcolato comeResi√2ni

. Tali valori sono stati plottati contro la variabile m2π0 e fittati con la funzione

f(x) =A√x⊕ B

x⊕ C, (6.13)

ottenuta sommando in quadratura il contributo di errore di conteggio, σsample(m)/m ∼A√m/m, quello dovuto al rumore, σnoise(m)/m ∼ B/m, e quello riconducibile all’u-

niformita del segnale, σunif (m)/m ∼ Cm/m; il risultato del fit, mostrato in fig. 6.4,fornisce i valori A = 0.054, B = 0.012, C = 0.016, con χ2/ndof = 21.31/30.

La variabile msm2π0 definita dalla (6.10) e stata confrontata con la variabile m4γ

per mezzo dello scatter plot mostrato in figura 6.2, in cui gli eventi MC dopo laricostruzione e l’appaiamento dei fotoni sono distribuiti nelle due variabili una control’altra. In sovrapposizione sono mostrati i valori medi gaussiani della variabile m4γ

in funzione di msm2π0 ; tali valori sono stati fittati con il ramo di iperbole

f(x) = C + b

√

1 +(x− x0)2

a2, (6.14)

con C = −175.07, b = 437.34, a = 322.39, x0 = 135.97, χ2/ndof = 15.2/14.In fig.6.5 sono mostrate, a confronto, la distribuzione di eventi MC segnale senza

smearing e quelle ottenute con smearing gaussiano e matrice di smearing.Nei prossimi paragrafi le distribuzioni in m4γ ottenute a partire da quelle in m2π0

sono utilizzate per lo studio delle efficienze di preselezione.

64

1

2

3

4

5

678910

20

30

40

50

60

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

msm2π (MeV)

m4γ(M

eV)

Figura 6.2: Scatter plot degli eventi dopo la ricostruzione dei 4 fotoni, distribuitinelle varibili msm

2π0 (ascissa) e m4γ (ordinata).

65

1

2

3

4

5

6

7

8910

20

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

m2π (MeV)

m4γ−m

2π(M

eV)

Figura 6.3: Scatter plot degli eventi dopo la ricostruzione dei 4 fotoni, distribuitinelle varibili m2π0 (ascissa) e m4γ −m2π0 (ordinata) .

66

m2π (MeV)

Res

(m2π

)

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

300 350 400 450 500 550 600

Figura 6.4: Funzione di risoluzione Res = Res(m2π0).

67

EntriesMeanRMSALLCHAN

31209 396.0 99.82

0.3120E+05

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

m2π (MeV)

Figura 6.5: Eventi MC segnale distribuiti nella variabile m2π0 (nero) e distribuzioniottenute con smearing gaussiano (rosso) e matrice di smearing (blu).

68

6.1.4 Studio delle efficienze di preselezione

Le distribuzioni utilizzate per lo studio delle preselezioni sono state ottenute ap-plicando lo smearing gaussiano (6.10) alla variabile m2π fornita direttamente dallasimulazione Monte Carlo. Prima dello studio delle efficienze di preselezione vengonomostrati gli andamenti in funzione della massa invariante per le efficienze di trigger,FILFO e filtro γγ, i cui valori integrali sono stati presentati in §4.4.

Trigger. L’efficienza di trigger e stata calcolata come

ǫtrgi =Ni

Di

=noi eventi generati con trgword 6= 0

noi eventi generati

, (6.15)

dove, come sempre, i e l’indice dei bin.E’ stato studiato l’andamento di ǫtrg in funzione della massa invariante dei pro-

dotti utilizzando per numeratore (N) e denominatore (D) le distribuzioni degli eventigenerati dal MC (denominatore) e di quelli selezionati dal trigger (numeratore). Irisultati sono mostrati in figura 6.6 (in alto).

FILFO. Il filtro per la reiezione degli eventi di fondo (FILFO) e posto in succes-sione al trigger: i due filtraggi sono quindi in cascata, ovvero gli eventi che devonoessere discriminati dal FILFO sono quelli che hanno superato la condizione di trigger.L’efficienza del FILFO e quindi definita come

ǫflfi =N flf

i

Dflfi

=noi eventi triggerati che passanoFILFO

noi eventi con trgword 6= 0

. (6.16)

I risultati sono mostrati in figura 6.6 (al centro).

Filtro γγ. Il filtro γγ e posto in successione al FILFO. La sua efficienza e quindidefinita come

ǫflti =N flt

i

Dflti

=noi eventi che hanno passato FILFO e che passano filtro γγ

noi eventi che hanno passato FILFO

. (6.17)

I risultati sono mostrati in figura 6.6 (in basso).

69

Prodotto delle efficienze di trigger, FILFO e filtro γγ. Dati m filtri incascata, l’efficienza totale ǫ = nm

n0si puo scrivere

ǫ =nm

n0

=nm

nm−1

× nm−1

nm−2

× · · · × n2

n1

× n1

n0

=m∏

i=1

ǫi. (6.18)

Nella (6.18) le ni indicano il numero di eventi che passano attraverso il filtroi-esimo. Nel nostro caso, l’efficienza complessiva di trigger, FILFO e filtro γγ saraquindi dato dal prodotto delle efficienze ottenute precedentemente.

L’andamento dell’efficienza complessiva di trigger, FILFO e filtro γγ in cascata emostrato in figura 6.7 (in alto).

Preselezione. La preselezione rigetta gli eventi con meno di 4 fotoni prompt; taleselezione viene effettuata due volte, prima e dopo il recover splitting.

In tabella 6.2 sono mostrati i numeri di eventi MC segnale, con relativi fattori diriduzione rispetto al numero di eventi MC generati, ai due livelli della preselezione.

MC σgenerati 31209

trigger, FILFO, filtro γγ 22498 (0.721)almeno 4 γ 15795 (0.506)

almeno 4 γ (dopo recover splitting) 15471 (0.496)

Tabella 6.2: Numeri di eventi e fattori di riduzione per MC segnale ai vari livelli dipreselezione.

L’andamento dell’efficienza di tutte le preselezioni in funzione della variabile msm2π

e mostrato in figura 6.7 (in basso). In figura 6.8 tale andamento e confrontato conquello nella variabile m4γ = f(msm

2π ), con f(msm2π ) data dalla (6.14); quest’ultimo

andamento e stato fittato con la funzione tipo Fermi-Dirac (figura 6.8 in basso)

f(x) =A

1 + exp(−x−x0

C), (6.19)

con A = 0.6667, x0 = 293.16, C = 72.65 con χ2/ndof = 48.55/54.

70

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

msm2π (MeV)

msm2π (MeV)

msm2π (MeV)

Figura 6.6: Efficienza, in funzione della massa invariante m4γ, di trigger (in alto),FILFO (al centro) e filtro γγ (in basso); l’efficienza di FILFO e calcolata rispetto alnumero di eventi che hanno passato il trigger, quella di filtro γγ rispetto al numerodi eventi che hanno passato trigger e FILFO.

71

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

300 400 500 600 700 800

msm2π (MeV)

msm2π (MeV)

Figura 6.7: In alto: efficienza complessiva di trigger, FILFO e filtro γγ. In basso:efficienza di tutte le preselezioni (trigger, FILFO, filtro γγ, ricostruzione dei clustercon recover splitting).

72

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

300 400 500 600 700 800

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

300 400 500 600 700 800

Figura 6.8: In alto: efficienza di tutte le preselezioni (trigger, FILFO, filtro γγ,ricostruzione dei cluster con recover splitting) in funzione della variabile msm

2π (puntineri) e della variabile m4γ = f(msm

2π ) (quadratini rossi), con f(x) data dalla (6.14);quest’ultimo andamento e stato fittato con la funzione tipo Fermi-Dirac (6.19) comemostrato nella figura in basso.

73

6.2 Tagli di analisi

In questa sezione sono descritte e commentate le selezioni studiate per evidenziare ilsegnale di σ. I tagli di analisi considerati, posti in cascata dopo le preselezioni e laricostruzione dei 4 fotoni, sono:

1. taglio sulla variabile χ2π0π0 ;

2. richiesta di 4 e solo 4 cluster prompt;

3. richiesta di nessuna traccia nella camera a deriva (no tracks);

4. taglio sulle energie dei due fotoni piu energetici;

5. taglio sulla somma delle energie dei due fotoni meno energetici;

6. taglio sull’impulso trasverso totale dei 4 fotoni;

7. taglio sul rapporto R =∑

γ Eγ

Etot.

E’ stato studiato l’andamento dell’efficienza in funzione di m4γ per ciascun tagliodi analisi singolarmente, utilizzando come denominatore la distribuzione in m4γ deglieventi ad almeno 4 γ prompt che abbiano passato tutte le preselezioni.

6.2.1 Taglio sulla variabile χ2π0π0

Le distribuzioni nella variabile χ2π0π0 per i dati e per il MC segnale sono mostrate in

figura 6.9. La distribuzione per i dati mostra un picco a bassi valori con una coda nontrascurabile ad alti valori; tale coda, assente nella distribuzione per il MC segnale,e dovuta alle combinazioni di fotoni che non ricostruiscono bene la massa invariantedei due pioni neutri.

In tabella sono riportati i numeri di eventi, con relativo fattore di riduzione,al variare del taglio in χ2

π0π0 , per dati e Monte Carlo segnale. Gli andamenti delleefficienze calcolati da MC in funzione della variabile m4γ sono mostrati in figura 6.10.

In figura 6.11 sono mostrate le distribuzioni nelle masse invarianti delle due coppiedi fotoni ricostruiti, con e senza taglio χ2

π0π0 < 4. La densita a 135 MeV (≃ mπ0)individua i fotoni correttamente appaiati; la densita a basse energie e invece dovutaai fotoni appaiati con un valore di χ2

π0π0 elevato, ed e assente nello scatter plot deglieventi con χ2

π0π0 < 4.

74

EntriesMeanRMSALLCHAN

15471 2.535 4.918

0.1546E+05

EntriesMeanRMSALLCHAN

1888628 12.07 21.35

0.1427E+07

1

10

10 2

10 3

10 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 3

10 4

10 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

χ2ππ

χ2ππ

Figura 6.9: Distribuzioni nella variabile χ2π0π0 per gli eventi MC segnale (in alto) e

per i dati (in basso).

Dati MC σPreselezione e Ricostruzione 1888628 15471

χ2π0π0 < 5 952188 (0.504) 13887 (0.898)χ2π0π0 < 4 898356 (0.476) 13251 (0.856)χ2π0π0 < 3 815756 (0.432) 12074 (0.780)

Tabella 6.3: Numeri di eventi e fattori di riduzione per dati e MC segnale al variaredel taglio sulla variabile χ2

π0π0 .

75

0.4

0.6

0.8

1

300 400 500 600 700 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

300 400 500 600 700 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.10: Efficienza sul MC segnale del taglio χ2π0π0 < 5 (in alto), χ2

π0π0 < 4 (alcentro) e χ2

π0π0 < 3 (in basso), in funzione della variabile m4γ .

76

1

10

10 2

10 3

Mγγ (MeV)

Mγγ

(M

eV)

1

10

10 2

10 3

Mγγ (MeV)

Mγγ

(M

eV)

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

Figura 6.11: Distribuzioni per i dati nella massa invariante delle 2 coppie di fotoniricostruiti, senza taglio in χ2

π0π0 (in alto) e con il taglio χ2π0π0 < 4 (in basso).

77

6.2.2 4 e solo 4 γ prompt; no tracks

La richiesta di 4 e solo 4 fotoni prompt rigetta, salvo i casi con fotoni fuori accettanza,gli eventi riconducibili ai processi:

• ηγ → 3π0γ, con 7 fotoni prompt;

• ωπ0 → π0π0γ, con 5 fotoni prompt;

• f0γ → π0π0γ, con 5 fotoni prompt;

• a0γ → ηπ0 → 4π0, con 8 fotoni prompt.

Richiedendo che non siano presenti tracce nella camera a deriva si scartano glieventi KSKL con KL che decade semileptonico o in pioni carichi.

In tabella 6.4 sono riportate le efficienze dei due tagli, sempre calcolate rispetto alnumero di eventi che hanno superato la preselezione e la procedura di ricostruzionedei 4 fotoni, per i dati e per gli eventi Monte Carlo segnale.

dati MC σpreselezione e ricostruzione 1888628 15471

solo 4 γ 1728217 (0.915) 15161 (0.980)no tracks 425079 (0.225) 14774 (0.955)

Tabella 6.4: Fattori di riduzione su MC segnale e fondi per i tagli 2 e 3.

In figura 6.12 e mostrato l’andamento, in funzione della variabile m4γ, dell’effi-cienza sugli eventi MC segnale della richiesta di 4 e solo 4 fotoni prompt (in alto) edi assenza di tracce nella camera a deriva (in basso) .

78

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

300 400 500 600 700 800

0.8

0.825

0.85

0.875

0.9

0.925

0.95

0.975

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.12: Efficienza sul MC segnale della richiesta di 4 e solo 4 fotoni prompt (inalto) e di assenza di tracce nella camera a deriva (in basso).

79

6.2.3 Energia dei 2 fotoni piu energetici

In §5.2.3 e stato mostrato come nella reazione e+e− → ωπ0 → π0π0γ il fotoneprodotto nel decadimento dell’ω sia il fotone piu energetico con un’energia di ≃315÷ 461 MeV; la figura 6.13 evidenzia come il contributo (errato) di questo fotonealla ricostruzione della massa invariante dei due pioni neutri sia responsabile dellacomparsa del picco a 800 MeV nello spettro di m4γ .

In figura 6.14 sono mostrati gli istogrammi bidimensionali con gli eventi MCsegnale e MC ωπ0 distribuiti nelle variabili Eγ1, Eγ2. Nel plot relativo al processodi produzione di ωπ0 si osserva che la distribuzione in Eγ1 e piccata nella regione340-440 MeV, ed e quindi in buona parte dovuta al contributo del fotone prodottodal decadimento dell’ω; la distribuzione in Eγ2 si estende da 200 a 350 MeV. Ladistribuzione per gli eventi di σ e invece confinata nella regione Eγ1 < 350 MeV,Eγ2 < 300 MeV; rigettare gli eventi al di fuori di tale regione permette quindi didiminuire sensibilmente il fondo.

In tabella 6.5 sono riportati i numeri di eventi MC segnale e dati con relativifattori di riduzione, per due diversi tagli sulle energie dei due fotoni piu energetici;gli andamenti dell’efficienza in funzione della variabile m4γ sono mostrati in figura6.15.

Dati MC σ MC ωπ0

Preselezione e Ricostruzione 1888628 15471 149497(Eγ1, Eγ2) < (450, 400) MeV 1802094 (0.954) 15435 (0.998) 141425 (0.946)(Eγ1, Eγ2) < (350, 300) MeV 1592291 (0.843) 15031 (0.971) 71832 (0.480)

Tabella 6.5: Numeri di eventi e fattori di riduzione per dati e MC segnale al variaredel taglio sulle variabili Eγ1, Eγ2.

80

1

10

10 2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

m4γ (MeV)

Eγ1(M

eV)

Figura 6.13: Distribuzione degli eventi MC ωπ0 nella variabile m4γ (in ascissa) e Eγ1

(in ordinata): si osserva il picco a m4γ ≃ 800 MeV in corrispondenza delle energietipiche del fotone prodotto dal decadimento dell’ω.

81

1

10

Eγ1 (MeV)

Eγ2

(M

eV)

1

10

10 2

Eγ1 (MeV)

Eγ2

(M

eV)

200

250

300

350

400

450

500

200 250 300 350 400 450 500 550 600

200

250

300

350

400

450

500

200 250 300 350 400 450 500 550 600

Figura 6.14: Scatter plot nelle variabili Eγ1 (in ascissa) e Eγ2 (in ordinata) per glieventi MC segnale (in alto) e MC ωπ0 (in basso).

82

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

300 400 500 600 700 800

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.15: Efficienza sul MC segnale del taglio sulle energie dei due fotoni piuenergetici: Eγ1 < 450 MeV, Eγ2 < 400 MeV (in alto) e Eγ1 < 350 MeV, Eγ2 < 300MeV (in basso).

83

6.2.4 Taglio sulla varabile Eγ3 + Eγ4

La figura 6.16 mostra a confronto le distribuzioni nella somma delle energie dei duefotoni meno energetici per il MC segnale e per i dati; si osserva che per i dati taledistribuzione e piccata intorno a bassi valori, Eγ3 + Eγ4 ≃ 30 − 60 MeV, laddoveinvece il segnale presenta solo una coda trascurabile.

Eγ3+Eγ4 (MeV)

Eγ3+Eγ4 (MeV)

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200 250 300 350

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

0 50 100 150 200 250 300 350

Figura 6.16: Distribuzioni nella somma delle energie dei due fotoni meno energeticiper il MC segnale (in alto) e per i dati (in basso).

In tabella 6.6 sono riportati i numeri di eventi MC segnale e dati con relativifattori di riduzione, al variare del taglio sulla variabile Eγ3 + Eγ4; gli andamentidell’efficienza in funzione della variabile m4γ sono mostrati in figura 6.17.

84

Dati MC σPreselezione e Ricostruzione 1888628 15471

Eγ3 + Eγ4 > 50 MeV 1550291 (0.821) 15370 (0.993)Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 1346767 (0.713) 15157 (0.980)Eγ3 + Eγ4 > 70 MeV 1221834 (0.647) 14797 (0.956)

Tabella 6.6: Numeri di eventi e fattori di riduzione per dati e MC segnale al variaredel taglio sulla variabile Eγ3 + Eγ4.

0.94

0.96

0.98

1

300 400 500 600 700 800

0.9

0.925

0.95

0.975

1

300 400 500 600 700 800

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.17: Efficienza sul MC segnale del taglio sulla variabile Eγ3+Eγ4: Eγ3+Eγ4 >50 MeV (in alto), Eγ3+Eγ4 > 60 MeV (al centro) e Eγ3+Eγ4 > 70 MeV (in basso).

85

6.2.5 Taglio sulla variabile pT

L’impulso trasverso del sistema dei 4 fotoni nello stato finale e definito come

pT =√

P 2x + P 2

y , (6.20)

dove Px =∑4

i=1pix, Py =

∑4

i=1piy. Nell’ipotesi che l’approssimazione DEPA (§2.1.1)

sia applicabile, elettrone e positrone nello stato finale per il processo e+e− → e+e−π0π0

sono deflessi a piccoli angoli, e il loro impulso trasverso totale e piccolo. Per la con-servazione dell’impulso, anche l’impulso trasverso dei prodotti d’interazione γγ deveessere piccolo. In figura 6.18 sono mostrate le distribuzioni nella variabile pT per glieventi MC segnale e dati. Si noti che la distribuzione in pT degli eventi MC risultaallargata, rispetto a quella mostrata in figura 5.1, dagli effetti di risoluzione.

pT (MeV)

dn/d

p T (

1/5

MeV

)

pT (MeV)

dn/d

p T (

1/5

MeV

)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

10000

20000

30000

40000

50000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Figura 6.18: Distribuzioni nell’impulso trasverso dei 4 fotoni nello stato finale pergli eventi MC segnale (in alto) e dati (in basso).

In tabella 6.7 sono riportati i numeri di eventi MC segnale e dati con relativifattori di riduzione, al variare del taglio sulla variabile pT ; gli andamenti dell’efficienzain funzione della variabile m4γ sono mostrati in figura 6.19.

86

Dati MC σPreselezione e Ricostruzione 1888628 15471

pT < 80 MeV 466939 (0.247) 13314 (0.860)pT < 100 MeV 644146 (0.341) 14358 (0.928)pT < 120 MeV 820678 (0.434) 14939 (0.966)

Tabella 6.7: Numeri di eventi e fattori di riduzione per dati e MC segnale al variaredel taglio sulla variabile pT .

0.6

0.8

1

300 400 500 600 700 800

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.19: Efficienza sul MC segnale del taglio sulla variabile pT : pT < 80 MeV(in alto) pT < 100 MeV (al centro), pT < 120 MeV (in basso).

87

6.2.6 Taglio sulla variabile R =∑

4

γEγ

Etot

Questo taglio e pensato per scartare gli eventi che presentano una non trascurabilequantita di energia non associata ai 4 fotoni prompt che ricostruiscono la massainvariante dei 2 pioni neutri: rigetta quindi, ad esempio, gli eventi con piu di 4 fotoniprompt, e a tal fine si sovrappone al taglio gia discusso in §6.2.2.

Il taglio sulla variabile R ha pero anche e soprattutto lo scopo di rigettare glieventiKSKL in cui ilKL decade all’interno del rivelatore o interagisce nel calorimetro(“KL crash”).

In figura 6.20 sono mostrate le distribuzioni nella variabile R per MC segnale edati.

R

R

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 6.20: Distribuzione nella variabile R per il MC segnale (in alto) e per i dati(in basso).

In tabella 6.8 sono riportati i numeri di eventi MC segnale e dati con relativifattori di riduzione, al variare del taglio sulla variabile R; sono riportati il numerodi eventi e fattori di riduzione anche per il MC del processo KSKL, per mettere inevidenza come tale fondo sia particolarmente sensibile a questo taglio. Gli andamentidell’efficienza su MC segnale in funzione della variabile m4γ sono mostrati in figura6.21.

88

Dati MC σ MC KSKL

Preselezione e Ricostruzione 1888628 15471 3304922R > 0.7 MeV 917419 (0.486) 15094 (0.976) 1635555 (0.495)R > 0.75 MeV 767784 (0.406) 14891 (0.962) 1064239 (0.322)R > 0.8 MeV 643968 (0.341) 14528 (0.939) 646383 (0.195)

Tabella 6.8: Numeri di eventi e fattori di riduzione per dati e MC segnale al variaredel taglio sulla variabile R.

0.85

0.9

0.95

1

300 400 500 600 700 800

0.8

0.85

0.9

0.95

1

300 400 500 600 700 800

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.21: Efficienza sul MC segnale del taglio sulla variabile R: R > 0.7 (in alto),R > 0.75 (al centro), R > 0.8 (in basso).

89

Data l’importanza del fondo KSKL, e stato svolto uno studio dedicato dell’effi-cienza del taglio sulla variabile R per questo processo. In particolare, e stato effet-tuato un confronto dati-Monte Carlo per verificare quanto le relative distribuzioninella variabile R siano in accordo, e per stabilire quindi se l’efficienza calcolata daMC sia affidabile o meno. Il confronto e stato effettuato tra il campione di dati equello di eventi MC KSKL filtrati dalle selezioni esposte nei paragrafi precedenti,con i seguenti valori dei tagli:

• χ2ππ < 4;

• 4 e solo 4 fotoni prompt;

• niente tracce nella camera a deriva;

• Eγ1 < 450 MeV, Eγ2 < 400 MeV;

• Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV;

• pT < 80 MeV.

Per disporre di una selezione di dati KSKL il piu pulita possibile, i dati sono stativincolati da un fit cinematico sulla massa invariante dei 4 fotoni e sulla massa man-cante, richieste entrambe uguali alla massa del K neutro (i dettagli sul fit cinematicosono esposti in Appendice C). In figura 6.22 lo spettro in R cosı ottenuto e con-frontato con quello per gli eventi MC: si noti che il MC non riproduce le proporzioniosservate nello spettro dei dati tra il picco a R ≃ 0.65 (riconducilbile agli eventi conKL crash) e quello a R ≃ 1 (che corrisponde al caso “no KL tag”). Probabilmente lasimulazione Monte Carlo produce un eccesso di interazioni del KL nel calorimetro,che corrispondono ad un eccesso di energia non prompt depositata. L’efficienza cal-colata da MC risulta in questo caso sottostimata: questa discrepanza tra dati e MCKSKL e considerata come sorgente di errore sistematico nell’analisi.

90

R

R

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 6.22: Distribuzione nella variabile R per il MC KSKL (in alto) e per i dativincolati da fit cinematico (in basso), dopo tutti i tagli 1-6 in cascata.

91

6.3 Scelte di Analisi

I valori dei tagli da applicare, scelti tra quelli vagliati e discussi nei paragrafi prece-denti, sono stati individuati cercando di ottimizzare il rapporto tra l’efficienza peril segnale di σ e l’efficienza per i fondi; come principio generale, si e avuta cura diutilizzare con cautela i tagli che introducono importanti errori sistematici nell’analisi(vedi il taglio sulla variabile R, §6.2.6).

Sono state portate avanti due strategie di analisi, che si differenziano unicamenteper i valori assegnati ai tagli sulle energie dei fotoni piu energetici.

6.3.1 Analisi I

In una prima fase l’analisi e stata condotta con i seguenti tagli:

1. χ2ππ < 4;

2. 4 e solo 4 fotoni prompt;

3. niente tracce nella camera a deriva;

4. Eγ1 < 450 MeV, Eγ2 < 400 MeV;

5. Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV;

6. pT < 80 MeV;

7. R > 0.75.

Il taglio 4 e pensato per ridurre gli eventi e+e− → γγ, mentre ha effetto tra-scurabile sugli altri processi di fondo e sul segnale. In tabella 6.9 sono riportati inumeri di eventi dati e MC segnale ai vari livelli di selezione; le efficienze sui MC deifondi sono mostrate in tabella 6.10. La figura 6.23 mostra l’andamento in funzionedella variabile m4γ dell’efficienza complessiva dei tagli di analisi, calcolata rispetto alnumero di eventi che hanno superato la procedura di preselezione e di ricostruzione.

92

m4! (MeV)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

300 400 500 600 700 800

Figura 6.23: Efficienza complessiva dei tagli di analisi in cascata.

dati MC σradiative stream 3.767× 108

generazione 31209preselezione e ricostruzione 1888628 15471 (0.496)χ2π0π0 < 4 898356 13251 (0.856)

solo 4γ 1728217 15161 (0.980)no tracks 425079 14774 (0.955)(Eγ1, Eγ2) < (450, 400) MeV 1802094 15435 (0.998)Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 1346767 15157 (0.980)pT < 80 MeV 446939 13314 (0.860)R > 0.75 767784 14891 (0.962)tutti i tagli 11005 10477 (0.677)efficienza 0.336

Tabella 6.9: Tabella riassuntiva dei numeri di eventi dati e MC segnale ai vari livellidi selezione per l’analisi I.

93

generazione MC KSKL η → 3π0 ωπ0 f0γ a0γ γγ19571400 6293520 914472 129115 97205 1.92317 · 108

preselezioni e ricostruzione 3304922 1728504 149497 20574 23104 50518χ2ππ < 4 0.844 0.875 0.435 0.472 0.654 0.191

solo 4γ 0.951 0.074 0.674 0.736 0.339 0.865no tracks 0.280 0.833 0.865 0.881 0.843 0.670(Eγ1, Eγ2) < (450, 400) MeV 0.999 0.999 0.946 0.970 0.987 0.655Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 0.973 0.979 0.972 0.962 0.982 0.438pT < 80 MeV 0.839 0.182 0.486 0.532 0.340 0.524R > 0.75 0.322 0.226 0.748 0.856 0.379 0.819totale tagli 4.80× 10−2 6.64× 10−3 8.09× 10−2 0.162 1.88× 10−2 1.82× 10−2

efficienza 8.106× 10−3 1.824× 10−3 1.322× 10−2 2.581× 10−2 4.475× 10−3 4.8× 10−6

Tabella 6.10: Efficienze dei tagli di analisi per i processi di fondo ai vari livelli di selezione per l’analisi I.

94

L’andamento in funzione di m4γ dell’efficienza globale su MC segnale di tutte leselezioni, compresi trigger, FILFO, filtro γγ preselezioni e recover splitting, e statostudiato con due approcci:

• utilizzando lo smearing gaussiano: l’efficienza globale e stata ottenuta moltipli-cando le efficienze dei tagli di analisi per le efficienze delle preselezioni, calcolatecome descritto in §6.1.4;

• utilizzando la matrice di smearing: l’efficienza globale e stata calcolata diretta-mente come rapporto, bin per bin, tra la distribuzione degli eventi selezionatida tutti i tagli di analisi e la distribuzione degli eventi generati, convoluta perla funzione di risoluzione mediante applicazione della matrice di smearing (vedi§6.1.3).

Gli andamenti ottenuti con i due approcci sono confrontati in figura 6.24 in alto:si osserva che le due procedure conducono a risultati compatibili all’interno dellefluttuazioni statistiche. In figura 6.24 e mostrato l’andamento ottenuto con il metododella matrice di smearing fittato con la funzione

f(x) = A(1− exp(x−x0)

C ); (6.21)

il fit fornisce i valori A = 0.4596, x0 = 210.15, C = 112.01 con χ2/ndof = 51.9/54.

6.3.2 Analisi II

Una seconda analisi e stata svolta utilizzando un taglio piu duro sull’energia dei duefotoni piu energetici:

Eγ1 < 350MeV, Eγ2 < 300MeV.

Come e stato illustrato in §6.2.3, in queste condizioni si ha una notevole riduzionedegli eventi ωπ0 nella regione intorno agli 850 MeV nello spettro di massa invariantedei 4 fotoni. Gli spettri dei dati ottenuti con le analisi I e II sono confrontati in figura6.25.

In tabella 6.11 sono riportati i numeri di eventi dati e MC segnale ai vari livellidi selezione per l’analisi II; le efficienze sui MC dei fondi sono mostrate in tabella6.12. La figura 6.23 mostra l’andamento in funzione della variabile m4γ dell’efficienzacomplessiva dei tagli di analisi, calcolata rispetto al numero di eventi che hannosuperato la procedura di preselezione e di ricostruzione.

Nuovamente l’efficienza globale in funzione di m4γ e stata calcolata con i duemetodi dello smearing gaussiano e della matrice di smearing. Gli andamenti ottenuti

95

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

300 400 500 600 700 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

300 400 500 600 700 800

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

Figura 6.24: In alto: efficienza globale (preselezioni e tagli di analisi) in funzione dim4γ ottenuta con il metodo dello smearing gaussiano (quadrati neri) e con il metododella matrice di smearing (punti rossi). In basso: l’andamento ottenuto con il metododella matrice di smearing fittato con la funzione (6.21).

96

m4γ (MeV)

dn/d

m4γ

(1/

(10

MeV

))

0

50

100

150

200

250

300

350

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 6.25: Spettro in massa invariante m4γ per i dati, ottenuto con i tagli dell’ana-lisi I (quadratini rossi) e dell’analisi II (pallini neri): il numero di eventi selezionatie 11005 per la prima analisi, 7848 per la seconda.

97

dati MC σradiative stream 3.767× 108

generazione 31209preselezione e ricostruzione 1888628 15471 (0.496)χ2π0π0 < 4 898356 13251 (0.856)

solo 4γ 1728217 15161 (0.980)no tracks 425079 14774 (0.955)(Eγ1, Eγ2) < (350, 300) MeV 1592291 15031 (0.971)Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 1346767 15157 (0.980)pT < 80 MeV 446939 13314 (0.860)R > 0.75 767784 14891 (0.962)tutti i tagli 7848 10233 (0.661)efficienza 0.328

Tabella 6.11: Tabella riassuntiva dei numeri di eventi dati e MC segnale ai vari livellidi selezione per l’analisi II.

m4! (MeV)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

300 400 500 600 700 800

Figura 6.26: Efficienza complessiva dei tagli per l’analisi II in cascata.

98

generazione MC KSKL η → 3π0 ωπ0 f0γ a0γ γγ19571400 6293520 914472 129115 97205 1.92317 · 108

preselezioni e ricostruzione 3304922 1728504 149497 20574 23104 50518χ2ππ < 4 0.844 0.875 0.435 0.472 0.654 0.191

solo 4γ 0.951 0.074 0.674 0.736 0.339 0.865no tracks 0.280 0.833 0.865 0.881 0.843 0.670(Eγ1, Eγ2) < (350, 300) MeV 0.998 0.916 0.480 0.645 0.847 0.353Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 0.973 0.979 0.972 0.962 0.982 0.438pT < 80 MeV 0.839 0.182 0.486 0.532 0.340 0.524R > 0.75 0.322 0.226 0.748 0.856 0.379 0.819totale tagli 4.80× 10−2 6.02× 10−3 3.09× 10−2 9.02× 10−2 1.22× 10−2 4.850× 10−3

efficienza 8.103× 10−3 1.654× 10−3 5.047× 10−3 1.438× 10−2 2.890× 10−3 1.273× 10−6

Tabella 6.12: Efficienze dei tagli di analisi per i processi di fondo ai vari livelli di selezione per l’analisi II.

99

con i due approcci sono confrontati in figura 6.27 in alto: anche in questo caso siosserva che le due procedure conducono a risultati compatibili. In figura 6.27 emostrato l’andamento ottenuto con il metodo della matrice di smearing fittato nellaregione 240-700 MeV con la funzione

f(x) = (A+ Bx)(1− exp(x−x0)

C ); (6.22)

il fit fornisce i valori A = 0.5401, B = −0.00019, x0 = 212.8, C = 115.97 conχ2/ndof = 49.9/43. La lieve pendenza negativa conferita al plateaux dal terminelineare Bx tiene conto degli effetti che il taglio Eγ1 < 350MeV, Eγ2 < 300MeV hasul segnale nella regione 700-800 MeV, dove comunque ci si aspetta che lo spettro diσ sia relativamente poco popolato.

100

m4γ (MeV)

m4γ (MeV)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

300 400 500 600 700 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

300 400 500 600 700 800

Figura 6.27: In alto: efficienza globale (preselezioni e tagli di analisi) in funzione dim4γ ottenuta con il metodo dello smearing gaussiano (quadrati neri) e con il metododella matrice di smearing (punti rossi). In basso: l’andamento ottenuto con il metododella matrice di smearing fittato con la funzione (6.22).

101

Capitolo 7

Confronto Dati-Monte Carlo

In questo capitolo si descrive come le informazioni fornite dall’analisi svolta sono stateutilizzate per ricostruire lo spettro dei dati a partire dagli spettri degli eventi MCper i fondi e da distribuzioni opportunamente generate per il segnale di σ, facendovariare in un intervallo ragionevole i valori dei parametri massa e larghezza.

7.1 Stime delle frazioni per i processi di fondo

L’analisi esposta nel capitolo precedente fornisce il numero nD di eventi dati dopotutte le selezioni e i valori integrati ǫ delle efficienze per il segnale e per i processidi fondo; note le sezioni d’urto di questi ultimi (σb) e la luminosita integrata per idati acquisiti (L) e possibile calcolare il numero di eventi atteso nb per il processodi fondo b, e quindi la frazione di eventi fb che compete a tale processo, secondo laformula

fb =nb

nD

=σbLǫbnD

. (7.1)

Le frazioni cosı calcolate per i fondi nelle analisi I e II sono riportate rispettiva-mente nelle tabelle 7.1, 7.2.

I valori ottenuti per le frazioni non tengono conto delle incertezze, in alcuni casiimportanti, di cui sono affette le misure di efficienze e sezioni d’urto. In particolare,le uniche sezioni d’urto note con precisione sono quelle per i processi

1. e+e− → KSKL: e stata assunto il valore ottenuto dal fit dei dati raccolti dadiversi esperimenti (SND 2001, CMD-2 e SND 2006) corretto con calcoli teoricisul contributo delle correzioni radiative (vedi Appendice A),

σKSKL(√s = 1GeV) = (1.28± 0.05) nb;

102

2. e+e− → ηγ: e stata utilizzata la sezione d’urto misurata dall’esperimento SND,

σηγ(√s = 1GeV) = (0.284± 0.030) nb;

3. e+e− → ωπ0: e stata assunta la sezione d’urto misurata dalla collaborazioneKLOE,

σωπ0(√s = 1GeV) = (0.550± 0.006) nb.

Per questi processi, tuttavia, le analisi svolte introducono inevitabili errori sistematicinella valutazione delle efficienze. Per le reazioni f0γ, a0γ e e+e− → γγ, inoltre, lesezioni d’urto sono soltanto stimate, come discusso nei §§5.2.4, 5.2.5.

Processo ǫ σ (nb) n = Lσǫ f = n/11005KSKL 8.106× 10−3 1.28 2486 0.2259η → 3π0 1.824× 10−3 0.284 124 0.0113ωπ0 1.322× 10−2 0.55 1739 0.1580f0γ 2.581× 10−2 0.17 1051 0.0955a0γ 4.475× 10−3 0.11 118 0.0107γγ 4.8× 10−6 360 413 0.0375

Tabella 7.1: Tabella riassuntiva con efficienze, sezioni d’urto e frazioni per i processidi fondo nell’analisi I.

Processo ǫ σ (nb) n = Lσǫ f = n/7848KSKL 8.103× 10−3 1.28 2485 0.3166η → 3π0 1.654× 10−3 0.284 112 0.0143ωπ0 5.047× 10−3 0.55 664 0.0847f0γ 1.438× 10−2 0.17 585 0.0746a0γ 2.890× 10−3 0.11 76 0.0097γγ 1.273× 10−6 360 110 0.0140

Tabella 7.2: Tabella riassuntiva con efficienze, sezioni d’urto e frazioni per i processidi fondo nell’analisi II.

103

Per fissare i valori delle frazioni fb sono stati effettuati dei fit preliminari dellospettro di massa invariante, con le frazioni per fondi e segnale come parametri da de-terminare. Per i fondi sono state utilizzate le distribuzioni degli eventi MC selezionatidai tagli di analisi; per il segnale di σ e stato preparato un set di distribuzioni

• generate secondo la funzione di distribuzione (2.15),

• convolute per la funzione di risoluzione mediante la procedura dello smearinggaussiano e

• moltiplicate per la funzione efficienza opportunamente binnata.

Fit preliminari. Indichiamo con si, bi, i = 1, . . . , N le distribuzioni a N bin dieventi MC segnale e fondo; per semplicita di esposizione, consideriamo qui un soloprocesso di fondo. Note le frazioni fb, fs di eventi fondo e segnale, le distribuzioniMC normalizzate ai numeri di eventi attesi sono date da

snormi =fsND

NS

si, bnormi =fbND

NB

bi, (7.2)

dove ND, NS e NB sono il numero totale di dati, MC segnale e MC fondo dopo itagli. Il numero ni di eventi atteso in ogni bin e quindi dato da

ni = ND

(

fsNS

si +fbNB

bi

)

. (7.3)

Assumendo ni come valore medio di una distribuzione poissoniana di eventi, si hache la probabilita di contare un particolare numero di di eventi nel bin i-esimo e datada

P (di, ni) = e−nindii

di!; (7.4)

la probabilita di contare d1 eventi nel bin 1, d2 eventi nel bin 2, . . ., dN eventi nelbin N sara quindi data dal prodotto di N funzioni di distribuzione (7.4)

L = ΠNi P (di, ni). (7.5)

La (7.5) e la funzione di likelihood che, massimizzata, fornisce i valori di fb, fs cercati.Prendendo il logaritmo della (7.5) si ottiene la likelihood logaritmica

lnL =N∑

i

(

di lnni

di− ni

)

, (7.6)

104

avendo approssimato, nell’ultimo passaggio, di! ≃ ddii .Il programma di fit trova il massimo di lnL calcolandone numericamente le de-

rivate parziali rispetto ai parametri fS e fB. La procedura e iterata utilizzando ilprogramma MINUIT, e determina la migliore stima dei parametri, l’errore statistico,il massimo valore della likelihood logaritmica e il minimo valore del χ2 = −2 lnL.

Inizialmente sono state utilizzate 36 distribuzioni, generate con i valori di massaM = 450÷ 700 MeV e larghezza Γ = 300÷ 550 MeV a passi di 50 MeV.

Il procedimento seguito per entrambe le analisi I e II e il seguente:

1. il fit e stato eseguito con tutte e 36 le distribuzioni, inizializzando i parametri aivalori teorici delle tabelle 7.1 e 7.2 e lasciando loro ampi intervalli di variazione;

2. il fit e stato ripetuto piu volte per tutte le distribuzioni, aggiornando a ogniiterazione i valori iniziali a quelli forniti dal fit che, nella scansione immediata-mente precedente, ha restituito il miglior valore di χ2, e restringendo di voltain volta gli intervalli di variazione;

3. la distribuzione generata con la coppia di valori (M,Γ) che al punto 2 ha fornitoil miglior χ2 e stata utilizzata per ripetere il fit, riportando i valori iniziali deiparametri a quelli delle tabelle 7.1 e 7.2 e definendo gli intervalli di variazionein base alle incertezze stimate.

In particolare, il valore della frazione di eventi per il processo ηγ e stato bloccatoa quello ottenuto mediante la (7.1); per i processi KSKL e ωπ0 sono stati stabilitiintervalli di variazione del 4% e del 20% rispettivamente, mentre gli altri fondi sonostati lasciati liberi.

Le tabelle 7.3 e 7.4 mostrano a confronto i valori delle frazioni attesi e quelliforniti dal procedimento appena descritto. In figura 7.1 sono mostrate le distribuzionidei fondi normalizzati secondo i risultati dei fit preliminari e della loro somma, insovrapposizione allo spettro dei dati, per le analisi I e II.

105

Processo f th f fit

KSKL (azzurro) 0.2259 0.2349η → 3π0 (verde) 0.0113 0.0113ωπ0 (blu) 0.1580 0.1896f0γ (viola) 0.0955 0.1199a0γ (nero) 0.0107 0.0473γγ (rosso) 0.0375 0.0187

Tabella 7.3: Confronto tra i valori teorici e quelli forniti dai fit preliminari perle frazioni di eventi di fondo nell’analisi I (i colori tra parentesi si riferiscono allaconvenzione utilizzata in figura 7.1).

Processo f th f fit

KSKL (azzurro) 0.3166 0.3293η → 3π0 (verde) 0.0143 0.0143ωπ0 (blu) 0.0847 0.0678f0γ (viola) 0.0746 0.025a0γ (nero) 0.0097 0.0140γγ (rosso) 0.0140 0.0350

Tabella 7.4: Confronto tra i valori teorici e quelli forniti dai fit preliminari per lefrazioni di eventi di fondo nell’analisi II (i colori tra parentesi si riferiscono allaconvenzione utilizzata in figura 7.1).

106

M4γ (MeV)

dN/M

4γ (

10 M

eV)-1

M4γ (MeV)

dN/M

4γ (

10 M

eV)-1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

50

100

150

200

250

300

350

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.1: Sovrapposte allo spettro dei dati, sono mostrate le distribuzioni deiprocessi di fondo normalizzati secondo i risultati del fit preliminare e la loro somma,per l’analisi I (in alto) e per l’analisi II (in basso). Il codice dei colori e quello indicatonelle tabelle 7.3, 7.4.

107

7.2 Fit dello spettro di massa invariante

Le frazioni ottenute con la procedura descritta nel paragrafo precedente sono stateutilizzate come valori iniziali per effettuare una nuova serie di fit. Gli intervalli divariazione lasciati ai parametri cosı inizializzati sono:

• lo 0.5% per il processo KSKL;

• il 2% per il processo ηγ;

• l’1% per il processo ωπ0;

• il 10% per i rimanenti processi.

Si noti come, nuovamente, i vincoli piu restrittivi siano stati imposti ai parametrinoti con maggiore precisione.

Il fit e stato eseguito utilizzando diversi set di distribuzioni per il segnale di σ;in ciascun set i valori dei parametri M e Γ sono fatti variare in maniera discretasu un reticolo rettangolare nel piano (M,Γ). La scansione di tale reticolo permettedi individuare i punti che minimizzano il valore del χ2 e di restringere la regioned’indagine, infittendo il reticolo per la scansione successiva.

Nelle tabelle 7.5, 7.6 sono riportati i valori dei χ2 ottenuti con una scansione dellospazio dei parametri a passi di 20 MeV per la massa e di 40 MeV per la larghezza,per le analisi I e II rispettivamente. Nelle figure 7.2, 7.3 tali valori sono mostrati, alvariare della massa, in funzione di Γ, e nelle figure 7.4, 7.5 al variare di Γ in funzionedella massa. I punti sono fittati con polinomi di terzo e quarto grado; le curve cosıottenute sono le curve generatrici della superficie sulla quale sono disposti i valoridella variabile χ2. Il valore χ2

min corrispondente al miglior fit e dato dal minimo trai minimi delle curve generatrici, e permette di individuare la coppia di parametri(Mmin,Γmin) attorno ai quali restringere la regione d’indagine; per l’analisi I si ha

(Mmin,Γmin) ≃ (560, 410)MeV, χ2min/ndof = 115/63, (7.7)

mentre per l’analisi II si ottiene

(Mmin,Γmin) ≃ (545, 425)MeV, χ2min/ndof = 72.2/63. (7.8)

In generale, i fit eseguiti con gli spettri ottenuti per mezzo dell’analisi II fornisconobuoni valori del χ2, con un ottimo valore χ2

min. I fit eseguiti con le distribuzionifornite dall’analisi I, pur fornendo valori di χ2 molto peggiori, sembrano confermarela direzione suggerita dall’altra analisi.

108

ndof = 63 Γ (MeV) 350 390 430 470 510M (MeV)

500 123.2 122.2 129.6 141.6 156.9520 122.4 117.8 121 129.4 141540 125.9 116.5 116.3 121.5 131.1560 132.4 120.2 115.9 117.9 123.9580 143.9 126.2 118 117.4 121.5

Tabella 7.5: Analisi I: valori del χ2 ottenuti fittando lo spettro dei dati utilizzandodiverse masse e larghezza per la distribuzione della σ.

ndof = 63 Γ (MeV) 350 390 430 470M (MeV)

500 80.8 78.8 86 98.5520 81.4 74.8 76.9 85540 87.3 75.3 72.2 76.5560 98.9 81.7 74.7 73.7

Tabella 7.6: Analisi II: valori del χ2 ottenuti fittando lo spettro dei dati utilizzandodiverse masse e larghezza per la distribuzione della σ.

109

Γ (MeV)

χ2

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

340 360 380 400 420 440 460 480 500 520

Figura 7.2: Valori del χ2 in funzione della larghezza Γ, al variare del parametro M ,ottenuti con l’analisi I. I punti sono stati fittati con polinomi di terzo grado.

110

Γ (MeV)

χ2

70

75

80

85

90

95

100

350 375 400 425 450 475 500 525 550

Figura 7.3: Valori del χ2 in funzione della larghezza Γ, al variare del parametro M ,ottenuti con l’analisi II. I punti sono stati fittati con polinomi di quarto grado.

111

M (MeV)

χ2

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590

Figura 7.4: Valori del χ2 in funzione della massa M, al variare del parametro Γ,ottenuti con l’analisi I. I punti sono stati fittati con polinomi di terzo grado.

112

M (MeV)

χ2

70

75

80

85

90

95

100

490 500 510 520 530 540 550 560 570

Figura 7.5: Valori del χ2 in funzione della massa M, al variare del parametro Γ,ottenuti con l’analisi II. I punti sono stati fittati con polinomi di quarto grado.

113

Una ulteriore scansione e stata effettuata per entrambe le analisi nelle regionidello spazio dei parametri centrate sui punti di minimo (7.7) e (7.8), infittendo ilpasso del reticolo. I valori dei χ2 ottenuti sono riportati nelle tabelle 7.7, 7.8. Ivalori sono plottati in funzione della larghezza, al variare del parametro M , nellefigure 7.6, 7.7.

ndof = 63 Γ (MeV) 395 405 415 425 435 445M (MeV)

540 115.86 115.50 115.50 116.01 116.9 118.08545 116.54 115.85 115.68 115.80 116.17 116.88550 117.38 116.24 115.43 115.66 115.88 116.51555 118.42 116.98 116.29 115.61 115.55 116.11560 119.49 117.72 116.68 116.20 115.75 115.84565 120.69 118.78 117.41 116.98 116.20 116.10570 121.64 119.82 118.15 117.50 116.89 116.73

Tabella 7.7: Analisi I: valori del χ2 ottenuti con la seconda scansione di fit dellospettro dei dati.

ndof = 63 Γ (MeV) 405 415 425 435 445 455M (MeV)

535 73.22 72.57 72.56 72.91 74.03 75.41540 73.05 72.37 72.28 72.60 73.35 74.07545 74.14 73.2 72.48 72.32 72.44 73.43550 75.29 73.75 73.14 72.67 72.62 73.20555 76.87 75.53 73.97 73.08 72.85 73.05

Tabella 7.8: Analisi II: valori del χ2 ottenuti con la seconda scansione di fit dellospettro dei dati.

114

Γ (MeV)

χ2

115

116

117

118

119

120

121

122

400 420 440 460 480 500

Figura 7.6: Valori del χ2 in funzione della larghezza Γ, al variare del parametro M ,ottenuti con l’analisi I. I punti sono stati fittati con polinomi di quarto e quintogrado.

115

Γ (MeV)

χ2

72

72.5

73

73.5

74

74.5

75

75.5

76

76.5

77

400 410 420 430 440 450 460

Figura 7.7: Valori del χ2 in funzione della larghezza Γ, al variare del parametro M ,ottenuti con l’analisi II. I punti sono stati fittati con polinomi di quarto e quintogrado.

116

Sono stati quindi studiati gli andamenti, in funzione del parametro M, dei minimidelle curve χ2 = χ2(Γ), per le analisi I e II; fittando tali andamenti con polinomi diquinto grado, sono stati individuati i valori minimi assoluti del χ2:

(Mmin,Γmin) = (550, 423)MeV, χ2min/ndof = 115.4/63 (7.9)

per l’analisi I, e

(Mmin,Γmin) = (543, 428)MeV, χ2min/ndof = 72.2/63 (7.10)

per l’analisi II. I piani di equazione χ2 = χ2min sono indicati nelle figure 7.6 e 7.7

con linee continue; nelle stesse figure sono tracciati anche, con linee tratteggiate, ipiani χ2 = χ2

min+1. Assumendo, in prima approssimazione, che i valori del χ2 sianodistribuiti secondo una gaussiana bidimensionale, le intersezioni della curve genera-trici con tali piani individuano i punti appartenenti all’ellisse degli errori standard diequazione

(M − µM)2

σ2M

− 2ρ(M − µM)(Γ− µΓ)

σMσΓ+

(Γ− µΓ)2

σ2Γ

= 1, (7.11)

dove µM,Γ sono i valori medi delle variabili M e Γ, σM,Γ sono le loro deviazionistandard e ρ e il coefficiente di correlazione. I contour plot a χ2 = χ2

min + 1 ottenutiper le due analisi I e II sono mostrati in figura 7.8. Gli intervalli staccati sugli assi Me Γ dalle tangenti alle ellissi degli errori standard consentono di stimare l’incertezzaentro un limite di confidenza del 68%: l’analisi I fornisce il risultato

M = 550± 18 MeV, Γ = 423± 31 MeV, (7.12)

mentre per l’analisi II si ha

M = 543+17−15 MeV, Γ = 428+32

−26 MeV. (7.13)

In figura 7.9 sono mostrati gli spettri di massa invariante ottenuti con le due analisiI e II fittati usando per il segnale di σ i valori 7.12, 7.13; i valori delle frazioni dieventi per i vari processi di fondo e per il segnale sono riportati, a confronto conquelli teorici, nelle tabelle 7.9 e 7.10.

117

M (MeV)

Γ (M

eV)

370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

500 510 520 530 540 550 560 570

Figura 7.8: Contour plot a χ2 = χ2min + 1 per i valori ottenuti con l’analisi I (in

blu) e l’analisi II (in rosso), con relativi ellissi degli errori standard. I punti a formaquadrata sono i punti di minimo χ2 per le diverse curve generatrici; gli asterischiindicano i minimi assoluti trovati con le due analisi.

118

Processo f th f fit

KSKL (azzurro) 0.2259 0.23611η → 3π0 (verde) 0.0113 0.01107ωπ0 (blu) 0.1580 0.1915f0γ (viola) 0.0955 0.12086a0γ (nero) 0.0107 0.04254γγ (rosso) 0.0375 0.016875σ (texture rossa) 0.37210

Tabella 7.9: Confronto tra i valori teorici e quelli forniti dal fit finale per le frazionidi eventi di fondo nell’analisi I (i colori tra parentesi si riferiscono alla convenzioneutilizzata in figura 7.9).

Processo f th f fit

KSKL (azzurro) 0.3166 0.33091η → 3π0 (verde) 0.0143 0.014014ωπ0 (blu) 0.0847 0.068438f0γ (viola) 0.0746 0.0225a0γ (nero) 0.0097 0.015305γγ (rosso) 0.0140 0.0385σ (texture rossa) 0.50726

Tabella 7.10: Confronto tra i valori teorici e quelli forniti dal fit finale per le frazionidi eventi di fondo nell’analisi II (i colori tra parentesi si riferiscono alla convenzioneutilizzata in figura 7.9).

119

EntriesMeanRMSALLCHAN

11005 545.8 176.3

0.1100E+05

M4γ (MeV)

dN/M

4γ (

10 M

eV)-1

EntriesMeanRMSALLCHAN

7848 463.4 122.2 7848.

M4γ (MeV)

dN/M

4γ (

10 M

eV)-1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

50

100

150

200

250

300

350

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.9: Spettro di massa invariante fittato con le distribuzioni Monte Carlo peri fondi e con la distribuzione generata secondo i valori dei parametri 7.12, 7.13 cuicorrispondono i minimi valori di χ2, per l’analisi I (in alto) e II (in basso).

120

7.3 Sezione d’urto γγ

Dal valore di fσ, fornito dal fit con un errore statistico, e possibile studiare la sezioned’urto per il processo γγ → σ. Noto il numero di eventi dati ndati, la frazione dieventi fσ, l’efficienza ǫ per il segnale e la luminosita integrata L, la sezione d’urtoper il processo e+e− → e+e−σ e data da

σe+e− =fσndati

Lǫ . (7.14)

Tale sezione d’urto, in approssimazione DEPA (§2.1), puo essere espressa come

σe+e− = Γγγ

∫

f(M,Γ, w)dw, (7.15)

dove la funzione f(M,Γ, w) e data da

f(M,Γ, w) =8π(~c)2

w2

M2Γ(w)

(w2 −M2)2 +M2Γ2(w)× L(w), (7.16)

con L(w) funzione di Low. E’quindi possibile estrarre il valore di Γγγ,

Γγγ =σ

∫

f(M,Γ, w)dw. (7.17)

Il calcolo e stato svolto nell’ambito delle due analisi I e II utilizzando diversi valoridi massa e larghezza intorno ai valori di minimo, con le frazioni fσ fornite dai fitcorrispondenti. L’integrale di f(M,Γ, w) e stato calcolato di volta in volta grafica-mente, utilizzando il comando locate -i della work station PAW, come area dellacurva (7.16) di parametri M e Γ. Le tabelle 7.11 e 7.12 riportano alcuni dei valorimisurati per Γγγ. Gli errori forniti dal fit tengono conto solamente dei conteggi neisingoli bin secondo la statistica poissoniana, e risultano pertanto sottostimati; perquesto motivo non vengono riportati.

121

M (MeV) Γ (MeV) fσ σe+e− (pb) Γγγ (keV)540 391.5 0.374 51.12 1.008540 433 0.365 49.89 0.989545 395.5 0.375 51.26 1.031545 439.5 0.366 50.03 1.011550 403.8 0.375 51.26 1.052550 444 0.367 50.17 1.034

Tabella 7.11: Analisi I: sezioni d’urto σe+e− e valori di Γγγ ottenuti con diversi valoridi massa e larghezza intorno ai valori di minimo, con le frazioni fσ fornite dai fitcorrispondenti.

M (MeV) Γ (MeV) fσ σe+e− (pb) Γγγ (keV)535 405 0.509 50.9 0.986540.7 425 0.507 50.6 1.004548.5 445 0.506 50.5 1.036

Tabella 7.12: Analisi II: sezioni d’urto σe+e− e valori di Γγγ ottenuti con diversivalori di massa e larghezza intorno ai valori di minimo, con le frazioni fσ fornite daifit corrispondenti.

7.4 Fit della massa invariante

con una funzione tipo spazio delle fasi

Gli spettri di massa invariante 6.25, ottenuti con le due analisi I e II, sono stati fittatianche con con una distribuzione generata secondo la funzione

f(w) =1

w2

√

1− 4m2π

w2× dLγγ

dw, (7.18)

che descrive il processo non risonante γγ → π0π0 tenendo conto solamente dellospazio delle fasi disponibile nello stato finale e della luminosita γγ, descritta dallafunzione di Low. I valori delle frazioni per i processi di fondo sono stati inizializzaticon la stessa procedura seguita per i fit eseguiti con il segnale di σ (§7.1). I valori diχ2 ottenuti sono riportati in tabella 7.13 per le due analisi I e II, e in entrambi i casirisultano maggiori di piu di 20 unita χ2 rispetto ai migliori valori ottenuti fittando idati con una distribuzione risonante. Cio permette di concludere che gli eventi π0π0

nella regione m4γ ≃ 270÷ 600 MeV dello spettro dei dati non sono ben descritti dauna distribuzione non risonante del tipo (7.18), anche se non e possibile escludereche un fondo non risonante coesista con il segnale di σ.

122

χ2/ndof

Analisi I 136.44/63Analisi II 92.9/63

Tabella 7.13: Valori di χ2/ndof ottenuti fittando gli spettri dei dati con i MC fondie con una funzione di tipo spazio delle fasi (7.18) al posto del segnale di σ.

7.5 Errori sistematici

Sono state individuate le seguenti sorgenti di errori sistematici nel calcolo dell’effi-cienza globale per il segnale:

• dipendenza dell’efficienza dal MC segnale utilizzato;

• dipendenza dell’efficienza dai tagli di analisi applicati.

Vengono di seguito analizzate tali dipendenze, e da esse viene stimato un erroresistematico.

7.5.1 Dipendenza dal MC segnale

Per entrambe le analisi I e II sono state calcolate le efficienze globali utilizzando ilMC segnale realizzato con i parametri (massa e larghezza) forniti dall’esperimentoBES II variando l’accettanza per elettrone e positrone nello stato finale; i valori pergli angoli di accettanza considerati sono quelli mostrati in tabella 5.2. Le efficienzeottenute sono riportate nelle tabelle 7.14, 7.15.

θmax n0 ncut ǫ = ncut/n0

20o 34372 10561 0.30718o 33234 10496 0.31615o 31209 10477 0.33613o 29682 10041 0.33811o 27893 9656 0.346

Tabella 7.14: Numero di eventi MC segnale generati e dopo tutti i tagli dell’analisi I,per 5 campioni Monte Carlo che differiscono per l’angolo di accettanza di elettronee positrone nello stato finale.

123

θmax n0 ncut ǫ = ncut/n0

20o 34372 10315 0.30018o 33234 10253 0.30815o 31209 10233 0.32813o 29682 9814 0.33111o 27893 9444 0.338

Tabella 7.15: Numero di eventi MC segnale generati e dopo tutti i tagli dell’analisi II,per 5 campioni Monte Carlo che differiscono per l’angolo di accettanza di elettronee positrone nello stato finale.

La scelta θmax = 15o assicura che in generazione non vi siano eventi di segnalecon tracce nella camera a deriva, e non ha effetti apprezzabili sulla distribuzione inpT dei 4 fotoni nello stato finale, determinata in gran parte da effetti di risoluzione(vedi figura 6.18 e relativi commenti).

124

7.5.2 Dipendenza dai tagli di analisi

L’efficienza globale e stata studiata in funzione dei tagli sulle variabili:

• R =∑

γ Eγ

Etot;

• impulso trasverso dei 4 fotoni, pT =√

P 2x + P 2

y ;

• somma delle energie dei due fotoni meno energetici, Eγ3 + Eγ4.

L’efficienza globale e stata calcolata facendo variare un taglio alla volta, lasciandoi valori degli altri tagli uguali a quelli scelti per le analisi I e II. I valori sui quali itagli sono stati variati sono quelli gia considerati per studiare le efficienze di singolotaglio, nei §§6.2.4, 6.2.5, 6.2.6. Le efficienze ottenute ǫ e il numero di eventi dati ndati

sono riportati nelle tabelle 7.16 (per l’analisi I) e 7.17 (per l’analisi II). Nelle figure7.10, 7.11 sono mostrati gli spettri dei dati ottenuti variando i tagli, nell’ambitodell’analisi I e II rispettivamente.

taglio ǫ ndati

R > 0.7 0.339 12044R > 0.75 0.336 11005R > 0.8 0.328 10191

pT < 80 MeV 0.336 11005pT < 100 MeV 0.359 13504pT < 120 MeV 0.371 15392

Eγ3 + Eγ4 > 50 MeV 0.339 13757Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 0.336 11005Eγ3 + Eγ4 > 70 MeV 0.329 9629

Tabella 7.16: Efficienze ǫ e numero di eventi dati ndati ottenuti variando i taglidell’analisi I.

125

M4γ (MeV)

dn/d

M4γ

(1/

(10

MeV

))

0

200

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

200

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

200

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.10: Spettri dei dati ottenuti con diversi valori dei tagli, nell’ambitodell’analisi I.

126

M4γ (MeV)

dn/d

M4γ

(1/

(10

MeV

))

0

200

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

100

200

300

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

100

200

300

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.11: Spettri dei dati ottenuti con diversi valori dei tagli, nell’ambitodell’analisi II.

127

taglio ǫ ndati

R > 0.7 0.332 8883R > 0.75 0.328 7848R > 0.8 0.320 7042

pT < 80 MeV 0.328 7848pT < 100 MeV 0.351 9757pT < 120 MeV 0.362 11246

Eγ3 + Eγ4 > 50 MeV 0.331 9656Eγ3 + Eγ4 > 60 MeV 0.328 7848Eγ3 + Eγ4 > 70 MeV 0.321 7005

Tabella 7.17: Efficienze ǫ e numero di eventi dati ndati ottenuti variando i taglidell’analisi II.

Dalle figure 7.10, 7.11 risulta evidente che la distribuzione dei dati e molto sensi-bile alla variazione del taglio sulla variabile pT , in particolare nella regione del segnaledi σ. Per studiare il problema, si e scelto di lavorare nell’ambito dell’Analisi I ed estato considerato il rapporto

R(pT < x) =ndati −

∑

i nbkg,i

ǫ(7.19)

al variare del valore del taglio in pT . Nella (7.19) nbkg,i e il numero di eventi del fondoi-esimo, calcolato secondo la relazione

nbkg,i = ǫiσiL, (7.20)

dove ǫ, σi sono l’efficienza (ricalcolata per il taglio x) e la sezione d’urto per ilprocesso, e L = 239pb−1 e la luminosita integrata. In tabella 7.18 sono riportati ivalori del rapporto (7.19) per i tre tagli in pT considerati. Si osserva che il valore delrapporto e instabile, nel senso che l’incremento dell’efficienza del segnale e piccolo(∼ 7% passando da pT < 80 MeV a pT < 100 MeV, ∼ 3% passando da pT < 100MeV a pT < 120 MeV) rispetto all’incremento degli eventi non riconosciuti comefondo (∼ 22% e ∼ 19% per le stesse variazioni del taglio); cio evidenzia la presenzadi un eccesso di eventi a pT > x non previsto dalle simulazioni MC.

In tabella 7.19 sono riportati i valori del rapporto∑

i nbkg,i/ndati. In questo caso ivalori sono stabili, ad indicare che per i processi di fondo l’accordo dati-MC e buono.Le tabelle 7.20 e 7.21 sono analoghe alle 7.18,7.19, restringendo lo studio alla regionedel segnale.

In figura 7.12 sono mostrati gli spettri dei dati ottenuti con il taglio piu duro(pT < 80 MeV) e con quello piu rilassato (pT < 120 MeV), con sovrapposte le

128

taglio ǫ ndati

∑

i nbkg,i R = (ndati −∑

i nbkg,i)/ǫpT < 80 MeV 0.336 11005 6654 12949pT < 100 MeV 0.359 13504 7800 15888pT < 120 MeV 0.371 15392 8364 18904

Tabella 7.18: Efficienze per il segnale, numero di eventi dati, numero stimato dieventi di fondo e rapporto tra numero stimato di eventi segnale ed efficienza, perdiversi valori del taglio in pt.

taglio ndati

∑

i nbkg,i

∑

i nbkg,i/ndati

pT < 80 MeV 11005 6654 0.604pT < 100 MeV 13504 7800 0.578pT < 120 MeV 15392 8364 0.543

Tabella 7.19: Numero stimato di eventi di fondo, numero di eventi dati e lororapporto, per diversi valori del taglio in pt.

taglio ǫ ndati

∑

i nbkg,i R = (ndati −∑

i nbkg,i)/ǫpT < 80 MeV 0.296 2529 222 7794pT < 100 MeV 0.317 3565 339 10176.6pT < 120 MeV 0.328 4491 451 12317

Tabella 7.20: Studio nella regione m4γ ≃ 200 ÷ 400 MeV: efficienze per il segnale,numero di eventi dati, numero stimato di eventi di fondo e rapporto tra numerostimato di eventi segnale ed efficienza, per diversi valori del taglio in pt.

taglio ndati

∑

i nbkg,i

∑

i nbkg,i/ndati

pT < 80 MeV 2529 222 0.088pT < 100 MeV 3565 339 0.095pT < 120 MeV 4491 451 0.100

Tabella 7.21: Studio nella regione m4γ ≃ 200÷ 400 MeV: numero stimato di eventidi fondo, numero di eventi dati e loro rapporto, per diversi valori del taglio in pt.

129

somme dei processi di fondo stimati; l’immagine conferma che, rilassando il taglioin pT , l’aumento del fondo non riesce da solo a spiegare l’incremento di eventi nellaregione del segnale se l’efficienza di questo rimane stabile come indica la simulazioneMC utilizzata. Si presentano quindi i seguenti possibili scenari:

• sono presenti processi di fondo ad alto pT non considerati nell’analisi;

• la simulazione Monte Carlo per il segnale non e corretta;

• entrambi i problemi: sono presenti processi di fondo ad alto pT non consideratinell’analisi e la simulazione Monte Carlo non e corretta.

Allo stato attuale dell’analisi non e stato ritenuto possibile stimare l’errore sistema-tico dovuto all’applicazione del taglio nella variabile pT .

m4γ (MeV)

dn/d

m4γ

(10

MeV

)-1

0

100

200

300

400

500

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

m4γ (MeV)

dn/d

m4γ

(10

MeV

)-1

0

100

200

300

400

500

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.12: Spettri dei dati ottenuti con il taglio piu duro (pT < 80 MeV, a sinistra)e con quello piu rilassato (pT < 120 MeV, a destra), con sovrapposte le somme deiprocessi di fondo stimati.

130

Si e cercato di capire se l’eccesso di eventi osservato nella regione del segnalerilassando il taglio in pT e riconducibile a processi di fondo non considerati cheproducono impulsi trasversi elevati. A tal fine e stata osservata la distribuzione deidati nell’impulso longitudinale: in figura 7.13 e mostrato lo scatter plot dei datidopo tutti i tagli eccetto quello sulla variabile pT , nelle variabili pL verso m4γ ; siosserva un’asimmetria nella distribuzione in pL nella regione di massa invariante delsegnale (m4γ ≃ 200 ÷ 400 MeV), con un eccesso di eventi nel semipiano dei pLnegativi. Tale asimmetria indica la presenza di un fondo che non e stato consideratonell’analisi; le osservazioni fatte fin qui suggeriscono che si tratti di interazioni dielettroni e positroni con il gas nel tubo a vuoto, con un eccesso di eventi con pLnegativo dovuto alla maggiore intensita della corrente degli elettroni (vedi tabella4.1).

1

2

3

4

5

6

78910

20

30

40

m4γ (MeV)

p L (

MeV

)

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.13: Scatter plot dei dati dopo tutti i tagli di analisi escluso il taglio in pT ,nelle variabili m4γ (in ascissa) e impulso longitudinale pL (in ordinata). Si osservaun eccesso di eventi nella regione del segnale per impulsi longitudinali negativi.

131

In figura 7.14 sono mostrate le distribuzioni in pT vs m4γ degli eventi dopo tuttii tagli di analisi (eccetto il taglio in pT ), con l’ulteriore richiesta pL < 0 (in alto) epL > 0 (in basso): si nota che nello scatter plot degli eventi con impulso longitudinalenegativo si ha un eccesso di eventi per pT > 80 MeV nella regione di massa invariantedel segnale, che invece non e presente nella distribuzione degli eventi con impulsolongitudinale positivo.

1

10

m4γ (MeV)

p T (

MeV

)

1

10

m4γ (MeV)

p T (

MeV

)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 7.14: Scatter plot dei dati (dopo tutti i tagli di analisi eccetto quello in pT )nelle variabili m4γ e impulso trasverso per gli eventi con pL < 0 (in alto) e pL > 0(in basso). Si osservi che nello scatter plot in basso gli eventi con pT > 80 MeVnella regione di massa invariante del segnale diminuiscono sensibilmente rispetto alladistribuzione mostrata in alto.

132

Conclusioni

Nel corso di questo lavoro di tesi e stato studiato il processo e+e− → e+e−π0π0 a√s = 1 GeV, prendendo in considerazione tutti i processi noti che contribuiscono

allo spettro di massa invariante dei 4 fotoni nello stato finale. Lo spettro risulta den-samente popolato, nella regione di basse masse invarianti, da eventi non riconducibilia processi conosciuti; tali eventi sono stati interpretati come possibile segnale di unarisonanza larga di massa compresa tra i 400 e i 600 MeV. Il segnale e stato simulatocon un’apposita produzione Monte Carlo.

I dati a disposizione sono stati analizzati applicando una serie di selezioni pensateper evidenziare il segnale rigettando i fondi. Dopo aver vagliato diversi set di taglie stato scelto di portare avanti parallelamente due strategie di analisi distinte: unamantiene i fondi che nello spettro di m4γ compaiono lontani dal segnale (ωπ0 e f0),l’altra li rigetta indurendo il taglio che limita le energie dei due fotoni piu energetici.In entrambe le analisi sono stati calcolati da Monte Carlo i valori delle efficienze persegnale e fondi; per il segnale l’efficienza e stata parametrizzata in funzione dellavariabile m4γ fittando gli andamenti ottenuti.

Con lo spirito di un’indagine esplorativa gli spettri dei dati ottenuti nelle dueanalisi sono stati fittati utilizzando le produzioni Monte Carlo per i fondi e un setdi distribuzioni generate secondo una funzione Breit-Wigner relativistica, convolutaper una funzione di luminosita γγ assunta uguale alla funzione di Low. Le distribu-zioni generate differiscono per i valori di massa e larghezza inseriti nella funzione diBreit-Wigner; fittando i dati con queste distribuzioni e stata eseguita una scansionedello spazio dei parametri (M ,Γ), individuando in tale spazio il punto che minimizzail χ2, assunto come punto piu probabile. La seconda analisi, quella che rigetta mag-giormente gli eventi ωπ0 e f0, fornisce buoni valori di χ

2; l’altra invece fornisce valorinon buoni, dovuti alla difficolta di ricostruire la forma dello spettro dei dati ad altivalori di massa invariante. Per ciascuna delle due analisi e stata individuata l’ellissedegli errori standard intorno al valore piu probabile, mostrando che i due risultatisono compatibili. Dai valori delle frazioni di eventi di segnale, forniti dal fit, e statastimata la sezione d’urto σe+e− e l’accoppiamento Γγγ. Infine, un’ulteriore procedura

133

di fit, effettuata utilizzando come segnale una distribuzione generata secondo unafunzione di spazio delle fasi, ha fornito con entrambi gli spettri un cattivo χ2, per-mettendo di escludere l’interpretazione non risonante, almeno nell’ambito di questaanalisi.

Gli errori sistematici individuati sono dovuti principalmente al calcolo dell’effi-cienza per il segnale, come si evince dal confronto tra il comportamento delle distri-buzioni Monte Carlo al variare dei tagli e quello dei dati. Da tale confronto e emersoche il taglio sulla variabile pT ha effetti apprezzabilmente diversi su Monte Carlo edati, il che e indice di presenza di processi di fondo non considerati, o di non buonasimulazione del segnale, o di entrambi i problemi. Inoltre, l’analisi condotta nel corsodi questa tesi e stata basata sulla (ragionevole) assunzione che il segnale sia uno sta-to risonante ben descritto da una funzione Breit-Wigner relativistica convoluta perla funzione di Low: l’analisi ha seguito coerentemente questa assunzione, ma taleprocedura rende i risultati ottenuti dipendenti dal modello.

Le considerazioni appena svolte tracciano la via per gli sviluppi futuri di questaanalisi. Sono necessari l’approfondimento dello studio dell’efficienza, anche usandomodelli alternativi per simulare il segnale; l’individuazione di eventuali processi difondo non considerati; la determinazione, con maggiore precisione, delle sezioni d’urtodi alcuni processi di fondo; l’implementazione di un codice che possa fittare lo spettrodei dati facendo variare con continuita i parametri M e Γ, esplorando con maggioreprecisione la regione gia individuata.

134

Appendice A

Sezione d’urto e+e− → KSKLa√s = 1 GeV

Il valore della sezione d’urto del processo e+e− → KSKL a√s = 1 GeV e fornito

da [21]: i dati sperimentali prodotti in diversi esperimenti svolti presso acceleratorie+e− ad alta luminosita con il metodo del ritorno radiativo sono fittati grazie allasimulazione Monte Carlo PHOKHARA [22], che implementa le correzioni di QEDal next-to-leading order (NLO). In figura A.1 sono mostrati i punti sperimentalirelativi al fattore di forma del K neutro raccolti in tre esperimenti, fittati utilizzandoPHOKHARA in due versioni diversi.

I due modelli forniscono i seguenti valori per il fattore di forma a√s = 1 GeV:

|FK0 |2 = 84.7, (A.1)

|FK0 |2 = 91.9. (A.2)

A questi valori di |FK0(s)|2 corrispondono le sezioni d’urto

σKSKL= 1.71 nb, (A.3)

σKSKL= 1.85 nb. (A.4)

E’ stato scelto il valore medio di A.3, A.4:

σKSKL(s = 1GeV2) = 1.78 nb. (A.5)

Per ottenere il valore di sezione d’urto σKSKLvisibile a DAΦNE e necessario tener

conto degli effetti di irraggiamento nello stato iniziale; indicando con σvis la sezioned’urto visibile si ha [23]

σvis(s) =

∫ ǫ

0

dxσ[(1− x)s]He(x, s), (A.6)

135

dove ǫ = 1−smin/s, con smin soglia di produzione dello stato finale, e He(x, s) e la“funzione di radiatore” per l’elettrone (positrone) nello stato iniziale, che tiene contodegli effetti di radiazione “molle” a tutti gli ordini, e di quelli di radiazione “dura”fino all’ordine α2. In figura A.2 e mostrato l’andamento di (σ(s)− σvis(s))/σ(s) perǫ = 0.01 (corrispondente alla soglia di produzione KSKL): si osserva che a 1 GeV siottiene

σ − σvis

σ= 0.28, (A.7)

e quindiσvisKSKL

= 0.72σKSKL= 1.28 nb. (A.8)

Il valore A.8 e quello utilizzato per normalizzare la distribuzione MC KSKL concui e stato effettuato il fit della massa invariante (Capitolo 7, §7.2).

constr.unconstr.

SND 2001CMD-2 2004

SND 2006

e+

e− → K

0K0

√s (GeV)

|FK0(s)|2

1.051.041.031.021.011

10000

1000

100

10

Figura A.1: Punti sperimentali relativi al fattore di forma del K neutro raccolti negliesperimenti SND 2001, CMD-2 e SND 2006 fittati utilizzando la simulazione MonteCarlo PHOKHARA in due versioni diverse.

136

Figura A.2: Andamento di (σ(s)− σvis(s))/σ(s) per ǫ = 0.01.

137

Appendice B

Correzione della scala di energiadelle simulazioni Monte Carlo

B.1 e+e− → KSKL

Il processo e stato studiato applicando un’analisi dedicata, consistente nelle seguentiselezioni:

1. 4 e solo 4 fotoni pronti in accettanza (θ > 23o);

2. χ2ππ < 4, dove la variabile χ2

ππ e definita come in (6.2) per l’analisi di σ;

3. niente tracce nella camera a deriva;

4. 1 solo cluster neutro non pronto, con 0.06 < β < 0.13 (β = v/c).

In figura B.1 a sinistra sono mostrate le distribuzioni nella massa invariante dei 4fotoni nello stato finale per i dati e per il MC KSKL. Sovrapponendo i due spettri(figura a sinistra in basso) si osserva che essi non coincidono, con la distribuzioneMonte Carlo che risulta leggermente spostata verso valori della massa invariante piubassi rispetto ai dati. Per correggere questa discrepanza l’energia dei cluster nel MCe stata aumentata dello 0.7%:

E ′clu = 1.007× Eclu. (B.1)

Lo spettro Monte Carlo ottenuto con la correzione (B.1) e mostrato insieme alla suasovrapposizione con i dati in figura B.1 a destra.

138

data - M4γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

489.3 39.69 5459.

dN/d

M4γ

(3

MeV

)-1

MC KS KL - M4γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

487.9 38.75

0.6463E+06

dN/d

M4γ

(3

MeV

)-1

M4γ (MeV)

dn/d

M4γ

0

50

100

150

200

350 400 450 500 550 600 650

0

5000

10000

15000

20000

350 400 450 500 550 600 650

0

0.01

0.02

0.03

0.04

350 400 450 500 550 600 650

data - M4γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

489.3 39.69 5459.

dN/d

M4γ

(3

MeV

)-1

MC KS KL - M4γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

491.0 38.98

0.6497E+06

dN/d

M4γ

(3

MeV

)-1

M4γ (MeV)

dn/d

M4γ

0

50

100

150

200

350 400 450 500 550 600 650

0

5000

10000

15000

20000

350 400 450 500 550 600 650

0

0.01

0.02

0.03

0.04

350 400 450 500 550 600 650

Figura B.1: A sinistra: spettro in massa invariante m4γ per i dati selezionati dai tagli1-4 (in alto) e MC KSKL (al centro); in basso, le due distribuzioni sono sovrapposte(nero=dati, rosso=MC). A destra: le stesse distribuzioni, ma con il MC correttosecondo la (B.1).

139

B.2 e+e− → ηγ → 3π0γ

L’analisi prevede in questo caso le seguenti selezioni:

• 5 cluster neutri pronti, in accettanza (θ > 230);

• χ2ππ < 4;

• niente tracce nella camera a deriva;

• pT > 200 MeV, con pT impulso trasverso dei 4 fotoni in cui decadono 2 dei 3pioni neutri.

E’ stata considerata la variabile m2γ, massa invariante dei due fotoni in cui de-cadono i pioni neutri; sono quindi stati messi a confronto gli spettri dei dati e deglieventi MC in tale variabile, e anche in questo caso e stata apportata la correzione(B.1) all’energia dei cluster nel MC. In figura B.2 e mostrato lo spettro MC cosıcorretto, a confronto con i dati.

data - M2γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

135.7 11.99

0.2729E+05

dN/d

M2γ

(1

MeV

)-1

MC η→3π0 - M2γ (MeV)

MeanRMSALLCHAN

135.6 10.76

0.2790E+06

dN/d

M2γ

(1

MeV

)-1

M2γ (MeV)

dn/d

M2γ

0

500

1000

1500

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0

5000

10000

15000

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0

0.02

0.04

0.06

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Figura B.2: Spettro in massa invariante m2γ per i dati selezionati dai tagli 1-4 (inalto) e MC ηγ → 3π0γ con correzione della scala di energia (al centro); in basso, ledue distribuzioni sono sovrapposte (nero=dati, rosso=MC).

140

Appendice C

Selezione di eventi KSKL conKS → π0π0

Il segnale KSKL con KS → π0π0 e stato evidenziato utilizzando lo stesso campionedi dati impiegato per l’analisi di σ effettuando un fit cinematico che richiede:

• che la massa invariante dei 4 fotoni sia uguale alla massa del KS:

M4γ =

√

√

√

√

(

4∑

γ

Eγ

)2

− |4∑

γ

−→p γ|2 =MKS= 497.614MeV; (C.1)

• che la massa mancante sia uguale alla massa del KL:

Mmiss =

√

√

√

√

(

ECM −4∑

γ

Eγ

)2

− |−→P CM −4∑

γ

−→p γ|2 =MKL; (C.2)

• che, per ciascuno dei quattro fotoni pronti, sia soddisfatta la relazione spazio-tempo Ri = cti, i = 1, . . . , 4.

Il fit restituisce, evento per evento, un valore di χ2.In figura C.1 sono mostrati gli scatter plot per dati e Monte Carlo KSKL con gli

eventi distribuiti nelle varibili m4γ (ascissa) e χ2 (ordinata).Gli eventi KSKL, KS → π0π0 sono stati selezionati richiedendo χ2 < 20.

141

1

10

10 2

m4γ

χ2

1

10

10 2

10 3

10 4

m4γ

χ2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura C.1: Distribuzioni nelle variabili χ2 vs m4γ per i dati (in alto) e per gli eventiMonte Carlo KSKL (in basso).

142

Ringraziamenti

Desidero ringraziare vivamente il Prof. Filippo Ceradini, che ha costantemente segui-to il mio lavoro mostrando grande disponibilita e trasmettendomi, con il suo interesse,una crescente motivazione. Ringrazio il Dr. Federico Nguyen per il suo contributoe per le competenze che mi ha trasmesso, per le chiacchierate musicali e per la suacapacita di sdrammatizzare anche nelle situazioni apparentemente piu pesanti.

Un pensiero di gratitudine va poi a tutti coloro con cui ho piacevolmente convis-suto in questi mesi di lavoro in aula D, e che in piu occasioni mi hanno dato unamano: mi riferisco alla simpatica Irina, ad Antonio (grazie per le infinite volte chehai riacceso il computer a Frascati1), a Fulvio con le sue consulenze informatiche; epoi, uscendo dall’aula D, Enrico e Antonio che piu volte hanno partecipato al miolavoro.

Grazie a Claudio, pronto ad accorrere ad ogni richiesta, e ad Andrea che a volteriesce nel difficile compito di snellire la burocrazia.

Sarebbe troppo lungo elencare i “Frascatani” che ho conosciuto e che, magarisenza saperlo, mi hanno aiutato e sostenuto; a loro tutti un grazie collettivo.

Passando alla sfera privata, voglio ringraziare di cuore mia madre e mia zia, chemi hanno supportato e sopportato in questi anni; a loro va tutto il mio affetto. Uncaro pensiero va poi a mio zio, che anche se non c’e piu ormai da tempo, e come semi fosse sempre rimasto vicino.

Grazie agli amici dell’Universita: Edoardo per la goliardia, Alessandro per leescursioni in montagna, Irene per la condivisa passione politica, Daniele per le pau-se a base di chinotto, e poi ancora Damiano (Giorgio), Cecilia, Micol, Valentina,Paolo, Stefano, Danilo, Lalla e tutti coloro con cui e bello e piacevole chiacchierare,sorseggiare un caffe o fumare una sigaretta.

1Per lo piu tutte in un’unica giornata!

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Bibliografia

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Misure 23-28 di “Obsession” per complesso d’archi e clavicembalo, composizioneoriginale di Michele Biki Panitti. Il compositore ha tratto ispirazione per questobrano dalla figura 7.9.

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