Download - Problemas propuestos de electromagnetismo

Transcript
Page 1: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 1

1.1. Donat el camp escalar ψ(x, y, z) = xy sin(yz) + z2e2x, trobeu les seves derivades parcials respecte dex, y i z. Calculeu el seu gradient.

1.2. Si ~r es el vector de posicio d’un punt respecte de l’origen de coordenades i ~A un vector constant,demostreu que ~∇( ~A · ~r) = ~A.

1.3. El vector ~R = ~r − ~r1 es dirigeix del punt P1(x1, y1, z1) al P (x, y, z). Si el punt P1 es fix i P variabledemostreu que el gradient de 1/R val

~∇ 1|~r − ~r1|

= − ~r − ~r1|~r − ~r1|3

= −~R

R3.

Si el punt P es fix i P1 variable demostreu que el gradient de 1/R val

~∇11

|~r − ~r1|=

~r − ~r1|~r − ~r1|3

=~R

R3.

1.4. Demostreu que ~∇f es un vector perpendicular a la superfıcie f(x, y, z) = K, a on K es una constant.

Trobeu el vector perpendicular a la superfıcie x2 + y2 + z2 = 9 (esfera) en el punt (2,−1, 2), i a lasuperfıcie z = x2 + y2 − 3 (paraboloide de revolucio) en el mateix punt. Calculeu l’angle que formenles dues superfıcies anteriors en el punt (2,−1, 2).

1.5. Avalueu∫2y ~ex · ~n dS

sobre la superfıcie d’un cub de costat a centrat en la posicio (a/2, a/2, a/2).

1.6. Demostreu que ~∇ · ~r = 3 i calculeu quant val el flux de ~r a traves d’una superfıcie esferica de radi R.

1.7. Amb la definicio de divergencia

~∇ · ~A ≡ lim∆V →0

1∆V

∮S~A · ~ndS

i fent la integral en un paral·lelepıpede diferencial fixat pels plans: x = x0± dx, y = y0± dy, z = z0± dz,demostreu l’expressio de la divergencia d’un camp en el punt (x0, y0, z0), en coordenades rectangulars.

1.8. La forca sobre una partıcula que segueix una trajectoria el·lıptica 4x2 + y2 = 16, es

~f = xy ~ex + x2 ~ey + y2 ~ez.

Calculeu l’energia adquirida per la partıcula al recorrer la trajectoria entre les punts (2, 0, 0) i (0, 4, 0),amb x ≥ 0.

1.9. Demostreu que ~∇ · (~∇∧ ~a) = 0 i que ~∇∧ ~∇f = 0.

1.10. Demostreu que el camp

~F (x, y, z) = (2xy + z3)~ex + x2~ey + 3xz2~ez

es conservatiu. Quin es el potencial associat?

1.11. Sigui una circumferencia de radi R centrada en l’origen i en el pla z = 0. Calculeu la integral de lıniadel gradient de la funcio (expressada en coordenades cilındriques)

f = ρ sinϕ+ 2ρ cosϕ

en la lınia recta que va del punt (0,−R, 0) a (0, R, 0). Repetiu el calcul si el camı es la semicircum-ferencia amb x > 0 que uneix el mateixos punts.

1

Page 2: Problemas propuestos de electromagnetismo

1.12. Siguin els camps vectorials

~A1(x, y, z) = a~ex + b~ey + c~ez

~A2(ρ, ϕ, z) = a~eρ + b~eϕ + c~ez

~A3(r, θ, ϕ) = a~er + b~eθ + c~eϕ

on a, b i c son constants. Son aquests camps vectorials constants en l’espai? Trobeu la divergencia i elrotacional de tots ells.

1.13. Demostreu que el diferencial de longitud en coordenades cilındriques es pot escriure

d~l = dρ~eρ + ρdϕ~eϕ + dz ~ez.

Amb l’ajuda d’aquesta expressio i tenint en compte que df = ~∇f · d~l, trobeu el gradient en coordenadescilındriques.

1.14. Considereu el camp vectorial ~A = −yz~ex + xz~ey + z2~ez per comprovar el teorema de la divergenciautilitzant el cilindre definit per les superfıcies

x2 + y2 = 4, z = 3, z = 0.

Feu-ho en coordenades cartesianes i cilındriques. Si la base inferior estigues situada a z = −3, quinseria el flux d’ ~A a traves de la superfıcie del cilindre? Per que?

1.15. Un fluid gira al voltant de l’eix z. Si la velocitat angular ω es constant, trobeu el valor del rotacionalde ~v. Quin sera el valor de ~∇∧ ~v si ω = K/ρ2 (K es una constant)?

*1.16. Amb la definicio de divergencia

~∇ · ~A ≡ lim∆V →0

1∆V

∮S~A · ~ndS

i fent la integral en una superfıcie diferencial fixada per les superfıcies: ρ = ρ0 ± dρ, ϕ = ϕ0 ± dϕ,z = z0 ± dz, demostreu l’expressio de la divergencia d’un camp en el punt (ρ0, ϕ0, z0), en coordenadescilındriques.

*1.17. Idem que el problema anterior pero en coordenades esferiques.

*1.18. Amb la definicio de rotacional

(~∇∧ ~A) · ~eϕ ≡ lim∆S→0

1∆S

∮C

~A · d~l

i fent la integral en el circuit tancat fixat per les 4 lınies: (r, θ0 ± dθ, ϕ0) i (r0 ± dr, θ, ϕ0), demostreul’expressio de la component ~eϕ d’un camp en el punt (r0, θ0, ϕ0), en coordenades esferiques.

1.19. Trobeu el gradient de f(r, θ, ϕ) = Ar cos θ sin2 ϕ, i comproveu si compleix l’equacio de Laplace(∇2f = 0).

**1.20. Sigui la superfıcie donada pel tros de pla 2x+3y+6z = 12 situat en el primer octant (x, y i z positius).

(a) Trobeu els punts de tall del pla amb els eixos x, y i z.(b) Trobeu l’equacio de la recta que dona la interseccio amb el pla z = 0.(c) Calculeu el vector unitari (~n) perpendicular al pla.(d) Demostreu que un diferencial de superfıcie ( dS) del pla es pot escriure

dS =dxdy~n · ~ez

(e) Avalueu la integral del vector ~A(x, y, z) = 6z~ex − 4~ey + y~ez sobre aquesta superfıcie∫~A · ~ndS

2

Page 3: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 2

2.1. Calculeu la carrega total de cadascuna de les seguents distribucions de carrega

(a) Densitat de carrega lineal λ uniformement distribuıda en un anell de radi a.(b) Densitat de carrega superficial σ uniformement distribuıda en un disc circular de radi a.(c) Densitat de carrega volumica ρ uniformement distribuıda en una esfera de radi a.(d) Densitat de carrega lineal λ(z) distribuıda sobre l’eix z des de −∞ a ∞

λ(z) =λ0

1 + z2/K2.

(e) Densitat volumica de carrega ρ(r) corresponent al nuvol electronic de l’atom d’hidrogen

ρ(r) =q

πa30

e−2r/a0 ,

a on a0 es el radi de Bohr i q la carrega de l’electro.

2.2. Calculeu el camp electric que sera suficient per equilibrar el pes (forca gravitatoria) d’un electro. Siaquest camp electric fos produıt per un segon electro situat sota el primer, quina hauria de ser ladistancia entre els dos?Dades: me = 9, 1× 10−31kg; qe = 1, 6× 10−19C.

*2.3. Una carrega Q esta situada en (−a, 0, 0) i una altra −2Q en (a, 0, 0) .

(a) Calculeu el camp en qualsevol punt del pla xy.(b) Existeix algun punt en que el camp electric s’anul·li?(c) Que passa quan r →∞?(d) Calculeu el potencial en qualsevol punt del pla xy.

(e) Dibuixeu les lınies d’ ~E i les superfıcies equipotencials.

2.4. Una carrega Q esta distribuıda uniformement en una superfıcie semiesferica de radi a. Trobeu el campelectric en el centre de la semiesfera.

2.5. Calculeu el camp electric i el potencial que crea sobre l’eix z un anell de radi a situat en el pla (x, y) icentrat en l’origen, si la seva densitat de carrega λ es constant. Que passa quan z a?

2.6. Un disc de plastic de radi R te una carrega repartida uniformement en la seva superfıcie amb densitatsuperficial de carrega σ. Calculeu el camp electric en un punt de l’eix del disc que dista x del seucentre.

2.7. Calculeu el camp electric que crea un pla infinit amb densitat superficial σ (constant) per integraciodirecta.

*2.8. Una lınia de longitud l esta uniformement carregada amb λ C/m. Considereu una perpendiculara la lınia i un punt P sobre la perpendicular, a una distancia d de la lınia. L’angle que forma laperpendicular amb la recta que uneix P amb un extrem de la lınia es θ1, amb l’altre extrem es θ2.

(a) Trobeu ~E a P en funcio de d i dels angles θ1 i θ2.(b) Obteniu el resultat anterior per a l→∞.(c) Si d=0, es a dir, P esta sobre la mateixa lınia carregada, a una distancia Xp de l’extrem superior

d’aquesta, quin sera ~E?(d) Suposeu ara que P esta en la prolongacio de la lınia, a una distancia d de l’extrem mes proper.

Trobeu ~E.

2.9. Calculeu el camp electric que crea un pla infinit amb densitat superficial σ (constant) utilitzant elteorema de Gauss.

2.10. Calculeu el camp electric a tot l’espai creat per dues plaques infinites paral·leles

(a) Si totes dues tenen la mateixa densitat de carrega σ constant.(b) Si les densitats de carrega de cada placa son σ i −σ respectivament.

2.11. Una lınia de carrega de longitud l i amb densitat λ = constant, esta sobre l’eix z amb els extrems enz = z0 i z = z0 + l. Calculeu la forca total exercida sobre tota la lınia per una distribucio de carregaesferica i uniforme centrada a l’origen i radi a < z0.

3

Page 4: Problemas propuestos de electromagnetismo

2.12. Calculeu ~E i φ creat per les seguents distribucions de carrega en tots els punts de l’espai:

(a) Esfera buida de radi a i densitat de carrega σ constant.(b) Esfera de radi a i densitat volumica ρ = Kr2.

2.13. Un cub es un cos amb un alt grau de simetria. Es pot fer servir el teorema de Gauss per trobarfacilment el camp electric creat per una distribucio de carrega cubica uniforme? Escriviu la integralper a la cara perpendicular a ~ex per mostrar-ho explıcitament.

2.14. Considereu dos conductors cilındrics, coaxials i infinitament llargs, un de radi a i l’altre de radi b (b > a).El cilindre intern pot ser massıs o buit, tant se val. Suposeu que el cilindre intern esta carregat ambuna densitat superficial de carrega −σ i l’extern amb σ. Trobeu ~E a tot l’espai, mitjancant el teoremade Gauss en coordenades cilındriques.

2.15. Una esfera de radi R2, amb densitat de carrega ρ constant, te una esfera buida de radi R1 al seuinterior. La distancia entre els centres es d. Calculeu el camp ~E dins l’esfera buida.

2.16. Calculeu el camp electric i la diferencia de potencial respecte del seu centre, [∆φ = φ(r)− φ(0)] d’uncilindre infinitament llarg de radi a i densitat de carrega ρ constant.

*2.17. Dos fils infinits rectilinis i uniformes separats una distancia d = 2a estan carregats amb una densitatde carrega constant, λ i −λ respectivament. Demostreu que el potencial en tots els punts de l’espai es

φ =λ

2πε0lnr2r1,

a on r2 es la distancia del punt a la lınia amb −λ i r1 la corresponent a λ. Quines son les superfıciesequipotencials?

*2.18. Un pla infinit paral·lel al pla yz esta carregat uniformement amb una densitat de carrega σ. Recobrintla part dreta del pla hi ha una capa de gruix d carregada uniformement amb una densitat volumica ρtambe uniforme. Trobeu el camp electric i el potencial a tot l’espai, prenent com a origen de potencialel centre de la capa de gruix d.

2.19. Una bombolla de sabo de 10 cm de radi i un gruix de paret de 3.3 × 10−6 cm es carrega mitjancantun potencial de 100 V. Demostreu que si es desfa i cau com una gota esferica, el potencial de la gotaes de 10000 V.(Nota: Considereu l’aigua amb sabo com una substancia conductora).

2.20. Dues gotes identiques de mercuri es carreguen amb el mateix potencial φ1. Trobeu el nou potencial siles dues gotes s’uneixen formant-ne una sola.

2.21. Un esfera conductora buida de radi R = 1 metre conte una carrega en el centre de 10−6 coulombs. Esconnecta l’esfera a terra, quin es el potencial dins i fora de l’esfera?Si l’esfera es posa a un potencial de 20000 V, quina sera la carrega en la seva superfıcie? Trobeul’energia electrica del sistema.

2.22. Connectem en paral·lel dos condensadors plans C1 i C2 que tenen la mateixa superfıcie S i, inicialment,la mateixa separacio entre plaques d. Carreguem tots dos a una diferencia de potencial V mitjancantuna bateria i despres desconnectem aquesta. Si mecanicament separem les plaques de C1 fins unadistancia 2d, com varia la diferencia de potencial entre les plaques?

2.23. Calculeu el potencial, el camp electric, ~E, i la capacitat per unitat de longitud d’un condensador formatper dos cilindres concentrics de longitud infinita i de radis a i b (a > b).

2.24. Calculeu el potencial, el camp electric, ~E, i la capacitat d’un condensador format per dues esferesconcentriques de radis a i b (a > b).

*2.25. Una esfera conductora de radi a esta connectada a terra. A una distancia d (d > a) del centre hi hauna carrega puntual q. Trobeu el valor i la posicio de la carrega imatge. Calculeu la densitat superficialde carrega induıda sobre l’esfera.

2.26. Dos plans conductors connectats a terra, formen un angle de 90 graus, un esta en posicio horitzontali l’altre vertical. Considereu una carrega puntual a una distancia a del pla horitzontal i a b del plavertical. Trobeu el camp electric.

2.27. Un tub cilındric de radi a i longitud l esta carregat amb una densitat superficial uniforme σ. Si el tubesta centrat a l’origen i es fa coincidir el seu eix amb l’eix z:

(a) Calculeu el camp electric a l’eix z.(b) Com es modifica el resultat si s’afegeix un pla conductor infinit connectat al terra perpendicular

a l’eix z situat a z = −l?**2.28. Dos conductors cilındrics infinits de radi R estan separats una distancia 2D. Trobeu la capacitat per

unitat de longitud quan la carrega per unitat de longitud es la mateixa en els dos conductors pero designe contrari.

4

Page 5: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 3

3.1. Calculeu el moment dipolar electric d’una superfıcie esferica de radi R amb densitat superficial decarrega σ = σ0 cos θ.

3.2. Calculeu el moment dipolar d’una molecula hexagonal amb carregues de signe altern situades sobre elsvertex. Com variara ~p si comprimim la molecula en la direccio de l’eix X, mantenint la distancia entreatoms veıns constant?

3.3. Una mostra de diamant te una densitat de 3.5 g cm−3 i una polaritzacio de 10−7 C m−2.

(a) Calculeu el moment dipolar mig per atom.(b) Trobeu la separacio mitja entre els centres de les carregues positiva i negativa. La carrega del

carboni en el nucli es de 6 protons i esta envoltat per un nuvol de 6 electrons.

*3.4. Considereu tres carregues q1, q2, q3 amb valors q2 = q3 = −q1/2, situades en el pla x − z sobre unacircumferencia de radi R: q1 a 90 graus, q2 a −30 i q3 a 210 graus respecte a l’eix x.Trobeu el potencial creat per aquestes carregues als punts P1 = (0, y0, 0) i P2 = (0, 0, z0). Feu-hodirectament com a suma de potencials, i pel desenvolupament multipolar del potencial (fins el termequadrupolar); compareu els resultats.

3.5. Una vareta prima de seccio A s’esten sobre l’eix x des de x = 0 fins a x = l. La polaritzacio de la varetaes paral·lela al seu eix i ve donada per Px = ax2 + b. Trobeu les densitats de carrega de polaritzacio,tant volumica com superficial, i demostreu que la carrega total de polaritzacio s’anul·la.

*3.6. Dos blocs semi-infinits de dielectric homogeni, lineal i isotrop de permitivitat ε, es posen quasi encontacte, de forma que hi ha una separacio d, constant pero petita entre ells. La polaritzacio ~P esconstant a tot el material dielectric, i forma un angle θ amb la normal als plans que limiten la separacio.Determineu el camp electric total a la zona de separacio, i la diferencia de potencial entre els plans.

3.7. Un cilindre dielectric de radi a i longitud l esta polaritzat en la direccio de la seva longitud. Si lapolaritzacio es uniforme i de modul P , calculeu el camp electric en un punt de l’eix del cilindre deguta la polaritzacio ~P .

3.8. Un cilindre dielectric molt llarg de radi R i permitivitat constant, ε, esta polaritzat radialment (endireccio perpendicular a l’eix) de manera que

~P = C~er.

Calculeu:

(a) Les densitats volumiques i superficial de carrega lligada.(b) La densitat volumica de carrega lliure.(c) El camp electric dins i fora del cilindre.

3.9. Una esfera dielectrica (feta amb un material homogeni, lineal i isotrop de permitivitat εr) de radi Resta polaritzada radialment de manera que

~P =K

r~er.

Calculeu:

(a) Les densitats volumiques i superficial de carrega lligada.(b) La densitat volumica de carrega lliure.(c) El camp electric dintre i fora de l’esfera.

3.10. Sigui una esfera dielectrica (material homogeni, lineal i isotrop) de radi a i constant dielectrica 5. Alseu centre es posa una carrega lliure (es a dir, no provenint del dielectric). Calculeu la polaritzaciodins el dielectric i el camp electric fora.

3.11. Una esfera dielectrica (dielectric lineal, isotrop i homogeni, de permitivitat εr) de radi a te una densitatuniforme de carrega lliure constant, ρ. Comproveu que el potencial al centre de l’esfera es

φ(0) =2εr + 1

2εrρa2

3ε0.

5

Page 6: Problemas propuestos de electromagnetismo

3.12. Una cavitat esferica de radi a esta dins un dielectric molt gran uniformement polaritzat. Comproveuque el camp electric, degut a ~P , al seu centre, es

~E =~P

3ε0.

3.13. Considereu una carrega lliure Q en el centre d’una esfera de radi R, on la constant dielectrica variacom

ε = ε0

(1 +

r

R

).

(a) Trobeu les expressions de ~E, ~D i ~P per tot l’espai i representeu-les graficament en funcio del radi.(b) Comproveu que el dielectric com a conjunt continua neutre.(c) Calculeu i representeu la funcio potencial.

3.14. Una esfera conductora de radi R1 i carrega Q es recobreix amb un dielectric fins a un radi R2 > R1.Trobeu el camp electric i el potencial a tot l’espai si la permeabilitat relativa del material depen delradi r com εr = a + b/r, on a i b son constants. Calculeu tambe la densitat volumica i superficial decarrega de pol·laritzacio.

3.15. En un condensador de plaques plano-paral·leles, amb un dielectric de permitivitat ε, suposem queuna d’elles es separa del dielectric, quedant una capa de buit de 10−4d0, on d0 es la separacio inicial.Calculeu quina es la permitivitat aparent del sistema amb la placa separada i trobeu el lımit quan:

(a) el dielectric te una permitivitat molt elevada,(b) el dielectric te una permitivitat petita.

3.16. Disposem de dos condensadors plano-paral·lels identics de superfıcie S i separacio entre plaques dconnectats en paral·lel. Una vegada carregats a una diferencia de potencial V0 i desconnectats de labateria es produeix una fractura en el dielectric d’un dels condensadors formant-se una fissura planai paral·lela a les plaques amb un gruix d/100. Si la permitivitat relativa del dielectric situat entre lesplaques es εr = 100:

(a) Calculeu ~E abans i despres de la fractura en cada condensador.(b) Es pot detectat la fractura mesurant la diferencia de potencial del sistema?

3.17. L’espai entre dos conductors cilındrics coaxials i posats horitzontalment, de longitud l = 25 cm s’omplefins a la meitat amb un lıquid dielectric de constant dielectrica relativa εr = 8. Els cilindres tenenradis de 0.5 cm i 2 cm i estan connectats a una bateria de 100 V:

(a) Trobeu els camps ~E i ~D a la regio amb aire i a la que te dielectric.(b) Trobeu la densitat de carrega superficial induıda al conductor interior tant a punts adjacents a

aire com a dielectric.(c) Trobeu la carrega total al conductor intern, i la capacitat del sistema.

3.18. L’espai entre dues esferes conductores i concentriques de radis a, b (a > b) s’omple fins a la meitatamb un lıquid dielectric de permitivitat relativa εr = 8. Les esferes estan connectades a una bateriade 100 V:

(a) Trobeu els camps ~E i ~D a la regio amb buit i a la que te dielectric.(b) Trobeu la densitat de carrega superficial induıda al conductor interior tant a punts adjacents a

aire com a dielectric.(c) Trobeu la carrega total al conductor intern, i la capacitat del sistema.

3.19. Un condensador esta format per dues esferes concentriques de radis R1 i R2. En l’espai entre les esfereshi ha un dielectric. A la zona R1 < r < a la permitivitat relativa es εr = 2. A la zona a < r < R2 lapermitivitat relativa es εr = 3. Si la diferencia de potencial entre les plaques es de 100 V, trobeu

(a) les carregues de polaritzacio (lligades) en tot l’espai,(b) la capacitat del condensador.

3.20. L’espai entre les dues plaques (separades una distancia d) d’un condensador pla s’omple amb undielectric de permitivitat variable donada per ε = ε0(1 +αx), a on x es la distancia a la placa inferior.Calculeu:

(a) La capacitat del condensador per unitat de superfıcie.(b) L’expressio de la polaritzacio, i les densitats volumica i superficial de carrega lligada.

6

Page 7: Problemas propuestos de electromagnetismo

3.21. Dues plaques conductores infinites en les direccions y, z estan localitzades a x = −d i x = d. L’espaientre les plaques s’omple amb un dielectric que te una permitivitat depenent de l’espai com:

ε =4ε0(x

d

)2

+ 1.

La placa que esta a x = d es mante a una diferencia de potencial V0 respecte de l’altra placa.

(a) Trobeu el camp electric i el potencial φ(x) entre les plaques.

(b) Trobeu la polaritzacio ~P i la densitat de carrega de polaritzacio ρP .

3.22. Calculeu la capacitat per unitat de longitud d’un condensador format per dos cilindres concentricsde radis a i b (a < b), si es suposa que entre els dos cilindres hi ha un dielectric de permitivitatε = ε0(αr + β).Si es connecta el condensador a una font de potencial V , trobeu la densitat volumica de carrega lligada(carrega de polaritzacio).

3.23. Un condensador format per dues esferes concentriques de radis Ra < Rb s’omple amb un dielectric depermitivitat ε = ε0(1 + αr). Calculeu la polaritzacio i les densitats de carrega lligada, en funcio de ladiferencia de potencial, φ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.24. Un electro rapid (energia cinetica = 3.0 × 10−17J) entra en una regio de l’espai que conte un campelectric constant E = 1000 V/m. El camp es paral·lel al moviment de la partıcula i el seu sentit es talque el desaccelera. Quina distancia recorrera l’electro abans d’aturar-se? (q = 1.60× 10−19C)

3.25. Hi ha dues capes esferiques conductores concentriques, carregades i aıllades. Si s’uneixen mitjancantun fil conductor, comproveu que el sistema evoluciona a un estat de menor energia, i raoneu que hapassat amb l’energia dissipada.

3.26. Considereu una esfera, de radi R, amb una carrega Q distribuıda uniformement en tot el seu volum.

(a) Calculeu la seva energia a partir de l’expressio: W = 12

∫ρφdr3.

(b) Torneu a calcular l’energia, ara fent servir el camp electric mitjancant: W = 12

∫ε0E

2 dr3.

**3.27. Hi ha dues superfıcies conductores planes, paral·leles, de grans dimensions i carregades amb unesdensitats de carrega σ1 = 2 nC/m2 i σ2 = −1 nC/m2, respectivament, que estan separades 2 cm. Enla zona entre les dues superfıcies introduım una placa de dielectric, de 2 cm de gruix, fins a la meitat.La constant dielectric de la placa val 3. Calculeu:

a) El camp electric en l’espai entre les dues superfıcies.b) La diferencia de potencial entre les dues superfıcies.c) L’energia electrostatica emmagatzemada per unitat de volum entre les superfıcies, dins i fora del

dielectric.

*3.28. Un condensador ideal pla d’area S = ab i separacio entre plaques l es carrega amb una diferencia depotencial V0, i a continuacio s’aılla.

(a) Calculeu l’energia emmagatzemada i la forca exercida per una placa sobre l’altra.(b) Si entre les plaques s’introdueix una lamina metal·lica conductora no carregada, de gruix d, d’igual

area que les plaques i paral·lela a elles:i. calculeu la forca exercida en aquest cas sobre les plaquesii. determineu si la forca sobre la lamina introduıda a la regio entre plaques es cap a dintre o

cap a fora d’aquestaiii. esbrineu si hi ha forca sobre la lamina en direccio perpendicular a la mateixa.

3.29. Sigui un condensador de plaques quadrades (de costat a), paral·leles i separades una distancia d a.Es carrega el condensador a una diferencia de potencial φ, es desconnecta de la bateria, i es posadamunt un lıquid dielectric (lineal, homogeni i isotrop) de permitivitat ε. El lıquid puja fins una alturah. Tot plegat esta en un lloc a on l’acceleracio de la gravetat es g.Trobeu el camp electric dins el condensador, l’energia electrostatica i la densitat del lıquid (Ajuda: elguany d’energia potencial gravitatoria sera igual a la perdua d’energia electrostatica).

3.30. Un condensador pla-paral·lel amb plaques separades una distancia b es col·loca verticalment, amb undels seus extrems sobre la superfıcie d’un lıquid no conductor de densitat ρm i permitivitat ε. Si lesplaques del condensador es mantenen a una diferencia de potencial φ calculeu l’alcada h que el lıquidpuja entre les plaques del condensador.

7

Page 8: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 4

4.1. Una carrega total Q es distribueix uniformement en una esfera de radi a. L’esfera comenca a girar alvoltant d’un dels seus diametres amb una velocitat angular constant ω. Si suposem que la distribuciode carregues no es afectada per la rotacio, trobeu:

(a) La densitat de corrent ~J en tots els punts de l’esfera.(b) El corrent total que passa per un semicercle de radi a, fix en l’espai amb la seva base sobre l’eix

de rotacio de l’esfera.

4.2. Una esfera conductora de radi b es posa dins d’un recipient conductor esferic de radi a, que conte unelectrolit de conductivitat g. En el cas de posar les dues esferes concentriques i a una diferencia depotencial ∆φ, trobeu:

(a) El camp electric en la zona entre les dues esferes si la permitivitat de l’electrolit es ε.(b) La intensitat que circula entre les dues esferes.

4.3. Dos tubs cilındrics llargs de material conductor es posen coaxialment. Els dos cilindres es mantenen auna diferencia de potencial ∆φ, i en l’espai entre ells (a < r < b) s’omple d’un medi de conductivitatg i permitivitat ε. Trobeu la intensitat que passa d’un cilindre a l’altre, i la resistencia electrica deldispositiu.

4.4. Un cano d’electrons envia un feix d’aquestes partıcules al llarg del pla de simetria de dues plaquesparal·leles que tenen una diferencia de potencial V0 entre elles i una separacio d. Amb un dispositiuextern es crea un camp magnetic de modul B paral·lel a la superfıcie de les plaques. Calculeu la velocitatinicial que han de tenir els electrons i la direccio de ~B per a que no experimentin cap desviacio enpassar entre les plaques. Si eliminem B, quina sera la trajectoria dels electrons? (Nota: menyspreu elsefectes de vora; anomenem l la longitud de les plaques.)

4.5. Fem servir un electro per mesurar els camps, existents en una regio de l’espai buida, mitjancant trestipus de mesures:

(a) Es situa l’electro en repos i s’observa una acceleracio ~a = a2~ey.

(b) S’introdueix un electro amb una velocitat ~v0 = v0~ex, i aquest s’accelera com ~a = a2~ey + a3~ez.

(c) Si la velocitat inicial es ~v0 = v0~ey no hi ha acceleracio en direccio ~ez.

Trobeu quins seran els camps ~E i ~B en la regio de l’espai considerada.

4.6. Considereu dos circuits on tots els corrents es troben sobre el mateix pla. C ′ es un fil infinitamentllarg pel que hi circula una intensitat I ′. C es un rectangle els costats del qual son de longitud b, elsparal·lels a C ′, i de longitud a, els perpendiculars, i esta separat una distancia d del fil. Trobeu la forcatotal sobre C. Es aquesta d’atraccio o de repulsio?

4.7. Considereu un circuit electric que te forma d’hexagon regular de radi a. Si el circuit condueix uncorrent d’intensitat I, trobeu la induccio magnetica B al centre de l’hexagon.

4.8. Un disc circular de radi R te una densitat superficial de carrega σ C/m2 i gira al voltant d’un delsseus diametres amb una velocitat ω. Calculeu el camp d’induccio magnetica ~B al centre del disc pervelocitats petites (ωR c).

4.9. Considereu una esfera de radi R, amb una densitat superficial de carrega σ rıgidament unida a l’esfera,que gira respecte d’un eix que passa pel centre amb velocitat constant ω. Calculeu el camp magnetical centre de l’esfera.

4.10. Considereu una esfera de radi R, amb una densitat de carrega ρ rıgidament unida a l’esfera, que girarespecte d’un eix que passa pel centre amb velocitat constant ω. Calculeu el camp magnetic al centrede l’esfera.

4.11. Considereu dues espires d’1 m de radi enfrontades la una a l’altre, amb l’eix comu, i separades entre si1 m. Si per totes dues circula un corrent d’1 A en el mateix sentit,

(a) calculeu ~B al centre d’una de les espires

(b) quant val ~B al punt mig de l’eix?(c) demostreu que en la zona propera al punt mig de l’eix, la induccio magnetica es gairebe constant.

4.12. Per una espira de 2 m de diametre situada sobre el pla horitzontal circula un corrent de 5/π A. Per unfil infinit situat en el mateix pla, a 1 m del centre de l’espira, passa un corrent de 5 A. Trobeu el valorde ~B al centre de l’espira.

8

Page 9: Problemas propuestos de electromagnetismo

4.13. Considereu una bobina finita de radi r i longitud l amb una densitat de voltes n voltes/m. En un delsseus extrems s’afegeixen N voltes molt juntes entre sı. Si considerem iguals el radi mig de la bobina iel de les espires,

(a) determineu quin ha de ser el numero de voltes afegit per a que la induccio magnetica sobre l’eixde revolucio a l’extrem de la bobina sigui dues vegades la del centre de la bobina en absencia deles N voltes suplementaries,

(b) calculeu el numero d’espires en el cas en que l = 2r. Quin es el resultat en el lımit l r?(c) si la bobina te un radi d’1 cm, una longitud de 10 cm i 1000 voltes, quantes voltes hem d’afegir

per acomplir les condicions de l’apartat (a)?

4.14. Un solenoide de 15 cm de llargada esta bobinat amb dues capes de fil, cadascuna de 100 voltes. Laprimera capa te un radi de 2 cm i la segona 2,05 cm. Si per aquesta bobina passa un corrent de3 A, trobeu la induccio magnetica en qualsevol punt de l’eix. Representeu la grafica de la inducciomagnetica axial en funcio de la distancia al centre, fins a un dels extrems del solenoide.

*4.15. Considerem un pla infinit de corrent, que coincideix amb el pla xy. La densitat de corrent superficial es~K = K~ey, amb K =const. Un fil molt llarg que condueix un corrent I es paral·lel a l’eix y i intersecal’eix z positiu a una distancia d de l’origen. Trobeu la forca per unitat de longitud sobre el fil.

4.16. Un camp magnetic ~B esta donat en coordenades cilındriques com

~B =

0 per a 0 < r < a

µ0I

2πrr2 − a2

b2 − a2~eϕ per a a < r < b

µ0I

2πr~eϕ per a b < r

Trobeu la densitat de corrent ~J en tot l’espai. Com es podria produir una ~B d’aquesta forma?

4.17. Un solenoide de seccio transversal circular de radi a te n voltes per unitat de longitud i condueix uncorrent d’intensitat I. Si el solenoide es molt llarg, trobeu la induccio magnetica axial.

4.18. Si considereu una bobina de forma toroıdal amb N espires, quin sera el valor de la induccio magneticaque produeix en passar-hi un corrent electric I?

4.19. Per un conductor llarg rectilini, de seccio transversal circular de radi R, circula un corrent I. A l’interiordel conductor existeix un espai buit cilındric, de radi a, amb el seu eix paral·lel al del conductor i ambel seu centre a una distancia b del centre del conductor. Trobeu el camp magnetic, ~B, dins el forat.

4.20. Considereu un fil cilındric de radi a situat sobre l’eix z, pel que circula una densitat de corrent ~J = αr~ez.Trobeu, a tots els punts de l’espai, la induccio magnetica ~B que crea aquest corrent.

4.21. Per un conductor molt llarg rectilini, de seccio transversal circular de radi b i paral·lel a l’eix z circulauna densitat de corrent

~J =K

r~ez.

A l’interior del conductor hi ha un espai buit cilındric, de radi a, i coaxial amb el conductor de radi b.Trobeu el camp magnetic, ~B, a tot l’espai.

4.22. Considereu el sistema format per un corrent I en la direccio positiva de l’eix z i un altre corrent paral·lel−I, es a dir, en la direccio negativa de l’eix z. Tots dos corrents estan separats per una distancia 2a.Trobeu el potencial vector ~A a qualsevol punt de l’espai.

4.23. Per un quadrat de costat 2a i en el pla xy, circula un corrent I en el sentit antihorari. Trobeu elpotencial vector ~A en tots els punts de dintre del quadrat. Quant val ~A al centre?

4.24. Una esfera de radi a conte una carrega total Q distribuıda uniformement en el seu volum. L’esferagira al voltant d’un dels seus diametres a velocitat angular constant ω. Trobeu el potencial vector ~Aen qualsevol punt sobre l’eix de rotacio.

9

Page 10: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 5

5.1. Un circuit pla que condueix un corrent I es construeix sobre el pla xy de la seguent manera: comencanta ϕ = 0, la distancia a l’origen ve donada per r = r0 ϕ

n on r0 es una constant i n > 1. Es forma aixıuna espiral. Continuem el proces fins a un valor de l’angle azimutal ϕ0. A partir d’aquı es fa que elcorrent segueixi una lınia recta que torna a l’origen. Trobeu el moment dipolar magnetic d’aquestadistribucio de corrent.

5.2. Un cilindre de radi a i longitud l conte una carrega Q distribuıda uniformement en el seu volum. Femgirar el cilindre al voltant del seu eix a una velocitat angular constant ω. Suposeu que la distribuciode carrega no es afectada per la rotacio i trobeu el moment dipolar magnetic d’aquest sistema.

5.3. Una esfera dielectrica de radi a te una densitat superficial de carrega σ =const. en tota la sevasuperfıcie. La fem girar al voltant d’un dels seus diametres a velocitat angular constant ω. Suposeuque la distribucio de carrega no es modifica amb la rotacio i trobeu el moment dipolar magnetic del’esfera.

5.4. Una esfera de radi R te una carrega Q repartida uniformement en la seva superfıcie. Si la semiesferasuperior gira al voltant del diametre vertical amb velocitat angular ω1~ez i la semiesfera inferior giraamb velocitat angular −ω2~ez al voltant del mateix diametre vertical, calculeu:

(a) El moment magnetic del sistema.(b) Com s’hauria de distribuir la carrega entre ambdos hemisferis perque el moment magnetic del

sistema fos 0?

5.5. Considereu una espira rectangular plana de dimensions a, b en el pla yz, i amb vertexs a (0,±a/2,±b/2).Es rota un angle ϕ al voltant de l’eix z, i s’hi fa circular un corrent I en sentit antihorari. L’espiraesta sotmesa a un camp extern ~B0 uniforme en la direccio x. Trobeu:

(a) El moment de torsio que s’hauria d’aplicar per tal que l’espira no giri.

(b) Considereu ara que l’espira esta en el pla yz i calculeu la induccio magnetica ~B en un punt del’eix x. Feu-lo a partir del moment dipolar magnetic.

(c) Repetiu l’apartat anterior pero calculant ~B a partir de la llei de Biot-Savart. Dona el mateixresultat? Per que?

**5.6. Un anell de radi a centrat a l’origen i sobre el pla xy condueix un corrent I en sentit horari si es mirades d’un punt de l’eix z positiu. Un dipol puntual (anell de radi molt petit) ~m = m~ez esta situat sobrel’eix z. Trobeu la component z de la forca sobre ~m.

5.7. Si suposem un model atomic consistent en un nucli rodejat per un nuvol de carrega esferica, tots elelements del qual giren a una velocitat angular ω, demostreu que el moment magnetic orbital de l’atomve donat per Morb = q

2mLorb. A on Lorb es el moment angular orbital i qm la relacio carrega massa de

l’electro.

5.8. Una esfera de radi a te una imantacio no uniforme donada per ~M = (α z2 +β)~ez, amb α i β constants.Trobeu les densitats de corrent d’imantacio ~JM i ~KM . Quines son les unitats de α i β?

5.9. Demostreu que els corrents d’imantacio no transfereixen carrega neta.(Ajuda: considereu la transferencia de carrega a traves d’un pla que talla un material imantat.)

5.10. Demostreu, a partir de ~JM = ~∇∧ ~M , que la densitat superficial de corrent d’imantacio en un materialmagnetic es ~KM = ~M ∧ ~n.

5.11. Un cilindre de longitud l i radi a te el seu eix al llarg de la direccio ~ez i l’origen de coordenades al seucentre. Esta imantat uniformement amb ~M = M ~ez. Trobeu:

(a) Els camps ~B i ~H en tots els punts de l’eix del cilindre.

(b) A partir dels resultats anteriors, calculeu ~B i ~H a l’interior d’un disc molt prim, es a dir, si l a.

5.12. Considereu un bloc imantat de grans dimensions. En el seu centre fem un forat cilındric que travessatot el bloc paral·lel a la direccio d’imantacio. Si el radi R del cilindre es molt petit comparat amb lesdimensions del bloc, calculeu les densitats de corrent d’imantacio sobre les parets del forat i calculeu~B a l’eix.

5.13. En un disc de radi R i gruix d R, la imantacio es pot expressar com

~M = M0

(1− r

R

)~ez

quina es la induccio magnetica en un punt de l’eix tal que z R, si es suposa ~J = 0 (no hi ha correntslliures)?

10

Page 11: Problemas propuestos de electromagnetismo

5.14. Considereu un cable coaxial de radis a i b on a < b. Per l’interior del cilindre de radi a circula un correntI uniformement distribuıt i en la direccio de l’eix ~ez. En aquesta regio el material es diamagnetic ambsusceptibilitat χm < 0 i homogeni, lineal i isotrop (h.l.i.). Per la capa exterior del cable circula uncorrent igual i oposat a l’anterior. En la regio entre les capes externa i interna del cable el material esparamagnetic (tambe h.l.i.), de susceptibilitat χ′m.

(a) Calculeu ~H, ~B i ~M en tot l’espai.(b) Verifiqueu les condicions de frontera per a cadascun dels camps anteriors i justifiqueu les discon-

tinuıtats trobades.(c) Calculeu la densitat volumica de corrent d’imantacio ~JM .

5.15. Sobre un anell toroıdal de ferro (considereu-lo un material lineal, homogeni i isotrop amb permeabilitatmagnetica relativa µr) de radi central b i un radi de la seccio circular a s’hi enrotllen N voltes de filconductor per on hi circula un corrent I. Deduıu el camp magnetic ~H, la induccio magnetica ~B i laimantacio ~M a tot l’espai.

5.16. Un cilindre de longitud infinita i de radi R1 transporta una densitat volumica de corrent en la direcciode l’eix del cilindre de valor J = Cr, on r es la distancia a l’eix del cilindre i C es una constant. Alseu voltant hi ha una capa cilındrica de radi exterior R2 d’un material magnetic amb permeabilitatmagnetica relativa µr.

(a) Calculeu ~H, ~B i ~M a tots els punts de l’espai.(b) Calculeu els corrents d’imantacio que es generen en el material magnetic.

5.17. Un material conductor en forma de barra cilındrica infinita de radi a, transporta una densitat decorrent ~J = α r~ez per a r < a.

(a) Calculeu la permeabilitat magnetica del material (suposant que es lineal) si sabem que la inducciomagnetica dins d’ell ve donada per l’expressio:

~B =µ0α

3

(1 +

r

a

)r2 ~eϕ

(b) Obteniu la imantacio ~M , les densitats de corrent d’imantacio i analitzeu el comportament de ~Ben la superfıcie del cilindre.

5.18. Sobre un anell de ferro de radi mig 2, 5 cm es bobinen 100 voltes. Determineu la induccio magneticaen l’interior de l’anell quan el corrent en el debanat es de:

(a) 0, 08 A;(b) 0, 24 A;(c) 1, 1 A.

Considereu la permeabilitat del ferro constant amb µr = 3000.

5.19. En un anell semblant al del problema anterior, pero de 3 cm de radi mig i area transversal de 4 cm2,es fa un tall de 1 cm i es bobinen 200 voltes d’un fil per on circula un corrent de 10 A. Considerantque no hi ha perdues de flux magnetic a l’anell degudes al tall.

(a) Trobeu els camps ~B i ~H tant en el ferro com en el tall.(b) Quina intensitat caldria fer passar per obtenir en el tall una induccio magnetica de 1 tesla?

11

Page 12: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 6

6.1. Un fil infinitament llarg que transporta un corrent I coincideix amb l’eix z. Una espira circular, en elpla xz i de radi a, te el seu centre sobre l’eix x a una distancia b de l’origen. Trobeu:

(a) El flux magnetic que travessa l’espira.(b) Si ara l’espira es mou a velocitat constant ~v = v ~ex, calculeu la f.e.m induıda. Quina es el sentit

del corrent induıt?

6.2. Per un conductor rectilini, infinitament llarg, circula un corrent I = I0 e−λt, amb I0 i λ constants.

En un pla que conte al conductor i a una distancia d hi ha un altre conductor quadrat de costat a, iamb dos costats paral·lels al conductor infinit. Trobeu la f.e.m induıda al circuit quadrat i el sentit delcorrent induıt.

6.3. Un disc conductor molt prim de radi a i conductivitat g esta situat al pla xy amb el seu centrea l’origen de coordenades. El disc esta sotmes a una induccio uniforme en l’espai i donada per:~B = B0 cos(wt+ α)~ez. Trobeu la densitat de corrent induıt al disc, ~J .

6.4. Una barra metal·lica de longitud l gira a velocitat angular constant ω al voltant d’un eix que passaper un dels seus extrems. Si considereu una induccio magnetica uniforme i constant ~B perpendicularal cercle que descriu la barra, trobeu el voltatge induıt entre els seus extrems.

6.5. Un alternador consisteix en una bobina de N voltes d’area A, que gira amb una frequencia f al voltantdel diametre, en un camp uniforme B, essent el diametre sempre perpendicular a ~B. Calculeu quinaes la f.e.m. induıda si N = 100 voltes, A = 100 cm2, B = 0.1 T i f = 2000 r.p.m.?

6.6. Una bobina de 100 voltes, de seccio transversal circular, es construeix compactament, de forma quepodem considerar que totes les voltes estan en un mateix pla. El radi mig de la bobina es de 3 cm.Fem rodar aquesta bobina a 900 r.p.m. al voltant d’un diametre col·locat verticalment. En aquestescondicions la f.e.m. induıda eficac es de 0,50 mV. Que podem dir respecte el camp magnetic terrestreen el lloc on s’esta fent l’experiment?

6.7. Hi ha una espira circular de radi a situada en el pla (x, y) i el seu centre coincideix amb l’origen decoordenades. L’espira comenca a girar al voltant de l’eix x a una velocitat angular ω. L’espira estadins un solenoide paral·lel a l’eix z, de radi R > a, molt llarg (infinit), amb n voltes per unitat delongitud, pel que hi circula una intensitat I = I0 sin(Ωt). Dins del solenoide hi ha un gas diamagnetic(heli, per exemple) de permeabilitat µ.Suposant que la resistencia de l’espira es molt gran (la intensitat que circula per ella es molt petita),y que la frequencia Ω es baixa, calculeu: el camp ~B a tot l’espai i la forca electromotriu induıda enl’espira.

6.8. Hi ha un circuit indeformable en forma de quadrat en el pla yz, que te una resistencia electrica R. Enel semiespai z ≤ 0 hi ha un camp magnetic ~B = (B, 0, 0). A l’instant t = 0, el quadrat te un costat az = 0 i un altre a z = l, i una velocitat v = 0. Si el circuit te una massa m, una superfıcie l2 i estasotmes a la forca de la gravetat [~F = (0, 0,−mg)]. Calculeu:

(a) La velocitat en funcio del temps del quadrat, sense considerar els efectes deguts a la autoinduccio.(b) La intensitat en funcio del temps en el circuit.

*6.9. Una barra conductora, de massa M i longitud l, es pot moure sense fregament sobre la superfıciehoritzontal d’una taula. En els seus extrem s’han unit dues molles exactament iguals, de constantelastica k, massa menyspreable i tambe conductores. Els extrems lliures de les molles tambe s’uneixena una barra conductora de longitud l fixada a la taula, formant en conjunt un circuit de resistenciaR. Hi ha un camp magnetic constant i uniforme ~B, perpendicular a la taula i sentit ascendent. Ambla barra paral·lela a si mateixa es desplaca una longitud d respecta a la posicio d’equilibri i es deixalliure. Trobeu l’equacio diferencial del moviment i els valors de ~B pels quals el sistema es oscil·latori.

6.10. En un accelerador betatro, un io de carrega +q i massa m recorre una orbita circular a una distancia Rde l’eix de simetria de la maquina. El camp magnetic te simetria cilındrica; es a dir, la seva componentz es Bz = B(r) en el pla de l’orbita, on r es la distancia a l’eix de simetria.

(a) Demostreu que la velocitat del io es v = qB(R)R/m.(b) Si la magnitud del camp magnetic s’incrementa lentament, demostreu que la fem induıda a l’orbita

del io es tal que accelera el io.(c) Demostreu que perque el io romangui en la mateixa orbita, la variacio radial del camp B a dins

de l’orbita ha de satisfer la seguent condicio: la mitjana espacial de l’increment de B(r) (es fa lamitjana sobre l’area tancada per l’orbita) ha de ser igual al doble de l’increment de B(R) durantel mateix interval de temps.

12

Page 13: Problemas propuestos de electromagnetismo

*6.11. Considereu un electro en una orbita circular de radi R. Si apliquem un camp magnetic perpendiculara l’orbita i suposant que el radi no varia, trobeu el canvi en la seva velocitat. Aquest canvi de velocitatsuposa un canvi del moment magnetic. Trobeu la susceptibilitat si hi ha n electrons per unitat devolum. (Es una explicacio classica del diamagnetisme)

6.12. Amb fil conductor s’ha construıt un triangle equilater de costat l. En un mateix pla i paral·lel a un delsseus costats, a la distancia a =

√3 l/6 hi ha un conductor infinit recorregut per un corrent d’intensitat

I constant. Determineu: el flux magnetic a traves de la superfıcie del triangle, i el coeficient d’inducciomutua entre el fil i el triangle.

*6.13. Es posa una bobina circular, de longitud la i amb Na voltes de radi ra, a l’interior d’una segona bobina,de longitud lb i amb Nb voltes de radi rb. Fent el calcul de ~B com si les dues bobines fossin infinites:

(a) Trobeu La, Lb i M .(b) Quant val el coeficient d’acoblament si lb = 2la?

6.14. En un conductor cilındric molt llarg de radi b es forada un cilindre de radi a coaxial amb l’anterior.El corrent I que circula per aquest conductor esta uniformement distribuıt en la seva seccio. Trobeul’energia magnetica associada a la induccio en un tros de longitud l dins el conductor. Calculeu tambeel coeficient d’autoinduccio d’aquesta porcio de conductor.

6.15. Una bobina toroıdal, amb N voltes enrotllades i un corrent I circulant per elles, te un radi central b iun radi a de la seccio circular. Es demana:

(a) La seva autoinductancia.(b) L’energia magnetica d’aquesta bobina.

(c) Si a b, demostreu que L coincideix amb la d’un solenoide molt llarg de longitud 2πb. Esraonable aquest resultat?

6.16. Una autoinductancia L, una resistencia R i una bateria de f.e.m. E estan connectades en serie.

(a) A partir de consideracions energetiques deduıu l’equacio diferencial que ha de complir el correntI que circula per aquest circuit.

(b) Suposeu ara que es desconnecta la bateria del circuit quan el corrent que circula es I0. Trobeu eltemps de relaxacio d’aquest sistema.

6.17. Considereu una bobina toroıdal de N voltes. Si el radi mig de l’anell es b i el d’una espira a:

(a) Quin es el valor (en henrys) de l’autoinductancia si N = 150 voltes, b = 4 cm. i a = 1, 5 cm?(b) Calculeu el coeficient d’induccio mutua entre la bobina del problema i un segon debanat, sobre el

mateix toroide, de N2 = 50 voltes.

**6.18. Feu les seguents demostracions:

(a) Si els corrents (les fonts del camp magnetic) no varien, el canvi d’energia magnetica al introduirun objecte es pot escriure com:

Wm =12

∫Tot Espai

( ~B · ~H0 − ~B0 · ~H) d3r ,

a on els camps amb subındex zero es refereixen a abans d’introduir l’objecte i sense subındex adespres de col·locar l’objecte. Pot ser d’ajuda considerar que ~∇∧ ( ~H − ~H0) = 0.

(b) Si posem un medi magnetic lineal en un camp, la formula anterior es converteix en:

Wm =12

∫Objecte

~M · ~B0 d3r.

*6.19. Demostreu que l’energia magnetica d’un dipol magnetic permanent en presencia d’un camp magneticextern ve donada per:

Wm = ~m · ~B0 .

6.20. Un feix d’atoms d’hidrogen a temperatura de 400 K (la seva energia cinetica sera 3/2 kT ) es enviat atraves dels pols d’un imant d’1 m de longitud i amb un gradient del camp magnetic de 10 T/m. A lasortida de l’imant hi ha dos feixos separats 5,6 mm. Trobeu la diferencia entre els dos possibles valorsdel moment magnetic dels atoms d’hidrogen.

13

Page 14: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 7

7.1. Dues plaques circulars de radi R separades una distancia d formen un condensador ideal. A l’interiorhi ha un dielectric perfecte de permitivitat ε i un camp uniforme ~D (a l’exterior el camp es suposanul). El condensador es comenca a carregar amb una intensitat constant I. Trobeu el camp ~H en unpunt sobre la superfıcie cilındrica del dielectric.

7.2. Un condensador de plaques paral·leles en forma de disc circular te en el seu interior un dielectric depermitivitat ε i de conductivitat g. El condensador, de capacitat C, es carrega a una diferencia depotencial φ i s’aılla. Trobeu:

(a) la carrega del condensador en funcio del temps;(b) el corrent de desplacament en el dielectric;

(c) el camp ~H en el dielectric.

7.3. Un condensador de plaques paral·leles, en forma de disc circular de radi R i separacio entre plaquesa R entre les que hi ha un dielectric de permitivitat ε, es connecta a una font de corrent amb unaintensitat I(t) = I0 cosωt. Trobeu el camp electric, ~E, i el camp magnetic, ~B, entre les plaques a unadistancia r de l’eix, suposant una frequencia petita per tal que la distribucio de la carrega sobre lesplaques del condensador sigui una constant independent de r, i depenent del temps.Si augmenta molt la frequencia, per quina eq. de Maxwell no seria valida la solucio anterior? Com espodria millorar la solucio trobada?

**7.4. Trobeu les correccions a qualsevol ordre de la frequencia en el condensador del problema anterior.

7.5. Considereu un condensador de plaques circulars i plano-paral·leles d’area S. Es connecten les plaquesa una bateria de f.e.m. constant, E . Fem oscil·lar les plaques lentament de forma que segueixin essentparal·leles pero la seva separacio varia com d = d0 + d1 sinωt.

(a) Trobeu el camp magnetic ~H produıt pel corrent de desplacament en la regio entre les plaques.(b) Si abans de comencar a moure les plaques desconnectem la bateria, quin sera aleshores el camp

magnetic?

7.6. Un condensador de plaques paral·leles, en forma de disc circular de radi R i separacio entre plaquesa R, entre les que hi ha un dielectric de permitivitat ε, es carrega amb una carrega Q0. Despreses descarrega per mitja d’una resistencia, de manera que I(t) = I0e

−λt. Trobeu el camp electric, ~E,i el camp magnetic, ~B, entre les plaques a una distancia r de l’eix, suposant que la distribucio de lacarrega sobre les plaques del condensador sigui una constant independent de r, i depenent del temps.

**7.7. Demostreu que

~∇ · ~F = ρ,~∇∧ ~F = ~J

⇒ ~F = −~∇φ+ ~∇∧ ~A,

a on s’ha definit

φ(~r) ≡ 14π

∫V

ρ(~r1)|~r − ~r1|

d3r1 −14π

∮S

~F (~r1) · ~n|~r − ~r1|

dS1,

~A(~r) ≡ 14π

∫V

~J(~r1)|~r − ~r1|

d3r1 +14π

∮S

~F (~r1) ∧ ~n|~r − ~r1|

dS1.

Ajuda: Feu servir el resultat

∇2 1|~r − ~r1|

= −4πδ(~r − ~r1) ⇒ ~F (~r) = − 14π

∫~F (~r1)∇2 1

|~r − ~r1|d3r1

i que l’operador laplaciana es pot substituir per ∇2 = ~∇~∇ · −~∇∧ ~∇∧.

**7.8. Demostreu que

χ ≡ 14π

∫ ~∇1 · ~A(~r1, t)|~r − ~r1|

d3r1

porta a la condicio de Coulomb.

**7.9. Comproveu per calcul directe que els potencials retardats compleixen la condicio de Lorentz.

14

Page 15: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes d’Electromagnetisme. Full 8

8.1. Considereu l’ona ~E = Em sin(ωt− βz)~ex en el buit.

(a) Trobeu els camps ~D, ~B i ~H.

(b) Dibuixeu ~E i ~H a t = 0.

(c) Si ~E i ~H compleixen l’equacio d’ona, quin es el valor de β?(d) Calculeu la potencia mitjana que creua una area circular de radi 2.5 m en el pla z = c.

8.2. En un medi no conductor el camp electric ve donat per l’expressio:

~E = E0 cosω(√εµ z − t)~ex − E0 sinω(

√εµ z − t)~ey,

on E0 es una constant. Comproveu que compleix l’equacio d’ones, i trobeu ~B i el vector de Poynting.

8.3. Una ona electromagnetica de 3.0 MHz es propaga en l’espai lliure. L’amplitud del seu camp electrices de 100 mV/m. Trobeu el voltatge maxim induıt en una bobina de 10 espires de 1 m2, orientada demanera que el pla format per una espira conte el vector de propagacio ~k, i el vector perpendicular alpla, ~n, forma un angle de 30 graus amb el vector ~E.

8.4. Si la potencia radiada pel Sol es de 3.8× 1026 watts, calculeu:

(a) La intensitat del camp electric, degut a la radiacio, a la superfıcie del Sol, si en un instant donattotes les ones estiguessin en fase.

(b) El camp electric a la superfıcie de la Terra degut a la radiacio solar.(c) El vector de Poynting a la Terra.

Algunes dades astronomiques utils per a aquest problema i els seguents son:radi del Sol = 7.0 × 108 m; distancia mitjana de la Terra al Sol = 1.5 × 1011 m; radi de la Terra =6.4× 106 m; massa del Sol = 2.0× 1030 kg.

8.5. Una ona electromagnetica es reflectida totalment per un metall. A partir de la densitat d’impuls delcamp electromagnetic, trobeu la pressio que fa l’ona sobre el material (pressio de radiacio).

8.6. Per la llum solar el vector de Poynting a la superfıcie de la Terra es de ≈ 1400 watts/metre2. Calculeula pressio de radiacio a la superfıcie de la Terra i a la superfıcie del Sol.Trobeu la forca de radiacio del Sol sobre la Terra si absorbeix totalment la radiacio.

8.7. Compareu les forces degudes a l’atraccio gravitatoria i la pressio de radiacio del Sol sobre una partıculade radi R i densitat relativa 5. Trobeu el valor de R pel que s’igualen les dues forces. Suposeu que lapartıcula absorbeix tota la radiacio.(La constant gravitatoria te un valor de 6.7× 10−11 N ·m2/kg2.)

*8.8. Una ona electromagnetica monocromatica en un medi no conductor d’ındex de refraccio n incideixperpendicularment al pla de separacio amb un altre medi no conductor d’ındex de refraccio n′. Hihaura una ona reflectida i una altra de transmesa. A partir de les condicions de contorn del campelectromagnetic, demostreu que la frequencia de les tres ones es la mateixa, i trobeu la relacio entre elmoduls del camp ~E reflectit i transmes respecte a l’incident (son els anomenats coeficients de Fresnel).

**8.9. Igual que el problema anterior pero amb incidencia obliqua. A partir de que les condicions de contorns’han de complir per qualsevol punt del pla demostreu les lleis de la reflexio i de la refraccio.

*8.10. Trobeu la relacio entre la densitat d’impuls i la densitat d’energia en una ona plana en el buit. Teninten compte la relacio per una partıcula relativista E2 = p2c2 +m2c4. Quina densitat de massa en reposseria la del camp electromagnetic?

8.11. Trobeu la frequencia en que la profunditat de penetracio en l’aigua del mar, µ = µ0 i g ≈ 4.3siemens/metre, es de 1 m.

*8.12. Demostreu que en un conductor

H0

E0=

√ε

µ

[1 +

( g

ωε

)2]1/4

.

Predomina l’energia electrica o la magnetica?

15

Page 16: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes suplementaris. Full 1 (Electrostatica)

S1.1. Hi ha dues esferes metal·liques en el buit, de radis R1 i R2, amb els centres separats una distancia d icarregades amb densitat superficial de carrega constant σ1, σ2, totes dues positives.

(a) Calculeu a quina distancia hem de col·locar una tercera carrega puntual amb q3 > 0 en la lıniaque uneix els centres de les esferes, per tal de que la carrega puntual estigui en equilibri.

(b) Discutiu l’estabilitat de l’equilibri (respecte a un desplacament de la carrega de la posiciod’equilibri).

S1.2. Hi ha un cilindre de longitud L i radi R, buit, sense tapes i amb una densitat de carrega superficialconstant i negativa (diguem-li −σ). Per un extrem del cilindre entra un electro, exactament pel centrei en la direccio de l’eix.

(a) Calculeu la velocitat mınima que ha de tenir a l’entrada per poder travessar tota la longituddel cilindre. (AJUT: Coneguda l’acceleracio a(x) es pot trobar la velocitat v(x) mitjancant:∫a(x)dx =

∫vdv ).

(b) Discutiu, qualitativament, quina es la forma del potencial al qual esta sotmes l’electro al llarg dela seva trajectoria.

(c) Calculeu, explıcitament, aquest potencial.(d) Comenteu (sense demostracio matematica) que passaria si l’electro es desvies una mica de l’eix

del cilindre.

S1.3. Un cilindre de longitud L i radi R, amb una base en el pla (x, y), l’altra base a z = L i amb el seu eixcoincident amb l’eix z, te una densitat de carrega volumica, ρ, funcio de la distancia a l’eix, r, tal queρ = β/r (on β es una constant). Calculeu el camp electric ~E en un punt de l’eix z tal que z ≥ L.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S1.4. Dues plaques conductores de superfıcie S = a × b en les direccions y i z, estan localitzades a x = 0 ix = d; la separacio es molt mes petita que la mida de les plaques (d a, b). L’espai entre les plaquess’omple amb un dielectric que te una permitivitat depenent de l’espai com:

ε = ε0√

1 + αx,

on α es una constant. Si es connecta el condensador a un potencial V0, calculeu el camp electric ( ~E),el desplacament electric ( ~D), la capacitat del condensador (C), la densitat volumica de carrega lligada(ρP ), i l’energia electrostatica (U) a partir de l’expressio dels camps.

S1.5. Considerem una placa aıllant infinita de gruix 2a perpendicular a l’eix y, i centrada a l’origen. Sobreella es distribueix una densitat carrega del tipus: ρ = ρ0(1− |y|

a )

Calculeu:

(a) El camp electric a tot l’espai.(b) El potencial a tot l’espai.(c) Situem una vareta de longitud d sobre l’eix y, com s’indica a la figura. La vareta esta carregada

amb una densitat de carrega lineal λ = hdλ0 on h esta definit a la figura. Trobeu la forca que fa

la placa sobre la vareta.

S1.6. Considereu un condensador plano paral·lel amb plaques de superfıcie S, separacio entre elles d, imaterial dielectric de permitivitat ε. Menyspreem efectes de vora.

(a) Calculeu la polaritzacio del material si el condensador te una carrega Q.(b) Suposem que dins el material es fa una cavitat cilındrica, de longitud 2L i radi a, amb el seu eix

perpendicular a les plaques. Es considera que la polaritzacio continua uniforme.i. Trobeu la densitat de carrega lligada que apareix a la superfıcie del cilindre.ii. Trobeu el camp electric a l’interior del cilindre, en qualsevol punt del seu eix.

(c) Considereu ara que la cavitat es fa amb el seu eix paral·lel a les plaques. Justificar qualitativamentquina direccio tindra el camp electric en un punt qualsevol del seu eix.

S1.7. Considereu un sistema format per dues lamines infinites conductores de gruix a, separades una distanciad > a. Es carreguen uniformement amb densitat superficial σ i −2σ. Determineu el potencial entre lesplaques. Si suposem que en comptes de ser conductores les plaques son dues lamines de plastic amb lamateixa geometria que tenen una distribucio de carrega volumetrica constant ρ i −2ρ, determineu ladiferencia de potencial entre la superfıcie de les plaques.

16

Page 17: Problemas propuestos de electromagnetismo

S1.8. Un condensador ideal plano paral·lel d’area S i amb una separacio entre les plaques a esta ple d’undielectric amb una permitivitat que varia amb la distancia z respecte a una de les plaques de la seguentmanera: ε = ε0(z+a)/a. Si s’aplica una diferencia de potencial V entre les plaques. Calculeu l’energiaelectrostatica del condensador. (Considereu que la placa negativa correspon a z = 0.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S1.9. Un fil conductor molt llarg carregat amb una densitat lineal de carrega −λ negativa es troba envoltatper una regio cilındrica de radi R on s’ha fet el buit. Al voltant d’aquesta regio hi ha dues capescilındriques concentriques. La primera d’elles, de radi intern R i extern 2R, te permitivitat relativaεr1 = 2; la segona, de radi intern 2R i extern 3R, te permitivitat relativa εr1 = 3. Calculeu el campelectric, la polaritzacio i les densitats de carrega de polaritzacio en les diferents regions de l’espai.

S1.10. Sigui un cilindre dielectric conductor de radi R amb una densitat de carrega lliure constant ρ. Alvoltant del cilindre hi ha una altra capa cilındrica de radi 2R d’un dielectric lineal, homogeni i isotropamb permitivitat relativa κ = 2. Calculeu: el camp electric, la polaritzacio i les densitats de carregalligada en tot l’espai.

S1.11. Dos cilindres conductors llargs i concentrics tenen radis a i b (b > a) respectivament, i una longitudl. Part de l’espai entre ells s’omple amb un dielectric de constant dielectrica ε recobrint el cilindreinterior fins a una distancia d de l’eix (b > d > a). Si la diferencia de potencial entre els dos cilindreses V , trobeu:

(a) L’energia electrostatica emmagatzemada.(b) Les densitats de carrega lligada.(c) Comproveu que la carrega lligada total es 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S1.12. Dues esferes conductores de radis R1 i R2 estan separades una distancia d (d R1, R2), de manera quela distribucio de carrega d’una esfera no es veu modificada per la distribucio de carrega de l’altra esfera).Com es distribuira una carrega donada Q entre les dues esferes per tal que l’energia electrostatica delsistema sigui mınima? Quina seria l’energia si totes dues tinguessin una carrega Q/2?

S1.13. Una carrega puntual q es troba al centre d’una capa metal·lica esferica (amb radis intern i extern r1 i r2respectivament) que es mante a un potencial V . Aquesta capa metal·lica esta envoltada per una altracapa esferica (amb radis intern i extern r2 i r3 respectivament) de material dielectric amb permitivitatrelativa εr = 2. Trobeu:

(a) El camp electric a tot l’espai.(b) La carrega electrica total emmagatzemada a la capa metal·lica.

S1.14. Un condensador format per dues esferes concentriques de radis Ra < Rb s’omple amb un dielectric.Calculeu-ne la capacitat si ε = ε0(1 + α/r), a on α es una constant.

S1.15. Considereu dos conductors esferics en el buit de radis R1 i R2 (R2 > R1), connectats per un filconductor. La separacio entre els conductors es molt gran en comparacio a R2, de manera que es potconsiderar que la densitat de carrega en cada una de les esferes es constant. Es posa una carrega Qentre les dues esferes. Calculeu, quan arribi a l’equilibri electrostatic i suposant que en fil no hi hacarrega:

(a) La carrega en cada una de les esferes.(b) El camp electric a la superfıcie de cada esfera.

S1.16. Un sistema esferic esta format per un nucli dielectric de radi R1 amb permitivitat ε1. El nucli estaenvoltat per una capa conductora de radi extern R2 (i radi intern R1), i una altra capa exteriordielectrica de radi R3 (i radi interior R2) amb permitivitat ε3. Considerant que les zones dielectriquesestan carregades amb una densitat de carrega volumica uniforme ρ0, calculeu l’energia electrostaticadel sistema.

S1.17. En una capa esferica de radi interior R1 i radi exterior R2 hi ha una distribucio de carrega ρ(r) = a+bramb R1 < r < R2.Calculeu el camp electric i el potencial en tots els punts de l’espai. Calculeu l’energia electrostatica.

S1.18. Entre les plaques d’un condensador esferic de radis R1 i R2 (R1 < R2 ) hi ha un dielectric amb unapermitivitat relativa que es funcio de la distancia r al centre del condensador: ε = αr2, on α es unaconstant. Si el condensador te una carrega Q i una conductivitat g = 0, calculeu:

(a) El camp electric en les diferents regions de l’espai.(b) La polaritzacio en el dielectric.(c) Les densitats de carrega de polaritzacio.

17

Page 18: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes suplementaris. Full 2 (Magnetostatica)

S2.1. Sigui un triangle equilater de costat a pel que hi circula una intensitat I. Trobeu el camp magnetic enun punt sobre l’eix del triangle.Per a distancies molt grans, demostreu que dona el camp creat per un dipol magnetic.

S2.2. Per un tub cilındric de radi a hi circula una intensitat I de manera que la densitat de corrent esconstant. Al voltant del cilindre hi ha una capa tambe cilındrica de radi interior a i exterior b > a d’unmaterial aıllant i magnetic (homogeni, isotrop i lineal) de permeabilitat µ. Trobeu el camp ~B i ~M entot l’espai.

S2.3. Per dos fils infinits i perpendiculars situats en un medi lineal de permeabilitat µ, hi passa la mateixaintensitat constant I. Trobeu la induccio magnetica ( ~B) en tots els punts del pla que conte els dos filsi que son exteriors als fils.

S2.4. Una esfera conductora de radi R es posa a un potencial de 100 V i es submergeix en un lıquid conductoramb conductivitat g = 10 S [C/(m·s·V)]. Calculeu el corrent des de l’esfera cap a l’infinit i determineuel temps que tarda l’esfera en perdre la meitat de la seva carrega.

S2.5. Considereu un cable coaxial de radis a i b on a < b. Per l’interior del cilindre de radi a circula un correntI uniformement distribuıt i en la direccio de l’eix ~ez. En aquesta regio el material es paramagneticamb susceptibilitat constant χm > 0. Per la capa exterior del cable circula un corrent igual i oposata l’anterior. En la regio entre les capes externa i interna del cable el material es diamagnetic ambsusceptibilitat χ′m = αr, a on α < 0.

(a) Calculeu ~H, ~B i ~M en tot l’espai.

(b) Verifiqueu les condicions de frontera per a ~H i ~B i justifiqueu les discontinuıtats trobades.

(c) Calculeu la densitat volumica de corrent d’imantacio ~JM .

S2.6. Considereu dos plans infinits de corrent, paral·lels i perpendiculars a l’eix z. La densitat de correntsuperficial en el pla situat a z = −d es ~K = K ~ex, i pel situat a z = d es ~K = K ~ey, a on K es unaconstant. Trobeu el camp magnetic en tot l’espai.

S2.7. Un cilindre molt llarg esta magnetitzat de manera que la magnetitzacio te la direccio ~eϕ associada alcilindre. El radi del cilindre es R, el seu eix coincideix amb l’eix z, i la magnetitzacio s’expressa com

~M = M0r

R~eϕ,

amb M0 constant i r es la distancia d’un punt a l’eix. Considereu que no hi ha corrents lliures,i calculeules components Bϕ i Hϕ en les diferents regions de l’espai.

S2.8. Hi ha un disc de radi interior R1 i radi exterior R2 pel que circula una densitat de corrent superficial ~K.

(a) Calculeu la induccio magnetica creada per aquest disc al llarg del seu eix.(b) Col·loquem aquest disc perpendicular a l’eix X, i centrat al punt (x0, 0, 0). Quina es la forca que

fa sobre un electro que passa per l’origen amb una velocitat (vx, vy, vz)?

18

Page 19: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes suplementaris. Full 3 (Faraday)

S3.1. Una espira quadrada de costat a, continguda en el pla XY, es mou amb velocitat ~v = v~ex dins elcamp magnetic ~B = (a/x2, 0, a/x2). Obteniu la f.e.m. induıda en l’espira i la intensitat del corrent, sil’espira te una resistencia R, indicant el seu sentit.

S3.2. Un fil recte molt llarg, de permeabilitat µ0 i de radi R, pel que hi circula una intensitat I = I0 cosωtuniformement distribuıda esta submergit en un lıquid aıllant de permitivitat ε i permeabilitat µ. Su-posant que la frequencia es baixa, i que el medi es lineal, homogeni i isotrop, calculeu:

(a) El camp ~B a tot l’espai.(b) L’imantacio del medi.(c) La forca electromotriu induıda en una espira quadrada de costat a, amb el centre situat a una

distancia d > R+ a/2 de l’eix del fil i que te dos costats paral·lels i dos perpendiculars al fil.

S3.3. Un solenoide molt llarg, de seccio transversal circular de radi a, te n voltes per unitat de longitud icondueix un corrent d’intensitat I = I0e

−t/τ . Dins el solenoide hi ha una espira de radi b (b < a) iresistencia R, paral·lela a les espires del solenoide. Trobeu el corrent que circula per aquesta espira.

S3.4. Una espira circular de radi R i carrega Q, gira al voltant del seu eix amb una velocitat constant Ω.Centrada en l’eix i a una distancia Z s’hi posa una segona espira de radi r (r R Z), que gira alvoltant d’un dels seus diametres amb velocitat angular constant ω. Inicialment els plans d’ambduesespires son paral·lels. Trobeu:

(a) El camp ~B creat per la primera espira en el centre de la segona.(b) La f.e.m. induıda en la segona espira.(c) El coeficient d’inductancia mutua.

S3.5. Un disc metal·lic de radi R, gruix d i conductivitat g, esta posat perpendicularment a un camp magnetic~B = Kt~ez, a on K es una constant i t el temps. Calculeu el corrent induıt en el disc.

S3.6. Sigui una espira circular de radi a per la que hi circula una intensitat I = I0 cosωt. Hi ha una segonaespira de radi b (b a) amb el centre situat, a una distancia d, en l’eix de la primera espira . Trobeula forca electromotriu induıda en l’espira de radi b, suposant que les dues espires son paral·leles.

S3.7. Un toroide de seccio quadrada de costat a i radi interior R, esta fet d’un material magneticament linealde permeabilitat µ. Sobre el toroide hi ha un enrotllament de N espires repartides uniformement.Trobeu:

(a) L’autoinductancia.(b) L’energia magnetica emmagatzemada quan per cada espira hi circula una intensitat I.

S3.8. Per un conductor molt llarg, rectilini, de permeabilitat µ0, i de seccio transversal circular de radi R,circula un corrent uniformement distribuıt I = I0 cosωt (a on ω es petita). A l’interior del conductorhi ha un espai buit cilındric, de radi a, amb el seu eix paral·lel i coaxial al del conductor.Tambe hi ha una espira quadrada de costat l (l < a i l < R−a), amb dos costats paral·lels i dos costatsperpendiculars, a l’eix dels cilindres. Trobeu la forca electromotriu induıda en l’espira en els tres casosseguents:

(a) L’espira esta dins del cilindre de radi a.(b) L’espira esta fora del cilindre de radi R.(c) L’espira esta entre els dos cilindres.

S3.9. Una espira rectangular de costats a i b, indeformable i construıda amb fil conductor, esta en el plaz = 0 amb el costat a paral·lel a l’eix x. L’espira es desplaca a una velocitat ~v = (v, 0, 0) constant.Hi ha un camp magnetic ~B = (0, 0, B0 + Cx), a on B0 i C son constants positives, perpendicular al’espira. Calculeu:

(a) El corrent que circula per l’espira si la seva resistencia es R. Indiqueu-ne el sentit.(b) La forca mecanica que cal aplicar a l’espira per tal que es desplaci amb aquesta velocitat constant.(c) La potencia mecanica que es comunica a l’espira per tal que es desplaci a velocitat constant i la

potencia electrica dissipada per l’espira.

S3.10. Una espira rectangular, de costats a i b, es troba en el mateix pla que dos conductors rectilinis iparal·lels de gran longitud, que transporten una intensitat I = I0 sinωt en un fil i I = −I0 sinωt enl’altre. L’espira esta equidistant dels dos fils, es a dir, hi ha distancia c des del costat de longitud b alfil mes proper. Trobeu:

19

Page 20: Problemas propuestos de electromagnetismo

(a) la f.e.m induıda en el rectangle.(b) El coeficient d’inductancia mutua entre els dos fils i el rectangle.

S3.11. Dos conductors rectilinis, paral·lels i separats una distancia d, s’han unit en un dels seus extremsmitjancant un condensador de capacitat C. Una barra conductora de massa m, en contacta amb elsdos conductors i perpendicular a ells, es desplaca per accio d’una forca ~F constant i en la direccio delsconductors. Perpendicular al pla determinat pels dos conductors hi ha un camp magnetic constant,~B. Per a un instant en el que la barra te una velocitat ~v, trobeu:

(a) La f.e.m. induıda en el circuit.(b) La intensitat del corrent suposant conductors perfectes.(c) La forca magnetica sobre la barra mobil.(d) L’acceleracio de la barra.

S3.12. El camp d’induccio magnetica d’un dipol magnetic, de moment ~m situat a l’origen de coordenades, enun punt de l’espai, ~r, ve donat per l’expressio:

~B =µ0

[− ~m

r3+

3(~m · ~r)~rr5

].

(a) Calculeu la forca electromotriu induıda en un circuit circular, paral·lel al pla xy i a una distanciad d’aquest, de radi R, generada per un dipol magnetic de moment ~m = m0 sin(ωt)~ex situat al’origen.

(b) Calculeu la forca electromotriu que aquest mateix moment dipolar indueix sobre un solenoide deradi R i longitud 2L, situat coaxialment amb l’eix z i amb el dipol just al seu centre.

S3.13. Per una bobina ideal infinitament llarga circula una intensitat I = I0 cos(ωt). El nombre d’espires perunitat de longitud es n i el seu radi R. Calculeu el camp electric induıt en l’interior i exterior de labobina. Considereu que la intensitat varia lentament amb el temps i que la frequencia es petita.

S3.14. Hi ha un circuit indeformable en forma de quadrat en el pla xy, que te una resistencia electrica R.Paral·lels a l’eix y hi ha dos fils. Un situat a x = −d, pel que hi circula un intensitat I = I0e

−λt en ladireccio positiva de l’eix y, i l’altre a x = 0 pel que hi circula una intensitat −I0.A l’instant t = 0, el quadrat te un costat a x = 0 i un altre a x = l, i una velocitat ~v = v~ex. Calculeula intensitat que circulara pel circuit.

S3.15. Un circuit tancat, format per una barra conductora mobil que es desplaca sobre un altre circuitconductor en forma de U , esta sotmes a l’efecte del camp magnetic generat per un fil infinit pel que hicircula una intensitat que augmenta proporcionalment amb el temps: I = αt, on α es una constant.Si la part mobil oscil·la sinusoidalment al voltant d’una posicio d’equilibri, calculeu la forca que fara elcamp magnetic sobre ella. Considereu que la resistencia del circuit, R, es constant i negligiu els efectesd’autoinductancia del circuit.

S3.16. Un fil infinit paral·lel a l’eix x transporta un corrent constant I. El fil es mou harmonicament en l’eixy segons l’equacio

y =l

2cos(ωt+

π

6) .

En el pla z = 0 i centrat respecte l’origen de coordenades, hi ha un quadrat de costats de longitud l iparal·lels als eixos x, y. Si la resistencia del quadrat es Z, trobeu el corrent induıt.

S3.17. Dues bobines coaxials infinites de radis Ra i Rb (Ra > Rb), n voltes per unitat de longitud i ambuna intensitat I circulant en sentit contrari, tenen un medi magnetic lineal, homogeni i isotrop depermeabilitat µ entre elles. Trobeu l’energia magnetica per unitat de longitud.

20

Page 21: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes suplementaris. Full 4 (Maxwell)

S4.1. Un condensador cilındric coaxial de radis a i b (a < b) te en el seu interior un dielectric de permitivitatε i de conductivitat g. El condensador, de capacitancia per unitat de longitud C, es carrega a unadiferencia de potencial φ i s’aılla. Trobeu:

(a) La carrega del condensador en funcio del temps.(b) El corrent de desplacament en el dielectric.

(c) El camp ~H en el dielectric.

S4.2. Un condensador plano-paral·lel de radi R i distancia entre plaques h te en el seu interior un dielectricno homogeni de permitivitat

ε = ε0

(1 +

r

R

),

a on r es la distancia a l’eix del condensador. Si la diferencia de potencial entre les plaques varia com

V = V0

(1− t

τ

),

a on V0 i τ son constants. Trobeu:

(a) Els camps electric i magnetic dins el condensador.(b) El flux d’energia a traves de l’area lateral del condensador.

S4.3. Un condensador esta format per dues plaques circulars de radi R, planes, situades en el buit i separadesuna distancia d R. S’aplica una diferencia de potencial V = V0 + at. Calculeu:

(a) El camp electric dins el condensador.(b) La densitat de corrent de desplacament.(c) El camp magnetic dins el condensador.

S4.4. Un condensador de plaques paral·leles en forma de disc circular de radi R, separades una distancia d,te en el seu interior un dielectric de permitivitat ε i de conductivitat g. El condensador, inicialmentdescarregat, es carrega amb una intensitat constant I. Trobeu:

(a) La carrega del condensador en funcio del temps.(b) El corrent de desplacament en el dielectric.

(c) El camp ~H en el dielectric.

S4.5. Una esfera de radi R, esta uniformement carregada amb Q coulombs. L’esfera emet carrega cap al’exterior de forma isotropa i constant de manera que el corrent total de fuites es I amperes. Determineuen funcio del temps:

(a) El camp electric que crea a una distancia r > R del seu centre.(b) El vector densitat de corrent a una distancia r > R del seu centre.(c) La densitat de corrent de desplacament.(d) El camp magnetic.

S4.6. Considereu un condensador (que es considera ideal) de plaques circulars plano-paral·leles separadesuna distancia d. El condensador esta ple d’un medi amb constant dielectrica ε i conductivitat g, iconnectat a una diferencia de potencial V (t) = V0 sinωt, on t es el temps, i ω i V0 son constants. Enel cas de frequencies baixes, calculeu:

(a) Els camps ~E i ~D dins del condensador.(b) Els corrents lliures i de desplacament a traves de les seves plaques.

(c) Els camps ~H i ~B dins del condensador, considerant que el medi es no magnetic.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S4.7. En una regio de l’espai no hi ha carregues ni corrents. La induccio magnetica es ~B = (ax− bt)~ez. Elcamp electric es ~E = (0, E, 0), es a dir, te la direccio ~ey. Emprant les equacions de Maxwell, calculeuel valor de E.

21

Page 22: Problemas propuestos de electromagnetismo

S4.8. En una regio de l’espai on hi ha el buit tenim que: Jz = 0 , Ex = Ey = 0, Ez = ey+ e′t, Bx = by+ b′t,By = Bz = 0, on e′ i b′ son constants conegudes. Calculeu, utilitzant les equacions de Maxwell:

(a) La densitat de carrega ρ.(b) Les variables e i b.

(c) La densitat de corrent ~J .

S4.9. Trobeu el vector de Poynting sobre la superfıcie d’un fil conductor recte, molt llarg (de radi R iconductivitat g), pel que hi circula un corrent continu I. Verifiqueu el teorema de Poynting.

S4.10. Donats uns camps ~E = E0 cos(kz − ωt)~ey i ~B = B0 cos(kz − ωt + α)~ex en l’espai lliure, a on E0 = 1V/m i ω = 10 GHz. Trobeu el valors de: k, la longitud d’ona (λ), α i B0 per tal que sigui una onaelectromagnetica.

S4.11. Siguin uns potencials electromagnetics tals que ~A = A0ei(~k·~r−ωt)~ez, φ = 0, propagant-se en el buit.

Trobeu el camp electric, ~E, el camp magnetic, ~B, i el flux d’energia per unitat de superfıcie i unitatde temps. Determineu les restriccions (tant en modul com en direccio) de ~k, per tal que es compleixinles equacions de Maxwell.

S4.12. Sigui una ona electromagnetica ~A = ~A0 cos(kz−ωt), φ = 0, propagant-se en un medi lineal, homogeni iisotrop, de permitivitat ε, permeabilitat µ i conductivitat 0. Trobeu el camp electric, el camp magnetici el flux d’energia per unitat de superfıcie i unitat de temps. Determineu les condicions de ~A0, per talque es compleixin les equacions de Maxwell.

S4.13. El potencial vector d’una ona plana en el buit te la forma

~A = F (ωt− ~k · ~r) ~e

a on ω = kc, ~e es un vector constant i F una funcio diferenciable d’una variable (en el gauge que s’haemprat φ = 0 i ~∇ · ~A = 0). Trobeu el vector de Poynting.

S4.14. Un potencial vector es del tipus: ~A = ~A0 ei[ωt−α(1+i/2)z], a on α i ~A0 son constants reals.

Trobeu:

(a) El camp electric si es sap que φ = 0.(b) El camp magnetic.

(c) El vector de Poynting ~S.(d) L’ındex de refraccio del medi i la longitud d’ona.

(e) El desfasament entre ~E i ~B.

S4.15. Sigui una ona electromagnetica

~E = E0 cos(Kx− ωt)e−δx ~ey, ~B = B0 cos(Kx− ωt+ α)e−δx ~ez

propagant-se en un medi de permitivitat ε, permeabilitat µ i conductivitat g. Es suposa que es un malconductor, es a dir, g/(ωε) 1. Trobeu els valors de K i δ per tal que es compleixi l’eq. d’ones pelcamp electric. Trobeu el valor de α a partir de les equacions de Maxwell.NOTA: Si es treballa en notacio exponencial

~E = Re[E0e

i(K+iδ)xe−iωt]~ey

els calculs son mes senzills.

S4.16. Una ona electromagnetica, en un medi lineal, isotrop i homogeni de permitivitat ε i permeabilitat µ,ve donada per ~B = B0 e

−αz cos(βz − ωt)~ex.

(a) Quina es la longitud d’ona i la velocitat de fase?

(b) Trobeu els camps ~E i ~H.

(c) Quin es el desfasament entre ~E i ~H?

22

Page 23: Problemas propuestos de electromagnetismo

Problemes suplementaris. Full 5 (Varis)

S5.1. Donats els tres vectors

~A = ~ay + 3~az, ~B = ~ax − 2~az, C = ~ax + ~ay + ~az

demostreu que son coplanaris i trobeu l’equacio del pla en el que estan localitzats.

*S5.2. Calculeu el potencial creat per un pla infinit amb densitat de carrega (σ) constant.

S5.3. Trobeu la capacitat equivalent de

(a) Dos condensadors de capacitat C1 i C2 connectats en serie.(b) Dos condensadors de capacitat C1 i C2 connectats en paral·lel.

S5.4. Hi ha dues esferes metal·liques en el buit, de radis R1 i R2, amb els centres separats una distancia d icarregades amb densitat superficial de carrega constant σ1, σ2, totes dues positives.

(a) Calculeu a quina distancia hem de col·locar una tercera carrega puntual amb q3 > 0 en la lıniaque uneix els centres de les esferes, per tal de que la carrega puntual estigui en equilibri.

(b) Discutiu l’estabilitat de l’equilibri (respecte a un desplacament de la carrega de la posiciod’equilibri).

S5.5. Un camp magnetic ~H esta donat en coordenades cilındriques com

~H =

0

I

2πrr2 − a2

b2 − a2~eϕ

I

2πr~eϕ

~B =

0 per a 0 < r < a

µ0I

2πr2 − a2

b2 − a2~eϕ per a a < r < b

µ0I

2πr~eϕ per a b < r

Trobeu la densitat de corrent lliure ( ~J), la permeabilitat magnetica (µ) i els corrents d’imantacio ( ~JM

i ~KM ) en tot l’espai.

S5.6. Sigui un toroide de seccio rectangular de radi exterior R, alcada a i gruix b format per un materiallineal, isotrop i homogeni de permeabilitat relativa µr.

(a) Si al toroide se li fa un bobinat de N1 espires pel que hi circula una intensitat I, quina es l’expressiode la induccio magnetica a l’interior d’aquest?

(b) Al toroide se li fa un altre bobinat deN2 espires a sobre de l’anterior. Trobeu la forca electromotriuals extrems d’aquest segon bobinat si pel primer hi passa una intensitat alterna I = Im cos(ωt).

(c) Trobeu la susceptibilitat del material si la intensitat del primer bobinat es d’1 A d’amplitud; lafrequencia es de 30 Hz; les dimensions de la seccio del toroide son R = 5 cm, a = 1 cm i b = 2 cm;el nombre d’espires es N1 = 200 i N2 = 50, i es mesura una forca electromotriu al segon bobinatde 24 V d’amplitud.

S5.7. Dues bobines coaxials infinites de radis Ra i Rb (Ra > Rb) amb una intensitat I circulant en sentitcontrari, tenen un medi magnetic lineal, homogeni i isotrop de permeabilitat µ entre elles. Trobeul’energia magnetica per unitat de longitud.

S5.8. Un condensador cilındric de plaques plano-paral·leles d’area S conte un dielectric isotrop, lineal ihomogeni. Es connecten les plaques a una bateria de f.e.m. constant E i es fan oscil·lar lentamentde forma que segueixin essent paral·leles pero la seva separacio varia com d = d0 + d1 sinωt. Com aconsequencia de l’oscil·lacio la permitivitat relativa del dielectric varia com εr = K0 +K1 sinωt.

(a) Trobeu el camp magnetic ~H produıt pel corrent de desplacament en la regio entre les plaques.(b) Si abans de comencar a moure les plaques desconnectem la bateria, quin sera aleshores el camp

magnetic?

S5.9. Una ona electrica en el buit ve donada per

~E = E0~ex ei(ky−ωt)

i una ona magnetica ve donada per

~H = H0~ez ei(ky−ωt+ϕ)

a on E0, H0, ω > 0. Determineu quines condicions s’han de complir per tal que sigui una ona electro-magnetica. Trobeu el flux d’energia per unitat de temps i de superfıcie.

23

Page 24: Problemas propuestos de electromagnetismo

S5.10. Si f = f0e−iωt i g = g0e

−iωt demostreu que la mitjana temporal del producte de la part real d’ambduesfuncions es la meitat de la part real del producte de f pel complex conjugat de g, es a dir:

〈Re f Re g〉 =12Re(fg∗)

c© Unitat d’Electromagnetisme, Departament de Fısica (UAB), setembre de 2013.

24