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Page 1: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

Circuitos de corriente continua

Ejercicios

Resistores en serie y en paralelo

1. Un resistor de 48 Ω y otro de 52 Ω están conectados en paralelo y la combinación está conec-tada a través de una línea de cc de 120 V. a) ¿Cuál es la resistencia de la combinación en parale-lo? b) ¿Cuál es la corriente total a través de la combinación en paralelo? c) ¿Cuál es la corriente a través de cada resistor?Rta.: a) 24,96 Ω; b) 4,81 A; c) 2,5 A y 2,31 A.

2. Tres resistores con resistencias de 2,4 Ω, 3,6 Ω y 4,8 Ω están conectados en serie a una bate-ría de 54 V cuya resistencia interna es despreciable. Encuentre a) la resistencia equivalente de la combinación; b) la corriente en cada resistor; c) la corriente total a través de la batería; d) el vol -taje a través de cada resistor; e) la potencia disipada en cada resistor.Rta.: a) 10,8 Ω; b) 5 A; c) 5 A; d) 12V; 18 V; 24 V; e) 60 W; 90 W; 120 W.

3. Los tres resistores del ejercicio anterior están conectados en paralelo a la misma batería. En-cuentre las mismas cantidades para esta situación.Rta.: a) 1,108 Ω; b) 22,5 A; 15 A; 11,25 A; c) 48,75 A; d) 54 V; e) 1215 W; 810 W; 607,5 W.

4. Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura y en-cuentre la corriente en cada resistor. La batería tiene una resisten-cia interna despreciable.Rta.: 5 Ω; I3 = 8 A; I6 = 4 A; I12 = 3 A; I4 = 9 A.

5. Calcule la resistencia equiva-lente de la red de la figura y encuentre la corriente en cada resistor. La batería tiene una resistencia interna despreciable.Rta.: 3 Ω; I1 = I3 = 12 A; I7 = I5 = 4 A.

6. Demuestre que cuando dos resistores están conectados en paralelo, la resistencia equivalente de la combinación siempre es menor que la de cada resistor.7. Potencia nominal de un resistor. a) La potencia nominal de un resistor es la máxima poten-cia que puede disipar el resistor sin que aumente demasiado su temperatura. La potencia nominal de un resistor de 10 kΩ es de 5 W. ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial permisible a tra-vés de los terminales del resistor? b) Necesitamos un resistor de 15 kΩ para conectarlo a través de una diferencia de potencial de 220 V. ¿Qué potencia nominal se requiere?Rta.: a) 223,6 V; b) 3,23 W.

8. Bombillas en serie. Dos bombillas, una de 40 W y 120 V y la otra de 150 W y 120 V, se co-nectan en serie a través de una línea de 240 V. Suponga que la resistencia de cada bombilla no varía con la corriente. (Nota: Esta descripción de una bombilla da la potencia que disipa cuando se le conecta a la diferencia de potencial estipulada; esto es, una bombilla de 25 W y 120 V disi-pa 25 W cuando está conectada a una línea de 120 V.) a) Encuentre la corriente a través de las bombillas. b) Encuentre la potencia disipada en cada bombilla. c) Una de ellas se funde muy pronto. ¿Cuál y por qué?Rta.: a) 0,526 A; b) 99,6 W y 26,6 W; c) la de 40 W.

1 Circuitos de corriente continua

E =  48 V, r = 0

7 Ω

1 Ω

5 Ω

3 Ω

+

ε = 60 V, r = 0

6 Ω

3 Ω

4 Ω

12 Ω

+

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Física II

9. Bombillas en serie y en paralelo. Dos bombillas tienen resistencias de 500 Ω y de 1000 Ω. Si se les conecta en serie a través de una línea de 120 V, encuentre a) la corriente en cada bombi-lla; b) la potencia disipada en cada bombilla y la potencia total disipada en las dos. Ahora las co-nectamos en paralelo en la misma línea. Encuentre c) la corriente en cada bombilla; d) la poten-cia disipada en cada bombilla y la potencia total disipada en las dos. e) En cada situación, ¿cuál de las dos bombillas brilla más? ¿En qué situación producen más luz las dos bombillas combina-das?Rta.: a) 0,08 A; b) 3,2 W y 6,4 W; 9,6 W; c) 0,24 A y 0,12 A; d) 28,8 W y 14,4 W; 43,2 W.

10. Cuatro resistores y una batería de resistencia interna despreciable están conectados de modo que forman el circuito de la figura. Sean ε = 4,5 V, R1 = 2,5 Ω, R2 = 3,75 Ω, R3 = 9,5 Ω y R4 = 6,25 Ω. Encuentre a) la resistencia equivalente de la red; b) la corriente en cada resistor.Rta.: a) 4,38 Ω; b) IR1 = 1,027 A; IR2 = 0,515 A; IR3 = 0,203 A; IR4 = 0,309 A.

11. En el circuito de la figura, cada resistor representa una bombilla. Sean R1 = R2 = R3 = R4 = 6 Ω y ε = 3 V. a) Encuentre la corriente en cada bombilla. b) Encuentre la potencia disipada en cada bombilla. c) Se retira la bombilla R4 del circuito, dejando un corte en el cable en su posición. ¿Cuál es ahora la corriente en cada una de las bombillas restantes, R1, R2 y R3? d) Sin la bom-

billa R4, ¿cuál es la potencia disipada en cada una de las restantes? e) ¿Qué bombilla o bombillas brillan más como resultado de haber retirado la R4? ¿Qué bombilla o bombillas brillan menos? Analice por qué hay distintos efectos en bombillas iguales.Rta.: a) IR1 = 0,375 A; IR2 = IR3 = IR4 = 0,125 A; b) PR1 = 0,844 W; PR2 = PR3 = PR4 = 0,094 W; c) IR1 = 0,333 A; IR2 = IR3 = 0,166 A; d) PR1 = 0,667 W; PR2 = PR3 = 0,167 W

12. Bombilla de tres modos. Una bombilla de luz de tres modos tiene tres modos de brillantez (bajo, medio y alto), pero sólo dos filamentos. a) Una bombilla de este tipo está conectada a una línea de 120 V y puede disipar 50 W, 100 W o 150 W. Describa cómo están dispuestos los dos filamentos en la bombilla y calcule la resistencia de cada filamento. b) Suponga que el filamento de mayor resistencia se funde. ¿Cuánta potencia disipará la bombilla en cada uno de los tres mo-dos? ¿Cuál será la brillantez (baja, media o alta) en cada modo? c) Repita el apartado (b) supo-niendo que se funde el filamento de menor resistencia.Rta.: a) 144 Ω y 288 Ω; b) 0, 100 W (media), 100 W (media); c) 50 (baja), 0, 50 W (baja).

13. Use la expresión P = I2R para calcular la po-tencia disipada en cada uno de los cuatro resistores de la figura.Rta.: 0,5 W; 1,75 W; 1 W; 0,75 W.

14. En el circuito que se muestra en la figura, la batería de 12 V se retira del circuito y se vuelve a po-ner con la polaridad opuesta, de modo que el terminal positivo ahora está junto al punto b. El resto del cir-

cuito queda como se ve en la figura. Encuentre a) la corriente en el circuito (magnitud y direc-ción); b) la diferencia de potencial Vab.Rta.: a) 1 A (en sentido horario); b) -7 V.

2 Circuitos de corriente continua

3 Ω

12 V2 Ω

+

+

4 V4 Ω7 Ω

a

b

I

R2R3

R4

R1

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Física II

Reglas de Kirchhoff

15. a) En el circuito de la figura, encuentre la corriente en cada resistor y la resistencia equiva-lente de la red de cinco resistores. Suponga que ahora el resistor de 2 Ω es sustituido por uno de 1 Ω, y el resistor central de 1 Ω (a través del cual la corriente es I3) se sustituye por un resistor de resistencia desconocida R. El resto del circuito queda como en la figura. b) Calcule la corriente en cada resistor. Trace un diagrama del circuito y ro-tule cada resistor con la corriente que pasa por él. c) Calcule la resistencia equivalente de la red. d)

Calcule la diferencia de potencial Vab. e) Sus respuestas a los apartados (a) a (c) no dependen del valor de R. Explique por qué.Rta.: a) I1 = 6 A; I2 = 5 A; I3 = -1 A; Re = 1,18 Ω; b) I1 = 6,5 A; I2 = 6,5 A; I3 = 0 A; c) Re = 1 Ω; d) 0.

16. Encuentre las fems ε1 y ε2 del circuito de la figura y la diferencia de potencial del punto b con respecto al punto a.Rta.: ε1 = 18 V; ε2 = 7 V; Vba = -13 V.

17. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en R; b) la resistencia R; c) la fem desconocida ε. d) Si el circuito se rompe en x, ¿cuál es la corriente en la

batería de 28 V?Rta.: a) 2 A; b) 5 Ω; c) 42 V; d) 3,5 A.

18. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en cada ra-ma; b) la diferencia de potencial Vab.Rta.: a) I1 = 0,8 A; I2 = -0,2 A; I3 = 0,6 A; b) -3,2 V.

19. La batería de 10 V de la figura del ejercicio 18 se retira del circuito y se vuelve a poner con la polaridad opuesta, de modo que su terminal positivo ahora está junto al punto a. El resto del circuito queda como en la figura. Encuentre a) la corriente en ca-da rama; b) la diferencia de potencial Vab del punto a con respec-to al b.

Rta.: a) I1 = -1,6 A; I2 = 1,4 A; I3 = -0,2 A; b) 10,4 V.

3 Circuitos de corriente continua

1 Ω 20 V6 Ω

4 Ω1 Ω ε1

+

a b+

1 Ω ε2

2 Ω+

1 A

2 A

x

+

6 Ω+

3 Ω

4 A

6 A

28 V

ε

R

+a b

1 Ω 1 Ω1 Ω

1 Ω 2 Ω

I1I2

I3

I1 - I3 I2 + I3

I1 + I2

13 V

c

d

2 Ω 10 V3 Ω

+ a

b1 Ω 5 V

4 Ω+

10 ΩI3

I2

I1

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Física II

20. Se retira del circuito del ejercicio 18 la batería de 5 V y se sustituye con una de 15 V con su terminal negativo junto al punto b. El resto del circuito queda igual. Halle a) la corriente en cada rama; b) la diferencia de potencial Vab.Rta.: a) I1 = 0 A; I2 = 1 A; I3 = 1 A; b) 4 V.

21. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en el resistor de 3 Ω; b) las fems desconocidas ε1 y ε2; c) la resis-tencia R. Observe que se da el valor de tres corrientes.Rta.: a) 8 A; b) 36 V y 54 V; c) 9 Ω.

Instrumentos de medición eléctrica

22. La resistencia de la bobina de un galvanómetro es RG = 5 Ω y la corriente requerida para una desviación a fondo de escala es IG = 300 μA. a) Mues-tre en un diagrama cómo convertir el galvanómetro en un amperímetro cuya lectura a fondo sea If = 10 A, y calcule la resistencia de deriva. b) Muestre cómo convertir el galvanómetro en un voltímetro cuya lectura a fondo sea Vf = 500 V y calcule la resistencia en serie.Rta.: a) 0,00015 Ω; b) 1,67 MΩ.

23. La resistencia de la bobina de un galvanómetro de bobina móvil es RG = 7,52 Ω, y una corriente IG = 0,0192 A le ocasiona una desviación a fondo de escala (ver figura). Deseamos convertir este galvanómetro en un amperímetro cuya lectura a fondo de escala sea If = 10 A. El único derivador disponible tiene una resistencia RD = 0,0438 Ω. ¿Qué resisten-cia R debe conectarse en serie con la bobina?

Rta.: 15,25 Ω.

24. Amperímetro de múltiples escalas. La resistencia de la bobina móvil del galvanómetro G de la figura es RG = 36 Ω y el galvanómetro se desvía a fondo de escala con una corriente IG = 0,01 A. Cuando el medidor está conectado al circuito que se va a medir, se hace una conexión a la línea marcada con + y la otra a la línea del intervalo de corriente deseado. Halle la magnitud de las resistencias R1, R2 y R3 necesarias para convertir el galvanómetro en un amperímetro de múltiples escalas cu-ya desviación a fondo de escala sea If1 = 10  A, If2 = 1 A y

If3 = 0,1 A.Rta.: R1 = 0,04 Ω; R2 = 0,36 Ω; R3 = 3,6 Ω.

25. Voltímetro de múltiples escalas. En la figura se muestra el cableado interno de un voltíme-tro de "tres escalas" cuyas líneas de conexión están señaladas con +, 3 V, 15 V y 150 V. Cuando se co-necta el medidor al circuito que se va a medir, se ha-ce una conexión a la línea + y la otra al punto marca-do con el intervalo de voltaje deseado. La resistencia de la bobina móvil, RG, es de 35 Ω, y la corriente en

la bobina que ocasiona una desviación a fondo de escala es IG = 1,5 mA. Encuentre las resisten-cias R1, R2 y R3 y la resistencia total del medidor en cada uno de sus intervalos.

4 Circuitos de corriente continua

G

R

Derivador

G

R1 R2 R3

10 A 1 A 0,1 A+

RG

R1 R2 R3

3 V 15 V 150 V+

4 Ω 3 Ω 6 Ω

+ε1

+ε2

2 A

3 A 5 A

R

I1 I2

I3

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Física II

Rta.: R1 = 1965 Ω; R2 = 8000 Ω; R3 = 90000 Ω.

26. Una batería de 100 V tiene una resistencia interna r = 5,83 Ω. a) ¿Cuál es la lectura de un voltímetro cuya resistencia es RV = 478 Ω cuando se le coloca a través de los terminales de la batería? b) ¿Cuál es el valor máximo que tendrá el cociente r/RV si el error en la lectura de la fem de la batería no debe exceder del 5%?Rta.: a) 98,8 V; b) 1/19.

27. El potenciómetro es un instrumento que mide la fem de una fuente sin tomar corriente de ella. Considere el circuito del poten-ciómetro de la figura. El resistor entre a y b es un cable uniforme de longitud l, con un contacto móvil c colocado a una distancia x del punto b. Se mide una fem desconocida ε2 deslizando el contacto hasta que el galvanómetro G indica 0. a) Muestre que en estas con-diciones la fem desconocida está dada por ε2 = (x/l) ε1. b) ¿Por qué no es importante la resistencia interna del galvanómetro? c) Si ε1 = 14,18 V y l = 1 m, y el galvanómetro indica 0 cuando x = 0,676 m, ¿cuál es la fem ε2?

Rta.: c) 9,59 V.

28. Dos voltímetros de 150 V, uno con una resistencia de 15 kΩ y el otro con una de 150 kΩ, es-tán conectados en serie a través de una línea de cc de 120 V. Encuentre la lectura en cada voltí-metro. (Un voltímetro de 150 V tiene una desviación a fondo de escala cuando la diferencia de potencial entre sus dos terminales es de 150 V)Rta.: 10,9 V y 109,1 V.

29. En el ohmímetro de la figura, la bobina del medidor tiene una resistencia Rb = 20 Ω y la corriente requerida para una desviación a fondo de escala es If = 3,40 mA. La fuente es una pila de linterna con ε = 1,5 V y resistencia in-terna despreciable. El ohmímetro debe indicar una desviación de media escala cuando esté conectado a un resistor con R = 500 Ω. ¿Qué resistencia en serie Rs se requiere?Rta.: 362 Ω.

30. En el ohmímetro de la figura, M es un medidor de 1,50 mA con resistencia interna Ri = 83 Ω. (Tal medidor se desvía a fondo de escala cuando la corriente

que pasa por él es If = 1,50 mA.) La batería B tiene una fem de ε = 3,14 V y resistencia in-terna despreciable. R se escoge de modo que cuando los terminales a y b están en corto (Rx = 0), el medidor señala escala completa. Cuando a y b están abiertos , el medi-

dor señala cero. a) Calcule R. b) ¿Qué corriente señala una resistencia Rx de 600 Ω? c) ¿Qué re-sistencias corresponden a desviaciones del medidor de de fondo de escala, si la desviación es proporcional a la corriente por el galvanómetro?Rta.: a) 2010 Ω; b) 1,17 mA; c) 6280 Ω; 2094 Ω;698 Ω.

Circuitos resistencia - capacitancia

5 Circuitos de corriente continua

M

R

+B

a b

Rx

+

+G

a bI

II

cI2=0

ε2, r

ε1

rG

+x y

εRS

R

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Física II

31. Verifique que el producto RC tiene unidades de tiempo.32. Un capacitor de 6,74 μF que inicialmente está descargado se conecta en serie con un resistor de 6,03 kΩ y una fuente de fem ε =  273 V y resistencia interna despreciable. En el instante en que se cierra el circuito, diga cuál es a) la caída de voltaje a través del capacitor; b) la caída de voltaje a través del resistor; c) la carga en el capacitor; d) la corriente a través del resistor. e) Mu-cho tiempo después de que se cierra el circuito (después de muchas constantes de tiempo), ¿cuá-les son los valores de las cuatro cantidades anteriores?Rta.:a) 0; b) 273 V; c) 0; d) 0,045 A; e) 273 V; 0; 1,84 mC; 0.

33. Un capacitor de capacitancia C = 3,34 10-10 F se carga con 7,83 10-8 C en cada placa. Luego el capacitor se conecta a un voltímetro cuya resistencia interna es de 5,3 105 Ω. a) ¿Cuál es la co-rriente que pasa por el voltímetro justo después de hacer la conexión? b) ¿Cuál es la constante de tiempo de este circuito RC?Rta: a) 442 μA; b) 177 μs.

34. Un capacitor se carga a un potencial de V = 15 V y luego se conecta a un voltímetro cuya re-sistencia interna es R = 2,25 MΩ. Después de t = 5 s, el voltímetro señala V1 = 5 V. ¿Cuál es la capacitancia?Rta.: 2 μF.

35. Un capacitor de 12,4 μF está conectado a través de un resistor de 0,895 MΩ a una diferencia de potencial constante de 60 V. a) Calcule la carga sobre el capacitor en los tiempos siguientes después de establecer la conexión: 0 s, 5 s, 10 s, 20 s y 100 s. b) Calcule la corriente de carga en los tiempos anteriores. c) Dibuje las gráficas de los resultados de los apartados (a) y (b) para un intervalo de tiempo de 20 s.Rta.: a) 0; 270 μC; 442 μC; 621 μC; 744 μC; b) 67 μA; 42,7 μA; 27,2 μA; 11,1 μA; 0,0082 μA.

36. En el circuito de la figura, C = 7,50 μF, ε = 36 V y la fem tiene resistencia interna despreciable. Inicialmente, el capacitor está descargado; el interruptor S se encuentra en la posición 1 y luego se coloca en la posición 2, de mo-do que el capacitor empieza a cargarse. a) ¿Cuál será la carga en el capacitor después de mucho tiempo de que el interruptor se cambió a la posición 2? b) Después de que el interruptor ha estado en la posición 2 durante 3 ms, la carga en el capacitor resulta ser de 225 μC. ¿Cuál es el va-lor de la resistencia R? c) ¿Cuánto tiempo después de que el interruptor se puso en la posición 2, la carga del capaci-

tor será igual al 99% del valor final encontrado en el apartado (a)?Rta.: a) 270 μC; b) 223 Ω; c) 7,7 ms.

37. Un capacitor con C = 4 10-5 F está conectado como en el ejercicio 36 con un resistor de R = 950 Ω y una fuente de fem ε = 24 V y resistencia interna despreciable. Inicialmente, el ca-pacitor está descargado y el interruptor S en la posición 1; luego se cambia a la posición 2, de modo que el capacitor empieza a cargarse. Después de estar el interruptor en la posición 2 duran-te 0,05 s, se vuelve a poner en la posición 1 de modo que el capacitor empieza a descargarse. a) Calcule la carga sobre el capacitor justo antes de que el interruptor se regrese de la posición 2 a la 1. b) Calcule las caídas de potencial a través del resistor y del capacitor en el instante descrito en el apartado (a). c) Calcule las caídas de voltaje a través del resistor y del capacitor justo des-

6 Circuitos de corriente continua

R

C

S

Interruptor S enla posición 2

Interruptor S enla posición 1

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Física II

pués de que el interruptor se regresa de la posición 2 a la 1. d) Calcule la carga en el capacitor 0,05 s después de que el interruptor se regresa de la posición 2 a la 1.Rta.: a) 702 μC; b) 6,44 V; 17,56 V; c) 17,56 V; 17,56 V; d) 17,56 V en ambos; d) 188 μC.

Sistemas de distribución de potencia: caso de estudio en el análisis de circuitos

38. El elemento calefactor de un secador eléctrico está especificado en 3,5 kW cuando el secador está conectado a una línea de 240 V. a) ¿Cuál es la corriente en el elemento calefactor? ¿Un ca-ble de calibre 12 es lo bastante grande para suministrar esta corriente? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento calefactor del secador a su temperatura de operación? c) A 10 centavos por kilowa-tt·hora, ¿cuánto cuesta por hora hacer funcionar el secador?Rta.: a) 14,6 A; b) 16,46 Ω; c) $0,35.

39. Un calentador eléctrico de 1350 W está conectado a una toma de un circuito de 120 V que posee un interruptor de circuito de 20 A. Se conecta a la misma toma un secador eléctrico de pe-lo que tiene potencias nominales de 600 W, 900 W, 1200 W y 1500 W. Se empieza con el seca-dor de pelo en el valor de 600 W y se aumenta la potencia hasta que el interruptor de circuito se dispara. ¿Cuál de las potencias del secador ocasionó que se disparara el interruptor?Rta.: 1200 W.

40. ¿Cuántas bombillas de 45 W se pueden conectar en paralelo a un circuito de 120 V y 20 A sin que se dispare el interruptor de circuito?Rta.: 53

41. El elemento calefactor de una estufa eléctrica consiste en un hilo térmico dentro de un mate-rial aislante, que a su vez está dentro de una cubierta de metal. El hilo térmico tiene una resisten -cia de 24 Ω a temperatura ambiente (23ºC) y un coeficiente de temperatura de resistividad α = 2,8 10-3(ºC)-1. El hilo térmico funciona con una línea de 120 V. a) Cuando se enciende por primera vez el elemento calefactor, ¿cuánta corriente toma y qué potencia disipa? b) Cuando el elemento calefactor alcanza una temperatura de operación de 280ºC, ¿qué corriente toma y qué potencia disipa?Rta.: a) 5 A; 600 W; b) 2,91 A; 349 W.

Problemas

42. a) Una resistencia R2 se conecta en paralelo con una resistencia R1. Deduzca una expresión para la resistencia R3 que se debe conectar en serie con la combinación de R1 y R2 para que la re-sistencia equivalente sea igual a la resistencia R1. Dibuje un diagrama que muestre la combina-ción de resistores. b) Una resistencia R2 está conectada en serie con una resistencia R1. Deduzca una expresión para la resistencia R3 que debe conectarse en paralelo con la combinación de R1 y R2 para que la resistencia equivalente sea igual a R1. Dibuje un diagrama que muestre la combi-nación de resistores.

Rta.: a) ; b)

43. Se necesita un resistor de 800 Ω y 3,2 W, pero sólo se tienen 4 resistores de 800 Ω y 1,6 W (Ver el ejercicio 7). a) ¿Cuáles son las dos combinaciones diferentes de las unidades disponibles

7 Circuitos de corriente continua

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Física II

que dan la resistencia requerida y la potencia nominal? b) Para cada una de las redes del apartado (a), ¿qué potencia se disipa en cada resistor cuando se disipan 3,2  W en la combinación?Rta.: b) 0,8 W.

44. Dos bombillas idénticas se conectan en paralelo a una fuente con ε = 8 V y resistencia inter-na Ri = 0,8 Ω. Cada bombilla tiene una resistencia R = 2 Ω que consideraremos independiente de la corriente que pasa por ellas. a) Halle la corriente que pasa por cada bombilla, la diferencia de potencial a través de cada una de ellas y la potencia suministrada a cada una. b) Suponga que una de las bombillas se funde, es decir, su filamento se rompe y ya no circula corriente por él. Encuentre la potencia suministrada a la bombilla que queda. ¿Esta bombilla brilla más o menos que antes de que la primera se fundiera?Rta.: a) 2,22 A; 4,44 V; 9,88 W; b) 16,33 W.

45. Cada uno de los tres resistores de la figura tiene una resistencia R = 1,8 Ω y puede disipar un máximo de P = 23 W sin calentarse excesi-vamente. ¿Cuál es la potencia máxima que puede disipar el circuito?

Rta.: 34,5 W.

46. a) Calcule la resistencia equivalente del circuito de la figura entre y, x. b) ¿Cuál es el potencial del punto a con respecto al punto x si la corriente en el resistor de 8 Ω es de 1,6 A en la dirección que va de izquierda a derecha en la figura? Rta.: a) 8 Ω; b) -38,4 V.

47. a) Encuentre el potencial del punto a con respecto al punto b en la figura. b) Si los puntos a y b están conectados por un cable con resistencia despreciable, encuentre la co-rriente en la batería de 12 V.Rta.: a) 0,22 V; b) 0,464 A.

48. Tres resistores idénticos están conecta-dos en serie. Cuando se aplica cierta diferen-cia de potencial V a través de la combina-ción, la potencia total disipada es P = 76 W. ¿Qué potencia se disiparía si los tres resistores se conectaran en paralelo a través de la misma diferencia de potencial?Rta.: 684 W.

49. Calcule las tres corrientes I1, I2 e I3 indicadas en el diagrama del circuito de la figura.Rta.: I1 = 0,848 A; I2 = 2,142 A; I3 = 0,171 A.

8 Circuitos de corriente continua

a18 Ω

9 Ω6 Ω

16 Ω

8 Ω20 Ω

16 Ωx y

5 Ω 8 Ω

1 Ω 1 Ω

10 Ω

+ +12 V 9 VI1I2

I3

1 Ω 10 V3 Ω

+

1 Ω 8 V

+

1 Ω 12 V

+

1 Ω

2 Ω2 Ω

2 Ω

a b

I1

I2

I3

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Física II

50. ¿Cuál debe ser la fem ε en la figura para que la co-rriente a través del resistor de 7 Ω sea de 2,50 A? Las fuentes de fem tienen resistencia interna despreciable.Rta.: 18,167 V.

51. Encuentre la corriente a través de cada uno de los tres resistores del circuito de la figura. Las fuentes de fem tienen resistencia interna despreciable.Rta.: I1 = 5,211 A; I2 = -1,105 A; I3 = 6,316 A.

52. a) Halle la corriente a través de la batería y de cada resistor del circuito de la figura. b) ¿Cuál es la resistencia equivalente de la red de resistores?Rta.: a) IR1 = 6 A; IR2 = 4 A; IR3 = 2 A; IR4 = 4 A; IR5 = 6 A; b) 1,4 Ω.

53. En la figura se emplea una convención muy usada en los diagramas de circuito. La bate-ría (o la fuente de alimenta-ción) no se muestra de manera explícita. Se entiende que el punto de la parte izquierda, ro-tulado con 36 V, está conectado al terminal positivo de una ba-tería de 36 V de resistencia in-terna despreciable y que el sím-

bolo de "tierra" de la parte derecha está conectado al terminal negativo de la batería. El circuito se completa a través de la batería, aunque no se muestre en el diagrama. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vab, el potencial en el punto a con respecto al punto b, cuando el interruptor S está abierto? b) ¿Cuál es la corriente a través del interruptor S cuando está cerrado? c) ¿Cuál es la re -sistencia equivalente cuando el interruptor está cerrado?Rta.: a) -12 V; b) 1,714 A; c) 4,2 Ω.

54. a) ¿Cuál es el potencial del punto a con respecto al punto b en la figura, cuando el interruptor S está abierto? b) ¿Qué punto, a o b, está a mayor potencial? c) ¿Cuál es el potencial final del punto b con respecto a tierra cuando el interruptor S está cerrado? d) ¿Cuánto cambia la carga en cada capacitor cuando S está cerrado?Rta.: a) 18 V; b) a; c) 6 V; d) -36 μC en ambos.

55. a) ¿Cuál es el potencial del punto a con respecto al punto b en la figura, cuando el interruptor S está abierto? b) ¿Qué punto, a o b, está a mayor potencial? c) ¿Cuál es

9 Circuitos de corriente continua

R2=2 Ω R5=1 Ω

R1=1 Ω R4=2 Ω

R3=1 Ω

+

14 V

3 Ω

V =  18 V

6 Ω

S

a

b

3 μF

6 μF

3 Ω

V =  18 V

6 Ω

S

a

b3 μF6 μF

++

7 Ω2 Ω3 Ω

24 V ε

I1I2I1+I2

2 Ω

+

+

20 V

14 V

+36 V4 Ω

5 Ω

I2I1

I3

3 Ω 6 Ω

3 ΩV =  36 V

3 Ω6 Ω

S

a

b

I1 I2

I3 I4

I5

Page 10: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

el potencial final del punto b con respecto a tierra cuando el interruptor S está cerrado? d) ¿Cuán-to cambia la carga en cada capacitor cuando S está cerrado?Rta.: a) -6 V; b) b; c) 6 V; d) +36 μC; -18 μC.

56. Un galvanómetro tiene una resistencia RG1 = 200 Ω y se desvía a fondo de escala con una co-rriente I1 = 1 mA en su bobina. Se le va a sustituir con otro galvanómetro cuya resistencia es RG2 = 44,3 Ω y que se desvía a fondo de escala con una corriente de I2 = 37,3 μA en su bobina. Diseñe un circuito que incorpore el segundo galvanómetro de modo que la resistencia equivalen-te del circuito sea igual a la resistencia del primer galvanómetro, y el segundo galvanómetro se desvíe a fondo de escala cuando la corriente en el circuito sea igual a la corriente a fondo de es-cala del primer galvanómetro.57. Dos resistores, R1 = 582 Ω y R2 = 429 Ω, están conectados en serie a través de una línea de 90 V. Un voltímetro conectado a través del resistor de 582 Ω marca 44,6 V. a) Encuentre la re-sistencia RV del voltímetro. b) ¿Qué lectura indicará el mismo voltímetro cuando se conecte a tra-vés del resistor de 429 Ω?Rta.: a) 1524 Ω; b) 32,9 V.

58. El punto a de la figura se mantiene a un potencial constante de V = 250 V mayor que el de tierra. a) ¿Qué marca un voltímetro del intervalo apropiado, cuya resistencia interna es RV = 3 104 Ω, cuando está conectado entre b y tierra? b) ¿Qué marca un voltímetro

con RV = 3 106 Ω de resistencia? c) ¿Qué marca un voltímetro con resistencia infinita?Rta.: a) 51,7 V; b) 163 V; c) 166,7 V.

59. Medición de resistencias grandes. Un voltímetro de 150 V tiene una resistencia RV = 20000 Ω. Cuando se conecta en serie con una resistencia R grande a través de una línea de V = 110 V, el medidor señala VV = 56 V. Encuentre la resistencia R.Rta.: 19286 Ω.

60. Sean V e I las lecturas del voltímetro y el amperímetro, respectivamente, de la fi-gura, y RV y RA sus resistencias. Por las re-sistencias de los medidores, R no es sim-plemente igual a V/I. a) Si el circuito se co-necta como en la figura (a), muestre que

. Explique por qué R siempre es

menor que V/I. b) Cuando las conexiones son como las de la figura (b), muestre que

. Explique por qué la resistencia real R siempre es mayor que V/I. c) Muestre que

la potencia suministrada al resistor en el apartado (a) es y en el apartado (b) es .

61. El puente de Wheatstone. El circuito de la figura, conocido como puente de Wheatstone, se utiliza para deter-minar el valor de un resistor desconocido X comparándolo con tres resistores M, N y P cuya resistencia se puede variar. Para cada disposición, la resistencia de cada resistor se cono-ce de manera precisa. Con los interruptores K1 y K2 cerrados,

10 Circuitos de corriente continua

R2=200 kΩR1=100 kΩ

a b

GK2

K1

a

d

cb

N

M

P

X

RV

R

V

a b

IV

I

Ac

(b)

RV

R

V

a b

I

Ac

(a)

Page 11: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

se varían estos resistores hasta que la corriente en el galvanómetro G sea cero; se dice entonces que el puente está equilibrado. a) Muestre que la resistencia desconocida está dada por X = MP/N. (Este método permite una precisión muy alta en la comparación de resistores.) b) Si G no señala desviación alguna cuando M = 1000 Ω, N = 10 Ω y P = 21,46 Ω, ¿cuánto vale X?Rta.: b) 2146 Ω.

62. Un resistor de 4,84 kΩ está conectado a las placas de un capacitor cargado cuya capacitancia es C = 9,46 10-10 F. La corriente inicial a través del resistor, justo después de hacer la conexión, es de 0,38 A. ¿Qué magnitud de carga había inicialmente en cada placa del capacitor?Rta.: 1,74 μC.

63. Un capacitor que inicialmente está descargado se conecta en serie con un resistor y una fuen-te de fem con ε = 200 V y resistencia interna despreciable. Al completarse el circuito, la corrien-te a través del resistor es de 8,6 10-4 A. La constante de tiempo para este circuito es de 5,7 s. ¿Cuál es la resistencia del resistor y la capacitancia del capacitor?Rta.: 2,325 105 Ω; 24,5 μF.

64. Un resistor con R = 86 kΩ está conectado a las placas de un capacitor cargado de capacitan-cia C = 4,50 μF. Justo antes de la conexión, la carga del capacitor es de 0,0636 C. a) ¿Cuál es la energía inicialmente almacenada en el capacitor? b) ¿Qué potencia eléctrica disipa el resistor jus-to después de la conexión? c) ¿Qué potencia eléctrica disipa el resistor en el instante en que la energía almacenada en el capacitor bajó a la mitad del valor calculado en (a)?Rta.: a) 449 J; b) 2323 W; c) 1157 W.

65. Un capacitor de 3,40 μF inicialmente descargado se conecta en serie con un resistor de 7,25 kΩ y una fuente de fem con ε = 180 V y resistencia interna despreciable. Cuando la co-rriente en el resistor es de 0,0185 A, ¿cuál es la magnitud de la carga en cada placa del capacitor?Rta.: 156 μC.

66. Un capacitor de 9,65 μF inicialmente descargado se conecta en serie con un resistor de 4,80 Ω y una fuente de fem con ε = 150 V y resistencia interna despreciable. a) Justo después de la conexión, diga cuál es (i) la razón a la que se disipa energía eléctrica en el resistor; (ii) la razón a la que aumenta la energía eléctrica almacenada en el capacitor, y (iii) la potencia eléctri-ca suministrada por la fuente. Compare las respuestas de los apartados (i), (ii) y (iii). b) Respon-da las mismas preguntas que en el apartado (a) en el instante en que la carga del capacitor es la mitad de su valor final.Rta.: a) i) 4687,5 W; ii) 0; iii) 4687,5 W; b) i) 1172 W; ii) 1172 W iii) 2344 W.

67. La corriente en un capacitor que se está cargando está dada por la ecuación:

a) La potencia instantánea suministrada por la batería es εi. Integre para hallar la energía total su-ministrada por la batería. b) La potencia instantánea disipada por el resistor es i2R. Integre para hallar la energía total disipada por el resistor. c) Encuentre la energía final almacenada en el ca-pacitor y muestre que es igual a la energía total suministrada por la batería menos la disipada en el resistor, obtenidas en los apartados (a) y (b). d) ¿Qué fracción de la energía suministrada por la batería se almacena en el capacitor? ¿Cómo depende esta fracción de R?

Rta.: a) ; b) ; c) ; d) la mitad.

11 Circuitos de corriente continua

Page 12: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

68. a) Utilizando la ecuación para la corriente de un capacitor

que se está descargando, deduzca una expresión para la potencia instantánea P = i2R disipada en el resistor. b) Integre la expresión de P a fin de encontrar la energía total disipada en el resistor y muestre que es igual a la energía total almacenada en un principio en el capacitor.

Rta.: a) ; b) .

69. Estrictamente, la ecuación implica que se requiere un tiempo infinito para des-cargar completamente un capacitor. Sin embargo, en la práctica se puede considerar que un capa-citor está descargado después de un tiempo finito. Considere que un capacitor con capacitancia C conectado a un resistor R está descargado cuando su carga q difiere de cero en no más de la carga de un electrón. a) Calcule el tiempo para alcanzar este estado si C = 0,85 μF, R = 570 kΩ y Q0 = 4 μC. ¿Cuántas constantes de tiempo implica esto? b) ¿El tiempo para alcanzar este estado es siempre el mismo número de constantes de tiempo, independientemente de los valores de C y R? Explique.Rta.: a) 14,9 s; 30,8 constantes de tiempo; b) Sí.

70. Dos capacitores en serie, C1 = 3 μF y C2 = 6 μF, se cargan con una batería de 12 V con una resistencia interna de 1 Ω. Hay una resistencia R = 5 Ω en serie entre los capacitores (ver figura). a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito que se está cargan-do? b) Después de que se cierra el circuito, para el tiempo calcu-lado en (a), ¿cuál es el voltaje en el capacitor de 3 μF?Rta.: a) 12 μs; b) 5,06 V.

PROBLEMAS DE DESAFÍO

71. Red infinita. Como se muestra en la figura, una red de resistencias R1 y R2 se ex-tiende hasta el infinito hacia la derecha. Pruebe que la resistencia total RT de la red infinita es igual a

(Sugerencia: Como la red es infinita, la re-sistencia de la red a la derecha de los puntos c y d también es igual a RT.)

72. Suponga que un resistor R se encuentra a lo largo de cada arista de un cubo (12 resistores en total) con conexiones en los vérti-ces. Encuentre la resistencia equivalente entre dos esquinas diagona-les opuestas del cubo (puntos a y b de la figura).

Rta.: 5R/6.

12 Circuitos de corriente continua

r = 1 Ω

ε = 12 V+

Sa

b

3 μF

6 μF

5 Ω

R1

R2

R1

R1

R2

R1

R1

R2

R1

ca

b d

Δx

y asísucesivamente

b

a

Page 13: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

73. Cadenas de atenuación y axones. La red infinita de resistores de la figura del problema de desafío 71 se conoce como cadena de atenuación, ya que ocasiona que la diferencia de potencial entre los cables superiores y los inferiores disminuya o se atenúe a lo largo de la longitud de la cadena. a) Muestre que si la diferencia de potencial entre los puntos a y b de la figura es Vab en-tonces la diferencia de potencial entre los puntos c y d es Vcd = Vab/(1 + β), donde β = 2R1(RT + R2)/RTR2 y RT, la resistencia total de la red, está dada por . b) Si la diferencia de potencial entre los terminales a y b en el lado izquierdo de la red infinita es V0, muestre que la diferencia de potencial entre los cables superior e inferior a n segmentos del ex-tremo izquierdo es Vn = V0(1 + β)n. Si R1 = R2, ¿cuántos segmentos se necesitan para disminuir la diferencia de potencial Vn a menos del 1% de V0? c) Una cadena de atenuación infinita puede usarse para construir un modelo de la propagación de un pulso de voltaje a lo largo de una fibra nerviosa o axón. Cada segmento de la red de la figura representa un corto segmento del axón de longitud Δx. Los resistores R1 representan la resistencia del fluido dentro y fuera de la pared de membrana del axón. La resistencia de la membrana a que la corriente fluya a través de la pared está representada por R2. Para un segmento de axón de longitud Δx = 1 μm, R1 = 6,4 103  Ω y R2 = 8 108 Ω (la pared de membrana es un buen aislante). Calcule la resistencia total RT y β para un axón infinitamente largo. (Esta es una buena aproximación, puesto que la longitud de un axón es mucho mayor que su ancho; los axones más largos del sistema nervioso humano tienen una longitud de más de un metro y sólo aproximadamente 10-7 m de radio.) d) ¿En qué fracción dis-minuye la diferencia de potencial entre la parte interior y la exterior del axón en una distancia de 2 mm? Esta atenuación de la diferencia de potencial muestra que el axón no puede ser sencilla-mente un cable conductor de corriente pasivo; la diferencia de potencial debe reforzarse de ma-nera periódica a lo largo de la longitud del axón, mediante el mecanismo de potencial de acción. e) El mecanismo de potencial de acción es lento, de modo que una señal se propaga a lo largo del axón con una rapidez de aproximadamente 30 m/s. En situaciones en las que se requiere una res-puesta rápida, los axones se cubren con una funda segmentada de material grasoso conocida co-mo mielina. Los segmentos tienen una longitud aproximada de 2 mm, separados por espacios co-nocidos como nodos de Ranvier; solamente en tales nodos es donde se generan los potenciales de acción. La mielina aumenta la resistencia de un segmento de 1 μm de longitud de la membrana a R2 = 3,3 101 2  Ω. Para este axón con mielina, ¿en qué fracción disminuye la diferencia de po-tencial dentro y fuera del axón en la distancia de un nodo de Ranvier al siguiente? Esta menor atenuación significa que el pulso es lo suficientemente intenso para generar un potencial de ac-ción en el siguiente nodo; la rapidez de propagación aumenta debido a que el pulso se desplaza como una señal eléctrica convencional en los segmentos con mielina.Rta.: b) 4 tramos; c) 3,21 MΩ; 0,00401; d) 0,000334; e) 0,883.

74. Alarma contra robo. La capacitancia de un capacitor pue-de verse afectada por un material dieléctrico que, aunque no esté den-tro del capacitor, se encuentre lo bastante cerca del capacitor como para ser polarizado por el campo eléctrico que sobresale por efecto borde del capacitor cargado. Este efecto normalmente es del orden de los picofarads (pF), pero puede utilizarse, con un circuito electrónico apropiado, para detectar un cambio en el material dieléctrico que ro-

dea al capacitor. Este material dieléctrico puede ser el cuerpo humano y el efecto recién descrito puede utilizarse en el diseño de una alarma contra robo. Considere el circuito simplificado de la figura. La fuente de voltaje tiene una fem ε = 1000 V y el capacitor tiene capacitancia C0 = 10 pF. El circuito electrónico para detectar la corriente, representado como un amperíme-tro en el diagrama, tiene una resistencia despreciable y es capaz de detectar una corriente que persista a un nivel de al menos 1 μA durante 200 μs después de que la capacitancia ha cambiado abruptamente de C0 a C. La alarma contra robos se diseña para que se active si el capacitor cam-

13 Circuitos de corriente continua

A

+

ε C

R

Page 14: Problemas de Física II - Circuitos de Corriente Continua

Física II

bia en un 10%. a) Determine la carga sobre el capacitor de 10 pF cuando está completamente cargado. b) Si el capacitor está completamente cargado antes de que se detecte al intruso, supo-niendo que el tiempo que le lleva al capacitor para cambiar en un 10% es lo suficientemente pe-queño como para ser despreciado, deduzca una ecuación que exprese la corriente por el resistor R como una función del tiempo t desde que cambió la capacitancia. c) Determine el intervalo de valores de la resistencia R que cumplirá con las especificaciones de diseño de la alarma. ¿Qué pasa si R es demasiado pequeña? (Sugerencia: Este apartado no se puede resolver de manera analítica: debe utilizar métodos numéricos. R puede expresarse como una función logarítmica de R más cantidades conocidas. Utilice un valor de prueba de R y calcule a partir de la expresión un nuevo valor de R. Continúe con este procedimiento hasta que los valores de entrada y de salida de R concuerden dentro de tres cifras significativas.)

Rta.: a) 0,01 μC; b) ; c) 0,713 107 Ω< R < 7 107 Ω.

75. Según el teorema de la superposición, la respuesta (corriente) en un circuito es proporcional a los estímulos (voltaje) que la ocasionan. Esto es cierto aunque existan múltiples fuentes en un cir-cuito. Este teorema puede usarse para analizar un circuito sin recurrir a las reglas de Kirchhoff, considerando las corrientes en el circuito como una superposición de corrientes ocasionada por cada fuente de manera independiente. De esta manera, el circuito puede analizarse calculando

las resistencias equivalentes, en lugar de utilizar el método de las reglas de Kirchhoff (a veces más trabajoso). Además, al usar el teorema de la superposición es posible examinar cómo la mo-dificación de una fuente en una parte del circuito afectará a las corrientes del resto del circuito, sin tener que utilizar las reglas de Kirchhoff para volver a calcular todas las corrientes. Considere el circuito de la figura. Si se trazara de nuevo con las fuentes de 55 V y 57 V sustituidas por cor-tocircuitos, el circuito podría analizarse con el método de las resistencias equivalentes sin recu-rrir a las reglas de Kirchhoff, y la corriente en cada rama podría encontrarse fácilmente. De igual modo, al trazar de nuevo el circuito con las fuentes de 92 V y 55 V sustituidas por cortocircuitos, el circuito podría analizarse de nuevo de manera más simple. Finalmente, al sustituir las fuentes de 92 V y 57 V con cortocircuitos, el circuito podría analizarse con más facilidad. Se puede en-contrar la corriente real en cada una de las ramas superponiendo las corrientes respectivas en-contradas en cada rama usando los tres circuitos simplificados. a) Con las reglas de Kirchhoff, encuentre las corrientes en las ramas de los resistores de 140 Ω, 210 Ω y 35 Ω. b) Usando un cir-cuito parecido al de la figura, pero con las fuentes de 55 V y de 57 V sustituidas por cortocircui-tos, determine las corrientes en cada resistencia. c) Repita el apartado (b) sustituyendo las fuen-tes de 92 V y de 55 V por cortocircuitos, dejando la fuente de 57 V intacta. d) Repita el apartado (b) sustituyendo las fuentes de 92 V y de 57 V por cortocircuitos, dejando la fuente de 55 V in-tacta. e) Verifique el teorema de la superposición tomando las corrientes calculadas en los apar-tados (b), (c) y (d) y comparándolas con las corrientes calculadas en el apartado (a). f) Si la fuen-te de 57 V se sustituye por una de 80 V, ¿cuáles serán las nuevas corrientes en todas las ramas del circuito? (Sugerencia: Con el teorema de la superposición, vuelva a calcular las corrientes parciales calculadas en el apartado (c), usando el hecho de que esas corrientes son proporcionales a la fuente que se está sustituyendo. Luego superponga las nuevas corrientes parciales con las en-contradas en los apartados (b) y (d).)Rta.: a) I1 = 0,3 A; I2 = 0,5 A; I3 = 0,2 A; b) I1 = 0,5412 A; I2 = 0,0773 A; I3 = -0,4639 A; c) I1 = -0,2874 A; I2 = 0,1916 A; I3 = 0,479 A; d) I1 = 0,0462 A; I2 = 0,2311 A; I3 = 0,1849 A; f) I1 = 0,184 A; I2 = 0,577 A; I3 = 0,393 A.

14 Circuitos de corriente continua

+

210 Ω

55 V

35 Ω140 Ω

+ +

I3I1

I2

92 V 57 V

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Física II

15 Circuitos de corriente continua